（基础数学专业论文）基于稳定分布的投资组合理论研究.pdf

中文摘要 正确的投资决策是建立在对收益率与风险的可靠预测之上的，而 可靠的预测只能通过基于现实假定上的统计模型来得到。传统的投资 组合理论都是以正态分布为基础的，而对于中国股票市场的实际分 布，其实际金融数据的分布却具有明显的尖峰厚尾性，采用稳定分布 才能够较好地描述这类金融数据的两个重要经验特征：厚尾及尖峰。 因此，本文首先对上证综合指数及深证成分指数的收益率进行了稳定 分布拟合，在此基础上，构建了稳定分布下的投资组合均值一绝对偏 差模型以及加入交易费用和最小交易单位双重约束的投资组合优化 模型，尔后，从上海股市和深圳股市任意选取一个投资组合作为该优 化模型的算例。 本文研究的主要内容及结果如下： 1 介绍了一元稳定分布以及多元稳定分布的基本理论；介绍了 现代投资组合理论，并对现代投资组合理t 眺行了评析。 2 分别用正态分布和稳定分布对上证综合指数以及深证成分指 数收益率进行分布拟合。对于每一种选择的分布类型，采用极大似然 法估计参数值以及用鹏检验和k s 检验来测量优化函数的拟合优度。 结果表明稳定分布能更好的拟合中国股票收益率的实际分布，能较好 的处理市场中的“尖峰厚尾 现象。 3 建立了稳定分布下证券投资组合模型的均值一绝对偏差模型， 讨论了模型的有关性质，并加入交易费用和最小交易单位的限制，研 究了模型的改进以及模型的具体解法，最后给出一具体的算例。 关键词：正态分布；稳定分布；投资组合；交易费用 a b s t r a c t r i g h ti n v e s t m e n td e c i s i o nr e q u i r e sr e l i a b l ep r e d i c t i o n so f r e t u r na n dr i s k ，a n dr e l i a b l ep r e d i c t i o n sc a no n l yb eo b t a i n e d i ft h e u n d e r l y i n gs t a t i s t i c a l m o d e lr e s t so nr e a l i s t i c a s s u m p ti o n s t h et r a d i t i o n a lp o r t f o li ot h e o r yi sb a s e do nt h e n o r m a ld i s t r i b u t i o nf o rt h er e a ld i s t r i b u t i o no fs t o c km a r k e t i nc h i n a b u tt h er e a ld i s t r i b u t i o no ff i n a n c i a ld a t af o l l o w s ah e a v y t a il e da n ds k e w e dd i s t r i b u t i o n s t a b l el a w sa r ea b l e t oc a p t u r et h et w om a i nc h a r a c t e r i s t i co fe m p i r i c a le v i d e n c e t h es t a b l ed is t r i b u ti o no ft h es t o c kr e t u r n so fs h a n g h a is t o c k c o m p o s i t ei n d e xa n ds h e n z h e ns t o c ks u b i n d e xa r ed i s c u s s e d ，a n d p o r t f o li ow h i c hc o n t a i nt r a n s i t i o nc o s t sa n dm i n i m u mu n i to f e x c h a n g eu n d e rt h es t a b l ed i s t r i b u t i o na r ef u r t h e rr e s e a r c h e d t h em a i nc o n t e n t sa n dr e s u lt sa r ea sf o ll o w s ： 