（基础数学专业论文）模糊数值函数序列的统计收敛.pdf

摘要 模糊数理论是模糊分析学的基础，模糊数值函数序列是模糊分析学的个重 要研究内容本文将利用模糊数理论来研究模糊数值函数序列的有关问题，主要内 容如下： 给出了闭区间上的模糊数值函数序列( 统计) 逐点收敛和( 统计) 一致收 敛的定义，并举例阐述彼此之间的关系建立了( 统计) 一致收敛的c a u c h y 准则 证明了统计收敛的连续函数列的极限函数仍然保持连续性，得到了统计逐点收敛 蕴含统计一致收敛的充分条件，在模糊数值函数序列统计收敛意义下推广了著名 的d i n i 定理 引入了闭区间上模糊数值函数序列的守恒及统计守恒的概念，给出了闭区间 上模糊数值函数序列( 统计) 守恒的充要条件，并举例说明守恒和统计守恒的关 系给出了闭区间上的模糊数值函数序列的( 统计) 正则的定义，得到了( 统计) 正则的充要条件，并举例阐述了正则与统计正则的关系 关键词：模糊数；模糊数值函数序列；统计收敛；统计一致收敛；统计守恒 a b s t r a c t t h et h e o r yo ff u z z yn u m b e r si sab a s i so ff u z z ya n a l y s i s ，t h es e q u e n c e so ff l l z z y n u m b e rv a l u e df u n c t i o n si sa ni m p o r t a n tp a r to ff u z z ya n a l y s i s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ， w eu s et h et h e o r yo ff u z z yn u m b e r st od i s c u s ss o m ep 1 o b l e m so ft h es e q u e n c e so f f u z z yn u m b e r v a l u e df u n c t i o n s t h em a i nc o n t e n to ft h ep a p e ri s a sf o l l o w s t h ed e f i n i t i o n so ft h e ( s t a t i s t i c a l ) p o i n t w i s ec o n v e r g e n c ea n d ( s t a t i s t i c a l ) u n i f o r mc o n v e r g e n c ef o rt h es e q u e n c e so ff u z z yn u m b e r v a l u e df u n c t i o n sd e f i n e do nt h e c l o s e di n t e r v a la r ep r e s e n t e d ，a n dt h ec o u n t e r - e x a m p l e st oe x p o u n dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ne a c ho t h e ra r eg i v e n t h ec a u c h yp r i n c i p l e sf o r ( s t a t i s t i c a l ) u n i f o r m c o n v e r g e n c ea r ec o n s t r u c t e d t h ec o n c l u s i o nw h i c ht h el i m i tf u n c t i o no fs t a t i s t i c a l c o n v e r g e n tc o n t i n u o u sf u n c t i o ns e q u e n c ek e e p sc o n t i n u i t yi sp r o v e d t h es u f f i c i e n t c o n d i t i o nt h a ts t a t i s t i c a lp o i n t w i s ec o n v e r g e n c ei m p l i