（基础数学专业论文）算子代数上jordan导子的稳定性以及极大n幂零理想.pdf

摘要 函数方程的稳定性问题以及算子代数的理想近年来一直被广泛关注1 9 4 0 年u l a m 首次提出了关于群同态的稳定性问题，即在什么条件下存在一个可加 映射逼近一个已知的近似可加映射此后，这一结果有了大量的推广形式，统 称为h y e r s - u l a m - r a s s i a s 稳定性j o r d a n 导子为b a n a c h 代数中的一类重要 映射，这类映射的广义h y e r s - u l a m - r a s s i a s 稳定性也值得我们考虑设a ，b 为b a n a c h 代数，线性映射l ：a _ b 为j o r d a n 导子，本文的第一部分的主 要目标足结合广义j e n s e n 等式，( + v ) k ) = ( f ( x ) + ，( 秽) ) g 证明赋范代 数到b a n a c h 代数上的j o r d a n 导子具有广义h y e r s - u l a m - r a s s i a s 稳定性 套代数是一类重要的非自伴算子代数，具有非常丰富的理想结构，因此成 为了人们研究的焦点之一事实上，很多作者已经研究过套代数的理想在对 套代数理想的研究成果中，最重要的也最早的是j a c o b s o n 根理想r i n g r o s e 在他的基础性文献“o ns o m ea l g e b r a so fo p e r a t o r s ”中对j a c o b s o n 根理想进 行了完美的刻画而在一般代数理论中，对伽幂零理想的研究也是一个重要 课题，因此，套代数的m 幂零理想也值得研究本文的第二部分研究了因子中 套代数的极大的伽幂零理想，利用v n 代数中投影的比较理论。获得了因子中 套代数的一个理想是极大的m 幂零理想的一个充要条件，该结果推广了陆芳 言等人的一些结果 关键词：h y e r s u l a m - r a s s i a s 稳定性；j o r d a n 导子；因子；套代数； 伽 幂零理想 a b s t r a c t r e c e n t l y , m a n yp e o p l eh a v ei n v e s t i g a t e dt h es t a b i l i t yp r o b l e mo ff u n c t i o n a l e q u a t i o n sa n di d e a l so fo p e r a t o ra l g e b r a sv a s t l y i n1 9 4 0 ，u l a mp o s e dt h ef i r s t s t a b i l i t yp r o b l e mc o n c e r n i n gt h es t a b i l i t yo fg r o u ph o m o m o r p h i s m u n d e rw h a t c o n d i t i o n st h e r ee x i s t sa d d i t i v em a p p i n gn e a ra na p p r o x i m a t e l ya d d i t i v em a p - p i n g ? a f t e rt h a t ，t h i sr e s u l tw a sg e n e r a l i z e db yan u m b e ro fm a t h e m a t i c i a n s a n da l lo ft h e s er e s u l t sa r ek n o w nt o d a ya sh y e r s - u l a m - r a s s i a ss t a b i l i t yo f f u n c t i o n a le q u a t i o n s j o r d a nd e r i v a t i o ni sat y p eo fi m p o r t a n tm a pi nb a n a c h a l g e b r a s s ot h eg e n e r a l i z e dh y e r s r u l a m - r a s s i a ss t a b i l i t yo fj o r d a nd e r i v a t i o n s i sv a l u a b l et ob ec o n s i d e r e d a s s u m et h a taa n db a r eb