（应用数学专业论文）环z8上的循环码.pdf

中文摘要 中文摘要 循环码是一类很重要的线性码它具有严谨的代数结构，其性能易于分析；它 还具有循环特性，编码译码易于实现，因此循环码的研究很受关注 1 9 5 7 年普朗 格( p r a a g e ) 首先开始在域g f ( q ) 上研究循环码，此后人们对域g f ( q ) 上循环码 的研究在理论和实践上都取得了很大的进展与此同时，循环码的研究被扩展到环 上，但由于环的结构比较复杂，环上循环码的研究结果还是相当有限 本文主要对环磊上的循环码进行了研蔻 本文共有三章内容：绪论中，给出必要的定义并综述环上循环码一些相关结果 第一章，介绍了g a l o i s 环，尤其是环磊上的一些性质和相关准备知识，然后着重 研究环磊上奇数长的循环码的结构以及其对偶码的结构第二章，给出了环磊上 2 。长循环码的结构第三章，整理出本文的主要结论 关键词：环磊；循环码；理想；生成元 中文文摘 中文文摘中又又捅 循环码是类很重要的线性码它具有严谨的代数结构，其性能易于分析；它 还具有循环特性，编码译码易于实现，很容易用带反馈的移位寄存器实现其硬件正 是由于循环码具有码的代数结构清晰、性能较好、编译码简单和易于实现的特点， 因此在目前的计算机纠错系统中所使用的线性分组码几乎都是循环码它不仅可以 用于纠正独立的随机错误，而且也可以用于纠正突发错误因此循环码的研究很受 关注1 9 5 7 年普朗格( p r a n g e ) 首先开始在域g f ( q ) 上研究循环码，此后人们对 域g f ( q ) 上循环码的研究在理论和实践上都取得了很大的进展与此同时，循环 码的研究被扩展到环上，但由于环的结构比较复杂，环上循环码的研究结果还是相 当有限 文章的结构安排如下： 绪论中，给出了有限域上，有限环上的循环码的具体定义，以及它们的研究背 景，并给出了一些必要的定义 第一章，介绍了g a l o i s 环，尤其是环磊上的一些性质和相关准备知识，然后 着重研究环磊上奇数长的循环码的结构 第一节，环磊上的一些性质和相关准备知识 研究磊上的循环码，相当于考虑商环z 8 ( 矿一1 ) 上的理想形式 引理1 1 1 设 ( z ) ，止( z ) z 8 叫，则a ( x ) 与五( z ) 互素当且仅当 ( z ) 与厶( z ) 在易是互素的 定理1 1 4 多项式扩一1 在磊上可以分解为r 个两两互素的首基本不可约多 项式的乘积，且不考虑顺序的话，分解是唯一确定的即x n 一1 = ( z ) ，2 ( z ) ( 。) ， 且五( z ) 是易上的两两互素的首不可约多项式，i = l 阿2 一，r 定理1 1 5 设 ( o ) ，五( z ) ，r ( z ) 是环磊上r 个两两互素的多项 式则有( ，z ( z ) ，2 ( z ) ，r ( 。) ) = ( ( z ) ) n ( ，2 ( z ) ) n ( ( z ) ) 引理1 1 6 设 ( z ) ，2 ( z ) ，d ( x ) 是磊m ( z n 一1 ) 上两两互素的多项式， 则在磊【z 】上( ( z ) ) + ( ，2 ( z ) ) + + ( ( z ) ) = ( f i + l ( x ) ( z ) ) i ；1 ，2 ，7 且同样地，在z 8 ( 矿一1 ) 上，( ( z ) + ( 矿一1 ) ) + ( ，2 ( z ) + ( 扩一1 ) ) + + ( ( z ) + ( z n 1 ) ) = ( + 1 ( 名) ( z ) ) = 1 ，2 ， 定理1 1 8 若矿一1 = ( z ) ，2 ( z ) 二( z ) 是矿一1 在磊上的唯一分解式， 福建师范大学黄书虹硕士学位论文 ( z ) ，2 ( z ) ( z ) 是两两互素的首一基本不可约多项式则有t ( i ) e l ( z ) ，e 2 ( z ) ，e r ( 。) 