（基础数学专业论文）算子的k数值域和正交投影算子对.pdf

算子的k 数值域和正交投影算子对 方莉 摘要本文研究的内容涉及复可分h i l b e r t 空间州上一般有界线性算子一 数值域的基本性质，紧葬子的k 一致营域和歪交投影算子对这些内容都是算子 理论界较为关注的问题全文分四章，就这三个方面的问题进行了研究， 本文的第一章给出了将要讨论问题所需要的部分预备知识本文的第二章将 从文 1 6 】中著名的h a u s d o r f f - t o e p l i t z 定理出发，详细讨论了算子一数值域的基 本性质，得到了它们一些很好的性质进一步在第二章第二部分讨论了算子一 数值域的端点，结合端点的部分特殊性质给出了算子七一数值域端点的刻画 本文的第三章第一部分从紧算子的特殊性质出发着重讨论了a ) 中紧算子 一数值域的基本性质，以一数值域为条件分别给出了紧算子和迹类算子的刻 画，证明了：( 1 ) 若t 舀( “) ，则t 是紧算子的充分必要条件是n 墨1 丽= o ) ； ( 2 ) 若t b ( h ) ，则t 是迹类算子的充分必要条件是u 酱瓦双巧是有界的m t c h i e n ，s h u 。h s i e nt s o 和p e iy u nw u 在文【7 】中给出了二次算子( 满足弘4 - a t + b i = 0 ，0 ，6 q ) 中两类算子( 幂零算子柄幂等算子) 的七一数值域的几何性质在此基 础上，本文的第三章第二部分给出了正交投影算子的一数值域描述 正交投影算子是一种特殊的有界线性算子，而且它有着广泛的应用背景正 交投影算子在数值分析( 如最佳逼近理论) ，矩阵理论等学科中都有广泛的应用 近几年来。一大批学者如j a v r o n ，r d r n o v e s k 。jc r o b 和j b a k s a l 自a y 等，先后在 文 2 j1 4 ) 1 8 ；和文f 1 4 ) 等其它文献中对有限维h i ) b e r t 空阅上正交投影算子对的乘积 和正交投影算子对的交换子避行了深入地研究在本文第三章中，我们研究了复 可分h i l b e r t 空间上正交投影算子对的乘积和正交投影算子对的交换子，刻画了 复可分h i l b e r t 空间上正交投影算子对的交换子，并且证明了： ( 1 ) 设尸l 和p 2 均属于_ p ( m ) 若p ( 。，1 ) 是，弓) o j ，1sl ，j 2 ) 的m 一次乘 积，其中b 是第一个因子且p 】和b 交替出现则下列条件相互等价： ( i 存在m ，n 2 且j ，j = 1 2 使得p ( 。，z ) = 且。，】( 当m = n 且j = f 时的平凡 情况除外) 、 ( i i ) p 1 p 2 = p 2 p 1 ； ( i i i ) 对任意m ，n 2 且f ，= 1 ，2 都有p ( 。，f ) = p ( 。，) 成立 关键词；k 一数值域紧算子迹类算子正交投影算子对正交投影算子对 的交换子 t h ek - n u m e r i c a lr a n g e o f o p e r a t o ra n da p a i ro f o r t h o g o n a lp r o j e c t i o n s l if a n g a b s t r a c ti nt h i sa r t i c l e w es t u d yt h ek - n u m e r i c a ) r a n g ed fo p e r a t o r ，t h e 女一n u m e r i c a l r m l g eo fc o m p a c to p e r a t o ra n d 8p a i ro fo r t h o g o n a lp r o j e c t i o n s ，t ow h i c hm u c ha t t e n t i o n i s p a i db ym a n y s c h o l a r si nt h ef i e l do fo p e r a t o rt h e o r y w ed i v i d et h ea r t i c l ei n t of o u r c h a p t e r st os t u d yt h e m f i r s t l y , w eg i v es o m e b a s i c k n o w l e d g e i no r d e rt od i s c u s sq u e