（基础数学专业论文）希尔伯特空间下的clifford代数及mobius变换.pdf

希尔伯特空间中的c 瑚- o r d 代数及m s b i u s 变换 中文摘要 在本文的第一部分，我们给出了无穷维c l i f f o r d 代数的定义和性质，以及 由c l i f f o r d 矩阵表示的m s b i u s 变换的性质在本文的第二部分，我们讨论了 在可分的希尔伯特空间h 下，m s b i u s 变换g 存在且唯一的充分必要条件 关键词：m 6 b i u s 变换，交比，c l i f f o r d 代数，h i l b e r t 空间 作者：王书欣 指导教师：陈敏 c l i f f o r da l g e b r aa n dm s b i u st r a n s f o r m a t i o n so nt h eh i l b e r ts p a c ea b s t r a c t a b s t r a c t i nt h ef i r s tp a r to ft h i sp a p e r ，w eg i v et h ed e f i n i t i o na n dp r o p e r i t e so fc l i f f o r da l g e b r ai n t h eh i l b e r ts p a c eh ，a n dt h ed e f i n i t i o no fc l i f f o r dm a t r i c e ，w h i c hg e n e r a t e ss e n s e - p r e s e r v i n g m s b i u st r a n s f o r m a t i o n si nh ；i nt h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h es u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o nw h i c hg u a r a n t e e st h ee x i s t e n c eo fam s b i u st r a n s f o r m a t i o nga c t i o n go n h t h eu n i q u e n e s so fgi sa l s od i s c u s s e d k e y w o r d s ：m s b i u st r a n s f o r m a t i o no nh ，c r o s s - r a t i o s ，c l i f f o r da l g e b r a ，h i l b e r t s p a c e ； i i w r i t t e n b y s u p e r v i s e db y w a n gs h u x i n p r o f c h e nm i n 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育 机构的学位证书而使用过的材料对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明本人承担本声明的法律责任 研究生签名：至堑! ! 生日期：趋! 孥：兰：! 尹 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合 作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文 被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布 ( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 研究生签名：至坦! 玺日期：) 丝z ：兰：坐 导师签名：f ! 