是磊( 矿一1 ) 的两两正交的非零幂等元； ( i i ) l - - e l ( x ) + e 2 ( x ) + + e r ( x ) ； ( i i i ) 磊 z 1 ( z “一1 ) = r l z 1 + r 2 b 】+ + 恩i x l ； ( i v ) 对于任意的i = 1 ，2 ，r ，映射妒是个唯一定义的环同构； ( v ) 尻旧( 护一1 ) 2 磊旧( ( 。) ) + z 8 m ( 厶( z ) ) + + 磊m ( ( z ) ) 第二节，研究环磊上奇数长的循环码的结构，主要得到以下结论， 引理1 2 1 设，( z ) 是环磊的首一基本不可约多项式则( 0 ) ，( 1 + f ( x ) ) ， ( 2 + f ( x ) ) ，( 2 2 + “x ) ) 是磊 z 】( “x ) ) 上所有不同的理想 引理1 2 2 理想( 0 ) ，( 1 + ( z ) ) ，( 2 + f i ( x ) ) ，2 2 + ( z ) ) 在由环同构妒下分 别对应于理想( 0 ) ，( ( x ) + ( 矿一1 ) ) ，( 2 ( z ) + ( 扩一1 ) ) 和( 4 f i ( x ) + ( 扩一1 ) ) ， 即( 0 ) ，( 五( z ) ) ，( 2 ，t ( z ) ) 和( 4 f i ( x ) ) 定理1 2 3 设矿一l = a ( x ) f 2 ( x ) ( z ) 是扩一1 在磊上的唯分解式， ( z ) ，2 ( z ) ( z ) 是两两互素的首一基本不可约多项式，则商环磊( 矿一1 ) 的 理想形如( 2 k l ( z ) ) - - i - ( 2 b ，2 ( z ) ) + + ( 2 k ，r ( z ) ) ，0 七1 ，k 2 ，辟 定理1 2 4 设c 是环磊上奇数长的循环码，则在z 8 吲( 矿- 1 ) 上存在一组两两 互素的首一多项式9 1 ( z ) ，卯( z ) ，夕3 ( z ) ( 某些多项式可能为1 ) ，使得g l ( x ) 9 2 ( x ) 9 3 ( x ) = 护一1 ，且有c = 倚( z ) ，2 疡( 石) ：4 蟊( z ) ) 这里参( z ) = i - i 毋( z ) ，i = 1 ，2 ，3 且i c i = j t 2 d ，d = 3 d e 9 9 1 ( x ) + 2 d e 9 9 2 ( x ) + d e 9 9 3 ( x ) 第三节，研究环磊上奇数长的循环码的对偶码结构 定理1 3 2 设c 是环磊上奇数长的循环码，c = ( 负( z ) ，2 蟊( z ) ，4 蠡 ) ) 这 里g i ( x ) z 8 m ( 护一1 ) 是两两互素的首一多项式g o ( x ) ，夕1 ( z ) ，9 2 ( z ) ，夕3 ( o ) ( 某些多 项式可能为1 ) ，使得9 0 ( z ) 夕1 ( z ) 9 2 ( 。) 9 3 ( z ) = 矿一1 ，蠡( 。) = 兀乃( z ) ，i = 1 ，2 ，3 则 如“ g 上= ( k ( z ) ，2 h 3 ( x ) ，4 h 2 ( x ) ) i c 上i = 2 f ，= d e 9 9 2 ( x ) + 2 d e 9 9 3 ( x ) + 3 d e g g o ( z ) 其 中h o ( x ) = 贪( z ) ，h 3 ( x ) = 贪( z ) ，h 2 ( z ) = 贪( z ) 第二章，给出了环磊上2 。长循环码的结构 第一节，给出了一些相关性质 引理2 1 1r 是一个局部环，它的唯一极大理想为m = ( 2 ，z 一1 ) 引理2 1 2 若r 是个局部环，且有极大理想m ，如果m = ( a ) = ( a l ，口2 ，) ， 则存在某个i ( 1 i t ) 使得m = ( 毗) i v 中文文摘 定理2 1 3r 不是主理想整环 第二节，给出了环z 8 上2 。长循环码的结构 定理2 2 1 设c 为磊上n = 2 。长的循环码则如下命题之一成立： ( 1 ) c = ，其中，( z ) r ，且，( z ) 是首一多项式，( z ) = ( z ) + 2 厶( z ) + 4 f 3 ( z ) ， z 2 z l ( z “一1 ) ， ( o ) i ( z “一1 ) ，( t = l ，2 ，3 ) ； ( 2 ) c = ，其中q ( x ) r ，且q ( x ) 是首一多项式，q ( x ) = q l ( x ) + 2 9 2 ( z ) ，q i ( x ) z 2 z 】 ，q l ( x ) i ( z n 1 ) ， = l ，2 ； ( 3 ) c = ，其中 ( z ) r ，且，l ( z ) 是首一多项式，危( z ) z 2 ， ( z ) l ( z n 1 ) ； ( 4 ) c = ，其中g ( z ) ， ( z ) 形式同( 2 ) ( 3 ) ； ( 5 ) c = 或c = 或c - - _ - ， 其中，( z ) ，g ( z ) ，h ( z ) 形式同( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 推论2 2 2 设c 为易上n = 2 。