e ss t a t i s t i c a lu n i f o r mc o n v e r g e n c ei so b t a i n e d t h ef a m o u sd i n it h e o r e mi nt h es e n s eo fs t a t i s t i c a lc o n v e r g e n c e f o rf u z z yn u m b e r v a l u e df u n c t i o ns e q u e n c ei sg e n e r a l i z e d t h en o t i o n so f ( s t a t i s t i c a l ) c o n s e r v a t i o nf o rt h es e q u e n c e so ff u z z yn u m b e r v a l u e df u n c t i o n sa r ei n t r o d u c e d ，a n dt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h e m i sp r e s e n t e d t h e n ，ac o u n t e r e x a m p l et os e to u tt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e mi s g i v e n m o r e o v e r ，t h ec o n c e p t so f ( s t a t i s t i c a l ) r e g u l a r i t ya r eg i v e n ，a n dt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h e mi sp r o v e d ac o u n t e r e x a m p l et os e to u tt h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e mi sg i v e n k e yw o r d s ：f u z z yn u m b e r ；f u z z yn u m b e r v a l u e df u n c t i o ns e q u e n c e s ；s t a t i s t i c a l c o n v e r g e n c e ；s t a t i s t i c a lu n i f o r mc o n v e r g e n c e ；s t a t i s t i c a lc o n s e r v a t i v e 1 v 致谢 本文自始至终是在严从华教授的殷切关怀和悉心指导下完成的很荣幸有机 会在此像严老师表达我最诚挚的感激之情，严老师为本文的完成花费了大量的精 力导师富有创造性的见解以及具体的建议，为作者确定了整个课题的方向导师渊 博的知识，严谨的治学态度，丰富的阅历和诲人不倦的精神使作者终生难：怎 感谢方锦暄教授在我专业课学习中的给予的教导和帮助 感诩f 我的朋友江韦国，徐喜华，于传伟，岳倩钰在平时生活和学习上给予的关 心和鼓励 感谓十生我养我的父母，父母始终在背后的默默支持是我一直奋斗下去的勇气 和力量的来源 感谢我的每一个朋友 在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成， 有多少可敬的师长，同学，朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意! 