（基础数学专业论文）某些拓扑空间的收敛性质.pdf

曲师范大学硕士学位论文 摘要 d i k r a n j a n 与o i u l i 引入了一种西柏闭包算予一目一闭包，由此给出 了一类县有弱紧性的空闻一s ( 靠) 一0 一闭空闰。漫然，臼一趣包算子不能 唯确定空间的拓扑结构，那么占一闭包算子对空间的拓扑结构有怎样 的影响? 本文以收敛理论作为工具，利用网和滤予的口一收敛的谮言研 究了该问题；同时日l 入了毋一序列空间、0 一f r 蟊c h e t 、8 - 射线空间和0 一 近似射线空间，有效地推广了序列空间与f r k c h e t 的理论本文最后还 给豳了概念0 i 收敛，从收敛经角度刻殛了可数s f 2 ) 一0 一闲空瓣。 本文的主要结果： 定理1 1 2 设f 盖，7 ) 为拓扑空瓣，c = ( q ，x ) ：q 为羔中收敛予 x 的网，x x ) ，则拓扑丁为x 上使网q 收敛于x 的最细拓扑，其中 ( q ，x ) 芒c 定理2 4 ( x ，磊) 为序列正空间且 q 一网空间的充耍条件是( x ， 丁) 具有离敞拓扑 定理3 。3x 为置空闻当虱仅当盖中的常序歹i 有唯的0 一极限 定理3 4 设x 为拓扑空间，则下列条件等价： ( 1 ) 碧为u r y s o h n 空间( 2 ) x 中任一网至多0 一投敛予一点+ ( 3 ) 戈中 任一滤于至多0 一收敛于一点 定理3 5 设盖为拓矜空间，则下列条件等价： ( 1 ) x 为正则空间( 2 ) 若( s o ：胛ed ) 为盖中口一收敛于x 的网， 则它也收敛于x ( 3 ) 若，为中0 收敛于x 的滤子，则也收敛一y - x 。 定理4 1x ，y 楚护一序列空间，则x y 是一0 一序列空滴， 其中4 兰f a b ：a c x b cy 1 定理4 3x 为秽辩线空润且有可数0 一紧度，则x 为移一f r d h e t 空间 定理4 5x 为扫一近戗射线空瓣，且有可数0 一紧度，剩爿为拶一 序列空间 曲申师范大学硕p 学位论文 定理5 2 拓扑空间x 为可数s ( 2 ) 一口一闭的充要条件是x 的每个 无穷子集都有矿一聚点 定理5 3 拓扑空间x 为可数s ( 2 ) 一口一闭的充要条件是x 中每一 序列都有矿一极限点 定理5 5 拓扑空间x 是可数s ( 2 ) 一口一闭的且又是矿一伪射线空 间，则z 是矿一序列紧的 关键词：口一闭包；目一收敛；口一序列空间；o - f r 舀c h e t 空 间；口一收敛；可数s ( 2 ) 一口一闭空间 曲师瓶人学碗十学位论文 a b s t r a c t d i k r a n j a na n dg i a l ii n t r o d u c e da k i n do f 蝴- c l o s u r eo p e r a t o r 0 一c l o s u r e , t h e ng e ts ( 拜) - 0 - c l o s e ds p a c e sw h i c h a r e f e e b l y c o m p a c t o b v i o u s l yo - c l o s u r ec a nn o tu n i q u e l yd e t e r m i n et h et o p o l o g y o fa s p a c e ，t h e nw h a ti st h e i n f l u e n c eo f0 - c l o s u r eo nt h et o p o l o g y o fas p a c e ? w es t u d yt h i sp r o b | e mi nt 攫t a so f0 - c o n v e r g e n c eo fn e t sa n d f i l t e r s w i 斑c o n v e r g e n c et h e o r ya sat o o l 。