（基础数学专业论文）某些广义正则半群的结构.pdf

独创声明 、5 9 8 4 0 5 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或 证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意。 学雠文储始番弗拳 j 签字日期：2 0 0 4 年涉月甜日 絮弓咱 仉。呼 ，川 年 z 陟 舛 伊0 加 字 期 某些广义正则半群的结构 滕常春 ( 山东师范大学数学系，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文主要研究某些广义正则半群的结构，其主要思想是利用广义格林关系和 根据广义正则半群的幂等元集合的某个子集的结构来研究广义正则半群的结构 正则半群特别是完全正则半群是一种极其重要的半群某些纯整完全正则半群 的结构已经有了很好的刻划，本文将把这种良好的结构推广到相应的某些广义正则 半群上全文共分三章 第一章主要对l r c e h r e s m a n n 半群和l r 一正规一e h r e s m a n n 半群的结构进 行了描述我们介绍了l r c e h r e s m a n n 半群的概念，它是l r c 半群在h 一丰富 半群范围内的推广，得到了一些这种半群的结构定理我们合并并且推广了g o m e s 与g o u l d 关于c e h r e s m a n n 半群的结果和郭聿琦与岑嘉评关于l r 一正规纯整群 并的结果特别，我们将构造l r 一正规一e h r e s m a n n 半群，它是在一个e n g a g i n g 半格上将一个左正规一e h r e s m a n n 半群和一个右正规一e h r e s m a n n 半群关于一个 c e h r e s m a n n 半群捏合得到的 第二章主要刻划了左半正则一甜一丰富半群的结构首先定义了左半正则一吖一 丰富半群，即幂等元的投射集合c ，为左半正则带的纯整“一丰富半群，然后描述 了这种半群的半织积结构和一积结构最后通过推论给出了左半正规一“一丰富 半群的结构 第三章主要对纯整“一丰富半群及它的某些特殊子类的结构进行了描述，并且 用这种结构刻划了纯整“一丰富半群上同构映射的构造首先我们给出了纯整“一 丰富半群的半织积结构和一积结构：一个半群s 为纯整甜一丰富半群的充分必 要条件是s 为c e h r e s m a n n 半群，集合j 与集合a 关于一个半格y 和结构同态 f ， 的半织积( 一积) ，然后用这种半织积结构刻划了纯整“一丰富半群上同构映 射的构造，最后给出了它的某些特殊子类的结构 半格 关键词：c e h r e s m a n n 半群，“一丰富半群，半织积，一积，e n g a g i n g 分类号：0 1 5 2 7 2 s t r u c t u r e so fs o m eg e n e r a l i z e dr e g u l a r s e m i g r o u p s t e n gc h a n gc h u n d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y 3 i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w es t u d yt h es t r u c t u r e so fs o m eg e n e r a l i z e dr e g u l a rs e m i g r o u p s t h em a i ni d e ai st od e s c r i b es t r u c t u r e so ft h eg e n e r a l i z e dr e g u l a rs e m i g r o u p sb yg e n e r a l i z e dg r e e nr e l a t i o n sa n di nt e r m so ft h es t r u c t u r e so ft h es e to fs o m ei d e m p o t e n t si n g e n e r a l i z e ds e m i g r o u p s r e g u l a rs e m i g r o u p s ，p a r t i c u l a r l yc o m p l e t er e g u l a rs e m i g r o u p sa r e ac l a s so fv e r y i l n p o r t a n ts e m i g r o u p s t h es t r u c t u r eo fs o m eo r t h o d o xc o m p l e t er e g u l a rs e m i g r