这篇论文是用c t e x 软件制作的感谢h t t p ：w v w c t e x o r g 免费提供了这 个软件 江苏南京 2 0 1 0 年3 月 1 1 李恒福 第1 章引言 1 9 6 5 年美国控制专家z a d e h 3 8 教授发表的著名论文“模糊集合论”在科学界 引起深刻的反响，这篇文章明确的用数学语言提出了用于刻画模糊性的“模糊集” 的概念，建立了模糊集合论，奠定了模糊数学的基础，标志着模糊数学的诞生 模糊数学一产生，便显出其旺盛的生命力一方面，它在聚类分析，图像识 别，自动控制，系统理论，经济管理，计算机科学等诸多领域都得到广泛的应 用，甚至还有学者将它应用到人文学科，社会科学等领域，体现出它巨大的优 越性7 ，2 8 ，3 7 ，4 1 另一方面，随着模糊集的思想和方法向经典数学诸多分支的 渗透，模糊数学理论得到迅猛发展模糊拓扑学【3 0 ，模糊代数学 2 2 ，模糊分析 学f 3 4 ，3 5 1 的研究都取得了可喜的发展， 众所周知，实数理论是经典分析学的基础同样，模糊数理论也是模糊分析学 的基础，同时它在模糊优化，模糊决策，模糊数据分析和模糊控制等领域有重要的应 用因此，许多学者对模糊数理论的研究感兴趣关于模糊数的研究最早可以追溯 至- i j l 9 7 2 年c h a n g 署h z a d e h 的工作，他们将实数瓞上的一类具有与概率分布函数类似性 质的模糊集称为模糊数，其后m i z u m o t o s 1 t a n a k a ，n a h m i n a s 2 5 ，d u b o i s 并f l p r a d e ， b e z d e k ，h e i l p e r n 1 7 以及r o d a b o u g h 等对模糊数的性质，特别是代数性质进行 了研究g o e t s c h e l $ 1 v o x m a n 3 9 建立了模糊数的表示定理d i a m o n d 并h k l o e d e n 6 1 ， k a l e v a n s e i k k a l a 1 9 等引入和研究了模糊数序列的几种收敛性 f a s t 1 3 ，s t e i n h a u s 2 9 提出的统计收敛是一般的收敛概念的衍生如果k 是自 然数集r 的子集，那么k 的自然密度定义为：a ( k ) = l i m1 1 k k ：k n ) l ，如 果对于一个实数序列 z 几) 满足：v o ，6 ( 后n ：l z n l i g ) ) = o 那么 z n ) 统计 收敛到l ，记作： z n ) 三l 注意：收敛序列是统计收敛的，但是反之p 1 o ) 是紧集， 由定义2 1 1 可知，若定义： 以归 1 扛 【0 ，t r 则实数r 可以看作是一个模糊数 我们用e ，表示模糊数的全体，并把e 1 称为模糊数空间 易知，若u 是一个模糊数净 让k 是一个非空有界集，并且vo z 0 ，1 】，其口一水 平集 u 】a = u 三，砧 是闭区间 若v 亡 0 ，l i m 丢( i ii z 岛一l i ) = 0 ，其中= k kk 礼) ，i j 表示集合中的元素个数，则称序列z 统 计收敛到l 定义2 2 3 。= z n ) 是一实数序列，如果对比 0 ，存在正整数n = ( e ) 满 足1 i m 击 i i ：i x n x k i e ) = 0 ，其中= 七kk n ) ，i i 表示集合中 的元素个数，则称j - 芋歹o z 为统计c a u c h y 序列 定理2 2 1 下列表述等价： ( 1 ) z k - 统计收敛序列； ( 2 ) z 是统计c a u c h y - 芋歹 l j ； ( 3 ) 存在收敛序列可，满足6 七n ：x k = y k = 1 推论2 2 1 若x 是实数序列满足s t l i mz 知= l ，则z 有子序列可满足l i m 弧= l n t z n ) c ( e 1 ，d o 。) 是模糊数序列，有关模糊数列的统计收敛的有关定义及定 理如下： 定义2 2 4 ( 2 6 】若对于垤 0 ，有6 ( 佗nd o 。( ，x o ) ) ) 一0 ，则称模糊数 序列 z 几) 统计收敛到z o ，记作：s t l i mx n = z o 定义2 2 5 1 9 】若对于v q 0 ，1 】，有l i mz n ：= x 0 2 和l i mz 佗吉= z o 吉成立，则 n - - + o c ,竹_ + o 。 称模糊数序列 z 凡) 水平收敛到z o 定义2 2 6 若对于v e 0 ，存在自然数n = ( ) ，满足：6 ( ( n n ：d ( x 。，x n ) e ) ) = 0 则称模糊数序列 z n ) 是统计c a u c h y 序列( f r i d a y l 9 9 3 ) 定理2 2 2 【2 】模糊数序列 z n ) 统计收敛到模糊数 z o ) 仁号实函数序列 z 凡：) 和 z n 吉) 在闭l k l a o ，1 上分别统计一致收敛到z o 三和z o 吉 定理2 2 3 2 模糊数序列 z 礼) 为统计c a u c h y 序列仁令实值函数序y i l z n 三) 和 z n 吉) 是闭区间 o ，1 上的统计一致c a u c h y 序列 笙兰主望鱼垒望! ：! ! 