（应用数学专业论文）退化椭圆型方程的liouville定理及green函数.pdf

北泵趸迫大宇坝士竽1 豆伦艾中文摘要 中文摘要 摘要：本文首先考虑了一类非线性退化椭圆方程( 1 l p 所- i g 的a 一调和方程) 在外边 界区域( 无界的) 上的d i r i c h l e t 边值问题，利用一调和型方程的基本解及比较 原理得到了其弱解的l i o u v n l e 定理结论其次，本文证明了非齐次散度型退化椭 圆方程在x - 椭圆条件下的极值原理，并借助修正的g r e e n 函数研究了x 一椭圆算 子的g r e e n 函数与c a r n o t 群上p - l a p l a c i a n 型方程的基本解的比较性质，这为进 一步研究x - 椭圆算子的性质提供了重要的方法最后，作为其应用，本文采用x 椭圆线性算子g r e e n 函数的局部先验估计性质，建立了具有有界可测系数的散度 型非线性椭圆方程弱解的内部h s l d e r 连续性文中以g r e e n 函数作为泛函积分的 核函数，结合h o l e - f i l l i n g 技巧和x - 椭圆算子g r e e n 函数的局部性态，达到方程的 弱解能满足m o r r e y 引理条件的目标，从而得到方程弱解的局部h s l d e r 连续性该 方法在菜种意义下取代了经典的关于问断系数方程问题的d eg i o r g i - m o s e r - n a a h 标准迭代技术 关键词：a 一调和型算子；l i o u v i l l e 定理；g r e e n 函数；修正的g r e e n 函数x 椭圆 条件；局部h s l d e r 连续fm o r r e y 引理；h o l e - f i l l i n g 方法， 分；l 导0 1 7 5 2 北泵趸迫大学坝士学位论文 a b s 上1 r a u 。上 a b s t r a c t a b s t r a c t li nm yd i s s e r t a t i o n if i r s t l ys t u d yo u t s i d eb o u n d a r yv a l u ep r o b - l e mi ne x t e r i o rd o m a i nf o rac l a s so fs oc a l l e da - h a r m o n i ct y p ee q u a t i o n s ，t h e l i o u v i t l e st h e o r e mo fw e a ks o l u t i o n si sd e r i v e db yu b eo ft h ef u n d a m e n t a ls o l u - t i o na - h a r m o n i ct y p ee q u a t i o n sa n dc o m p a r i s o nl e m m a s e c o n d l y , w ep r o v et h e m a x i m u mp r i n c i p l ef o ri n h o m o g e o e o n sd e g e n e r a t ee q u a t i o n s ，s o m ea p r i o r ie s t i - m a t e 6o fn o n l i n e a rd e g e n e r a t ee q u a t i o n sw i t hx - e l l i p t i cc o n d i t i o n si nt h es e n s e o fd i s t r i b u t i o na r ee s t a b l i s h e d b yr e s e a r c h i n gt h em o t t l e dg r e e nf u n c t i o n ，t h e c o m p a r i s o no ft h eg r e e nf u n c t i o n sw i t ht h ef u n d a m e n t a ls o l u t i o no fp - l a p l a c i a n e q u a t i o no nac a r n o tg r o u pi sd e r i v e d 嘶w i l lp r o v i d ean e wi d e aa n dm e t h o d f o rr e s e a r c h i n gt h ep r o p e r t i e so fx - e l l i p t i co p e r a t o r a tl a s t ，a c c o r d i n gt ot h ee