（基础数学专业论文）由服从群作用的c对应的交叉乘积.pdf

本篇论文安排如下： 摘要 第一章中，我们回顾一下图c + 一代数和交叉乘积的历史和发展过程， 并简单介绍一下论文的主要结果。 第二章中，我们介绍一下关于h i l b e r t 伊一模，眇对应，p x 和交叉乘 积的一些基本概念和基本结论这些内容我们在论文中会用到 第三章中，我们研究由离散服从群作用的伊对应和交叉乘积假 设( x ，a ，) 是由离散服从群g 作用的c 4 一对应，并且满足矽是单的 和j i c ( x ) ( a ) 我们能够定义一个木- 同态矽：a ag _ z ( x 1g ) 使 得( x 1g ，ax ng ，妒) 是一个c + 一对应我们要证明有一个c n o x 的自然 的对应p 并且有魄pg 竺o x ，g ( 作为一代数) 第四章推广了第三章的结果，研究g 是局部紧服从群的情况( 不 要求是单的和瓦( x ) ( a ) ) 更确切的说，假设( x ，a ，) 是一个由服 从群g 作用的扩一对应，我们用不同于第三章的方法证明p x a 口g 竺 o x ，g 我们还给出了一些此定理的应用 a b s t r a c t r 九一i 。1h ep a p e rl so r g a n i z e da sf o l l o w s i nc h a p t e r1 ，w er e c a l lt h eh i s t o r ya n d c r o s s e dp r o d u c t s a n dt h e nw ei n t r o d u c e d e v e l o p m e n to fg r a p hc * - a l g e b r a sa n d t h em a i nr e s u l t so ft h i st h e s i s i nc h a p t e r2 ，w eg i v es o m eb a s i cd e f i n i t i o n sa n df a c t st h a tw en e e da b o u t h i l b e r tc + 一m o d u l e s ，c 一c o r r e s p o n d e n c e ，o xa n dc r o s s e dp r o d u c t s i nc h a p t e r3 w ew i l ls t u d ya c t i o n sa n dc r o s s e d p r o d u c t so fc 一c o r r e s p o n d e n c e s b yd i s c r e t ea m e n a b l eg r o u p s g i v e nac * - c o r r e s p o n d e n c e ( x ，a ，矽) w i t hac o n - t i n u o u sa c t i o n ( ，y ，口) b yad i s c r e t ea m e n a b l eg r o u pg ，w h e r e 咖i si n j e c t i v ew i t h l c ( x ) 妒( a ) ，w ed e f i n ea ，l c h o m o m o r p h i s m 矽：a q 口g c ( x 1g ) s u c h t h a t ( x ，yg ，a ag ，妒) i sac * - c o r r e s p o n d e n c e a n dw es h o wt h a tf o rt h e c * - c o r r e s p o n d e n c e ( x g ，a g ，妒) ，t h e r ee x i s t sac a n o n i c a la c t i o n 口o fgo n o xa n dt h a to x pg 筌o x ，g ( a sc * - a l g e b r a s ) i nc h a p t e r4 ，w ew i l lc o n s i d e rt h eg e n e r a lc a s eo fl o c a l l yc o m p a c ta m e n a b l e g r o u pa c t i o n sa n dw i l lr e m o v ea l lt h ee x t r aa s s u m p t i o n si nc h a p t e r3f i e w ed o n o ta s s u m et h a t 咖i si n j e c t i v en o r 瓦( x ) c ( a ) ) m o r ep r e c i s e l y , g i v e nac + 一 c o r r e s p o n d e n c e ( x ，a ，) w i t hac o n t i n u o u sa c t i o n ( 7 ，q ) b ya na m e n a b l eg r o u p g ，w eu s ea d i f f e r e n tw a yt os h o wt h a t 魄x pg 笺呶x ，g m o r e o v e r ，w eg i v e s o m ea p p l i c a t i o n so fo u rm a i nr e s u l t s k e y w o r d s ：c u n t z k r i e g e ra l g e b r a ， i i c 。- c o r r e s p o n d e n c e 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：籽伶 锄忘年f 月9 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年 月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：种订 功鬈年l2 月7 日 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n t h ea r e ao fo p e r a t o ra l g e b r a si sal a r g ea n dv e r ya c t i v ea r e ao fm o d e r na n a l y s i s a n dt h es u b j e c to fc 。