（基础数学专业论文）与重尾风险相关的若干概率问题的研究.pdf

摘要 5 由于大额索赔风险对于保险公司经营状况的巨大影响，近年来，巨灾风险理论受到 日益关注在数学上，能够描述此种风险的是一类服从重尾分布的随机变量重尾分布 包括了诸多重要子类，其中一个范围非常广泛并能很好地刻画重尾风险的分布类就是通 常所谓的次指数分布类次指数分布率先由c h i s t y a k o v ，v p 1 4 1 在1 9 6 4 年提出并被应 用于分支过程，随后在风险理论、排队论等众多领域获得了迅速而广泛的应用对次指 数分布的性质的研究已产生了大量的文献本论文主要探讨与重尾风险相关的若干概率 问题，它主要涉及了如下三个方面的主题：次指数分布及其相关类的性质及其应用，大 偏差理论和广义更新测度 作为预备，本文的开头首先对其它各个章节所要涉及到的各种记号、函数类以及各 种重尾分布类及其性质作一个总的说明和概括介绍 在第一章，我们主要探讨了次指数分布某些相关类的若干性质以及其应用a s m u s s e n 等学者在文献【4 】中提出了一种在理论和应用都很重要的关于次指数分布的局部化类，我 们亦称之为局部次指数分布类我们首先证明了局部次指数分布类在卷积运算之下不具 有封闭性其次我们指出了负漂移随机游动最大值局部概率次指数性的若干等价条件另 外，学者s h i m u r a 和w a t a n a b e 5 6 】的r e m a r k4 2 以反例的形式指出c l i n e 1 7 】的l e m m a 2 1 ( i v ) 是错误的，从而连带的其它一些结论的证明都存在问题根据p a k e s 5 1 】的论述， s h i m u r a 和w a t a n a b e 的反例存在一个不足之处，为此我们首先提出了进一步的反例 不但如此，我们发现c h n e 1 7 】的c o r o l l a r y3 2 ( i ) 的结论本身也是错误的最后，我们还 建立了在随机变量最小值运算之下次指数封闭性的有关结果 在第二章，我们首先建立了具有有限均值的二阶次指数分布理论，并由此得到复合分 布尾概率的二阶渐近等价式我们的结果一方面将g e l u k 2 6 1 所定义的二阶次指数分布类 ( 局限于具有缓慢变化尾的分布类范围之内) 扩展到了有限均值的情形，另一方面将o m e y 和w i l l e k e n s 在文【4 8 】所得到的复合分布尾概率的二阶精确渐近等价式全面推广到不要 求密度存在的二阶次指数分布情形接着，我们将上述结果应用于风险理论，从而建立了 更新风险模型破产概率的二阶精确渐近式，这就突破了已有的仅在c r a m 否r - l u n d e r b e r g 模型才能得到破产概率二阶精确渐近式的限制 第三章我们讨论重尾非负随机变量随机和的大偏差概率k l i i p p e l b e r g 和m i k o s e h 【3 6 】在一定的条件下得到了重尾i i d 随机变量随机和大偏差的等价式但是他们所用 的条件太强了，唐启鹤等学者的工作使得这个条件在大为减弱通过进一步研究，我们 发现了上述大偏差等价式成立的充分必要条件而且，我们还发现此充要条件不但对于 i i d 随机变量成立，甚至对非独立或非同分布的随机变量也是成立的 第四章我们讨论了重尾非负i i d 随机变量和的大偏差局部概率我们的结果改进 了b a l t r f i n a s 5 1 的结果，使得我们在只要求单边分布尾的条件下得到了单边大偏差局部 概率等价式，从而全面推广了d o n e y 1 9 1 的有关结果 6 在最后一章 我们通过建立普通更新测度的b l a c k w e l l 更新定理与广义更新测度b l a c k - w e l l 型更新定理之问的联系，深入细致地分析了广义更新测度b l a c k w e l l 型更新定理的 各种可能情形我们发现广义更新测度的加权系数序列与底分布的尾部轻重不同将导致 不同形态的b l a c k w e l l 型更新定理 关键词；次指数分布；大偏差；广义更新测度 a b s t r a c t 7 s i n c et h er i s ko fl a r g ec l a i m sh a sag r e a ti m p a c to nt h ei n s u r a n o ec o m p a n y , t h er i s k t h e o r ya b o u te x t r e m a le v e n t sh a sa t t r a c t e dm o r ea n dm o r ea t t e n t i o n i nm a t h e m a t i c s t h i st y p eo fr i s kc a nb em o d e l e db ys o m er a n d o mv a r i a b l ew i t hah e a v y - t a i l e dd i s t r i b u - t i o n t h ec l a s so fh e a v y - t a i l e dd i s t r i b u t i o n si n c l u d eal o to fi m p o r t a n ts u b c l a s s e s