（岩土工程专业论文）弹塑性断裂力学之Jltgt积分与复合型裂纹扩展断裂准则的研究.pdf

四川大 学 博士 学 位论文 最后建立了 利用有限元分析结果来计算j积分值的基本公式， 改进了当 积 分路径沿外边界积分时，应力张量难以 在边界上分解成应力偏张量和应力球张 量的这一缺陷。 在学位论文的第二部分对复合型裂纹扩展断裂准则进行了研究。在实际工 程结构中，由 于荷载分布不对称，裂纹方位不对称，以及材料各异性等因素使 得裂纹多处于复合型受力的状态。因而复合型裂纹扩展的断裂准则的研究有着 重要的理论意义和实用价值， 探讨各种类型结构和材料中裂纹扩展的真实原因 和动力一直是广大学者研究的 热门 领域。 与学位论文第一部分中的根据相同， 作者认为金属材料中裂纹扩展的 真实动力 来源于形状改变比 能的 释放。 为此， 我们建立了形状改变比能密度因子准则和复合型裂纹扩展的形状改变比能准 则，简称s d 准则和 u d 准则。它们表明了裂纹在金属材料里的扩展过程中， 起 决定作用的是形状改变比能，而不是整个应变能。作为应用举例，它们成功地 预测了复合型裂纹的启裂角和临界荷载， 将其与现有的理论结果和实验数据进 行比较， 其结果是在预测裂纹启裂角方面优于s ih的s 准则，而预测的临界荷 载偏保守。将其应用于工程实际中是偏安全的。 最后， 本学位论文提出的偏斜应变能的j积分和复合型裂纹扩展的s d 准则 和u d 准则， 它们揭示了金属材料里的裂纹在扩展过程的能量转化过程中 起主要 作用的是偏斜应变能这一事实。 关键词: 偏斜应变能，j 积分，守 恒性， 应力强度因子，复合型裂纹， 断裂准则 弹塑 性 断 裂 力 学 之j 积 分 与 复 合 型 裂 纹 扩 展 断 裂 准 则 的 研 究 t h e r e s e a r c h o f j * i n t e g r a l i n e l a s t i c - p l a s t i c f r a c t u r e me c h a n i c s a n d f r a c t u r e c r i t e r i o n f o r mi x e d mo d e c r a c k p r o p a g a t i o n . ma j o r : g e o t e c h n i ce n g ine e ri n g c a n d i d a t e f o r p h . d d e g r e e : j i a n gs u p e: wa n g q i z h i t h e t h e s i s f o r d o c t o r al d e g r e e c o n s i s t s o f tw o p a r t, w h il e , th e re s e a r c h o f j i n t e g r a l a b o u t e l a s t i c - p l a s t i c fr a c t u r e m e c h a n i c s a n d fr a c t u r e c r i t e r i o n f o r m ix e d m o d e c r a c k p ro p a g a t i o n . n o w w e d e s c ri b e i t a s f o l l o w : i t i s w e l l k n o w n t h a t t h e p ri n c i p l e o f j i n t e g r a l i s o n e o f t h e c l a s s i c a l t h e o ri e s o f e l a s t i c - p l a s t i c fr a c t u r e m e c h a n i c s . a s i r w i n p u t f o r w a r d s t re s s i n t e n s ity f a c t o r k in t h e l i n e a r e l a s t i c fr a c t u r e m e c h a n i c s , r i c e p r o p o s e d a l i n e i n t e g r a l j , w h i c h h a s i d e n t i c a l v a l u e f o r a l l p a t h s e n c i r c l i n g t h e 印 o f a c r a c k , a n d j i n t e g r a l i s a m e a s u re o f s i n g u l a r i t i e s a m p l i t u d