（基础数学专业论文）连续映射的局部熵与回归熵的混合重分形熵谱.pdf

硕士学位论文2 0 0 6 年4 月 摘要 在本文中介绍了回归时间和不变测度的混合重分形熵谱的 概念，并运用c a r a t h d o d o r y 结构去定义回归熵的方法，给出了回 归熵与局部熵的混合重分形熵谱的一个新的公式 件 关键词；重分形谱；局部熵；回归熵；拓扑熵；熵倍增条 摘要2 a b s t r a c t w ei n t r o d u c em i x e dm u l t i f r a c t a ls p e c t r aa s s o c i a t e dw i t hp o i n c a r r e c u r - f e n c e sa n di n v a r i a n tm e a s u r e b yt h em e t h o do fu s i n gc a r a t h d o d o r yc o n s t r u c t i o n t od e f i n el o c a le n t r o p i e sf o rr e c u r r e n c et i m e ，w ee s t a b l i s ha ne x a c tf o r m u l ao n m u l t i f r a c t a ls p e c t r u mo fl o c a le n t r o p i e sf o rr e c u r r e n c et i m ea n dl o c a le n t r o p i e so f i n v a r i a n tm e a s u r e ， k e yw o r d s ：m u l t i f r a c t a ls p c t r u m ；t o p o l o g i c a le n t r o p y ；l o c a le n t r o p y e n t r o p yf o rr e c u r r e n c et i m e ；e n t r o p yd o u b l i n gc o n d i t i o n 狄新炎硕士学位论文2 0 0 6 年4 月 致谓 在这里，首先要感谢我的导师陈二才教授，正是由于导师的悉心指导 与热情帮助，才使我顺利的完成学业陈老师渊博的学识，严谨的治学精神 以及诲人不倦的高尚品格必将使我受益终身三年来，我所取得的每一点 成绩都倾注着恩师的无私心血在此，我再次向陈老师表示衷心的感谢 其次，我要感谢南京师范大学的校领导和数学与计算机科学学院的 院领导，感谢他们为我们刨造了良好的学术氛围以及舒适的学习和生活环 境同时，我还要感谢数学与计算机科学学院的杨润生老师，感谢他在学习 上给予我的殷切关怀感谢裴玉同学，严珍珍同学在学习上给予的帮助 最后，我要感谢所有在这三年里给予我帮助和关心的老师和同学们 也借此机会感谢家人的支持和关心 1 狄 新炎 2 0 0 6 年4 月 狄新炎硕士学位论文2 0 0 6 年4 月 第一节前言 重分形这个概念首先是由物理学家提出的，其目的是理解奇 怪吸引子上的物理测度的多标度行为，目前它在湍流，宇宙中的 星系柬和星系分布、以及生物研究中均有重要作用 对于础或一般的度量空间( x ，d ) 的一个局部有限的b o r e l 测 度和一个正数o l ，对于充分小的e 0 ，人们研究以下的层次集； 玩邛酬渤警刊 其中u 。朗c a = x ，b ，e ) 为以z 为中心e 为半径的闭球，称 1 i i n f 。0 1 0 9 “l o b g e 她为测度肛在点z 处的局部维数，记做出 ) 上述集合对一些范围内的口表现出分形的特征，在这种情况 下，我们称测度p 为重分形测度+ 人们很自然的会去研究集合 俐l i i i l e 川堕罐垃= 口) 的h a u s d o r f f 维， 他阄i 呦倒躲警刊 或者填充维数： 荆= d i m p 驯觋警叫 似) 此，( n ) ，f ( a ) 为n 的函数，并且它们和其类似的函数一般称为测 度p 的重分形谱重分形的一个重要问题就是研究上述和相关的 函数函数，( q ) 最早是由物理学家h a l s e y 等在1 9 8 6 年定义的见 【1 1 2 ，1 4 ，1 5 ) ，h a l s e y 等还设计出了计算，( 口) 的程序，这种被称 为“重分形形式”的方法是建立在两个对偶函数“粗糙集重分形 谱和l 9 一谱”上的测度p 的粗糙集重分形谱，c ：r r 定义如 下：设q 。