a n a c ha l g e b r a sa n d t h el i n e a rm a p p i n g 三：a - bi saj o r d a nd e r i v a t i o n t h ef i r s tp a r to ft h i s p a p e ra i m st op r o v et h eg e n e r a f i z e dh y e r s - u l a m - r a s s i a ss t a b i l i t yo fj o r d a n d e r i v a t i o n sf o r man o r m e da l g e b r ao n t oab a n a c ha l g e b r ab ya s s o c i a t e dt oa g e n e r a l i z e dj e n s e n se q u a t i o n ，( + y ) k ) = ( f ( x ) + ，( y ) ) g n e s ta l g e b r a s ，a sak i n do fi m p o r t a n tn o n - s d f - a d j o i n to p e r a t o ra l g e b r a ， h a v eav e r yr i c hi d e a ls t r u c t u r ea n dt h a tt h i ss h o u l db eaf o c u so fi n t e r e s t i n f a c t ，m a n ya u t h o r sh a v es t u d i e dt h ei d e a l so fn e s ta l g e b r a s t h em o s ti m p o r t a n t a n df i r s ts t u d i e di d e a lo fn e s ta l g e b r a si sj a c o b o s o nr a d i c a l i nh i sf o u n d a t i o n a l p a p e r “o ns o m ea l g e b r a so fo p e r a t o r s ”，r i n g r o s eg a v ea ne l e g a n tc h a r a c t e r i z a t i o n i ng e n e r a la l g e b r at h e o r y , t h er e s e a r c ho fn - n i l p o t e n ti d e a li sa n i m p o r t a n tp r o j e c tt o o s ot h en - n i l p o t e n ti d e a lo fn e s ta l g e b r a si sv a l u a b l et o b ec o n s i d e r e dt o o t h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e ri n v e s t i g a t e st h em a x i m a l 礼一 n i l p o t e n ti d e a lo fn e s ta l g e b r ai naf a c t o r u s i n gt h et h e o r yo ft h ec o m p a r i s o no f p r o j e c t i o n si nav na l g e b r a ，an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nt h a ta ni d e a lo f n e s ta l g e b r ai naf a c t o ri sm a x i m a ln - n i l p o t e n ti sg i v e n t h i sr e s u l tg e n e r a l i z e s t h er e s u l td u et ol uf a n g y a n k e yw o r d s ：h y e r s - u l a m - r a s s i a ss t a b i l i t y ；j o r d a nd e r i v a t i o n s ；f a c - t o r s ；n e s ta l g e b r a s ；r t ，n i l p o