e o f s t re s s a n d s t r a i n f i e l d n e a r c r a c k t i p i n e l a s t i c - p l a s t i c s i t u a t i o n . t h e c o n s e r v a t i o n o f j i n t e g r a l w a s g iv e n b y r i c e i n 1 9 6 7 . m e a n w h i l e , t h e c ri t i c a l v a l u e o f j i n t e g r a l j ib w a s d e t e r m i n e d b y t e x t m e t h o d a n d i s i n d e p e n d e n c e o f t h e k i n d a n d s i z e o f s p e c i m e n s . t h e r e l a t i o n o f j - r rc i. n ) _ 1 : , (e ) ( 1 一4 ) 式 中 : 乙 ( b ) : 角 分 布 函 数 。 当; 一。 时 ，a y 和 s , 分 别 具 有 一 n l ( 1 + n ) 和 一 1 ! ( 1 + n ) 阶 奇 异 性 。n = 1 时， 线 弹 性 材 料 ， a n 具 有 1l f的 奇 异 性 。 1 . 3 . 1 . 3 裂纹尖 端应力、 应变 场的 求 解 引 入a i ry应力函数u u _ ( 1 , n ) 二 .二 x. n )ko + n ) . ( 1 - 2 5 ) 2+n 了 ( e ) 弹 塑 性 断 裂 力 学 之j . 积 分 与 复 合 型 裂 纹 扩 展 断 裂 准 则 的 研 究 靠近裂纹尖端的应力分量: 刁 z u % = a r zz = r - x )( n ) . .f ( e ) 、 = 一 a ( 1 a u= _ a r (r a e ) 一 黑，一 ，.n .r ,(e ) 。 。 一 _1 _a u 1 a u+ - -= (i+ nr ar r 2 t o t ，一 “ “v (b )十、 厂(，一 ( 1 一6 ) 对于满足不可压缩和相容条件，引入一个流函数， )v = r (l+ v + )ro n ) . g ( b ) ( 1 - 2 7 ) 导出的位移， 1 日 w 二二 一一一 ra 口 = - r n q ). n ) . g ( b ) ( 1 - 2 8 ) a 9- a r 1 +2 n 1 +n . r m i( n ) 9 沪 ) u.仇 靠近裂纹尖端的应变是: n 、= 一 = 百n . r - v ( )+ n ) , g , ( 0 ) 、 = 一 合 一11+ 1v .g (b )+ g (e), ( 1 - 2 9 ) 函 数f ( b ) g ( b ) 不 是彼 此 独立的， 但必 需 满足 应力、 应变关系( 1 - 1 9 ) 式 和硬 化 律 ( 1 - 2 0 ) 式， 给出下面两个方程: 型洲 叫一砂 f 十 z 、.，lesj n (2 + n ) . .(1+ n ) n (2 + n ) .f(1 + n ) i r. 1 + 2 n i i g 气 + ,v7 * 9 11 9 + t l - 4 ) v ( i + n) -1 g *f , 4 ( 1 + n ) (2 + 气 1 + + r厅lrlfj ( 1 - 3 0 ) 由以 上方程消 去9 及其导 数，得f ( 0 ) 的四 阶 偏微分方程: 四川大学博士学位论文 f(.,+n ( 2 + n ) ( 1 + n ) 2厂 气 兀 n.f . + h 2 + 4nf (1 + 铸 、 兴h h 2 + 4f 2+ 4 ( 1 (1+ n )2 f hh + 叮 厂 卜 1 一n n( 1 + n) 3 h h + 8 h f f 十 4 h (f ， + f f 0 ) 十( 1 - 3 1 ) ( 1 一n) ( 1 一 3 n) h n z ( 1 + n ) h 2 + 4 f 2 协 十 4 f . f , r 一 。 式 ( 1 - 3 1 )为控制方程或应力协调方程。为了方便，记: h = ( 1 + n ) f +n ( 1 + n ) f 1 +n 。由 数字方法解方程 ( 1 - 3 1 ) 。并且，f ( 0 ) 前的 任意常 数， 1 . 3 . 将通过方程 ( 1 - 2 1 )与路径无关的j 积分值并结合边界条件来确定。 1 . 4边界条件 方程 ( 1 - 3 1 ) 在 0 ,: 区间 上求解， 它所对应的 边界条件是: ( 1 )该问题是关于裂纹线 ( 0 = 0 , x 轴)对称. 