（基础数学专业论文）几类重要非线性发展方程的精确解.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 随着现代科学技术的发展，寻求非线性发展方程的精确解越来 越受到物理学家和数学家的重视非线性发展方程的精确解能够解 释众多物理现象，因此在化学，生物，光纤通讯，流体力学，等离 子体物理，量子场论等物理领域有广泛应用本文重点对s u b o d e 方法进行了改进，简化、丰富和发展了已有的结果，这对于发现新 的孤立子解，研究孤子的长期动力学行为，研究解的结构都有着积 极的意义 第一章介绍了研究工作的历史、现状和本文的主要工作 第二章介绍了与本文相关的一些基本概念，符号，给出了孤立子 的定义和发生机理，探讨了孤立波和孤立子的异同，对目前所知道的 孤立子按空间维数的高低进行了分类，并给出了相关图形 第三章通过将传统的辅助方程法进行了改进，并应用该方法研 究了几个非线性发展方程，得到了许多有意义的新解 第四章用多项式展开法求解e q u a lw i d t h 方程，得到许多有意义 的解该方法可用于物理学中许多重要方程的求解 第五章用修正的投r i c c a t i 方法求解复g i n z b u r g l a n d a u 方程，得 到许多有意义的包络波形式的精确解 关键词：非线性发展办程，修i 卜的投影r i c c a t i 方法，辅助方程法， 孤子解，周期解 江苏大学硕士学位论文 a b s r a c t l o o k i n gf o re x a c t s o l u t i o n st on o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u m i o n s ( n l p d e s ) h a sl o n g b e e nam a j o rc o n c e r nf o rb o t hm a t h e m a t i c i a n sa n d p h y s i c i s t s t h e s es o l u t i o n sm a y w e l ld e s c r i b ev a r i o u sp h e n o m e n ai n m a n yf i e l d s ，s oi ti sw i l d l yu s e di nc h e m i s t r y , b i o l o g y , o p t i c a lf i b e r c o m m u n i c a t i o n ，f l u i dm e c h a n i c s ，p l a s m ap h y s i c s ，q u a n t u mf i e l dt h e o r y i nt h ep a p e r ，w ea m e l i o r a t et ot h es u b - o d em e t h o d ，s i m p l i f i e d ，e n r i c h e d a n de x p a n d e dt h er e s u l tw eh a v ek n o w n w h i c hh a sa c t i v em e a n i n gf o ru s t of i n dn e ws o l i t o ns o l u t i o n s ，r e s e a r c ht h el o n gt i m ed y n a m i cb e h a v i o r a n ds t r u c t u r eo fs o l i t o n s a tt h es a m et i m e ，w ec l a s s i f yt h es t r u c t u r eo f s o l i t o n s ，a n dd r a wt h er e l e v a n tg r a p h i c s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w es t u d yt h eh i s t o r y ，c u r r e n ts i t u a t i o na n df u t u r e o fo u rr e s e a r c hw o r k ，a tt h es a m et i m ei n t r o d u c et h em a i nw o r ko ft h i s p a p e r i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ei n t r o d u c es o m ep r i m a r yc o n c e p t i o na n d d e n o t a t i o nr e l a t et ot h i sp