一a l g e b r a sh a se v o l v e di n t oah u g em a t h e m a t i c a le n d e a v o r i n t e r a c t i n gw i t hs e v e r a la r e a so ft h e o r e t i c a lp h y s i c sa n da l m o s te v e r yb r a n c ho f m a t h e m a t i c s b e g i n n i n g w i t hc o n t r i b u t i o nb yc u n t za n dk r i e g e r ，t h e r eh a sb e e na na s s o c i a - t i o nb e t w e e no p e r a t o ra l g e b r a sa n dd i r e c t e dg r a p h sa n d ，t h r o u g ht h ey e a r s ，t h e i n t e r e s to no p e r a t o ra l g e b r a sa s s o c i a t e dw i t hg r a p h sh a sb e e no nt h ei n c r e a s e t o d a y , t h e r ei sat r e m e n d o u sa c t i v i t yi nt h i sa r e aa u sa w i d ev a r i e t yo fg r a p h - l i k e o b j e c t s ( h i g h e rr a n kg r a p h s ，t o p o l o g i c a lg r a p h se t c ) a r eb e i n gl i n k e dt oo p e r a t o r a l g e b r a sw i t hs i g n i f i c a n ta p p l i c a t i o n st ot h es t u d y o fc 。a l g e b r a s ，a n dt o p o l o g i c a l q u a n t u mg r o u p s i n1 9 7 7 ，c u n t z 1 5 】c o n s t r u c t e da c l a s so fc * - a l g e b r a s 仇( n o wc a l l e dc u n t z a l g e b r a s ) t h ec u n t za l g e b r a 仇( 死至2 ) ，i st h eu n i v e r s a lc * - a l g e b r aw h i c hi s g e n e r a t e db yi s o m e t r i c s ，& s a t i s f y i n g ：1 & 譬= 1 t h ec u n t za l g e b r a s a r ei n t e r e s t i n ge x a m p l e so fs i m p l e ，u n i t a lp u r e l yi n f i n i t ec 。一a l g e b r a s a n dt h e c u n t za l g e b r a sb r o u g h tt o r s i o ni n t ok t h e o r y , a st h e i rk 0 - g r o u p sa x ez ( n 一1 ) m o r e o v e r ，b e i n gs i m p l ea n dn u c l e a r ，t h e ya r ei m p o r t a n tb u i l d i n gb l o c k si nc 一 a l g e b r at h e o r ya n du s e f u lf o rp r o v i d i n g ( c o u n t e r ) e x a m p l e s i n1 9 8 0 ，c u n t za n dk r i e g e r 1 7 c o n s t r u c t e dan e wc a l g e b r ao a ( n o wc a l l e d c u n t z k r i e g e ra l g e b r a s ) w h i c hi sa s s o c i a t e dw i t ht o p o l o g i c a lm a r k o vc h a i n sg e n - e r a l i z i n gac o n s t r u c t i o no ft h ef i r s ta u t h o r 【1 5 l e ta = ( a ( i ，歹) ) b ea nn x 扎 m a t r i xs u c ht h a ta ( i ，歹) = 0o r1a n de v e r yr o wa n dc o l u m no fai sn o n z e r o a c a l g e b r ao ai sg e n e r a t e db yn o n z e r op a r t i a li s o m e t r i e ss 、。s na c t i n go na h i l b e r ts p a c es u c ht h a ts ：s = 0f o r 毫ja n ds ：s 产 a ( i ，j ) s j s jf o ra l l i t h ea l g e b r a so kt h a tw e r ed e s c r i b e di n 1 5 】a r i s ei nt h i sw a yf r o mt h e 礼钆 m a t r i xa 1 1o fw h o s ee n t r i e sa r e1 i nt h em i d9 0 ，i tw a sr e a l i z e dt h a tc u n t z k r i e g e ra l g e b r a sc o u l da l s ob ev i e w e d a st h ec 一a l g e b r a so faf i n i t ed i r e c t e dg r a p h 【8 5 s i n c et h e n ，t h e r eh a sb e e nm u c h i n t e r e s ti nt h ea r e ao fg r a p hc * - a l g e b r a s t h eg r a p hc + 一a l g e b r aa s s o c i a t e dt oad i r e c t e dg r a p hei sg e n e r a t e db yp r o j e c - t i o n sp va s s o c i a t e dt ot h ev e r t i c e s 秽o fea n dp a r t i a li s o m e t r i e s8 ea s s o c i a t e dt o t h ee d g e seo fe t og e n e r a l i z eg r a p hc 。