1 t h eb a s i ct h e o r i e so fu n i v a r i a t es t a b l ed i s t r i b u t i o na n d m u l t i v a r i a t es t a b l ed i s t r i b u t i o n s ：m o d e r np o r t f o l i ot h e o r ya r e i n t r o d u c e da n da n a l y z e d 2 t h er e t u r n so fs h a n g h a is t o c kc o m p o s it ei n d e xa n d s h e n z h e ns t o c ks u b - i n d e xa r ea n a l y z e db ym e a n so fn o r m a l d i s t r i b u t i o na n ds t a b l ed i s t r i b u t i o ns i m u l a t i o nf o re v e r yt y p e o fs e l e c t e dd i s t r i b u t i o ns i m u l a t i o no p t i m i s t i ca r em e a s u r e db y j bt e s ta n dk st e s t t h er e s u l t ss h o wt h es t a b l ed i s t r i b u t i o n i sm u c h b e t t e rt h a nt h en o r m a ld i s t r i b u t i o ni nd e a l i n gw i t h s t o c kr e t u r n sd i s t r i b u t i o nw i t hf a tt a i l 3 t h em e a n a b s o l u t ed e v i a t i o nm o d e lb a s e do nt h es t a b l e d i s t r i b u t i o ni sb u i i t ，p o r t f o l i ow h i c hc o n t a i nt r a n s i t i o n c o s t sa n dm i n i m u mu n i to f e x c h a n g e u n d e rt h es t a b l e d i s t r i b u t i o na r ef u r t h e rr e s e a r c h e d ，w em o d i f yt h em o d e la n d r e s e a r c hit ss o l u ti o n k e yw o r d s ：n o r m a ld i s t r i b u t i o n ；s t a b l ed i s t r i b u t i o n ； p o r t f o li o ：t r a n s i t i o nc o s t s n 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不合任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人 完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：彦、缮加8 年占月上日 一 l 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学。 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密e l 。 ( 请在以上相应方框内打“寸) 作者签名：力砰日期：m 3 年6 月j - 日 导师签名：懈之 日期：2 - e 薛石月 日 基于稳定分布的投资组合理论研究 1 1 研究背景和意义 1 绪论 最早使用统计方法分析收益率的著作是在1 9 0 0 年由巴舍利耶 ( b a c h e l i e r ) 发表的，巴舍利耶的论文是一项具有远见的开拓性工作， 其贡献中的一项就是认识到随机游走过程是布朗运动。