（应用数学专业论文）粗糙集代数中群、环粗糙性质的研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 粗糙集理论不但是一种新型的处理模糊和不确定知识的数学工具，而且是 一个不完备信息的新颖、有效的软计算方法，目前已在机器学习、知识发现、 决策分析、人工智能、数据挖掘、模式识别、故障检测等方面得到了广泛的应 用。同时，纯粹的数学理论与粗糙集理论结合起来进行研究已有文章出现，并 不断有新的数学概念出现。k u r o k in 研究了半群中的粗理想，首次提出了粗子 半群和粗理想的概念，证明了在同余关系下，半群的粗糙集是半群，左( 右，双) 理想的粗糙集是左( 右，双) 理想。接着，他又研究了群中的粗糙集，首次提出了 粗子群和粗正规子群的概念，证明了在群中一固定正规子群所决定的同余关系 下，子群的粗糙集是子群，正规子群的粗糙集是正规子群。当然，随着粗糙结 构与代数结构、拓扑结构、序结构等各种结构的不断整合，必将不断涌现出新 的富有生机的数学分支。本文继续将粗糙集理论与代数系统群、环理论结 合起来进行研究，以此建立比较完善的粗糙代数系统。具体如下： 本文共分七章：第一章是绪论，简单介绍了粗糙集理论：第二章是预备知识， 给出了阅读本文须了解的有关粗糙集的知识；第三章是基于正规子群的群的粗 糙，继续探讨了一个群的子集关于正规子群的粗糙近似子群。同时，给出了粗 可换子群的概念与性质。最后，在商群中讨论了粗糙集的一些性质，并给出这 些结论的严格证明；第四章是基于理想的环的粗糙，对一个环的子集关于理想 的粗糙近似子环作了探讨，并研究了一个环的上、下近似的性质。同时，在商 环中讨论了粗糙集的一些性质，并给出这些结论的严格证明；第五章是半群中 的粗准素理想和粗模糊准素理想，首次提出了半群中的粗准素理想与粗模糊准 素理想的概念，证明了在完备同余关系下，半群中准素理想的粗糙集是准素理 想利用截集意义下，截集的粗糙集与粗糙集截集的关系，证明了在完备同余关 系下半群中的模糊准素理想的粗糙集是模糊准素理想；第六章是环中粗准素理 想和粗模糊准素理想，将半群中的相应结果推广到环中；第七章是半环中的粗 模糊子半环，首先，给出上( 下) 粗模糊子半环及上( 下) 粗模糊理想等概念，并研 究了它们的性质。随后，证明了上粗模糊子半环与上粗模糊理想是通常的模糊 子半环与模糊理想概念的扩张。 关键词：粗糙集，粗子群，粗子环，粗准素理想，粗模糊子半环 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 a bs t r a c t r o u g hs e tt h e o r yi sn o to n l yan e wm a t h e m a t i c a lt o o ld e a l i n gw i t hv a g u e n e s s a n du n c e r t a i n t yb u ta l s oan e wa n de f f e c t i v es o f tc o m p u t i n gm e t h o d i tw a sb e e n w i d e l yu s e di n t h ea r e ao fm a c h i n el e a r n i n g ，k n o w l e d g ed i s c o v e r yrd e c i s i o n a n a l y s i s ，a r t i f i c i a li n t e l l i g e n c e ，d a t am i n i n g ，p a t t e r nr e c o g n i t i o n ，f a u l td i a g n o s i s ，e t c a tt h es a m et i m e ，s o m ea r t i c l e st h a th a v eb e e ns t u d i e da b o u tt h et h e o r yc o m b i n e d p u r em a t h e m a t i c sw i t hr o u g hs e t sh a v eb e e ne m e r g e d ，a n ds o m en e wm a t h e m a t i c a l n o t i o n s r o u g hi d e a l sb e e nf i r s ti n t r o d u c e db yk u r o k in u n d e rt h ec o n d i t i o no f t h e c o n g r u e n c er e l a t i o n ，ar o u g h s e to fa s u b s e m i g r o u pw a sp r o v e d t ob ei t s s u b s e m i g r o u p ，w h i l et h a to fal e r ( r i g h t ，b i s i d e s ) i d e a lw a sa l s op r o v e dt ob ei t s l e f t ( r i g h t ，b i s i d