。，： 推论2 2 2 【2 】模糊数序列 z n ) 统计c a u c h y 序列辛 z n ) 是统计收敛序列 本节中v a - f 均设ecr ， 厶) 是定义在e 上的实函数序列，有关实函数序列的 统计收敛主要可见文献 1 ，9 定义2 2 7 若对比e ，v c 0 ，6 ( 礼n j li ( z ) 一，( z ) i g ) ) = 0 ，称 厶) 统 计逐点收敛到厂 定义2 2 8 对比 0 ，存在k = k ( ) ，6 ( k ) = 1 ，存在正整数= ( ) k ， 当n 且n k ，有i 厶( z ) 一f ( x ) l 0 ，存在k = k ( ) ，6 ( k ) = 1 ，存在正整数= ( e ) k ， 对v n k ，有i ( z ) 一向( z ) l 对任意的z e 都成立，则称 ) 是统计一 致c a u c h y 序列 定理2 2 41 ( ，n ) 是统计一致收敛序列令_ ) 为统计一致c a u c h y ) - 芋歹 j c o n n o r 3 ，4 1 用有限可加集密度p 代替自然密度6 对实数序列的统计收敛做了 定义和研究 “的定义如下： 若域r = a acn ) ，p ：f f 0 ，1 ， ( 1 ) 若i a i n o 时，l z n l i 0 ，p ( 庇li z 七一l i g ) ) = 0 o d u m a n ，o r h a n 较为系统的研究了实值函数序列在肛意义下的统计收敛，有 关结论可详细参见 9 】- 第2 章预备知识 8 定义2 2 1 2 i a 0 ，1 ) 是定义在紧集k 上的一族实值函数，我们定义： ( 1 ) 若对v t o k ，v 0 ，存在5 = 占( e ，t o ) 0 ，满足当芒k 且d ( t ，t o ) 0 ，满足t ，t k ，且d ( t ，t 7 ) 0 ，使得对一切z a ，6 ，当i x x o i 0 ，满足当z 【a ，6 ，且l z x o i 0 ，满足当z ，x 【a ，6 ，且i z z 7i n ，有d o 。( ( z ) ，厂( z ) ) 0 ，存在n = ( ) ，当n n ，有d o 。( ( z ) ，( z ) ) n h j ， d 。( 。厶( z ) ，0 + ) 互1 锄 此表明 厶) 净0 定义3 5 设 ：【a ，b 一e 1 ( n = 1 ，2 ) 是模糊数值函数序列，且t 厂： a ，b 一e 1 若对比 a ，b ，w 0 ，存在k = ( ，z ) f ，_ r 6 ( k ) = 1 ， 存在n = ( ，z ) k ，当n n ，且扎k 时，有d o o ( 厶( z ) ，i 厂( z ) ) 0 ，存在k = k ( e ) f ，且6 ( k ) = 1 ，存在n = n ( e ) k ， 当亿n ，且佗k 时，有d o 。( 厶( z ) ，( z ) ) 互1 = 。 注3 3 ：厶：【a ，b 一e 1n = 1 ，2 ) ，且厂： a ，b - - - - - + e 1 ，则若 a ) 弓f ，显 然有 厶) 鸟f ，反之不成立 例3 3 厶： 1 ，2 一e 1n = 1 ，2 ) ，v x 【1 ，2 ，v t r ，定义查h - v ： 胁，= 憾嚣警：； 其中吼： 1 ，2 _ e 1 ，定义如下： l 0 ， t ( 一o o ，銎一1 ) u ( 詈+ l ，+ o o ) 鲰( z ) ( 亡) = t n z + l ， 【詈一1 ，n z 】 l t + 詈+ 1 ，t ( 詈，詈+ 1 】 t 厂： 1 ，2 】_ e 1 ，定义如下： l 0 ， 亡( 一，1 霉一1 ) u ( 圭十l ，+ o 。) ，( z ) ) = 亡一1 z + 1 ，t ；1 1 ，量】 【一亡+ ；1 + 1 ，t ( 1 z ，；1 + 1 因为羽v 1 0 ，由于k = ( 后n ：d o o ( ( z ) ，( z ) ) s ) = 4 ，9 ，1 6 ，所 以 0 ，3 n = ( ) ，当m ，他 时，有d o 。