（基础数学专业论文）函数变换法求经典fisher方程的显示解.pdf

函数变换法求经典f i s h e r 方程的显示解 专业：基础数学 研究生：庄红波指导教师：张健教授 本文主要在孤立子理论及李群变换的指导下，运用当前求解非线性发展 偏微分方程( 组) 的普遍方法一一函数变换法的一些具体方法，配合计算软 件m a t h e m a t i c a 的运算功能，求得了经典f i s h e r 方程的一些新的显示解。 文章共分三章。第一章是显示解研究的背景和方向介绍，包括孤立子理 论、李群变换、计算机的辅助作用、显示解的类型和研究方法分类。第二 章着重介绍作者研究所用到的一些函数变换法如齐次平衡法、推广的t a n h 函 数法、复t a n h 函数展开法、广义幂一指函数法等，和f i s h e r 类方程已有的一些 研究成果特别是显示解的一些结果。第三章对非线性发展偏微分方程里经 典f i s h e r 方程的一个最常见形式 一ou一，y坐一3u(1一u)：o，oto 一一 ，口，l = ：= _ ，x 2 一，。 ( 0 - 1 ) 分别用函数变换法里推广的t a n h 函数法及其拓展、复t a n h 函数展开法、广义 幂一指函数法结合现代数学计算软件m a t h e m a t i c a 得到了所期望的它的一些显 示解。 在第三章里，首先我f l t a n h 函数法的原则下，选用r i c c a t i 方程的简单形 式 秽，= b + 秽2 ， ( 0 - 2 ) 进行“扰动”，推广了以前的t a l l l l 函数法，也获得了方程( 0 - 1 ) 1 拘形式复杂 的t a n h 函数显示解。接着我们再次调整扰动的r i c c a t i 方程为 陇= 尼( 1 一u 2 ) ， 第i 页 ( 0 - 3 ) r i i p 中文摘要 同时让方程( o 一1 ) 的形式解为更复杂的 u ：o o + 0 1 钉+ b o ( d ( 1 一v 2 ) ) + b l v ( d ( 1 一v 2 ) ) ( 0 - 4 ) 从而再一次拓展了前面的推广的t a n h i 函数法，获得了复线性显示解。运用最 近提出的复t a n h 函数展开法，我们还获得了方程( 0 - 1 ) 的复t a n h i 函数形式的显 示解；受其启发我们令方程( 0 - 1 ) 解分别为为实t a n l l 函数形式、复t a n 函数形 式、实t a n 函数形式 仳2 = a + b t a n h ( y ) ， u 3 = a + b t a n ( i y ) ， u 4 = a + b t a n ( ? 7 ) ， ( 0 - 5 ) ( 0 - 6 ) ( 0 - 7 ) 不仅获得了对称形式的显示解，还推广了复t a n h i 函数展开法。最后我们采用 广义幂- 指函数法寻找到了方程( 0 - 1 ) 更为一般的幂一指函数形式 的显示解。 u = b + 器舻针 ( 关键词：非线性发展偏微分方程( 组) 、孤立子、李群、反散射方 法、显示解、函数变换法、经典f i s h e r 方程、扰动、推广的t a n h 函数法、 复t a n h 函数展开法、广义幂一指函数法、m a t h e m a t i c a z h u a n g h o n g b 0 7 6 1 2 3 1 2 6 c o m 第i i 页 毕业论文 s e a r c h i n gd i s p l a ys o l u t i o n so ft h ec l a s s i c a lf i s h e r e q u a t i o nb ys o m ef u n c t i o nt r a n s f o r m a t i o nm e t h o d s m a j o r ：b a s i cm a t h e m a t i c s a u t h o r ：h o n g - b oz h u a n gs u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rj i a nz h a n g u n d e rg u i d eo ft h es o l i t o nt h e o r ya n dt h el i eg r o u pt r a n s f o r m a t i o n ，b y u s i n gs o m ee x a c tf u n c t i o nt r a n s f o r m a t i o nm e t h o d sw h i c ha r ec o m m o nu s e dt o l o o k i n gf o rs o l u t i o n so fn o n l i n e a re v o l u t i o n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( s ) t o d a y , a n d c o o p e r a t e dc o m p u t i n gs o f t w a r em a t h e m a t i c a ，t