长的循环码则c = 其中1 ) ，( z ) = ( z ) + 2 1 2 ( z ) + 4 f z ( x ) ， z 2 z 】z ”一1 ) ，( t = 1 ，2 ，3 ) ， ( z ) l ( 矿一1 ) ； 2 ) 其中q ( x ) r ；，且q ( z ) 是首一多项式，口( z ) = 9 1 ( z ) + 2 9 2 ( z ) ，承( z ) z 2 z 】 ，q l ( x ) i ( 。“一1 ) ，t = 1 ，2 ； 3 ) 其中 ( z ) 冗n ，且危( z ) 是首一多项式，h ( x ) z 2 n ， 九( z ) i ( 护一1 ) ； 4 ) ( z ) iq l ( x ) ，q l ( x ) if l ( x ) 所以j f l ( z ) = + 1 ) h ，q l ( x ) = ( x + 1 ) 蛔， 九( z ) = ( z + 1 ) 幻，k 3 k 2 h ； 5 ) f 2 ( x ) ， ( z ) ，钇( z ) 都可以写成形如劬+ a 1 ( 。+ 1 ) + a 2 ( z + 1 ) 2 + + a d ( x + 1 ) d 口= 0 或1 t = 1 ，2 ，d 。 第三章，给出本文的主要结论 v 福建师范大学黄书虹硕士学位论文 a b s t r a c t c y c l i cc o d e sa r eo n eo ft h em o s ti m p o r t a n tc l a s so fl i n e a rc o d e s t h e yh a v e s t r i c ta l g e b r as t r u c t u r e ，w h o s ec h a r a c t e ri se 8 5 秽t oa n a l y z e ；t h e ya l s oh a v ec y c l i c c h a r a c t e r ，s u c ht h a te n c o d i n ga n dd e c o d i n ga r ee a s yt or e a l i z e ，a n dh a v ea t t r a c t e d m a n ys c h o l a r s a t t e n t i o n i n1 9 5 7 ，p r a n g ef i r s tb e g a nt os t u d yc y c l i cc o d e so v e rf i e l d g f ( q ) ，a n dt h e nt h es t u d yo fc y c l i cc o d e so v e rf i e l dg f ( q ) m a d eg r e a tp r o g r e s sb o t h o nt h e o r ya n do np r a c t i c e r e c e n t l y , t h es t u d yo fc y c l i cc o d e sw a se x t e n d e df r o m o v e raf i e l dt oo v e rar i n g s of a r ，b e c a u s eo ft h ec o m p l e xc h a r a c t e ro fr i n g ，t h ek n o w n r e s u l t so fc y c l i cc o d e so v e rr i n g sa r el i m i t e d t h i sp a p e rf o c u s e so nt h ec y c l i cc o d e so v e rr i n g 磊 t h i sp a p