( 厶( z ) ，厶( z ) ) 0 ，存在k = k ( e ) f ，且6 ( k ) = 1 ，存在= ( e ) ， 对k ，都有d o o ( 厶( z ) ，a ( z ) ) 时，对所有的z a ，6 都有 d o 。( 札( z ) ，厶( z ) ) 0 ，存在= ( ) ，当凡 n ，对任意z o ，6 】有 d ( 。厶( z ) ，厂( z ) ) 0 ，存在j r = ( ) ，当佗 n ，剥任 意的x a ，6 】，有 d o o ( a ( z ) ，厂( z ) ) n 时，对所有的z a ，6 】都有 d o o ( 工讥( z ) ，厂( z ) ) n ，且m ，仃k 7 ，对v z a ，6 ，都有 d 。( n ( z ) ， ( 2 ) ) 0 ，必存在k 7 = k ( e ) f ， 且5 ( k 7 ) = 1 ，存在= n ( e ) k 7 ，对v n n ，r n k 7 ，都有d o 。( 厶( z ) ，( z ) ) 0 ，存在k = k ( ) f ， 且d ( k ) = l ，存在n = ( g ) k ，当n n ，且佗k 时，有d o 。( ( z ) ，厂( z ) ) 0 ，上述，有n k 7 ，v n n ，且n k 。，有 d o 。( 瓜( z ) ，。厶( z ) ) d o o ( 抽( z ) ，( z ) ) + d o 。( 厶( z ) ，( z ) ) 0 ，存在k = ( ) r ，且6 ( k ) = 1 及= ( ) k ，当礼n ，且佗k 时，对所有的z 【a ，6 】，有d o o ( 厶( z ) ，- 厂( z ) ) e 又因 屯( 厶( z ) ，厂( z ) ) = s u pm a x j a ( z ) _ ( 入) 一 厂( z ) 】一( a ) i j | ( z ) 】+ ( a ) 一【，( z ) + ( a ) 1 ) a l o ，l j 所以对任意的( z ，a ) a ，b 0 ，1 】有 l 厶( z ) 一( a ) 一 厂( z ) 一( a ) i 0 ，j t t o j 5 ，r t a ，6 】时， 屯( 巾) ，巾。) ) 差，屯( 夕( t ) ，g ( t 。) ) 丢 第3 章模糊数值函数序列的统计收敛1 5 又因为 d o 。( ，( 亡) ，夕( 亡) ) 一d o o ( f ( t 。) ，g ( t 。) ) i d o 。( ，( 亡) ，f ( t 。) ) + d o 。( 夕( ) ，g ( t 。) ) 0 ，使得 当z ，z 7 a ，6 i 且l z z f j 时，有 d 。( 厶( z ) ，k ( z ) ) n ，且n k 时，有 d 。( 厶( z ) ，厂( z ) ) 0 ，刍r ，6 ( ) = 1 ，存在自然数批k ， 当仡 眦，且几蚝时， d 。( 厶( x d ，厂( z t ) ) e 6 ，n = 1 ，2 ， 从而有 d o 。( f m ( x d ， ( z i ) ) d o 。( 六n ( z t ) ，厂( z t ) ) + d o 。( 厶( z t ) ，厂( z t ) ) n ，a n k 时，所以当m ，钆n 时， 且 z ，n k 时，由( 3 3 ) ( 3 4 ) 必有： 第3 章模糊数值函数序列的统计收敛 1 6 d o o ( 厶( z ) ，厶( z ) ) d o o ( ( z ) ，厂仇( z t 。) ) + d o o ( 厂m ( 兢。) ，厶( x i 。) ) + d o o ( ( z i 。) ，厶( z ) ) 0 ，存在k = k ( ，x ) f ， 1 6 ( k ) = 1 以及= ( ，z ) 尼， 当仃n ，且礼k 时，有 屯( 厶( z ) ，m ) ) n 且n k 时，对v t j ( z ) ， 妒n ( 亡) 妒( 亡) 2 妒( 亡) 一妒j ( z ) + 垆( z ) i 妒( t ) 一妒j v ( z ) l 十妒( z ) 专+ 三2 因为 n ，b 】cuj ( z ) ，由有限覆盖定理， x e a ，6 】 a ，b cj ( z 1 ) uj ( z 2 ) u u ，( z m ) 现令 n = m a z n ( s ，z 1 ) ，( ，z 2 ) ，( ，x m ) ) ， 第3 章模糊数值函数序列的统计收敛1 7 及 k = 虬，n 。