o u p s h a v eb e e nd i s c r i b e d i nt h i sp a p e r ，t h es t r u c t u r ew i l lb eg e n e r a t i e dt ot h ea c c o r d i n gt o s o m eg e n e r a l i z e dr e g u l a rs e m i g r o u p s t h e r ea r et h r e ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r w ed e a lw i t hl r c e h r e s m a n ns e n f i g r o u p sa n dl r n o r m a l e h r e s m a n ns e m i g r o u p s w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fl r c e h r e s m a n no r t h o g r o u p s w h i c hi sa na n a l o g u eo fl r cs e m i g r o u p si nt h er a n g eo fu s e m i a b u n d a n ts e m i g r o u p s s o m es t r u c t u r et h e o r e m so fs u c ho r t h o g r o u p sa x eo b t a i n e d r e l a t e dr e s u l t so b t a i n e db y g o m e sa n dg o u l do nc e h r e s m a n ns e m i g r o u p sa n ds o m e r e s u l t so b t a i n e db yg u oa n d s h u mo nl r n o r m a lo r t h o g r o u p sa x ea m a l g a m a t e da n dg e n e r a l i z e d i np a r t i c u l a r ，w e w i l lc o n s t r u c tal r n o r m a lc e h r e s m a n no r t h o g r o u pb yg e a r i n gt o g e t h e ral e f tn o r m a l c e h r e s m a n no r t h o g r o u p ，ar i g h tn o r m a lc - e h r e s m a n no r t h o g r o u pw i t hr e s p e c tt oa g e h r e s m a n ns e m i g r o u pd nag e a r e ds e m i l a t t i c e i nt h es e c o n dc h a p t e r w eg i v et h ed e s c r i p t i o n o ft h es t r u c t u r eo fl e f ts e m i r e g u l a r 一“一 l i b e r a ls e m i g r o u p s f i r s t l y , w eg i v et h ed e f i n i t i o no fl e f ts e m i r e g u l a x 一甜一l i b e r a l s e m i - g r o u p s i et h eo r t h o d o x 4 - l i b e r a ls e m i g r o u p sw i t ht h es e to fp r o j e c t i o n sb e i n gl e f t s e m i r e g u l a rb a n d s s e c o n d t y w eo b t a i nt h es e m i s p i n e dp r o d u c ts t r u c t u r ea n d t h e 一d r o d u c ts t r u c t u r eo fl e f ts e m i r e g u l a r 蹦一l i b e r a ls e m i g r o u p s t h i r d l y ，w eg i v e t h e s t r u c t u r eo fl e f ts e m i n o r m a l 一- l i b e r a ls e m i g r o u p st h r o u g hac o r o l l a r y i nt h