a p e r ，g i v et h ed e f i n i t i o na n db e f a l l e nm e c h a n i s m o fs o l i t o n s ，d i s c u s st h es i m i l a r i t i e sa n dd i f f e r e n c e sb e t w e e ns o l i t o nw i t h s o l i t a r yw a v e ，c l a s s i f i e dt h es o l i t o n sw h i c h w eh a v ek n o w na c c o r d i n gt o t h ed i m e n s i o no ft h es p a c e ，a n dd r a wt h er e l e v a n tg r a p h i c s i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ea m e l i o r a t et ot h et r a d i t i o n a ls u b o d em e t h o d ， a n du s et h i sm e t h o dt or e s e a r c ht h es e v e r a lk i n d so fn o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n s ，a n do b t a i nal o to f n e ws i g n i f i c a t i vs o l u t i o n s 江苏大学硕士学位论文 i nt h ef o u r t hc h a p t e r , w eu s eap o l y n o m i a le x p a n s i o nm e t h o dw i t ha c o m p u t e r i z e ds y m b o l i cc o m p u t a t i o nf o rs o l v i n g n e wp e r i o d i cw a v e s o l u t i o n sf o rn o n l i n e a r e q u a l w i d t hw a v e e q u a t i o na r i s i n g i n m a t h e m a t i c a lp h y s i c s ，a n do b t a i nm a n yn e ws i g n i f i c a t i vs o l u t i o n s i nt h ef i f t hc h a p t e r , t h ei m p r o v e dp r o je c t i v er i c c a t im e t h o di su s e df o r s o l v i n gg i n z b u r g l a n d a ue q u a t i o n ；a n dal o to fe n v e l o p ew a v es o l u t i o n s a r es u c c e s s f u l l yo b t a i n e d k e y w o r d s ：n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ，i m p r o v e dp r o j e c t i v er a c a t i m e t h o d ，s u b o d em e t h o d ，s o l i t o ns o l u t i o n s ，p e r i o d i c a l s o l u t i o n s h i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密哦 学位论文作者签名：芡谭芷 砷龟月2 7 日 刎锈月衫日 i 独创性：声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文储答名：多恤 日期：研年0 - 月叫日 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景及其发展 非线性现象在自然界和社会生活中普遍存在，遍布于生物系统、物理、化学 实验现象和社会现象中在自然科学中许多现象，如孤波、混沌、吸引子、分形 和逆序结构等都是非线性问题随着非线性科学的发展，非线性方程的求解出现 在很多领域，研究非线性发展方程( 组) 的精确解是非线性科学很重要的一个课 题因为精确解可以定量地描述非线性偏微分方程( 组) 的许多重要性质，能比 较满意地解释过去很多不能解释的现象 孤子从发现到现在虽然经历了一百多年，但是它的重大发展和在许多学科 