a tt h es a m et i m e , w ei n t r o d u c e 0 - s e q u e n t i a ls p a c e s ，口一f r i c h e ts p a c e s ，0 一r a d i a ls p a c e s a n d a l m o s t0 一r a d i a ls p a c e s ，t h e nc a r r yo v e rs o m eo ft h et h e o r yo f s e q u e n t i a la n d f r 荔c h e ts p a c e st ot h e s es p a c e s 。f i n a l l y , w ei n t r o d u c e t h e c o n c e p t o f矿一c o n v e r g e n c e a n dc h a r a c t e r i z ec o u n t a b l e s ( 2 ) 一0 - c l o s e ds p a c e s m a i nr e s u l t s t h e o r e m1 1 2s u p p o s e ( 并，丁) i sas p a c e , c = ( g x ) ：q i san e t mxw h i c h0 一c o n v e r g e n tt ox , t h e n ，i st h ef i n e s tt o p o l o g yi n w h i c hqc o n v e r g e s o n 善，v q ，并) c 。 t h e o r e m 2 霹置磊) i s as e q u e n t i a l 霉a n d 蛾 一n e ts p a c ei f a n d o n l yi f ( x ，t ) i sd i s c r e t e t h e o r e m3 3 ( x ，丁) i sa 正s p a c ei fa n do n l yi fe v e r yc o n s t a n t s e q u e n c e0 - c o n v e r g e s o i lo n l yo i l p o 扛 t h e o r e m3 4s u p p o s exi sa s p a c e , t h e nt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s a r ce q u i v a l e n t ：( 1 ) ji sau r y s o h ns p a c e ( 2 ) e a c hn e ti nxc o n v e r g e s 0 1 1a tm o s to n ep o 溉( 3 ) e a c hf i l t e ri nxc o n v e r g e s0 na tm o s to n ep o i n t t h e o r e m3 5s u p p o s exi sas p a c e , t h e nt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s a l e e q u i v a l e n t ：( 1 ) xi s ar e g u l a rs p a c e ( 2 ) i f ( 最；，l 毫d ) i s a n e t w h i c h0 - c o n v e r g e so nx ，t h e n ( 最：甩尊d ) c o n v e r g e so nx - ( 3 ) i f 子i saf i l t e rw h i c h0 一c o n v e r g e so i lx 。t h e n 芋c o n v e r g e s0 1 1 x 。 