（基础数学专业论文）关于smarandache素数列及其有关数论问题.pdf

中文摘要 著名的美籍罗马尼亚数学专家f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e 教授1 9 9 3 年出版了 ( o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ! ) ) 一书，在书中他提出了1 0 5 个关于数论函数 和序列的问题和猜想，引起了数论爱好者的兴趣，许多专家学者对此进行了深 入的研究，并取得了不少具有重要理论价值的研究成果 本文基于对上述问题的兴趣，利用初等方法和解析方法研究了s m a r a n - d a c h e 素数列行列式、s m a r a n d a c h e 完全平方列以及s m a r a n d a c h e 双阶乘函数 的一些问题，从而给出了一些相关的性质和函数的界限以及方程的解具体地 说，本文的主要成果包括以下几个方面： 1 研究s m a r a n d a c h e 素数列行列式的性质，对张文鹏教授提出的两 个猜想进行讨论，即：i 、对任意合数竹6 有s m a r a n d a c h e 素数列行列 式c ( n ) = 0 及g m ) = o ；i i 、对任意素数q 有s m a r a n d a c h e 素数列行列 式c ( q ) o rc ( q ) 0 完全证明了猜想i ，并通过大量数据实验验证了猜 想i i 的正确性 2 在s m a r a n d a c h e 平方列中定义出两个新的函数& 和厶，并讨论了 当佗一时，& 一厶的敛散性 3 对n ! 的s m a r a n d a c h e 双阶乘函数j s 珂( n ! ) 进行研究，证明了i s d f ( ( n + 1 ) ! ) 一s d y ( n o i 和型掣的有界性，并找到了s m a r a n d a c h e 双阶乘函数方程的 根 关键词 s m a r a n d a c h e 素数列，行列式，s m a r a n d a c h e 平方列，双阶乘函数 a b s t r a c t ( 英文摘要) a m e r i c a n r o m a n i a nn u m b e rt h e o r i s tf l o r e n t i ns m a r a n d a c h ep u b l i s h e da b o o kn a m e d “o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ! ”i n1 9 9 3 i nt h i sb o o k ，h ep r e - s e n t e d1 0 5u n s o l v e da r i t h m e t i c a lp r o b l e m sa n dc o n j e c t u r e sa b o u ts p e c i a ls 争 q u e n c e sa n df u n c t i o n s ，m a n yr e s e a r c h e r ss t u d i e dt h e s ep r o b l e m s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w eu s e de l e m e n t a r ym e t h o d sa n da n a l y t i c a lm e t h o d st o s t u d yt h es m a r a n d a c h ep r i m ep a r ts e q u e n c e sd e t e r m i n a n t 、t h es m a r a n d a c h e p e r f e c ts q u a r es e q u e n c e sa n dt h es m a r a n d a c h ed o u b l ef a c t o r i a lf u n c t i o n s e - q u e n c e sa n dn e a rp s e u d os m a r a n d a c h ef u n c t i o n ，a n dg i v e ns o m er e l a t e dn a t u r e ， a s y m p t o t i cf o r m u l a sa n ds o l u t i o n so fs o m ee q u a t i o n s t h em a i na c h i v e m e n t s c o n t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： 1 w es t u d i e ds o m ev a l u ep r o p e r t i e so ft h es m a r a n d a c h ep r i m ep a r ts e - q u e n c e sd e t e m i n a n ta n dd i s c u s s e dt w oc o n j e c t u r e sp r o p o s e db yp r o f e s s o rw e n - p e n gz h a n g ：c o n j e c t u r e1 。