因此，在裂纹线上， _ a a a a . b a0 , a0 必等于零。结合 ( 2 6 )式，由此导出两个条件: f ( o ) = 厂( 0 ) = 0( 1 - 3 2 ) 且注意f ( 0 ) 可以 任意取值， 令f ( o ) = 1 ， 得到的 解归一化。 ( 2 ) 在裂纹 表面是自 由 的 ，0 = y r , a . 和 a 都 消 失，因 此， f ( 二 ) = f ( ; r ) = 0( 1 - 3 3 ) 说明: 五个边界条件出 现在四 阶偏微分方程f ( 0 ) 中， 实际上， 在0 = 二 上， 有两 个边界条件是不可能的，回顾与路径无关的i 积分的证明，可以 得出， : (，二 ) a u (ra x ，二 卜 a +, (r, )r) 机 ( r , b ) + a , , ( r , 0 ) 竺 ( r , b ) = 。( 1 - 3 4 ) 因 此， ( 1 - 3 4 ) 式暗示了 在。 = 二 的 裂纹自 由 表面上，a , 为零则a s e 也 为 零。 即 独立的边界条件只有四个。 h u tc h i n s o n 的 研究成果 3 的 计算比r i c e , r o s e n g re n 更样细些。 在r i c e 和r o s e n g r e n 的 工 ，没有引用无穷远处的边界条件，因而前述解答只能确定到相差一个常数 .3.:护 的 程度。 而h u t c h i n s o n 近一步利用了 无穷远处的边界条件， 求得这个待定常 数 弹 塑 性 断 裂 力 学 之j积 分 与 复 合 型 裂 纹 扩 展 断 裂 准 则 的 研 究 因子，于是裂纹前缘的渐近解便完全确定。 1 . 3 . 2 . 1设应力函数为， 沪 二 k r o ( b ) 式中的k为应力奇异性幅度，从能量的角度并结合数值解得出: 无 量 纲 的 应 力函 数歹 由 下 面 的 特 征 方 程 对s 的 形 式 给 出 : ( 1 - 3 5 ) 2 n +1 s= 一 n +1 n (一 ，)a b , k -1(s(一 ， 一 ，j )j+ n (s - 2)+ 1- a ;-(，一 ， 一 “， + 6 ( n ( s 一 2 ) + 1 ) ( s 一 1 ) ( u ; - - ) - = 0 ( 1 - 3 6 ) 式 ( 1 - 3 6 )为应力协调方程。 裂纹尖端的应力、应变和位移分量由下式给出: a , ( r , b ) = k r 1+ n 民( b ) , e , ( r , b ) = a k n r 1+ n 乓 ( b ) , 1. u , ( r , b ) = a kn r 1 + n 玩 ( b ) , ( 1 - 3 7 ) 等效应力为: a , 二 k- r 一 ， . v , ( b ) = k . r 一 ， ( 尾+ 嵘 一 一 ，- 0 j 5 、 、 、:、:、二1二 .毛、-，、.、龟 . ，本 一 一一乒 0 4u .，/-、二 映拍 一 丁一 一 r 一 r 一 圈1 . 4裂纹尖端弹塑性边界随幕硬化指数. 的变化规律 t h e v a r i a t i o n o f e l a s t i c / p l a s t i c b o u n d a ry n e a r c r a c k t i p f o r d i ff e r e n t n 儿r r ( 0 ) / j y , r 五 . / j 入乙月 ( .) / j 0 . 3 0 . 01 乳乙尸/ t 0 . 2 1 / 2 a ( n = 1 ) 0 . 0 0 5 . r . r ( s ) / j . r r ( 0 ) / j 0 . 1 0 . 0 0 . 51 . 0 图1 . 5 裂级尖端前后弹塑性边界距裂纹尖端距离相对于. 的变化规律 f i g i . 5 . t h e v a r i a t i o n o f d i s t a n c e f o r m c r a c k t i p t o e l a s t i c / p l a s t i c b o u n d a r y i n fr o n t o f a n d b e h i n d t h e c r a c k f o r d i ff e r e n t n 1 3 弹 塑 性断 裂 力 学 之j 积 分 与 复 合 型 裂 纹 扩 展 断 裂 准 则 的 研 究 从方程 ( 1 - 5 1 ) 可以 看出r ( 0 ) 是裂纹尖端等应变线的形状， 并且r ( b ) 被 近似地解释为表示了裂纹尖端至弹塑性边界线的距离。图 1 .4表示了无量纲的 距离y o r , r ( b ) i j 相对于 不同 的n值的 变 化情况。 