3 曲申师范大学硕十学位论文 t h e o r e m4 1 i f x ，y a r e0 一s e q u e n t i a ls p a c e s ， 0 - s e q u e n t i a l ，w h e r e 4 = a x b ：a c x ，b c y t h e o r e m4 3i f xi sa0 - r a d i a l s p a q ：ew h i c h 0 - t i g h t n e s s ，t h e ni ti so - f r 每c h e t t h e n x 】，i s a s a t i s f i e sc o u n t a b l e t h e o r e m4 5i f xi sa0 - a l m o s tr a d i a ls p a c ew h i c hs a t i s f i e s c o u n t a b l e 0 - t i g h t n e s s ，t h e ni ti s0 一s e q u e n t i a l t h e o r e m5 2xi sc o u n t a b l es ( 2 ) 一0 - c l o s e di fa n do n l yi fe a c h i n f m i t es u b s e th a sa 矿一国c l u s t e rp o i n t t h e o r e m5 3ji sc o u n t a b l es ( 2 ) - 0 - c l o s e di fa n do n l yi fe a c h s e q u e n c ei n xh a sa0 一l i m i t p o i n t t h e o r e m5 5i f xi sac o u n t a b l es ( 2 ) 一0 - c l o s e d a n d e 一p s e u d o r a d i a ls p a c e , t h e n xi s d s e q u e n t i a l l yc o m p a c t k e yw o r d s ：o - c l o s u r e ；0 - c o n v e r g e ；0 - s e q u e n t i a ls p a c e ； 0 一f r 舌c h e t s p a c e ；0 一c o n v e r g e ； c o u n t a b l es ( 2 ) - o - c l o s e d s p a c e 4 曲阜帅范人学颀卜学位论文 第一节基本概念与基本结果 由于讨论的需要，下面列出相关的基本概念和基本结果。 1基本概念 定义1 1 【1 1 有向集t ，是一个具有偏序的集合，使得对于，中每一 对元素口，都存在，中一个元素y ，具有性质口y 和， 定义 2 【1 1j 的子集k 称为在，中共尾，若对每个口，存在 卢k ，使得o r 定义1 3 1 1 1 设x 为拓扑空日j ，x 中的一个网是指从一个有向集， 到工的一个函数记做( ) 。，当指标集明显时，简记为( x d 定义1 4 设f ：，专x 是x 中的一个网，g ：k j 是一个函数， 满足： ( 1 ) f s = ，g ( f ) s g ( ，) ， ( 2 ) g ( k ) 在，中共尾， 则复合函数。g ：k x 称为，的一个子网 定义 5 1 2 】集合x 的一个子集族，称为滤予，若满足 ( 1 ) 户矽， ( 2 ) ，具有有限交性质， ( 3 ) 若f 厂，且f c h ，则h ， 定义1 6 吲设r 为基数，拓扑空间x 称为 r 一网空闽，若对x 中的 非闭子集爿。存在良序网f ：r _ a 收敛于x ，x 芒a 定义1 7 州拓扑空间x 的开覆盖以称为s ( d 一覆盏，若对x x ，存 在a a 及x 的邻域u ，使得盯c a 定义1 8 t 5 拓扑空间x 称为可数s ( 2 ) 一0 一闭空日j ，若对x 的每一 可数s ( d 一覆盖都有有限子覆盖 定义1 9 【3 i 设x 为拓扑空间，对v a c x ，定义彳的序列闭包 曲申师范大学碗l 学位论文 s o l ( a ) = x x ：存在爿中的序列收敛于x 2 基本结果 定理1 1 0 t 6 1 设x 为一个集合，c ：p ( x ) - - ) p ( x ) 为集合肖上的一 个闭包运算，则存在工上唯一的拓扑丁，使得在拓扑空间( ，丁) 中，对于 每一个a c x ，有，( 彳1 = j 定理1 1 7 1 设x 为拓扑空间，a c x ，则x 互的充要条件是a 中有网收敛于石 空间z 的拓扑结构可以唯一确定集合x 的闭包算子反过柬。