（基础数学专业论文）几类非线性两点边值问题正解的惟一性.pdf

摘要 本文运用打靶法及s t u r m 比较定理讨论了三类二阶常微分方程两点边值问题 正解的惟一性( 如果存在) 主要结果有： 一在非线性项超线性增长的假设下，建立了关于d i r i c h l e t 型边值问题 u ”+ n ( t ) “+ ( t ，u ) = 0 ，t ( 0 ，b ) u ( 0 ) = 0 ，u ( b ) = o 正解的惟一性定理其中b o ；n ( - ) c 1 1 0 ，。) ；厂( ，) c 1 ( o ，。) 0 ，。) ) 二在非线性项超线性增长的假设下，建立了关于r o b i n 型边值问题 u “+ n ( t ) 十f ( t ，“) = 0 ，t ( 0 ，b ) u ( 0 ) = 0 ，u ( 6 ) = 0 正解的惟一性定理其中b o ；( ) c o ，o 。) ；，( ，) c 1 ( 【o ，) f 0 ，。) ) 三在非线性项次线性增长的假设下，建立了关于带有非线性边值条件的边 值问题 “+ n ( f ) 7 + s ( u ) = 0 ，t ( 0 ，b ) b ( 札( o ) ) 一( o ) = o ，b 2 恤( b ) ) + 钆7 ( 6 ) = 0 正解的惟一性定理其中b o ；玩( ) c 1 【o ，。) ( i = 1 ，2 ) ；( ) c o ，o 。) ； ，( - ) c o ，。) n c l ( 0 ，o 。) 关键词：边值问题；正解；惟一性；打靶法；s t u r m 比较定理 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t hu n i q u e n e s so fp o s i t i v es o l u t i o n st ot h r e ec l a s s e s o f t w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fo r d i n a r yd i f f e r e t i a le q u a t i o n s t h ea r g u m e n ti s b a s e do i lt h es h o o t i n gm e t h o r dt o g e t h e rw i t ht h es t u r m 8c o m p a r i s o n t h e o r e m t h em a i nr e s u l t sa r ea 8f o l l o w s ： 1 u n d e rt h e 郐s s u p t i o no ffb e i n gs u p e r t i n e a r ，t h eu n i q u e n e s st h e o r e mo fp o s i t i v e s o l u t i o n si se s t a b l i s h e df o rt h ef o l l o w i n gb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m “”+ a ( t ) u + f ( t ，u ) = 0 ，t ( 0 ，b ) 珏( o ) = 0 ，u ( b ) = 0 w h e r eb o ；8 ( ) c 1 【o ，o 。) ；，( ，) c 1 ( o ，0 0 ) 0 ，。) ) 2 u n d e rt h em s s u p t i o no ffb e i n g8 u p e r l i n e a r ，t h eu n i q u e n e s st h e o r e mo fp o s i t i v e s o l u t i o n si se s t a b l i s h e df o rt h ef o l l o 4 n gb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m u ”+ o ( t ) + f ( t ，u ) = 0 ，t ( 0 ，b ) ( o ) = 0 ，牡( 6 ) = 0 w h e r eb o ；口( ) c 0 ，o 。) ；，( ，) c 1 ( o ，。) 