a l g e b r a st oi n f i n i t eg r a p h s ，t h ek e ym o d i f i c a t i o ni st o r e q u i r et h er e l a t i o nr = s ( e ) ：锄& 霹t oh o l do n l yw h e nt h es u mi sf i n i t ea n d n o n e m p t y t h i st h e o r yh a sb e e ne x p l o r e de x t e n s i v e l yi nm a n yp a p e r s ( s e e 【4 5 ， 4 6 】， 1 1 ， 2 2 f o rs e m i n a lr e s u l t s ，a n d 【7 3 f o ras u r v e y ) g r a p hc * - a l g e b r a si n c l u d em a n yc * - a l g e b r a sb e s i d e st h ec u n t z k r i e g e ra l g e - b r a s ；i np a r t i c u l a r ，g r a p hc * - a l g e b r a si n c l u d et h et o e p l i t za l g e b r a ，c o n t i n u o u s f u n c t i o n so nt h ec i r c l e ，a l lf m i t e - d i m e n s i o n a lc * - a l g e b r a s ，m a n ya f a l g e b r a s ， m a n yp u r e l yi n f i n i t es i m p l ec 事一a l g e b r a s a n dm a n yt y p eic + 一a l g e b r a s f r o ma r e p r e s e n t a t i o n - t h e o r e t i cp o i n to fv i e w ，t h ec l a s so fg r a p hc 。一a l g e b r a si sb r o a d e r s t i l l ：e v e r ya f - a l g e b r ai sm o r i t ae q u i v a l e n tt oag r a p hc * - a l g e b r a ，a n da n y k i r c h - b e r ga l g e b r aw i t hf r e ek 1 一g r o u pi sm o r i t ae q u i v a l e n tt oag r a p hc a l g e b r a t h eo p e r a t o ra l g e b r a so fd i r e c t e dg r a p h sa r ei m p o r t a n tf o rt w or e a s o n s f i r s t b e c a u s et h e yg i v ec o n c r e t ee x a m p l e so fl a r g ec l a s s e so fo p e r a t o ra l g e b r a s s e c - o n d ，t h e ya r eu s e f u lb e c a u s es t r u c t u r a lp r o p e r t i e so ft h ea l g e b r a sc a nb er e l a t e d 2 t os i m p l eo b s e r v a t i o n sa b o u tt h e i ru n d e r l y i n gg r a p h s i n 6 9 】p i m s n e ri n t r o d u c e daw a yt oc o n s t r u c tac + a l g e b r ao xf r o map a i r ( a ，x ) ，w h e r ea i sac * - a l g e b r aa n dxi sa c * - c o r r e s p o n d e n c e ( s o m e t i m e sc a l l e d ah i l b e r tb i m o d u l e lo v e ra t h e s ec u n t z p i m s n e ra l g e b r a sh a v eb e e nf o u n dt o c o m p o s eac l a s so fc + 一a l g e b r a st h a ti se x t r a o r d i n a r i l yr i c ha n di n c l u d e sn u m e r o u s c * - a l g e b r a sf o u n di nt h e1 i t e r a t u r e ：c r o s s e dp r o d u c t sb ya u t o m o r p h i s m s ，c r o s s e d p r o d u c t sb ye n d o m o r p h i s m s ，p a r t i a lc r o s s e dp r o d u c t s ，c u n t z k r i e g e ra l g e b r a s ， c * - a l g e b r a so fg r a p h sw i t hn os i n k s ，e x e l l a c aa l g e b r a s ，a n dm a n ym o r e c o n - s e q u e n t l y , t h es t u d yo fc u n t z p i m s n e ra l g e b r a sh a sr e