o n e o fw m c hi st h es o - c a l l e ds u b e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o nc l a s s w h i c hc o v e r sa l a r g er a n g eo f d i s t r i b u t i o n sa n dc o u l dc h a r a c t e r i z et h eh e a v y - t a i l e dr i s kv e r yw e l l t h es u b e x p o n e n - t i a ld i s t r i b u t i o nw a sf i r s tp r o p o s e db yc h i s t y a k o v ，v 。p 1 4 1i n1 9 6 4a n dw a sa p p l i e dt o b r a n c h i n gp r o c e s s e s ，a n dt h e ni tw a sa p p l i e dr a p i d l yt om a n yf i e l d ss u c ha sr i s kt h e o r y , q u e u i n gt h e o r y , e t c a tt h es a m et i m e ，m a n yl i t e r a t u r e sw e r ed e v o t e dt ot h ep r o p e r t i e s o fs u b e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n s t h i sd i s s e r t a t i o nd i s c u s s e ss o m ep r o b a b i l i t yp r o b l e m s c o n n e c t e dw i t hh e a v y - t a i l e dr i s ka n dc o n c e r n st h ef o l l o w i n gt h r e et o p i c s ：t h ep r o p e r t i e s o fs u b e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n sa n gr e l a t e dc l a s s e sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s ，t h et h e o r yo f l a r g ed e v i a t i o n sa n dt h eg e n e r a l i z e dr e n e w a lm e a s u r e s a s p r e l i m i n a r i e s ，t h eb e g i n n i n gp a r ti nt h i sd i s s e r t a t i o ng i v e sa l le x p l a n a t i o nf o rs o m e n o t a t i o n s ，c l a s s e so ff u n c t i o n sa n dc l a s s e so fh e a v y - t a i l e dd i s t r i b u t i o n s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ed i s c u s ss o m ep r o p e r t i e so fs u b e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n sa n d t h e i rr e l a t e dc l a s s e sw i t ht h e i ra p p l i c a t i o n s a s m u s s e n 【4 】i n t r o d u c e dt h ec l a s so fl o c a l s u b e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n s w ef i r s tp r o v et h en o n - c l o s u r eu n d e rc o n v o l u t i o no ft h e l o c a ls u b e x p o n e n t i a lf a m i l y n e x t ，w eo b t a i ns o m ee q u i v a l e n ta s s e r t i o n sa b o u tt h el o c a l b e h a v i o ro ft h et a i lp r o b a b i l i t yo ft h em a x i m u mo fr a n d o mw a l k sw i t hn e g a t i v ed r i f t s m o r e o v e r ，r e m a r k4 2o