t e n ti d e a l s u 学位论文独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文系本人在导师指导下独立完成的研究成果 文中依法引用他人的成果，均已做出明确标注或得到许可论文内容未包含法 律意义上已属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申 请的论文或成果 本人如违反上述声明，愿意承担由此引发的一切责任和后果 论文作者签名t 烈人证红 日期：芦彳年 r 月3 日 学位论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的学位论文及相关的职务作品，知识产权归属学 校学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利 本人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署 名单位仍然为青岛大学 本学位论文属于。 保密口，苟年解密后适用于本声明 不保密彤 ( 请在以上方框内打 ) 论文作者签名，彩孳z 钍 日期， 坤年 s 月 37日 导师签名： 彳乙参薯扣日期：加1 年 s 月 孑 日 ( 本声明的版权归青岛大学所有，未经许可，任何单位及个人不得擅自使用) 引言 引言 在二十世纪三十年代到四十年代初期间，v o i ln e u m a n n 和他的合作者m u r - r a y 对算子理论做了大量研究，为算子代数这一新的领域奠定了基础此后，很 多数学家致力于这方面的研究，涌现出大量的文献成果确切地说，算子代数 是指h i l b e r t 空间上的有界线性算子构成的结合代数，如自伴性代数中的 代数、v o l ln e u m a n n 代数以及一些非自伴性代数如t u h f 代数，n e s t 代数、 j s l 代数等关于这些算子代数的结构的研究具有非常重要的意义。因此一直 是人们非常感兴趣的课题，从有限维到无限维、从自伴到非自伴等等围绕这 一课题，人们取得了许多非常重要的成果 关于稳定性问题的研究始于1 9 4 0 年，s m u l a m 在文献【1 】中讨论了关于 群同态的稳定性问题；设g 1 为群，g 2 为带有度量d ( ，) 的度量群，任给 0 ， 是否存在j 0 使得下面结论成立，即如果泛函h ：g l g 2 满足对所有z ， y g l 都有不等式d ( h ( x y ) ，危( z ) ( 可) ) 艿成立，则存在同态h ：g 1 一g 2 满 足对所有z g 1 ，d ( ) ，日( z ) ) 成立? 如果回答是肯定的，我们称同态方 程h ( x y ) = h ( x ) h ( y ) 是稳定的函数方程稳定性的概念是在我们通过原函数 方程的一个扰动不等式将原函数替换时提出的 1 9 4 1 年，d h h y e r s 【2 】2 在假设g l 和g 2 为b a n a c h 空间的前提下考虑了 逼近可加映射，：g l _ g 2 的稳定性若，满足对所有的x ，y g 1 ，h y e r s 不等式 i i ( x + y ) 一( x ) 一( u ) l l 成立，证明了对所有z g 1 ，极限 ，o n m 、 三( z ) = l i m 丛兰二三 n - z 存在，并且l ：g t _ g 2 是唯一满足i i f ( x ) 一l ( x ) l i 的可加映射 1 9 7 8 年，t h m r a s s i a s 3 】将h y e r s 定理推广到如下形式； 设e l 和岛为实的赋范空间，且局完备，映射，：e 1 _ 岛满足对任 意固定的z e 1 ，映射r f - a ：th ，( 亡o ) 连续，并且存在e 0 ，以及 青岛大学硕士学位论文 p 【0 ，1 ) 使得对所有的z ，y e 1 有 l i ，( z + y ) 一( x ) 一( u ) l i s ( 1 l x l l p + i 阿0 p ) ， 则存在唯一的线性映射t ：髓_ 岛使得对任给的z e 1 。有 ) f i i ( x ) 一t ( x ) j i 西萄p 这结果后来又有大量的推广形式，统称为函数方程的h y e r s - u l a m - r a s s i a s 稳定性其中，在1 9 9 4 年，g s v r u t a 4 将r a s s i a s 得到的结果中的界s ( 1 l x l l p + 盼换成一般的控制函数妒( 。