c e i v e daf a i ra m o u n to f a t t e n t i o nb yt h eo p e r a t o ra l g e b r ac o m m u n i t yi nr e c e n ty e a r s t h r o u g h o u th i sa n a l y s i sp i m s n e ra s s u m e dt h a th i sc o r r e s p o n d e n c ew a sf u l l a n dt h a tt h el e f ta c t i o no fao nxw a si n j e c t i v e i nr e c e n ty e a r st h e r eh a v e b e e ne f f o r t st or e m o v et h e s er e s t r i c t i o n s p i m s n e rh i m s e l f 6 9 ，( r e m a r k1 2 ( 3 ) ) 】 d e s c r i b e dh o wt od e a lw i t ht h ec a s ew h e nxi sn o tf u l l ，d e f i n i n gt h es o - c a l l e d a u g m e n t e dc u n t z - p i m s n e ra l g e b r a s h o w e v e r ，t h ec a s ew h e nt h el e f ta c t i o ni s n o ti n j e c t i v eh a sb e e nm o r ee l u s i v e i n 4 0 】，k a t s u r af i n d sac o m m o ng e n e r a l i z a t i o n ( a l r e a d ye x p e c t e di n 2 】) o ft h e c u n t z p i m s n e ra l g e b r a sa n dt h ec r o s s e dp r o d u c t sb yh i l b e r tc * - b i m o d u l e s h e i n t r o d u c e dam e t h o dt oc o n s t r u c tc + 一a l g e b r af r o ma r b i t r a r yc + 一c o r r e s p o n d e n c e s t h i sc o n s t r u c t i o ni ss i m i l a rt ot h eo n eo fc u n t z - p i m s n e ra l g e b r a s 6 9 1 ，a n di nf a c t t h e s et w oc o n s t r u c t i o n sc o i n c i d ew h e nt h el e f ta c t i o no fag i v e nc + 一c o r r e s p o n d e n c e i sn o ti n j e c t i v e i nt h i st h e s i s ，w ew i l ls t u d ys o m er e l a t i o na b o u tt h ec 一a l g e b r a sc o n s t r u c t e d b yk a t s u r aa n dc r o s s e dp r o d u c t s g r o u pc * - a l g e b r a sa n dc r o s s e dp r o d u c t sh a v ea l w a y sp l a y e da ni m p o r t a n tr o l e i nt h et h e o r yo fc * - a l g e b r a s c r o s s e dp r o d u c t so fo p e r a t o ra l g e b r a sc a nt r a c e t h e i ro r i g i n sb a c kt os t a t i s t i c a lm e c h a n i c s ，w h e r ec r o s s e dp r o d u c t sw e r ec a l l e dc o - v a r i a n c ea l g e b r a s ，a n dt ot h eg r o u pm e a s u r es p a c ec o n s t r u c t i o n so fm u r r a ya n d v o nn e u m a n n n o wt h es u b j e c ti sf u n yd e v e l o p e dw i t hav a s tl i t e r a t u r e c r o s s e d 3 p r o d u c t sp r o v i d eb o t hi n t e r e s t i n ge x a m p l e so fc * - a l g e b r a sa n da r ef a s c i n a t i n gi n t h e i ro w nr i g h t s i m p l yp u t ，ac r o s s e dp r o d u c t c * - a l g e b r a si sac * - a l g e b r aa a g b u i l to u to fac * - a l g e b r aaa n da l o c a l l yc o m p a c tg r o u pgo fa u t o m o r p h i s m so f a w h e nt h ec * - a l g e r aai st r i v i a l ，t h a ti s ，w h e na i st h ec o m p l e xn u m b e r s ，t h e n t h ec r o s s e dp r o d u c tc o n s t r u c t i o nr e d u c e st ot h eg r o u pc * - a l g e b r ao fh a r m o n i c a n a l y s i s i nt h i sp a p e r ，w ew i l ls t u d ya c t i o n sa n dc r o s s e dp r o d u c t so fc 一c o r r e 8 p o n d e n c e s b yd i s c r e t eg r o u p sa n da m e n a b l eg r o u p s f o ra n yh i l b e r ta m o d u l ex ，k a s p a r o v d e f i n e di n 2 8 1a naxg - m o d u l ex ) 日gw h i c hi st h ec o m p l e t i o no fq ( g ，x ) i nt h en o r ml | e l | = i i ( e ，e ) l i 彳：g ( e g ( g ，x ) ) s a a ji n 【4 】a l s od e f i n e di ta s f o l l o w s ：x g = x t 。