f o ra n yc o m p o s i t en u m b e r 死6 ，w eh a v et h e i d e n t i t i e s c ( 佗) = 0a n dc ( n ) = o ；c o n j e c t u r e2 f o ra n yp r i m eq ，w eh a v e c ( q ) 0a n dc ( q ) 0 a b o u tc o n j e c t u r e1 ，w eh a v es o l v e di tc o m p l e t e l y , w h i c hw i l lb ep u b l i s h e di np u r ea n da p p l i e dm a t h e m a t i c s b u tf o rc o n j e c t u r e 2 ，i t ss t i l la no p e np r o b l e m 2 i nt h i ss e c t i o n lw ed e f i n e dt w of u n c t i o n ss na n di na b o u tt h es m a r a n - d a c h es q u a r es e q u e n c e s w ea l s os t u d i e dt h ep r o p e r t yo f 岛一厶a sn o 。 3 as p e c i a lp r o b l e mo ft h es m a r a n d a c h ed o u b l ef a c t o r i a lf u n c t i o no f 佗! i s r e s e a r c h e d t h eb o u n d e d n e s so fi s 哲( + 1 ) ! ) 一s 够( n ! ) ia n d 垒笔业a r ep r o v e d m o r e o v e r ，w eh a v ef o u n d e dt h es o l u t i o n so ft h et h es m a r a n d a c h ed o u b l ef a c t o r i a l f u n c t i o ne q u a t i o n k e y w o r d s s m a r a n d a c h ep r i m es e q u e n c e s ，d e t e r m i n a n t ，s m a r a n d a c h es q u a r es e - q u e n c e s ，d o u b l ef a c t o r i a lf u n c t i o n 1 1 1 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：盈逊指导教师签名：毽兰皇翌 为解莎月l 上e t叫。i f - 占月停e t 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：禾礁劾扛 少p 年多月z e t 两北大学硕十学位论文 第一章绪论 1 1 课题的研究背景与意义 数论，是研究数的规律的科学，是研究整数性质的数学分支它与几何学 一样，是数学中最古老而又始终活跃的研究领域，确切地说，数论是一门研究 整数性质的数学分支【l 】数论形成一门独立的学科后，随着其它数学分支的发 展，数论的研究方法在不断地发展，现代数论已经深入到数学的许多分支 在我国，数论也是发展最早的数学分支之一我国的数学工作者对数论 中许多著名问题进行了大量的研究【7 ，1 6 - 2 7 1 ，并作出了重大贡献【枷，1 5 1 可以认 为，数论是迄今为止我国在近代数学中取得有重大进展的最突出的分支之一 其中对“哥德巴赫猜想”的研究成果尤其引人注目 当自变量礼在某个整数集合中取值，因变量y 取实数值或复数值的函 数y = ，( 扎) ，这种函数称之为数论函数或算术函数因为许多数论或组合数学 中的问题均可以转化为一些数论函数来讨论，所以数论函数显得尤为重要，是 数论中的一个重要研究课题，也是研究各种数论问题中不可或缺的重要工具 关于s m a r a n d a c h e 函数相关性质的研究在数论研究中一直都占有十分重 要的位置，许多著名的数学问题都与之关系密切，因此在这一领域取得的任何 实质性的进展都会对初等数论和解析数论的发展起到重要的推动作用! 