，可) 这几年关于函数方程稳定性的问题有大量 的文献，如 5 ，6 ，7 ，8 】及其中文献 关于j e n s e n 等式2 ( ( x + u ) 2 ) = f i x ) + f ( v ) 的稳定性的首个结果是由 k o m i n e k 9 给出的另外，m i u r a ，h i r a s a w a ，t a k a h a s i 1 0 ，m o s l e h i a n 1 1 ，和 a m y a r i ，r a h b a r n i a ，s a d e g h i 1 2 1 考虑了导子和广义导子的各种稳定性问题 我们知道，j o r d a n 导子为b a n a c h 代数中的一类重要映射，因此j o r d a n 导 子的稳定性问题也值得我们研究设a ，b 为b a n a c h 代数，线性映射l ：a _ b 称为j o r d a n 导子是指对任给的z ，y a ，有 l ( a b + b a ) = l ( a ) b + a l ( b ) + l ( b ) a + b l ( a ) 本文的第一部分我们建立相应于广义j e n s e n 等式 ，r x + y 1 - 丝! 丝2 。、k k 的j o r d a n 导子的广义h y e r s - u l a m - r a 船i a s 稳定性，其中k 为大于1 的整数 二十世纪六十年代，r v k a d i s o n 和i m s i n g e r 发表的。t r i a n g u l a ro p e r - a t o ra l g e b r a s 。，以及j r r i n g t o s e 发表的。o ns o m ea l g e b r a so fo p e r a t o r si ， i i ”开创了非自伴算子代数的研究相对于自伴算子代数，非自伴算子代数更 年轻，数学现象更丰富，方法也更多样，并且与其他数学分支也有各种紧密的联 系，因此很快成为了算子代数的一个重要分支，吸引了大批数学家投身其中。套 代数是一类重要的非自伴算子代数，k r d a v i d s o n 的专著。n e s ta l g e b r a s ” ( 1 9 8 8 年) 系统的总结了前2 0 年的研究成果，提出了许多新的问题，极大的 推动了套代数，进而也推动了非自伴算子代数的研究 2 引言 套代数具有丰富的理想结构，因此套代数的理想成为人们研究的焦点在 对套代数理想的研究成果中，最重要的也最早的足r i n g r o s e 在他的基础性文 献 1 3 】中对j a c o b s o n 根理想局、r 进行的完美刻画随后，d r l a r s o n 在研究 套代数的相似性问题中引进了l a r s o n 理想r y ，l a r s o n 理想足根理想的自然推 广，因此也称为强根理想另外，人们还研究了左理想j n 、幂零理想等 在一般代数理论中，伽幂零理想的研究也是一个重要课题，如陆芳言在 文献 1 4 】中研究了h i l b e r t 空间上的套代数的极大伽幂零理想的形式本文的 第二部分用套的左连续的序同态刻画了套代数中一般的弱算子拓扑闭的伽幂 零理想和极大的伽幂零l i e 理想，主要结果是定理2 2 1 和定理2 2 2 ，给出了 一般因子中套代数的极大伽幂零理想的结构但由于一般的因子中的套代数 与h i l b e r t 空间上的套代数有着许多本质的区别，如一般的因子中的套代数中 未必有一秩算子，而一秩算子是研究关于h i l b e r t 空间上的套代数的许多结果 的工具，从而本文中的结果难以用h i l b e r t 空间上的套代数的相关结果和方法 平凡推广得到 3 青岛大学硕士学位论文 第一章j o r d a n 导子的稳定性 j o r d a n 导子为b a n a c h 代数中的一类重要映射自s m u l a m 提出u l a m 问题以来，函数方程的h y e r s - u l a m - r a s s i a s 稳定性受到了人们的重视从而， 关于j o r d a n 导子的稳定性问题也值得我们研究首先介绍一下近几年人们对 于稳定性问题的研究成果 1 1 相关稳定性问题的研究 2 0 0 5 年，t a k e s h im i u r a 等人研究了b a n a c h 代数上j o r d a n 同态的h y e r s - u l a m - r a s s i a s 稳定性 设a ，b 为两个b a n a c h 空间，映射7 - ：a _ 召为j o r d a n 同态是指7 _ 满足 r ( a + 6 ) = 丁( n ) + t ( b ) ( a ，b a ) ， r ( a 2 ) = 7 ( n ) 2 ( a a ) 如果丁还满足可乘性，即 r ( a b ) = r ( 口) 7 ( 6 ) ( a ，b a ) ， 则称下为环同态 定理1 1 1 【1 5 】设a 和b 为b a n a c h 代数，若映射，：a b 满足，存在 某个6 0 和p 0 ，p 1 ，使得 i i ，( 口+ b ) 一f ( a ) 一，( 6 ) 0 5 ( 1 l a l l p4 - 1 1 6 i i p ) ( a ，b a ) ， i i f ( a 2 ) 一，( 口) 20 6 i | 0 0 2 p ( a ，b a ) ， 成立，则存在唯一的j o r d a n 同态f ：a _ b 使得 i i ( 口) 叫口川尚p 4 第一章j o r d a n 导子的稳定性 当p 0 时，在添加条件f ( o ) = 0 的条件下，仍然可以得到类似的结果 2 0 0 7 年，m a m y a r i 等人对广义导子的稳定性做出研究，并得到了肯定的 结果 代数a 上的导子足指a 上的线性映射j ：a _ a 满足对任给的a ，b a 6 ( n 6 ) = 5 ( a ) b + a 6 ( b ) 若存在导子r ：a a 使得对任意的a ，b a 有 5 ( a b ) = 5 ( a ) b + 7 - ( 6 ) ， 则称6 是广义导子，丁称为相关的导子 定理1 1 2 【1 2 】设a 为含有单位元1 的b a n a c h 代数，映射f ：a _ 4 满足f ( 0 ) = 0 ，且存在函数妒：a a a a _ 【0 ，( 3 0 ) 使得对所有的 入= 入c ：= 1 ) ，以及所有的a ，b ，c ，d a 有 l i m 妒( j p a ，k n b ，k n c ，k n d ) = 0 ， 9 ( o ) ：= k 叫1 妒( k n o ，0 ，0 ，o ) 。， 盯( a a + 广a b + 以) 一下a f ( a ) 一掣一c ，( d ) 一，( c ) d + c ，( 1 ) d 妒( o ，b ，c ，d ) 则存在唯一的广义导子j ：a _ a 使得，对任意a a 有 i i f ( a ) 一6 ( 口) 0 9 ( o ) 5 青岛大学硕士学位论文 1 2 主要结果及其证明 本文受第一节文献中的定理及其证明方法的启发，结合广义j e n s e n 等式 证明了赋范代数到b a n a c h 代数上的j o r d a n 导子具有h y e r s - u l a m - r a s s i a s 稳 定性 定理1 2 1 设a 为赋范代数，b 为b a n a c h 代数，映射，：a b 满足，( 0 ) = 0 ，且存在函数妒：a a a a _ 0 ，+ o 。) 使得对所有的 a t = a c ：= 1 】，以及所有的a ，b ，c ，d a 有 l i mk 呻妒( j p o ，k n b ，k n c ，k n d ) = 0 ， 9 ( o ) ：= k - - n + l 妒( k n g ，0 ，0 ，o ) m 0 以及a a 都有 j l 掣一簪妻。舻姒印a , 0 , 0 , 0 ， 3 ， 从而对任给的口序列 掣) 为c a u c h y 歹! j 由于b 为b a n a c h 代 砸) ：= u m 掣( 。ea ) n - - o o ， ” 6 第一章j o r d a n 导子的稳定性 令c = d = 0 ，分别用k n a ，k n b 代替( 1 1 ) 中的a ，b ，得到 lk - n ( k n 半) 一扣胁，一安胪肛瑚i i k 哪v ( k 竹a ，k n b ，0 ，0 ) ， 令n o o ，两边取极限得到 三a a k , k b ) = 安三( 。) + 安l ( b ) 其中a ，b a ，入t 再令b = 0 ，入= 1 得 l ( 昙) = 去l ( 口) ( a ea ) ， 从而有 卅删= k 三( 半) 叫m 油) ( a , b ea ) ， 因此l 为可加的 另外，在( 1 5 ) 式中令b = 0 ，a = i 可得l ( i a ) = i l ( a ) 令7 = p l + t 如c ，其中口1 ，0 2 r ，以及 ，y 1 = 9 1 一p 1 】，7 2 = 6 2 一阮】， ( 1 4 ) ( 1 5 ) 其中【r 】为小于等于r 的最大整数，那么0 依 1 ( i = 1 ，2 ) ，由【1 6 】的注释 2 2 2 我们可以将他表示为m = 垒学，其中九j t ( i i ，j 2 ) 因 为l 满足( 1 4 ) ，可得对任给的。