由此经济学家 建立了股票价格的时间序列模型。自从巴舍利耶( b a c h e l i e r ) 的开创 性工作以来，在投资价格理论方面，m a n d e l r o t 用帕雷托稳定分布对 金融数据建模的假设毫无疑问是最具有革命性的发展。m a n d e l b r o t 认 为实际记录与在传统的扩散物理中所发现的是不一致的，价格记录被 巨大的不连续变化所打断，这些变化倾向于积聚在一起，违背了高斯 分布所要求的平滑趋势。正如他后来所写，“连续性假设的唯一依据 是许多科学研究有意或无意地倾向于模仿那些在牛顿物理学中被证 明是成功的方法，但是价格是不同的：两种结构不含可比性。 当价 格记录逐渐变长时，均方差看起来并不稳定。更进一步，m a n d e l b r o t 认为无论时标是以星期，月为单位，还是以年为单位，时间序列的几 何形状均保持不变。他发现相对于正态分布而言，无条件收益率分布 在均值处峰部要比正态分布所预测的要高，而且尾部比正态分布所预 测的要厚，即所谓“尖峰厚尾 现象。后来法马( 1 9 6 3 ) 在他的博士论 文中支持这一思想。m a n d e l b r o t 的稳定分布在经济学家那里并没有得 到最热烈的支持，若说有这种支持的话，它是最近才被一些计量经济 学家重新给予关注，然而这并不是m a n d e l b r o t 的名字获得大量经济学 家认同的主要原因，相反的那是由于混沌理论。由于种种原因，对于 列维稳定分布的经验普适性问题现在比7 0 年代有更多的争论 ( m i r o w s k i ，1 9 9 5 ) 。 稳定分布由列维( l e v y ) 于二十年代提出，它是中心极限定理的 更一般的形式。广义中心极限定理表明，对大量的独立同分布随机变 高师硕士学位论文 量的和进行适当的标准化处理后，如果极限分布存在，则此分布一定 属于稳定分布族，因此当参差项被假定为所有不能由模型所反映的外 界干扰的和时，稳定帕雷托分布的这一性质就是必须的。稳定分布族 具有卷积不变性，正态分布时稳定帕雷托分布的特例。稳定帕雷托分 布允许厚尾性以及非对称性，和其它允许厚尾的分布，如t 分布、混 合正态分布、双边威布尔分布相比，帕雷托稳定分布能够很好地处理 具有厚尾与倾斜现象，由于许多大型数据集具有厚尾、狭峰地特征， 用稳定分布去逼近较理想( n o l a n ，1 9 9 9 ) 。当稳定性指数介于1 和2 之间时，除一阶矩外，稳定分布的其他矩均为无穷；当稳定性指数介 于0 和1 之间时，稳定分布的一阶矩也为无穷，另外，除个别特殊分 布外，其它稳定分布不可能写出封闭型解析密度函数。由e n g l e ( 1 9 8 2 ) 引入的自回归条件异方差( a r c h ) 模型以及由b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 推 广的广义a r c h ( g a r c h ) 模型能够反映金融资产时间序列的两个重 要特征：波动集聚性或者条件异方差以及尖峰或者厚尾性，也就是， 无条件分布的尾部比正态分布所预测的要厚。无条件分布的厚尾性和 g a r c h 现象并非无关，d i e b o l d ( 1 9 8 8 ) 指出由正态分布新息导致的 g a r c h 过程可以产生具有厚尾的无条件分布的时间序列；d e v r i e s ( 1 9 9 1 ) 以及g r o e n e n d i j k 等( 1 9 9 5 ) 表明一定现象，其它金融时间 序列也表现出同样的特性( p e t e r s ，1 9 8 9 ，1 9 9 1 ，1 9 9 4 ) 。 p e t e r s ( 1 9 8 9 、1 9 9 1 、1 9 9 4 ) ，m a n t e g n a 和s t a n l e y ( 1 9 9 5 ) 等论 述了美国股票市场收益具有稳定特性。m u c u l l o c h ( 19 9 6 ) 把c a p m 推广到最一般的多变量稳定情形，并详细论述了稳定分布在金融领域 中的应用。h a r ( 2 0 0 0 ) 讨论了韩国金融市场的稳定分布。h u r s t ( 1 9 9 9 ) 等讨论了对数稳定分布下的期权定价公式。