表示r 。中所有的阶为佗的二进制方体对a ，r 0 ， 记： ( q ，竹) = q q 。i n 一 l o l 。g g u 2 ( 一q 。) 一 o 则几乎e 的所有点经过t 的正 向迭代都无限次回到e 中来( 即存在fce ，有m ( f ) = m ( e ) ， 并且对任意的z x ，存在无穷正整数序列m n 2 n 3 ，使 得对任意的i ，有p ( 茹) f ) 韵吉 5 在文【1 8 中给出k a c 定理以后，我们就可以得到更基本的一 系列性质：测度p 关于映射t 是遍历测度，对任一可测集合4 ， 在集合a 上的期望正好为集合a 的测度的倒数： z 咖) 粼= 志 然后由o r n s t e i n 和w e i s s 在文【2 2 】中的定理t 令4 为x 的 一个分割，我们用包含点z 的长度为礼的柱集如( z ) 对它进行 加细令厶( 。) 为包含。的4 ，t a t - n + 1 a 中所有元素的交， o r n s t e i n - w e i s s 定理表明：测度p 是遍历测度，对p a e ，z x ， 有下面的极限存在并等价与p 的度量熵 ( p ) ， = ( 卢)( i v ) 那么在文【8 】中b r i n - k a t o k 定理的推动下，更普遍的我们可 以把上面的( i v ) 中柱集a 。 ) 换为b o w e n 球既( z ，) = 妇 x l d ( f ( 。) ，( 可) ) o ，令f k ( z ，e ) = 妇x l d ( f ) ，( 可) ) 0 ，有： 晰一u 。p s u 。p 糕黜 1 ，及充分 小的 0 ， 8 u p n s u p z 删 0 ，考虑层次集合，； 玩。，啦= z x l 札( ，x ) = o 1 ，b ( ，z ) = 口2 ) 给出在非紧或非不变集合上的拓扑熵的等价定义 令甜= 仉，u 2 ，) 为x 上的有限开覆盖串u 为序 列阢。，矾。，其中i k 1 ，2 ，m ，它的长度我们定义 为礼( u ) 所有这些长度为n 的串组成的集族我们记作；) 且有- 如n ( 翻) = u 。w k ( 甜) 因此对任意的u w i ( 甜) ，我们定 义： x ( u ) = 阢，n ，v n n ，“+ 1 阢。 = z x ：，七一1 以 ，k = 1 ，2 ，n )( 9 ) 假设对这些串组成的一个集族r ，有z u u r x ( u ) ，我们称 r 覆盖集合z 对任意实数s r 和集族r ，我们定义自由能量 如下t f ( r ，s ) = e x p ( 一礼( u ) s ) u r 对集合z ，我们研究所有集族r 。似) 定义的自由能量的下 第二节定义夏引理 确界； m ( z ，“，s ，礼) = i n ff ( r ，s )( 1 0 ) r 覆盖z 令： m ( z ，“，s ) = l i mm ( z ，“，8 ，礼) n - + c o 则存在唯一的值，使得m ( z ，酣，8 ) 经过时从c o 变为到0 z h ( z ，纠) = = s u p s ：m ( 互甜，s ) = + 。) = i n f s ：m ( z ，“，s ) = o ) ( 1 1 ) 最后由 6 1 我们可得下面的极限存在- h t o p ( f , z ) 。幽o 九( z , a ) ( 1 2 ) h 唧( ，z ) 称为，相对于集合z 的拓扑熵，简称z 的拓扑熵 由上面拓扑熵的定义类似于h a u s d o r f f 维数的定义事实上它 又是1 2 2 1 中c a r a t h 6 0 d o r y - 结构的一个特例因此具有类似的性 质， 引理2 4 ( 见【2 2 】) ) 上面定义的拓扑熵具有下面的性质： ( i ) t h o p ( f ，z 1 ) ( ，易) ，任意磊c 忍； ( i i ) ( ，u 磊) = s u p i ( ，历) ，对所有五x ，i = 1 ，2 ， 下面我们由 2 2 】的思想给出有关回归时间与不变测度的重 分形熵谱 ( q l ，q 2 ，z ) 的定义，它被称为，关于集合z 的 ( q 1 ，9 2 ，p ，丁) 一熵 设9 = 风( 翰，) k 是至多可数族，对v t r ，定义族多的 妇，q 2 ，t ) - 自由能量为， 耳，( 9 ，q l ，啦，) = 乏二肛( ( 。