fs h i m u r aa n dw a t a n a b e 5 6 1i l l u s t r a t e db yac o u n t e r e x a m p l et h a t l e m m a2 1 ( i v ) o fc l i n ef 17 】i si n c o r r e c t ，w h i c ha f f e c t st h ev a l i d i t yo fs o m er e l a t e dr e s u l t s b u ta c c o r d i n gt op a k e s 【5 1 ，t h e r ee x i s t sas h o r t c o m i n gi ns h i m u r aa n dw a t a n a b e sc o u n - t e r e x a m p l e ，h e n c ew ef i r s tp r o p o s eaf u r t h e rc o u n t e r e x a m p l e w h a t sm o r e ，w es h o w t h a tc o r o l l a r y3 2 ( i ) o fc l i n e 【1 7 1i sw r o n gi t s e l f f i n a l l y , w ee s t a b l i s har e s u l ta b o u tt h e s u b e x p o n e n t i a l i t yo ft h em i n i m u mo ft w or a n d o mv a r i a b l e s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ef i r s te s t a b l i s ht h et h e o r yo ft h es e c o n do r d e rs u b e x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n sw i t hf i n i t em e a n sa n dt h e no b t a i nas e c o n do r d e ra p p r o x i m a t i o nt ot h et a i lo f ac o m p o u n dd i s t r i b u t i o n t h ec l a s so fs e c o n do r d e rs u b e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n sd e f i n e d i nt h i sp a p e rc a nb ev i e w e d2 u sae x t e n s i o no ft h er e l a t e dc l a s sd e f i n e db yg e l u k 2 6 ， o u rr e s u l t sa l s og e n e r a l i z et h ec o r r e s p o n d e n tr e s u l t so fo m e ya n dw i l l e k e n s 【4 8 】w i t h o u t a s s u m i n gt h ee x i s t e n c eo fad e n s i t yf u n c t i o no ft h eu n d e r l y i n gd i s t r i b u t i o n n e x t ，w e a p p l yt h e s er e s u l t st or i s kt h e o r ya n do b t a i nt h es e c o n do r d e ra s y m p t o t i c sf o rt h er u i n p r o b a b i l i t i e si nr e n e w a lr i s km o d e l ，w h e r e a si nc l a s s i c a lr e s u l t s ，t h er e l a t e dr e s u l t sa r e r e s t r i c t e dt ot h ec r a m d r - l u n d e r b e r gm o d e l 8 i nt h et h i r dc h a p t e r w ed i s c u s st h el a r g ed e v i a t i o np r o b a b i l i t yf o rt h er a n d o ms u n l s o fh e a v y - t a i l e dn o n - n e g a t i v ei i d r a n d o mv a r i a b l e s t h er e l a t e dr e s u l ti nt h i sr e s p e c tw a s f i r s te s t a b l i s h e db yk l i i p p e l b e r ga n dm i k o s c