s t i - m a t e so f t h eg r e e nf u n c t i o na n dt h eh o l e - f i l l i n gt e c h n i q u e ，w ew i l le s t a b l i s hl o c a l l y h 5 1 d e re o u t i n u i t yo fw e a ks o l u t i o n so fx e l l i p t i ce q u a t i o n sw i t hb o u n d e dm e a b n r - a b l ec o e f f i c i e n t s i n s t e a do fc l a s s i c a ld eg i o r g i - m o s e r n a s hi t e r a t i n gt e c h n i q u eo f e q u a t i o n sw i t hd i s c o n t i n u o u sc o 商c i e n t s w eh e r eo b t a i nt h a tw e a ks o l u i t o nm u s t s a t i s f yt h ea & q u m p t i o no fm o r r e y sl e m m ab ym a k i n gu b eo fg r e e nf u n c t i o na sa k e r n e lf u n c t i o na n dt h es o - c a l l e dh o l e - f i l l i n ga r g u m e n t k e y w o r l d s ：a - h a r m o n i c o p e r a t o r s ；l i o u v i l ht h e o r e m ；g r e e nf u n c t i o n ；m o d - i f i e dg r e e n f u n c t i o n ；x - e u i p t i cc o n d i t i o n ；l o c a l l yh 6 l d e rc o n t i n n i t y ；m o r r e yl e m m a ；h o l e - f i l l i n gt e c h n i q u e c l a s s n o ：0 1 7 5 2 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留，使用学位论文的规定特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印，缩印或扫描等复制手段保存，汇编以供查阅和借阅同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名 签字日期：年月日 导师签名： 签字日期：年月日 北京交通大学硕七学位论文独创性声明 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名：签字日期：年月 日 首先感谢我的导师一郑神州教授，本论文是在郑老师的精心指导和关怀下完 成的无论是在研究生课程学习过程中，还是在论文选题、研究、定稿的过程中， 郑老师自始至终给了我大力的支持和无私的关怀，两年多的研究生生活中，郑老 师渊博的知识和严谨的治学态度，使我受益匪浅，并将受惠终生，在此向郑老师 表示深深的感谢 两年多的研究生生活使我学到了很多知识，树立了新的观念和目标，感谢所 有在学习研究中传道解惑的老师，在生活上关心帮助过我的同学 感谢我同门的师姐师弟师妹与他们的共同学习生活使我收获多多 感谢各位专家、学者在百忙中审阅我的论文，并给出批评意见 n 北京交通大学硬士学位论文1 引盲 1 - 1 选题背景 1 引言 有界单变量解析函数一定是常数的l i o u v i l l e 定理是经典复分析的一个重要内 容，后来该性质推广到实空间下的有界上调和函数的相应结论对于线性和非线性 椭圆型方程，在全空间和无限外区域的l i o u v i l l e 定理、p h r a g m 6 n - l i n d e l s f 原理1 1 j 和几何偏微分方程中的j 6 9 e a s 、c a l a b i 和p o g o r e l o v 定理1 2 】都是极其重要的数学 结论，是进一步研究数学理论和物理性质的出发点而a 一调和方程是p 一调和方 程0 1 ) 的直接推广，有着重要的数学和力学应用价值，如在拟正则映射和拟共 性映射理论研究中( 见文献【3 , 4 ，5 】) 和非n e w t o n 流体力学的数学模型研究中( 见 文献【6 ，7 ，8 】) 