i ，) ) 9 1 7 魂( 趵声) ( z t ) 一啦e x p ( 一t 礼) 给定集合z x ，z o ，以及 0 ，n n ，令： a 罐，( z ，q l ，q 2 ，n ) = i n ff j , ，r ( g ，口1 ，q 2 ，) 这里下确界取遍所有满足下列条件的有限或可数族g = j e k ( 魏，) h ： x i z ，v n n ，z u l 玩( 观，e ) 当z = 0 时，对任意的9 1 ，口2 ， 定义： 鬈，( 口，q l ，q 2 ，t ，n ) = 0 注意到n 对9 中所有的球都是相同的，从而蜂，( 互q x ，q 2 ，t ，n ) 关于n 是不降的，因此下面的极限存在， 哗，r ( z ，q l , 口2 ，) = ，熙蚱，r ( 互q l , 9 2 ，礼) 2 溜哗，r ( z ，礼9 2 ，佗) 由于m c ( z ，口1 ，q 2 ，t ，e ) 关于z 不具有单调性，令， 朋i ，( z ，9 1 ，q 2 ，t ，) ) = s u p 蟛，r ( z 7 ，口1 ，q 2 ，t ，s ) 由上述定义，不难证明t 引理2 5 对任意的t 冗，集函数心，( ，q l ，q 2 ，t ，) ) 有如下的 性质； ( i ) 嗨，( d ，q l ，q 2 ，t ，) = 0 ( i i ) 眸，( 历，q x ，q 2 ，亡 ) 缸，( 易，q x ，q 2 ，t ，e ) ，任意五易 ( i i i ) 咏，( u i 磊，q l ，q 2 ，t ，) 埤，( 磊，9 1 ，q 2 ，t ，) ，对所有的 历x ，i = 1 ，2 ， 得； 引理2 6 存在唯一确定的值札，( ， q 1 ，q 2 ，z ，e ) 【一o 。，+ o 。】，使 定义爰引理 c z , q l , q 2 , t , e ，= o o 戡篇篇2 引理2 7 下面性质成立： ( i ) 危“，( ，9 1 ，q 2 ，毋，) = 一o 。 ( i i ) 危p 下( 厶q l q 2 ，磊，) p ，下( q 1 ，q 2 ，忍，s ) ，任意历汤 ( 僦) 札，( ，礼q 2 ，u t 磊，g - ) = s u p i ，( ，q l ，q 2 ，磊，) ，对所有的 互x ，i = l ，2 ， 下面我们关心熵当_ 0 的渐近行为 定义2 8 集合z 的( 9 1 ，q 2 ，肛，7 - ) 一熵定义如下； 札，( ，q l ，q 2 ，z ) = l i r a s u p k ，( ，q l ，q 2 ，z ，)( 1 3 ) 下面我们首先证明上述极限的存在性 首先我们假设口1 0 ，q 2 0 ，令1 勖 0 和g = 岛( 甄，e 2 ) ) 为z 的一个覆盖，很明显蛋= 且k ( 勋，e 1 ) ) 也为z 的一个覆盖，并 且有昂，( 多，q l ，9 2 ，t ) 兄，( 9 7 ，q l ，q 2 ，t ) 因此且缸，( z ，q l ，啦，t ，e 2 ) 乳，( z ，9 1 ，眈，t ，e 1 ) 这就说明札，q 1 ，匏，z ，e 2 ) b ，( ， q l ，q 2 ，互见) 因此上面的极限存在 假设q l 0 ，q 2 0 ，那么上式关于e 并无单调性，但是增加下 面的假设以后我们可得到其关于的单调性假设p 满足熵倍增 条件。另外假设对足够小的有下面的性质： 绯) = ：s u p s u p 端 e 1 2 0 ，令a = 鲁，我们可有结论 如下，存在砚= a ( 口) o 。，使得对v n n 有。 篆描= 惹揣 ： 0 ，曼= o ，我们可有结论如下。存在 伤= 仍( 口) e i ； 0 ，再由上 面。的任意性，我们不妨令口= 曼，则由上面的性质我们可取 c = m a x a ( o ) ，伤( n ) ) 得： ，怒搿= 怒端如； = = 一：l ，： ， p ( 风( z ，譬) ) p ( 玩( z ，e ；) ) 1 趟：删 e ： 艺 0 ，曼= 口，我们可有结论如下t 存在岛= q ( o ) 2 0 和g = 日。( 戤，勖) 为z 的 一个覆盖，很明显9 7 = 6 k ( 筑，1 ) ) 也为z 的一个覆盖，并且有 兄，( 9 ，口1 ，q 2 ，t ) c 一口2 日，( 9 7 ，q l ，q 2 ，t ) 因此吼，( 互q l ，q 2 ，t ，2 ) 尬( z ，q l ，他，t ，e 1 ) 这就说明札，( ，口1 ，眈，互2 ) h g , r ( ，q l ，q 2 ，互s 1 ) 因此上面的极限存在 。 