h i sp a p e rg a i n ss o m en e wd i s p l a y s o l u t i o n so ft h ec l a s s i c a lf i s h e re q u a t i o n i ti sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e ri si n t r o d u c t i o no fb a c k - g r o u n da n dd i r e c t i o no fg e t t i n gd i s p l a ys o l u t i o n s ，i n c l u d i n gt h es o l i t o nt h e o r y , t h el i eg r o u pt r a n s f o r m a t i o n ，c o m p u t e r sa s s i s t a n c e ，t y p e so fd i s p l a ys o l u t i o n s a n dm e t h o d so fs e a r c h i n gd i s p l a ys o l u t i o n se t c t h es e c o n dc h a p t e rf o c u s e so n s o m ef u n c t i o nt r a n s f o r m a t i o nm e t h o d sw h i c hw e r eu s e di nt h ew r i t e r sr e s e a r c h w o r ks u c ha u st h eh o m o g e n e o u sb a l a n c em e t h o d t h eg e n e r a l i z e dt a n h - m e t h o d a n di t se x p a n d ，t h ec o m p l e xt a n h - f u n c t i o ne x p a n s i o nm e t h o d ，t h eg e n e r a l i z e d p o w e r e x p o n e n tf u n c t i o nm e t h o de t c ，a n ds o m er e s e a r c hr e s u l t so ff i s h e r - t y p e e q u a t i o ne s p e c i a l l ys o m ed i s p l a ys o l u t i o n so fs u c ht y p e t h et m r dc h a p t e rd e a l s w i t ht h ec o m m o n e s tf o r mo fc l a s s i c a lf i s h e re q u a t i o n 妻一，y塑一，u(1一让)-0，o 一一口，l = = _ i 况x 2 吖 v ( o - 9 ) b yu s i n gs o m ee x a c tf u n c t i o nt r a n s f o r m a t i o nm e t h o d ss u c ha st h eh o m o g e n e o u s b a l a n c em e t h o d ，t h eg e n e r a l i z e dt a n h - m e t h o da n di t se x p a n d ，t h ec o m p l e xt a n h - f u n c t i o ne x p a n s i o nm e t h o d ，t h eg e n e r a l i z e dp o w e r - e x p o n e n tf u n c t i o nm e t h o d a n dw i t hm o d e r nm a t h e m a t i c sc o m p u t i n gs o f t w a r em a t h e m a t i c at og e ts o m e d e s i r e dd i s p l a ys o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n i nt h et h i r dc h a p t e r ，f i r s t l yd e p e n d i n go ns o m ep r i n c i p l e so ft h et a n h - f u n c t i o nm e t h o d ，w ea d o p tas i m p l e s tf o r mo ft h er i c c a t ie q u a t i o n v ，= b + u 2 ， 第i i i 页 ( o 一1 0 ) ， e n g l i s ha b s t r a c t t o d i s t u r b ”e q u a t i o n ( a 9 ) ，n o to n l yg e n e r a l i z et a n h - f u n c t i o nm e t h o db u ta l s o g e tc o m p l e xt a n h f u n c t i o nf o r m sd i s p l a ys o l u t i o n s t h e nw em o d i f yd i s t u r b i n g p d c c a t ie q u a t i o na g a i nt ot h ef o l l o w i n gt y p e 陇= k ( 1 一 2 ) ， w h i l es e tac o m p l e xs o l u t i o nf o r mo fe q u a t i o n ( 0 - 9 ) a s 让= 知+ 口1 口+ b 0 ( d ( 1 一u 2 ) ) + b l v ( d ( 1 7 1 2 ) ) ； ( 0 - 1 1 ) ( 0 - 1 2 ) w h i d ll e tu se x p a n dt h eg e n e r a l i z e dt a n h f u n c t i o nm e t h o da n d g e ts o m ec o m p l e x h n e a rd i s p l a ys o l u t i o n so fe q u a t i o n ( 0 - 9 ) b ya p p l y i n gt h ec o m p l e xt a n h - f u n c t i o n e x p a n s i o nm e t h o dw h i c hw a sp r o p o s e dr e c e n t l y , w eg e ts o m ec o m p l e xt a n h f u n c t i o n f o r md i s p l a ys o l u t i o n so fe q u a t i o n ( - 9 ) ；t h r o u g hs u c hi n s p i r a t i o nw es e t f o l l o w i n gr e a lt a n h - f u n c t i o nf o r m ，c o m p l e xt a n - f u n c t i o nf o r m ，r e a lt a n - f u n c t i o n f o r ms o l u t i o n so fe q u a t i o n ( 0 - 9 ) r e s p e c t i v e l y u 2 = a + b t a n h ( r ) ， u 3 = a + b t a n ( i 叩) ， u 4 = a + b t a n ( 叩) ， ( o 一1 3 ) ( 0 - 1 4 ) ( 0 ：1 5 ) n o to n l yg e ts o m es y m m e t r i c a lf o r m so fd i s p l a ys o l u t i o n sb u ta l s og e n e r a l i z et h e m e t h o d f i n a l l yw ed e p e n do nt h eg e n e r a l i z e dp o w e r e x p o n e n tf u n c t i o nm e t h o d t og e ts o m ec o m m o np o w e r - e x p o n e n tf u n c t i o nf o r m s 让= b + 群舻汛， z h u a n g h o n g b 0 7 6 1 2 3 1 2 6 c o r n 第i v 页 ( 0 - 1 6 ) 毕业论文 ， o fd i s p l a ys o l u t i o n so fe q u a t i o n ( 0 - 9 ) k e yw o r d s ：n o n l i n e a re v o l u t i o n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( s ) ，s o l i t o n ，l i e g r o u p ，t h ei n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d ，d i s p l a ys o l u t i o n ，t h ec l a s s i c a lf i s h e re q u a - t i o n ，d i s t u r b ，t h eg e n e r a l i z e dt a n h - m e t h o d ，t h ec o m p l e x t a n h - f u n c t i o ne x p a n s i o n m e t h o d ，t h eg e n e r a l i z e dp o w e r - e x p o n e n tf u n c t i o nm e t h o d ，m a t h e m a t i c a 。 