都有着极其重要的作用最近几年，它的几何和分析性质得到了广瑟 的关注 设q 是n 维欧氏空间i p ( n 2 ) 的有界区域，且1 0 是局部l i p s c h i t z 连续的，从而建立了如下线性化算子 ， “( u ，妒) = i v u l 9 - 2 ( v ，v i p ) + ( p 一2 ) w u w 4 ( v u ，v v ) ( v u ，v i p ) 一，( “) u 纠k = 0 j 2 解 的h a m a c k 不等式和极值原理而文献【1 2 】对区域n 的要求放宽，允许在q 的边界上有孤立奇点，得到了p 一调和型方程 一d i v ( i v u l 一2 v u ) 一d ( x ) u ”- 1 = 0 。 解的h a r n a c k 不等式，其中d ( x ) c k 一1 1 0 1 ) ， a - 调和方程作为p 一调和方程p 1 ) 的一个推广，由于其重要性，本文第 二章将考虑如下的一调和型方程： d i v , a ( x ，v u ) + ，( u ) = o ； 在外区域的l i o u v i l l e 定理 1 9 5 7 年，意大利数学家d eg i o r g i 考虑了具有有界可测系数的散度型线性椭 圆方程弱意义下的解在h s l d e r 连续函数空间中的正则性问题，证明了：具有俨 北京交通大学 贰士学位论文1 引言 系数的线性椭圆方程的弱解是h 5 1 d e r 连续的( 后来人们称之谓著名的d eg i o r g i 迭代技巧) 该d eg i o r g i 迭代技术的突破本质上为非线性椭圆型和抛物型方程在 s o b o l e v 函数类中的弱解的h 6 1 d e r 连续性建立了重要的基础而后m o s e r ，n a s h j ，s e r r i nj ，t r u d i n g e rn ，l a d y z h e n s k a y aoa 和u r a l t s e v & nn 等对其方法加以 改正和发展( 改进后的迭代法称之为：d eg i o r g i m o s e r ，n a s h 迭代技术) ，从而建立 了散度型非线性椭圆和抛物方程在c 1 o 空间的正则性理论；时至今日，d eg i o r g i - m o s e r n a s h 迭代技术成为研究偏微分方程弱解h 6 1 d e r 连续性的经典标准方法 对于最基本的椭圆方程( 如调和方程) 问题，众所周知的数学物理方法一般均 采用考虑g r e e n 函数和线性位势理论作为其最基本的研究方法，建立解的p o i s s o n 表达式h a r n a e k 不等式、奇异点性态和存在性等问题( 见 1 3 ，1 4 】) ；而对变系数椭 圆方程的g r e e n 函数的研兖很多文献是为了研究区域边界正则点判断( w i e n e r 8 c r i t e r o n ) 的需要而展开的【1 4 ，1 5 ，1 6 ，对非线性椭圆方程区域边界正则点判断则一 般采用非线性位势理论( w o l f f 位势) 研究 1 7 ，1 8 】出于几何和物理问题的应用 背景，近来有关的x - 椭圆算子研究得到广泛的关注，这是因为h e i s e n b e r g 群和 c a z n o t 李群上的次椭圆( s u b - e u p t i c ) 算子均是x 一椭圆算子的特例：当c a r n o t 群9 = ( 冗“，o ) 上的向量场 恐) 是关于左平移不变性，则下文的x - 椭圆算子 一4 就是所谓的群蛋上基于x l ，x 。和其连续交换子产生的次椭圆算子开始 于h 6 m a n d e r 的基本文献【1 9 】的结果：满足h s m a n d e r 条件的线性次椭圆方程 一定是亚椭圆的( h y p o - e l l p t i c ) ，并且其弱解是光滑的；自此次椭圆算子有关性质 得到r o t h s c h i l d - s t e i n 2 0 ，f o l l a n d 2 1 ，g a r o f a l o - n h i e u 2 2 ，2 3 1 ，c a p o g n a 2 4 ，2 5 ，2 8 ， x u - z n i l y f 2 7 】，t r u d i n g e r - w a n g 2 s ，f e r r a r i 2 9 ，3 0 1 等人的深入研究最近d u t i d r r e z 和l a n c o n e u i 3 1 1 从次椭圆问题抽象出来的较一般x - 椭圆方程建立了最大值原理 和h a m a c k 不等式，m a z z o n i 3 2 1 研究了x 椭圆线性算子的g r e e n 函数的性质 在本文的第三章我们给出了4 一调和型算子在x - 椭圆条件下g r e e n 函数的 的先验估计以及其与l a p l a c e 型方程的基本解的比较性，这也为进步研究x 一椭 圆算子的性质提供了重要基础，如对于区域边界上正则点判断( w i e n e r 8c r i t e r o n ) 问题而本文第四章我们将考虑有界可测系数的x 椭圆方程的h s m e r 连续性问 题，在局部上采用以g r e e n 函数作为泛函积分的核函数，结合h o l e - f i l l i n g 技巧和 x 椭圆算子g r e e n 函数的局部性态，达到方程其弱解能满足m o r r e y 引理条件目 标，从而得到方程弱解的局部h s l d e r 连续性在得到主要定理的过程中，我们所依 据的方法是利用非线性椭圆算子的g r e e n 函数与l a p l a c i a n 算子的比较性，在证 明的过程中g r e e n 函数既起到个积分核函数的作用，同时根据与l a p l a c i a n 算 子的比较性又起到m o r r e y 空问积分衰减程度的控制作用对于具有间断依赖于自 变量的非线性椭圆方程的内部h s l d e r 连续性，不用传统的g i o r g i - m o s e r - n a s h 迭 代技术，而改用g r e e n 函数比较法来建立既是一种新的尝试，即使对于间断系数 的线性方程也有重要意义的这正如球域内的调和方程边值问题也是先用g r e e n 2 北京交通大学硕士学位论文 1 引言 函数作为核函数的p o i s o n 表示公式，然后推导出h a r n a c k 不等式等其他性质总 之，我们始终认为在椭圆和抛物型方程( 不管线性还是非线性问题) 中，基本解和 g r e e n 函数问题仍有重要发挥潜力我们研究的另一层意义在于该方法可以取代 经典的关于间断系数方程问题的d eg i o r g i m o s e r n a s h 迭代技巧 1 2 论文的体系框架和主要内容 本论文内容由下面四部分构成： 第一章介绍了本文所研究问题的选题背景，理论价值和实际意义，列出了论 文的体系框架和主要内容 第二章将考虑一类所谓的4 一调和型方程在外边界区域( 无界的) 上的d i r i e h - i e 边值问题，建立了其弱解的l i o u v i l l e 定理 第三章建立如下散度型退化椭圆算子在x - 椭圆条件下 轧：= 一d i v ( ( a ( z ) v u ，v ) 2 亍 ( z ) v t ) ，z n 的极大值原理，并利用这一结果研究了g r e e n 函数的比较性 第四章将应用x - 椭圆线性算子g r e e n 函数的局部先验估计性质，得到具有 界可测系数的散度型x - 椭圆方程弱解的局部h 6 1 d e r 连续性 3 北京变通大学硬士学位论文2 一调和型方程的外边僵同题 24 一调和型方程的外边值问题 下文将考虑如下的4 一调和型方程 d i v a ( r ，v “) + ，( u ) = o ； ( 2 1 ) 其中 i ，( u ) l m l u l 9 ，q p 1 ， 这里m 是个正的常数而算子一4 0 ，v u ) 满足如下( h 1 ) ，( 玩) ，( h 3 ) ，( 儿) 四个 条件， ( 1 ) ( 日2 ) ( 凰) ( 凰) 扛，v u ) v u a l v i p i i a ( z ，v t ) i i 可k i q ； 一4 ( z ，a v u ) = n i 口r 2 4 ( z ，v ) ； ( 4 ( z ，v u ) 一一4 ( z ，v u ) ) ( v u v u ) 0 ， 其中常数0 a 0 2 1 梧关引理 引理2 1 1 n ( 弱h a r n a c k 不等式) 设u 是微分不等式 - d i v a ( x ，v 20 ，u 0 ，z d 4 北京交通大学硬士学位论文2 ，4 一调和型方程的外边值同题 在d 内的弱上解；则对于0 0 ，使得 骢u o ) 2 c r - ou 慨岛 推论2 1 1 ( 强极值原理) 设u 是微分不等式 - d i v a ( z ，v u ) 0 ，u 0 ，z d 在d 内的弱上解；则或者1 e0 ，或者在d 上 0 证明设存在z d d ，使得u ( ：r o ) = l l l l n d u ( z ) = 0 ，则由引理2 1 1 得，在d 内e0 否则i t 0 推论2 1 ，1 得证 引理2 1 2 ( 比较原理)设函数“( z ) ，v ( x ) w l , p ( d ) ，且在d 内满足 d i v a ( x ，v 一d i v a ( z ，v v ) o ； 若在d 的边界上有 ，在此意义下对任意的e 0 ，集合 u 一+ o ) 在d 内有紧支集，则在d 内有u ” 