0 ，。) ) 3 u n d e rt h ea s s u p t i o no ffb e i n gs u b l i n e a r ，t h eu n i q u e n e s st h e o x e m o f p o s i t i v e s o l u t i o n si se s t a b l i s h e df o rt h ef o l l o w i n gb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m “”+ a ( t ) u + f ( u ) = 0 ，t ( 0 ，b ) b l ( n ( o ) ) u ( o ) = 0 ，u 2 ( u ( b ) ) + u ( b ) = 0 w h e r eb o ；鼠( ) c 1 ( o ，o 。) 0 = 1 ，2 ) ；o ( ) c o ，。) ；，( ) c o ，o o ) n c l ( o ，o 。) k e yw o r d s ：b o u n d a r y v a l u ep r o b l e m ；p o s i t i v es o l u t i o n ；u n i q u e n e s s ；s h o o t i n g m e t h o r d ；s t u r m sc o m p a r i s o n t h e o r e m ， 1 1 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包括其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得西北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 签名：望笙童目期：竺! f ，! 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅i 学 校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复 制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名 秀斗、亟 导师签名：查! 叠日期 期4 6 前言 常微分方程解的惟一性是常微分方程定性理论、稳定性理论的基础它不仅 在理论研究中占有非常重要的地位，面且有着极为广泛的应用背景比如工程学、 力学、天文学、经济学以及生物学等领域中的许多实际问题都与相应的微分方程 解的惟一性密切相关 1 9 6 7 年，cv c o f f m a n 研究了一类特殊的非线性二阶常微分方程在d i r i c b l e t 型边值条件及r o b i n 型边值条件下正解( 如果存在) 的惟一性1 9 8 3 年，w e i 。m i n g n i 证明了椭圆方程边值问题 a u + “= 0 1 ) ( 0 1 ) “= o i t a n 正径向解的惟性，其中q 是n 维欧氏空问r “中的有限环域 1 _ 此后，关于边值问 题解的惟性的研究，一直是微分方程领域最重要的课题之一比如c v c o f f m a n 、 m k k w o n g 、k m c l e o d 、l y n ne r b e 、m o x u nt a n g 及d d h a l 等针对不同的 非线性项研究了椭圆方程边值问题在不同区域( 如球域、环域或球外域等) 上解的 惟一性问题，就边值问题解的惟一性的研究方法而论，主要局限在隐函数定理、 时间映象估计方法以及打靶法目前，关于边值问题解的惟性的研究虽然取得 了一些进展，但由于非线性项本身所固有的难度，仍有许多问题有待解决 1 9 9 8 年，l y n ne r b e 和m o x u nt a n g 3 3 运用打靶法考虑非线性椭圆方程边 值问题 珏+ 坤，“) 20 ， “= 0 钍硼 正径向解的惟一性，其中n 是n 维欧氏空间兄”中的有限环域，t = f x l ，z r “，s ( t ，钍) 关于t 0 及t t o 连续可微众所周知，( 0 2 ) 正径向解的惟一性 问题可等价的转化为常微分方程边值问题 2 扎”+ 掣u + 坤，u ) = 0 。 ( 0 3 ) 乱( “) = o ，钍p ) = 0 ， o a 0 ，vt 0 ，u 0 ( 超线性情形) ： ( f 2 ) 设o 0 及h 1 ，若存在一个如( o ，6 ( a ) ) 使得l h ( t o ，o ) 0 ，则有 l h ( t ，o l ) 0 ，v t t o ，6 ( n ) ) ； ( f 3 ) ，( ，“) + i 1 。