9 2 8 2 0 四j lli j i l i 范大学学位论文独创性及使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师韭毽熬援指导下，独立进行研 究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而弓 起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥有 学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印刷版 和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索；2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文作 为资料在图书馆、资料室等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。 论文储签名：力红谥 。6 年s 只骞b 第一章非线性发展偏微分方程( 组) 显示解的类型 和求法 1 1 非线性发展偏微分方程( 组) 的一般形式和研究方向 一般形式 在数学、物理、化学及生物等领域中，人们遇到的大量非线性现象被定 量描述为非线性发展偏微分方程( 组) ，即它们是不仅包含空间变量、未知 函数、未知函数对空间变量偏导数，而且包含时间变量、未知函数对时间变 量偏导数的非线性偏微分方程或方程组( 参见 1 】- 4 】) 。其一般形式可以写为 风( z ，t ，u ，u z ，u t ，u 让确) = 0 ， ( 1 - 1 ) 其中k = 1 ，2 ，z ，x = 1 ，z 2 ，z m ) 是空间变量，t 是时间变量，让= ( u 1 ，u 2 ，) ，= u ，( z ，亡) 是未知函数，玩是给定的函数关系，u 钍t 分 别表示u 对x 、亡的导数，f 、m 、n 是自然数。 研究方向 因为线性方程的许多性质非线性方程都不具备( 如叠加原理) ，所以对 非线性方程的研究难度也相应增加。一般说来，求出方程( 1 1 ) 的所有解是 不可能或很难办到。现在关于方程( 1 1 ) 的研究主要从三个方面进行的。一方 面，在难以求显示解的情况下，依据基础数学的知识对其解的适定性( 存在 性，唯一性，和稳定性等) 进行讨论、说明、分析和研究；另一方面，借助 计算数学的理论和计算机，对其解进行数值模拟，近似计算乃至图形分析和 处理；第三方面，应用一些数学手段和技巧，比如构造适当的变换和假设对 方程化简并求出一些显示解。尽管三个方面研究的重点和使用的方法不同， 但它们都以探索解的变化规律为己任，共同推动着基础数学、计算数学、应 第1 页 第一章非线性发展偏微分方程( 组) 显示解的类型和求法 用数学的发展，也为人类认知一些非线性发展问题和相关的自然现象和规律 提供参考和依据。 第三方面是本文讨论的范围。一般说来由于非线性发展方程定解问题的 复杂性，况且，非线性方程本身具有许多自带的特点，大量的具有实用价值 的重要方程无法求出显示解。已经求出显示解的非线性发展方程，也是根 据不同的方法而得到的，尚无统一的方法。得到的显示解是否具有物理意 义还有待进一步验证。当然，我们所谓的求解也只是求方程( 1 1 ) 满足一定初 ( 边) 值条件或约束条件的特解，其中，孤立波解和相似解是最具有代表性 的特解。能否求出这些特解，在很大程度上取决于是否有切实可行的求解方 法。所以，求解和求解方法的发展构成了显式解研究中的一个有机整体。而 我们的求解方法又与孤立子理论和李群变换的发展密切相关。 1 2 孤立子和李群对显示解求法的影响 孤立子理论的产生和发展 1 8 3 4 年，英国造船工程师r u s s e l l 偶然观察到了一种奇妙的水波。1 8 4 4 年， 他在英国科学促进协会第1 4 届会议中作了题为论波动的报告 5 】。在报 告中，他对此现象作了生动的描述，记叙了他沿着河道骑马追踪一种奇特 的水波现象，并通过水槽实验观察得到的这种 孤立波“( s o l i t a r yw a t e r w a v e s ) ：他抱怨数学家没有能从已知的流体运动方程预言这种现象；他认 为，这种孤立波是流体运动的一个稳定解。后来他进行了很多实验，并猜想 孤立波的解析形式，为揭示孤立波的本质花费了毕生大部分精力，但一直未 能给出圆满的解释，未能成功地证明并使物理学家和数学家信服他的论断。 直至u 1 8 9 5 年，荷兰著名数学家k o r t e w e g 和他的学生d e v r i e s 研究浅水波运 动时，找到了一种流体中单向波传播的数学模型，即著名的k d v 方程【6 ，并 且给出了它的周期解，命名为椭圆余弦波，才较好地解释r u s s e l l 观察到的现 象，为后来的工作奠定了基础。