定理 1 1 0 t 螂表明集合x 的闭包算子又可以唯一确定x 上的拓扑结构定理 1 1 1 1 7 1 表明了拓扑空间中的闭包和网的收敛又有着密切的联系下面我 们主要讨论网收敛对空间拓扑结构的描述 例1 胄为实数空间，对a c r ，有s c l ( a ) = j 一般地，拓扑空问x 如果满足第一可数性公理，则对 v a c x s e l ( a ) = a 例2 例设z 为实数集尺上的余可数拓扑，旷为无理数集，则 、s c l ( q 。) 矿 例l 说明，有些空日j 的拓扑可由序列收敛完全决定，如第一可数空间 倒2 举出一个反例，说明并非所有空| 日j 的拓扑可由序列收敛决定在引入 了网的概念之后，任何空间的拓扑可由网的收敛完全决定 由此，可以得到空问拓扑的一种刻画先给出概念： 网对”：若工为一个集合，q 为x 中的网，工x ，称有序对( q ，x ) 为 x 上的网对 引理1 1 设c 为集合z 上的某些网对的集合，则存在x 上最细的 拓扑，使对v ( q ，x ) c ，网q 收敛于x 证明由于x 上的平凡拓扑可使对v ( q ，x ) c ，网q 收敛于x 从而 乃：正为x 上的拓扑，使对v ( q ，x ) c ，网q 收敛于工 曲申帅范人学碗 学位论文 为工上的非空拓扑族令 艿= b ：b 为u 互中有限多个元素的交 则8 为x 上的拓扑基，由它生成的拓扑设为丁，显然7 - 亡丁下面证明 丁即为所求 v ( q ，x ) c ，对x 的任何邻域u ，存在b 8 ，使x b c u 不妨设 b = 旦n 岛n n 县，其中k 为自然数，e 互 网q 在z 中收敛于x ，存在一d o m q ，使得对 v n 他，q ( n ) 置，i = 1 ，2 ，k 由于d o m q为有向 集，3 m d o m q j t m 观，f = l ，2 ，k则对以d o m q ，当刀m 时，q ( n ) b 匕u 从而网q 在丁中收敛于x 由互c t 知丁是最细的拓 扑 定理1 1 2 设( x ，丁) 为拓扑空间，c = ( 9 x ) ：q 为x e p 收敛于珀q 网 ， 则拓扑丁为x 上使网q 收敛于x 的最细拓扑，其中( q ，芹) c 证明设z 是x 上最细的拓扑，使得对v ( q ，x ) c ，网q 收敛于x 显然t c z 对v a c x ，记a 在( x ，z ) 中的闭包为c l ( a ) ，a 在( z ，丁) 中的闭包 为j v x j ，存在a 中的网q 按拓扑丁收敛于x ，从而( q ，茸) c 由五的 定义，存在a 中的网q 按拓扑彳收敛于x ，x c t ( a ) ，a c c l ( a ) 若b 是( ，正) 中的闭集，则b = c l ( b ) ，y , b c 百，面c c l ( b ) ，得b = 豆，b 是( x ，丁) 中的闭集t = 彳 8 曲申师范大学硕l 学位论文 第二节0 一闭包 我们知道，闭包算子可以唯一确定空间的拓扑d i k r a n j a n 和 g i u l i 给出了口一闭包的概念这一节主要讨论口一闭包对空问拓扑的影 响 先看一个重要的概念：集合上的西砌闭包算予 定义2 1 1 3 1 设工为一个集合，d ：e ( x ) 斗p ( x ) 称为z 上的西西 闭包算子，如果满足： ( 1 ) c t 妒= 巧 ( 2 ) ac - c t ( a ) ( 3 ) c l ( a u 聊= c t ( , 4 ) u c l ( 8 ) ( j ，d ) 称为咖闭包空间 由定义可得，西西闭包算子是x 上的单调增加算子 首先看下面几个例子 例1 设工为一个集合，恒等算子f ：尸( x ) 专尸( x ) 为z 上的砌闭 包算予 例2 t 4 1 设x 为拓扑空间，对 c a c x ，定义 a = x ：椭任何邻域u ，0 0 4 c t , ：e ( x ) 寸e ( x ) 为x 上的c e c h 闭包算子： 满足a = 以a 的x 的子集a 称为0 一闭集 例3 设x 为拓扑空日j ，对v a c x ，定义 c t 。