et h i r dc h a p t e r 、w ed e s c r i b et h es t r u c t u r e so fo r t h o d o x “一l i b e r a ls e m i g r o u p s a n di t ss o n x es p e c i a ls u b c l a s s e s ，t h e ni nt e r m so ft h es t r u c t u r e s ，w ed e s c r i b et h ei s o r n o r p h i s m s0 1 2o r t h o d o x “一l i b e r a ls e m i g r o u p s f i r s t l y w eg i v e t h es e n l i s p i n e dp r o d u c t s t r u c t u r ea n dt h ea - p r o d u c ts t r u c t u r eo fo r t h o d o x , - l i b e r a ls e m i g r o u p s ：as e u f i g r o u p s i s a n o r t h o d o x u - l i b e r a ls e m i g r o u p i f a n d o n l y i f s i s as e m i s p i n e d p r o d u c t ( # , 一p r o d u c t ) o ft h eg e h r e s m a n ns e m i g r o u pt ，t h es e t ，a n dt h es e taw i t hr e s p e c tt oas e n f i l a t t i c eya n ds t r u c t u a lh o m o m o r p h i s m sfa n dq s e c o n d l y lw ed e s c r i b et h ei s o m o r p h i s m o no r t h o d o x “一l i b e r a ls e m i g r o u p s t h i r d l hw eg i v et h es t r u c t u r e so fi t ss o m es p e c i a l s u b c l a s s e s k e y w o r d s ： c e h r e s m a n n s e m i g r o u p s 甜一l i b e r a ls e m i g r o u p s ， s e m i s p i n e d p r o d u c t ， 一p r o d u c t ) e n g a g i n gs e m i l a t t i c e c 1 a s s i f i c a t i o n ：0 15 27 4 第一章l r e h r e s m a n n 半群 1 1引言与预备知识 众所周知，半群上的格林关系在正则半群的研究中起着重要作用利用各种广 义的格林关系，可以定义和研究一些广义的正则半群在讨论正则和广义正则半群 时我们通常考虑它们的全体幂等元的集合最近，一些作者发现，一个半群的某些 幂等元的集合对描述整个半群的结构非常重要，甚至比全体幂等元的集合更具决定 性我们将采用l a w s o n 1 】介绍的方法，考虑半群的某些幂等元的集合近来，左正 则带，左拟正规带和正则带的标准表示已经在【2 】 【3 和【4 中被分别推广到了相应 的, 4 一丰富半群上在 5 】中，s e n 定义了l r g 半群并且描述了它们的结构在 6 1 中，郭聿琦和岑嘉评定义了两种带：l r 一正则带和l r 一正规带，并且给出了 l r 一正规纯整群并的结构我们自然要问，l r 一正则带和l r 一正规带的标准表 示，是否能推广到相应的“一丰富半群上，即将l r c 半群和l r 一正规纯整群并 的在u 一丰富半群范围内作相应的推广本章将作这方面的努力我们推广了 5 和 6 中的结果 设s 是一个半群s 的子集合j 4 中的所有幂等元的集合记为e ( j 4 ) ，s 中所 有正则元素的集合记为r e g ( s ) s 中所有二元关系形成的格，所有等价关系形成 的格，所有左同余形成的格，所有右同余形成的格和所有同余形成的格分别记为 b ( 5 ) ，( 5 ) ，c c ( s ) ，n c ( s ) 和c ( s ) 对于任意的p 8 ( s ) ，如果有必要，则写为p ( s ) 设u 是e ( s ) 的一个非空子集l a w s o n 将集合 r e g v ( s ) = d s l ( 3 e ，u ) e c a 冗，) 中的元素称为s 的u 一正则元显然u n e g v ( s ) ，进而有a r e g u ( s ) 当且仅当 o r e g ( s ) 且 场( n ) = o v ( a ) l a 0 7 ，0 7 0 叫0 v ( a ) 中的元素称为a 的u 一逆元 对于任意的o s ，设 以= “u i u a = o ) ，呢= t u a u = n ) ，以= 以n 睨 5 何勇【2 定义了s 上的等价关系龟u ，其中 豆u = ( n ，b ) s s lc ，j = l a w s o n 定义了s 上的等价关系u ，宠u 和霄u ，其中 伊= ( n ，6 ) s s l 吸= u d ，妒= ( n ，b ) s s l 以= 础) ，裔矿= 伊n 妒 含有。