但他们的成果当时并没有引起足够的重视， 许多人认为，这种行波不过是偏微分方程的特殊解，用特别的初值可得到 它，在初值问题的讨论中是微不足道的；况且k d v 方程是非线性的，由于非 z h u a n g h o n g b 0 7 6 1 2 3 1 2 6 c o m 第2 页毕业论文 第一章非线性发展偏微分方程( 组) 显示解的类型和求法 线性的互相作用，二个孤立波碰撞后，波形很可能会破坏，故是不稳定的， 对描述物理现象不会有什么帮助；这种孤立波是否在流体力学以外的其他物 理领域中出现还很难说。因此，k d v 方程和孤立波的研究一直徘徊不前。 直至u 1 9 5 5 年，e f e r m i 、j p a s t a 和s u l a r n 用单质点链模型研究热传导问题 时，发现能量达到平衡的概念是错误。实际上，经过长时间以后，几乎全部 能量又回到了原来的初始分布。这就是著名的f p u 问题 7 】。他们发现必须采 用孤立波才能处理该问题。 1 9 6 0 年，g a r d n e r 和m o r i k a w a 在无碰撞磁波的研究中，又重新发现k d v 方 程f 8 1 。从而又激起了人们对孤立波研究的兴趣。 后来，1 9 6 2 年，p e r r i n g 和s k y r m e 研究基本粒子模型时，对s i n e - g o r d o n 方 程作了数值模拟，结果表明：这个方程具有孤立波 9 。 1 9 6 5 年，美国著名物理学家、美国科学学院院士k r u d k a l 和物理学 家z a b u s k y 通过对调和晶格模型得到的k d v 方程进行数值模拟，并把k d v 方 程用于等离子体波的研究，借助计算机详细考察了等离子体中孤立波的互相 碰撞过程，并进一步证实了这类孤立波相互作用后不改变波形的论断 1 0 。 正是这种孤立波具有类似子粒子碰撞后不变的性质，故又被称为孤立子 ( s o l i t o n ) 。 从实验中观测到的孤立子能否利用方程给出其解析表达式，或问题的反 面，求解一些非线性方程，从理论上去认识孤立子，即孤立子理论，很自然 的成了数学和物理共同关心的话题。 7 0 年代以后，孤立子理论的研究受到了国际上数学界和物理学界的充分 重视，研究工作日趋广泛，出版了一些专著，此外，还有大量的杂志、论 文、会议记录和论文集。目前，较为完整的孤立子理论己逐步形成，国内外 在这面已出版很多专著【1 1 2 2 】。 在孤立子理论形成中，数学的抽象性、严密性和物理学的形象性和启发 性二者相互结合、相互依赖、相互渗透、相互促进、使孤立子理论显示出强 大的生命力。现代自然科学发展的重要特点之一，理论与实验结合，在孤立 子的研究中得到充分体现。 z h u a n g h o n g b 0 7 6 1 2 3 1 2 6 c o m 第3 页毕业论文 第一章非线性发展偏微分方程( 组) 显示解的类型和求法 至今，孤立子的研究已成为非线性领域的重要课题。目前，孤立子一词 虽被广泛引用，但尚无一般形式的定义。数学中，将孤立子理解为非线性发 展方程的具有特殊性质的解，这些解在物理中，表现为一种稳定的波( i ) 能 量比较集中在一个狭小的区域，( i i ) 相互碰撞后不改变波形和波速。 迄今为止，除k d v 方程外，许多具有物理意义的非线性发展方程都具 有孤立子解，这些方程来源于等离子实验、晶格实验、凝聚态物理、超导 物理、激光物理等领域，如s i n e - g o r d 衄方程、s c h r s d i n g e r 方程，b o u s s i n e s q 方 程，h i r o t a 方程，k p 方程等。 此外，孤立子也是各种各样的，一般单孤立子具有四种形状，分别叫钟 型( 或波包型) 、反钟型( 涡旋型) 、扭结型( 结状) 、反扭结型( 反结 状) 。除常见的钟状和扭状孤立子外，还有包括正孤立子、负孤立子、反孤 立子，呼吸孤立子有及它们叠加形成的形形色色的孤立子，详细介绍可参 孤立子理论对非线性发展方程显示解求法的影响 孤立子理论的产生和发展为非线性发展方程提供了丰富的求解方法，如 反散射法( i s t ) 、d a r b o u x 方法、h i r o t a 方法等。 1 9 6 7 年，g a r d n e r 、g r d d n e 、k r u s k a l 和m i u r a 仓j 立了反散射方法f 2 3 ，2 4 1 ， 也称非线性f o u r i e r 变换法，成功地求出了k d v 方程的孤立子 解，但这种完整的数学表述文章直到1 9 7 4 年才发表出来【2 5 】。后 来l a x 、z a k h a r o v 、s h a b a t 等人把它扩展后去解一般的非线性发展方程就形 成t l a x 理论f 2 6 ，2 r 。a b l o w i t z 、k a u p 、n e w e l l 和s e g u r 更加一般化了这一方 法，统称a k n s ( a b l o w i t z 、k a u p 、n e w e l l 和s e g u r ) 方法 2 8 - 3 0 我国的李翊 神教授、谷超豪教授、田畴教授、屠规彰教授为发展这一方法也作了很好的 工作f 3 1 3 7 1 。反散射方法的创立是非线性发展偏微分方程显示解研究中里程碑 事件，它使人们看到：尽管非线性偏微分方程求显示解工作是一项艰难复杂 的任务，但人们毕竟为解决这一难题迈出了充满希望的一步。 