e s ) i d e a l n e x t ，r o u g hs e t s i nag r o u ph a v eb e e ns t u d i e da n dt h e c o n c e p t so fr o u g hs u b g r o u p s ，r o u g hn o r m a ls u b g r o u p sb e e nf i r s ti n t r o d u c e d u n d e r t h ec o n d i t i o no ft h ec o n g r u e n c er e l a t i o nd e t e r m i n e db yag i v e nn o r m a ls u b g r o u pi na g r o u p ，r o u g hs e t so fas u b g r o u pw a sp r o v e dt ob ei t ss u b g r o u p ，w h i l et h a to fan o r m a l o n ew a sa l s op r o v e dt ob ei t sn o r m a ls u b g r o u p c e r t a i n l y , w i t ht h ei n t e g r a t i o no f r o u g hs t r u c t u r ea n da l g e b r as t r u c t u r e ，t o p o l o g ys t r u c t u r e ，o r d e rs t r u c t u r ea n dt h e o t h e rs t r u c t u r e s ，s o m en e wv i t a lm a t h e m a t i c a lb r a n c h e sw i l lb ee m e r g e d t h i sa r t i c l e c o n t i n u e st os t u d yt h ea p p l i c a t i o no fr o u g hs e tt h e o r yr o u g ha n da l g e b r as y s t e m g r o u p ，t i n g s t oc o m b i n er e s e a r c h s ot h a tr o u g ha l g e b r as y s t e mi sb u i l tb e r e r p e r f e c t l y t h eg e n e r a lp r o c e s sa sf o l l o w s ： t h e r eh a v es e v e nc h a p t e r si nt h i sp a p e r t h ef i r s tc h a p t e ri si n t r o d u c t i o n ，t h e t h e o r yo fr o u g hs e t t h es e c o n dc h a p t e ri sp r e p a r a t i o n ，t h ek n o w l e d g ea b o u tr o u g h s e tt h a tw em u s tk n o wb e f o r er e a dt h i sp a p e ri sg i v e n t h et h i r dc h a r t e ri st h e r o u g h n e s so fg r o u pb a s e do nn o r m a ls u b g r o u p ，ar o u g hs u b g r o u pw i t hr e s p e c tt oa n o r m a ls u b g r o u po fag r o u pi sc o n t i n u e dd i s c u s s e d a tt h es a m et i m e ，t h ec o n c e p t a n dp r o p e r t i e so fr o u g hs u b g r o u pa r eg i v e n f i n a l l y , s o m ep r o p e r t i e so fr o u g hs e ti n q u o t i e n tg r o u pa r eg i v e na n dp r o v e d 。