a 有 l ( t x ) = l ( o l x ) + l ( i 口2 x ) = 0 1 l ( x ) + l ( l x ) + i ( 0 2 l ( x ) + l ( 能茁) ) = ( p 。】l ( z ) + 互1l ( 入，z + 入- ，。z ) ) + t ( p 。】l ( z ) + 互1l ( a z ，- z 十a 。，。z ) ) = ( 【纠m ) 十竽砸) + 等硷) ) + i ( 【如以z ) + 等砸) + 等砸) ) = 口i l ( x ) + i 护2 l ( x ) = ，y l ( z ) ， 7 青岛大学硕士学位论文 从而l 为c 一线性的 在( 1 3 ) 式中，令m = 0 则有 忪卜掣i l 薹胛a , o , o , o ， 令乳- 0 0 ，两边取极限得到，对任给的a a 有 l i f ( a ) 一l ( a ) l l 9 ( a )( a a ) 在文献【1 7 】中已经证明了，满足( 1 2 ) 的可加映射是唯一的，下面证明l 为j o r d a n 导子 在( 1 1 ) 式中，令入= 1 ，a = 6 = 0 ，并用k n c ，k n d 分别代替c ，d 可 得 1 1 ，( k 2 n ( c d + d e ) ) 一k c ，( k ”d ) 一f ( k 竹c ) k n d k d f ( k 竹c ) 一f ( k n d ) k “c | 妒( o ，0 ，k ”c ，k m d ) ， 从而有 0 k 一孙，( 舻n ( c d + d e ) ) - c ( k n f ( k n d ) ) 一( k n f ( k n c ) ) d d ( k 哪，( k n c ) ) 一( k 娟f ( k d ) ) c l | k 一2 竹妒( o ，0 ，k n c ，j p d ) 令霸一。两边取极限得 l ( c d + d c ) = c l ( d ) + l ( c ) d + d l ( c ) + l ( d ) c ( c ，d a ) 证毕 推论1 2 2 设映射，：a _ b 满足( o ) = 0 ，且存在常数卢0 以及 一p l ，p 2 , p 3 ，p 4 ( 一o o ，1 ) 使得 l l ，( 半+ 以+ 刁一掣一掣刊h 朋h c 圳c ，9 p ( i l 口i i m + i | 6 | | p 2 + i l c i | 阳+ i l d | i p 4 ) 8 第一章j o r d a n 导子的稳定性 其中入t ，a ，b ，c ，d a ，则存在唯一的j o r d a n 导子l ：a _ b 使得对任 给的a a 有 l l f ( 旷砸) 1 1 矧磐 证明令妒( a ，b ，c ，d ) = p ( | i o 俨+ | 1 6 | i p 2 + i p 3 + i i d l l p ) ，注意当p i 0 时，假设1 1 0 1 1 p = o o ，由定理1 2 1 可得该结论成立 定理1 2 3 设a 为赋范代数，b 为b a n a c h 代数，映射，：a _ b 满足 f ( o ) = 0 ，且存在函数q o ：a a a a _ 0 ，+ 。) 使得对所有的a ，b ，c ，d a 以及入= 1 ，i ，都有 l i mk n 妒( k a ，k b ，k 哪c ，k 哪d ) = 0 ， 9 ( q ) ：= + 1 v ( k 吨n ，0 ，0 ，0 ) m 0 ，a a 有 i l k n f ( k 呻d ) 一k m f ( k - m a ) i + 1 妒( k - j a , 0 ，0 ，o ) ( 1 7 ) j = r n 从而，对每个a a ，序列 k 竹f ( k 咄o ) ) 为b 中的c a u c h y 列，又由于b 完 备，从而该c a u c h y 列收敛令 5 ( 0 ) ：= l i mk “f ( k 咄a )( a a ) 在( 1 6 ) 式中令a = 1 ，c = d = 0 ，并用k 哪n ，k 咄b 分别代替a ，b ，则 有 h ( 鼍掣) 一矿1f ( k 飞，一去硎州l | 9 青岛大学硕士学位论文 k 札妒( k a ，k b ，0 ，0 ) 令n _ o o 两边取极限得 l ( 等) = 警+ 掣( a , b ea ) ， 从而l 为可加映射由定理1 2 1 以及类似于文献【3 】中主要定理的证明过程， 映射l 为r 一线性的 再设b = c = d = 0 ，a = i 由( 1 6 ) 得 | l ，( 筹) 一t i s ( a ) 伽0 ，。) ( a ea ) 从而对任给的礼n ，a a 有 f p + 1 ，( k m + 1 ) i a ) 一i k n s ( k 竹n ) l l k “+ 1 妒( k n 口，0 ，0 ，o ) 由于 l i mk 呻妒( k a ，0 ，0 ，0 ) = 0 ， 住 从而上式中令礼。