在g a r c h 模型拟合时间 序列时，经常会发现g a r c h 的残差仍然是厚尾的，因此条件以及无 条件收益率分布，稳定帕雷托残差分布的g a r c h 过程( m c c u l l o c h ， 1 9 8 5 ；l i u 和b r o r s e n ，1 9 9 5 ；p a n a r s k a 等1 9 9 5 ；m t t i n i k 等，1 9 9 8 ； m i t t n i k 和p a o l e l l a ，2 0 0 0 ；m i t t n i k 和p a o l e l l a 等，2 0 0 2 ) 也得到了研 究。徐龙炳和陆蓉( 1 9 9 9 ) 的研究表明，中国股票市场波动呈现非线 基于稳定分布的投资组合理论研究 性，具有状态持续性特征，中国股票市场并不服从正态分布，而是具 有明显的尖峰厚尾性。殷勇( 1 9 9 6 ) ，姜理，刘永清( 1 9 9 9 ) ，h a n ( 2 0 0 0 ) ， m i t t n i k ( 2 0 0 1 ) 研究了稳定分布下的投资组合问题。 一些厚尾分布常常显示出由非线性随机过程所产生的一种具有 长期记忆系统的迹象，对于具有这种状态持续特性的时间序列来说， 传统的c a p m 、a p t 等模型将不再适用。因此，本文应用稳定分布 理论对中国股票市场收益的分布特性进行研究，构建多种约束下基于 稳定分布的投资组合优化模型，并选取中国股市的实际数据进行实证 分析，不仅具有一定的理论意义，更具有重要的现实意义。 1 2 研究思路 资产组合选择是投资者进行金融经营活动所必须面对的最基本 的问题之一，也是金融经济学研究的核心问题。现代金融领域中的资 产组合选择理论及其应用基本上都是在其投资组合理论的框架下展 开的，区别之处仅是收益和风险的描述方法不同。金融资产收益率的 分布假设是现代金融理论和金融市场风险分析的重要前提，通常假设 金融资产收益率服从正态分布，而实际金融数据并非如此，往往具有 尖峰胖尾等特征。从最早的m a n d e l b r o t 和f a m m a 到最近的h i s h 和 a n d e r s o n 的研究均表明，股票市场及其它金融资产收益率表现为非正 态分布特性，用正态分布来描述往往效果很差。尽管资产收益率的分 布至今难以确定，但是许多统计学、经济学和金融学等领域的学者已 经在这方面做出了积极有益的探索。m a n d e l b r o t 从收益率序列分布的 尖峰胖尾特性出发，提出资本市场收益率服从稳定分布。此后，稳定 分布在金融市场中得到了广泛的研究和应用，研究表明，稳定分布对 资产收益率拟合效果很好。但是，国内的研究相对于国外来说，就要 少很多。近年来国内学者才逐渐对稳定分布及其在我国金融市场中的 应用进行关注，在这领域的研究才刚刚起步。为此，本文应用稳定分 布理论对投资组合进行研究。首先介绍一元稳定分布以及多元稳定分 高师硕士学位论文 布的基本理论，其次分别用正态分布和稳定分布对上证综指及深证成 指收益率进行分布拟合，结果表明稳定分布比正态分布能更好的拟合 中国股票收益率的实际分布。然后对现代投资组合理论进行评析，并 指出其共同前提是假定资产收益服从正态分布。最后利用稳定分布优 化投资组合模型并给出一具体的算例。 1 3 本文的主要研究内容 本文依据近期稳定分布理论和投资组合理论，构建了稳定分布下 的投资组合均值一绝对偏差优化模型，并研究了加入交易费用和最小 交易单位等双重约束条件后，投资组合优化模型的改进、模型的具体 算法及算例，为投资者提供了新的投资决策工具。在实证过程中，使 用了s t a b l e 、m a t l a b 等软件进行数据模拟、计算及检验。 全文共分四章，基本内容为：第一章提出论文研究背景及意义， 并对国内外的研究概况进行总体的综述。第二章介绍了稳定分布理 论，研究了稳定分布的参数估计以及稳定随机变量的性质，利用 s t a b l e 程序研究了1 2 一稳定分布的密度函数与分布函数。然后对中 国股票市场所选样本数据进行分析，分别用正态分布和稳定分布对上 证综合指数以及深证成分指数收益率进行分布拟合。对于每一种选择 的分布类型，用j b 检验和k s 检验来测量优化函数的拟合优度。结果 表明稳定分布能更好的拟合中国股票收益率的实际分布。第三章首先 介绍了现代投资组合理论并进行了评析，指出了马科维茨分散投资理 论的缺陷、资本资产定价模型的局限及套利定价理论的不足，最主要 的是它们的一个共同前提是假定资产收益服从正态分布。