a 日g i tt u r n e do u tt h a tt h e ya r et h es a m ea sh i l b e r t a 日g - m o d u l e l e t ( x ，西) b eac c o r r e s p o n d e n c eo v e ra i ti sn o th a r dt o d e f i n ea ，i c h o m o m o r p h i s mf r o ma gt oc ( x g ) t u r n i n gx gi n t oac + 一 c o r r e s p o n d e n c eo v e ra g i ti sn a t u r a lt oa s kw h e t h e rt h e r ei sa n yr e l a t i o n b e t w e e nt h ec * - a l g e b r a so x 日ga n do x i nc h a p t e r3a n dc h a p t e r4 ，w eu s et w o d i f f e r e n tw a y st os h o wt h a to x ) 日gi s 木一i s o m o r p h i ct oo x gw h e ngi sd i s c r e t e a n da m e n a b l e w 色a l s og i v es o m ea p p l i c a t i o n so fo u rm a i nr e s u l t s 4 c h a p t e r2 p r e l i m i n a r i e s 2 1h i l b e r tc * - m o d u l e sa n dc 木- c o r r e s p o n d e n c e s h i l b e r tc * - m o d u l e sa r eag e n e r a l i z a t i o no fh i l b e r ts p a c e si nw h i c ht h ef i e l do f s c a l a r si sr e p l a c e db ya na r b i t r a r yc * - a l g e b r a t h i st h e o r yh a sp r o v e dt ob e av e r yc o n v e n i e n tt o o li nt h et h e o r yo fo p e r a t o ra l g e b r a s ，a l l o w i n go n et oo h - t a i ni n f o r m a t i o na b o u tc * - a l g e b r a sb ys t u d y i n gh i l b e r tc * - m o d u l e so v e rt h e m a ni m p o r t a n tn o t i o no fm o r i t ae q u i v a l e n tf o rc * - a l g e b r a sw a sa l s of o r m u l a t e d i nt e r m so fh i l b e r tc 一m o d u l e s ( 7 5 】， 6 ) t h i sn o t i o na l s oh a sa p p l i c a t i o ni n t h et h e o r yo fg r o u pr e p r e s e n t a t i o n s i tt u r n e do u tt ob ep o s s i b l et oe x t r a c ti n f o r m a t i o no ng r o u pa c t i o n sf r o mh i l b e r tc * - m o d u l e sa r i s i n gf r o mt h e s ea c t i o n s ( 6 6 】，【7 6 ) a m o n go t h e ra p p l i c a t i o n s ，o n es h o u l de m p h a s i z et h et h e o r yo fq u a n t u mg r o u p s ( 8 8 】， 8 9 】) ，u n b o u n d e do p e r a t o r sa sat o o lf o rk a s p a r o v sk k - t h e o r y ( 1 0 】j 【1 3 】) a n ds o m ep h y s i c a la p p l i c a t i o n s ( 5 2 】， 5 6 】) a l o n g s i d et h e s ea p p l i c a t i o n s ，t h et h e o r yo fh i l b e r tc * - m o d u l e si t s e l fh a sb e e n d e v e l o p e da sw e l l an u m b e ro fr e s u l t sa b o u tt h es t r u c t u r eo fh i l b e r tm o d u l e s a n da b o u to p e r a t o r so nt h e mh a v eb e e no b t a i n e d ( 5 3 ， 2 5 ， 5 8 ) ， 5 5 】， 5 7 】， 8 3 ) i nt h i ss e c t i o nw er e c a l lt h o s eo ft