两边取极限可得 l ( i a ) 一i l ( a ) l i = 0 ， 故l ( i a ) = i l ( a ) 从而任给入= r l + i r 2 c ，其中7 l ，r 2 r ， 工( a o )l ( r l a + i r 2 a ) = r l l ( a ) + r 2 l ( i a ) r l l ( a ) + i r 2 l ( a ) = 入l ( n ) 因此l 为c 一线性的 在( 1 7 ) 中令m = 0 ，得 n i k 礼s ( k t i 口) 一m ) l l 印+ 1 妒( 一口，0 ，0 ，o ) 1 - - - o 令礼一o 。两边取极限可得 i ( a ) 一l ( a ) l l 9 ( n ) 第一章j o r d a n 导子的稳定性 类似于定理1 2 1 中的证明过程可证l 为j o r d a n 导子证毕 推论1 2 4 对于映射，：a _ b 存在常数p 0 以及p l ，p 2 ，p 3 ，p 4 ( 1 ，+ o 。) 使得对任给的a ，以及a ，b ，c ，d a 有 l l ，( 半+ c ) 一半一掣刊h 朋h c 圳c ，l i p ( 0 口l i p l + l j 6 i p 2 + i i c l l p 3 + i i d l l p ) 则存在唯一的j o r d a n 导子l ：a _ b 使得对任给的a a 有 i i f ( n m ( 0 ) 憾篙烘， 证明令定理( 1 2 3 ) 中的妒( o ，b ，c ，d ) = p ( 恻i p ，+ i 船+ i f c l l + i i d t l p 4 ) 即可得证 青岛大学硕士学位论文 第二章因子中套代数的极大m 幂零理想 理想在套代数的研究中起着十分重要的作用，因此对于套代数理想的研究 一直是备受关注的问题，已经取得了很多有价值的研究成果，在此基础上，本 章给出了一般因子中套代数的极大m 幂零理想的结构 2 1相关概念和结果 定义2 1 1 设a 是复数域c 上的代数，为a 的子空间，若满足对任 给的a a ，b i ，都有0 6 ，b a i ，则称j 为a 的理想如果存在自然数礼使 得j 中任意佗个元素的乘积为零，但存在礼一1 个元素的乘积不为零，则称j 为a 的m 幂零理想a 中的一个礼一幂零理想，称为极大的是指，不真包 含于a 的任意竹一幂零理想中 设日是复数域c 上的h i l b e r t 空闯，b ( h ) 表示日上有界算子的全体构 成的代数 定义2 1 2b ( h ) 中强算子拓扑闭的：c 一子代数称为日上的v o l ln e u m a n n 代数 定义2 1 3h i l b e r t 空间日上的因子足指， 日上的v o i in e u m a n n 代数 m 满足mnm 7 = c 1 ，其中1 表示日上的恒等算子，m 7 是指m 中元素换 位子的全体 下设m 为作用于h i l b e r t 空间日上的因子 定义2 1 4m 中的一个套是指m 中的投影的一个链，包含0 和1 ， 并且在强算子拓扑下是闭的相应于套的套代数a i g m n 指m 的弱算子拓 扑闭的子代数 _ 【o m ：a p p ，坳) 记a i g n = a l g b ( h ) n ，显然a i g m n = a l g n n m 定义2 1 5 任给p ，q n ，且p p ) ，p 一= v q n ：g p ) ， 1 2 第二章因子中套代数的极大伽幂零理想 若e 。aq = 1 ，称为原子套 显然，若p p 一或者p p + ，则p p 一或者p + 一p 为的原子，且 中每个原子都具有这种形式关于套代数的系统内容可参见文献【1 8 ，1 9 】 设日是h i l b e r t 空间，是日上的投影套，a l g n 是相应于套的套 代数，蜀、r 是j a c o b s o n 根，a 是a l g n 的个大子代数 陆芳言在文献【1 4 】中证明了a l g n 的极大的伽幂零理想的形式 定理2 1 6 f 1 4 】设a 为套代数a l g n 的大子代数，p = 0 = p o p x 肌一l p n = 1 ) 是套的有限子套则an 鼢是a 中的极大m 