然而大量的 实证研究表明，资本市场收益并不完全服从正态分布，因此用稳定分 布来描述股票收益。利用低阶矩代替二阶矩构造基于稳定分布的均值 绝对偏差的分析框架，讨论了模型的有关性质，并加入交易费用和 最小交易单位的限制，研究了模型的改进以，并给出一具体的算例。 最后第四章阐述了本文的研究结果，并对下一步的研究做了相应的展望。 4 基于稳定分布的投资组合理论研究 稳定分布及其实证研究 2 1 稳定分布及其参数估计 本节给出了一元稳定随机变量、多元稳定随机变量的定义及基本 性质，描述了稳定分布的参数估计，其主要内容来自s a m o r o d n i t s k y 和t a q q u ( 19 9 4 ) ，n o l a n ( 2 0 0 2 ) ，s a t o ( 19 9 9 ) ，u c h a i k i n 和z o l o r a r e v ( 19 9 9 ) ，z o l o r a r e v ( 19 8 6 ) ，m a r i n e l l i ( 2 0 0 2 ) 。 2 1 1 稳定分布的定义 稳定分布由列维于二十年代提出，自三十年代以来，稳定分布过 程得到了深入研究。这里给出一元稳定分布的四个等价定义，前两个 定义是关于“稳定 性的：稳定分布族具有卷积不变性，第三个定义是 关于稳定分布在中心极限定理中的作用，稳定分布是独立同分布随机 变量的标准化和的极限，利用稳定分布的这一非常有用的性质，就可 以用稳定分布对于由许多微小随机变量所组成的扰动进行建模，第四 个定义是关于稳定分布的特征函数的，因为只有少数稳定分布具有密 度函数的闭型表达式。 定义2 1 1 1 称随机变量x 服从稳定分布，如果对于任意的正数 彳与b ，存在着一个正数c 与正数d ，使得 a x i + b x 2 = c x + d 这里五与五是与x 独立同分布的随机变量，其中= 表示同分布。 称随机变量x 是严格稳定的，如果该式成立并且d ：0 。称随机 变量x 是对称稳定的，如果它的分布是对称的，也就是说如果x 与一x 具有相同的分布。 定义2 1 1 2 称随机变量x 服从稳定分布，如果对于任意的以2 ， 存在一个正数e 及一个实数见，使得 高师硕士学位论文 这里五，置，以是与x 独立同分布的随机变量。 定义2 1 1 3 称随机变量x 服从稳定分布，如果它有一个定义域， 也就是说，如果存在一个独立同分布的随机变量序列e l9 k ，以及一 列正数 吃 和一列实数 ) ，使得 互兰：监+ 口- jx 符号j 表示依分布收敛。 n o l a n ( 1 9 9 8 ) 给出了四种稳定分布的特征函数的表示法，其中最常 用的就是下面给出的s a m o r o d n i t s k y - t a q q u 形式的特征函数： 定义2 1 1 4 称随机变量x 服从稳定分布，如果存在参数 o o 咖让仁参瓮 该定义是用四个参数来描述，特征指数口( 0 口2 ) 描述尖峰厚尾 的程度，口越小，尾部越厚峰部越尖；偏斜指数( 一1 f l 0 时，分布是右厚尾的， 随逐步逼近1 ，右偏斜程度增加；当 o ) 表示随机变量尺度的变化；位置参数以r ) 表示均值的 位置。当口：2 时，= 0 时，相应的分布即为正态分布，其均值为， 方差为2 0 。在稳定分布族中，只有正态分布存在方差，其余的分布 函数只存在阶数小于口的矩。当口= 2 时，稳定分布退化为正态分布； 当= i ，口= 1 2 ，= o 时，稳定分布就是列维分布；当= 0 ，口= 1 时，稳定 基于稳定分布的投资组合理论研究 分布就是柯西分布。 2 1 2 稳定随机变量的性质 性质 2 1 2 1 若墨和五是相互独立的随机变量 五一& ( 呸，层，h ) ，i = 1 ，2 ，那么五+ 五一& ( 盯，) ，并且 盯= ( q 口+ 0 2 。) 必，= 警，= 鸬+ 心 性质2 1 2 2 若x 一& ( 矿，) ，口是实常数，那么 x + a 一瓦( 仃，+ 口) ， 性质2 1 2 3 若x 一& ( 盯，) ，口是一非零实数，那么 如果口1 a x & ( 1 a l ，s 初( 口) ，a z ) 如果口：1 勰一s ( i 口i 叽j 忉( 口) ，a z 一昙幽i 口i 筇) 刀 性质2 1 2 4 对于任意的0 口 2 x 一& ( 盯，0 ) 一x 一& ( 盯，- p ，0 ) 性质2 1 2 5 x - s o ( 丁，) 是对称的，当且仅当= 0 并且= 0 。 