逖日期：2 啦，1 希尔伯特空间中的c u 肋r d 代数及m s b i u s 变换 引言 引言 自1 9 世纪中期，德国数学家m s b i u s 首次引入平面m s b i u s 变换的概念至 今，人们对m s b i u s 变换和m s b i u s 群的研究已经有一百多年的历史，许多著名 的数学家在这方面做了大量的工作，比如l i o u v i u e 、a f b e a r d o n 、f w g e r h i n g 、 f c l e i n 、w p t h u r s t o n 等，使得它不仅成为一个美妙的理论，并且与r i e m a n n 曲面，t e i c h m f i l l e r 空间理论，双曲流形以及物理学中的超弦理论等紧密联系 在一起，充分体现了其实用价值直到今天，作为主流数学中的一个活跃分 支，m s b i u s 群理论的发展仍然具有蓬勃的生命力! 大家知道，在古典复变函数论中，m s b i u s 变换是一个形如 出) = 筹 的分式线性变换，其中a ，6 ，c ，d c ( c 表示复平面) ，且行列式的值v ( 9 ) = a d b c 0 显然，平移变换w = z + p ，卢c 、旋转变换 t o = e 循z ，p r ( r 表示实 数) 、相似变换 t o = r 0 以及倒数变换w = z - - 1 均属于分式线性变换的特 例反之，任一分式线性变换均可以用以上4 个基本变换的复合表示所有 的分式线性变换关于变换的复合构成群，我们把这个群记为m 每个g m ，由系数a ，b ，c ，d 组成的二阶矩阵 称做该分式线性变换的系数矩阵；当矩阵行列式的值满足： v ( g ) = a d b c = 1 时，我们把由所有这样的矩阵组成的乘积群记为s l ( 2 ，c ) 显然，两个上述分 式线性变换的复合运算相当于其系数矩阵的乘法运算另外，注意到矩阵 ( ：d 6 ) ，( 一- 。c 一- d b ) 在m 中对应于同一个m s b i u s 变换故m 同构于p s l ( 2 ，c ) = s l ( 2 ，c ) 仕n 其 希尔伯特空间中的c l i f f o r d 代数及m s b i u s 变换引言 中j 是2 2 的单位矩阵 在c 上，每个m s b i u s 变换都是对直线或对圆周的有限次反射的复合，类 似的，在r 竹中，产生了高维m s b i u s 变换的概念当然，对高维m s b i u s 变换 9 没有保向的要求在矿中定义以a 为球心，以，( 0 ) 为半径的球面s ( a ，r ) ： s ( a ，r ) = z 兄竹：l z 一口i = r ) 则关于球面s ( a ，r ) 的反演为： p 2 ( z ) = 口+ 舌可 一。) 在帚中定义z 与a 的内积( 记作( z 口) ) 为： ( z n ) = = l a l + = 2 a 2 + + z n ， 其中z = ( z l ，z 2 ，z 竹) ，a = ( 0 1 ，a 2 ，) 在帚中定义面p ( a ，t ) 为 p ( a ，t ) = x e r ：( z n ) = ) u o 。) ，口舻，a 0 ， 则关于面p ( o ，t ) 的反演为： 妒( z ) = z 一2 【( z o ) 一日o ，z r 住，口= 襄缸 记e 为帮中所有球面与面的集合，并且，称对中元素的反演的有限 次复合为n 维m s b i u s 变换，所有n 维m 6 b i u s 变换构成一般的m s b i u s 群，记 为g m ( 刃) g m ( 帮) 中所有保向的m s b i u s 变换也构成群，记为m ( 护) 早在1 8 8 2 年，著名数学家p o i n c a r _ l ! 1 】就发现：对于影中的任意m s b i u s 变 换，有一个自然的扩张事作用于君+ 1 ，即p o i n c a r 6 扩张这个发现不仅为人 们对高维m 6 b i u s 变换的研究提供了一条很好的方法，更重要的是他把双曲 流形与m s b i u s 群联系起来这是因为，对于矿中任意的m s b i u s 变换晚它的 扩张石作用于酽“时保持上半空间h n + l 不变在h n + l 中由 如 d s2 5 x n + l 2 希尔伯特空间中的c h 仃o r d 代数及m s b i u s 变换 引言 决定的度量称为双曲度量，记为p ，易知孑关于度量p 是等距的当m ( f f n ) 中 的子群g 满足一定条件时，h + i g 是一个双曲流形 1 9 4 0 年，f e n c h c l n i e l s e n 手稿面世，虽然这部手稿从未出版过，但是，它又 一次引起了人们对m s b i u s 群的研究热情，并且开创了近代m s b i u