，t ( z ，“) 0 ，v t 0 ，“ 0 成立，则问题( 0 3 ) 的正解至多存在一个( 记号o ，h ，l 的含义将在正文中给予类 似的介绍) 但遗憾的是：文 3 的证明过程中有一处纰漏( 第7 3 3 页，笫9 行至第1 4 行； 已同该文作者通信商榷过参见附注1 4 ) ，因此，定理a 目前只是一个猜想 本文虽然没有能够修正定理a 的证明，但却用打靶法结合s t u r m 比较定理建 立了如下与其相关的惟一性结果： 定理0 1 假定 ( a 1 ) y ( t ，0 ) ；0 ，且u ；( t ，“) f ( t ，) 0 ，vt 0 ，“ o ( 超线性情形) ； ( a 2 ) n ( t ) s0 ，a ( t ) v ( t ) + ( f ) 0 ，v t 20 ； ( a 3 ) 设 0 及h 1 ，若存在一个f ( 0 ，6 ( 。) ) 使得厶( 云q ) 0 ，则有 l h ( t ，a ) 20 ，vt 匠6 陋) ) ； ( a 4 )( 口( t ) ”) ) y ( t ，“) + ( ( t ) 2 w 似) ) 矗( t ，u ) 0 ，vt 0 ，u 0 成立，则问题 “”+ o ( t ) + f ( t ，u ) = 0 ，t ( 0 ，b ) ( 0 4 ) u ( 0 ) = 0 ，u ( 6 ) = 0 3 的正解至多存在一个其中b o ；，( - ，) g 1 ( o ，。) ( 0 ，。) ) ；o ( ) g 1 0 ，o ( 3 ) ( 记号o ，h ，l h ，u ，u 的含义将在正文中给予介绍) 注o 1 虽然同问题( o3 ) 中的函数( n 一1 ) t 相比，定理01 中导数项u 7 的 系数( t ) 在t = 0 点不具有奇性，但仍涵盖了一大类函数这类问题目前还未被 研究过 注0 2 由于定理o1 中o ( t ) 不是具体函数，这对我们寻找与相应的初值问 题的解及相应的变分方程的解比较振动性的辅助函数的工作带来了很大的难度 我们经过大量的运算，找到了符合条件的辅助函数，进而给出了保证问题( o4 ) 正 解的惟一性的充分条件 进一步，我们在非线性项超线性增长的前提之下，讨论了r o b i n 型边值问题 “”+ 。( 。) u7 + f ( t ；u ) = o ，。( o ，6 ) f 05 1 u ( o ) = 0 ，u ( 6 ) = 0 正解的惟一性其中b o ；，( ，- ) g 1 ( o ，) 0 ，。) ) ；o ( ) c 0 ，o o ) 建立 了下面的惟一性定理 定理o 2 假定 ( h 1 )“咒( u ) ，( t ，u ) 0 ， vt 0 ，u 0 ； ( h 2 ) n ( t ) ( t ) + v f ( t ) 0 ， v t 0 ； ( h 3 ) 以( z ，u ) 0 ， v t 0 ， 0 成立，则问题( 0 5 ) 的正解至多存在一个( 记号”，”7 的含义将在正文中给予介绍) 注0 3 在证明该定理时所采用的辅助函数与研究问题( 0 4 ) 时所用的辅助函 数相比更加简洁并且，定理o 2 中所提的条件比定理0 1 中的条件更加容易验 证 最后，我们在非线性项次线性增长的前提之下，讨论了非线性边值问题 u ”+ n ( 。) 扎7 + ，( “) = o ，。( o ，6 ) f o6 1 b 。( u ( o ) ) 一u ( o ) = o ，b 2 ( u ( 6 ) ) + u 7 ( 6 ) = 0 4 正解的惟一性其中，b o ；，( t ) c o ，0 0 ) f l c l ( o ，o o ) ；鼠( ) c 1 ( o ，o 。) ( i = 1 ，2 ) ；o ( ) o o ，。) 得到了如下的定理： 定理0 3 假定 ( c 1 ) f ( o ) = 0 ，( u ) 0 ，u f7 ( u ) 0 ( 次线性情形) ： ( c 2 ) o ( t ) 0 ，v t o ； ( c 3 ) 最( o ) = o ；b i ( x ) 0 ，彰( 。) 0 ，v x o ；毯( z ) 在。 