( s ) 的龟“，”，宠u 和奔u 一类分别记为豆g ，譬，元￥和霄￥l a w s o n 1 通过 一个反例说明尹不一定是一个右同余，而宠u 不一定是一个左同余。我们称s 满 足( g 兄) ( g 工) 】如果伊7 配) 宠u c ( s ) ，称s 满足( g ) 如果s 既满足( g r ) 又满足( c l ) 由l a w s o n i ，s 称为一个以e ( s ) 的某个子集u 为投射集的u 一半 富足半群如果s 中的每个伊类和每个宠”类都至少含有u 中的一个元素如果 s ( u ) 是一个满足( c ) 的“一半富足半群，且u 是一个s 的子半格，则它被c o m e s 和g o u l d 称为一个e h r e s i n a n n 半群投射集位于s 的中心的e h r e s m a n n 半群称为 g e h r e s m a n n 半群 引理1 1 1 1 4 1 设a ，b 是半群s 的两个任意元素，f 代表c ，冗和爿中的任意一个， 则 ( 1 ) ，尹，且如果a ，b r e g u ( s ) ，则( a ，b ) 于矿当且仅当( o ，b ) ， ( 2 ) 霄u 龟u ，且苞g 至多含u 中一个元素 定义1 1 1 【3 】半群s 称为以e ( s ) 的某个子集u 为投射集的“一丰富半群，记为 s ( u ) ，如果它的每个龟矿一类至少含u 中的一个元素此时，龟￥nu ( a s ) 中的唯 一元素记为n 蚤对于半群s 的投射集u ，如果有必要，u 记为矿( s ) 一个“一丰富 半群s ( u ) 称为左c e h r e s m a n n 半群，如果u 是s 的子半群，( v a ，b s ) ( 0 6 ) 备口 。跏昏且 ( v u u ) “s s u ， 定义i i 2 ( 3 】半群s 称为以e ( s ) 的某个子集u 为投射集的甜一半一超富足半群， 记为s ( u ) ，如果它的每一个霄u 一类至少含u 中的一个元素此时，西譬nu ( a s ) 中唯一元素记为n 备， 推论1 1 2 【4 1 如果s ( u ) 是一个1 4 一半一超富足半群，则它是一个“一丰富半群， 且满足龟c ，= 西u ，并且对于任意的a s ，n 备= a b 6 引理1 1 3 【1 】设s 是u 一半富足半群令西u = 伊v 宠u 如果s 中的每一个袁u 一 类都含r e g v ( s ) 中的元素，则 西u = u 。宠u = 宠uo u 称左零带和幺半群的直积为左幺半群，右零带和幺半群的直积为右幺半群，矩 形带和幺半群的直积为矩形幺半群 下面的定义都是熟知的，可参见p e t r i c h 7 和h o w i e 8 定义1 1 3 设b 是一个带则 ( i )b 是一个左半正则带当且仅当对于任意的e ，f ，g b ，e f g = e f g e g f g ( i )日是一个左半正规带当且仅当对于任意的e ，f ，g b ，e f g = e f g e g ( i i i ) b 是一个正则带当且仅当对于任意的e ，f ，g b ，e f e g e = e f g e ( i v ) b 是一个正规带当且仅当对于任意的e ，9 b ，e f g e = e g f e ( v )b 是一个左正则带当且仅当对于任意的e ，f b ，e ，e = e f ( v i ) 口是一个右正则带当且仅当对于任意的e ，f b ，e ，e = f e ( v i i ) b 是一个左正规带当且仅当对于任意的e ，f ，g b ，e f g = e g f ( v i i i ) b 是一个右正规带当且仅当对于任意的e ，g b ，f g e = 9 ，e 对于半群 h = 1 ，2 ，n ) 的任一次直积x ，我们记p s 。s j p s 。】表示x 到 & 岛【& 】上的投影，即，对于任意的( a l ，a 2 ，o 。) x ，( a l ，a 2 ，a n ) p s 。鼠= ( a i ，a j ) ( n l ，a 2 ，a n ) p s = 啦j 如果t = 【y ；死】是幺半群的一个半格且e = 1 死i q y ) 是t 的一个子半 群，那么，t 是b ( a y ) 的一个强半格。