图 1 . 5 表明了裂纹尖端前后弹塑性边界强烈地依赖于硬化指数 n 。在这些 图中 也显示了 弹塑 性边界 距裂 纹尖端的 最大距离， 即y o r o r _ / j 随n的 变 化。 图1 .6 表示了 平 均应力p = ( a . + a) l 2 与: 的比 值随b 的 变化 情况， 图中 包括了 n = 0 .0 ， 完全塑性， n = 1 .0 ， 线弹性二种极端情形。 而且证实了n -0.0 0 5 和n = 0 .9 9 的结果与上面的结果非常接近。 n = 1 , 0 . 9 9 入- o . 3 枯 们2 n= o . 1 为月1 . 0 5 1 8 0 1 4 0 1 0 0 6 0 2 0 0 图1 . 6 平 均 应 力 p = ( a . + a) l 2 与 r 的 比 值 随 e 的 变 化 规 律 f ig l .6 . t h e v a r ia t io n o f p l r = 伍 . + a , ) / ( 2 r ) w i th 0 . 从 计 算 列 出 的 位 移 可以 发 现， 当 使 用 无 量 纲 的r ( e ) , 则f j r r u l ap a r o l j 可 以被表示成( r / r ) c a + rn 和函数b 的结果。计算出无量纲的位移后并且在图 1 .7 中 表示出了塑性区内裂纹表面的 形状随n变化的 情况。图1 . 7 中的箭头表示了 四川大学博士学位论文 n-0 . 5 0 . 3 0 . 2 0 . 1 0 . 0 5 0 . 0 0 5 铸 r 刃 le r y or or ( 7t)气 i 0. + a ,2 戈k + a , k ; j 2 = h k , + h k ( 1 - 8 5 ) 从方程 ( 1 - 8 5 )解得， k , p=气 丁 -= 人n a n , : 一 h h , ， 一 几 f l ( 1 - 8 6 ) 从方程 ( 1 - 8 3 )解得， k 人 a尸 2 + a 12 户 + a , ( 1 - 8 7 ) 1 . 6结论 ( 1 ) 1 积分理论是弹塑性断裂力学的基础之一， 利用j 积分研究弹塑性情 !一 况下裂纹尖端的应力、 应变分布规律， 得出 应力应变分别具有y i + n 和; i + n 的 奇 异性，是i r v v i n 理论的自 然延伸。 ( 2 ) 类似于线弹性的应力强度因子 k一样，j 积分可以理解为裂纹前缘 塑性应力场、 应变场奇异性强弱的 场强因子。 近一步，建立弹塑性情况下裂纹 扩展的判 据:j :5 i , . 3 ) 利用广义的j ， 积分来 标定复 合型 ( i - ii ) 断 裂的应力强度因 子. 四川大学博士学位论文 参考文献 1 j . r . r i c e . a p a t h i n d e p e n d e n t i n t e g r a l a n d a p p ro x im a t e a n a l y s i s o f s t r a i n c o n c e n t r a t i o n 勿 n o t c h e s a n d c r a c k j , j .a p p l i c a t i o n m e c h , 1 9 6 8 .3 5 . 3 7 9 - 3 8 6 . 2 j . r .r i c e a n d g .f . r o s e n g r e n . p l a n e s t a i n d e f o r m a t i o n n e a r a c r a c k t i p i n a p o w e r - l a w h a r d e n i n g m a t e r i a l j , j . me c h . p h y s .s d i d s . 1 9 6 8 , v o l . 1 6 . p p . i t o 1 2 3 j . w . h u t c h i n s o n , s i n g u l a r b e h a v i o u r a t t h e e n d o f a t e n s i le c r a c k i n a h a r d e n i n g m a t e ri a l 阴， j .me c h . p h y s .s d i d s , 1 9 6 8 , v o l . 1 6 . p p . 1 3 t o 3 1 . 4 . k .h e l l e n a n d w s .b l a c k b u m . t h e c a l c u l a t i o n o f s t r e s s i n t e n s i ty f a c t o r s f o r c o m b i n e d a n d s h e a r l o a d i n g j , i n t .j . f r a c t u r e 1 1 ,6 0 5 - 6 1 7 . 