0 时非减( i = 1 ，2 ) 成立j 则问题( 0 6 ) 的正解至多存在一个 注o 4 由于b 1 ( “( o ) ) 一( o ) = 0 ，b 2 ( “( 6 ) ) + u i ( 6 ) = 0 属于非线性边值条 件，目前对此类非局部问题解的存在性的研究工作还极为少见，至于惟一性，以 前还从未有人研究过因此，定理0 3 的结果是全新的 本文主要内容分为以下三部分： 1 超线性条件下d i r i c h l e t 型边值问题( 0 4 ) 正解的惟一性； 2 超线性条件下r o b i n 型边值问题( 0 5 ) 正解的惟一性； 3 次线性条件下带有非线性边值条件的边值问题( 0 6 ) 正解的惟一性 5 i 一类d i r i c h l e t 型边值问题正解的惟一性 1一类d i r i c h l e t 型边值问题正解的惟一性 1 1 引言 本节讨论边值问题 5 u ”+ n ( t ) u + f ( t ，“) = 0t ( 0 ，b )( 11 ) u ( 0 ) = 0 ，u ( 6 ) = 0 ( 1 2 ) 正解的惟一性，其中b 0 ，( t ，“) 及o ( t ) 关于“0 ，t 0 连续可微， 本节称“( ) 为问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 正解，若u ( t ) 满足( 1 1 ) 一( 12 ) ，且“( t ) 0 ，vt ( 0 ，b ) 在非线性项超线性增长的条件下，利用打靶法结合s t u r m 比较定理，本节获 得了问题( 11 ) 一( 1 2 ) 正解惟一的充分条件 下面是本节的一个预备引理( 证明可参考文 4 ) 引理1 1 设o ( ) c o ，o 。) ；，( ，) c 1 ( o ，) 0 ，。) ) ，则初值问题 u ”+ ( t ) 让7 + ( t ，“) = 0 u ( 0 ) = 0 ，“( o ) = 7 0 有惟一解其中7 r 1 ，2主要结果 为了解决( 11 ) 一( 12 ) 正解的惟一性，我们首先考虑初值问题 “”+ ( t ) u + f ( t ，“) = 0 ，t ( 0 ，b ) ( 1 3 ) u ( 0 ) = 0 ，u ( 0 ) = 血 0 f 14 1 根据引理11 知对于给定的血 0 ，初值问题( 1 3 ) 一( 1 4 ) 有惟一解记这个惟一 解为“( t ，。) 因为( o ，口) = 0 “，( 0 ，o ) = 0 ，故存在e 0 ，在区间( 0 ，e ) 上有 5 i 一类d i r i c h l e 型边值问题正解的惟一性 6 u ( t ，d ) 0 如果存在t o 0 ，使得u ( t o ，o ) = 0 ，则记6 ( 。) 为u ( t ，a ) 在t 0 上的 第一个零点此时，必有 u ( t ，a ) 0 ，t ( 0 ，b ( n ) ) ( 1 5 ) 及“( 6 ( 。) ，0 ) = 0 若“( t ，o l ) 在t 0 时始终为正，则记6 ) = 。 定义集合如下： n ：= o | 。 0 ，6 ( “) 0 ，至多存在着一个n n ，使得b = 6 ( ) ，则由初值问题( 1 3 ) 一( 14 ) 解的惟一性可知边值问题( 11 ) 一( 1 2 ) 的正解至多存在一个 为了建立边值问题( 11 ) 一( 1 2 ) 正解的惟一性定理，需要引入以下记号， 记 蜘) = 掣 则o ( t o l ) 满足 定义线性算子l 为 曲”+ 0 0 ) + f ( t ，u ) 妒= 0 ( o ) = 0 ，咖，( o ) = 1 ( 1 6 ) ( 1 7 ) l ( 庐) = 咖”+ n ( t ) 曲+ f ( t ，“) ，t 0 ( 1 8 ) 则l ( 咖) = 0 对于给定的实数h 1 ，定义函数 g 水) 叫) + 字端u m ，毗t 三。 ( 1 9 ) 5 1 一类d i r i c m e t 型边值问题正解的惟一性 其中”( ) = e x p ( 一f oa ( s ) d s ) d r ，“( ) = e x p ( 一后n ( s ) d s ) 容易验证 计算可得 g m ) 劬，卅h - 。1 叭v ( t ) ) u ，。) + 字器u ，( 如) 劬，卅h - i r 矾v ( t ) 化卅字器( 砒u 酬_ 0 ( 咖俅，q ) ) _ ( 1 + 孚( 器) ，- t h - 1 ) 端矿字鬻m ，硼 及 7 g 孙) = e h ：_ a ( 字。俅) 孑一字n ( 乱7 十( 1 + 字( 考) 一孚) 詈) ( 州扣) 叫帅7 ) 一字( 珈抽) 一丁h - l v , ，咖, ，一_ 丁h - 1 渺u ) = i - a ( 旷字) ( 孑) 2 字弘 _ 【1 忡- 1 ) ( 弘字。