a = f x ：x 的任何1 开邻域u ，u n a o ) 略：p ( x ) _ e ( x ) 为x 上的c e c h 闭包算子： 满足a = d ，a 的x 的子集爿称为0 + 闭集 例4d e c h 闭包算子非k u r a t o w s k i 闭包算予的例子 取x = a , b ，c ) 幽闭包算予d 定义如下： 曲申帅范人学碗l 学位论文 d x = j ；d 矿= 妒： d a = 口，c ；c l b = 6 ，c ；d c = 6 ，c ； c ， 口，6 = 口，b ，c ；c l b ，c = 6 ，c ； d a ，订= a ，b ，c 可以验证：c l 是x 上的西幽闭包算子，但不是k u r a t o w s k i 闭包算 子因对集合 口 ，c l ( c l a ) d a 定理2 1 1 3 1 设x 是一个集合，d 是x 上的p e c h 闭包算予，则以满 足条件a = c l ( a ) 的所有集合为闭集，可以做成x 上的拓扑 证明( 1 ) c f = ( 2 ) c l x = x ( 3 )若a = c l ( a )，且b = c l ( b )，贝0 a u b = c l ( a ) u c l ( b ) = c t ( a u b l ( 4 ) 若对v 口a ，钒= c t ( 以) ，由c e c h 闭包算子的定义知 ( n 以) c d ( n 以) 由g e h 闭包算子的单调性知，对每个人， d ( n 以) c d ( 气) = 气 ，从而 d ( n 以) c ( n a o ) 故 n 。以= c l ( n 。以) 因此结论成立 这个拓扑由d 唯一决定，称为已砌闭包算子d 的关联拓扑 显然，集合上恒等算予的关联拓扑是离散拓扑 下面我们讨论口一闭包对空问拓扑结构的影响 例5 设集合x = 口，取x 上的拓扑 互= x ，a 互= x ， 6 ) i s ( x ，互) 中的秒一闭包为c ”，( x ，五) 中的p 一闭包为舢 容易证明对w c x ，o ) a = 坼2 爿 从而又可以得到，1 和坼2 的关联拓扑相同 由此例可以看出。空间的拓扑结构可以唯一确定口一闭包及其关联 拓扑，但是0 一闭包及其关联拓扑都不能唯一确定空日j 的拓扑结构 1 0 曲宁帅范大学碗十学位论文 但是我们可以用0 一闭包的关联拓扑来描述某些空l 日j 的拓扑结构 设( x ，丁) 为拓扑空间，的关联拓扑为乃 定理2 2 拓扑空闻( x ，丁) 为正空问的充要条件是( x ，正) 为五空 间 证明必要性用反证法，假设存在x x ，c l 。 x 一 x ，取 y 以 石 一 x ) ，n y 的任何邻域u ，g n x 妒，即x 疗，x 的任何邻域 v ，v n u 妒，与条件( x ，丁) 为五空间矛盾 充分性对v x ，y x ，x y ，y 芒c x ) = x ，从而y 有邻域 u ，0 n x = 妒，工有邻域v ，v n u = 矿( x ，3 - ) 为正空间 定理2 。3 设( j ，丁) 为拓扑空间，( x ，丁) 为正则空日j 的充要条件是 = 丁 证明 必要性若彳为( x ，正) 中的闭集，则a = c t , a ，而 a c j c 坼爿，得a = 互，a 为( x ，丁) 中的闭集，从而乃c 丁 若a 为( ，丁) 中的闭集，则a = 2 v x 坼a ，对x 的任何邻域u ，由 ( j ，丁) 为正则空问，存在x 的邻域v 使得x v c 旷c u ，旷n a 妒，故 u n a 妒，x e j 从而a c 叱一c 互a = 吃爿，a 为( x ，乃) 中的闭集，从 而丁c 由上述知，瓦= 丁 充分性饥x 及闭集a 且x 芒a ，由正= 丁知，彳为0 一闭集，从 而工仨以a ， 即存在 x 的邻域 u 使 0 n a = v y 4 ，y 有邻域，n u = ，从而( u 。_ v ，) n w = 矿，即 x - 与4 有不相交的开集，所以( ，丁) 为正则空间 引理2 1 拓扑空日j ( 置丁) 为巧空间且蛔卜网空间，则x 的每个可 数子集为闭集 证明拓扑空间( x ，丁) 为 - 网空日】，a 为x 中的可数集若彳不 为闭集，则存在4 中的网( 砟：善 嵋) 收敛于x ，茗芒a 令曰为陔网的值域， 因b c 彳，i a 降曲，易知fb | _ 国，不妨设b = 饥：r ，则 q = u ，。 