其同态可迁系为：对任意的d ，卢y ， 卢a ， 曲a ，口：咒- - - - 4 ，z 卜x l t b 显然，此时e 同构于y 并位于t 的中心f o u n t e i n ，g o m e s ，和g o u l d 称t 是幺半 群五的e 一半格 引理1 1 4 f 4 】设t 是一个半群，e e ( t ) 则下列叙述等价： ( 1 ) t ( e ) 是个c e h r e s m a n n 半群； ( 2 ) t ( e ) 是个幺半群的e 一半格 下文中，我们说t = y ；咒】是一个g e h r e s m a n n 半群，即指t ( e ) 是一个 7 c e h r e m a n n 半群，它是幺半群咒( q y ) 的e 一半格，其中e = 1 死i o y ) 若妒是集合x 上的一个变换，i x 则 表示妒是x 上的一个常值映 射且其值为 ，而 表示x 上的值为i 的常值映射 本文中，我们用t t ( x ) 和l ( x ) 分别表示集合x 上的左变换半群和右变换半 群设i = y ；厶 和t = y ；砭】是两个半群对任意的y ，作直积& = 毛足， 并令s = u & ，如果映射 n y q ：s _ 万( j ) ，( i ，a ) 一( i ，口) 弹 满足下列条件：对任意的( i ，a ) & 和如，b ) 岛：总有 ( 1 ) ( ，o ) 社j l 口，特别地，当o l 卢时，( i ，o ) 勺= i j ； ( 2 ) ( i ，n ) 社( j ，6 ) 祥= ( ( ，n ) # j ，n 6 ) 社， 那么s 关于二元运算 ( ，n ) ( j ，b ) = ( ( ，o ) 书j ，曲) 孝 构成一个半群 z h u ，g u o 和s h u m 9 称此半群为j 和t 【关于y 和叫的一个左半 织积，记作s = ix y , 。t ，称为此左半织积的一个结构映射。 引理1 1 5 【2 】设s 是一个半群下列各项等价： ( 1 ) 存在u e ( s ) 使得s ( u ) 是一个左c e h r e s m a n n 半群； ( 2 ) s = 【y ；如咒】，其中厶冗( a y ) 是左幺半群且u = ( i ，l r o ) l i 厶，n y ，是s 的一个子半群； ( 3 ) s = ix y , qt ，其中i = 【y ；l 是一个左正则带，t = y ；】是一个 a e h r e s m a n n 半群，日是某个结构映射 下文中，说s = i f ；厶死】是一个左c e h r e s m a n n 半群即指s ( u ) 是一个 左c e h r e s m a n n 半群，它是一个左幺半群& = 厶x 咒( a y ) 的半格，其中 u = ( i ，1 矗) l i ，o y ) 定义1 1 4 【q 一个“一丰富半群5 ( u ) 称为纯整“一丰富半群，如果u 是s 的一个 子半群，且 ( v a ，b s ) ( n 6 ) b d ( 矿) o 矗6 备 引理1 1 6 【4 】设s 是一个半群则下列叙述等价z ( 1 ) 存在u e ( s ) 使得s ( u ) 是一个纯整“一丰富半群； 8 ( 2 ) s = y ；& ( ) 】，其中& ( ) ( n y ) 是矩形幺半群且u = u 是s 的一 个子半群； ( 3 ) 存在s 的子半群u e ( s ) 使得s ( u ) 是一个满足( c ) 的“一半一超富足 半群 定义1 1 5 一个纯整甜一丰富半群s ( u ) 称为拟一c e h r e s i n a n n 半群，如果矿是 一个正则带 引理1 1 7 f 4 】设s 是一个半群，则存在u e ( s ) 使得s ( u ) 是一个拟一c e h r e s n m n n 半群当且仅当s 是有公共c e h r e s m a n n 半群分量t = y ；死 的一个左c - e h r e s m a n n 半群s l = 【y ；厶死 和一个右c e h r e s m a n n 半群岛= 【】，；死a 。】关于半群同态 ：( i ，t ) 卜z ，( i ，z ) s l 和妒：( 。，a ) 时z ，( z ，a ) 函的一个织积s l 。t ，口，口岛 引理1 1 8 【4 】设t = ；死】是一个c e h r e s m a n n 半群，i = 】，；如】是一个左正则 带且a = 【y ；a 0 】是一个右正则带如果映射 ：u ( lx ) _ 丁i ( i ) ，( t ，z ) 卜( i ，) 社， n y q ：u ( j xa 。) + 7 - ( a ) ，( 。，a ) r ( 。，a ) n y 满足下列条件： ( l 1 ) 若( i ，z ) l j 囊且j 妇，贝0 ( i ，。) 徉j i c , 3 ( r 1 ) 若( 。，a ) ：吃a 。且芦a b ，贝0p ( z ， ) 4 a 。