罗马尼亚数论专家f s m a r a n d a c h e 教授1 9 9 3 在( ( o n l yp r o b l e m s ，n o t s o l u t i o n s 2 - - 书中提出了1 0 5 个尚未解决的数论问题及猜想随着这些问题 的提出，许多学者对此进行了深入的研究与探讨，并取得了不少具有重要理论 价值的研究成果，对这些问题进行研究并在一定程度上的解决，具有着重要理 论意义和理论应用研究价值 基于以上的想法，本文应用初等数论、解析数论等知识对s m a r a n d a c h e 教授提出的几个数论问题进行研究，主要研究了s m a r a n d a c h e 素数列问题、 平方列问题以及s m a r a n d a c h e 双阶乘函数的一些问题 】 第一章绪论 1 2 课题的主要成果和内容 如前所述，本文利用初等方法和解析方法研究了s m a r a n d a c h e 素数列行 列式、s m a r a n d a c h e 完全平方列以及s m a r a n d a c h e 双阶乘函数的性质，从而 给出了一些相关的问题性质和函数的界限以及方程的解具体地说，本文的主 要成果包括以下几个方面： 1 研究s m a r a n d a c h e 素数列行列式的性质，对张文鹏教授提出的两 个猜想进行了讨论，即：i 、对任意合数n 6 有s m a r a n d a c h e 素数列行 列式c ( n ) = 0 及c ( n ) = o ；i i 、对任意素数q 有s m a r a n d a c h e 素数列行列 式c ( q ) o 及c ( q ) 0 完全证明了猜想i ，并通过大量数据实验验证了猜 想i i 的正确性 2 在s m a r a n d a c h e 平方列中定义出两个新的函数岛和厶，并讨论了 当n _ 0 0 时，& 一厶的敛散性 3 对礼! 的s m a r a n d a c h e 双阶乘函数s 够( 他! ) 进行研究，证明了l s d f ( ( n + 1 ) ! ) 一s 彤( 佗! ) i 和里掣的有界性，并找到了s m a r a n d a c h e 双阶乘函数方程的 根 2 两北大学硕七学位论文 第二章数论发展史 2 1 数论的发展简况 数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论后来整数论又 迸一步发展，就叫做数论了确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科 自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，在我国古代， 数论的研究主要是计算实践，有着鲜明的直观性与实用性中国最早的 数学名著周髀算经就记载了西周人计算出方程z 2 + y 2 = z 2 有整数 解( z ，y ，z ) = ( 3 ，4 ，5 ) 另一部著作孙子算经也研究过整数的同余性质，也 就是被后人称作的“中国剩余定理”在古希腊数学中，整数作为认识世界的 基本工具，有着极高的地位，欧几里得著名的几何原本一共有1 3 卷，其 中3 卷讲的都是数论 但是直到十九世纪初，这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术 著作中，没有形成完整统一的学科到了十八世纪末，德国数学家高斯集中前 人的研究成果，把历代数学家积累的关于整数性质的知识整理加工成为一门系 统的学科。写了一本书叫做算术研究的著作，而算术研究的问世也标 志着数论成为独立的数学分支学科的开始，并且该著作所讨论的内容成为直 到2 0 世纪数论研究的方向 在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一从上世纪三十年代开 始，在解析数论、丢番图方程、一致分布等方面都做出了重要的贡献，出现 了华罗庚、闵嗣鹤、柯召等一流的数论专家特别是1 9 4 9 年新中国成立以 后，数论的研究得到了更大的发展陈景润教授在1 9 6 6 年证明了“歌德巴赫 猜想”中的一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和 以后，国际数学界引起了强烈的反响直至今天，这个结果仍是“歌德巴赫猜 想”的最好成就 3 第_ 事数论发堤史 2 2 数论的基本内容 数论形成为一门独立的学科之后，随着数学其他分支的发展，数论的研究 方法也在不断发展如果按照研究方法分类，数论可以分成初等数论、解析数 论、代数数论和几何数论四个部分 初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只是依靠初等的方法来 研究整数性质的分支比如我国古代有名的“中国剩余定理”就是初等数论中 很重要的内容 解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支数学分析是把 函数作为研究对象的、在极限概念的基础上建立起来的较完备数学学科用数 