证明设耳= r n i n ( u 一口，0 ) w o p ( d ) ，故一0 可作为检验函数由于不 等式d i v a ( x ，v u ) 一d i v a 扛，v v ) 0 在d 内成立，则在分布意义下有 ， ( 毛v v ) v q d z 一4 ( 毛v u ) v t l d x 20 ，z d ； j dj d 由算子一4 ( 毛v u ) 满足的条件( 1 4 4 ) ，于是 ， 4 ( z ，v v ) v f i d z 一a ( z ，v u ) v r l d x j d d d ， = 一，( a ( 毛v v ) 一( ，v u ) ) ( v v v u ) d x s0 ， j n 0 ，使得当1 p 0 ) cr f i ，设“是 - d i v a ( x ，v u ) 20 ，z i t n 的正的弱上解；则存在常数c = e ( a ，a ，n ，p ，尺) 0 ，使得当i p 0 ( 2 1 ，2 ) 证明当1 0 ) c i p 而，记 1 拈南1 患“( 刁， 所以口( z ) 三k h ( x ) 仍是a 一调和型方程一d i v a ( x ，v u ) = 0 在舯彘上的解；且 在边界= 2 r 上满足 ( z ) 口( z ) ，z z l l z i ；= 2 r ) ； ( 2 1 ，3 ) 对于外区域 h 2 r o ) ，有 一d i v a ( x ，v u ) - d i v a ( x ，v 口) ，ze zj i z i22 r ) ； ( 2 1 4 ) 结合( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) ，根据引理2 i 2 即比较原理，则有 u ( z ) ( z ) = k h ( z ) ，z z i i z l 22 r ，； 由引理2 1 3 得到，存在常数c = c ( ，a ，f l ，a ，司 0 ，使得 0 ) 扛) g i 刮一嚣，z 彤而 ( 2 i 1 ) 式得证，下证( 2 , 1 2 ) 武 当p = n 时，由引理2 1 3 得到，存在常数c o = g ( a ，a ，n ，n u ，r ) o ( 不妨 设岛 1 ) ，使得 取s r ，定义 瓦i , 。4 川s 0 ，令 ”i j 当d o ， 根据引理2 1 2 即比较原理，当2 r 0 引理2 1 4 得证 引理21 5 对于r 0 ，设u 是微分不等式( 2 3 ) 在dci p 内的弱上解，其中 q p 1 ；则对于任意的，y ( 0 ，q 一1 ) ，存在常数c = g ( a ，a ，n ，p ，g ，y ) 0 ，使得 c d a ：c 口一”，( 2 1 5 ) 其中r = q m 0 进一步地，对于任意的p ( o ，d 学) ，存在常数e = e ( a ，a ，7 1 , ，p ，q ，p ) 0 ，使得 i v uj d zsc 舻一 ( 2 1 6 ) 证明不失般性，设在d 内“ 0 ，否则根据推论2 1 1 ，得到e0 ，结论显 然成立令f 俨( b 2 a ) 是径向对称的截断函数，满足如下三个条件： 1 ) 当j z i o ( 其a e p 待定，d = q 一1 7 o ) 作为检验函 数 代如弱上解的定义 厶。矿q 妒如厶。盹v “，v 驴出 得到 d ，一幽9 4 ( z ，v u ) v u & + f 。矿如 “一_ ( z ，v t ) v p d ：r ， j 岛rj b 瓶j 岛r 北京交通大学硬士学位论文2a 一调和型方程的外边值问题 根据4 ( z ，v u ) 满足的条件( 且) ，( 也) ，( 矾) ，则有 d 矿一9 4 ( z ，v u ) v d x m 。矿一口i v r jb 2 r j8 2 r 由于i v p i = “1 i v 引曼p 整，以及y o u n g 不等式，得到 一 一 r ，令k = p ； p ，由y o u n g 不等式得到 伽厶。k - p “7 - r 如曼；厶。( f 砷) 击以1 碡出+ c r - v ；厶。出 s ：厶 地+ g ( 7 ) 胪3 厶拙， 砌 警厶。f 矿1 i v “l 出+ ；厶。f “1 如c ( ，a ，n m 吼7 ) ，p ，；， 于是 ；厶他i a ，”忍7 ) 酽， 即 k 出c ( a ，a ，n ，p ，q ，7 ) 胛讲 情况2 若7 = r ，则j k 。“7 d x c r 一k 铲一9 如，即j k 矿如g 舻一 情况3 若7 r 由h s l d e r 不等式得到 s r d x sc ( 厶拼如) i 州k g c 厶删硎， 8 毗 嘲堡磷毕 m 卜 一 r 叫 h 叶 协 怖 嘶 嘶 妒。