1 9 7 5 . 5 s .j . c h u a n d c . s . h o n g , a p p l i c a t i o n o f 再i n t e g r a l t o m i x e d c r a c k m o d e p ro b l e m s f o r a n i s o t ro p i c c o m p o s i t e l a m i n a t e s j , e n g i n e e r i n g f r a c t u r e m e c h a n i c s , n o .6 . 1 0 9 3 - 1 1 0 3 , 1 9 9 0 . 6 m e l o v i n f . k a n n i n e n , c a r l h .p o p e l a r 美 著， 沈其麟等译，( 高等断裂力学 m 北京，北京航空学院出 版 1 9 8 7 : 1 1 6 - 1 2 2 . 7 y .j . x i e , h .x u ,p .n . l i , c r a c k m o u t h w i d e n i n g e n e r g y - r e l e a s e r a t e a n d i t s a p p l ic a t i o n j . t h e o r e t i c a l a n d a p p l i e d fr a c t u re m e c h a n i c s 2 9 ( 1 9 9 8 ) , 1 9 5 - 2 0 3 f 吴样法， 范天佑， 刘长河， 有限变形弹性体j积分守恒及其对偶形式p i ， 应用数学和力学， 2 0 ( 1 9 9 9 ) . 3 0 1 -3 0 4 . 9 1 高 庆，主编， 工 程断裂力学 m , 重庆大学出 版社， 1 9 8 6 . 1 0 蒋玉川， 王启智. 偏斜应变能的f积分及应用， 应用数学与力学， v o l .2 5 . n o . l , 2 0 0 4 : 1 0 0 - 1 1 0 . 川 h . t a d a , p c . p a r i s , g .r . i r w i n . t h e s t r e s s a n a l y s i s o f c r a c k h a n d b o o k m , d e l . r e s e a r c h , h e l l e t o w n , p a , 1 9 7 3 . 弹 塑 性 断 裂 力 学 之j积 分 与 复 合 型 裂 纹 扩 展 断 裂 准 则 的 研 究 第二章 偏斜应变能j 积分及应用 2 . 1 引言 众所周知， 文【 1 1 j .r i c e 等 用于j 积分 来描述弹塑 性 情况下 裂纹 尖端区 域 应 力应变场强度平均值的一个参量，在线弹性情况下， j = g 。 然而， 文 2 指出j 积分并不是唯一的静弹性力学守恒性定律，如j k 、 l . m等与积分路径无关的 守 恒 性积分公 式 。 文 3 1 用 横向 释放 率g . 描 述了i 型 裂纹的 扩展问 题， 他们 都 取 得了 成功。 在文 4 1 中讨论了 有限变形弹性体j 积分及其对偶形式t积分的守 恒 性. 作者在本文中 提出 了 一个与路 径无 关的j 积分， 并 且我 们认为 在弹塑 性 情 况下塑性材料中 裂纹扩展的动力来源于偏斜应变能的释放。而与体积应变能无 关。 o r o w a n 通过对金属材料 裂纹扩展过程的研究，并指 出裂纹扩展前在其尖端附近 要产生一个塑性区，因此系 统提供裂纹扩展的能量不仅 用于形成新的表面能，而且 还用于引起这种塑性变形所 需的塑性功， 根据o 的 研究结果，对塑性材料，塑 图2 . 1 裂 纹 尖 端了 积 分 的 回路 性功厂 比表面能y 大三个数 量级 5 1 。 因而我们有充分的理由 用偏斜应变能的 概念来描述弹塑性情况下平面 裂纹 扩展的 真实 动力。 本文给出 了,% 积分守恒性的 严 格证明， 并 就 平面 应力 给 出了 其计算结果。 在线弹性情况下j = g * ， 偏斜应变能释放率， 通过i 型 裂纹 的 应 用，取 得了 与 文【 3 1 十分接近和与 文 6 1 也吻合得 较好的 结 果。 2 .2 偏斜应变能j 的积分定义及守恒性证明 2 . 2 . 1定义: j = j (w j n ， 一 s ;u ;,) - d ., ( 2 - 1 ) 如图2 . 1 所示。 