x 一& ( 仃，) 是关于对称的，当且仅当夕= 0 。 对称的稳定随机变量是严格稳定的，但是严格稳定随机变量不一 定是对称的。 性质2 1 2 6 若x 一& ( 盯，) ，并且口1 ，那么x 是严格稳定的， 当且仅当= o 。 推论2 1 2 7 若x 一& ( 仃，) ，并且口1 ，那么x 一是严格稳 定。 性质2 1 2 8x s ( 盯，) 是严格稳定的，当且仅当= 0 。 推论2 1 2 9 若五，以是独立同分布的，并且服从稳定分布 & ( 盯，) ，那么 高师硕士学位论文 如果口1 五+ + 以= 刀五+ ( ) 五+ + 以= 刀7 口五+ i 刀一刀。 如果口：1 五+ + 鼍= 蝎+ 昙珈l i l 甩 性质2 1 2 1 0 若x 服从稳定分布& ( 仃，o ) ，口 2 ，那么存在两个 服从& ( 仃，i ，0 ) 的独立同分布的随机变量，：和艺，使得 如果口1 x = ( 半) 巧一( 半) 艺 如果口= i x = ( 半卜( 半) e + 盯( 半h 半一半h 半) 性质2 1 2 11 若口 l ，对于固定的仃，分布族& ( o r ，0 ) 是关于 - l _ f l _ l 随机有序的，也就是说，若一& ( 盯，0 ) 并- ra - a ，那么 对于所有的x ，p 厶x 尸 k x ) ，并且对于一1 1 ，& ( 盯，历o ) 的 支集是实数集。 以下是应用广泛的关于口一稳定分布尾部性态的性质。 性质2 1 2 1 2 若x 一& ( 盯，) ，并ho a 允) = e 半矿 【舰脚 x - 2 = q 半矿 其中 q = f x - s i n x d x ) - = 若口1 若1 2 = 1 性质2 1 2 1 3 若x - s 。( o - ，) ，并且o 口 2 ，那么 对于任意的o p 口 一 e l x l p o o 8 砺 口一 万旦咖 基于稳定分布的投资组合理论研究 对于任意的p 口 e - 0 0 当口 2 时，口一稳定随机变量的二阶中心矩为无限大，即使e 也 是无限大，这一事实使得在高斯分布下许多有效的方法对于稳定分布 并不适用。当口1 时，e l x l ，= ，这时期望值就不再适用。 性质2 1 2 1 4 若x 一& ( 仃，0 ) ，o a 2 ，并且当口= 1 时，p = o ， 那么对于任意一个o p 0 ，使当啊专，力：一时，啊他 0 ，该式成立并且d = 0 ，则称向量x 是 严格稳定的。 如果x 是稳定的，并且对于r d 上的任一b o r c l 集4 ，满足 p x a ) = p 一x a 则称向量x 是对称稳定的。 基于稳定分布的投资组合理论研究 与r - 上的情形一样，一个对称稳定向量是严格稳定的。 推论2 1 5 2 随机变量x 是稳定的，当且仅当对于任意的n 2 ， 存在一个口( o ，2 】，以及一个向量q ，使得 x ( 1 ) + x ( 2 ) + + x ( ”) = n t 口x + 见( 2 - 1 2 ) 其中x ( n ，x ( 孙，x ( ”) 相互独立，且与x 独立同分布。 定义2 1 5 3 r d 上的随机向量x 是口一稳定的，如果( 2 1 1 ) 式成立 r c = ( 彳。+ 俨) 归或等价地，如果( 2 1 2 ) 式成立，称口是向量x 的稳定性 指数或者特征指数。 定理2 1 5 4 若x 是r d 上的随机向量，则以下结论成立。 ( 1 ) 如果所有线性组合y = 仇五具有严格稳定分布，那么x 是 r d 上的严格稳定随机向量。 ( 2 ) 如果所有线性组合是对称的，那么x 是r d 上的对称稳定随 机向量。 ( 3 ) 如果所有线性组合是稳定的，稳定指数大于或等于l ，那 么x 是r d 上的稳定随机向量。 与一元情形一样，多元稳定分布函数或密度函数通常没有闭型表 达式。 令x = ( 五，五，托) 是r d 上的口一稳定随机向量，并且令 。( 口) = 。( q ，0 2 ，g d ) = e e x p i ( o ，x ) ) = e e x p f 幺五 表示其特征函数。也可称。( q ，岛，易) 是随机变量五：置，丘的联合 特征函数。 