b o o 叱锐 北京文通大学顿士学位论文 2 调和型方程的外边值同题 则( 2 1 5 ) 式得证 下面进一步来证不等式( 2 1 6 ) ，由于p 1 ，设u 是微分不等式( 2 3 ) 在外区域i p 而上 的弱上解，其中 h 凡 o ) cf p 则对于p ( o ，d j ) ，存在常数 c = g ( a ，a ，n ，p ，q ，p ) 0 和正整数序列 r j 一0 0 0 一) ，使碍 i v “( 吩，o ) l “d 9 c 丐4 ，j = 1 ，2 ，一， j p 。一1 。 其中d 8 是单位球面s ”1 上的面积微元，而r = q p 证明设r r 0 ，我们知道b a r ( 0 ) b = a ( o ) 可以被有限个球2 r ( 蜥) 所覆盖， 其中i 蜥i = 3 r 由引理2 1 5 的( 2 1 6 ) 式，得到 i v u l d z o r 一 取正整数序列巧一0 0 ，使得2 吩+ 1 3 ，于是 e 一“v 坤，钏= t 刚m 出哼吃 北京交通大学硕士学位论文 2 a - 调和型方程的外边僵同题 由积分中值定理得到：存在r j ( 2 k j ，3 t c j ) 且兄一，使得 心碍1 厶_ 1 1 w , ( r j , o 卅眺c 酵1 5 ， 于是岳一。i v u ( r j ，o ) t “d osc 巧”引理2 1 6 得证 引理2 l7 1 4 ( h a r n a e k 不等式) 设u 是一d w a ( z ，v ) = 0 在d 内的非负解， 则存在常数c = c ( a ，a ，n ，力 0 使得 s u p u c 世 爿r 倔 其中b s c d 且b z r c d 2 2 主要结果及其证明 本文要建立的主要结论如下： 定理2 2 1设p = n ，且n 22 ；而r t 。q 是n 的外区域( 无界的) 对于如下的 拟线性椭圆型微分不等式 一出t 诅( 工，v u ) 2 t 一一1 ， t 20 ， z r ，矗； 当q p ，( 3 0 ) 时，其弱上解只有平凡解u ；0 定理2 2 2 设1 p n ，且n 之2 ；而r ，矗是q 的外区域( 无界的) 对于如 下的拟线性椭圆型微分不等式 - d i v 4 ( x ，v u ) 2 一一， u 0 ， z 矗； 当q ( p ，州时，其弱上解只有平凡解“；0 定理2 2 3 设22 ，i t 是拟线性椭圆型方程 - d i v a ( x ，v u ) = 0 ， 正r 严 ( 1 0 ) 的外区域，取一点列 ) c 舻，使得b3 r 且一o 。 当p = n ，g p 时，在引理2 1 5 的( 2 1 5 ) 式中令7 ；r = g p 0 矛盾，则t 无处处正解由强 极值原理，u j0 定理2 2 1 得证 定理2 2 2 的证明 设u 是微分不等式( 2 3 ) 的正的弱上解，r ”n 是包含 “z i r o ，的外区域，如定理2 2 1 的证明，取一点列 一 c 舻，使得i i 3 r 且一_ 1 ) 当1 p n ，口( p ，p ) 时， r a 口i n “7s c i i - 仍成立因此存在矿b ，使得 矿( 矿) = m 鲁n u sc i 1 1 ( ；) e i 矿1 1 ， 其中i i i s l 矿ls ；i 一| 另一方面，因为1 p 0 又因为当g 竺! 。 r p 一1 令矿一o o ，则有u 兰0 2 ) 当l 0 不依赖于j 的变化，所以这与( 2 2 1 ) 式矛盾定理2 2 2 得证 定理2 2 3 的证明当1 o i 却：【o ，刁一r n x - s u b u n i t 满足7 ( 0 ) = z ，1 ( t ) = 下文中用d 表示这个控制距离特别地，用b r ( x ) 表示在控制距离下的球 r ”i d ( z ，y ) 0 ，有 l b 2 r ( 圳c l 且叠( 功i ；( 3 1 4 ) ( h 4 ) ( p o i n c a r d 不等式) 存在正常数c = c ( q ，口) ，使得 fl u u z , r 9 白sg 尼- l x “i d y ，v u 口1 ( 岛 ，x ) ，( 3 1 5 ) j b r ( x )j b # n ( z ) 其中，r = 矗。u d z = 南，b 心) u d x 由假设( h 3 ) ( h 4 ) 可推出s o b o l e v 不等式 ( 厶。，i ”i 器d y ) 譬sg ( 厶l x 卵咖) ；，v v e 附一( ，n ( 。工。) 其中c = n ，q ，p ，n ，x ) ，1 p 0 ，函数g ；吲p ( n ) 称为修正的g r e e n 函数， 如果它是下列方程的弱解 崛= 矿( y ) ， ( 3 1 1 0 ) 其中矿( y ) = 自躺，x b c v ) 是耳上的特征函数( 参见 1 6 ，3 2 ，3 5 ，3 6 】) 因为q ( n ，x ) 在w d p ( n ，x ) 内稠密，且对充分小的r 0 和检验函数毋 崂。