s t i o n sc o n v e n i e n t l yw h i c h a r em e n t i o n e da b o v e t h e n 、b e g i n n i n gw i t ht h ef a m o u st h e o r e mi nt h ef i e l do fn u m e r i c a l r a n g e _ - - h a u s d o r f f - t o e p l i t 2t h e o r e m ( m e n t i o n e di na r t i e mf 1 6 】) 1 w es t u d yt h ep r i m i t i v e p r o p e r t i e so ft h ek - n u m e r i c a lr a n g ea n dg e ts o m es p e c i a lc h a r a c t e r so ft h ek - n u m e r i c a l r a n g ei nt h es e c o n dc h a p t e ro ft h i sa r t i c l e m o r e o v e r ，c o m b i n i n gw i t h8 0 m ep a r t so ft h e s p e c i a lp r o p e r t i e so fe x t r e m ep o i n t s ，w ed i s c u s sa n d c h a r a c t e r i z et h ee x t r e m e p o i n to ft h e k - n u m e r i c a lr a n g ei nt h es e c o n dp a r to ft h i sc h a p t e r i ti sw e l l - k n o w nt h a tl i n e a rc o m p 矗c to p e r a t o r so n 疆h i l b e r ts p a c ef o r m 。eo fe h e m o s ti m p o r t a n tc l a s s e so fb o u n d e d o p e r a t o r sm a d h a v em a n ye x c e l l e n tp r o p e r t i e , ，b a s e do n t h e s ep r o p e r t i e s ，w es t u d yk - n u m e r i c a lr a n g eo f c o m p a c to p e r a t o r si nd e t a i la n dg i v et h e k - n u m e r i c a l r a n g e ep r e s c r i p t i o no fc o m p a c to p e r a t o ra n d t r a c e - c l a s so p e r a t o ri nt h ef i r s t p a r to ft h et h i r dc h a p t e ro ft h i sa r t i c l e ，r e s p e c t i v e l y , m o r e o v e r ，t h ef o l l o w i n gr e s u l t sa r e p r o v e d ：( 1 ) l e t t 8 ( m ) t h e n t i s ac o m p a c to p e r a t o r i f a n d o n l y i f n 是，矿啊可= o ) 圆l e tt 8 ( 耳 ，t h e nt i sa t c i o p e r a t e ) ri fa n do a l yj f u 罄锨两b o u n d e d o nt h eo t h e rh a n d ，m t c h i e n ，s h u - h s i e na n dp e iy u a nw uh a v eg i v e nt h eg e o m e t r i c p r o p e r t i e so fk - n u m e r i c a lr a n g e so fq u a d r a t i co p e r a t o r sf s a t i s f y i n gt 2 + a t + b i = 0 f o rs o m es c a l a r soa n dbi nc ) i nt h et h i r dc h a p t e ro ft h i s a r t i c l e ，b e g i n n i n gw i t ht h e h a u s d o r f f - t o e p l i t zt h e o r e m w er e s e a r c ht h e k n u m e r i c a lr a n g eo fc o m p a c t o p e r a t o ra n d p a r t i a lc o n t e n to ft h ek - n u m e r i c a lr a n g eo fq u a d r a t i co p e r a t o r ，a n dg e ts o l d ei m p o r t a n t a n du s e f u tp r o p e r t i e so ft h e m t h e o r t h o g o n a lp r o j e c t i o nb o n eo ft h em o s ti m p o r t a n tc l a s s e so fb o u n d e d o p e r a t o r s ， t o o a n d o r t h o g o n a lp r o j e c t i o na r i s ei nav a r i e t y o fa p p l i c a t i o n s ，s u c ha sn u m e r i c a l a n a l y s i s ( e g t h em e t h o do fa p p r o x i m a t i o n ) a n dm a t r i xt h e o r y i nr e c e n t y e a r s ，j a v r o n ，r d r n o v e r k jg r o b ，j b a k s a l a r ya n do t h e rm a n ys e h o l a r sh a v es t u d i e dt h ep r o d u c to fa p a i ro fo r t h o g o n a lp r o j e c t i o n sa n dt h ec o m m u t a t o r o f8 p a i ro fo r t h o g o n s 3p r o j e c t i o z 2 sj ” m a n ya r t i c l e s ( s u c ha s 【2 ，【4 j 】【8 a n d1 14 ) ，w h i c hh a v ej u s tb e e nr e s t r i c t e do nt h ef i n i t e - i i d i m e n s i o n a lh i l b e r ts p a c e i nt h ef o u r t hc h a p t e ro ft h i sa r t i c l e ，w es t u d yt h ep r o d u c ta n d t h ec o m m u t a t o ro fap a i ro fo r t h o g o n a ip r o j e c t i o n so i lt h eas e p a r a b l ec o m p l e xh i l b e r t s p a c e m o r e o v e r ，w ec h a r a c t e r i z et h ep r o d u c t o fa p a i ro fo r t h o g o n a lp r o j e c t i o n sa n dp r o v e t h ef o l l o w i n gr e s u l t ： ( 1 ) l e t 尸l ，p 2 p ( “) a n d 尸( m ，：) d e n o t e m f a c t o rp r o d u c to fp 1 a n dp 2w i t h 日b e i n gt h ef i r s t f o c t o ra n dp l ，岛o c c u r r i n ga l t e r n a t e l y ( t ，j = 1 ，2 ；z j ) ，t h e nt h e f o l l o w i n gs t a t e m e n t sa x ee q u i v a l e n t ( i ) p ( m ，f ) = p ( n ，j ) f o rs o m em ，n 2a n df ，j = 1 ，2 ( e x c e p tf o rt h et r i v i a lc a s ew h e r e s i m u l t a n e o u s l ym = n a n dj = f ) ； ( i i ) p l 尸2 = p 2p 1 ； ( j i i ) & 。