口 ( 上2 ) 在( 工1 ) 中，若a p ，则心。) 勺= i ( r 2 ) 在( r 1 ) 中，若a 卢，则p 扛，a ) + = a ( l 3 ) 若( i ，z ) l j 且( j ，y ) 妇xt b ，贝0 “，$ ) 莽( j ，) 社= ( ( i ，z ) 社j ，。) 孝 ( r 3 ) 若( z ，a ) j 艮a 。且( y ，) t z a 口，贝u ( ， ) + ( f ，肛) + = ( x y ，a ( ，p ) + ) + 则s ( u ) = u ( k a 。) 关于二元运算 n y ( i ，z ，a ) o ，y ，p ) = ( 0 ，z ) 蒂j ，x y ，a ( v ，p ) + ) 构成一个拟c e h r e s m a n n 半群，其中u = u ( 1 r ) a 。) 反之，每个拟c e h r e s m a n n 半群都可如此构造。 引理1 1 9 【4 】设t = 【y ；死】是一个c e h r e s m a n n 半群，对任意的q y 和 k 是两个非空集合，且五n 妇= a 。n = 口缸声) 作直积r = 瓦x 矗和 9 q 。= 咒a 。 y ) 记s = u ( 厶b a 。) 且u = u ( o 1 矗) a 0 ) 对任 o y n y 意的o z ，y y ，7 o 时，设映射 札，：圪- - + t d l l ) ，( i ，z ) 一妒妨 和 。，：q 。 再( a ，) ，( 。，a ) - 窭9 满足f 列条件： ( l 1 ) 若( i ，z ) r 且j 厶，则妒始j = i ( r 1 ) 若( ，a ) q 。且“a 。，贝p 警毒) = ( l 。) 若( ，。) r 且( j ，g ) 昂，则妒端蝮嚣= ( r 。) 若( a ) o 。且( 9 ，肛) q 口，则咖宝盘般器= ( 二3 ) 若在( l 2 ) 中6 墨a 芦，则妒嚣了1 = 妒嚣妒船，其中= ( r 3 ) 若在( 冗2 ) 中6 a 卢，则路= 咖2 蠼矿，其中v = 则s ( ，) = u ( l r a o ) 关于二元运算 d y ( i ，z ， ) ( 丘y ，“) = ( ，x y ， ) 构成一个拟一g e h r e s m a n n 半群，其中u = u ( 厶 1 死) a n ) 反之，每个拟一c e h r e s m a n n 半群都可如此构造 定义1 1 6 【6 】设e 是一个带如果 ( v e 层) 【( v ，e ) e y e = e ，或( v e ) e f e = ，e 】， 我们称e 为l r 一正则带，显然这样的带一定是正则带， 下面的定义可参见【1 0 半群s 称为o r t h o g r o u p ，如果s 是一个纯整的完全正则半群一个o r t h o g r o u p s 称为c - o r t h o g r o u p ，如果s 的幂等元的集合e ( s ) 是c 一带设s 是一个l r 一正 则o r t h o g r o u p ，令 目( s ) = e e ( s ) i v e ( s ) ，e ，e = e ，) ， 马( s ) = e e ( s ) i v e ( s ) ，e r e = ，e ， ( s ) = e 口( s ) i v ，e ( s ) ，e ，= ，e ， 1 0 那么显然目( s ) 是左正则带，耳( s ) 是右正则带并且e o ( s ) 是半格 定义i i 7 1 6 jl r 一正则o r t h o g r o u ps 称为型一r 的，如果s 满足 ( v e e l ( s ) v ，b ( s ) ) e ，g ( e ( s ) ) ， e ( e ( s ) ) 是e ( s ) 的中心 定义1 1 8 【6 】半群s 称为l i 一正规o r t h o g r o u p ，如果s 是一个l r 一正则o r t h o g r o u p 且e ( s ) 是正规带 引理1 1 1 0 6 】设s 是l r 一正则o r t h o g r o u p 则s 是l r 一正规o r t h o g r o u p 当且仅 当s 是型一r 的并且s f 盼，s o = 昂n 刚是左正规o r t h o g r o u p 右正规o r t h o g r o u p ， c l i f f o r d 半鞘，这里 s i i ul e ，s ，= u r e ，s o = s l n s r = u h e e 目( s )e e e r ( s )e 局( s ) n e r ( s ) 设确是一个半格，半格h 和硷是确的两个理想扩张【即半格是v l ( y 2 ) 的理想1 使得y o = hn y 2 ，是一个从直积m 蚝到玢的同态且满足下列条件： ( 1 ) ( v 0 1 h ，v a