中的应用丌始于2 0 世纪7 0 年代，其发展大致分三个阶段 第一阶段主要在上世纪最早讨论孤立子问题的是s c o t tr u s s e l l ，但他 的学说并未能成功的使当时的物理学家信服，孤立波的问题在当时许多物理学 家中间引起了热烈争论直到6 0 年后，即在1 8 9 5 年，k o r t e w e g 和d ev r i e s 导出了著名的k d v 方程，解释了r u s s e l1 的浅水波现象，才使得有关争论告一 段落 第二阶段大致可划在1 9 5 5 1 9 7 5 年1 9 5 5 年f e r m i ，p a s t a ，u l a m ( f p u ) 用计算机计算了一维非线性晶格在各个振动模之间的转换，发现在时间足够长 时能量又似乎回到了开始的分布，这与经典的理论背道而驰后来t o d a 研究了 这种模式的非线性振动，得到了孤波解，使f p u 问题得到正确回答，从而激发 了人们对孤立波的研究兴趣 第三阶段自1 9 7 5 年至今孤子理论的研究蓬勃发展，含有孤子或孤波的 论文数目几乎是直线增加这是由于孤子理论的发展已具备了必备的数学工具 和在众多的学科罩确认孤子的存在，且更重要的是发现孤子有许多实际应用 因而引起了各国学术界的重视，投入越来越多的人力和资金，国际性学术会议 相继召开，国际性非线性科学的杂志相继问世如1 9 7 8 年7 月在英国牛津召开 了“凝聚态物理中的非线性( 孤子) 结构和动力学会议，专门刊登非线性科 学论文的期刊 0 ，方程( 3 2 2 ) 有如下双曲函数解 最( 善) = f挖触c 厅 疗打( 善+ 彘) 1 i 1 面i 磊习了否丽f 孝一 _ 一a l l + t a n h ( 掣 h + c o t h ( 刀打( 善+ 彘) 2 1 哪 l 帅 c a s e2 ：a 0 b 2 4 a c 0 【厄丽千耐船打( 乡+ 彘) 旷 ( 3 2 4 ) j 毒筌蛑箪坚 - ，b 2 - 4 a c o 下面，我们将直接利用此辅助方程的解求解g a r d n e r 方程 对( 3 2 1 ) 做行波变换 甜( 石，f ) = 甜( f ) ，善= k ( x - a t ) 9 ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 江苏大学硕士学位论文 则方程( 3 2 1 ) 可化为如下常微分方程 - k a u + k ( p + q u ”+ r u 2 ”u + 尼3 甜”= o 对( 3 2 7 ) 积分，并取积分常数为零，可得 ( 3 2 7 ) ( 甜) 2 = 业k 2 “一巧硕2 q 丽2 一巧靠丽矿+ 2 ( 3 2 8 ) 令肚坐k z 肛一巧氚丽肛一 为 ( “) 2 = 彳甜+ b 扩2 + 2 肿2 ， 则( 3 2 7 ) 可简化 根据( 3 2 3 ) 一( 3 2 5 ) ，我们将可直接得到( 3 2 9 ) 的解 ( 3 2 9 ) c a s e1 a 0 ，也就是五 p ，则方程( 3 2 9 ) 有如下双曲函数解( 3 2 1 0 ) 一 姒彬，= 煮一 - ，b 2 - 4 a c 0 2 、f+ _ 2 a c s c 办卜打( 乡+ 磊) 蚝x , t 卜1 丽哥意幕蒜钿 b 2 4 4 c 0 ( 3 2 1 1 ) ( 3 2 1 1 ) 与( 3 。2 1 0 ) 是方程( 3 2 。1 ) 的钟型孤波解 注l ：当k = 1 时，( 3 2 1 0 ) 等价于文献 4 1 中的解( 2 8 ) ， ( 3 2 11 ) 等价于 文献 4 1 中的解( 2 9 ) 1 姒叫_ - 外鼬( 华 “川制- + c 砒( 掣 b 2 4 a c = 0 ，( 3 2 1 2 ) b 2 4 a c ：0 ，( 3 2 1 3 ) ( 3 2 1 2 ) 与( 3 2 1 3 ) 是方程( 3 3 1 ) 的扭结型孤波解 注2 ：当k = 1 时，( 3 2 1 2 ) 等价于文献 4 1 中的解( 3 0 ) ， ( 3 2 1 3 ) 等价 1 0 l 万 、l，j 、，lr，j l 一口 j r二_，。 、三 一、， 江苏大学硕士学位论文 于文献 4 1 中的解( 3 1 ) c a s e2 a 0 h 2 0 h 2 0 ，h 4 2 4 h 2 h 6 0 h 2 0 h 2 0 ，h 4 2 4 h 2 h 6 0 h 2 0 ，h 4 2 4 h 2 h 6 0 二辈掣辱皂 2 ， 畛啪。 。 h 。+ 2 e 瓜t a n h ( 廊) i ”2 r 一h ：s e c 2 ( f 瑶) h 。+ 2 e 二丽t a n ( 二磅 一h 2 c a s h 2 ( = 磅) h 。+ 2 e = 丽c 。t h ( f 碡 一矗：c s c 2 ( 、面) h 。+ 2 e 二砺c 。