h 【3 6 b u tt h e kc o n d i t i o nw 签t o or e s t r i c t i 、1 e a n dt h e nw a sr e d u c e db yt a n ge ta 1 【5 s 1 f u r t h e r m o r e ，w ee s t a b l i s ht h en e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h i st y p eo fl a r g ed e v i a t i o nr e l a t i o n s w r h a t m o r e ，w ef i n dt h a t t h i sc o n d i t i o nh o l d sn o to n l yf o ri i d r a n d o mv a r i a b l e sb u ta l s of o rn o n - i n d e p e n d e n to r n o n - i d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e dr a n d o mv a r i a b l e s i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w eo b t a i nao n e - s i d e dl a r g ed e v i a t i o nl o c a ll i m i tt h e o r e mf o r t h es u m so fh e a v y - t a i l e dn o n - n e g a t i v ei i d r a n d o mv a r i a b l e s o u rr e s u l ti m p r o v e st h e r e l a t e dr e s u l t si nb a l t r f i n a s 5 】b e c a u s ew ee s t a b l i s hs u c har e s u l ta s s u m i n go n l yao n e - s i d e dc o n d i t i o no nt h et a i lo ft h eu n d e r l y i n gd i s t r i b u t i o n t h u s ，t h ec o r r e s p o n d e n tr e s u l t o fd o n e y 1 9 】i sg e n e r a l i z e dt h o r o u g h l y i nt h el a s tc h a p t e r ，w ep r e s e n ta l ls o r t so fb l a c k w e l l - t y p er e n e w a lt h e o r e m sb ym a k - i n gt h ec o n n e c t i o nb e t w e e nb l a c k w e l lr e n e w a lt h e o r e mf o rr e n e w a lm e a s u r e sa n dt h a tf o r g e n e r a l i z e dr e n e w a lm e a s u r e s w es h o wt h a td i f f e r e n tt y p e so fb l a c k w e l l t y p er e n e w a l t h e o r e m sw i l lb ee s t a b l i s h e da c c o r d i n gt ow h i c ho ft h et a i l so fw e i g h t e dr e n e w a lc o n s t a n t s o rt h eu n d e r l y i n gd i s t r i b u t i o ni sa s y m p t o t i c a l l yh e a v i e r k e y w o r d s ：s u b e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n ；l a r g ed e v i a t i o n ；g e n e r a l i z e dr e n e w a lm e a s u r e 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成 果。本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在 文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利 和责任。 