n n 。u ) 易知j ( k ) = 1 综上所述，垤 0 ，3 k f ，_ r s ( k ) = 1 ，3 n k ，佗 且n k 时 ( 亡) = d o o ( 厶( 亡) ，( 亡) ) 0 ， 当可 o ，t , r l y z i 6 时，有d o 。( ，( 可) ，( z ) ) n ，使得 屯( 1 厂( u ) ，f ( t o ) ) e o ，( 4 1 ) 因为 _ 厂，可以构造严格递增的指数序列 礼缸) ，满足n 几凫) 是无穷列，且 对v e 0 ，3 n n ，v 忌 n ，使得u 满足 1 8 第4 章模糊数值函数序列的统计守恒 1 9 于是 d o 。( a 。( u ) ，厂( u 七) ) g 定义数列 扣 一压叭如小 【饥，22 礼k 易知 屯) _ t o ，由 厶) 一，所以 厶。) 一f 于是当尼充分大时，有 站( 厶。( 如。) ，i ( t o ) ) = d ( 厶。( t o ) ，f ( t o ) ) s o g l = s 7 ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) 。( n 。) ) = ( 厶。( u 七) ) 户f ( t o ) ( 4 5 ) 由( 4 3 ) 及( 4 5 ) 式，知序列 厶( 如) ) 发散，矛盾所以极限函数，是连续函数 下证 厶) 暑f 反证，假设 厶) 非一致收敛，则| o 0 ，存在指数序列佗惫及数列 七) c 【口，6 】，满 足n 佗七) 是无穷列，并且 d 。( 。( t 七) ，f ( t a ) ) 2 e o 因为( t ) c o ，6 是有界数列，故有收敛子列 o ) 一c ，模糊数值函数厂的连续性，对 上述o 0 ，ji o ，i i o 时，有d o o ( f ( t k ；) ，厂( c ) ) 0 ，9 n 1 m ，忌n l 时，对v t 【a ，6 ，有 站( ( t ) ，邢) ) 量 特别地，当t = t k 时， 屯( ( t 南) ，l 厂( t ) ) 0 ，9 n 2 m ，k 佗2 时，有 屯( ，( t 七) ，f ( t o ) ) n ，使得 d 。( ，( 饥) ，f ( t o ) ) e o ( 4 8 ) 因 a ) 三f ，可构造严格递增的指数序列 礼七) ，满足6 ( _ ( 礼知：忌n ) ) = 1 ， 且n n 岛) 是无穷列，满足垤 0 ，3 n n ，v k n ，对v u 七， d 。( 厶。( 乱k ) ，f ( u k ) ) ( 4 9 ) 定义数列 f t o ，i = 几七且i 是奇数； 如= u k ，i = n k 且i 是偶数； 【n ， 其它 n t ；) 马t o 当z = 竹尼且t 是奇数时，由 厶) 二厂，知当 充分大时有， d 。( ( 岛) ，f ( t o ) ) = d o o ( 厶。( 。) ，( 南) ) = d ( 厶。( t o ) ，f ( t o ) ) 0 ，3 k 1 f ，上t s ( k ) = 1 ，3 n l k ， k n l 且尼k 时，对v t a ，6 】，有 屯( ( t ) ，( t ) ) 丢 当t = t k 时， ( ( 乩f ( t k ) ) 0 ，| 尥= n ki 七n ) ，3 n 2 鲍，vk n 2 时，忌如时，有 d o o ( ，( 嘲，f ( t o ) ) ；( 4 1 3 ) 取n o = m a x h i ，n 2 ，k = k 1nk 2 ，有6 ( k ) = 1 ，所以当尼咖，且忌k 时， 由( 4 1 2 ) ，( 4 1 3 ) 式，有 屯( ( t 七) ，f ( t 。) ) 屯( ( 亡k ) ，f ( t m ) ) + 屯( 惫) ，f ( t 。) ) 0 ，有 6 ( 佗：屯( 厶( z n ，o + ) ) e ) ) = 5 ( n k ) = o 所以模糊数列 厶( z 礼) ) 墨o + 即模糊数函数序列莎是统计守恒的 存在数列 z n ) = i 们f 瓦一1 l + o ) _ a ，但对于其无穷收敛子列 z 札。