学分析方法解决数论问题是由欧拉奠基的，俄国数学家车比雪夫等对它的发 展也做出过了巨大贡献解析数论是解决数论中艰深问题的强有力的工具比 如，对于“质数有无限多个”这个命题，欧拉用解析方法给出了证明，利用数 学分析中无穷级数的有关知识上世纪三十年代，苏联数学家维诺格拉多夫创 造性地提出了“三角和方法”，该方法对解决某些数论难题有着重要而深远的 作用我国数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜想”问题中使用筛法也是属于解 析数论中的范畴 代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支数学家把整数概念 推广到代数数域上去，相应地也建立了素整数、可除性等概念， 几何数论是由德国数学家闵可夫斯基等人开创和奠基的几何数论研究的 基本对象是“空间格网”，空间格网是在给定的直角坐标系上，坐标全是整数 的点，叫做整点；全部整点构成的组叫做空间格网空间格网对几何学有着重 大的意义由于几何数论涉及的问题比较复杂，所以必须具备相当的数学基础 才能进行深入研究 2 3 数论的迷人之处 “数学王子”高斯曾经说过“数学是科学的皇后，而数论是数学的皇 4 两北大学硕十学位论文 后”这一数学领域中最美的分支，所包含的深奥的东西，让最伟大的数学家 为之流连忘返长期以来，它受到着无数专家与门外汉的青睐与偏爱，数不尽 的人为它倾注了大量精力究竟是什么原因使得数论成为“数学的皇后”，又 是什么魅力吸引着无数极富才智的人为之如痴如醉呢? 首先，这一迷人的数学领域提出了许多富于刺激性的难题，丰富而辉煌， 堪称数学的金矿正像希尔伯特所说：“只要一个科学分支能提出大量的问 题，它就充满着生命力：而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止”数论 就是这样一个蕴藏着大量尚未解决的问题的数学领域，这就向一代又代的数 学家提出了挑战高斯也曾经把数论描绘成“一座仓库、贮藏着用之不尽的、 能引起人们兴趣的真理” 其次，它的一个真正诱惑之处正是这些问题简单易懂，甚至连小学生都能 看懂然而，却使一代又一代世界一流的数学家为之付出了大量心血例如著 名的费马大定理就曾经困惑了世间智者3 6 0 余年，到1 9 9 5 年才最终得以解决 而至今尚未解决的问题在数论中还比比皆是，如哥德巴赫猜想、孪生素数对问 题等等。问题表述的简单与解答的极端复杂，这种看似反常的特点却吸引着无 数的专家与业余爱好者 再次，人们为了解决这些问题使用了丰富的研究方法在现今的数论进展 中，代数、几何、复分析与实分析，甚至概率论的方法，都作出了重要的贡献 这些不同数学方法相互影响有些结论的陈述，光看假设条件或结论是怎么也 想不到会要这样大动干戈的，仅仅牵涉到一些关于自然数的最简单的概念如素 数，然而要证明这些它们，但却非得用到分析、代数几何等复杂工具不可哥 德巴赫猜想就是一个极好的例证国内著名的数论专家曾用“蹬着自行车上月 球，好比拿着锯、刨子造一架航天飞机”来形容那些试图仅用初等数学或简单 的微积分知识就能解决这一猜想的人，因为他们的工具太落后了，要解决这一 猜想，就必须有全新的观念与更先进的工具这种定理陈述的简单性，使用方 法的深奥性，体现了数学内部深刻的和谐致性，从而使数论深深地吸引着世 世代代的数学家希尔伯特把数论看成“一幢出奇地美丽而又和谐的大厦” 5 第帝数论发疑吏 还有一部分数学家为它着迷是因为它的脱离实用的“纯正洁白”数论的 研究课题并不是立刻招致对科学的应用正如1 8 9 6 年鲍尔所说： “这门学科本 身是一个特别引人、特别雅致的学科，但它的结论没什么实际意义”确实， 如果按通常分法把数学分为“纯粹 数学和“应用”数学的话，数论应该是数 学中所能达到的最纯粹的了费马、欧拉、拉格朗日、高斯等都是出自数论内 在的趣味和它特有的美而研究这一领域的，他们确实毫不在乎那些优美的定理 是否会有“有用的”应用高斯认为皇后不愿弄脏她双那洁白的手而英同数 论专家哈代则曾经为了自己所研究的数论问题无用而干杯尽管数论位居数学 中最美妙的思想之列，但在哈代以前却从没有过实际的应用不过，这一现象 现在已经被改变了，如大素数的分解问题已与密码破译紧密地联系在起了 2 4 数论的实际应用 数论是一门高度抽象的数学学科长期以来，它的发展一直处于纯理论的 研究状态，对数学理论的发展起到了积极的推动作用，但对于大多数人来讲可 能并不清楚它的实际意义 由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了较为广泛的应用比 如在计算方法、组合论、代数编码等方面都广泛使用许多了初等数论范围内的 研究成果；现在有些国家应用“孙子定理”来进行测距，用原根和指数来计算 离散傅立叶变换等等此外，数论中许多比较深刻的研究成果也在近似分析、 差集合、快速变换等方面得到了应用特别是现在随着计算机的发展，用离散 量计算来逼近连续量而达到所要求的精度已经成为可能但是数论中的许多精 华如同埋在垃圾堆里的金银财宝一样还没有被人们发现，就让我们这些从事数 论领域研究工作的人们去挖掘那些极富价值的宝藏吧1 6 两匕大学硕士学位论文 第三章关于s m a r a n d a c h e 素数列问题 3 1引言 u 一。 