声明人c 签孙芬未断 切b g 年j 只彬日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门大 学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和电 子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学 校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索， 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适 用本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( 0 ( 请在以上相应括号内打“4 ) 日期：弦d g 年：月花名 日彤矽耵枷 致谢 3 首先感谢我的导师赵俊宁教授多年来对我学业上的关心和支持正是因为赵老师的 支持，才能使我有机会并且就在我来厦门大学工作的第二年即有机会攻读厦门大学数学 学院的在职博士同时也特别令我感谢的是，赵老师作为前厦门大学数学学院院长，非 常重视本院概率统计学科的发展，为此还特地聘请北京大学程士宏教授来院指导 我也十分感谢程士宏教授的指导程老师是我在概率极限理论的入门指导老师，他 不顾年高体弱，坚持给我们上了一个学期的专业课程，还带了我们两个学期的讨论班， 使我受益良多，正因为此才使我后来逐渐确立了博士论文的有关选题遗憾的是，之后 程老师因身体不好未能来校指导，而更令人意料不到的是，程老师突然于2 0 0 7 年因病辞 世回忆受教于程老师的那段日子，其渊博的学识和严谨的作风给我留下深刻的印象， 谨以此文表达对程老师深深的感谢、惋惜和怀念之情 我还要感谢厦门大学数学学院提供了较好的工作和科研条件，同时作为在职博士， 我的教学工作量得到了适当减轻，从而使我能有更多的时间和精力从事科研 最后我要特别感谢我的妻子和家人，我的任何学术成绩的取得与她们的支持和对家 庭的付出是分不开的! 预备 在这一部分，我们对本论文其它各个章节所要涉及到的各种记号、函数类以及各种 重尾分布类及其性质作一个总的说明和概括介绍 o 1 记号和函数类 对于两个函数，( ) 、夕( ) 或者数列 厶) n 2 l 、 鲰) n - ，我们称 ，一9 ，如果l i r a f i g = 1 ，o f = d ( 夕) ，如果l i m f i g = 0 ； f = o ( g ) 或厂毛g ，如果l i m s u p f g 0 ； ，xg 如果，焉g 而且，乏g ，亦即0 0 ， 9 ( a z ) 夕( z ) + 入p ， z 。 ( o 1 2 ) 若p = 0 ，则称9 为缓慢变化函数正规变化函数的性质非常丰富，可参考b i n g h a m 等 【13 】众所周知， ( o 1 2 ) 的收敛关于a 是局部一致的记 r ：= u 局 ( o 1 3 ) 胙r 定义o 1 2 称正可测函数或正数列g 是扩展正规变化的，并记为g e r ( c ，d ) ，如果 对任何固定的a 1 ，存在常数c 和d 使得 记 a d l i mi n f g ( a x ) g ( x ) l i m s u p 夕( a z ) 9 ( z ) a 。 ( 0 1 4 ) z 。 z _ + e r ：= ue r ( c ，d ) c ，d e r 9 ( o 1 5 ) 定义0 1 3 称正可测函数或正数列g 是规则摆动的。并记为g c ，如果 z 。l i ，r a 寥。夕( z ) 9 ( y ) = 1 ( o 1 6 ) z y 。l 定义o 1 4 称正可测函数或正数列9 是0 正规变化的，并记为g o r ，如果对任何 固定的入 0 ， g ( , x x ) x9 ( z ) ( 0 1 7 ) 定义o 1 5 称正可测函数或正数列g 是长尾的，并记为g ，如果对于任何固定的 三r ， l i mg ( x + y ) 夕( z ) _ 1 ( o 1 8 ) z + o o 显然，如果夕l ，那么g ( 1 0 9 x ) 是缓慢变化函数，因此( o 1 8 ) 的收敛关于箩r 是局部 一致的众所周知，上面所定义的类满足如下的关系： j 5 cce rcccd 冗nl 定义0 1 6 称正可测函数或正数列g 几乎递增，如果 i n 、fg ( y ) x 夕( z ) 2 卫 称正可测函数或正数列夕几乎递减，如果 s u p g ( y ) x9 ( z ) p 2 z ( o 1 9 ) ( o 1 1 0 ) 对于任意的正函数或正数列，令 q ( ”= 捌i n f ( 1 0 9 ，) l 讲，删= ”m s u p 错； 彻芦s 脱u p ( 1 。g ( 删l 。g 入， ( 入) 一i z m 。i n f 而f ( a x ) ( o - 1 1 2 ) 入 1 o 。o ，z ， 分别称口( ，) 和f l ( f ) 为f 的上m a t u s z e w s k a 指标和下m a t u s z e w s k a 指标又定义 m ：= l i m 喾。s u pi l o g f ( x ) ，朋喾+ 5 4 ：l i 翌蝉毕掣 ( 0 1 1 3 ) z _ o 。l o gz 分别称p ( f ) 和l z ( f ) 为，的上阶和下阶。