e rc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i np r e f a c e ，w eg i v e sn e c e s s a r yn o t a t i o n s a n das u r v e yo fc y c l i cc o d e so v e rr i n g s i nc h a p t e r1 ，w ep r e s e n tt h ec h a r a c t e ro f g a l o i sr i n g ( e s p e c i a l l yr i n gz 8 ) a n ds o m en e c e s s a r yk n o w l e d g e ，t h e nw ed i s c u s st h e s t r u c t u r eo ft h ec y c l i cc o d e so fo d dl e n g t ho v e rr i n g 磊，a n dw ea l s od i s c u s st h e d u a lc o d e so fc y c l i cc o d e so fo d dl e n g t ho v e rr i n g 磊，i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s st h e s t r u c t u r eo ft h ec y c l i cc o d e so fl e n g t h2 。o v e rr i n g 历i nc h a p t e r3 ，w ep r e s e n ta l l t h ei m p o r t a n tc o n c l u s i o no ft h ep a p e r k e y w o r d s ：r i n g 磊；c y c l i cc o d e s ；i d e a l ；g e n e r a t o r i i 福建师范大学黄书虹硕士学位论文 福建师范大学硕士学位论文独创性和使用授权 声明尸叫 本人( 姓名) 黄书虹，学号2 q q 鱼q 鱼z ! ，专业应用数学所呈交 的论文( 论文题目：环历上的循环码) 是本人在导师指导下，独立进 行的研究工作及取得的研究成果尽我所知，除论文中已特别标明引用 和致谢的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过 的研究成果对本论文的研究工作做出贡献的个人或集体，均已在论文 中作了明确说明并表示谢意，由此产生的一切法律结果均由本人承担 本人完全了解福建师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：福 建师范大学有权保留学位论文( 含纸质版和电子版) ，并允许论文被查阅 和借阅；本人授权福建师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文，并按国家有关 规定，向有关部门或机构( 如国家图书馆、中国科学技术信息研究所等) 送交学位论文( 含纸质版和电子版) ( 保密的学位论文在解密后亦遵守本声明) 学位论文作者签名芸第夕2 ， 签字嗍叼年月日 _ 一7 指导教师签名：同撒 捌叩年妇矿日 绪论 绪论 0 1 研究背景 研究信息传输过程中信号编码规律的数学理论编码理论与信息论、数理统计、 概率论、随机过程、线性代数、近世代数、数论、有限几何和组合分析等学科有密切 关系，已成为应用数学的个分支编码是指为了达到某种目的而对信号进行的一 种变换其逆变换称为译码或解码根据编码的目的不同，编码理论有三个分支- 信源编码对信源输出的信号进行变换，包括连续信号的离散化，即将模拟信号通 过采样和量化变成数字信号，以及对数据进行压缩，提高数字信号传输的有效性而 进行的编码信道编码对信源编码器输出的信号进行再变换，包括区分通路、适 应信道条件和提高通信可靠性而进行的编码【1 1 保密编码对信道编码器输出的信 号进行再变换，即为了使信息在传输过程中不易被人窃取而进行的编码编码理论 在数字化遥测遥控系统、电气通信、数字通信、图像通信、卫星通信、深空通信、 计算技术、数据处理，图像处理、自动控制、人工智能和模式识别等方面都有广泛 