( 啪旷字渺vr ，咖一丁h - 1 珈u ) 所以有 l ( g h ( t ) ) - c t ) + a ( t ) g h ( t ) + 咒( t ，札) g h ( t ) 删十0 ( 州，+ 字( 孑) 7 一字n 一字珈) 弛，卅咒( 柚) “+ 孚予丘( 柚) “， = 骢“) u 一【1 + ( 一1 ) ( 抑巾，u ) 一字孑能u ) 记l h ( t ) = l ( t ，u ，n ) = l ( g ( ) ) ，则 训归丘( 铀) u 一 1 郴叫( 翔弛，“) 一字号一( 加) 特别地，当h = 1 时，有g 1 ( t ) = u ( t ，a ) ，l ( t ) = u 咒( t ，“) 一，( t ，u ) 5 1 一类d i r i c h l e t 型边值问题正解的惟一性 本节假定 ( a 1 ) ，( t ，0 ) 三0 ，且“咒( z ，“) i ( t ，i t ) 0 ，vt 0 ，u 0 ； ( a 2 )o ( t ) 0 ，n 0 ) ( t ) + , u t ( t ) o 、 v t o ； ( a 3 ) 设a 0 ，h 1 若存在一个f ( o ，b ( d ) ) ，使得h 伍如) 0 ，则 l ( ，n ) 0 ，vt t ，6 ( o ) ) ； ( a 4 )( ( t ) 一( ) ) f ( t ，u ) + ( u ( t ) 2 ( t ) ) 矗( t ，u ) 0 vt 0 ，u 0 本节的主要结论是： 定理1 1 若1 ) ( a 4 ) 成立，则问题( 1 1 ) 一( 12 ) 的正解至多存在一个 8 1 3相关引理 为证明定理11 ，先给出如下引理 引理1 2 设，( t ，0 ) 三0 ，vt 0 ，且有 咖( b ( a ) ，a ) 0 ，v “n( 11 1 ) 则，或者( i ) n 是开区间；或者( i i ) n = ( 0 ，j 1 ) u ( j 2 o 。) ( 0 0 相矛盾因此， “”( d ) ，d ) 0( 1 1 3 ) 根据隐函数定理可知：b ( a ) 可以看作是定义在上的。的函数，且6 ( n ) c 1 ( ) 进一步地，( 1 1 3 ) 还表明：n 是开集 ( 11 2 ) 两边对q 求导得 u 7 ( b ( a ) ，o ) 6 ，( o ) + 曲( b ( o ) ，o ) = 0f 】1 4 ) l ! 二差堡型生堡! 型边值问题正解的惟一性 g 由( 1 1 1 ) 知，6 ( a ) 0 首先可证明：若0 面 0 3 ，西a t ，且。n ，d 。_ 面( n _ 。) ，则 b ( o 。) 斗+ 否贝，必存在( b ( “n ) ) 的子列收敛于一有限数t l ，不妨设6 ( 。j - 4t 。( n 。) 因为扎( 6 ( n ) ，n ) = 0 ，所以当n - 40 0 时，有“( t 1 ，西) = 0 这与面隹n 矛盾! 若不是开区问，设j t = ( j o ，j 1 ) ，以= ( 如，j 3 ) 是n 中两个不同的开区 间，且0 j 1sj 2 0 ，v “ ；6 她) 0 ，vo 如 同时 l i m 6 ( o ) 0 但是 e x p ( z 。( s ) d s ) ( “咖一让) ft = b ( a ) ：e x p ( z “n ( s ) d s ) 珏( 6 ( a ) ，q ) ( 6 ( ) ，) 茎。 矛盾! 所以( ，0 = ) 在( 0 ，6 ( “) ) 上至少有一个零点 引理得证 1 4 定理1 1 的证明 证明对v n ，( 1 1 4 ) 成立如果还可证明 咖( 6 ( a ) ? o ) 0 结合( 11 4 ) ，( 1 1 3 ) 立即得到6 ，( ) 0 ，所以对任意的h 1 ，可 得：g ( ) 0 ，t ( 0 ，c ( ) 由条件( a 3 ) ，( a 4 ) 可断言： ( t ，o ) 0 ， v t ( 0 ：c ( ) 事实上，可选充分大的h 1 ，使得 l i ( c ( 。) ) = f l u ( t , u ) “一【1 + ( 瓦_ 1 ) ( 翔坤，u ) 一孚予月( ) = 丘( t ，u ) “一【1 一( ；) j ，( t ，“) + 斋爿( t ，u ) 一无 他u ) + 砉胞u ) 忆如) l j 在( c ( a ) ，b ( q ) 上零点的个数 若h 1 ，由g h ( t ) 的定义可得 g h ( c ( o ) ) = ( c ( 血) ) 0 g ( 6 ( n ) ) 1 ) 在区间( c ( o ) ，6 ( ) ) 上必有零点进一步可证a h ( t ) ( h 1 ) 在区 间( c ( n ) ，6 ( 血) ) 上只有一个零点 事实上，对vh 1 ，令g h ( t ) = 0 ，t ( c ( a ) ，6 ( a ) ) ，即 u 卅字羔蛆俅，a ) = 。 