t h ef o u r t hc h a p t e ri st h er o u g h n e s so fr i n g b a s e do ni d e a l ，ar o u g hs u b r i n gw i t hr e s p e c tt oai d e a lo far i n gi sd i s c u s s e d , a n d s o m ep r o p e r t i e so ft h el o w e ra n dt h eu p p e ra p p r o x i m a t i o n si nar i n ga r es t u d i e d a t t h es a m et i m e ，s o m ep r o p e r t i e so fr o u g hs e ti nq u o t i e n tr i n ga r eg i v e na n dp r o v e d t h ef i f t hc h a p t e ri sr o u g hp r i m a r yi d e a l sa n dr o u g hf u z z yp r i m a r yi d e a l si n s e m i g r o u p s ，t h ec o n c e p to fr o u g hp r i m a r yi d e a l sa n df u z z yr o u g hp r i m a r yi d e a l si n 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i l 页 s e m i g r o u p sa r ei n t r o d u c e d u n d e rt h ec o n d i t i o no ft h ec o m p l e t ec o n g r u e n c er e l a t i o n ar o u g hs e to fap r i m a r yl d e a li ns e r m g r o u p si sp r o v e dt ob ei t sp r i m a r yi d e a l i n 也e s e n s eo fc u t s e t 廿l er e l a t i o nb e t w e e nt h er o u g hs e to fac u t s e ta n dt h ec u t s e to fa r o u g hs e t ，af u z z yr o u g hs e to faf u z z yp r i m a r yi d e a li nas e m i g r o u pi sp r o v e dt ob e i t sf u z z yp r i m a r yi d e a l t h es i x e dc h a p t e ri sr o u g h p r i m a r yi d e a l sa n dr o u g hf u z z y p n n 诅r yi d e a l si nr i n g s ，t h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so fas e m i g r o u pa r eg e n e r a l i z e di na r m g t h el a s tc h a p t e ri sr o u g h - f u z z ys u b s e m i r i n g si ns e m i r i n g s ，f i r s t ，t h el o w e ra n d u p p e rr o u g h 。f u z z ys e m a r m g st o g e t h e rw i t ht h e1 e f ta n dt h er i g h ti d e a la r ed e f i n e d t h e nt h ep r o p e r t i e so ft h e s em a t h e m a t i c a ls t r u c t u r e sa r er e s e a r c h e d w ep r o v et h a t m e u p p e rr o u g h 。f u z z ys e m i r i n g sa n dt h e l e f t ( r i g h t ，t w o - s i d e ) i d e a la r e t h e g e n e m l 也a t i o no fc o r r e s p o n d i n gn o t i o n sd e f i n e do nt h ef u z z ys e m i r i n g s k e yw o r d s ：r o u g hs e t ；r o u g hs u b g r o u p ；r o u g hs u b r i n g ；r o u g hp r i m a r yi d e a l s ； r o u g h f u z z ys u b s e m i r i n g s 西南交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作襞完垒了解学授有关傈嫠、使用学馑论文麴规定，瓣意学 校保窬并向国家有关部门或机构送交论文的复印件耜电予版，充许论文被查 阅和借阅。本人授权嚣南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采熙影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学使 论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密匝，适用本授权书。 