t ( f 碡 其中e = 1 c a s e2 魄= 玩= 0 h 2 0 ，h 6 o h 2 0 ，h 6 0 h 2 0 ，h 6 o ( 3 3 3 ) 一2 、，j 一2 、， r、，l j ” ， ， 一2 、l，j ， 一2 ， 、rj一2 、i，、i，j ，j、l rr，l，?l，?l，j、【 江苏大学硕士学位论文 f ( 孝) = 兀+u o 掣+ 三 舻( 孝；g ：，) 一去r ”( 丘) + 去r ( 五) 2 舻( 孝；，岛) 一去r ”( 五) 2 一蕊1 r ( 兀) 足”( 五) ( 3 3 4 ) 其中r ( f ) = h o + 啊f ( ) + 绣f 2 ( 毒) + 缟f 3 ( 孝) + f 4 ( 手) + 绣f 5 ( 善) + 魄f 6 ( 孝) ， 兀是任意常数 若t o 是r 俨) 的简单的根，方程( 3 3 4 ) 可简化为 砧m + 而一 4 l 舻( 六，g ，) 一去( 五) j l j 且w e i e r s t r a s s 椭圆函数p ( 多；9 2 ，9 3 ) 的变系数9 2 ，9 3 满足 铲讯一警+ 警 ：型选+ 坐垣一塑h j l 2 3 丝 64 81 62 1 61 6 c a s e3 t , o = 啊= 魄= 玩= 0 1 4 ( 3 3 5 ) 江苏大学硕士学位论文 4 红e x p e 4 h 2 孝：l e x p ( p 廊) 一4 魄一4 h 2 h 4 蝴叫譬 水卜袖 ， 谢 班如死卜a n n p x h 3 2 - 4 h 2 h * 一恐s e c h ( 磅) ，、i2 h 2 c s c 厅( 瓜) 叫印- j 丽丽蠢翔 2 绣s g c l 一恁善j p 4 4 h 2 h 4 - t 7 3 2s e c ( 2 廊) 一 如 2 p 瓜鼬 蛳 2 p 瓜c o t h 二竺竺( 巫! 吃化瓜c o t h ( 丽) f 一缟c s c 2 ( 廊) 1 i l 他而c o t ( 丽) j 吃 0 如 0 红 0 红 0 2 - 4 h 2 h 6 0 如 0 九2 4 h 2 h 6 0 ， 红 0 如 0 九 o 吃 0 九 0 吃 0 九 0 红 0 九 0 江苏大学硕士学位论文 其中e = 1 对( 3 3 1 ，i c ) 做行波变换 u ( x ，) = 甜( 孝) = v ( 善) e x p 缈( 孝) 一c r ， 孝= k ( x 一办) ( 3 3 7 ) 其中c ，兄是待定常数，缈( 孝) ，y ( ) 是待定函数，则方程( 3 3 1 木) 可化为常 微分方程组 v ( f ) 矿”( 孝) + 2 v ( 乡) 缈( 孝) 一无v ( f ) + ( 3 口+ 2 s ) v 2 ( 手) v ( 孝) = o ( 3 3 8 ) v ”( 孝) + 加( 善) 缈( 参) + 纠( 孝) 一v ( 孝) 妒( 善) 2 一口v 3 ( 善) 缈( 孝) + 伊3 ( 善) + n ，5 ( 孝) = o ( 3 3 9 ) 令伊。( 孝) = 2 1 允一_ 3 c + 广2 s ，2 ( f ) 将( 3 3 1 0 ) 代入( 3 3 8 ) 和( 3 3 9 ) 可得 以小( c + 和咖( 一刳“咖卜( 3 0 r + 2 s ) ( a - 1 62 s ) 1 叱垆。 平衡最高阶导数项和非线性项，可做变换 y ( 善) = 缈2 ( 孝) 将( 3 3 1 2 ) 代入( 3 3 11 ) 可得 吡) 州垆扣( 明2 + ( 2 外等h 咖( 2 脚咖3 ( 咖 2 ，+ ( 3 a + 2 s ) ( a ! - 2 s ) 8 ( 3 3 1 0 ) ( 3 3 1 1 ) ( 3 3 1 2 ) i 缈4 ( 孝) = 0 j ( 3 3 1 3 ) 令=c+等，m=一警，=，-+t(3a+2s)(a-2s)，则(3313)可化为 缈( 孝) 国”( 孝) 一三 缈( 孝) 2 + 2 ( f ) + m 缈3 ( 孝) + 缈4 ( 乡) = o ( 3 3 1 4 ) 寻找( 3 3 1 4 ) 如下形式的行波解 2 m 功( 孝) = 以，f7 ( 孝) j - - o 其中a i ( j = 1 , 2 ，n ) 是参数 ( 3 3 1 5 ) 通过平衡最高阶导数项和非线性项求得n = l ，因而设( 3 3 1 4 ) 的解为 缈( 孝) = a o + q ，( f ) + 嘭f 2 ( 孝) ( 3 3 1 6 ) 1 6 江苏大学硕士学位论文 将( 3 3 1 6 ) 与( 3 3 7 ) 代入方程( 3 3 1 4 ) ，收集所有f ( f ) ( j = 1 ，8 ) 的 解此方程组，可得 c a s e1 h o = 红= 吃= 魄= 0 1 a 0 - - - - 0 ，q - o 口2 _ 一鲁驴一鲁舻一等 