o y o ) f ( a l ，o o ) = n l d o ( 在m 中的积) ， ( 2 ) ( v o o k ，v a 2 y 2 ) f ( o o ，a 2 ) = o 0 0 2 ( 在蚝中的积) ， ( 3 ) ( v d l ，卢1 k ，v a 2 ，如y j ) a 1 ，( 卢l ，岛) = ，( o l ，屈) ，( 卢1 ，岛) = ( a l ，尻) 卢l ， 0 2 ，( 卢1 ，虎) = ，( 卢1 ，0 2 ) ，( 卢l ，岛) = ，( 卢l ，a 2 ) 皮， 如果我们如下定义在y = h u y 2 中的运算“o ： i ( v 啦，岛k ) o io 觑= 啦屈( 在k 中的积) ，i = 1 ，2 ， l v 8 l k ，a 2 耽) a to n 2 = c t 20 0 1 = ，( n 1 ，口2 ) ， 那么可以用常规的方法来验证y 在上面定义的运算下构成一个半格，且是h 和b 的公共半格扩张，且y 以为一个理想 定义1 1 o 称上面定义的半格y 为半格m 和b 的关于理想碥= mn 砼 m 和m 的理想】和，的半格e n g a g i n g 记为y = mu 硷 y 0 f 定义1 1 1 0 设y = h u 。蚝，且s l s 2 ，s o = s l n 岛】是一个强半格 m ；s n ，0 ，卅【陬；，”，州，【r o ；& 。，矗。，d 】 并且满足 ( v a o ，肺y o ，o 0 风) o o ，口o = r a o , 风= ( n o ，口o 令s = s 1u 对任意的p y ，n 只如下定义一个从是到昆的映射 r 。咖： 郇玎吒y 1 ia r i a ，口l ，n y 2 显然s 是一个强半格 y ；乳，九，口】，且以s 1 和岛为它的子半群，s b 为它的理想 我们称半群s 是s l 和岛关于岛和半格y = h0 蚝的一个e n g a g i n g 1 2l r c e h r e s m a n n 半群 定义1 2 1 一个纯整“一丰富半群s ( u ) 称为l r c e h r e s m a n n 半群，如果u 是 一个l r 一正则带显然，一个l r g e h r e s m a n n 半群是一个拟一c e h r e s r n a n n 半 群 定理1 2 。1 设s 是一个半群，则s ( u ) 对于某个u e ( s ) 是一个l r c e h r e s m a n n 半群当且仅当s 是有公共c e h r e s m a n n 半群分量t = ；死】的一个左c e h r e s m a n n 半群s 1 = y ；l k 和一个右c e h r e s m a n n 半群岛= 【y ；死xa 。】关于半群同态 ：( i ，) t ，( ，z ) s l 和t f ，：( z ，a ) hz ，( z ，a ) 岛，的个织积s lx t ，毋，母岛， 并且使得 u ( s ) ( c ( 矿( 研) ) 口( s j ) ) u ( 矿( s 1 ) g ( 矽( 岛) ) ， 这里u ( s ) = u ( ( 厶 1 矗) ) ( 1 t o x 虬) ) ，矿( s 1 ) = u 阢 1 死) ) ，u ( 岛) = u ( i t o ) xa 。) ，且e 澎慨) ) 是矿 ) 的中心，i = 1 ，2 证明( 辛) 设s 是一个l r c e h r e s m a n n 半群，则它是一个拟一c e h r e s m a n n 半群，因此由引理i i 7 ，s 是有公共c e h r e s m a n n 半群分量t = 【y ；死 的一个左 c e h r e s m a n n 半群s 1 = 【y ；l 死】和一个右c e h r e s m a n n 半群岛= 【y ；乃a n 关于半群同态妒：( i ，z ) 时，( ，z ) s i 和审：( z ， ) z ，( z ， ) s 2 的一个织积 s lx t ，毋，妒岛设e ：( ( i ，1 死) ，( 1 ， ) ) u ( s ) ， 1 2 ( i ) 如果( v f u ( s ) ) e ，e = e ，我们证明( 1 t ；，a ) g ( u ( s 2 ) ) v ( i t p ，肛) u ( s 2 ) ，贝03 ( j ，i t s ) u ( s 1 ) ，使得( ( j ，i t s ) ，( 1 t o ，p ) ) u ( s ) ， 因此e g e = 叼 号( ( i ，1 t o ) ( j ，i t b ) ( i ，1 r ) ，( 1 死，a ) ( 1 ，p ) ( 1 ，a ) ) = ( ( j ，i t ) o ，i v y ) ，( 1 ，a ) ( 1 ，卢) ) 辛( ( i ，l r ) ( j ，1 ) ，( 1 t b ，芦) ( 1 b ，a ) ) = ( ( ，i v o ) ( j ，1 码) ，( 1 r ，a ) ( 1 ，p ) ) = 争( 1 乃，肛) ( 1 矗，a ) = ( 1 死，a ) ( 1 巧，p ) 所以，( 1 死， ) g ( u ( ) ) ， ( i i ) 如果( v f u ( s ) ) e f e = e ，用类似的办法我们能够证明( i ，1 死) g ( c ，( s 1 ) ) 于是有， u ( s ) ( g ( u ( s 1 ) ) u ( 岛) ) u ( 【，( s 1 ) xg ( c ，( ) ) ( 鲁) 设s 是一个满足假设条件的半群我们将证明s 是一个l r c e h r e s m a n n 半 群 事实上，根据引理1 1 7 ，s 是一个拟- c - e h r e s m a n n 半群 ( 1 l ， ) ) u ( s ) ，则有， ( i ) 如果e g ( u ( s 1 ) ) x u ( s 2 ) ，即( i ，l l ) g ( ( s 1 ) ) ，则v ，： u ( s ) ，我们有 v e = ( ( ，1 l ) e t e = ( ( i ，1 死) ( 五1 t a ) ( i ，i n ) ，( 1 ，a ) ( 1 乃，p ) ( 1 ， ) ) = ( ( t ，1 ) ( j ，1 ) ，( 1 t # ，肛) ( 1 ，a ) ) = ( ( 1 t a ) ( i ，1 死) ，( 1 t a ，p ) ( 1 r ， ) ) = ( ( 矗1 ) ，( 1 ，p ) ) ( ( t ，i r a ) ，( 1 死，a ) ) = ，e ( i i ) 如果e u ( s 1 ) x g ( u ( 岛) ) ，用类似的办法我们能够证明v i 【，( s ) ，e r e = e ， 于是u ( s ) 是一个l r 一正则带，所以s 是l r c e h r e s m a n n 半群 口 现在我们给出l r g e h r e s m a n n 半群的两个结构定理 定理1 2 2 设t = 【y ；】是c e h r e s m a n n 半群，i = y ；l 是左正则带且a = y ；a 。 是右正则带如果映射 ：u ( l xb ) - 万( j ) ，( i ，z ) 卜( i ，z ) 孝， a y q ：u ( j 吃a n ) 再( a ) ，( ， ) - 斗( z ，a ) + ， 1 3 满足如下条件： ( l 1 ) 若( i ，z ) 厶x j 且j 如，贝0 ( i ，z ) # j l 口 ( r 1 ) 若( 茁，a ) j a 。且p a 卢，贝0p ( z ，a ) + a 。啦 ( 工2 ) 在( 三1 ) 中，若c l s 卢，贝0 ( f ，z ) 非j = i ( 嘞) 在( r 1 ) 中，若q 卢，则p ( z ， ) + = a ( l 3 ) 若( i ，。) l 死且( j ，y ) 妇如，贝4 ( i ，z ) 带( 丘) # = ( ( i ，z ) 书j ，。y ) 带 ( 且3 ) 若( 。，a ) ：巴a 。且( y ，p ) 丁0 a 口，贝4 ( 。， ) + ( y ，p ) = ( x y ，a ( ，p ) + ) + ( p ) 若i 厶， a 。，则v 卢n ，v j 妇，( i ，1 t 。) # - j = j ( 这时根据( 如) 有i l l = 1 ) 或 即o t ，即如，p ( i t ， ) = p ( 这时根据) 有f a 。f = 1 ) 则s w ) = u ( 厶k ) 关于运算 o y ( i ，x ，a ) ( 丘y ，p ) = ( 0 ，z ) 亭矗x y ，天( 可，肛) + ) 构成l r c e h r e s m a n n 半群，其中u = u x 1 矗) xa 。) 反之，每个l r c e h r e s m a n a 半群都可如此构造 证明( 辛) 设s 是如此构造的，由引理】1 8 ，显然，s 是一个拟一c e h r e s m a n n 半 群因此我们只需要证明u 是一个l r 一正则带 设e = ( i ，1 咒，a ) u ，i k ， a 。，o y ( i ) 如果v 卢o ，如，( i ，1 t ) 社j = j ，则v ，= ( ，l a ，) u ，我们有 e r e = ( i ，1 7 ：，a ) ( 女，1 z ，) “，1 7 ；，a ) = ( i ，1 ， ) ( ( ，i t s ) # i ，1 死，p ( 1 ，a ) ) = ( ( k ，1 n ) 孝 ，1 ，p ( 1 死， ) 4 ) = ( ，1 n ，) ( t ，1 咒，a ) = | e ( i i ) 如果v 卢a ，v p 如，p ( 1 ， ) + = m 用类似的办法我们能够证明( v ， u ) e f e = e ，