综上可得结论 引理2 9 由引理2 7 和定义2 8 ，我们有下面的结论t ( i ) ( ， q l ，q 2 ，d ) = 一o o ( i i ) ，( ，缸，9 2 ，历) 札，r ( ，q l ，9 2 ，磊) ，v z l 历cz ( 俐) ，( ，q l ，口2 ，u 历) = s u p ，r ( ，q l ，q 2 ，磊) ，对所有的磊 x ，i = l ，2 ， 硕士学位论文2 0 0 6 年4 月 第三节主要结论及证明 在这节中我们将研究在层次集玩。砌上的( 9 1 ，q 2 ，p ，丁) 一熵和 拓扑熵之间的关系 考虑q 1 0 ，n 2 0 ，相对的有层次集合玩。啦，任意z 。，蚴 有： 11 觋1 i m i 。n f - 云l o g p ( 风( 耶) ) 。觋l i r a 。s 。u p 一云l o g g ( b ( z , e ) ) 。钆 舰1 骢擎去1 0 9 t b n ( z 一( 。) 2 觋1 1 嬲p 元1l o g ) ( z ) 2 考虑单调序列m ，随m 趋向子o 。c m 趋向于0 令占 0 ，定义t i t o t 2 ，m = 【z 。，毗i 口l 一占 l i m i n f n 一一石1l o g # ( b n ( x ，e 肘) ) ， 0 1 2 一占 0 ，我们有： 1 l i m s u p 一三l o g 肛( 风( z ，) ) a l ， 1 l i m s u pl o g r b ( x , e ) ( x ) o ，我们有； 1 a 1 一占 一云l o g p ( 岛 ，g ) ) o t l + 6 ， 1 a 2 6 三l o g r b ( 酃) ( z ) 眈+ 6 1 5 主要结论及证明1 6 令； 玩，。2 ，m ，n = z j 毛，。2 ， f i n o = n o ( z ，万，c m ) n 所以： e x p ( ( a l 一5 ) h i ) s ( p ( z k ( x i ，e m ) ) ) _ 1 e x p ( ( a l + 回啦) 即 c x p ( - ( m + 6 ) 札) sp ( b _ m ( 甄，m ) ) e x p ( 一( 口l 一万) 佗i ) ， e x p ( ( o ，2 一回啦) 7 岛。，。) ( 戤) e ) ( p ( ( o ，2 + 6 ) ，k ) 第三节主要结论厦证明 1 7 当q l 0 ，q 2 0 时，贝有p ( 。( z i ，e ，) ) 吼 e x p ( 一q a ( o q + 6 ) n 。) ) 和力( # m ) ( ) 一q 2 e x p ( 一q 2 ( a 2 - t - c f ) n i ) ) 所以由3 q l o q + q 2 0 2 2 + ( 口1 + q 2 ) 5 + t ，可得t ip ( b mx i ，m ) ) q 1 7 匆t ( ，e m ) ( z i ) 一啦e x p ( 一t 礼f ) ie x p ( - - q l ( o q + 6 ) n i ) e x p ( 一q 2 ( a 2 + 5 ) n i ) e x p ( 一t m ) = e x p ( - n i ( q l a l + q 1 5 + q 2 c e 2 + q 2 6 + t ) ) c ，r 口e x p ( 一n ( u o s ) 肘( ，m ，n ，玑8 ，n ) 由鸟为任意的覆盖可得； j 晖，( k o i ，劬，m ，q ，t ， f ，竹) 2 z ( 玩l m ，m ，“，s ，竹) 当q l 0 ，他0 ，贝0 有p ( b 毗( z i ， f ) ) 乱 e x p ( 一q x ( c e l 一6 ) 礼t ) ) 和k 慨，e _ f ) ( 鼢) 一啦 e x p ( 一q 2 ( a 2 6 ) m ) ) 所以由s 口1 0 1 + 砚o ，2 + ( - q l q 2 ) 6 + t ，可得： ip ( b 啦( z ， f ) ) 乱7 反。( 魏芦 f ) ( 冠) 一日2e x p ( 一他1 ) e x p ( - q l ( a l 一5 ) h i ) e x p ( 一q 2 ( a 2 6 ) n i ) e x p ( 一z 他) = f 唧( 一n i ( q l a l 9 1 6 + q 2 c y 2 一q 2 6 + t ) ) 矿r de x p ( 一n ( u i ) s ) 2m ( k 。