2：-m-xm2-4ln，儡：j呈丝一，鬼：土三一丝一mxm2-4ln=0,a ，z 2 互万一，q5 j i i 习i 蒜吃2 三l 一面矿一i 万一， 魄2 f 丽- 2 4 n h ： 3 = 宰1 , a 1 = 0 , a 2 = 志舡 丽m 2 一孕m 4 m 2 - 4 l n ， 玩2 f 丽- 2 4 n h 2 口o _ 一朋h aa 2 = 0 , - o ，心= 也舻一警 2 = - 3 m - x 9 m 2 - ；芦3 2 l n + 亚1 6 h 2 nq = 丽菰- 3 h , 面一 啊=丝垒型坚型世，啊=一9m2-3婴2lnl+16h2naoal 3 = - 3 m + x 9 m 2 1 - 五f 3 2 l n + 1 6 h z n ，q2 了写i i 亍三亏主3 h 盂, 天尹面，吃2 。， ” 8 。 ，9 m 2 3 ，+ 1 6 矗。 啊=2 l 口0 2 - 2 m a 0 3 2 a 0 4 + 口1 2 c a s e3 = 啊= 魂= 魂= 0 ，玩= 一9 m 2 _ 3 型2 l n l + 1 6 h 2 n 1 7 江苏大学硕士学位论文 旷。胪一告心_ 0 吃= 皿红= 一警 2 ：- m - m 2 - 4 l n ，碣：丝垒：一。矾一：! 一m e 一m i m z - 4 l n2 1 矿一，q2士m+4m2-4ln呸=0,h22 云l _ 一2 n 一丽_ 一 鬼= ( m + 二a , s 塑m 2 生- 4 l n ) 2 3 瓯：- m + _ 、 m 2 - 4 l n ，碣：耋竺羔一，砺一：i 一m z 一m m 2 - 4 l n 口o2 ，q 2 m + 4 f f m 兰2 - 4 一l n 口2 = 0 , h z2 - l 2 n 2 n 2 2 n vj 玩= ( m + 4 , 型m 2 l - a l n ) 2 其中绣是自由参数 将这些值带入( 3 3 1 6 ) ，( 3 3 1 2 ) 与( 3 3 7 ) ，并根据( 3 3 3 ) 一( 3 3 6 ) 我们可求得方程( 3 3 1 ) 的精确解 例如我们选择c a s e1 ( 1 ) ，根据( 3 3 3 ) ，当 0 时，则可得 1 9 等足 争髑 丝2 侈 其 、l ，一 岛一 & 一手 六一d ，f_、一 驴一d 一 江苏大学硕士学位论文 v c善，=w；c善，=一：；i乏i：i三主兰量三一 将( 3 3 2 3 ) 代入( 3 3 7 ) 与( 3 3 1 6 ) ，可得三角函数解 u ( x ，) = ( 3 3 2 3 ) 一二了i_：基3差兰：一三ex二c沙c孝，一fr，(3324， m 2 绣2 + 坐p m 2 = i 而了t a n ( 皿) l q 1fj 其中5 f ，( 善) 满足 妙c手，=三五+：了i_：垂耋：一 且孝= 名一c t ，e = 1 ，玩，名m e 是自由参数 a n dc o m p u t i n gs c i e n c e 会议上交流并被i s t p 和e i 收录 3 4 g e r d j i k o v - i v a n o v 方程的精确解 g e r d j i k o v - i v a n o v 方程( 参考【4 6 】) 的形式为 i q , + 一i q 2 r x + i 19 3 ，- 2 ：0 ( 3 4 1 ) ( 篝 2 训盯卅4 州硝 慨4 2 ， 江苏大学硕士学位论丈 僻4 a e x p ( 2 e 庙) j ，( 孝) = 一 j 一jc a s e3 a o ，b 2 4 a c 0 础，： 一 ： c a s e4 a 0 f ( 孝) = 丽彘可 ； 其中a ，b ，c 是任意常数， e = l 然后，我们将直接利用此辅助方程的解求解g e r d j i k o v i v a n o v 方程 ( 3 4 3 ) ( 3 4 4 ) ( 3 4 5 ) ( 3 4 6 ) 设( 3 4 1 ) 的解的形式为 甜( x ，f ) = “( 孝) = ，( 孝) e x p f ( y ( 孝) 一埘f ) ( 3 4 7 ) 其中善= z 一2 t ，y ( 孝) ，v ( 乒) 为待定函数，m ，五为待定常数 将( 3 4 7 ) 代入( 3 4 1 ) 得v ( f ) 与沙( 善) 的方程组 2 1 江苏大学硕士学位论文 v 。( 孝) 一v ( 孝) ( ( 孝) ) 2 + 兄v ( f ) 沙( 孝) + m v ( 孝) 一v 3 ( 孝) y ( 孝) + 云1v 5 ( 孝) = o ( 3 4 8 ) - ；t v ( 孝) + 2 v ( f ) 沙( ) + v ( 善) 少”( f ) + v 2 ( f ) v ( f ) = 0 令 沙( 乡) = i 1v 2 ( 孝) + 1 2 旯 则将( 3 4 。1 0 ) 代入( 3 4 。8 ) 和( 3 4 9 ) 可得( 参考【4 6 】) v 。