，f 】= 曩。，j ) f o ra n y m ，n 2 a n dz ，j = 1 ，2 k e y w o r d s k - n u m e r i c a lr a n g e ；c o m p a c to p e r a t o r ；t r a c e - c l a s so p e r a t o r ；ap a i r o fo r t h o g o n a lp r o j e c t i o n s ；c o m m u t a t o ro fap a i ro fo r t h o g o n a lp r o j e c t i o n s i i i 日l 舌 关于二次型的理论与应用出现在许多数学分支及其它学科里二次型推广到 无限维的情形其中包括数值域理论，或者称算子的数值域为算子的数域数值域 这一源粒不仅涉及并应用到纯箨载学和应用数学的i 竽多分支。锄觌数鹰分析，量 子力学等领竣i 而且在研究数值域的过程中，采用了，许多数学工具。包括分析， 几何。组台理论及计算机程序这就使得数值域吸引更多研究者关注，也促使数 值域由古典数值域研究步入广义数值域研究有限维l t i l b e r 空间上算子的数值域 ( 即矩阵的数域) 在文f 1 2 j 中已有详细地讨论，文( 12 j 中给出了关于数值域的许多 很好的结累，并定义了数值域的不少推广有界缘性算子的k 一数值域是算子古 典数伍域约早期推广之一学者ek 。l i 和v t ，勋9 n 磬在文脚鞋拐嚣粥f 2 5 7 删 和文( 。l f 等其它文献中部分汁沦了矩阵的数值竣及其推广，尤其从g ，k l i 的文 2 2 】中和y t p o o n 的文【3 t j 中得到的关于女一数值域的某些结果中可以看出： 岛一数值蠛介于算子古典数值域和更广泛的推广c 一数值域之间的特殊位置，决定 了它为更好地刻画算子提供踅新的信息。 在文i 】7 】中p r ，h a 】m 讨沦了古典数值境的部分基本性魇抽特胨舅子的古 典鼗僵竣，丽对提及了本文所娶对沦的k 一数值竣在本文中，第二誊挎从文 1 6 中著名的h a u s d o r f f - t o e p l i 如定理出发，详细讨论了算子女一数值域的基本性质， 得到了它们一些很好的性质， 紧算子是算子理论中一类非常重要的有界线性算子，它们具有很多比较好的 性质尤其紧算子将弱收敛序列变成强收敛序列，这一性质使得紧算于的一数 值域具有教一般有界线性算子势i 一蘩值域更好筠性质厨此以七一致信域为 条件刻画举算子也就显得更具有特殊的意义! ck ，l i 和h s u n g 等律者讨论了 矩阵c 一般值域的特征及在有限维h i l b e r t 空间上算子古典数值域的几何图形的结 构( 如文1 2 0 l l m l 他们所用到的主要方法是有限维h i l b e r t 空间上算子的特殊性质 及低维空间下计算机程序的可操作性。而本文的第三章第一部分从8 ) 中的紧 算子特殊性质出发着重讨论了s ( n ) 中紧算子k 数值域的基本性质，碍刘了一 些良好的缝霭。并且给出了紧舞于氍迹类舅子的每一款值域刻画，次外衔t c h i e n ，s h u m i 锄和p e iy u 帆在 刁中讨论了h i t h e r 空间“上二次藓子的( 满足 t 2 + a t + b j = 0 ，( q b q ) 中两类算子( 幂零算子和幂等算子) 的k 一数值域的几 何性质和形态在文1 7 基础上，第三章第二部分分别给出了幂等算子与正交投 影算子的效值域刻画 r o m 卸协n o v 5 e k 在文m j 申洋细地讨论了有限缮t t i l b e r t 空闻上薅萼芽子交 换子并绘出坪中元素是暴等元宝抉子的充分必要条件。 