s 群的研究的 高峰期首先a h l f o r s 重新认识了t e i c h m i i l l e r 空间理论的价值，见a h l f o r s 2 1 9 6 8 年，数学家m o s t o w 3 】发表了论文，提出著名的的刚性定理，又称m o s t o w 刚 性定理，从而揭开了二维m s b i u s 群与高维m s b i u s 群的本质区别t e i c h m i i l l e r 曾认识到r i e m a n n 曲面上新的复结构可以通过对原来的复结构进行拟共性形 形变而得到；而m o s t o w 刚性定理则断言： 高维双曲流形上的双曲结构不存在类似于二维空间复结构的拟共性形形 变 与m s b i u s 变换理论密切相关的还有c l i f f o r d 代数人们早在十七世纪就 发现了c l i f f o r d 代数，而在1 9 0 2 年v a h l e n 就利用了c l i f f o r d 代数来表示高维 m 6 b i u s 变换，1 9 4 5 年m a s s 对其作了改进，但在当时似乎并未引起数学家的广 泛关注直到二十世纪八十年代，a h l f o r s 等发展了v a h l e n 提出的用c l i f f o r d 代 数表示高维m s b i u s 变换的理论，即佗维m s b i u s 变换可以表示成如下形式： 夕( z ) = ( o z + 6 ) ( 凹+ d ) 一1 这里，口，b ，c ，d 是满足某些条件的n 维c l i f f o r d 数a h l f o r s 在其中作了大量的工作，详见 4 - 6 用c l i f f o r d 代数来研究m s b i u s 群的方便之 处在于：首先由v a h l e n 定理知： 由c l i f f o r d 矩阵构成的群模4 - 1 与m 6 b i u s 群m ( 彭) 同构； 其中，j 表示帚中的单位矩阵 其次，高维m s b i u s 变换的c l i f f o r d 表达式与低维m s b i u s 变换的c l i f f o r d 表达 式在形式上具有一致性，即：把n 维m s b i u s 变换延拓到n + 1 维时，只需 将表达式9 ( x ) = ( a z + b ) ( c x + d ) 一1 中的。用 + + 1 e n + 1 ) 代替即可，此时， g ( x + z t l + 1 e i + 1 ) = 【口( z + z t l + 1 e 竹+ 1 ) + 6 】【c ( z + x n + l e n + 1 ) - - i - d 】一1 3 希尔伯特空间中的c l i 髓r d 代数及m s b i u s 变换 引言 由于c l i f f o r d 代数的这种独特优势，激起了人们极大的研究热情，从而， 再一次推动了高维m s b i u s 变换理论的发展，涌现了一大批研究成果，参考文 献【6 - 8 在上述思想的启发下，n u n z 毛【9 】首次提出了无穷维m s b i u s 变换的概念， 并且，对无穷维m s b i u s 变换的c l i f f o r d 矩阵表示进行了初步的讨论，得到了几 条基本的性质李浏兰在【1 0 】中给出了无穷维c l i f f o r d 代数的相关概念，讨论 了用无穷维c l i f f o r d 代数表示m s b i u s 变换的若干性质，关于这方面的研究还 存在大量的问题等待人们去探索本文的主要目的就是开展这方面的研究 我们知道，若点z ，z 2 ，z 3 是c 上三个不同的点，点w ，w 2 ，w 3 是c 上另外三 个不同的点，一个广为人知的事实是，在c 上存在唯一的m s b i u s 变换g ，把 钆z 2 ，z 3 分别变为伽l ，w 2 ，w 3 ，并且9 ( z ) = 加，名z ， w i ，i = 1 ，2 ，3 的充分必要 条件是等式( 钆z 3 ，z ) = ( 叫l ，叫2 ，w 3 ，伽) 成立，其中，( 钆z 2 ，z 3 ，z ) 和( 伽1 ，w 2 ，w 3 ，叫) 表示交比；一个自然的问题：在舻空间中，是否存在m 6 b i u s 变换g 把点 i = 1 ，2 ，n 分别映为点坝，i = 1 ，2 ，n ? 如果g 存在，在什么样的条件 下，g 是唯一的? 