。 在参考文献【2 】中，s m a r a n d a c h e 教授提出了s m a r a n d a c h e 素数列 s m a r a n d a c h e 素数列有两种类型，其定义如下【2 】= 定义3 1 对任意的整数n 1 ，s m a r a n d a c h e 上素数列昂( n ) 为大于或 等于几的最小素数，该数列的前几项为：耳( 1 ) = 2 ，b ( 2 ) = 2 ，昂( 3 ) = 3 ， 昂( 4 ) = 5 ，昂( 5 ) = 5 ，昂( 6 ) = 7 ，昂( 7 ) = 7 ，昂( 8 ) = 1 1 ，昂( 9 ) = 1 1 ，昂( 1 0 ) = 1 l ，昂( 1 1 ) = 1 1 ，b ( 1 2 ) = 1 3 ，b 0 3 ) = 1 3 ，昂( 1 4 ) = 1 7 ，昂( 1 5 ) = 1 7 ， 定义3 2 对任意的整数n 2 ，s m a r a n d a c h e 下素数列p p ( 扎) 为小于或 等于n 的最大素数，该数列的前几项为：p a 2 ) = 2 ，p p ( 3 ) = 3 ，p p ( 4 ) = 3 ， 脚( 5 ) = 5 ，p p ( 6 ) = 5 ，p p ( 7 ) = 7 ，乃( 8 ) = 7 ，p p ( 9 ) = 7 ，p p ( 1 0 ) = 7 ，p p ( 1 1 ) = 1 1 ， p p ( 1 2 ) = i i ，p p ( 1 3 ) = 1 3 ，p p ( 1 4 ) = 1 3 ，p p ( 1 5 ) = 1 3 ，p p ( 1 6 ) = 1 3 ， 通过定义我们可以看出当n 2 时有昂( 佗) 7 1 , ，而礼鼢( 礼) ，则昂( 扎) p p ( n ) 在文献【2 】中，s m a r a n d a c h e 教授建议我们研究这两个数列的性质关于 这一内容以及有关问题，不少学者进行了大量的研究，得出了不少有趣的结 论，例如有下面的定义及问题： 定义3 3g n = 昂( 2 ) + p v ( 3 ) + + 即( n ) 加 定义3 4 凰= 昂( 2 ) + 昂( 3 ) + + 昂( 礼) ) 肛 问题3 1 确定l i m 争的极限 在文献 9 】中阎晓霞对问题3 1 进行了研究，证明了对任意的正整数佗 1 ， 有渐近公式 磐：l + o ( n 一) 并得到了l i m 磐= 1 的结论 行+ o 。” 关于数列 脚) ) 与 昂( n ) 的性质研究是很有意义的，因此，我们 7 第三章关于s m a r a n d a c h e 索数列问题 对s m a r a n d a c h e 素数列的研究远远不止于此，可以说s m a r a n d a c h e 素数列与 素数分布问题有着密切的联系 下面我们研究s m a r a n d a c h e 素数列行列式的一些重要性质 3 2 关于s m a r a n d a c h e 素数列行列式的性质 即 首先给出s m a r a n d a c h e 素数列构成的行列式的定义 定义3 5 对任意正整数n ，我们定义c ( n ) 和c ( n ) 为如下的n n 行列式， c ( n ) = c ) = 例如： 砌( 2 ) 脚+ 2 ) i 鳓( 佗( 佗一1 ) + 2 ) p p ( 3 ) 跏( 亿4 - 3 ) ： p p ( 仃( n 一1 ) a - 3 ) 昂( 1 ) 昂( 佗+ 1 ) 弓( 赡( 船一1 ) + 1 ) 绵( n + 1 ) p p ( 2 n4 - 1 ) p p ( 舻+ 1 ) 昂( 2 ) 昂( n4 - 3 ) 昂( 咒( 妃一1 ) 4 - 2 ) | 2 c ( 2 ) = i i 3 c ( 3 ) = 23 5 5 7 7 8 = 1 4 昂( 佗) 昂( 2 n ) 昂( 死2 ) 两北大学硕一 ：学位论文 c ( 4 ) = c ( 5 ) = c ( 6 、= c ( 7 ) = 2 335 5777 71 l1 11 3 1 31 31 3 1 7 2 3 35 5 77771 1 1 11 31 31 31 3 1 71 71 91 91 9 1 9 2 3 2 3 2 3 2 3 = 0 = - 9 6 233557 7771 11 11 3 1 31 3 1 31 71 71 9 1 91 91 92 3 2 3 2 3 2 3 2 32 32 92 93 1 3 13 13 l3 1 3 1 3 7 2335577 771 11 11 31 31 3 1 31 7 1 71 91 91 9 1 9 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 9 2 9 3 l 3 1 3 1 3 13 13 1 