1 9 7 1 年，h i r o t a f 3 8 - 4 0 1 引入了一种重要而直接的方法，这就是利用函数变换 求特解的h i r o t a 方法，有的文献也把它叫做双线性方法，这是求解一大批非线 性发展方程孤立子解的相当普遍的方法这也是函数变换法的起步。 z h u a n g h o n g b 0 7 6 1 2 3 1 2 6 c o m 第4 页毕业论文 第一章非线性发展偏微分方程( 组) 显示解的类型和求法 与此同时，古老的数学方法一b 苴c k l u n d 变换获得新生并用于一般的非线 性发展方程求解，由b i c k l u n d 变换引出的非线性迭加原理将非线性方程的 求解问题归结为纯代数运算，从而获得方程的特解 4 0 ，4 1 】。不仅如此，利 用b i c k l u n d 变换可以作d a r b o u x 阵，这就形成了d a r b o t l x 方法。谷超豪教授、 周子翔教授、胡和生教授等作了很多工作f 4 2 4 5 】 1 9 7 8 年，张鸿庆教授4 6 1 提出了微分方程求解代数化思想，后被命名为 “a b = c d 法，目的是用代数方法给出微分方程较为统一的算法，并由此解 答了一大批力学中的方程( 组) 。 1 9 9 4 年王明亮教授，李志斌教授基于非齐次项与高阶导数项平衡的原则，将 非线性演化方程齐次化、代数化，提出了齐次平衡法，又称拟解法，成功地 求解了一大批非线性方程 4 7 - 4 9 1 。 1 9 9 8 年乔志军教授等 5 0 1 从l a x 阵，r - 矩阵及“非线性理论 出发，利用变 量分离方法及代数几何工具，提出了构造代数几何解或有限带势解的途径。 范恩贵教授等探究非线性发展方程新的求解方法出发进行了大量研究工 作，对一大批非线性发展方程发现了新的具有物理背景的孤立子解【5 1 5 7 】。 总之，非线性方程求解方法因具体方程而各式各样，目前，尚无一本专 著能够论述精确的所有方法，因为，孤立子的研究不断推动着非线性方程求 方法与技巧的发展，新的求解方法不断涌现。 李群理论对非线性发展方程显示解求法的影响 反散射等方法等在讨论一批孤子方程孤子解时是成功的，但它毕竟有其 狭小的使用范围和局限性。为此，人们在发展和完善求孤子解方法的同时， 也在通过其它途径多方位获得显示解。李群方法也是求非线性发展方程显示 解( 相似解和孤立波解特别是相似解) 的一种有效方法。 从十九世纪七十年代起，s l i e 试图通过对常微分方程构造一般的积分理 论，提出了连续变换群的概念和理论，并基于连续变换群的无穷小性质，进 行常微分方程不变性的研究和一阶偏微分方程和二阶热传导方程的初步研 究。他所提出的连续变换群就是现代科学中广泛应用的李群。 1 9 0 5 年，p o i n c a r e 发现l o r e n t z 变换构成的m a x w e l l 方程的对称群后，李群 z h u a n g h o n g b 0 7 6 1 2 3 1 2 6 c o m 第5 页毕业论文 第一章非线性发展偏微分方程( 组) 显示解的类型和求法 理论开始受到重视。虽然后来应用李群曾得到个别方程的一些相似解，但由 于理论发展的局限和计算的复杂，许多人感到它艰深末测。 1 9 7 4 年，b l u m a n 和c o l e 5 8 的微分方程的相似法成为利用李群理论研 究非线性微分方程的入门著作。它的出现使众多学者不再觉得李群抽象难 懂，也使更多的读者了解到李群在非线性微分方程有很广泛的应用空间。 三十多年来，经过数学和物理工作者的不断努力，李群理论及应用研究 已达到一个新的高度，比较完整的结果7 h o l v e r 写在专著 5 9 1 李群在微分方程 的应用之中。 在已经发展起来的求非线性发展方程的方法中，其核心思想都是通过函 数和自变量的变换，使方程得到约化，变成较容易求解的微分一积分方程、常 微分方程或代数方程等。至于如何选择变量变换：却是一项技巧性很强的艺 术。李群分析法提供了一种如何构造这种变换的较为系统的方法，使人们选 择变换时有章可循，为寻找相似解提供了理论基础。近几年来，基于李群理 论对非线性发展方程进行约化分类的研究已有部分初步结果 6 0 ，6 1 】。这种分类 既是出于求显示解的需要，同时又导出了一些新的方程，为人们的深入研究 提供了模型。这是值得关注的一个新动向。 计算机在解非线性方程中的作用 在孤立子理论研究中，从k r u s k a l 和z a b u s k y 用计算机研究等离子体中孤立 波碰撞的非线性相互作用过程，f e r m i 等人在计算机上进行了非谐晶格的实验 开始，计算机在孤立子研究中已显示出重要作用。 而计算机代数是用计算机对数学公式直接进行处理的理论、算法 和系统，将数学中刻板的、大量重复性而人工难以完成的运算让计算 机来完成，既提高了速度也保证了准确率。随着各种符号运算软件， 如m a t l a b 、m a t h e m a t i c a 、m a p l e 、a n s y s 、l i n d o 、o r i g i n 等的开发，符号运 算已成为现代数学研究中的强有力工具，是科学计算的新发展。 