进而，在无穷维空间下是否也存在类似的结果? 本文就这 个问题进行了详细的讨论，我们的主要结果如下： 在可分的希尔伯特空间面中，假设协万：歹= 1 ，2 ，3 ，) ( 点互不相 同) 和 哟耳：j = 1 ，2 ，3 ，) ( 点嘶互不相同) 是耳上的两个点列 定理2 1 1 存在m s b i u s 变换g s l ( r ) ：夕( ) = w j ，j = 1 ，2 ，的充分必要条件是 有p e f 使得等式 p ( x l ，x 2 ，x 3 ，加一1 = ( 伽1 ，耽，w 3 ，嘶) ，j = 4 ，5 ，成立 进而我们讨论了g 的唯一性问题，并证明了： 定理2 2 3 如果m s b i u s 变换g 满足定理2 1 1 的条件，那么g 是唯一的当且仅当点集 4 希尔伯特空间中的c 1 i 舫r d 代数及m 6 b i u s 变换 引言 巧一h ，j = 1 ，2 ，) 确定唯一的无穷维球面s 上述结论把c 上的相关结果推广到可分的希尔伯特空间下，显而易见， 此结论在任意有限维空间下也是成立的 5 希尔伯特空间中的c l i 肋r d 代数及m s b i u s 变换第一章预备知识 第一章预备知识 1 1n 维c l i f f o r d 代数 n 维c l i f f o r d 代数a n 一1 是由基1 ，e 1 ，e 2 ，e n 一1 在实数域r 上生成的结合代 数，并且满足： e i 2 = - 1 ，e i e j = 一勺岛( t 歹) ，t ，j = l ，2 ，n 一1 对任意a a n - 1 存在唯一的表达式： a = a o + o w 日， 这里， a o ，r ，岛= e t ，1 2 e w p ，0 秽1 7 3 2 铷礼一1 ，a 0 被称为。的实 部，记作m ( n ) ；相应地，e a s e 被称为a 的虚部，记作i r a ( a ) 在a ，中定义下列运算： ( 1 ) 口的模：i 口i = ( 0 0 2 + o ：) ； ( 2 ) “”运算：口= a o + 0 t ，或，其中：或= ( 一e 1 ) ( 一e t ，2 ) ( 一e t ，p ) = ( 一1 ) p 鼠； ( 3 ) “，运算：口= a o + e ，其中，e 表示把鼠中所有的因子变换顺 序，即： e ：e t ，p 唧- 1 e t ，2 e j 1 ：( 一1 ) 掣日； ( 4 ) “一”运算：西= ( o ) 7 = ( n 7 ) 由以上定义有： ( 0 6 ) + = b * a + ；( 0 6 ) 7 = a b ；k 6 ) = - - a 件一，中所有形如z = x o + z 。e 1 + + z 住一，一，的元素被称为向量，所有形如 z 的向量组成的向量空间记作矽非零向量z 的逆表示为：x - 1 = 峦蚓- 2 厶一- 中由所有的能表示成非零向量有限乘积的元素构成一个群，我们称为佗维 c l i f f o r d 群，记作r n 对于向量z ，有矿= z ，虿= z ；x x = 孤= 郎，i x u l = l x l l y l 同 样的，对于n r n 有：i 。1 2 = a a = 勋，i - b l = l a i n ，( 口6 ) 一1 = b - a o 一1 但对于任意的 a a n ，等式i a l 2 = a a = 一a a ，i a b l = i a t l b i 却不一定成立： 6 希尔伯特空间中的c l i f f o r d 代数及m 6 b i u s 变换第一章预备知识 c l i f f o r d 代数具有如下性质：若o ，b 厶- 1 那么 ( i ) a l b l = m ( 0 6 ) = 冗e ( 瓦6 ) ； ( i i ) l a l 2 = 觑( 丽) = m ( 孤) ； ( i i i ) 若口r 。或b e f n ，l a b l = i 口i 陋i 以上性质由w a t e r m a n 给出 一个礼维c 矩阵是形如a = ( 三三) 且满足下列条件的矩阵： ( 1 ) a ，b ，c ，d e f 。u o ) ； ( 2 ) v ( a ) = a d * 一b c + = l ； ( 3 ) a c 一1 ，c 一1 d r n ，若c 0 ， ( 3 ) d b 一1 ，b l a e r n ，若b 0 注意：上述条件中如果b c 0 ，那么条件( 3 ) 与 ( 3 ) 等价令 a 一。