变形得 纂u ( t = 熹1h 纂v ( t ( 1 。o ) ) 一 ) r叫 令 州= 鬻，喇= 两2 鬻 根据条件f a 2 ) ”：( t ) = - a ( t ) u u - i f ( t , u 一) u - u 2 1 ) 在 区间( c ( a ) ，6 ( o ) ) 上至多有一个零点 结合( 1 1 9 ) 得，g h ( t ) ( h 1 ) 在区间( c ( o ) ，6 ( o ) ) 上有且只有一个零点记 这个惟一零点为“ 下面，我们考察函数咖( t ，。) 在( c ( ) ，b ( o ) 上零点的个数 注意到，当t ( c ( ) ，6 ( a ) ) 时，总有“7 ( t ，) 0 ，故必存在惟一的h 1 ，使得g h ( t ) = 0 ，即t h = t 5 j 一类d i r i c h l e t 型边值问题正解的惟一性 1 3 记( t ，o ) 在( c 陋) ，6 ( a ) ) 上的第一个零点为r ( ) 于是，可得到惟一的h ( 1 元 0 ，t ( o ，7 - ( 。) ) ；g 元( 丁( a ) ) = o ；g 元( t ) 0 ，t ( 0 ，7 - ( 。) ) ；( 丁( n ) ，d ) = 0 我们断言：必存在t 2 ( 0 ，f ( o ) ，使得l i ( t 2 ) 0 如若不然，反设对vt ( 0 ，r ( d ) ，都有幺( t ) 0 注意到曲( t ，) ，g i ( t ) 满 足 e x p ( z 。a ( s ) d s ) ( g h 妒飞卅，a ) l - i ( t ) e x p ( ( 。a ( s ) d s )(121)0 j 一g 删= m ( 1 j u 因为( 1 2 1 ) 右端函数在( o ，r ( q ) ) 取负值所必，其左端的函数e x p ( 露o ( s ) d s ) ( 哦多一 g i 咖7 ) 在( 0 ，r ( o ) ) 上严格递减 因为 e x p ( z 。( s ) ( 吒咖一唰引一= 。 所以应有 e x p ( ：。小) d s ) ( g ：咖- g t , 旧小。 但是 e x p ( a ( s ) d s ) ( g h 咖一g ) ie r ( a ) = 0 j0 矛盾! 结合条件( a 3 ) 有 l i ( t ) 0 ，t l r ( 。) ，6 ( d ) ) 若咖( t ，a ) 在r 缸) 之后还有零点，记其下一个零点为丁l ( a ) ，则r ( a ) n ( n ) 曼 1 一类d i r i c h l e t 型边值问题正解的惟一性 ( 1 2 1 ) 两边从r ( 。) 到t i ( “) 积分，得 1 4 ( 占) d s ) g 元( n ( 0 _ ) ) 西( r l ( 血) ，) 。坤c o 。删。她。愀胁 1 2 2 i n 妒( t ，n ) 0 ，l h ( t ) = 就9 囟一1 一( 九一1 ) e 一。 显然，( a 1 ) ，( a 2 ) 满足因为当t 0 时e 一。单调递减，故( a 3 ) 满足同时有 ( ；) 他u ) + 杀她扎) = e - t t l , p o ，v t o ，札 o 即( a 4 ) 也满足 注1 2 定理1 1 中导数项“的系数n ( t ) 在t = 0 点虽不具有奇性，但仍涵 盖了一大类函数这类问题目前还未被研究过 注1 3 由于定理11 中o ( t ) 不是具体函数，这对我们寻找用于比较振动性 的辅助函数的工作带来了很大的难度我们经过大量的运算，找到了符合条件的 全新的辅助函数g ( t ) ，丘 5 i 一类d i r i c h l e t 型边值问题正解的惟一性 1 5 注1 4 文 3 在证明定理a 时，记其辅助函数g h ( t ) 在区间( c ( ) ，6 陋) ) ) 上 的第一个零点为r ( h ) ，a ) 在区间( c ( 。) ，6 ( n ) ) 上的最后一个零点为7 - ( 0 ) 作 者认为对此r ( n ) ，可惟一确定一个无，使得 r ( ) = r ( o )( v ) 所以r ( a ) 既是0 i ( t ) 在区间( c ( o ) b ( 乜) ) 上的第一个零点，又是石( t ，q ) 在该区间 上的最后一个零点文 3 后面的讨论需要运用这个性质 然而根据文【3 】3 所给的条件，满足( v ) 的瓦是否一定存在还有待论证既然 瓦的存在性无法确定，其后面的讨论也就失去了依据所以定理a 目前还只是一 个猜想 本节通过加强对函数。