善：= = u ，。4 ，其中4 = f ：= 昀 根据基数和的定 义，q = 。i 若对v ，7 国，1 4i q ，则与q 为正则基数矛盾所以 曲宁师范人学颈l e 学位论文 3 r o 国，使l 厶1 o h 对v 口q ，j 芋a ，鼍= 否则， i 厶| 口 o h ，矛盾从而网( ：孝 仃，存在f 口，使得x b = 令b = r a n g e s ，设i 曰l = a ，则旯s 口+ 1 彤，不妨设b = ：，7 五 ， 则 茁= u t 2 孝：= = u r 2 4 ，其中4 = 善：t = ) 若对任意的即 2 ，h i 彭，则r = 州1 4 , i ，与r 为正则基数矛 盾从而存在 z ，f 气| - t 则网( 鼍：善 r ) 有各项取值为的常 值子网，与条件矛盾 第二步对每个x er a n g e s ，取x 的指标为m i i i 善：赡= x 由( 1 1 可知，所有这样的指标做成r 的一个共尾子集，设为c 显然，c 为良序集，设 f ：，一c 为保序的1 1 映射，其中y 为序数 显然，为极限序数，设h ：c 专f 为嵌入映射，则h o f ：，寸f 为严格 上升的共尾映射，从而矿( ，) = 矿( r ) = r ，设g ：( y ) 。，为严格上升 的共尾映射，则 so ho f o g ：茁寸x 即为定义域为r 的s 的1 1 共尾子网 定理4 3 拓扑空间x 为护一射线空间且有可数0 一紧度，则x 为 b f r 苞c h e t 空间 证明设4 为x 的子集且工比a ，由x 具有可数紧度，存在4 的 可数子集口，使得x 以b 若x c t o 蜘 ，y o b ，则b 中有各项取值为儿的常序列口一收敛 于x ，结论显然成立 若不然，由工为p 一射线空间，存在口中0 一收敛于x 的良序网 1 8 曲申帅范人学硕十学位论文 ( t ：f r ) ，其中k 为j f 则基数网( ：善 r ) 没有常值子网，由引理 4 2 知，它有定义域为r 的l 一1 共尾子网，设为：才 r ) ，由 ：叩 r c b ，b 为可数集知，r = 珊，从而b 中有序列口一收敛于x 综上所述，x 为0 一f r i c h e t 空日j 推论1 设x 为拓扑空间，有可数0 一紧度，且对x 中的任意可数 予集a ，x 以爿当且仅当彳中有良序网矽一收敛于工，则x 为 护一f r ；c h e t 空间 推论2 设拓扑空间x 为0 一伪射线空闯，若| xj 国，则x 为0 一序 列空问 我们不能确定具有可数紧度的护一伪射线空间是否一定是0 一序列 空日j ，但是，在引入了细网的概念，加强了拓扑空f 8 j 的条件后，得到 了比较理想的结果 定义4 8 设x 为拓扑空间，x 中口一收敛于x 的良序网 ( 鼍：孝 口) 称为细网，若对即 口，工正c l a ( r a n g e ( x f ：善 卢) ) 定义4 9 拓扑空问z 称为目一近似射线空日j ，若对x 中的非口一闭 子集4 ，存在a 中细的良序网口一收敛于x ，x 芒4 定理4 40 一射线空问是口一近似射线空日j 证明设彳为秒一射线空阐，一不是j 中的0 一闭集， 石c l 彳一a 设b c a 有最小的基数。使z c e b 若例= l ，不妨设而b ，则网( ：口 1 ) 口一收敛于x 若不然，b 中有良序网口一收敛于x ，不妨设此网为诈：f r ，茁 为正则基数由引理知，可设网( ：善 r 1 为l 一1 网从而 g = ：善 r 黔i b i 又x 鼍：f r ，由b 的定义知， ：孝 i s i 所以= r 对任意的刁 f ，l ：善 玎 l 蔓，7 j r 因曰c 彳有最小的 基数，使得x 坼b 所以善吃 赡：孝 r 从而彳中有细的良序网 ( t ：善 f ) 口一收敛于x 1 9 曲早师范人学硕卜学位论文 定理4 5 设x 为口一近似射线空间，且有可数0 一紧度，则x 为口一 序列空日】 证明设4 不是x 中的口一闭集 若存在x 仨4 ，a ，使x 以 y o ，a 中取值为的常序列目一 收敛于x 若不然，由盖为0 一近似射线空间，存在彳中细的l