h e i rb a s i cp r o p e r t i e s ，an u m b e ro fi m p o r t a n t e x a m p l e s ，a n da l s os o m er e s u l t sw h i c hw eu s et h r o u g h o u tt h ep a p e r ( s e e 5 1 】f o r 5 t h ed e t a i l ) d e f i n i t i o n2 1 1 s e ef 5 1 ，p p 2 4 1 ) l e tab eac a l g e b r a a ni n n e r - p r o d u c t a - m o d u l ei sal i n e a rs p a c exw h i c hi sar i g h ta m o d u l e 如i t hc o m p a t i b l es c a l a r m u l t i p l i c a t i o n ：入( z 口) = ( a x ) a = z ( a 口) 弘rz x ，a a ，a c ) ，t o g e t h e rw i t ha m a p ( z ，可) 卜( z ，y ) ：x x _ as u c ht h a t ( i ) ( z ，a y + p 名) = a ( z ，y ) + ( z ，z ) ( z ，可，z e ，a ，p c ) ， ( i i ) ( z ，y a ) = ( z ，y ) a ( z ，y e ，a a ) ， ( i i i ) ( 可，z ) = ( z ，可) 。( z ，可e ) ， ( i v ) ( z ，z ) 0 ：矿( z ，z ) = 0t h e nz = 0 w es a yt h a txi sa ( r i g h t ) h i l b e r ta - m o d u l ew h e ni t i sc o m p l e t ei nt h en o r ? t t 蚓l = l i ( x ，z ) 忾 l e txb eah i l b e r ta - m o d u l e d e f i n e ( x ，x ) t ob et h el i n e a rs p a no ft h es e t ( z ，y ) ：z ，秒x ) t h e nt h ec l o s u r eo f ( x ，x ) i sat w o - s i d e di d e a li na x i s s a i dt ob eaf u l lh i l b e r ta - m o d u l ei f ( x ，x ) i sd e n s ei na h e r ea r es o m ee x a m p l e so fh i l b e r tc * - m o d u l e s e x a m p l e2 1 2 ( 1 ) ah i l b e r ts p a c ei sah i l b e r tm o d u l eo v e rc ( 2 ) i | ai sac 聿a l g e b r a ，t h e na b e c o m e sah i l b e r ta m o d u l eb yp u t t i n g ( a ，6 ) = a * b ( a ，b a ) c l e a r l yai s 九i i n o t et h a te v e r yi d e a li na i sa l s oah i l b e r ta m o d u l ew i t ht h e i n n e rp r o d u c t ” ( 3 ) i ft e a i saf i n i t es e to fh i l b e r ta - m o d u l e st h e nt h ed i r e c ts u mo e tb e c o m e s ah i l b e r ta m o d u l ei w ed e f i n e x a = ( x i a ) ，( z ，y ) =( z 础) ，w h e r ez = ( z t ) a n d 可= ( 犰) ( 4 ) i hi sah i l b e r ts p a c et h e nt h ea l g e b r a i c ( v e c t o rs p a c e ) t e n s o rp r o d u c th 圆破9 a ( w h i c hi sar i g h ta m o d u l e ) h a sa na - v a l u e di n n e rp r o d u c tg i v e no ns i m p l et e n s o r s 叻 ( oa ，叼 b ) = ( ，叼) 口+ b ( ，叩日，a ，b a ) t h ec o m p l e t i o n 巧h a f 9a ( d e n o t e db yh a ) i sah i l b e r ta - m o d u l e i tp l a y sa n i m p o r t a n tr o l ei nt h et h e o r yo h i l b e r tc m o d u l e 6 o n ew o u l dl i k et ot h i n kt h a th i l b e r tc * - m o d u l e sb e h a v el i k eh i l b e r ts p a c e s ， a n di ns o m ew a y st h e yd o f o re x a m p l e ，i fei sah i l b e r ta - m o d u l ea n dz e t h e ni ti se a s yt oc h e c kt h a t x l l = s 唧 l l l i ：y e ，l 1 ) b u tt h e r ei so n ef u n d a m e n t a lw a yi nw h i c hh i l b e r tc * - m o d u l e sd i f f e rf r o mh i l b e r t s p a c e s g i v e nac l o s e ds u b m o d u l ef o fah i l b e r ta m o d u l ee d e f i n e f 上= 可e ：( z ，y ) = 0 ( z f ) - t h e nf 上i sa l s oac l o s e ds u b