定理2 1 5 5 若o a 2 ，那么x = ( 五，五，局) 是r d 上的口一稳定 随机向量，当且仅当存在着一个r d 中单位球面兄上的有限测度r 以及 r d 上的一个向量，使得 当口1 时， 印) = e x p ( 叫广s ) 伽孚) r ( d s ) m ) ) 当口= 1 时， 叫咖e x p “胁) i 口1 + ij 忉( 印) i n 胁) 1 ) r ( 咖巾 ( r ，) 是唯一的。 高师硕士学位论文 定义2 1 5 6 称( r ，) 是定理2 1 5 5 中向量x 的谱表达式，测度r 是 口一稳定随机向量x 的谱测度。 若d = l ，那么墨包含有两点 一1 和 1 ) ，并且谱测度r 集中在该两 点上。记r 。= r ( 1 ) ) ，f 一。= r ( 一1 ) ) 。如果口l ，口一稳定随机变量 x 一& ( 盯，) 的参数为 弘( f i + f _ 1 ) l a 肛黯 位置参数保持不变。如果谱测度r 是对称的，则篇度参数= 0 。对于 口：1 的情况，可得类似的结果。 若随机变量x 服从多元口一稳定分布，那么x 分量的所有线性组 合服从一元口一稳定分布。对于b er d ，随机变量b r x 的参数，孱，以为 = ( 鹏j ) m 凼) 广 孱i f ( 6 ，) 当口耐 乜2 t ( 6 ，) 一三7 l ( 6 5 ) l i l i ( 6 ，s ) i r ( 凼) 当口= 1 时 2 2 中国股票收益率的稳定分布拟合与检验 对金融资产收益率分布状况的正确描述，直接关系到证券组合选 择的正确性、风险管理的有效性及期权定价的合理性。传统的金融经 济学一般假定收益率服从正态分布，但从大量的实证研究表明，上述 结论只有对收益率的考虑时间标度区间比较大的时候才是正确的( 通 常是一个月以上) ，当时间标度区间较小时，收益率的分布密度函数 在尾巴部分比正态分布胖，即呈现出胖尾分布的特征。本文对深证成 指及上证综指市场做了实证研究，对股票收益率进行了稳定分布的拟 基于稳定分布的投资组合理论研究 合，并与正态分布的拟合加以比较，并做了j a r q u e b e r a 检验和 k o l m o g o r o v s m i m o v 检验，结果表明稳定分布去逼近比用正态分布描 述更理想。 2 2 1 数据来源及分析工具 本文选取2 0 0 6 年1 月4 日到2 0 0 7 年1 月4 日的深证成分指数及 2 0 0 6 年1 月4 日到2 0 0 7 年1 月4 日上证综合指数每日收盘价的数据 进行研究。股票收益率r 定义为足- - ( e , 一c 一。) - l ，其中r 表示f 时期的 股价指数，p 一，表示后一期的股价指数。本文主要采用j o h ne n o l a n 教 授提供的稳定分布分析软件s t a b l e 程序处理数据，同时利用 m a t l a b 7 0 编写程序绘制实际直方图。 2 2 2 实证研究 2 2 2 1 正态性检验 根据大数定理与中心极限定理，我们假设收益率服从正态分布。 对正态分布假设的检验有：频率直方图、偏度与峰度检验、j a r q u e b e r a 检验等。 霎。 h - - 口憎m _ ，啊 玉 臃一 图2 - 2 1 ：上证综指收益直方图 j 高师硕士学位论文 图2 - 2 2 ：深证成指收益直方图 表2 2 1 ：上证指数与深证指数的基本统计量 序列均值标准差峰度偏度 j bp 值 上证 o 3 2 7 e 0 2o 1 3 0 e o l5 7 4 10 2 6 18 4 6 9 8o o o 深证0 3 7 2 e 0 20 1 6 1 e 一0 14 2 9 30 6 0 8 e 0 11 6 0 9 9 7 0 o o 由图2 2 1 及图2 2 2 可看出，收益率直方图不符合正态分布。 从表2 2 1 偏度峰度检验结果来看：两者的峰度均大于3 ，呈现尖峰 态势，由j a r q u e b e r a 检验结果来看，p 值小于o 0 5 ，因而j a r q u e - b e r a 检验拒绝样本服从正态分布的假设。 2 2 2 2 稳定分布的参数估计 运用n o l a n 的s t a l e 程序导入数据。利用程序中第7 项( f o rf i t t i n g as a m p l ew i t hs t a b l ep a r a m e t e r s ) ，分别计算出上证指数与深证指数的 稳定分布及正态分布的参数( 口，o r ，) 的估计。 