四川大学博士学位论文 w j : 偏 斜 应变 能 密 度 ， w: 体 积 应变 能密 度， w . 应 变能 密 度， 且 有: w = w f+ w , s ; :回路s 上任意点的偏斜应力分量， u ; :回路s 上任一点处的位移分量。 n : 为回路 : 上任一点处外法线的 单位矢量。 n ， 为n与x i 方向 夹角的 余弦， n , = c o s ( n , x , ) = d x 2 / 山. 2 . 2 . 2 f积分守恒性证明 根据格林公式 ( 2 - 2 ) 气 -一 月-月 汽口一日 且: 其中: a y = as y + s v， e ;i = ， 凡+ e y 6 p : 球 形 应 力 张 量 ， s y : 偏 斜 应 力 张 量 ， 二 。 : 球 形 应 变 张 量 ， : 偏 斜应变张量。 ( 2 - 2 )式表达为， 口 甲， a w l._ =t =a e y a e y q m d y + “ ” ( 2 - 3 ) a w , s e , a w f 1 一 a e y . 49 6 ,j se, ( 2 . 3 ( a ) ) a e y a c , a w a s . a w , 1 a e m a c j a c . ( 2 . 3 ( b ) ) 凡 姚一气眠-.机 = a . s y + s , ( 2 - 4 ) 玉气竺气 竺气丛帆 ( 2 - 3 )式即为， (i 班._ 口 ; + b e 比较等式两端得， a w ._a w, 6 m “ ae , ” “ 一 可 ( 2 - s ) ( 2 - 1 ) 式沿图2 . 1 所示闭合回 路c 三 s 十 a a一 s + 万万的表达式应为: 弹塑 性断 裂力 学 之j 积分 与 复 合 型 裂 纹 扩 展 断 裂 准 则的 研究 _a u ， 一s. =d s a x , ( 2 - 6 ) n 三 、.1.了 现证明 ( 2 - 6 )式恒等于零成立。 现引用数学分析中的格林公式，即为 a 器 dx,dx, 一 f p n,ds ( 2 . 7 ( a ) ) 如果p是任意标量或矢量和张量的标量分量， 格林公式由2 .7 ( a ) 确定， 另外， e q .2 .7 ( a ) 也 可以 应 用 到 矢 量 的 分 量弓 和 二 阶 张 量 的 分 量凡， 于 是 为 ， 、 臀 dx,dx, = l pin,ds 和 釜 dx,dx, = l p y n , d s ( 2 .7 ( b ) ) ( 2 - 6 ) 式 中 的 第 二 项 积 分 ， 根 据 偏 斜 应 力 边 界 条 件凡= 凡 n , ， 并 引 用 格 林 公 式 2 . 7 ( b ) ，可以得到: 。 au, dsax, 一 is# n . au, d, = ji a ( s.v i ax, au d.) 一 。 f_aw ,l ax , 一- s ;. - ax ( ax, 卜 dx, 且 注 意 到 e y 一 告 阮 一 ) 和 应 用 2 .3 (a ) 式 和 呼 一， 式 。 ， aw ,ax, 一 aw , acya.-ii ar, 一 aw f acij. = sa ey av, = s - 1 - i (ujlj + uy ax 2 ( 2 - 1 0 ) ( 2 - 1 1 ) 由偏应力张量是对称张量， 即: 凡= s i t 01 d r 图2 . 6带椭圆切描的粱 ， ，+ = l im 土dfo , ， 。 2 d 二 ( x ) d x = ， 一 1牛m “2 d d e l (1 - % 4 1 - ( x l d ) ) m , a . a x = - y , t 丁) 乙i n ( 2 - 3 9 ) (240)(24l)(2an(2-43) 且有 , a, 7 1 k 丁1 = 月 下 d t o k 1 一 九 ， 且 一 ) 将方程 ( 2 - 3 8 ) . ( 2 - 3 9 ) . ( 2 - 4 0 ) 代入方程 ( 2 - 3 7 )有 且有 = y2 f (h )h b a a )= 0.993 m l ) - 1 因为 6 ， 二 ， = f v ,r.- 一 ; 6m3l 111, t b h z， “ 则有 弹 塑 性 断 裂 力 学 之j 积 分 与 复 合 型 裂 纹 扩 展 断 裂 准 则 的 研 究 由 方 程 ( 2 - 4 2 ) 和 2 - 4 3 ) 分 别得到不同a / h 值 对应的 本文 和文 6 的 结果 并比 较于表2 . 1 和图2 . 7中。 3c( 为 - 雀 一本文 - 一 文 6 7 厂 产 州 才 一 二 64 乏，它入飞心 0 0 . 10 .20 . 3 0 .40 .50 .80 . 70 .8 dh 图2 . 