由文献【1 3 1 的t h e o r e m2 1 7 和p r o p o s i t i o n 2 2 5 可知 f l ( f ) p ( ，) p ( f ) q ( ，) ( o 1 1 4 ) 下面的引理可由文献【1 3 】的t h e o r e m2 1 7 ，t h e o r e m2 0 8 ，p r o p o s i t i o n2 2 1 和 t h e o r e m2 6 1 ( a ) 得出 引理0 1 l 设g o r ，那么 1 l 似p ( 9 ) ，n ( 9 ) o c ； - 砂对于任意的常数0 n 0 使得对所有的a ( 0 ，1 ) ， 器盯5 ，v z 独协( o 1 1 6 ) 一砂对于任何，y l - - 1 并且在【0 ，) 局部可积，则 u i n s u p 衅x g ( z ) o o 1 ip 掣 0 使得 e e 8 0 x o ( o 2 3 ) - ，0 在理论研究上，重尾分布类的范围通常太广，而大量的研究结果一般仅涉及它的某 些子类，其中包括： 勿族：分布函数f 勿当且仅当- g o r ，亦即 l i m z + s u p 而f ( t x ) 。 ( 0 2 4 ) 乡族：分布函数f 乡当且仅当f 厶亦即 ! i 恐坠掣：l ，v 亡 o (025)f( z _ o o x 、 。 、。7 够族；分布函数f 够当且仅当一f c ，由的单调性知，此亦等价于 。l i m ll i z r a 。i n fg f ( 两z t ) = 1 ， ( 0 2 6 ) 1z 一 ，。f z 或等价的， l 卯i m l i m $ u p 铬- 1 - ( 0 2 7 ) e r v 族：令0 o t p z ) p k m 冰a x n x i z ) ， z _ 。 ( o 2 1 4 ) 易知上式是成立的。只要注意到如下显而易见的关系式： p 。m a x 。x i z ) n p x z ) ，z _ ( o 2 1 5 ) ( 0 2 1 4 ) 式表明总和x 的大小是由其中某一随机变量起决定性的影响而在轻 i = l 尾情形，性质则截然相反这使得重尾情形的概率理论呈现出与轻尾情形不同的特质 从风险理论的背景来说，可以把随机变量x 解释为第i 次索赔事件的索赔金额，那 么( o 2 1 4 ) 式表明保险公司的总索赔额大小主要足由某一次的索赔额决定的这一性质 与巨灾风险的实际背景相吻合当然对随机变量x 以及性质( o 2 1 4 ) 还可作不同解释 这也就是次指数分布在应用概率中具有广泛应用的一个重要原因 次指数分布由c h i s t y a k o v 【1 4 】率先提出， 机游动理论、更新理论、无穷可分分布理论、 有十分重要的应用 先后在分支过程、排队论、风险理论、随 时间序列分析以及概率大偏差等理论中具 1 4 在次指数分布的应用中经常要碰到到如下所谓f 的平衡分布e ，记 砷) ：= 暂砌 ( 0 2 1 6 ) 这里要求p ：= e x = j - f ( t ) d t o c 那么一个很重要的问题就足寻求e 夕的条 件为此，k l i i p p e l b e r g 【3 3 提出了如下次指数分布子类夕， 夕+ 族：分布函数f 夕当且仅当 璺盟铲锄 0 ， ( 0 2 2 2 ) 这里参数c 0 ，7 i ( 0 ，1 ) b e n k t a n d e r - i 型分布：当z 充分大时， p ( z ) = ( 1 + 2 ( 3 o e ) l o gx ) e 一卢( 1 0 9 。) 2 一( q + 1 ) 1 0 9 z ，( o 2 2 3 ) 这里参数n ，p 0 b e n k t a n d e r - i i 型分布；当z 充分大时， - p ( x ) = e a # x 一( 1 一z ) e 一凹卢卢( 0 2 2 4 ) 1 5 这里参数q 0 ，( 0 ，1 ) 上面所罗列的这些具体分布实际上也都被囊括在夕族之中 次指数分布的性质受到了广泛而深入的研究关于次指数分布的详细介绍可参考【2 2 】 或刚现仅举两条性质： ( 1 ) ( 弱尾等价性) 若分布函数f ，g 乡且满足 f ( z ) g ( z ) ， z _ o o 则 f 夕兮g 夕 ( 2 ) 若f y ，则v 0 ，存在一个固定常数c 0 ，使得 错蚓1 吡v 叫 还有一些性质在本文讨论到的时候再行说明 次指数分布的很多性质都可以类似推广到一般的卷积等价分布类夕n ) 分布类 夕( 7 ) 是由c h o v e r 等学者在文献【1 5 】和【1 6 】中提出的，它表示具有如下性质的支撑 于【0 ，。o ) 中的分布函数全体： 里里f ( z t ) f ( x ) = e ，vz r ( 0 2 2 8 ) z + o o 而且 一 熙错= 2 o o e 啊d f ( 牝。 ( 0 2 2 9 ) 注意到夕( o ) = 夕，而当7 0 时，夕( 7 ) 则为轻尾分布族仅要求满足( 0 2 2 8 ) 的分布 类记为髟( ，y ) 另外，为了研究次指数分布的局部性质，a s m u s s e n 等学者在文献【4 】中提出了局部 次指数分布类为说明它的定义，先引入一些记号令t ( 0 ，c o ，记 = ( 0 ，卅， z + a = ，z + t i ， f ( x + a ) = f ( z ，z - 4 - 卅= f ( x + t ) 一f ( z ) 首先定义乡族的局部类玩称支撑于【0 ，0 0 ) 中的分布函数f 玩，如果下式 f ( x + t + a ) 一f ( z + )( 0 2 3 0 ) 对于任何有限区间的t 一致成立实际上，上述定义仅须要求( 0 2 3 0 ) 式对任何固定的 t r 成立就可以了，因为这时关于t 的一致性可以由f ( 1 0 9 x + a ) 为缓慢变化函数这 一事实推出因此 f 互么兮f ( z + a ) ( 0 2 3 1 ) 、，、，、， 筋 打 2 2 2 o o n ，t，t，、 1 6 现在定义局部次指数分布类玩称支撑于【0 ，o c ) 中的分布函数f 兄，如果 f 玩面且 f 2 。