的应用【2 】 在信源编码方面，1 9 5 1 年香农证明，当信源输出有冗余的消息时可通过编码改 变信源的输出，使信息传输速率接近信道容量1 9 4 8 年香农就提出能使信源与信道 匹配的香农编码 1 9 4 9 年美国麻省理工学院的r m 费诺提出费诺编码1 9 5 1 年 美国电信工程师d a 霍夫曼提出更有效的霍夫曼编码此后又出现了传真编码、 图像编码和话音编码，对数据压缩进行了深入的研究，解决了数字通信中提出的许 1 福建师范大学黄书虹硕士学位论文 多实际问题 信道编码的主要任务是为了区分通路和增加通信的可靠性以区分通路为主要 目的的编码常采用正交码以增加通信可靠性为主要目的的编码常采用纠错码正 交码也具有很强的抗干扰能力在信道编码中也采用检错码【3 】 在纠错编码方面， 1 9 4 8 年香农就提出一位纠错码( 码字长= 7 ，信息码元数 = 4 ) 1 9 4 9 年出现三位纠错的格雷码( 码字长= 2 3 ，信息码元数= 1 2 ) 1 9 5 0 年美国数 学家r w 汉明发表论文检错码和纠错码，提出著名的汉明码，对纠错编码产 生了重要的影响1 9 5 5 年出现卷积码卷积码至今仍有很广泛的应用1 9 5 7 年引入 循环码，循环码构造简单，便于应用代数理论进行设计，也容易实现1 9 5 9 年出现 能纠正突发错误的哈格伯尔格码和费尔码1 9 5 9 年美国的r c 博斯和d k 雷 乔达利与法国的a 奥昆冈几乎同时独立地发表一种著名的循环码，后来称为b c h 码( 即b o s e c h a u d h u r i h o c q u e n g h e m 码) 【4 1 1 9 6 5 年提出序贯译码序贯译码已用于 空间通信1 9 6 7 年a j 维特比提出最大似然卷积译码，称为维特比译码1 9 7 8 年出 现矢量编码法矢量编码法是一种高效率的编码技术1 9 8 0 年用数论方法实现里 德一所罗门码( r e e d s o l o m o n 码) ，简称r s 码它实际上是多进制的b c h 码 这种纠错编码技术能使编码器集成电路的元件数减少个数量级它已在卫星通信 中得到了广泛的应用r s 码和卷积码结合而构造的级连码，可用于深空通信【5 】 其中，循环码是一类很重要的线性码它具有严谨的代数结构，其性能易于分 析；它还具有循环特性，编码译码易于实现，很容易用带反馈的移位寄存器实现其 硬件正是由于循环码具有码的代数结构清晰、性能较好、编译码简单和易于实现 的特点，因此在目前的计算机纠错系统中所使用的线性分组码几乎都是循环码它 2 绪论 不仅可以用于纠正独立的随机错误，而且也可以用于纠正突发错误因此循环码的 研究很受关注 6 1 1 9 5 7 年普朗格( p r a n g e ) 首先开始在域g f ( q ) 上研究循环码， 此后人们对域g f ( q ) 上循环码的研究在理论和实践上都取得了很大的进展与此 同时，循环码的研究被扩展到巧上，但由于环的结构比较复杂，环上循环码的研究 结果还是相当有限 o 2 基本概念和符号 本节给出编码的一些基本概念和符号 以下总记口元域c f ( q ) 为日，磊代表模礼剩余类环 有限域b 上的n 维线性向量空间碍的每个非空子集c 都叫作个g 元纠错 码c 中的向量c = ( c 1 ，c 2 ，c ，1 ) 叫作码字，n 叫作该码的码长；k = g l 叫作 码字的个数；k = l o g 乒叫作信息位；k n 叫作码c 的传输效率通常地，记码c 为( 几，七) - 码当c 为马上的线性子空间时，称码c 为线性码也就是说，曰的 子集c 叫作q 元线陛码，是指如果任意c ，c c 。尼，k 日，则有k c + k d c 更特殊地，g 元线性码c 称为循环码，是指如果任意c = ( c o ，c 1 ，c t i 一1 ) g ， 则它的循环移位c ，= ( c r 一1 ，c o ，c n 一2 ) c ，即码字c 的任意循环移位得到的向 量仍然属于c m 我们把码字c = ( c o ，c 1 ，c ，l 一1 ) 写成多项式的形式，并将它看成是商环 r = 日( 矿一1 ) 中的元素c ( z ) = c o - t - c i x + c n l z 舻1 可以得到以下的 对应关系t 曰一日 。】