学位论文作者签名：声翮乌 指导教师签名： 日期：加7 年f 脱圜 豳期纠 西南交通大学曲南父迥大罕 学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研究工作所 得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 己经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中作了明确的说明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本学位论文的主要创新点如下： 1 本文第三章第三节在商群中讨论了粗糙集的一些性质，并给出这些结论 的严格证明； 2 本文第四章第三节在商环中讨论了粗糙集的一些性质，其具有与商半群 中粗糙集同样的性质，并给出这些结论的严格证明； 3 本文第五章第一节首次提出了半群中粗准素理想的概念，证明了在完备 同余关系下，半群中准素理想的粗糙集是准素理想： 4 本文第五章第二节首次提出了半群中粗模糊准素理想的概念，利用截集 意义下，截集的粗糙集与粗糙集截集的关系，证明了在完备同余关系下半群中 的模糊准素理想的粗糙集是模糊准素理想； 5 本文第六章第一节首次提出了环中粗准素理想的概念，证明了基于理想 的环的粗糙基础上，环中准素理想的粗糙集是准素理想； 6 本文第六章第二节首次提出了环中粗模糊准素理想的概念，利用截集意 义下，截集的粗糙集与粗糙集截集的关系，证明了在完备同余关系下环中的模 糊准素理想的粗糙集是模糊准素理想； 7 本文第七章给出上( 下) 粗模糊子半环及上( 下) 粗模糊理想等概念，提出 并证明了上粗模糊子半环与上粗模糊理想是通常的模糊子半环与模糊理想概念 的扩张。 学位论文作者签名：夕羽乌 日期：钿7 年5 月么日 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第1 章绪论 本章将介绍本文的写作背景并简要介绍本文的主要研究工作。 1 1 粗糙集理论概述 粗糙集作为一种处理不精确、不确定与不完全数据的新的数学理论，最初 是由波兰数学家z p a w l a k 于1 9 8 2 年提出的【l j 。由于最初关于粗糙集理论的研 究大部分是用波兰语发表的，因此当时没有引起国际学术界的重视，研究地域 也仅局限在东欧一些国家，直到2 0 世纪8 0 年代末才逐渐引起各国学者的注意。 近几年来，由于它在机器学习与知识发现【2 捌、数据挖掘 4 ，5 1 、决策支持与分析 6 3 , 8 】 等方面的广泛应用，研究逐渐趋热。1 9 9 2 年，第一届关于粗糙集理论国际学术 会议在波兰召开；2 0 0 1 年5 月在重庆召开了中国第一届r o u g h 集与软计算学术 研讨会。1 9 9 5 年，a c mc o m m u n i z a t i o n 将其列为新浮现的计算机科学的研究课 题：1 9 9 8 年，国际信息科学杂志( i n f o r m a t i o ns c i e n c e s ) 还为粗糙集理论的研究 出了一期专辑这些表明了粗糙集理论与应用的研究有着广泛的发展前景。 粗糙集理论自问世以来，无论是在理论或应用上都是一种新的最重要的并 且是迅速发展的一门既有理论又有应用的研究领域。对于人工智能和认知科学 也是十分重要的，尤其是在机器学习、知识获取、决策分析、数据库的知识发 现、专家系统、归纳推理、矛盾归结、模式识别、决策支持系统、模糊控制及 其它各个方面的应用，粗糙集理论都为之提供了一种很有效的新的数学方法。 同时，粗糙集理论处理的问题主要包括数据库中的数据约简、数据相关性的发 现、数据意义的评估、由数据产生决策控制算法、数据的近似分类、数据中的 相似性或差异性的发现、数据中范式的分析以及因果关系的发现。特别的，粗 糙集方法在医学、药学、银行、商业、金融、市场研究、工程设计、气象学、 振动分析、开关函数、冲突分析、图象处理、声音识别、并发系统分析、决策 分析、字符识别及其他领域都有重要的应用，粗糙集方法在数据挖掘和软计算， 特别是处理大型数据库和复杂问题等方面也起到了重要的作用。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 1 2 粗糙集理论的研究现状 粗糙集理论的研究由于其历史较短，所以至今为止，对粗糙集的概念的定 义还没有完全统一，目前研究者从不同的角度来定义：一种就是原始的p a w l a k j 意义下的，也有由上、下近似构成的一对集合来命名的【引，还有以下近似和上 近似构成的区间集( 集合类) 来定义的【l0 1 。定义观点的不同往往带来研究的侧 重面的不同。目前，对粗糙集理论的研究主要集中在：粗糙集模型的推广，问 题的不确定性的研究，与其他处理不确定性、模糊性问题的数学理论的关系与 互补，纯粹的数学理论方面的研究，粗糙集的算法研究等。这些研究有的是受 应用的推动而产生，有的是纯理论的。 1 2 1 粗糙集模型的推广 p a w l a k 粗糙集模型的推广一直是粗糙集理论研究的主流方向，目前主要有 一般二元关系下的粗糙集模型【n 】、变精度粗糙集模型、模糊粗糙集模型【1 2 1 6 、 概率粗糙集模型、覆盖粗糙集模型等。 