( z + a ) 一2 f ( x + ) ， z _ ( 0 2 3 2 ) 注意到如果t = 。，则玩= 夕此外，a s m u s s e n 等【4 】的r e m a r k2 指出，若对某个 t ( 0 ，o o ) ，f 既，则f 夕局部次指数分布类具有许多与次指数分布相类似的性 质类似于( 0 2 1 2 ) ，注意到f ( 1 0 9 x + a ) 为缓慢变化函数，于是由缓慢变化函数的性质 易知： l i r ae 犯f ( z 十) = 0 0 ， vs 0 ( 0 2 3 3 ) x - - - - 。0 0 类似的，可以引入9 的局部化类，它的定义如下， 玩：称f 玩，如果 l i i l l x - * i n f 0 0 。瓢错a o ( 0 2 t ( o ，z 1 上1 z +) 、 由文献【4 】的p r o p o s i t i o n9 可知： 纵n 玩c 玩 c h o v e r ，n e y 和w a i n g e r 1 5 1 6 】引入了次指数密度类形它的定义如下： ( 0 2 3 5 ) 定义0 2 1 称【0 ，o 。) 上的非负实函数，属于只如果存在a 0 ，使当z a 时 y ( x ) 0 ，歹l 而且满足 l i mf 2 。( z ) m ) 2zl ( x ) d z 0 ( o 2 4 2 ) 众所周知，如果 l i m s u p x q f ( x ) 0 ， l ( x ，t ) 一i ( x ，o ) ， z _ 由( 1 1 3 ) 显然知对任何固定的t 0 ， ，z t i i ( x ，t ) 一，( z ) 夕( z t y ) d y ，一h ( x 、 r h ( z ) - t = ，( z ) 夕( y ) d y ，0 f o o 一，( z ) g ( y ) d y ，z _ ， 于是 i i ( x ，t ) 一l i ( x ，o ) ， z _ o 。 这样由( 1 1 4 ) ，( 1 1 5 ) 和( 1 1 7 ) 可知结论成立 口 ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) 定理1 1 1 证明：k l i i p p e l b e r g 和v i l l a s e n o r 【3 5 】的l e m m a6 ，l e m m a7 和l e m m a8 说明了次指数密度类在密度卷积运算圆之下是非封闭的，亦即存在【0 ，o 。) 上的非负 可积函数 和夕1 使得 ，g i 繇，但是 0g l 隹玩( 1 1 8 ) 定义密度函数 ，( z ) ：= ( z ) z ( ) 出，9 ( z ) ：= 夕( z ) z 夕t ( ) 出 ( 1 1 9 ) 显然f ，g ，而 又定义分布函数 ，0g 岳确 f ( 。) = xf ( ) d ，g ( z ) = xg ( ) d 于是v t ( 0 ，) ，f 既而且g 既注意到f 木g 的密度函数为fog ，于是由引 理1 1 3 ，推论1 1 2 以及( 1 1 1 0 ) 式可知 口 f 木g 岳玩，v t ( 0 ，o o ) 1 2 负漂移随机游动最大值局部概率等价性 设 冠) 仑l 为一列独立同分布的随机变量序列一 0 ：& 0 ) ，q = i n f n 0 ：& 0 ) ( 1 2 3 ) 记g + 为上阶梯高度s 0 的分布，p 一= e s t 显然q ：= g + ( o ，o o ) 0 ，定义a ( ) = 如( 【】) ，j = 1 ，2 ，3 ，4 但是正如学者p a k e s 在文献 51 】所说“t h ei m p a c to ft h i sc o u n t e r e x a m p l ei sl e s s e n e d b yt h ef a c tt h a tt h ef u n c t i o n sa iw h i c hs h i m u r aa n d w a t a n a b e ( 2 0 0 5 ) u s ea r en o tm o n o - - t o n i c ，w h e r e a si na l l 嗍o fc l i n e 8l e m m at h ea ia r et a i lf u n c t i o n s ，a n dt h e r ei su s u a l l y al o to fa d d i t i o n a ls t r u c t u r e ，因此下面我们首先在要求“所有的4 j 连续递减趋于0 这样更强的条件下构造引理1 3 1 的反例 反例构造如下：定义 a 1 ( 3 n ) = 1 3 3 ，