( 矿一1 ) 3 福建师范大学黄书虹硕士学位论文 ( c o ，c l ，c ，l 一1 ) h c 0 + c l z + + c ，i 一1 x , 俨1 ， 从而， z c ( x ) = c o x + c l x 2 + + c n 一2 x n 一1 + c n 一1 x n = c n l + c o x + c l x 2 + + c n 一2 x 卅1 对应于向量c = ( c ，l 一1 ，c o ，c 俨2 ) 因此c 是循环码当且仅当：c ( x ) c 辛x c ( z ) c 由线性空间的性质得到，对于每个多项式n ( z ) ，都有a ( x ) c ( x ) c 所以，有这样的结论： c 是q 元循环码当且仅当c 为商环r 的个理想 s 1 这对 于循环码的研究极为重要 环b 【。】为主理想整环，因此商环r = 日( 扩- 1 ) 也是主理想整环，且r 的每 个理想对应于f q 中包含( t , n - 1 ) 的主理想( 9 ( z ) ) ，即夕( z ) i 矿一1 所以日上码长为 凡的循环码c 都可以表示成主理想即c = ( 夕( 。) ) = 口( z ) g ( z ) r ：a ( x ) r 】- ，其 中g ( t ) 为吲t 】中的首一多项式，且夕( z ) i 矿一l ，此时夕( 。) 由c 所唯一决定，叫作 循环码c 的生成多项式令d e g g ( x ) = n 一七( o k 佗) ，其中矿一1 = 夕( z ) 九( z ) ， 则 ( z ) 为列z 】中k 次首一多项式，叫作循环码c 的校验多项式1 9 1 研究域日上的线性码或者循环码时，一般地，假设码长礼与q 互素，即( n ，q ) = 1 ，这时日h 上的多项式矿一1 没有重根，( 由于它的导数为n z 俨1 ，在塌中， n 0 ，于是( 凡z 铲1 ，矿一1 ) = 1 ) 所以矿一1 在日中可以分解成有限个两两不同 的不可约首一多项式的乘积，矿一1 = i p l ( z ) p t ( z ) 矿一1 的首一多项式因子g ( x ) 共有2 2 个选择，所以日上码长为n 的g 元循环码共有2 2 个由此，我们有这样 的结论：要研究域日的循环码问题就转化为研究矿一1 在日的分解问题 设c = ( c o ，c 1 ，c n 一1 ) ，d = ( d o ，d l ，厶一1 ) 为c 中的两个码字，它们的 内积定义为：c d = c o d o + c l d l + + 岛一l 厶一1 4 若c d = 0 ，称c 和d 正交码c 的对偶码c 上定义为tc 上= c 冗ic d = 0 ，v d c 】- 显然循环码c 的对偶码d 上也是- t - , l l 舌环码 若c c 上，则称c 是自正交码；若c = c 上，则称c 是自偶码 9 1 以上的码都是定义在有限域上的，我们现在把码的定义推广到环上设r 是一 个有单位元l 的交换环 性质0 2 1 口哪设r 是一个有单位元1 的交换环，且冗= r + 忌+ + 忌 则有以下的结论t n i 对于任意的t ，如果五是环r 的一个理想，则 + 如 4 - + l 是r 的 一个理想 俐对于环兄的任意一个理想i ，如果厶= j nr ，则五是每个忍的理想， 且i = + 如+ + 厶 定义0 2 1 l o 设r 是一个环，舻关于加法和乘法运算构成r 模，则称月， 中的加法子模c 为r 上的n 长线性码 有了线性码的定义，类似地，我们可以定义环上的循环码 同样地，如果把码字c = ( c o ，c i ，c ，i 一1 ) 看成是商环n z l ( x n 一1 ) 中的元 素，则有如下的对应关系： 舻一r x l ( x ”一1 ) ( c 0 ，c 1 ，c n 一1 ) hc 0 - i - c 1 x + + 一1 z n 一1 则c 是循环码当且仅当c 为环r z ( x n 一1 ) 的个理想 5 福建师范大学黄书虹硕士学位论文 下文中，在不致于混淆的情况下，把循环码c 和其相应的环兄 z 】( 矿一1 ) 的 个理想同一看待 环上线性码的研究已经越来越多的备受关注，本文主要考虑环磊上的码的情 况，以下是环磊上的一些定义z 8 = o ，l ，7 】- 环磊的可逆元仳满足( t ，8 ) = 1 定义映射： 一一磊易【。】 