p a w l a k 粗糙集模型的推广一直是粗糙集理论研究的主流方向，目前主要有 两种方法：( 1 ) 构造性方法；( 2 ) 代数性( 公理化) 方法。 ( 1 ) 构造性方法是对原始p a w l a k 粗糙集模型的一般推广，其主要思想是从给 定的近似空间出发去研究粗糙集和近似算子。它是以论域上的二元关系或布尔 代数作为基本要素的，然后导出粗糙集代数系统( 2 。，n ，u ，4 ，彳) 。这种方法所 研究的问题往往来源于实际，所建立的模型有很强的应用价值，其主要缺点是 不易深刻了解近似算子的代数结构。 在p a w l a k 粗糙集模型中有三个最基本的要素：一个论域u ，u 上的一个二 元等价关系尺( 或划分) ( 它们构成了近似空间) ，一个被近似描述的( 经典) 石。 这样，推广的形式主要也有三个方向，即从论域方向、从关系方向( 包括近似空 间) 和从集合方向。 从论域方向推广的目前只有一种，就是双论域的情形，当然这时的二元关 系就变成为两个论域笛卡尔乘积的一个子集。对于将论域推广到多个的情形来 研究粗糙集理论的文献还未见到。 关系的推广：一种是将论域上的二元等价关系推广成为任意的二元关系得 西南交通大学硕士研究生学位论文舞3 页 到了一般关系下的粗糙集模型 1 1 】；另一种是将对象x 所在的等价类看成是】的一 个邻域，从而推广导出了基于邻域算子的粗糙集模型；也有将由关系导出的划 分推广成为一般的布尔子代数的，以此出发去定义粗糙集和近似算子：更一般 的有将普通关系推广成模糊关系或模糊划分【l 厶1 6 】而获得模糊粗糙集模型。 将集合和近似空间进行推广。这一类的推广是与其它处理不确定，不精确 或模糊的知识( 如概率论，模糊数学，信息论，证据推理等) 结合起来进行研究的。 当知识库中的知识是由于随机原因或经统计得到的，即知识库中的知识很可能 是不确定的，很多学者提出了统计( 或概率) 粗糙集模型 4 5 - 4 7 ，变精度粗糙集【4 8 】 模型实质上也可以归入这类模型，寻求具有最小风险的b a y e s 决策问题也可转 化为这类模型【删。这一类模型在数据分析的增量式机器学习中有重要应用1 5 0 1 。 目前见到的此类模型中，近似空间中二元关系大都是等价关系，对于非等价关 系给出的情形的文章尚未见到。 当知识库中的知识模块都是清晰概念，而被描述的概念是一个模糊概念， 人们建立了粗糙模糊集模型 5 1 】来解决此类问题的近似推理。当知识库中的知识 模块也是模糊的，有些学者提出了模糊粗糙集模型。 ( 2 ) 代数方法也称为公理化方法有时也称为算子方法，这种方法不是以二元 关系为基本要素，它的基本要素是一对某些公理的一元近似算子l h ：2 “一2 。， 即粗糙代数系统( 2 ”，n ，u ，l ，日) 中近似算子是事先给定的。这种方法研究的明 显优点是能够深刻地了解近似算子的代数结构，其缺点是应用性不强。 1 2 2 不确定性问题的理论研究 粗糙集理论中知识的不确定性主要由两个原因产生的：一个原因是直接来 自于论域上的二元关系及产生的知识模块，即近似空间本身。划分越细，每一个 知识模块越小，知识库中的知识越粗糙，相对于近似空间本身的概念和知识就 越不确定。这时处理知识的不确定性的方法往往用s h a n n o n 信息熵来刻画1 1 卜1 9 1 。 粗糙集理论中的知识的不确定性的另一个原因来自于给定论域里粗糙近似 的边界。当边界为空集时知识是完全确定的，边界越大知识就越粗糙或越模糊。 至今，粗糙集理论刻画概念的不确定性一般用正则条件熵、粗糙性测度和粗糙 熵 1 7 1 。 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 寻求一个合适的度量来刻画知识的不确定性也是粗糙集理论研究的一个重 要方向。 1 2 3 粗糙集理论与其他处理不确定，l ：生问题理论的结合 在粗糙集理论与其他处理模糊性或不确定性方法的理论研究中，主要集中 在它与概率统计、模糊数学、d s 证据理论和信息论的相互渗透与补充。 在信息系统中，知识库的知识类型一般有两类：一类是库中所有对象的描 述是完全已知的，p a w l a k 粗糙集模型和一般二元关系下的粗糙集模型就是属于 这一类；另一类是库中的对象的描述只有部分是己知的，即知识库中的知识是 不确定的，它只能通过训练样本所提供的信息来刻画概念，为了使从训练样本 获得的规则符合整个论域的对象，在抽取样本时应符合统计规律性，粗糙集理 论不注重这一类工作，因此概率统计作为研究自然界，人类社会及技术过程中 大量随机现象的规律性的一门学科，它与粗糙集理论的结合就显得非常自然。 模糊集和粗糙集理论在处理不确定性和不精确性问题方面都推广了经典集 合论。虽有一定的相容性和相似性，然而它们的侧重面不同。从知识的“粒度 的描述上来看，模糊集是通过对象关于集合的隶属程度来近似描述的，而粗糙 集是通过一个集合关于某个可利用的知识库的一对上、下近似来描述的；从集合 对象的关系来看，模糊集强调的是集合边界的病态定义上的，即边界的不分明 性，而粗糙集强调的是对象间的不可分辨性；从研究的对象来看，模糊集研究 的是属于同一类的不同对象间的隶属关系，重在隶属程度，而粗糙集研究的是 不同类中的对象组成的集合关系，重在分类。