我国著名数学家吴文俊院士大力提倡数学机械化研究，并取得了举世公 认的成就，创建了多元多项式方程组求解的吴消元法，初等几何机械化证明 及微分代数几何基础 6 2 6 4 】 为近代非线性科学的研究提供了强有力的工具。 著名数学家程民德院士认为：“数学机械化思维的明确提出，意义十分重 z h u a n g h o n 曲0 7 6 1 2 3 1 2 6 c o m 第6 页毕业论文 第一章非线性发展偏微分方程( 组) 显示解的类型和求法 大，是从战略的高度为数学的发展提出了构想。”目前，吴文俊院士的数学 机械化思想已渗透在微分方程式特别是孤立子理论研究中，如构造p a i n l e v 6 变 换，孤子族的生成及其l a x 阵表示，可积系统的约化和分解，寻找对称群等 等，经常涉及到十分复杂的符号计算和推理，但这些符号计算具有重复性、 固定套路和规律，有些计算繁冗，人力难以完成，正是计算机代数用武之 地。石赫研究员利用机器证明中的吴消元法，求解了著名的具有1 2 个未知量 和方程的二阶非线性偏微分方程的y a n g - m i l l s 方程组，对这个十分复杂但却 非常重要的规范场方程，巧妙地引入一种线性微分变换，并借助吴方法， 将y a n g - m i l l s 方程约化为三个简单的二阶线偏微分方程 6 5 】。朱思铭教授把 吴方法和符号计算应用于孤立子中偏微分方程p a i n l e v 6 性质的奇点分析，在 机器上证明了一批偏微分方程是p 一型的 6 6 ，6 7 】。近年来，张鸿庆教授和范恩 贵教授在微分方程求解问题代数化、机械化及吴方法在微分方程应用方面 做了一系重要工作 6 8 - 7 2 1 ，求解了力学和物理中如b e r n o u l l i 方程、l a m b e r t 方 程、d u f f i n g 方程、l i o u v i l l e 方程、b u r g e r s 方程、b e n n e y 方程、高阶k d v 等一 大批方程或其组合形式。 李志斌教授在利用吴方法和计算机代数，寻找和构造非线性演化方程行 波解方面做很好的工作，基于大多数孤波解都可表示成双曲正切函数的有限 级数，引入了一种直接而有效的t a n h 方法 7 3 ，7 4 】，从而将微分方程求解问题 转化为代数方程求解，沟通了吴方法与微分方程的联系，成功地求解了一大 批非线性演化方程，这也是作者研究工作的基础和切人点 7 5 8 0 。随着计算机 的飞跃发展，数学机械化日益完善。各种软件包开发出来了，方便了国内外 的研究员进一步研究非线性问题。非线性发展方程的解决，一般会遇见大量 的运算，根据现有的理论，结合计算机和软件包，运算将大大简化。 1 3 显示解的主要类型和主要研究方法 主要类型 目前，人们对非线性发展偏微分方程( 组) 所求出的显示解可分为孤立 波解( 行波解) 、孤( 立) 子解和相似解。 z h u a n g h o n g b 0 7 6 1 2 3 1 2 6 c o m 第7 页 毕业论文 第一章非线性发展偏微分方程( 组) 显示解的类型和求法 所谓非线性发展偏微分方程( 组) 的行波解就是形为让( z ，t ) = 让 一 解，其中c = ( e l ，c 2 ，) 是速度( 常数) 向量。近4 0 种常见方程的行波 解在综述性文献 7 5 】中给出。可以看出行波解是一种特殊形式的解。在求行波 解的时候可以使函数u 的自变量减少一个，常常令z c t = ，称为行波变换。 尤其是n = 1 时，方程( 1 1 ) 将转化为更容易讨论的常微分方程。 我们把非线性发展偏微分方程( 组) 的局部行波解称为孤立波解。这里 “局部”是指方程的解在空间的无穷远处趋于0 或其它确定的常数。 我们把通过相互碰撞后不消失，波形和速度也都不改变的稳定的孤立波 解称为孤( 立) 子解或孤子 8 1 】o 由此，孤立波解是指行波解的局部性，而孤立子解又是指孤立波解的稳 定性。但现在也有不少文献对它们不加区分。 如果对非线性发展偏微分方程( 组) 要求它在连续群变换下具备不变 性，利用其不变方程得到的解我们称之为相似解或群不变解。 行波解和孤立波解都是特殊形式的相似解。 研究方法 我们可以根据方法本身的重要性和应用的广泛性把求非线性发展偏微分 方程( 组) 显示解的方法分为以下三种： 1 李群分析法 自从b l u m a n 和c o l e 的著作【5 8 问世以来，李群分析法已成为求非线性发展 方程相似解的一种强有力的工具。其代表著作还有 5 9 ，8 2 8 9 】。李群分析法还 可以被细化为 ( 1 ) 经典李群分析法 经典李群分析法是利用李群无穷小变换和相联系的不变性去约化非线性 发展偏微分方程的一种方法 7 6 】。 ( 2 ) 非经典李群分析法 非经典李群分析法是经典李群分析法结合不变曲面条件对方程约化的一 种方法 8 5 o 2 反散射方法 z h u a n g h o n g b 0 7 6 1 2 3 1 2 6 c o r n 第8 页毕业论文 第一章非线性发展偏微分方程( 组) 显示解的类型和求法 反散射方法的思想类似于用f o u r i e r 变换求解线性微分方程，通常又被称 为非线性f o u r i e r 变换法。