0 ，2 ，4 ，6h 0 1 ，3 ，5 ，7 h1 例：，( z ) = 5 2 5 + 3 x 4 + 4 2 3 + 2 2 2 + 。+ 7 磊【叫，贝4 ，( z ) = 。5 + z 4 + z + 1 易 卅 定义0 2 2 ，j 町，( z ) 磊h 是基本不可约的多项式，如果，( z ) 邑【卅是不 可约多项式 定义0 2 3 ，j 1 ，环r 是一个交换环，m 是它的理想，如果a b m ，有a m 或者j 几z + ，使得扩m ，称m 为r 的准素理想 ，( z ) 是准素多项式，如果( ，( z ) ) 是准素理想 定义o 2 4 ，j 刃环r 称为局部环，如果月有唯一极大理想 定义0 2 5 ，j 卫，如果f ( x ) = 矿+ a n l 矿一1 + + a l x + a o 日，a o 0 ， 则，( z ) 的逆反多项式定义为- 6 绪论 f - 1 ( 正) = 兰，( z _ 1 ) 特别的，当q = 2 时，- 1 ( z ) = 矿+ 口l z 扣1 + + 一l x + 1 u 0 相当于，改变，( z ) 的系数顺序可以得到f - 1 ( 。) 0 3 综述相关研究成果 下： 以下综述一些与本文相关的环上循环码的已经结果： 1 9 9 6 年，v p l e a s 和z q i a n 1 3 】研究了环z 4 上奇数长的循环码，得到结论如 设c 是历上奇数n 长的循环码，则存在唯一的首一多项式，( z ) ，夕( z ) ， ( z ) ， 使得c = ( ，( z ) 夕( z ) ，2 9 ( z ) h ( x ) ) ，其中矿一1 = ，( z ) 夕( 。) 九( z ) ，并且i c i = 4 d e g g ( z ) 2 扎曲( 引特别地，当 ( z ) = 1 时， c = ( ，( z ) ) ，且i c i = 铲一d e g f ( x ) ； 当g ( x ) = l 时，c = ( 2 f ( x ) ) ，且i c i = 2 - d e g , t ( 引 1 9 9 8 年，a b o n n e c a s e 和p u d a y a 1 4 】研究了环b + 牡兄上奇数长的循环码， 得到结论如下： 设c 是环恳+ u f 2 上奇数长的循环码，则存在唯一的首一多项式，( z ) ，9 ( z ) ，九( z ) ， 使得c 一( ( z ) g ( j ) ，u g ( 。) ，。( 。) ) ，中矿- 1 = f ( w ) g ( x ) h ( z ) ，并且i c i = 4 d e g g ( t ) 2 d e 9 6 ( “ 特别地，当h ( x ) = 1 时，c = ( ，( 。) ) ，且i c i = 4 n - d q f ( z ) ；当g ( x ) = 1 时， c = ( u ，( z ) ) ，且l c f = 2 n - d e g f ( 引 2 0 0 3 年，t b l a z 2 f o r d 1 5 j 研究了环五上单偶长的循环码，得到结论如下， 设n 为奇数，i 是环五( 。2 n 1 ) 上的个理想，则i 形式如下： ( 0 1 ( z 2a 2 ( z 2 ) 口3 ( z 2 ) 5 ( z ) c ( z ) ，2 a 1 ( z 2 ) 劬( 。) 6 ( z ) ) ， 7 福建师范大学黄书虹硕士学位论文 其中z n 一1 = 口1 ( z ) 口2 ( z ) 口3 ( z ) 6 ( z ) c ( z ) d ( z ) ，a s ( x ) ，口2 ( z ) ，a 3 ( x ) ，6 ( 。) ，c ( z ) ，d ( x ) 是五中两两互素的首一多项式，占( z ) 也是首一多项式，且否( z ) 三b ( x ) ( m o d 2 2 4 x ) 2 0 0 3 年，t a b u a l r u b 和r o e h m k e 1 6 ，1 7 】研究了环五上2 e 长的循环码，得 到结论如下t 设n = 2 。，e 为正整数，i 是五( 扩一1 ) 的个理想，则： ( 1 ) i = ( 2 ( z 一1 ) ) ； ( 2 ) i = ( ( 石+ 1 ) 5 + 2 ( z + 1 ) 。