虽然模糊集的隶属函数和粗糙集 的粗糙隶属函数都反映了概念的模糊性，、直观上有一定的相似性，但是模糊集 的隶属函数大多是专家凭经验给出的，因此往往带有很强的主观意志，而粗糙 集的粗糙隶属函数的计算是从被分析的数据中直接获得的，非常直观。也正因 为如此，将粗糙集理论和模糊集理论进行某些“整合 ，后去描述知识的不确定 性和不精确性比它们各自描述知识的不确定性和不精确性可望显示出更强的功 能。目前所见的模糊粗糙集模型【2 1 2 , 2 0 是其中的一些成功范例。 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 1 2 4 算法研究 粗糙集理论中有效算法研究是粗糙集在人工智能方向上研究的一个主要方 向。粗糙集理论在人工智能的应用主要有两大类：一类是无决策的分析，内容主 要包括数据压缩、约简、聚类与机器发现等；另一类是有决策分析，内容主要包 括决策分析、规则提取等，也涉及对原始数据的预处理，如数据压缩与约简等。 目前，粗糙集理论中有效算法研究主要集中在导出规则的增量式算法、约简的启 发式算法，粗糙集基本并行算法【2 ，以及与粗糙集有关的神经网络与遗传算法 等【2 引，这些研究的成功应用有的已经获得了商业价值。 1 2 5 粗糙集理论与其它数学理论的联系 随着对粗糙集理论研究的不断深入，它与其他数学分支的联系也更加紧密。 例如，从算子的观点看粗糙集理论，它与拓扑空间、数理逻辑、模态逻辑、格与 布尔代数、算子代数等联系较为紧密；从构造性和集合的观点来看，它与概率论、 模糊数学、证据理论、图论、信息论等联系较为密切。粗糙集理论研究不但需 要以这些理论作为基础，同时也相应地带动这些理论的发展。 目前，其它数学理论与粗糙集理论结合起来进行研究已有文章出现，如“粗 糙逻辑 2 3 2 4 】“半群中的粗理想 2 5 ”、“粗糙半群的性质 2 6 】 、“粗糙陪集 2 7 】 、“粗 糙不变子群【2 7 】”、“粗糙群和粗糙子群【2 8 】粗糙群的同态和同构【2 9 】等等。随 着粗糙结构与代数结构、拓扑结构、序结构等各种结构的不断整合，必将不断涌 现出新的富有生机的数学分支。 作为人工智能和认知科学中新的研究热点，粗糙集理论的有效性已被计算 机学科的基础研究人员所认可。目前，粗糙集理论已经在机器学习、知识获取、 决策分析、数据库知识发现、专家系统、决策支持系统 3 0 。3 2 1 、归纳推理、模式 识别、智能控制等领域得到了广泛应用。到目前为止，关于粗糙集理论与应用方 面的文章很多，有关书籍也正在陆续出版。一些粗糙集理论与应用综述方面的 文章详细介绍了粗糙集理论在各个阶段理论研究与应用研究方面的成果。 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 1 3 粗糙集理论的发展前景 粗糙集理论作为一种处理不确定和不精确性问题的新型数学工具。对于当 今现代计算机的应用来说，这种理论无疑是最有挑战性的领域之一。它自问世 以来，无论是在理论或应用上都是种新的最重要的并且是迅速发展的一门既 有理论又有应用的研究领域。对于人工智能和认知科学似乎也是十分重要的， 尤其在机器学习、知识获取、决策分析、数据库的知识发现、专家系统、归纳 推理、矛盾归结、模式识别、决策支持系统、模糊控制及其他各个方面的应用， 粗糙集理论都为之提供了一种很有效的新的数学方法。同时，粗糙集理论处理 的主要问题包括数据库中的数据约简、数据相关性的发现、数据意义的评估、 由数据产生决策控制算法、数据的近似分类、数据中的相似性或差异性的发现、 数据中范式的分析以及因果关系的发现。特别地，粗糙集方法在医学、药学、 银行、商业、金融、市场研究、工程设计、气象学、振动分析、开关函数、冲 突分析、图像处理、声音识别、并发系统分析、决策分析、字符识别及其他领 域都有重要的应用。可以预言，粗糙集方法将在数据挖掘和软计算，特别是处 理大型数据库和复杂问题等方面，必将显示出越来越重要的作用。 1 4 本文的写作动机和主要工作 众所周知，具有一个二元运算的代数系统半群与群，不但是自然科学 许多领域的理论基础，而且在应用科学中也有广泛应用。例如，在自动机理论 中就用到半群和群；在信息安全与编码理论中就用到群。而对于具有两个二元 运算的代数系统环，不但在编码理论的研究中有很多应用，而且在计算机 和时序机的研究中也有很多应用。所以将粗糙集理论与代数系统群、环理 论结合起来进行研究，就很有必要。 目前纯粹的数学理论与粗糙集结合起来进行的研究己有文章出现，并不断 有新的数学概念出现，如“粗糙逻辑 、“粗糙理想、“粗糙半群”、“模糊子群 等等。本文在目前粗糙代数方面所做工作的基础上，继续研究了基于正规子群 的群的粗糙，然后将其推广到环中；并讨论了半群中的粗准素理想和粗模糊准 素理想的粗糙集，同时也将其推广到环中；最后研究了半环中的模糊子半环的 相糙集。 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 第2 章预备知识 作为一种处理不确定、不精确以及不完整信息的工具，粗糙集理论得到了 充分的发展，最先提出的p a w l a k 粗糙集模型则为许多方面的应用提供了理论基 础。