( t ) 的限制( 条件( a 2 ) ) ，确保我们的辅助函数g h ( t ) 在 区间( c ( n ) ，6 ( o ) ) 上有惟一的零点，从而保证本文中( ) 成立，进而获得了定理 11 的结果 5 2 一类r o b i n 型边值问题正解的惟一性 2一类r o b i n 型边值问题正解的惟一性 本节讨论边值问题 2 1 引言 1 6 珏”( ) + 口( ) 珏+ f ( t ，7 1 ) = 0 ，te ( o ，b )( 2 1 ) u ( o ) = 0 ，u 伽) = 0( 2 2 ) 正解的惟一性，其中b 0 ，f ( t ，u ) 关于t 0 ，札0 连续可微，a ( t ) 关于t 0 连续 本节称u ( t ) 为问题( 21 ) 一( 2 2 ) 正解，若u ( ) 满足( 2 1 ) 一( 2 2 ) ，且u ( t ) 0 ，vt ( 0 ，纠 在非线性顼超线性增长的条件下，利用打靶法结合s t u r m 比较定理，本节获 得了问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 正解惟一的充分条件这一节中我们寻找到的辅助函数比 第一节的辅助函数更加简洁，定理所给的条件与第一节定理的条件相比更加容易 验证 为了叙述的方便，本节仍延用第一节的一些记号，但含义不同( 见具体定义) 2 2主要结果 为了解决( 2 1 ) 一( 2 2 ) 正解的惟一性，我们首先考虑初值问题 u ( 0 ) = 0 ，u ，( 0 ) = o t 0( 2 4 ) 根据引理1 1 ，对于给定的a 0 ，初值问题( 23 ) 一( 2 4 ) 有惟一解u ( t ，) 因 u ( o ，o ) = 0 ，u 7 ( o ，) = 。 0 ，故存在e o ，在区间( 0 ，e ) 上有“俅，d ) 0 ，u ( t ，“) 0 如果存在t o o ，使得“7 ( t o ，n ) = 0 ，则记6 ( 0 f ) 为u 心，o ) 在t 0 5 2 一类r o b i n 型边值问题正解的惟一性 上的第一个零点此时，必有 1 7 钍( t ：) 0 ，t ( 0 ，b ( a ) 】； u 7 ( t ，n ) 0 ，t 【0 ，6 ( a ) )( 2 5 ) 及u ”陋) ，n ) = 0 若( t ，o ) 在t 0 时始终为正，则记6 ( o ) 兰o o 定义集合如下： n ：= 似i o z 0 ，6 ( n ) 0 ，至多存在着一个0 = n ，使得b = 6 ( o ) ，则由初值问题( 2 3 ) 一( 24 ) 解的惟一性，可获得边值问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 正解的惟一性 为了建立边值问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 正解的惟性定理，需要引入以下记号 记 撕) = 掣 则( t ，n ) 满足 ”+ o ( t ) + 咒( ，u ) = 0 ，( 2 6 ) 咖( o ) = 0 ，( o ) = 1( 2 7 ) 定义线性算子二为 上( 咖) = 咖”+ n ( f ) 西+ 咒( t ，“) ，t 0( 2 8 ) 贝0l ( 咖) = 0 令 ) = 端“心，毗 。( 2 9 ) 其中“( t ) = e x p ( 一f oa ( s ) d s ) d t ，u ”) = e x p ( 一片o ( s ) d s ) 容易验证 l ! 二耋墨! 堕! 型垫堕塑壑至壁塑睦二丝 计算可得 g 咏) = ( 端m 沁，a ) 十鬻u ，( 蛐) 却州t ) 端“) + 器( 砒“q ) ) _ m 刮他矿羔，u 心嘲 及 g ”( t ) = u ，一( ；) ，( t ，“) 一詈咒( t ，“) u 一矗( t “) = ( t ) u ，一，( tu ) 一( 1 十。( t ) 孑) ，( t ，u ) 一孑v 凡t o ，“) 一孑丘( t ，u ) = ( 一n ( t ) 一号咒( t ，u ) ) “，一( 2 + n ( t ) 爹) ，( t ，扎) 一；爿( t ，壮) 所以有 1 8 l ( g ( t ) = “( t j + 【q “l t j + 咒l t ，u j “【t ) = ( 一。( t ) 一孑v 凡t ( t ，“) ) ，一( 2 + 。( t ) ；) ，( f ，“) + 。