九( z ) ) ； ( 3 ) i = ( ( z + 1 ) 5 + 2 ( x + 1 ) 2 ( z ) ，2 ( z 一1 ) 7 ) 除了四元环上的循环码，人们还对其他环上的循环码感兴趣如1 9 9 9 年，万 哲先 18 1 研究了g a l o i s 环上的循环码，得到结论如下。 设r 是个g a l o i s 环上，记作g r ( p s , p 肌) ，0 ，n ) = 1 ( 1 ) 环r x 1 假设i 一1 的情况成立，即( f l ( x ) ) + ( 五( z ) ) + + ( 正。( z ) ) = ( 五( z ) j c r ( z ) ) 显然( 五( z ) ) + ( 五( z ) ) + + ( 正。扛) ) ( ( z ) ，r ( z ) ) 由于 ( z ) 厶( z ) 一- ( z ) 与五( z ) 是互素的，则存在口( z ) ，b ( x ) 磊h ， 使得o ( z ) 五( z ) + b ( x ) a ( x ) f 2 ( x ) 五一l ( x ) = 1 两边乘以 + ( z ) d ( x ) 得， 口( z ) ，t ( z ) 五+ 。( z ) ( z ) + 6 ( z ) 五( z ) = + t ( z ) 二( z ) 因此( ，t + t ( z ) ( z ) ) ( ，t ( z ) ( z ) ) + ( 五( z ) ) ，由归纳假设( 五( z ) ) + ( 五( z ) ) + + ( 正- ( z ) ) = ( ( z ) 矗( z ) ) 得，( 五+ 。( 。) ( 。) ) ( 五( z ) ) + ( 五( 。) ) + + ( s ；- 。 ) ) + ( 五( z ) ) 因此( 五( z ) ) + ( 五( z ) ) + + ( 五( z ) ) = ( 五+ 。( z ) ( z ) ) 证毕 推论1 1 7 设矿一1 = ，l ( z ) 五( z ) 二( z ) 是矿一1 在磊上的唯一分解式， ( z ) 丘( z ) ( z ) 是两两互素的首一基本不可约多项式，则有在磊( 扩- i ) 上， ( 五( z ) + ( z n 1 ) ) + ( 左( 。) + ( z n 一1 ) ) + + ( 五( z ) + x - 一1 ) ) = ( 五+ 。( z ) ，r ( z ) + 1 3 福建师范大学黄书虹硕士学位论文 ( 矿一1 ) ) ，即有( 五( z ) ) + ( 五( z ) ) + + ( 五( z ) ) = ( + 1 0 ) ( z ) ) 对于任意 证明：由引理1 1 6 可以直接得到结论证毕 前面提到， ( z ) 与 ( z ) 是两两互素的，则存在钆( z ) ，c ( z ) 磊，使得 6 t ( z ) 五( z ) + q ( z ) ( z ) = 1 令e t ( 。) = 机( z ) 五( z ) + ( z n 一1 ) ，设足【。】= 五( z ) + ( 铲一1 ) ，i = 1 ，2 ，r 建立映射， 历 卅( 五 ) ) + 兄f 司 9 ( z ) + ( ( z ) ) 卜( 9 ( x ) + ( z ”一1 ) ) e t ( z ) 定理1 1 - 8 若矿一1 = ，1 ( z ) 如( z ) ，r ( z ) 是矿一1 在磊上的唯一分解式， ( z ) 如( z ) ( 。) 是两两互素的首一基本不可约多项式则有t 例e 1 ( z ) ，e 2 ( z ) ，e r 0 ) 是磊( 矿一1 ) 的两两正交的非零幂等元； 一砂j = e l ( z ) + e 2 ( x ) + + e r ( z ) i i 砂z b 【z 】( z n 1 ) = r 1 x + 尼【司+ - b 尼【z 】； 一训对于任意的 = 1 ，2 ，r ，映射妒是一个唯一定义的环同构； 厅磊f 叫( 霄n 一1 ) 型磊 叫( ) ) + 磊k 】( ，2 ( z ) ) + + 磊陋】( ( z ) ) 证明：( i ) 先证非零假设岛( z ) = o ，i 1 ，2 ，r ) ，则魄( z ) 五( z ) ( 矿一1 ) ， 故玩( z ) ( ) ( ( z ) ) ，矛盾所以龟( z ) 0 ，对每个t = 1 ，2 ，7 对于每个i ，有玩( z ) 五( z ) ( 乃( z )