本章将简要介绍p a w l a k 粗糙集模型以及经典代数系统群、环上的粗糙集理 论，特别是粗子半群，粗模糊子半群，粗理想，粗子半环等的基本概念以及其 所具有的性质，这些都是后面章节讨论的理论基础。 2 1p a w l a k 粗糙集模型与粗糙模糊集模型 2 1 1p a w l a k 粗糙集模型 设r 是有限论域u 上的二元等价关系，即满足自反性、对称性、传递性的 二元关系，则( u ，r ) 称为p a w l a k 近似空间。 定义2 1 1 1 1 3 3 1 设r 是论域u 上的二元等价关系，记含x 的r 的等价类为 【工】尼= 抄ul ( 石，y ) er ) 由等价关系r 所决定的等价类集合叫r = 工】。l x eu ) 构成论域u 的一个划 分，即存在论域u 中的元素而，x 2 oiq i o ，使得： u = 置】ru 屯 尺u u 矗】骨 其中r 】rn x j 月= 0 ，f ，f ，j = 1 ，2 埘 另x u ，( u ，r ) 为一个p a w l a k 近似空间，当x 能表示成r 的某些等价类 的并时，称x 为可定义的或精确的；否则称x 为不可定义的，或粗糙的；当x 不能用r 的等价类来表示时，通常用一对算子来近似，这时就出现了上、下近 似的概念。 定义2 1 1 2 1 3 3 i 设r 是论域u 上的等价关系，对vx u ，定义x 的上近 似与下近似为： 劢= j c ui 工】异n x g 】， 一r x = 工ui 工 月】 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 和上述定义等价的定义有： r x = u y eu rj 】，nx 囝) ， r x = u y u ry x ) 集# b n 胄( x ) = 面一丛称为x 的r 边界域；p o s 月( x ) = _ r x 称为x 的r 正 域；n e g r ( x ) = u 一取称为x 的r 负域：由此可知，r x = p o s r ( x ) u b n r ( x ) 。 若劢= r x ，则称x 为可定义集或精确集：当豇r x 时，称x 为不可 定义集或粗糙集。 从上、下近似的定义，可以直接得到尺的上近似集和下近似集的一些重要 性质，这些性质构成了粗糙集理论的核心。 定理2 1 1 1 1 3 3 设( u ，r ) 为一个近似空间，r 为u 上的等价关系，对 vx u ，戤，r x 分别为x 的上近似与下近似，则有性质： ( 1 ) 丛x 互豇 ( 2 ) r 0 = g o = 0 ，r u = 一r u = u ( 3 ) r ( x u 】，) = r x u r f ( 4 ) 星( x n y ) = 星r n 星f ( 5 ) x yj 星y 星】厂 ( 6 ) x yjr x r y ( 7 ) 星( x u 】厂) 星x u 星】， ( 8 ) 页( x f 3 r ) 取f t 页y ( 9 ) 星( 石) = r x ，e ( - x ) = 斛 ( 1 0 ) 叁( _ r x ) = r ( _ r x ) = r x ，r ( p , x ) = r ( r x ) = r x 其中x 表示x 取余集。 为了表示一个集合的上、下近似的近似精度，p a w l a k 粗糙集模型引入了精 度的概念。由等价关系r 定义的集合x 的近似精度为： 础) = 篱， 其中x o ，ixi 表示集合x 的基数。 精度反映了对集合x 的近似程度。d e _ l z 式可知os ( x ) 1 。当( z ) = 1 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 时，z 的r 边界域为空集，集合z 为可定义集( 精确集) ；当( x ) l 时，集 合x 有非空边界域，集合为不可定义集( 粗糙集) 。 对于集合x 的近似程度还可以用粗糙度p 。( x ) 来表示： 风( x ) = l 一( 工) 石的r 粗糙度与精度相反，当砝与丛越接近时，即边界域越小时，粗糙 度越小；当边界域越大时，粗糙度越大。 定理2 1 1 2 设缈，r ) 构成了p a w l a k 近似空间，兄y u ，则 ( 1 ) 堡( yuy ) = 墨xu 矽星( ( r 一_ r x ) u ( y - ) ) = f 2 j ， ( 2 ) r ( xny ) = r xnr y 星( ( 心- x ) u ( r y y ) ) = o 文献 3 3 】给出粗糙集不等式： p ( xuy ) ir xu 心l a i + 6 l + j = 口2 + 6 + j ；零元：因为劢是x 的子环，所以p 曩( e 是x 中的零元) ，则( 8 + j ) na o 即z na 0 ，y i x ij ，劢j ，因为j 是x i 中的零元，所以，也是劢， 中的零元；负元：若a + i 劢i ，则( a + i ) na 0ja e 劢，劢是环，则一a e 劢 j ( 一a + i ) n a 0j a + i 一i a i ，又( 口+ ，) + ( 一口+ ，) = p + ，= i ，所以一a + i 是 口+ ，的负元；则( 劢j ，+ ) 是( x i ，+ ) 的子群； 关于集合中的乘法运算：结合率显然成立；封闭性：若v a + i ，b + is7 a ， ( 口+ i ) na o ，( 6 + d na 0 j 口i a ，b i a j a b e1 , 4 i a 互i aj ( a b + i ) na o ，a b + l i a i ，又( 口+ ，) ( 6 + ，) = a b + i ，所以历i 劢i 劢i ； 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 9 页 则c 4 i ，) 是( x i ，) 的半群；又由于加法交换律及左右分配律自然保持，所以 劢，是x i 的子环； ( 2 ) 由定义知，型，是x i 的子集，关于集合中的加法运算：结合率显 然成立；封闭性：若v a + i ，b + i 旦i 则a + i a ，6 + js aj 口i _ a ，6 旦， 又旦是x 的子环，口+ 6 旦+ 旦= 一1 , 4j a + b + i aj 口+ 6 + i 旦i ，又 a + i + b + i = a + b + i j i a i + 旦i 笪i ，唯一性：若q + z = a z + z ， 岛+ ，= 如+ ，jo a + j + 6 l + j = a 2 + + b 2 + ，ja l + 6 l + ，= a 2 + 6 + j ；零元：因 为旦是x 的子环，所以p 一i a ( e 是x 中的零元) ，则e + i 互a 即，s 彳，又 ，x iji 型i ，因为j 是x i 中的零元，所以，也是劢，中的零元；负元： 若a + i 型i ，则a + i 彳ja e i a ，旦是环，则一口一i aj - a + i aj - a + i 1 4 i ，又( a + i ) + ( 吲+ ，) = e + i = i ，所以一口+ ，是a + i 的负元；则 幽j ，是( x i ，+ ) 的子群； 乘法运算：结合率显然成立；封闭性：若v a + i ，b + j 旦，则口+ ，彳， b + i aja e 型，6 旦j 动z a l a 旦，即a b + ，aa b + ，型i ，又 ( 口+ 似6 + ，) = a b + i ，所以型，旦j 型i ；则幽，) 是( x j ，) 的半群； 又由于加法交换律及左右分配律自然保持，所以西，是x i 的子环。 定理4 3 2 设x ，是商环，则 ( 1 ) 若a x 是x 的，上粗左( 右，双侧) 理想，则砑j 是x i 的左( 右， 双侧) 理想； ( 2 ) 若彳x 是x 的f 下粗左( 右，双侧) 理想，且l a o ，则型j 是x i 的左( 右，双侧) 理想。 证明：( 1 ) 只对上粗左理想证明，其余情况可类似推出。 若么是x 的，上粗左理想j 。而易，假设a + i x i ，b + i 及ij a ex ，6 劢，所以动庙砑j ( a b + i ) n 4 囝ja b + i 劢i ，又 ( 口+ 顶6 + ，) = a b + i ，所以x i 劢i 劢i ； ( 2 ) 类似( 1 ) 同理可证。 定理4 3 3 设x ，是商环，则 ( 1 ) 若asx 是x 的，上粗双理想，则历，是x i 的双理想； 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 0 页 ( 2 ) 若彳x 是x 的，下粗双理想，且旦0 ，则_ i a i 是x i 的双理想。 证明：( 1 ) 由题设知：i a x z 4 7 a ；假设a + i 砑i ，6 + i x i ，c + i 一1 , 4 1 ，n ；f f a 劢，b ex ，c 劢ja b c i a x i a 砑j ( a b c + 1 ) n a g ，所以 ( a b c + i ) 劢，而( 口+ 似6 + 似c + ，) = a b e + i ，所以砑i x i 劢i 劢i ； ( 2 ) 类似( 1 ) 同理可证。 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 1 页 第5 章半群中的粗准素理想与粗模糊准素理想 5 1 半群中的粗准素理想 定义5 1 1 4 3 1a 是半群s 的理想，令j = 口sl 存在正整数，z ，使得口“彳 ， 则彳是s 的包含理想么的理想，叫做a 的根。 定义5 1 2 4 3 】半群s 的理想4 称为准素的，如果a s ，并且，若x ，) ，s ， 砂a ，x 盛a ，则存在正整数力，使得y ”a 。若s 的理想a s ，则 彳为准素的管若x ，y s ，砂a ，工仨a ，则y 彳； 乍争若j c ，y s ，砂a ，y 萑彳，贝0x ea 引理5 1 1 设r 是半群s 上的完备同余关系，若坛s ，以为正整数，则 月= ( 【叫月) ” 至 证明：b ”】詹= 肛x 矗，因为r 是s 上的一个完备同余关系，所以可知 工x 工 r = 工 月 工】詹【工 月= f i x r ) “，贝0 j c ”】詹= f i x r ) “ 定理5 1 1 设尺是半群s 上的一个完备同余关系，彳是s 的一个理想，则 ( 1 ) 星( 彳) = 星( 彳) ； ( 2 ) 尺( 4 ) = r ( 么) 证明：( 1 ) v x 星( 4 ) 甘3 n l ，a ( a ) 舒3