r o m u nd r n o v $ 非指出有 限维h t 【b 玳空间“上的有界线性算子t 是幂等元交换子的充分必要条件是t 与 一t 相似且相应于；i 算子t 的r i e s z 部分蜀满足丑2 + ，有平方根的性质，其 中j 表示有限维h i l b e r t 空间h 上的恒等算子同时，对于有限维h i l b e r t 空间上 正交投影算子对的乘积j ，g r o b 和j b a k s a l a r y 等学者进行了深入地研究( 参看文 【1 9 2 2 】) 而本文的第四章研究了无限维复可分b l i l b e r t 空间上正交投影算子对的 象积耘正交投影算子对的交换子，蒡得到一些很好垂结果， 2 第一章预备知识 有界线性算子的一数值域是算子古典数值域的早期推广之一 一数值域 介于算子古典数值域和更广泛的推广c 一数值域之间的特殊位置，决定了它为更 好地刻画算于提供更新的信息，为了详细地讨论算予一数值域，本童给出了讨 论算子女一数值域所需要的部分顼备知识， 1 1 预备知识 对于算子t 召) ，设 e j ) 髫是州的一组正规正交基，取范数l i t i i z = j + = l o ou t e , l f 2 l ，则算子的迹范数可定义为t t t u t = t 剐l2 2 ，不难验证，i i t l l l 和 l i t i l 2 均与矸中正规正交基的选取无关 宠义l 【州设t 日( ”) 若r 满足i i t l j 十则称丁为希尔伯特，施密特 算子 定义1 1 2 t 5 设t 8 ( “) 若t 满足i i t i i l + o 。，则称t 为迹类算子 由于归| | l = i i i t i 1 1 ；，若t 是迹类算子，由定义1 1 1 和定义1 1 2 易知i t i 是 希尔伯特一席密特算子而迹类算子与希尔伯特一旌密特算子之间进一步的关系 则由弓f 理i 、l3 给出 引理l ，1 3 1 5 】若t 是爿上的有界线性算子，则下条件相互等价： ( i ) t 是迹类算子； ( i i ) m 是迹类算子； ) 2 、垮是番尔伯特一菠密特算子， ( i v ) 存在符上的希尔伯犄一施密特算子噩和疋使得t = 丑乃 若令吼( h ) = p p ) ，r a n k ( p ) = k ) ，算子的一数值域定义如下； 定义l 1 4 f 1 7 】设t 嚣( “) ，称集合 t r ( p t p ) 。p 吼) ) 为算子f 的k 一数 值域，记为w k ( t ) 定义t 、【分卅设t 嚣( 确若令“( = s u p ( m m 口) ) ，则称叭( 丁j 为算 子t 的数值域半径；尤其当= l 时，则称u ( t ) 为算子t 的数值域半径 事实上，u k ( r ) 与u 口) 之间没有必然的大小关系下面的两个简单例子可以 直接说明这一点 例】16 设t = i1 2 1 】通过直接计算可知 n b ( t ) = 1 ) 且w ( ? ) = - 2 ，3 】 3 根据定义ll5 知u 2 ( t ) = l u ( 习= 3 。 对于p 吼( ) ，在r a n ( p ) 中总存在一组正规正交向量 ，i 准l 使得 t r ( p t p ) 则名( r ) = ( 坠l ， ，f ) 坠i 是“中一组正规正交向量) 特别地，当= 1 时，算子r 的k 一数值域退化为古典数值域，即w ( r ) ， 另一方面，对于固定自然数k 都有 t r ( p t p ) i = i t r ( p t ) i 茎l i p i l li i t 而1 i p i l l = t r ( 1 p i ) = t r ( p ) = 毛1 。其中 ，f ) 警1 是r a n ( p ) 的正规正交 基，故 i p l l l = 奄，不难看出沁( 嚣日 s 毒f f 硼 因此。对于固定自然数k 都有w k ( t ) 是有界的且w k ( t ) + o o 引理1 1 8 旺6 1 ( h a u s d o r f f - t o e p l i t z 定理) 设t b ( m ) ，则w ( t ) 是复平面c 上的 凸集 引理119 【1 7 】设t 8 ( h ) 且是自然数，则y 垤( t ) 是复平面c 上的凸集 定义l ，l ，l o 吲假设k 是向量空间刀的凸子集若不存在包含点n 的开线段落 入尼中，则称a 是k 的端点令e x ( j i c ) 表示凸集k 所有端点之集 下面给出关于端点的等价条件 引理11 1 1 1 5 1 设_ c 是向量空间爿的凸子集若。j c ，则下面条件相互等价： ( i ) e x ( 足) ； ( i i ) 若zl ，z 2 ，0 t t 。