( t ) u p - - a ( o ，( t ，札) + 咒( t ，让) 芋“，一- j ”；( t ，u ) = 一2 ( 1 + 。( ) 孑) ，( ，u ) 一予爿( ，u ) 记l ( t ) = l ( t ，“) = l ( g ( ) ) ，则 l ( ) = 一2 ( 1 + 。( t ) ) ，( t ，u ) 詈爿( t ，“) ( 21 0 ) 本节假定 ( h 1 ) “丘( t ，“) f ( t ，“) 0 ， vt 0 ，“ 0 ； ( h 2 ) a ( t ) v ( t ) + ”咏) 0 ，v f o ； ( h 3 ) f f ( t ，u ) 0 ， vt 0 ，u o 本节的主要结论是： 定理2 1 若( 日1 ) 一( h 3 ) 成立，则问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 的正解至多存在一个 5 2 一类r o b i n 型边值问题正解的惟一性 2 3 相关引理 1 9 在证明定理21 之前，我们先给出几个引理 引理2 1 假设f ( t ，u ) 0 ，v t 0 ，u o 初值问题( 2 3 ) 一( 2 4 ) 的解u ( t ，o ) 具有下面的性质：如果存在t l 0 ，使得牡( t ，o ) 0 ，vt ( 0 ，t 1 ，且“ 1 ) = 0 则“协，o ) 0 ，vt f 0 ，t 1 ) 证明方程( 2 3 ) 可化为 ( 刑e x p ( f o 2 n ( s ) ) 7 + e x p ( 上。n m ，“) = 。 因为札( t ，。) 0 ，vt ( 0 ，t 1 】，所以 ( 龃( t ，) e x p ( f o 。( s ) d s ) ) = - e x p ( f 0 2 。( s ) d s ) ，。，u ( t ，q ) ) 州t f 0 ， 即( t ，a ) 0 ，vt 0 ，1 ) 引理得证 引理2 2 设，亿u ) 0 ，vt 0 ，札 0 ，且有 妒( 6 ( ) ，d ) 0 ， vo n 则，或者( i ) n 是开区间；或者( i i ) n = ( 0 ，j 1 ) u ( j 2 ，o o ) ( 0 7 l j 2 0 ， v o ( 0 ，j 1 ) ；6 ，( d ) 0 ，v 血( j 2 ，o 。) 证明对vn n ，有 “，( 6 ( o ) ，a ) = 0( 21 1 ) 2 一类r o b i n 型边值问题正解的惟一性2 0 因为 t t ”( 6 ( d ) ，4 ) = 一f ( t ，“) 一n 0 ) u i 口6 ( 。) = 一，p ( n ) ，乱( b ( a ) ，a ) ) 一n ( b ( 口) ) u 7 ( m ) ，血) ( 2 1 2 ) = 一，( 6 ( 。) ，u ( 6 陋) ，n ) ) 0 故由隐函数定理可知：6 ( “) 可以看作是定义在n 上的4 的函数，且6 ( 。) c 1 ( ) 进一步地，( 2 1 2 ) 还表明：n 是开集 ( 21 1 ) 两边对血求导可得 札”( b ( ) ，4 ) b ( q ) + 曲( b ( ) ，o l ) = 0( 2 1 3 ) 由( 6 ( “) ，4 ) 0 知，6 陋) 0 首先可证明：若0 面 。，西n ，且4 。n ，a 。_ 西( n o o ) ，则 b ( 4 。) _ + o 。 否则，必存在 6 ( 0 ：。) ) 的子列收敛于一有限数t 2 ，不妨设6 ( o 。) _ 2m - - + 。) 因u ( n 。) ，4 。) = o ，故当n - o 。时有“7 ( t 2 ，_ ) = 0 这与西岳n 矛盾! 若不是开区间，令j 1 = ( j o ，j ，) ，如= ( j 2 ，j 3 ) 是中两个不同的开区 间，且0 j l j 2 o ，v 。j 1 ；6 ( “) 0 ，va 如 同时 l i mb ( 4 1 + 。，l i m6 f q ) + 。 n _ 对 7 4 , 1 - - + f f 一 因而j o = 0 ，j 3 = + o 。故n = ( 0 ，j 1 ) u ( j 2 ，。) 引理得证 2 一类r o b i n 型边值问题正解的惟一性 2 1 2 4 定理2 1 的证明 证明对va n ，( 21 3 ) 成立如果还可证明 ( 扫( n ) ，a ) ( o 结合( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) 立即得到6 ( n ) 0 根据引理2