3 7 3 7 3 7 3 7 4 1 4 1 4 3 4 3 4 3 4 3 4 7 4 7 4 7 4 7 9 = 0 = 1 0 2 1 4 4 第互章关于s m a r a n d a e h e 豢数列问题 c ( 8 1 = 23355 7 77 71 l1 11 3 1 31 31 31 7 1 71 91 91 9 1 92 32 32 3 2 3 2 3 2 3 2 9 2 9 3 13 13 1 3 1 3 13 13 7 3 73 7 3 7 4 1 4 1 4 3 4 3 4 3 4 3 4 7 4 7 4 7 4 7 4 74 75 35 3 5 35 35 3 5 3 5 9 5 96 16 16 16 16 1 c ( 2 ) = c ( 3 、= c ( 4 ) = 2 2 3 5 = 4 22 3 5 57 7l l1 l 22 35 5771 1 l l1 11 11 3 1 31 7 1 7 1 7 1 0 = 4 = 1 8 8 = 0 两北大学硕十学位论文 c ( 5 ) = c ( 6 ) = c ( 7 ) = 22355 77l l1 11 1 1 11 31 31 7 1 7 1 7 1 71 91 92 3 2 3 2 3 2 3 2 9 2 9 = 1 4 2 4 223557 71 11 11 11 11 3 1 31 7 1 7 1 7 1 71 9 1 9 2 3 2 3 2 3 2 3 2 9 2 9 2 9 2 9 2 9 2 93 1 3 l3 73 7 3 73 73 7 2235577 1 11 11 11 11 31 3 1 7 1 7 1 7 1 71 91 92 3 2 3 2 3 2 3 2 9 2 9 2 9 2 9 2 9 2 93 13 1 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 4 1 4 14 14 1 4 3 4 3 4 7 4 7 4 7 4 75 15 l 1 1 = 0 3 7 5 3 6 第三辛关于s m a r a n d a c h e 素数列河题 c ( 8 ) = 2235577l l 1 l1 l1 l1 31 31 7 1 7 1 7 1 71 91 92 3 2 3 2 3 2 3 2 9 2 9 2 9 2 9 2 9 2 9 3 1 3 1 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 4 1 4 1 4 1 4 1 4 3 4 3 4 7 4 74 74 75 1 5 15 15 15 3 5 3 5 7 5 7 5 7 5 7 5 9 5 96 16 16 76 7 6 7 4 - - - - 0 有关这些行列式的性质问题，至今没有人研究，至少我们没有在现有的文 献中看到! 张文鹏教授建议我们研究这些行列式的性质，并提出了下面两个猜 测： 猜想1 对任意合数礼6 ，有c ( n ) = 0 及c ( 佗) = 0 猜想2 对任意素数q ，有c ( q ) 0 及c ( q ) 0 下面我们用初等方法研究这两个问题，并彻底解决了猜想1 3 3 猜想的证明 定理3 1 对任意合数亿6 ，有恒等式c 如) = 0 及c ( n ) = 0 证明： ( 1 ) 首先证明c ( n ) = 0 的情况，以下讨论中的n 为合数由c ( n ) 两北大学硕十学位论文 的定义可得： c ) = p p ( 2 ) p a 3 )p p ( 佗一1 )鳓( 佗)脚( n + 1 ) 鳓( n + 2 )黝( n + 3 )p p ( 2 n 一1 ) p p ( 2 n ) p p ( 2 n + 1 ) ； ii； v a n ( r l 一1 ) + 2 ) 砌( 几( 他一1 ) + 3 ) 昂( 仃2 1 ) 鳓( 礼2 ) 踟( n 2 + 1 ) 因为礼是合数，显然i 佗也是合数，其中i = 1 ，2 ，钆由s m a r a n d a c h e 下素数列 鳓) ) 的定义，显然有昂( i 死) = p p ( i n - 1 ) 再观察行列式c ( 死) ， 可以看到行列式的第n 一2 列与第n 一1 列是相同的，因此，由行列式的性 质得c ( n ) = 0 ( 2 ) 下面证明定理的c ( n ) = 0 ，证明过程中的佗表示大于6 的任意合数 这部分的证明过程和上一部分的证明类似因为凡是合数，所以一定存在正 整数b a 1 使得n = a b 将行列式c ( n ) 写为 c ( n ) = 昂( 1 ) b ( n + 1 ) 昂( 佗一a )昂( n a 十1 )昂( 礼一1 )昂机) 昂( 2 n a ) 昂( 2 n a + 1 ) 昂( 2 n 一1 ) 昂( 2 n ) 昂( 咒( 死一1 ) + 1 ) 1 昂( 死2 一a ) b ( 死2 一a + 1 ) 昂( 佗2 1 ) 昂( n 2 ) 由于n = a b 6 及b a 1 ，所以a l ( i n a ) ，并有( i b 一1 ) 1 ， 其中i = 1 ，2 ，佗由此可知i 佗一a 是合数由c ( n ) 的定义我们可 得弓( z 佗一n ) = p p ( i - n - - a + 1 ) 显然行列式c ( n ) 的第n 一口列和第n 一口+ 1 列是相同的，根据行列式性质可得c ( 礼) = 0 综合( 1 ) 和( 2 ) 就完成了定理的证明 下面我们对他为素数时的情况进行讨论从我们在引言中所列举的例子可 以看到：如果n 是素数，那么c ( n ) 与c ) 都不等于零，也就是说猜测2 可 能是正确的关于这个结论，我们暂时还不能证明，但是利用m a t l a b 数学 软件作大量的数据计算，可以相信猜测2 是正确的m a t l a b 程序如下： 程序1 1 3 第三章关于s m a r a n d a c h e 裘数列问题 建立函数m 文件，给出构成n 阶行列式c ( n ) 的矩阵 f u n c t i o n a j - - f ( n ) l = n 木n 十1 ： b = z e r o s ( 1 ，l - 1 ) ； f o ri = l ：l - l b ( i ) = m a x ( p r i m e s ( i + 1 ) ) ； e n d a = r e s h a p e ( b ，n ，n ) ； a = a ； 程序2 建立函数m 文件，给出构成n 阶行列式c ( n ) 的矩阵 f u n c t i o n 【a l = g ( n ) l = n 木n ： b = z e r o s ( 1 ，l ) ； p = p r i m e s ( l 丰l ) ； f o ri = l ：l k = f i n d ( p = i ) ； b ( i ) = m i n ( p ( k ) ) ； e n d a = r e s h a p e ( b ，n ，n ) ； a = a ； 程序3 调用程序1 和程序2 中的函数文件，计算行列式c ( n ) 和c ( n ) 的值 m = 1 0 0 ； f o ri = 1 ：m c ( i ) = d e t ( f ( i + 1 ) ) ； c ( i ) = d e t ( g ( i + 1 ) ) ； 1 4 西北大学硕十学位论文 e n d c c 下表是我们通过上面程序计算得出的一些数据： 佗 c ( n )c ( n ) 佗 c ( n )c ( n ) 214 31 44 5 9 6 1 4 2 471 0 2 1 4x1 0 53 7 5 3 6 1 17 8 2 9 9 1 0 t1 1 4 7 8 l o s1 39 8 3 3 8 1 0 8- 2 7 9 5 8x1 0 9 1 78 2 4 6 2 1 0 1 41 3 1 6 4x1 0 1 31 9- 1 9 6 0 8x1 0 1 51 6 2 9x1 0 t 5 2 32 4 5 4 5 1 0 2 03 1 5 6 1 0 1 8 2 98 9 3 0 8x1 0 2 7 - 6 5 0 0 8x1 0 2 7 3 11 1 0 9 5 1 0 2 9- 2 2 8 3 5x1 0 2 83 79 9 4 9 7 1 0 3 t- 7 4 6 9 2 1 0 3 8 4 1- 1 1 5 0 2 1 0 4 23 。9 2 4 4x1 0 4 54 31 5 1 5 2 1 0 4 5- 2 1 6 7 1x1 0 4 4 4 71 1 6 0 6x1 0 5 14 0 6x1 0 5 05 32 9 3 5 9 1 0 5 95 8 7 3 5x1 0 5 9 5 93 8 4 0 2 1 0 6 7- 3 1 0 4 3 1 0 6 96 1- 3 6 1 4 1 0 7 06 9 8 5 8 1 0 7 2 6 73 2 3 4 1 1 0 s o - 9 5 3 7 4 1 0 7 8 7 1- 2 2 1 9 1 0 8 5 4 7 6 8 8 1 0 8 6 7 3- 3 6 6 5 6 1 0 8 5- 3 6 9 8 5 i 0 8 97 9 - 4 2 0 3 8 1 0 9 8- 3 8 7 6 2 1 0 9 7 8 31 6 9 6 6x1 0 1 0 42 1 3 8 9x1 0 1 0 48 9- 1 0 6 9 5 1 0 1 1 35 7 8 2 4 1 0 1 1 0 9 72 8 9 8 1 0 1 2 41 9 9 6 8x1 0 1 2 4 显然我们的定理完全证明了猜想1 猜想2 给出了正整数t , 是否为素数的 一个判定准则，如果猜想2 成立，那么通过这种行列式的计算可以给出正整 数是否为素数的一个新的判别方法，但是这里未能给出严格的数学证明，这将 是我们进一步研究的目标 1 5 第阳章关于s m a r a n d a c h e 平方列问题 第四章关于s m a r a n d a c h e 平方列问题 4 1引言 上一章中，我们讨论了s m a r a n d a c h e 