方法的详细介绍和运用可以参考前面列出的一些相 关文献。 3 函数变换法 函数变换法是本文我们讨论经典f i s h e r 方程所主要采用的方法。下一章我 们将对研究中所涉及到的一些具体的函数变换法作一些介绍，为第三章里这 些方法的运用作一些准备。 z h u a n g h o n g b 0 7 6 1 2 3 1 2 6 c o m 第9 页毕业论文 第二章函数变换法及f i s h e r 方程的研究状况 2 1 函数变换法 函数变换法是一类用函数变换的思想解非线性方程的方法总称。这类方 法子类众多，而且又根据侧重点的不同冠以不同的名称，在实践问题中往往 又是交差配合使用。目前尚未有专著进行系统化。本文涉及到的函数变换法 有： 1 齐次平衡法 齐次平衡法是王明亮，李志斌教授提出的构造非线性演化方程孤波解的 一种非常有效的方法，它的主要步骤如下： 第一步，对给定的非线性发展方程( 1 1 ) ，通过要求式中最高阶导数项与 最高次非线性项平衡，可以选择牡如下函数 1 ，磷醒，) ， 其中i ，j = 0 ，1 ，2 ，3 ，的合适的有限线性组合，记作 让= f ( ，( 叫) ) ， ( 2 - 1 ) 其中，( 叫) ，叫( z ，亡) 为待定函数，某些系数可能为待定系数。 第二步，把( 2 1 ) 式代入方程( 1 1 ) 经求导整理后，将w 相同导数项、最高 导数项及最高次幂项分别放在一起并令其系数为零，可得到关于厂( ) 的常微 分方程( 组) ，解之可得 f = a ( 叫) 第1 0 页 ( 2 - 2 ) 第二章函数变换法及f i s h e r 方程的研究状况 第三步，由( 2 2 ) 式出发可将第二步所得方程的表达式中，的各阶导数的非 线性项换成，的高阶导数线性项，然后把厂对相同导数项放在一起，并令各系 数为零，得到关于w 的一组齐次超定微分方程组 b ( 叫) = 0 第四步，设( 2 3 ) 式具有如下形式的解 叫= 1 - fe a x - f 厨 ( 2 - 3 ) ( 2 - 4 ) 其中弧卢为待定常数。( 2 4 ) 将代入( 2 3 ) ，得到关于o t 、p 及式中的待定系数为 未知量的代数方程组并求解，对复杂的代数方程组可利用吴方法处理解决。 第五步，将( 2 2 ) ，( 2 4 ) 式及必要的待定的常数代入( 2 1 ) ，即得方程的孤 波解。 齐次平衡法主要将微分方程求解转化为代数方程组求解，从而沟通了计 算机、吴方法与微分方程的联系，是求解微分方程的有效方法。 但我们分析发现，这种方法所得精确解仅是孤波型解，难以得到其他类 型的精确解，主要原因是第四步中形如1 + e a x + 卢。的假设限制了叫( z ，t ) 的一般 形式，因而求解过程疏漏了其它形式的精确解。对此，我们将作出一些必要 的改进，寻找更广泛的精确解。比如我们不假设w 具有( 2 4 ) 的形式，而直接求 解齐次方程组( 2 3 ) ，首先根据相容条件消去w 关于t 的导数项，从而得到的方 程可看作叫关于z 的常微分方程，即可将w 解出来。注意求解过程中积分常数 应看作t 的函数，最后再将叫代回( 2 3 ) 式，确定这些积分函数，这样得到的伽更 具有一般性，从而可获得一批新的更为形式丰富的解，而且可以看到孤波解 仅是其中的特殊情形。 z h u a n g h o n g b 0 7 6 1 2 3 1 2 6 e o m 第1 1 页毕业论文 第二章函数变换法及f i s h e r 方程的研究状况 2 t a n h 函数变换法 ( 1 ) 为求一类非线性发展方程的显示行波解，先作变换f = x c t 使偏 微分方程化为常微分方程。 ( 2 ) 然后把待求函数表达成t a n h ( ) 或t a n h ( ) s e c ( ) 的多项式代回求出的 常微分方程中。 ( 3 ) 通过齐次平衡法选择( 2 ) 中多项式的最高次数使其与常微分方程 里的最高导数项次数“平衡”。 ( 4 ) 让全部同类项系数各自为0 ，得到系数的代数方程组。 ( 5 ) 利用吴方法配合计算软件，得到代数方程的解。 ( 6 ) 反代回多项式，行波变换就可得原来一类非线性发展方程的显示行 波接解显示行波接解。 方法特点是思路清晰、简便，和李群分析法一样可用于( 在任何意义下 的) 可积和不可积系统。但计算量大，因此要借助吴方法配合计算机。当然 这种方法也可推广为把待求函数表达为其它某个函数的多项式，关键是要保 证函数集的线性无关。这种方法的应用和扩展可以见 8 6 ，8 7 】。 3 推广的t a n h 函数法( 扰动函数法) 推广的t a n h 函数法与t a n h 函数法一脉相承。但又不象上文齐次平衡法那 样被简单的推广。它采用了一种很新颖、灵活的扰动形式。利用扰动方程 可以更好地平衡系数，得到代数方程组。现在常见的扰动方程为大家熟悉 的r i c c a t i 方程和b e r n o u l l i 方程或它们的更为简单的形式。而且在此方法基础 上还可以进一步拓展。本文在第三章1 ，2 节中对其和推广有详细的阐述，这 里就暂时省略。 4 复t a n h 函数变换法 复t a n h 函数变换法是最j 丘- 2 0 0 4 年文