表2 2 2 ：上证指数与深证指数收益率分布的参数估计 序列 分布 口b 仃 稳定分布 1 4 6 1 1 4 00 0 6 2 2 2 30 6 5 2 8 7 2 e 0 20 17 5 2 8 8 e 0 2 上证 正态分布2 0o 919 8 4 7 e 0 20 3 2 7 9 8 7 e 0 2 稳定分布1 6 4 4 6 5 80 0 1 2 3 0 60 9 3 4 5 3 4 e 0 20 3 7 0 3 8 3 e 0 2 深证 正态分布 20o 11 4 0 1 0 e 0 1o 3 7 2 2 7 2 e 0 2 基于稳定分布的投资组合理论研究 由表2 2 2 知，上证指数与深证指数的日收益率的特征指数均在 1 o 和2 0 之间，表明上证指数与深证指数的收益分布比正态分布更 尖峰和更胖尾，分布的均值存在，但分布的二阶矩却不存在或无穷。 上证的偏斜指数大于零，表示收益率为右偏，深证的偏斜指数小 于零，表示收益率为左偏。 2 2 2 3 拟合检验 表2 2 3 ：稳定分布与正态分布的拟合结果 序列正态分布k sp 值稳定分布k s 5 临界值 上证综指 0 0 9 60 0 0 00 0 0 31 4 90 0 8 4 18 2 深证成指 o 0 60 0 4 70 0 2 6 1 4 4 0 0 8 9 1 7 1 表2 2 3 中的结论表明：在5 的显著水平下，所有的收益率序 列都显著地拒绝正态分布的假设，而所有的收益率序列都不能拒绝稳 定分布的假设，因而稳定分布拟合实际股票收益率序列比正态分布拟 和的效果好得多。 图2 2 3 ：上证与深证收益直方图、稳定分布与正态分布的拟合 从图2 2 3 中可以清楚地看到，稳定分布密度曲线能较好地拟合实 际股票收益率序列，比正态分布密度曲线的拟合效果好得多。 2 2 2 4 厚尾性检验 高师硕士学位论文 我们用q 统计量( q q 图) 对上证综合指数与深证成分指数的收益 率进行厚尾性检验。 n o r m a lq - qp l o to f 上证综指 图2 2 4 ：上证综指每e t 收益率q q 图 n o r m a lq - qp l o to f 深证成指 图2 - 2 5 ：深证成指每日收益率q q 图 如果样本数据服从正态分布，q q 图应该显示为一条直线。实际 上，上证证券综合指数与深证证券成分指数的收益率的q q 图都为一 s 型的曲线，曲线在中部和两端具有更大的斜率，表明相对于正态分 布，样本数据更多的分布在中间和两个尾部，即具有厚尾性。 由上述图表、数据以及j b 检验和k s 检验值可知，用稳定分布 去逼近比用正态分布拟合在处理股票收益率尖峰厚尾时更理想。 基于稳定分布的投资组合理论研究 3 稳定分布下投资组合优化模型研究 3 1 现代投资组合理论综述 3 1 1 现代投资组合理论简介 风险是金融投资领域的研究热点问题之一，投资组合是降低投资 风险的有效方法之一，是现代金融投资理论的重要内容。证券投资者 其基本目的在于在可承受的风险水平上，尽可能地获得最大的预期收 益。但是经验表明，投资收益总是在与风险形影相随。精明的投资人 为了避免过高的风险与过低的收益两种极端的情况，往往选择若干证 券进行搭配投资，通俗地讲，就是“不要把所有鸡蛋放在同一个篮子 里”。这种根据多样化原则，选择若干证券进行搭配投资地方法称为 组合投资。相应的组合投资证券的集合称为证券投资组合。 现代投资组合理论开始于马柯维茨在1 9 5 2 年发表的一篇题为 “证券组合选择”的论文。文章论述了怎样使组合在一定的风险水平之 下，获取最大的预期收益。建立以二次规划为基础的数学模型，通过 求解二次规划，获得具体的风险、预期收益、投资比例之间的关系。 因而它不仅提供了使风险分散的方法，而且定量描述了风险能够减小 到的最低程度，以及具有最小风险的证券投资组合的构成。 3 1 1 1 马柯维茨模型 马柯维茨模型的假设是： ( 1 ) 投资者以期望收益率来衡量未来收益率的总体水平，以收 益率的方差来衡量收益率的不确定性，而且投资者在决策中只关心投 资的期望收益率和方差； ( 2 ) 投资者是不知足的和厌恶风险的，即投资者总是希望期望 高师硕士学位论文 收益率越高越好，而方差越小越好； ( 3 ) 投资者总是希望持有有效资产组合，即在给定风险水平下 追求收益率的最大化或在一定收益率水平下追求风险最小化； ( 4 ) 投资者的投资是单一投资期。 马柯维茨均值方差模型就是在上述假设下导出投资者只在有效 边界上选择证券组合，并提供确定有效边