了梁中 边裂纹在弯矩作用下无f纲的应力强 度因子随无，纲的裂纹长度的变化规律 表2 . 1梁中 边裂纹在弯矩作用下，无t纲的 应力强度因 子与文 6 结果的比 较 口 h 6一6弓 、卜一76 0一-卜矛行 一， 0 . 10 . 20 . 50 . 7 0 . 8 1 (h ) 本文 文 6 0 . 5 1 7 0 . 5 8 5 0 . 8 1 5 0 30 . 4 1 . 1 3 0 1 . 5 1 0 0 . 8 3 5 1 . 0 9 01 . 4 0 8 2 . 0 1 9 1 . 8 7 3 3 . 9 7 5 6 . 5 0 3 3 . 8 6 8 5 . 9 1 3 2 .5 . 2梁中 裂纹在均匀受拉伸作用 梁中心裂纹在轴向拉力作用下如图2 . 8 所示，根据对称性取1 / 4 部分计算， 从方程 ( 2 - 3 6 )式有， 丁 吻丰 n 一 一 一2 h 一 一 一 一 目 门.卜 s 奋 n e， c， 图2 . 8 梁中裂纹在均匀拉力 作用下的情况 四川大学博士学位论文 k ; 0 .3 3 9 誉一 a - 一 a n， 一 ， 一 _ 、 -t u,，一 u,，矛 2 6 ( 2 - 4 4 ) 且有 u z .z = e a , a=2 h b ( 2 - 4 5 ) 同理，衬， 的计算与 ( 2 - 3 9 ) 式的方法相同。 u 2., 一 辣 去 0lim 1 i ju z z (x )dxd- o 7 d 一 - - -口 且有 斗n d x n , a , i一 丁 下 产 = = = = = 于 =爪 二 万y z l 下) - d f a ( 1 一 煞v 1 一 ( x / d ) lla ” ( 2 一6 ) 上2d 恕 -一 ， 口、 7 2 气 丁) = 刀 1六卉于 o k 1 一 办 -v i 一 l - ) ( 2 - 4 7 ) 将 ( 2 - 4 5 ) , ( 2 - 4 6 ) ， ( 2 - 4 7 )代入 ( 4 4 )式有 n，口 、 人 ，=， 一 - 二 =八 一 ) w h- - h - ( 2 - 4 8 ) 同理有 0 .8 5 9 v y z ( h ， 一 ， ( 2 - 4 9 ) _ 1 f ,巨 2 v h ( 2 - 5 0 ) 由 方 程 ( 2 - 4 9 ) 和 ( 2 - 5 0 ) 得 到不同a / h 值对 应的 文 6 和本文的 结果 列入 表2 .2 和比较与图2 . 9 中。 .-口.-本文 -亡- ， 文1 6 1 .才2 / 了 之又狱里魂q a / h 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 8 0 . 7 0 . 8 图2 . 9在均匀拉力作用下无里纲的应力强度因子 随无t纲的裂纹长度变化的规律 弹塑 性断 裂 力 学 之j 积分 与 复 合型 裂 纹 扩展 断 裂 准 则的 研 究 表 2 . 2 .伪 梁中裂纹在均匀拉力作用下无量纲的应力强度因子与文 6 1 结果的比较 0 . 10 20 30 . 40 . 50 . 60 . 70吕 j (汤 0 . 2 6 8众3 6 5 0 . 4 7 80 . 5 6 8 0 . 7 0 70 . 8 4 7 1 . 0 2 31 . 2 6 7 0 . 2 8 2 0 . 4 0 4 0 . 5 1 00 . 6 1 6 0 . 7 3 60 . 8 8 7 1 . 0 9 61 . 4 3 3 2 . 5 . 3梁边裂纹受轴向拉力 作用 如图2 . 1 0 所示梁中边裂纹在轴向拉力作用下，且边裂纹受偏心拉伸作用， 从方程( 2 - 3 6 )得出. b n n h r x, 图2 . 1 0 梁边裂纹受轴向拉力作用下的情况 0 .339 髻 一 ;， 一l- a * = - n u z .: 一 ( - n iu 2 ,: 一 m o ) 或0 .3 3 9 旦_ e 一u z . 7 a ， .二 、 十竺 ， 刃) 2 同理可以导出 n - . a 人 ，=- ; =八 -) b j h一 h - 式 中 的 衅) 为 ， n .f ( a ) = 2 .7 5 1 y z ( a ) + 3 ( a ) y .( q ) 一 1 ) z n n n n 并且 ( 2 一4 ) ( 2 - 5 5 ) 3 4 四川大学博士学位论文 将方程 ( 2 - 5 4 ) 和 ( 2 - 5 5 )的结果列入表 2 .3中，并比较于如图2 . 1 1 所示。 表 2 . 3 在价 梁边裂纹受轴向拉力作用下无量纲的应力强度因子与文 6 1 的结果的比 较 0 . 10 . 20 . 30 . 4 0 . 50 . 60 . 70 . 8 j t a / h ) 0 _ 5 9 5 0 . 