：r 矿一6 、 _ c 0 显然a 一1 是a 的逆元，由简单的计算可知：所有n 维c l i f f o r d 矩阵在矩阵 乘积下构成一个群，记为s l ( 2 ，f n ) ，并记p s l ( 2 ，f n ) = s l ( 2 ，f n ) 仕j ) 对任意的 夕：f 口61 s l ( 2 ，r n ，定义夕的迹为打( 9 ) ：n + 矿对任意的z 幽2 ，叫而，我们 c d 定义z ，y ，名，叫的交比 ，y ，z ，叫) = 一t t j ) 仁一耖) 一1 p 一! ，) ( z 一协) 一1 和绝对值交比 渖，y ，z ，叫】= i z 一切i l z y l 一1 i z 一影i i z 一伽i 一1 在复平面下，m s b i u s 变换保交比；而对高维情形，c a o ，w a t e r m a n 等讨论了交 比，证明了交比的实部具有共轭不变性 7 希尔伯特空间中的c l i 肋r d 代数及m s b i u s 变换第一章预备知识 5 1 2 无穷维c l i f f o r d 代数及矩阵 无穷维c l i f f o r d 代数是由可数基慨) 是，在实数域r 上生成的结合代 数且满足： e h e k = - - e k e h ( 九七) ，e = - 1 ，v h ，七1 于是，z 中的每个元素都能唯一地表示成a = e a j j 的形式，其中j = e v l e v 2 e v p ，l _ v l v 2 v p 1 ，不妨假设该子空间的余维数是2 ，我们把向 量喇，诵，生成的子空间记为p 1 ，p 1 的正交补空间记为忍，即耳= p lo 最 希尔伯特空间中的c l i f f o r d 代数及m s b i u s 变换第二章主要结果及证明 在易中取两个不共线的点z ，y ，川= l y l = 1 ，由定理1 2 2 知，存在p f ， 使得肛= 1 ，p 卵1 = n ，口h 成立，记9 z ( z ) = 肚- - 1z h ，显然，9 1 是 m s b i u s 变换我们把向量t 五张成的平面记作马，在玛中选取向量一使得 ( 6 1 ) = 0 ，i b l = 1 记p = 1 + e l b ，显然p r ，取9 2 ( z ) = 肛p 1 ，z h ，经过 简单计算，我们有卯( 1 ) = l ，9 2 ( 6 ) = e ，我们把向量r ，司张成的平面记作只， 令，7 = c o s $ 十s i n o e l ，0 r ，取m s b i u s 变换9 3 ，使得夕3 ( z ) = ，7 z 叩”1 当z 只时， 夕3 ( z ) = 评( c o s c r + s i na e l ) ，口r 也在面只中，有9 3 ( p 4 ) = 只，而当z 在只的正交 补空间时，9 3 ( 名) = z 显然9 3 不唯一记9 = g i - 1 0 9 ；1 0 9 3 0 9 2 0 9 1 ，则9 ( z ) = 名，v z 1 1 令，- ：f o g ，显然这与，的唯一性假设矛盾 口 2 1 希尔伯特空间中的c l i 肋r d 代数及m s b i u s 变换结论 结论 本文研究了在可分的希尔伯特空间百下，m s b i u s 变换的存在及唯一性 问题，现对本文所得结论做一回顾 本文主要结果： 奶耳，歹= 1 ，2 ，) 与 耳：j = 1 ，2 ，) 是耳中两个点集 ( 一) 存在m s b i u s 变换g s l ( r ) ：9 ( ) = w j ，j = l ，2 ，仇的充分必要条 件是，在r 中可以找到p ，使得等式 p ( x a ，x 2 ，船，即加q = ( t u l ，w 2 ，w 3 ，吻) ，j = 4 ，5 ，m 成立 ( 二) 如果m s b i u s 变换夕满足结论( 一) 的条件，那么g 是唯一的当且 仅当点集 q 万，j = l ，2 ，) 确定唯一的无穷维球面s 希尔伯特空间中的c l i f f o r d 代数及m s b i u s 变换参考文献 参考文献 【1 p o i n c a r d ：t h e o r i ed e sg r o u p sf u c h s i e n s a c t am a t h ，( 1 8 8 2 ) ，( 1 ) 1 6 2 【2 】2a h l f o r s