幂零 理想 定理2 1 7 1 1 4 1 设a 为套代数a l g n 的大子代数，j 是a 的极大m 幂零 理想则存在的有限子套p = o = p o p l 一1 p n = 1 ) 使得 i = anr n 1 3 青岛大学硕士学位论文 2 2 因子中套代数的极大伽幂零理想 本节中设日为h i l b e r t 空l 司，朋是丑上的因子，是朋中的投影套， a i g m ( n ) 是相应的因子中的套代数 设p = o = p o p l p n 一1 p n = 1 ) 是套的有限子套，记 r 罗= p 1 朋 + + 一l 昧1 ，r p = 群日) 由于j 嗲r p ，所以上嗲中任意礼个元素的乘积为零下面我们证明r 箩 是a i g m n 中极大的伽幂零理想为此需要v n 代数中投影比较的一个结果 设p ，q 是v n 代数m 中的两个投影，如果m 中存在部分等距v 使得 v v 。= p ，v * v q ，则记p 墨q 后面我们常用到下面结果( 参见文献【2 0 ，定理 1 5 4 】) 引理2 2 1p ，q 是因子m 中的任意两个投影则要么p q ，要么q 墨p 从而存在非零部分等距u m 使得伽+ p ，v * v q 定理2 2 2 设p = 0 = p o p x p n 一1 p n = 1 ) 是套的有限 子套则j 谬是a l g m n 的极大的伽幂零理想 证明先证r 箩中存在n 一1 个元素的乘积不为零记q i = p i p i 一1 ( 1 i n ) 对于9 1 和q 2 应用引理2 2 1 ，存在非零部分等距口i u m 使得 口i 1 ) 可i 1 ) = g i l q l ，口i 1 口1 1 = 毋9 2 对于鑫1 和q a 应用引理2 2 1 ，存在非零部分等距毋) m 使得 谬毋卜= g i 2 建，口乎+ 谬) = q 3 2 口3 记口i 2 ) = i 1 9 5 2 ) 显然口p 口 2 ) = 毋 乒卜 假设已经得到i ( 1 i n 一2 ) 个非零部分等距口扎谚，戎) m 满 足 以。0 d = q j 曲劬，+ 。= 毋。吼+ l ， 正d 0 。= 衅。西篓( 1 j i 一1 ) 1 4 第二章因子中套代数的极大伽幂零理想 = = = = = ：= = = = = = = ：= = 篇= = = = 皇；= = = = = = = 篁高；= = ；= = = = = ；= = = = = 筝= 对于出1 和吼+ 2 应用引理2 2 1 ，存在非零部分等距垅1 m 使得 用反向归纳定义 龆1 龆1 = 鼎1 u 嚣1 ) + 龆1 = 端1 g t + 2 口5 件l = 毋龆， 显然现q ( i + l 毋对于l 歹i ，定义 矿d = v ( i ) a i + 。l ， 显然孝+ 1 秽，并且 满足 谚+ 1 矿1 ) + = 9 5 ， 矿1 矿1 。= 矿， 矿小谬+ 1 = 材巧7 j j i + + 。l 卜 经过钆一1 步可得m 中n 一1 个非零部分等距口n - 1 ) , 毋一，o 一( n - ， 母_ 1 妒_ 1 卜 妒_ 1 卜妒- 1 u n 忙_ 1 1 ) + 既1 西”一1 q j ， 蠕1 巧( n + - 1 1 ( 1 j n 一1 ) ， 毋一1 显然妒。1 路( 1 j n 一1 ) ，并且 ( 口 n 一) 毋一1 ) + 砖= 1 ) ( u m l 1 毋一口黠1 ) = g ，一1 0 ， 所以v ，一1 ) 影一1 ) ( n 一- 1 1 0 从而证明了础中存在礼一1 个元素的乘积不 为零所以础是a i g m n 的m 幂零理想 下面证明磁f 是a l g m n 的极大的伽幂零理想 设t 是a f - 9 m n 中包含冗罗的伊幂零理想下证t = r 罗否则，设 口t r m 从而存在i 满足1 i 佗使得q i a q i 0 任给6 b ( 日) ，我们用s ( 6 ) 表示h 到( k e r b ) 上上的投影，r ( 6 ) 表示h 到 b 的值域的闭包上的投影记e 为s ( q i a q i ) ，西o ) 为r ( q t o 啦) 显然e 和醴w 为q i 的子投影 1 5 青岛大学硬士学位论文 当i g 1 8 第二章因子中套代数的极大佗一幂零理想 如果q = 见，记，= p q 由p ，q 的定义存在a i 使得a s 0 ，存在 b i 俨1 使得f b 0 对于投影s ( a i ) 和r ( f b ) 应用引理2 2 1 ，存在非零部分 等距口m 使得 y v s ( o ，) ，v * u r ( f b ) 从而a f v b 0