m ，n ，“，8 ，礼) 由9 为任意的覆盖。可得。 m ，c ，r ( l ，眈，m ，q ，t ，c m ，扎) m ( 磁l 一2 ，m ，n ，“，8 ，n ) 同理当q l 芝0 ，q 2 0 时，令8 q l a l + q 2 0 1 2 + ( 口1 一q 2 ) 6 + t ； q l 0 ，口2 0 时，令s 9 1 n 1 + q 2 0 e 2 + ( - q l + q 2 ) 5 + t 我们都可 得到： 曜，( 。，a ：，m , n ，q ，t ，m ，礼) 芝m ( j 毛1 4 2 ，m , n ，“，s ，仃) 主要结论及证明 1 8 那么令n o o ，我们可得需要的结论 定理3 2 对任意的o q 0 ，o l 2 0 ，q l ，q 2 r ，我们有： 0 p ( ，k & ，铆) sq l c r l + q 2 c r 2 + h l , ，( ，q l ，q 2 ，j 毛l ，m ) 证明，假设玩，m 为空集，那么两边都等于一o 。，定理得证 假设比。，。0 用反证法，假设存在某个o q 0 ，乜2 0 ，q 1 ，q 2 r ，使得： 1 ，y = 言( ，t o p ( ，舰) 一q l o q q 2 0 e 2 一h u ，( ，q l ，q 2 ，j 毛。，口2 ) ) 0 因为 p ( ，玩- 4 。) 2d 1 a n l l 积( i a 枷危( t m ，甜) ， 1 叶u 所以我们可以找到有限开覆盖甜，使得： ( j ：0 l ，劬，“) 口1 a l + q 2 a 2 + h i , r ( ，q l ，q 2 ，l ，n 2 ) + 3 ，y 如果q l = 0 ，q 2 = 0 ，令占为任意正数如果l q l l 0 或i q 2 i 0 ， 令6 = 丽暴稠考虑在( 1 5 ) 中定义的- ，舰，m , n 选择足够大的 m ，使得下面3 个条件成立， ( k _ o ，锄，m ，“) q l c q + q 2 c r 2 + p ，( ，q l ，q 2 ，。4 2 ) + 2 7( 1 6 ) m h g ，( ，口l ，q 2 ，甄。芦。，m ) 由( 1 6 ) 中的不等式和 ( 。m ，m , n ，“) 的定义，我们得： m ( 玩l ，a 2 ，m ，n ，“，q l a i + 眈0 2 + h u ，r ( ，q l ，q 2 ，k a l ，啦) + 2 们= + o o 主要结论爰证明 。 1 9 令s = q l o q + q 2 0 e 2 + h ( ，q l ，q 2 ，1 。，。) + 2 7 ，t = k ，( ，q l ，q 2 ，j 毛1 ，。2 ) + ，y 一( 1 9 l l + l q 2 1 ) 5 从引理3 1 ，我们可得： 缸，( 。p 。，吼，眈，h l , ，( ， q l ，口2 ，玩。，啦) + 7 一( i q l l a - l q 2 1 ) 6 ，c m ) = + 。 ( 1 7 ) 但是 “，( ，q l ，q 2 ，k 二，m ) + ，y 一( 1 9 l l + l q 2 1 ) 6 = h l , ，( ，q l ，q 2 ，啦) + 7 一 ，( ，q l ，q 2 ，玩1 ，口2 ，e m ) ，( ，q l ，q 2 ，k 0 。，劬，m , n ，m ) 由定理2 6 ，我们可得： 缸，( 。，口2 ，q l ，q 2 ，u ，( ，q l ，q 2 ，k z 。，n 。) + 7 一( 1 9 1 l + i 口2 1 ) 正c m ) = 0 (is) ( 1 8 ) 与( 1 7 ) 矛盾，所以假设错误，因此原命题得证 引理3 3 假设6 0 ，考虑某个相对于m 的集合。，啦，m , n ， 令“为一个满足d i a m ( b ) 2 d i a m ( “) ，我们可得： x ( u ) 玩( u ) ( z ( u ) ，m ) 因此集族 上k ( u ) ( z ( u ) ，e 肘) ) 为z 的一个中心覆盖 由于x ( v ) z 玩，n 。，m , n 和礼( u ) n ，我们可得； e x p ( n ( u ) ( a l j ) ) ( p ( z ( u ) ( z ( u ) ，肘) ) ) 一1 e x p ( n ( u ) ( a l + 占) ) 即 e x p ( 一佗( u ) ( n 1 + 6 ) ) p ( b 。