素数列行列式和它的相关性质，关 于s m a r a n d a c h e 数列还有许多有趣的数论问题，s m a r a n d a c h e 平方列问题就 是其中之一 在文献 2 】中，s m a r a n d a c h e 教授提出了s m a r a n d a c h e 平方列的概念 s m a r a n d a c h e 平方列有两种类型，即下面的两个定义【2 】： 定义4 1 对任意的非负整数佗，其s m a r a n d a c h e 最大平方数定义为 大于或等于n 的最小平方数，用符号s s s p ( n ) 表示该数列的前几项 为：s s s p ( o ) = 0 ，s s s p ( 1 ) = 1 ，s s s p ( 2 ) = 4 ，s s s p ( 3 ) = 4 ，s s s p ( 4 ) = 4 ， s s s p ( 5 ) = 9 ，s s s p ( 6 ) = 9 ，s s s p ( 7 ) = 9 ，s s s p ( 8 ) = 9 ，s s s p ( 9 ) = 9 ， s s s p ( i o ) = 1 6 ，s s s p ( 1 1 ) = 1 6 ，s s s p ( 1 2 ) = 1 6 ，s s s p ( 1 3 ) = t 6 ， s s s p ( 1 4 ) = 1 6 ，s s s p ( 1 5 ) = 1 6 ，s s s p ( 1 6 ) = 1 6 ，s s s p ( 1 7 ) = 2 5 ， 定义4 2 对任意的非负整数r t ，其s m a r a n d a c h e 最小平方数定义为 小于或等于死的最大平方数，用符号s i s p ( n ) 表示该数列的前几项 为：s i s p ( o ) = 0 ，s i s p ( 1 ) = 1 ，s i s p ( 2 ) = 1 ，s i s p ( 3 ) = 1 ，s i s p ( 4 ) = 4 ， s i s p ( 5 ) = 4 ，s i s p ( 6 ) = 4 ，s ，s p ( 7 ) = 4 ，s i s p ( s ) = 4 ，s i s p ( 9 ) = 9 ， s i s p ( i o ) = 9 ，s i s p ( 1 1 ) = 9 ，s i s p ( 1 2 ) = 9 ，s i s p ( 1 3 ) = 9 ，s i s p ( 1 4 ) = 9 ， s s s p ( 1 5 ) = 9 ，s i s p ( 1 6 ) i1 6 ，s i s p ( 1 7 ) = 1 6 ， 根据上述定义可以知道，若n 为完全平方数，则有s s s p ( n ) = s i s p ( n ) ；若n 不是完全平方数，则有s i s p ( n ) 扎 2 ，一定存在唯一的正整数m 满足： m 2 礼( m4 - 1 ) 2 ， 即m = d ( n ) ，( 佗_ o 。) ，于是有 s s s p ( k ) z 七n s s s p ( k ) + s s s p ( k ) 惫m 2m 2 南n s s s p ( k ) + ( m + 1 ) 2 t m ( t - 1 ) 2 竞f 2m 2 2 ，必然存在唯一的正整数满足： 于是有 n 2 几 ( + 1 ) 2 ， ( 4 3 ) ( 4 4 ) s i s p ( k ) = s i s p ( k ) + s i s p ( k )t it j ：ffs i s p ( k ) + f 2 一：一 t ：j = ( 1 2 一( 2 一1 ) 2 ) ( 2 1 ) 2 + ( n 一2 + 1 ) n 2 = ( 2 2 3 5 1 2 + 4 1 1 ) + ( 见一2 + 1 ) 2 ：n 2 ( n + 1 ) 2 一5 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) + 2 n ( n i 1 ) 一+ ( n 一21 ) n - 1 - 1- 4 - - 12 2 6= 十 一v + ln 一，v 一 一， 、。 。 = 三4 一兰3 + 石1 + ( 佗2 + 1 ) n 2 ( 4 5 ) 丙北大学硕十学位论文 ：百n 2 + 0 ( 礼i ) 。虿+ o ( 叫 ( 4 6 ) 下面分两种情况：佗为非完全平方数和佗为完全平方数，分别来讨论极 限l i m ( & 一厶) 竹+ 。o 当佗为非完全平方数时，式( 4 1 ) 一( 4 6 ) 中m = n ，根据岛及厶的 定义，由式( 4 2 ) 及式( 4 5 ) 可得 一厶= 熹s s s p ( 忍) 一熹s i s p ( 七) k nk n = 元1 【j 4 f 3 一i m + ( 佗一m 2 ) ( m + 1 ) 2 一( n m 2 + 1 ) m 2 ) = 扣m 一詈m 3 + n - 2 m 2 一警) = 2 m 百2 m 3 + 1 一2 m f 2 一丽mj nnj 佗 注意到m = 0 ( n )