m ( i ) 口口) = o ) ； ( i i ) a ( t ) = 0 ，a 1 ，a 2 ，a 。) ，其中a k 0 ( 11k n ) ，每个儿0 是算子t 的 点谱且d i m k e r ( t a k ) + 。o ； ( i i i ) 盯( 丁) = o ，a l ，a 2 ， ，k 0 是算子t 的点谱，其中d i m k e r ( t h ，) 十。 且l i ”k 一+ o o k = 0 设b ) 玩) 是c a l k i n 代数且定义7 r ：目( h ) 8 ) b o ) 为”( t ) = t + b o ( n ) 定义1 1 1 4 1 7 】设t 尽) ，则称7 r ( t ) 在尽) 岛( “) 中的谱为t 的本质谱， 即如( t ) = a ( ”( t ) ) 类似地，叽。( t ) = 叽( ”( t ) ) 且听。( t ) = 一，( ”( t ) ) 为了本文的叙述方便，文中主要采用以下记号： r ： c ： n ： t ： d ： 【) r 】： 】： s p a n ) 咒： b ) ： 实数集 复数集 非零自然数集 复平面上的单位圆周 复平面上的闭单位圆盘 为算子时，卜j 表示算子的交换子 为实数时， 】表示不超过的最大整数 为向量组时，s p a n ) 表示向量组- 的闭线性张 复可分h i l b e r t 空间 复可分h i l b e r t 空间m 上所有有界线性算子的集合 复可分h i l b e r t 空间“上内积 当是算子时，+ 表示的对偶算子； 当- 是复平面上的集合时，+ 表示- 的共轭之集 算子t 的实部，r e ( t ) = ( t + t + ) 算子t 的虚部，i m ( t ) = 去( t t ) 算子t 的值域 算子t 的核 算子t 的谱 算子t 的本质谱 算子t 的右本质谱 算子丁的左本质谱 算子t 的谱半径 算子t 的k 一数值域 算子t 的古典数值域 算子t 的k 一数值域半径 算子t 的数值域半径 表示集合磁：( 习 算子t 值域的维数 5 峒峒喇峒怫卿喇删怫嘲一一m嘲一 1 i t 1 ： 表示算子t 的范数 p k ( h ) ：= p 日( 爿) ，r a n k ( p ) = ，p = p 2 且p = p + ) c o n v e x ：表示一的凸包 ： 当t 是复数时，：表示的共轭； 当- 是复平面上的集合时，：表示，的闭包 e x ( k ：) ：表示凸集盯所有端点之集 a k ： 表示集合巧前边界 6 第二章k 一数值域的基本性质及其端点 c k l i 和h s u n g 分别在文【2 1 和文【2 2 中研究了有限维h i l b e r t 空间爿上 有界线性算子的k 一数值域( k - n u m e r i c a lr a n g e ) 本章在文【17 的基础上讨论了 无限维复可分h i l b e r t 空间h 上有界线性算子的一数值域的基本性质，刻画了 有界线性算子女一致值域的端氨 2 1 七一数值域的基本性质 命题2 】1 设t 舀( “) 若u 是8 ( h ) 中的酉算子，则 1 4 j k ( t ) = w ( u t u + ) ( vk ) 证明：由题设u 是廖( 州) 中的酉算子可知，对于固定的自然数k n 及任意 p 吼) 都有( u + p u ) + = u + p + u = u + p u 且( u p u ) 2 = u p u u p u ：u p 2 u ： u + p u 所以u p ue 吼( 咒) 另外一方面， 订( 矿+ p u t u 。p u 7 = t r ( u p f f p u t ) = t r ( u p u t ) = t r ( p u t u + p ) 因此，w k ( t ) = w k ( u t u + ) 命题2 1 2 设t 日何) 若。，b 是任意复数，则 w k ( a t + b 1 ) = a w k ( t ) + k b ( vk n ) 证明：因为t r ( - ) 可看作从目( 州) 到c 上的线性泛函，且当p 吼( “) 时t r ( p ) = 所以对于任意自然数都有 = t r ( p ( a r + b x ) p ) ，p r ) ) = t r ( p a t p + p w p ) ，p 砍( h ) ) = f a t r ( p t p ) + b ，p r ( m ) ) = 8 r ( 刀日。