( u ) ( 。( u ) ，肘) ) e x p ( - n ( u ) ( a l 一6 ) ) ， e x p ( n ( u ) ( a 2 6 ) ) t b n ( u ) 扛( u ) ，。) ( z ( u ) ) e x p ( n ( u ) ( a 2 + 巧) ) 假设q l 0 ，q 2 0 ，则令8 q l a l + q 2 a 2 一( g l - 4 - q 2 ) 5 + t ，可 得： 朋矗，( z ，q l ，q 2 ，t ，e m ，n ) u rp ( b 。( u ) ( 。( u ) ，e m ) ) m 7 硫( u ) 扛( u ) 芦j l f ) ( z ( u ) ) 一啦e x p ( - n ( u ) t ) s 矿fe x p ( - q l ( a l 一回扎( u ) ) e ) ( p ( 一9 2 ( 他一6 ) 礼( u ) ) e x p ( - n ( u ) t ) u r e x p ( 一n ( u ) ( q l a l 一0 5 + q 2 0 t 2 一q 2 5 + t ) u re x p ( 一n ( u ) 8 ) 假设q l 0 ，q 2 0 ，则令s q l a l + q 2 0 t 2 + ( q l + q 2 ) 5 + t ，可 得z m c ( 互q l ，q 2 ，t ，e m ，n ) e v e rp ( b 矗( u ) ( z ( u ) ，肘) ) 9 1 7 盈。m ) 扣( u ) 。) ( z ( u ) ) 一啦e x p ( - n ( u ) t ) u e re x p ( - - q l ( a l + 6 ) n ( u ) ) e x p ( - q 2 ( a 2 + 6 ) n ( u ) ) e ) 叩( 礼( u ) t ) u re x p ( - n ( u ) ( q l a l + q 1 5 - 4 - q 2 a 2 + q 2 5 + t ) u re x p ( 一n ( u ) s ) 同理当q l 0 ，q 2 0 时，则令8 q l a l + 9 2 a 2 + ( 一口1 + 口2 ) 6 + t ； 当q l 0 ，q 2 0 时，则令8 q l a l + q 2 a 2 + ( q l 9 2 ) 6 + t ，都可以 第三节主要绪论置证明 得到结论： 哗，( z ，q l ，q 2 ，m ，) e x p ( - n ( u ) s ) u r 由于f 为由串长最少为佗的串组成的z 的任意一个开覆盖， 所以当s q 1 q 1 + q 2 0 c 2 + ( f q l l + i q 2 1 ) g + t 时，我们得到： 蟛，( 互q l ，q 2 ，t ，m ，佗) m ( z ，“，s ，礼) 最后我们得。 m ，c 下( 互q l ，啦，t ，e m ) m ( z ，纠，8 ) sm ( k a 。棚，m ，n ，“，s ) 即得证 定理3 4 对任意的铆 o ， 0 ，识，匏r ，我们有 ( ，j 乇l m ) q l a l + q 2 q 2 + h l , 下( ， q l ，q 2 ，玩l ，口2 ) 证明。类似的由定理3 2 的证明方法和引理3 3 的结论，我们 可得到上面的结论 果： 由上面的定理3 2 和定理3 4 的结论，可以得到我们需要的结 定理3 5 对任意的o l l 0 ，0 1 2 0 ，q l ，q 2 r ，我们有； t o p ( ，。，啦) = q l 口1 + q 2 a 2 + h l , ，r ( ，q l ，q 2 ，j 乇。砌)( 1 9 ) 推论3 6 对任意的q 0 ，q l r ，令层次集玩= p x l ( ，$ ) = q ) ，则我们就有t 饥o p ( ，) = q l a + k ( ，q l ，0 ，)( 2 0 ) 第三节 主要结论殛证明 证明：令定理3 5 中的9 2 等于0 ，我们马上可以得到结论 此即为【2 5 】的结论 推论3 6 对任意的口 0 ，q 2 r ，令层次集玩= 。 