： k ) 和 z n ，：n j n k ) ，有 【厶；( z n ；) ) _ o + 厶，( z ) ) _ 1 + 此表明模糊数列莎( z ) 不收敛，即模糊数函数序列莎非守恒 定义4 3 厶： a ，6 】一e 1n = 1 ，2 ) ，莎为正则的净对任意收敛序 歹t j x n ) c 【a ，纠，j t x 他) 一x 0 ，模糊数序列 ( ) ) 一z ； 定义4 4 厶： a ，6 一e 1n = 1 ，2 ) ，扩为统计正则的告净对任意统计收敛 序列 z n ) c 口，6 ，且 z n ) 一s tz o ，模糊数序列 ( z 他) ) 二z ； 如果模糊数值函数序列莎在a ，6 】上是正则的，显然有： ( t ) ) 一t + ，( v t a ，6 ) 在定理4 1 和定理4 2 的证明过程中令收敛函数，( ) = t + ( t a ，h i ) ，则有下 述的两个定理成立 定理4 3 若 ：【a ，b 】，e 1 ( 竹= 1 ，2 ) 是一个模糊数值函数序列，则下列陈 述等价： ( 1 ) 莎是正则的； ( 2 ) 莎在a ，6 上一致收敛到模糊数值函数厂( t ) = t + 定理4 4 若厶：【a ，b 】一e 1 ( 礼= 1 ，2 ) 是一个模糊数值函数序列，则下列论 断等价： 第4 章模糊数值函数序列的统计守恒 2 5 ( 1 ) 步是统计正则的； ( 2 ) 矿在a ，6 上统计一致收敛到模糊数值函数厂( t ) = t + 注4 2 ：由定义4 3 和定义4 4 易知，当莎正则时必可推出莎是统计正则的，反之 不成立 例4 2 下式中k f j l 5 ( k ) = 1 ，n k 为无穷列，定义厶： 0 ，1 】一e 1 如下： 。厶( z ) ： z + ，n k ； 【2 + ，ngk 设任意数列 z n ) c o ，6 ，且 z n ) 一s tz o ，存在收敛子列 z q ) _ x o ，且6 ( k 7 ) = 1 ，其中k l = l 歹= 1 ，2 ，) 令g o = knk 1 ，贝u s ( k o ) = 1 容易验证 当n k 。时，a ( x n ) 一z ；由统计收敛的等价刻画，a ( x ) 二z ； 即模糊数值函数序列莎是统计正则的，但莎不是正则的，验证如下： 存在常数列( z 竹= 1 ：n n ) ，因为d o o ( 厶( z n ) ，1 + ) = l ( t , n k ) ，所以模糊 数歹0 。厶( z n ) ：佗n k ) _ 1 + 放。罗不是正则的 后记 在导师的指导下，本文给出了定义在闭区间上的模糊数值函数序列统计l i 父敛和 统计守恒的新定义，从所得到的若干重要结论来看，我们的新定义也是较为合理的， 众所周知，有关函数序列统计收敛的研究在以往的文献中也有涉猎，但是有关模糊 数值函数序列的统计收敛和统计守恒的有关问题很少涉及，我们期待在模糊数值 函数序列统计收敛和统计守恒的新定义下，此类问题的研究能取得更多的成果 2 6 【1 1 1 2 参考文献 s a y t a ra n ds p e h l i v a n ，s t a t i s t i c a lc o n v e r g e n c eo fs e q u e n c e s o ff u z z yn u m b e r s a n ds e q u e n c e so fq c u t s ，i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo fg e n e r a ls y s t e m s3 7 ( 2 ) ( 2 0 0 8 ) 2 3 1 2 3 7 s a y t a r ，s t a t i s t i c a ll i m i tp o i n t so fs e q u e n c e so ff u z z yn u m b e r s ，i n f o r m a t i o n s c i e n c e s1 6 5 ( 2 0 0 4 ) 1 2 9 1 3 8 j c o n n o r ，t h es t a t i s t i c a la n ds t r o n gp c e s a r oc o n v e r g e n c eo fs e q u e n c e s ，a