l 网 ( ：掌 口) 0 一收敛于x ，x 芒a x 有可数0 一紧度，存在 b c 吩：善 口 且i 口f = 国，使x 占，设集合c = 孝：赡b ，则c 为 盯得共尾子集否则，存在，7 口，对任意的亭 口，只要x z b ，就 有掌 ，7 ，从而x ec ：掌 r l ，与( ：掌 a ) 为细的良序网矛盾网 ( 赡：善 口) 在b 中的点按照原来的顺序做成新网，因曰为可数集，此网 为序列且0 一收敛于x 曲申师范人学硕上学位论文 第五节可数s ( 2 ) 一0 一闭空间 这一节引入了矿一收敛的概念，并对可数s ( 2 ) 一0 一闭空间进行了 刻画 定义5 1 【5 i 拓扑空间x 称为可数s ( 2 ) 一0 一闭的，若x 的每一可数 s 0 ) 一覆盖有有限子覆盖 定理5 1 拓扑空间x 是可数s ( 2 ) 一0 一闭的充要条件是每一具有 有限交性质的闭集的可数族，其所有成员口一闭包的交不空 证明必要性否则，若存在具有有限交性质的闭集的可数族 ，n e = 妒，贝i i x 寸v x x ，存在删邻域u ，o f ) 目= ，即 疗c 7 x 一目， x e ：坤为自然数 为x 的可数s ( 1 ) 一覆盖，有有限子覆 盖不妨设 z = ( z f , ) u ( x - e ) u u ( x 一层) = x - f , 1 7 en 1 7 e ，矛盾 充分性设彳为x 的可数s 0 ) 一覆盖，若它的任何有限子族不覆盖 彳，则 x 一以：n 为自然数) 为具有有限交性质的闭集的可数 族，v x x ，3 n , 及x 的邻域u ，使得x u c 疗c a n ，0 n ( x a ) = 妒，即 n 以( x 一4 ) = ，矛盾 定义5 2x 为拓扑空间，a c x ，x x x 称为4 的0 一聚点，若 x 的每一个卜开邻域含有a 的无穷多个点 定理5 2 拓扑空间x 为可数s ( 2 ) 一口一闭的充要条件是x 的每个 无穷子集都有0 一国聚点 证明必要性反证法，假设石的某个无穷子集没有0 一聚点， 取它的可数子集a = 缸，a 2 ，a n ， ，a 同样没有0 + 一珊聚点对 v x x ，3 x 的一个卜开邻域以，使得u 。n 4 为有限集，从而得到j 的 一个s ( 1 ) 一覆盖u = u ：x x ，当以n a = a n t ，a n 2 ， 时，令 m = m a x ，n 2 ，n k 叫做以的标数，当u n a = 矿时，玑的杯数取0 ， 舳申帅范大学顾学位论文 对m ，令集合睨= u 以：u x 的杯数为m ，则 v x x ，x 以，3 非负整数以，使得玑c 。，所以 ：肌为非负整数 是x 的可数s o ) 一覆盖，但它没有有限子覆盖 充分性反证法，假设z 不是可数s ( 2 ) 一0 一闭的，有可数s o ) 一覆 盖u = u 1 ，u 2 ，以， ，没有有限子覆盖对每一个n ，选取一点 x u ：彭，可以做到各个毛彼此不同，由此得到无穷子集4 = ) ， 则彳没有矿一聚点因为对v x x ，3 是x 的卜开邻域，n a 为 有限集 定义5 3x 为拓扑空问，( 毛) 是x 中的序列，x x ，称x 是序列 ( x a 的矿一极限点，若对z 的任何卜开邻域u 及任意的自然数，存在 n o n ，使得u 定理5 3 拓扑空间x 为s ( 胛) 一0 一闭的充要条件是x 中每一序列 都有口一极限点 证明必要性( 毛) 是x 的任一序列，那么只会有以下两种情况： ( 1 ) 若点列( x d 只含有限多个点，显然 ( 2 ) 若点列含无限多个点，由定理得，含有无穷多个点的集合 r a n g e ( x ) 有0 一珊聚点，设为x ，则它是序列( 吒) 的0 一极限点 充分性显然 定义5 4 石为拓扑空间，称x 中的网( k ：口e a ) 0 一收敛x ，若对 x 的任何卜开邻域u ，了a ，对v a a 且口，有u 定义5 5 拓扑空间石称为矿一序列紧的，若x 中的每一序列都有 矿一收敛的子序列 下面讨论0 一序列紧空间和可数s ( 2 ) 一0 一闭空间之间的关系 定理5 4 矿一序列紧空间是可数s ( 2 ) 一口一闭空间 证明设x 为0 一序列紧