x l 以( z ) = q ) ，则我们就有： 咖( ，) = 9 2 q + h r ( ，0 ，q 2 ，)( 2 1 ) 证明，令定理3 5 中的口1 等于0 ，我们马上可以得到结论 此即为【2 6 】的结论 狄新炎 硕士学位论文 2 0 0 6 年4 月 参考文献 v a f r a i m o v i c h ，j c h a z o t t e s ，a n db s a u s s 0 1 l o c a ld i m e n - s i o n sf o rp o i n c a r dr e c u r r e n c e s e l e c t r o n i cr e s e a r c ha n n o u n c e - m e n t so fa m e r m a t h s o c ，2 0 0 0 ；6 ：6 4 - 7 4 v a f r a i m o v i c h ，j c h a z o t t e s ，a n db s a u s s 0 1 p o i n t w i s e d i m e n s i o n sf o rp o i n c a r dr e c u r r e n c e sa s s o c i a t e dw i t h m a p s a n df l o w s d i s c r e t ea n dc o n t i n u o u sd y n a m i c a ls y s t e m sa ， 2 0 0 3 ；9 ：2 6 3 2 8 0 j - m b a r b a r o u x ，f g e r m i n e t ，s t c h e r e m c h a n t s e v ，g e n e 卜 m i z e df r a c t a ld i m n e s i o n ：e q u i v a l e n c e sa n db a s i cp r p e r t i e s ， j m a t h p u r e sa p p l 8 0 ( 2 0 0 1 ) 9 7 7 - 1 0 1 2 l b a r r e i r a ，y p e s i na n dj s c h m e l i n g o nag e n e r a lc o n - c e p to fm u l t i f r a c t a l i t y ：m u l t i f t a c t a ls p e c t r af o rd i m e n s i o n s ， e n t r o p i e s ，a n dl y a p u n o ve x p o n e n t s m u l t i f r a c t a lr i g i d i t y , j c h a o s ，1 9 9 7 ，p p 2 3 8 l b a r r e i r a ，b s a u s s o l ，v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e sa n dm i x e dm u l - t i f r a c t a ls p e c t r a ，t r a n s a m e r m a t h s o c 3 5 3 ( 2 0 0 1 ) 3 9 1 9 3 9 4 4 l b a r r e i r a ，b s a u s s o l ，j s c h m e l i n g ，h i g h e r - d i m e n s i o n a lm u l - t i f r a c t a la n a l y s i s ，j m a t h p u r e sa p p l ，8 1 ( 2 0 0 2 ) ，6 9 1 r b o w e n ，t o p o l o g i c a le n t r o p yf o rn o n c o m p a c ts e t s t r a n s a m e r m a t h s o c 1 8 4 ( 1 9 7 3 ) ，1 2 5 1 3 6 网 网 阁 嘲 旧 吲 参考文献 m b r i n ，a k a t o k o nl o c a le n t r o p y ，g e o m e t r i c d y - n a m i c s ( p d o d e j a n e i r o ，1 9 8 1 ) ，3 0 3 8 ，l e c t u r e n o t e i n m a t h 1 0 0 7 ，s p r i n g e r ，b e r l i n - n e wy o r k ，1 9 8 3 r c