p 玖( 叼) k b = a w k ( t 1 + k b 命题2 1 3 设h 和k 是8 ) 中的自伴算子及 是任意自然数若t ：h + i k 且 t = a l l + i b k ( a 和b 是任意非零实数) ，则x + i y w k ( t ) 当且仅当a x + i b y w k ( 亍) ， 其中z ，y 是实数 证明：充分性假设n 。i 匆冲k ( 两，则存在玛臻( 均使碍i 妇： t r ( p o f p n ) 因为t r ( p o ：于p o ) ：t r ( 娲 h + i b k ) p o ) = n h ( p o h p o ) + 伯t r ( r k r ) 所以 7 a x + i b y = a t r ( p o h p o ) + i b t r ( p o k p o ) ，易知，z = t r ( p o h p o ) 且y = t r ( p o k p o ) 因此， z + i y = t r ( p o h p o ) + i t r ( p o k p o ) = t r ( p o ( h + ) p o ) = t r ( p o t p o ) w k ( t ) 必要性倘若z + i y 名( t ) ，则存在p 1 r ( “) 使得z + i y = t r ( p 1 t p j 同时 t r ( p i t p t ) = t r ( p i h p l ) + i t r ( p 1 k p l ) 显然，。= t r ( p 1 h p l ) 且y = t r ( p i k p l ) 易知 a x + i b y = a t r ( p 1 h p l ) + b t r ( p 1 k p l ) = t r ( p l a h p l 十i b p l k p l ) = t r ( p l ( a h + i b k ) r ) = t r ( p l t p l ) w k ( t ) 即，a x 十i b y w k ( t ) 命题2 1 4 设t 舀( 托) 则对任意口f 0 ，2 ) 都有 r e w k ( e 坩t ) = k ( r e ( e 坩t ) ) ( vk n ) 证明：令e 坩t = r e ( e i 9 t ) + i i m ( e 伸t ) 是算子t 的c a r t e s i n e 分解显然a e ( e 徊t ) 和i m ( e 坩t ) 是h 上的自伴算子对任意a ：( e t 9 刁都存在b 砍( 爿) 使得 a = t r ( p ”游丁r ) 由于 a = t r ( 只e 。t b ) = t r ( p ；l r e ( e 坩t ) p a + i p i m ( e 。t ) a ) = t r ( p ；r e ( e 。t ) 昂、) + i t r ( p i m ( e 讲t ) 马。) ， 所以鼬( ) = t r ( p ；、r e ( e 坩t ) p ) 故r e ( ) w k ( r e ( e 徊t ) ) 又因为 是任意的，所以 r e 4 k ( e 坩t ) w k ( r e ( e 。t ) ) 另外一方面，对任意a w j ：( r e ( e 8 丁) ) 都存在仉张) 使得 = t r ( q r e ( e 神t ) q ) 然而。 a = t r ( q ( 一! t + ( e i o t ) + ) q j = i t r ( q ( e i 9 t + ( e 坩t ) + ) q ) = ( t r ( q e 坩t q ) + t r ( q e i j t q ) ) = r e ( t r ( q , x e 0 t q ) ) 故 = r e ( t r ( q , x e 钼丁仉) ) r e y 垤( e 埘t ) 由a 是任意性可知w k ( r e ( e 9 t ) ) r e 、w a ( e 坩t ) 因此， r e w k ( e 坩t ) = m 喽( r e ( 矿9 t ) ) ， 命题2 1 5 设t b ( m ) 且是任意自然数，则w ：( 砷k w ( t ) 证明：对于任意a m ：( r ) 总存在正交投影算子b r ) 使得a = t r ( p ；、t p ；o 也就是说，在p 州中可以找到满足a = 冬1 的一组单 位正交向量组 ，l 氇：1 另一方面， = 坠1 = 女冬l 根据 引理1 1 8 可知a k w ( t ) 由a 的任意性不难得到y 攻( t ) w ( r ) 往2 16 设t 召) ，则对于任意自然数包含关系z ( t ) w ( t ) 成立 8 命题2 1 7 设t 口( h ) 若t 是自伴算子，则w k ( t ) r ( vk n ) 证明：我们采用两种不同的证明方法 方法一：由于t 是b ( u ) 中的自伴算子，所以i a 2 ( t ) 醒根据命题2 1 5 可知 w k ( t ) ck w ( t ) 因此w k ( t ) k w ( t ) r 方法二：对于任意正交投影算子p p 僻) 都有t r ( p t + p ) = t r ( ( p t p ) ) = t r ( p t p ) 由于t = t + ，所以w 汀) 至r 注2 1 8 设te 日) 由命题2 1 7 的证明过程可知：若p 是t 的对偶算子， 则m ( t + ) = w k ( 2 1 ) + ，其中m ( t ) + = _ i a m ( t ) ) ， 命题2 1 ，9 设t 8 ( h ) 若k 是大于等于2 的自然数，则 w k ( t ) 由w b 一1 ( t ) 证明：对于任意a w k ( t ) ，在胃中总存在k 个正交单位向量 ，五，矗) 使得a = = l 另一方面， ( k 1 ) = 一1 ) 垒l = 警1 匙j 则 a = 由是l f = kl ，z 南 = 占凳- ( 冬刊 ) 根据引理1 1 9 知a 南n k l ( t ) ，即由k l ( t ) 由于a w k ( t ) 是任意的， 所以 m ( t ) 由m l ( t ) 引理2 1 ，1 0 虽是文 1 6 中已有的结果，但在本节中给出一个直接证明 引理2 1 1 0 16 】设t n n ) 若d i m t g = n _ ( n + ) ， 雨 其中 ，。) 乏：至 五硅等故a 瓦军丽 第二步：当a a k ( 丁) 时，考虑算子( t a j ) 易知天听。( t + ) 由第一步的证 明可知i 丽+ 故a 嘶 因此，口。( t ) p v ；( t ) n ) 注2 1 1 3 对于算子t 8 ( m ) ，若定义”为递减关系，根据命题2 1 9 知 ；( 丁) ；要是一个单调递减集合序列事实上。定理2 ，1 1 2 已经说明n 盏y 瞪( 印 是非空的，即有e r e ( ? 1 ) n 趁。可口手丽 命题2 ，1 1 4 设t 口) 且0 w k ( t ) 若存在0 0 0 ，2 7 r ) 使得舶( o o t ) 芝0 ， 则d i mk e r ( r e ( e 日o t ) ) 证明t 由命题2 1 2 知n k ( e o o t ) = e o o w k ( t ) 不失一般性，我们假定0 0 = 0 也就是说，r e ( t ) 0 由于0 w k ( t ) ，所以根据定理2 1 ，儿知h 中存在k 正交单 位向量 厶) ：1 使得0 = 0 = 1 ，2 ，k ) 现在讨论对于任意满足条件 = 0 的非零向量z 的特殊性质因为 = 0 ，所以由r e ( e i o o t ) 0 可知 0 = = = i ( a e ( e 如力 。”2 + l 故i i ( 鼬( 一。o t ) ) i x l l = 0 ，即有2 k e r ( 鼬( e 8 0 t ) ) ) 因此， 疗) 1 k e r ( r e ( t ) ) 且d i m k e r ( r e ( e 1 0 0 ? ) ) k 例2 1 1 5 设s 是1 2 ( c ) 上的单侧移位算子，即 s 乜= s ( n l ，q 2 ，l ) = ( 0 ，0 1 ，0 2 ，) ，vn = ( 口l h 詈户( c ) 则丽= 丽( v n ) 证明：由于s 是c 2 ( c ) 上的单侧移位算子，所以( s ) = t 根据定理2 1 1 2 可 得t = ( s ) 矿噘可则由可晤两是复平面上的闭凸集可知c o n v e x a 。( s ) c 而手两 另一方面，( s ) = d 则以下事实 c o n v e x l y ( s ) = 一c o n v e x a ( s ) = 两两 成立结合命题2 1 9 知瓦豇可= 丽 2 2k 一数值域的端点 设t 层( h ) 对于任意ae c 定义 m ：= ，7 - ( ， = 刈刷2 ) 现讨论集合朋 的部分性质对于任意a e 且，m ，经直接计算知 = d 百 = i a | 2 ) l l f 1 2 = ) , l l d f l l 2 ；对于序列 厶) 摇m ，若 l