数学奥林匹克初中训练题（92）含答案.doc

数学奥林匹克初中训练题（92） 第一试一、选择题（每小题7分，共42分）1已知-a=1，那么，代数式+a的值为（ ） （A） （B）- （C）- （D）2平面上两点A、B的距离为a+b（a、b0）为定值，又点A、B到某直线的距离分别为a、b，则这样的直线共有（ ）条 （A）无穷多 （B）3 （C）2 （D）13如图1，在RtABC中，C=90，AC=3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，且OC=4，那么，BC的长等于（ ）（A）3 （B）5 （C）2 （D） (1) (2) (3)4如图2，直线PA是一次函数y=x+n（n0）的图像，直线PB是一次函数y=-2x+m（mn）的图像若PA与y轴交于点O，且S四边形PQOB=，AB=2，则=（ ） （A） （B） （C） （D）5如图3，在菱形ABCD中，DAB=120，点E平分DC，点P在BD上，且PE+PC=1，那么，边AB长的最大值是（ ）（A）1 （B） （C） （D）6如图4，AB是定长线段，圆心O是AB的中点，AE、BF为切线，满足AE=BF，在EF上取动点G，过G作切线交AE、BF的延长线于点D、C当点G运动时，设AD=y，BC=x，则y与x所满足的函数关系式为（ ） （A）正比例函数y=kx （B）反比例函数y= （C）一次函数y=kx-b（b0） （D）二次函数y=ax2+bx+c (4) (5) (6)二、填空题（每小题7分，共28分）1若关于x的一元二次方程（1-m2）x2+2mx-1=0的所有根都是比1小的正实数根，则实数m的取值范围是_2如图5，在直角ABC中，C=90，ABC=30，D是边AC的中点，则sinDBA=_3已知点A（1，3），B（5，-2），在x轴上找一点P，使AP-BP最大，则满足条件的点P的坐标是_4如图6，I是ABC的内心，AI的延长线交ABC外接圆于点D，交BC于点E，若BD=4，AE=6，且BE、CE的长为整数，则AB=_第二试一、（20分）已知关于x的一元二次方程 x2-mx-m-1=0 与2x2-（m+6）x-m2+4=0 若方程的两个实数根的平方和等于方程的一个整数根，求m的值二、（25分）如图，ABC的内切圆分别切BC、CA、AB于点D、E、F，过点F作BC的平行线分别交直线DA、DE于点H、G，问：图7中除由切线长定理可知AF=AE，BF=BD，CD=CE外，还有相等的线段吗？若有，请指出来，并加以证明三、（25分）某地有四个粮库A、B、C、D已知A库存粮1105t，B库存粮4104t，C库存粮6104t，D库存粮8104t，四个粮库的道路网如图8所示，已知ABC=CDA=90，C=60，DC=4km，AB=km现决定将四个粮库合并为一个粮库，为节约投资，新的粮库为原来四个粮库中的一个将新的粮库设在何处，可使粮食的总转运量最小？参考答案第一试一、1D 知=a+10，则a0于是，-a=1故（-a）2=1，而（+a）2=（-a）2+4=5，所以+a=2B 如图，分别以A为B为圆心，a和b为半径作圆，题设中直线L是A的切线，也是B的切线（因点A到直线L的距离为a，点B到直线L的距离为b）因而，直线L是两圆的公切线，共3条（2条外公切线，1条内公切线）3B 如图，延长CB至点G，使BG=AC，联结OG由OBG=OAC，OA=OB，知OBGOAC于是，AOC=BOG，OC=OG所以COG=COB+BOG=COB+AOC=AOB=90故CG=OC=8从而，BC=CG-BG=54C 由y=x+n（n0）得点A（-n，0）； 由y=-2x+m（mn）得点B（，0） 因为AB=n+=2，所以2n+m=4 由 可得点P（，） 又Q（0，n），则 S四边形PQOB=SAPB-SAOQ=ABy-AOQO=2-nn= 已证得2n+m=4，所以，m=2，n=1， 从而，=5B 如图，联结AP、AC、AE由DAB=120，DA=DC，可知ADC为等边三角形 因为E为DC中点，所以，AEDC 又AP=CP，则AEAP+PE=CP+PE=1 而AD=AE= 故边AB长的最大值是6B 如图，由条件可知A=B，1=2，3=4，5=6因为1+3+4+5+6+2=180，即1+3+6=90，则AOD+6=90又BCO+6=90，所以AOD=BCO于是，BCOAOD，有，则BCAD=AO2=k（常数），即y=二、1m=1或m2 当m=1时，方程为2x-1=0，解得x=，符合题意； 当m=-1时，方程为-2x-1=0，解得x=-，不符合题意；当m1时，因为=4m2+4（1-m2）=40，其两根为x1=，x2=由题意知，01，且02 综上可知，m=1或m22 过点D作DEAB于E，设AD=CD=x，则 AB=4x，AE=x，DE=x 所以，BE=x，BD=x 故sinDBA=3（13，0）作点B关于x轴的对称点B，则有B（5，2）作直线AB，可求得AB的解析式为y=-x+直线AB与x轴的交点为点P时，PA-PB最大因此，P（13，0）46或8由I是内心，知BAD=CAD又CAD=CBD所以，BAD=CBD于是，BADEBD故BD2=DEAD即DE（DE+6）=42解得DE=2，由AEDE=BECE，知BECD=12因为BE、CE长为整数，且BE+CE=BCBD+CD=8，所以，BE=3，CE=4或BE=4，CE=3 由BADEBD，知= 所以，AB=2BE 故AB=6或AB=8第二试一、设方程的两根为x、x，则有 x12+x22=m2+m+2用因式分解法可求得方程的两根为m+2和依题意，应分两种情况讨论： （1）m2+m+2=m+2，且m+2为整数，解得m1=0，m2=-（不合题意，舍去）； （2）m2+m+2=，且为整数，解得m3=-1（不合题意，舍去）二、如图，过点A作FG的平行线分别交DF、DG的延长线于点M、N，则 AMF=BDF，ANE=CDE 由切线长定理知BF=BD， CE=CD，AF=AE 所以，BDF=BFD，CDE=CED 又因BFD=AFM，CED=AEN，则AMF=AFM，AEN=ANE 故AM=AF，AE=AN，所以，AM=AN 由FGMN，知，于是，FH=HG三、延长DA、CB交于点E 在RtABE中，由E=30，DC=，可知 AE=2，BE=3 在RtDCE中，由E=30，DC=4，可知 CE=8，DE=4 所以，BC=CE-BE=5，AD=DE-AE=2设把新粮库分别建在A、B、C、D时，总转动量分别为WA、WB、WC、WD于是，当新粮库建在A时，运粮路线为：BA；DA；CBA 故WA=4+82+6（5+）=30+26（104tkm） 当新粮库建在B时，运粮路线为：AB；CB；DAB 故WB=10+65+8（2+）=30+34（104tkm）