( q ，x ) ，妒一名庐( z ) 出是咄p ( n ，x ) 上的有界线形泛函那么，由( 3 1 8 ) 可知 上( z ) v q ( 巩v q ( 嘞孚 ( z ) v q ( 巩v ( 硼出2 厶庐( z ) 如( 3 1 1 1 ) 这里妒( z ) w p ( n ) 在【3 7 】中，讨论了形如( 3 1 1 1 ) 的a 一调和方程弱解的存在 性和唯性矿( ) 弱星收敛于6 ( v ) ，则在分布意义下g r e e n 函数g ( ，y ) 的存在 性和唯性即可得 3 2 相关引理 引理3 2 1 1 1 7 】设q 是有界区域， w 1 p ( n ) 则在n 内存在唯一的解u 1 9 ( q ) 满足方程胤= 0 且t 一 w 9 ( n ) 在( h 1 ) ( h 2 ) 和( h 3 ) 的条件下，下面的极值原理成立( 1 z ，1 8 】) 引理3 22 若是n 内方程a u = 0 的个弱解且其边界值为 ，那么 8 。8 臻”“8 ”s 触u p ” 1 5 北京交通大学硕士学位论文 3x - 椭圆条件下a 一调和算子g r e e n 函数的比较性 引理3 2 3 1 1 7 删 ( 局部上有界定理及弱h a m a c k 8 不等式) 若“w 1 , p ( f t ) 是在 ( h i ) ( h 2 ) 和( h 3 ) 条件下，方程a u = 0 的非负解，贝4 存在常数c = c ( a ，0 ，p ，q ，q ，x ) ， 使得对任意的0 s 0 依赖于x ，甜，n 和 使得 器，锗蛳u p m ， ( 3 2 3 ) 且 器瞥鲰u p i i ( 3 2 4 ) 我们同样可得对方程一4 卜，纠= 0 的非负解的h a m a c k 不等式，即对b r ( z ) c n ，r 风，0 t 0 依赖于q ，p ，n ，x ，r 和a 而且在耳r 一岛r ( 0 盯 r 1 ) 内， h a m a c k 不等式也成立 为了方便证明，我们首先证明非齐次方程的极值原理 引理3 2 4 设f l q ( n ) 且q p 1 和埘 k ，足义函致h g 1 陬+ ) 令h ( 4 = 一k b , z 陆， 门使得当z m 时，日是线性的令 = 矿+ k 且 妒( z ) = 6 - ( ( z ) ) = ( h 7 0 ) ) p d s ( 3 2 8 ) ，伽( ) j 则妒o ，机0 且因为在a n 上，t 曼0 ，就有附p ( n ，x ) 进步将代入 ( 3 2 7 ) ，就有 帆纠s 如 由算子x - 椭圆性有 a 阻，纠a l i x w l p g c w ) d z 因为a ( s ) s g 0 ) 且u ，可| 得 a 5 z i x 训昭) 出z l ，i ”g ，( ”) 出 = z 器删岫上器哟岫 i z l j ， fi x ( h ( w ) ) f 出s 上丽f l ”日7 ) r 如 由在a n 上s0 h ( ) = 0 ，则日( t ，) 咄9 ( n ，x ) 由s o b o l o 8 不等式和 h 6 1 d e r 8 不等式，可得 ( 加( 训岛甸字c 上器m 圳，出 c ( z ( 器) 9 刁：( 小删一如) ， 这里g ，= q - 。1 选取k = i 晶，就有 u 曰( ”) i l l 音写c i i ”( 叫8 一， 其中e = c ( a ，qp ，0 ) 令m - o o ，由z s m 时，( ) = 卢扩，就有 旷一硎l 岛( n ) 卵知( n ) ( 3 2 9 ) 因此 ( 上器如) 等( 驴硼器甸智+ 胪 北京交通大学硬士学位论文 3x - 椭圆条件下a 调和算子g r e e n 函数的比较性 s 卵”州出) 专+ 高( z t w 如) 寿 i ? 修。叫i l ：却。，( n ) ， 那么 l l w l 工4 者号( n ) ( c 伊) 1 伊0 t 【，0 胪一( n ) 其中卢 1 若令x = 学，则 i i 叫i i l , ，x 僻，墨( ? p ) 1 伊i l 叫i l 二4 ，f 锄， 取口= x ”，m = 0 ，i ，一，我们有 吼 i 耐。一- i n ) ( c ) 。i ( n ) j = o 令m _ o o ，就有 s u n p se 0 叫0 工一( n ) 利用插值不等式就有 s u p e o t ，0 p ( o ) ， 由w = t + + k ，我们即可得出( 3 2 6 ) 第二步设f = s u p a l + ，我们可设z = 0 令k 0 待定，m = s u p n “+ ，我们取检 验函数 2 万玎南了一丽1 咐9 ( q ，x ) ， 而