( 孝) + ，卵+ 孑1 五2 v ( 善) 一i 1 名v 3 ( 善) ，+ 甭3y 5 ( ) = 。 对上式积分，并取积分常数为o ，可得 ( v ( 善) ) 2 = 一 所+ 百1 名2 v 2 ( 善) + 百1z v 4 ( 善) 一去v 6 ( 善) c a s e1 根据( 3 4 3 ) ，当m + 专五2 o 时，我们可得方程( 3 4 1 2 ) 有解： h ( 善吼唧( 0 2 e g x 耐p ( 2 e 届一五) ：) i 将( 3 4 1 3 ) 代入( 3 4 1 0 ) 并积分可得 ( 3 4 9 ) ( 3 4 1 0 ) ( 3 4 1 1 ) ( 3 4 1 2 ) 将( 3 4 1 3 ) ，( 3 4 1 4 ) 代入( 3 4 7 ) 可得g e r d j i k o v - i v a n o v 方程的精确解 一、。l 口e x p ( 2 p 庙) 强o 卜4 l _ 两磊雨 一：r：i三：4了a丢2丽孝2 + i 1 鸳+ 磊一班f p i ( e x p ( 2 p 皿) 一旯) 2 如 2 一“ 羹中口= 一( m + 丢五2 ) ，= x - 刀，e = 1 ，彘为积分常数 c a s e2 根据( 3 4 4 ) ， 当朋+ ；五2 0 ) s t e p ( 1 ) ：通过平衡( 4 1 3 ) 式的最高阶导数项和非线性项求得，z 若刀不是正整 数，则可作变换“( 乡) = v “( 孝) s t e p ( 2 ) ：将( 4 1 4 ) 与( 4 1 5 ) 代入方程( 4 1 3 ) ，收集所有】，( 孝) ( j = 1 ，n ) 的系数，分别令其系数为零，得关于，a ，b ，c ，q ，屯( = l ，n ) 的超定代数 方程组 s t e p ( 3 ) ：利用m a t h e m a t i c a 软件求解s t e p ( 2 ) 中的方程组，则根据式( 4 1 4 ) 一 ( 4 1 9 ) 可求得方程( 4 1 1 ) 的精确解 4 2 e q u a lw i d t h 波方程的精确解 e q u a lw i d t h 波方程的形式为( 参考 4 7 】) ： + u u ，+ 硎删= 0 ( 4 2 1 ) e q u a lw i d t h 波方程，又称b b m 方程，是弱非线性色散介质中长波单向传播的重 要模型，在诸如非线性光学、等离子物理学等方面有着广泛的应用2 0 0 5 年， a b d u l k a d i rd o g a n ( 4 8 ) 用g a l e r k i n s 方法求解了上述e q u a lw i d t h 波方程，得 到了一些具有衰减性的数值型行波；文献 4 9 利用分支理论和数值模拟的方法获 得了两组精确的孤波解和j a c o b i 椭圆型函数周期解；文献 5 0 应用齐次平衡法 求得了一些双曲函数解这里用多项式展开法对e q u a lw i d t h 波方程求解如下： 将( 4 1 - 2 ) 代入与( 4 2 1 ) ，则方程( 4 2 1 ) 可化为常微分方程 1 一勉+ 三距2 一c t 2 k 2 跖。= 0 ( 4 2 2 ) 2 通过平衡最高阶导数项和非线性项求得n = 2 ，因而设( 4 2 2 ) 的解为 “( 孝) = a o + a t y + a 2 y 2 + 2 j l 】，。1 + b 2 y 。2 ( 4 2 3 ) 将( 4 2 3 ) 与( 4 1 5 ) 代入方程( 4 2 2 ) ，收集所有y ( 孝) ( j = 1 ，刀) 的系 江苏大学硕士学位论文 数，分别令其系数为零，得关于，a ，b ，c ，q ，屯( = 1 ，疗) 的超定代数方程组利 用m a t h e m a ti c 软件求解此方程，可得： c a s e1c = 0 ，a 0 ，b 0 1 ，a o = 2 a , a i = a 2 = 0 , 岛= 等，如= 警一压， 2 ，a 0 = 0 ，a i ：a 2 = 0 , 卜等，铲可1 2 2 一压 c a s e2c = 1 ，a 0 ，b = 0 1 ) a 0 ，口 0 或a o ，口 0 ，口 0 ，口 0 或a o ，口 0 ，口 0 ，口 0 或a 0 ，口 0 ，口 0 ，( 口 0 ) 丢 压 乏 一 一 、 一 ， 压 岳 压 = 七 一一 压 铄 弋 拈 七 江苏大学硕士学位论文 c a s e4c = 1 ，a 0 ，b 0 1 ) 口 0 ： 口o = 0 f 一1 2 b a , 8 a + b 2 口2 一旦8 a + b 2 峥小一赤( 8 a + b 2 ) a ，b 4 1 ， 口。刈口l 一朋2 一，。岛。0 心2 、一， 2 ) 口 o ，a 兰： 4 = 些，2 竺，吃= 岛= 。，= 1 ，七2 i 1ao 4 a - 1 a