6 6 2一 :; 6596112._4682.354 3. 6 5 85 . 5 8 08 . 8 5 61 6 . 0 4 刁 3 . 5 4 25 . 5 2 78 . 8 6 01 4 . 2 9 1 2 .6) 积分的偏斜应变能释放率的 解释 根据j 积分的形变功定义， 1 a r 1 1 j 二 日 i 、 a s ) ( 2 - 5 6 ) 式中:n为物体的势能，a 为裂纹的长度。 2 0 ， -.d- *ta -z61 。一本文 ， 合 -文6 / ，一门尸 了， ， n 称访邀哎q 0 0 . 10 2 0 . 3 0 . 4 0 . 50 .6 0 .7 众8 图2 . 11 梁边裂纹受 轴向拉力 作用， 其无量纲的 应力强度因子随无且纲的裂纹长度的变化规律 即， j=或 、 一 : d r 小、 一 、 刹 垂 、 一 。 sy ax ds ! ( 2 - 5 t ) 3 5 弹 塑 性 断 裂 力 学 之j 积 分 与 复 合 型 裂 纹 扩 展 断 裂 准 则 的 研 究 又 物 体 的 势 能 为 : n 二 u 一 犷 u ,d s 一 u ， 一 少 ， 十 u ， 一 如 . 6 y u ,d s ( 2 - 5 8 ) 将 ( 5 7 ) . ( 5 8 ) 式代入 ( 5 6 )式比较等式两端得: j 一 f (w ,、 一 s, 司 、 一 、 冲一 、 会 ds) = ) 一 as u js 一 i s,u,dsl = 一 a (uas 。 一 1- .8 yu,ds)- 在 线弹 性范围 内 ， 即j = g ; = ( 2 - 6 0 ) 现证明 ( 2 - 6 0 )式成立证明过程如下 对弹性 ( 线性或非线性)二维物体， n . 为物体的偏斜势能。 其单位厚度的总偏斜势能为: n = u , 一 i s ,u ,d s 一 几 w , d x ,d x z 一 i s ,u ,d s ( 2 - 6 1 ) u i单 位 厚 度 偏 斜 应变 能， w f 偏斜 应 变 能 密 度。 d : 物 体的 面 积。 比较图示2 . 1 2 ( a ) . ( b )两个二维弹性体，它们的差别只是裂纹长度相 图2 . 1 2 ( b ) 差a a 。 先研究带圆弧切口的二维弹性体，当切口圆弧半径趋于零时， 就变成二 维裂纹体了。 图2 . 1 2 .b 的物体比图2 . 1 2 .a 的物体少了一块长度为a a 的阴影面积 a d ， 相应的 切口 顶 端 边 界a.o b 记 为r , ， 于是 3 6 四川大学博士学位论文 4 u ， 一 u ， 一 u p 一 且 阮(e ， 十 e . 加 .* ， 一 加(e v 玩 众 一 j j, w f (1 4 + a e v )一 w f (e 。 )fu . d x 2 一 恤(e v * .d c, ( 2 - 6 2 ) d :物 体 的 面 积 ， a e ， 为 图2 . 1 2 .b 的 物 体 中 相 应 与 图2 . 1 2 .a 的 物 体 中 同 一 点 处 的 偏应变分量的 增量， 等式( 2 - 6 2 ) 右端第一项表示偏应力， 应变不同引 起的 变化， 第二 项为 面 积减 少引 起的 变 化. 因 为， 4 d = ax2 - a a ， 又 4 a 很小， 认 为 在a d 中 份沿x ， 方向 无 变化， 从而 ( 2 - 6 2 ) 式右端 第二 项为: 、产、矛、，、少 2-63州2-652-66 了r、咨r、了毛 几 , lw f (en )fu .dx 2 一 “ r w f (e。 1 2 一 以w f (e v ) x 2 为证明 ( 2 - 6 0 )式，取 8 u 1 _ lim a u f 由 m- 0 口 将 ( 2 - 6 3 )式代入 ( 2 - 6 2 ) ，再代入 ( 2 - 6 4 )式得: 刁 u,， ， a w, 一=1 1 dx , dx, d a d d a 一 j w f d x 2 上式右端第二项积分，因为在r ， 上，s , = o , 故写为， 一 ,w fdx 2 一 f, 卜2一 s; a-i司 一 -j 回 顾j * 积 分的 守 恒 性 的 证明 ， 应 用( 2 - 1 5 ) 式 和2 .7 ( b ) 式 及 关 系 式尽= 凡 n , ， 且d a 沿d x ， 方向， 故有: j r a f dr ldx 2 = 爵 (svup )dx idx 2 一 i(s,ju,p)n,ds 一 4s, (2-67 ) 将 ( 2 - 6 7 ) , ( 2 - 6 6 )两式代入 ( 2 - 6 5 )式得: a u f = - j a s r _a u ,. +口j 一a s， .e a s 或j = u， _s u 一 一 一 .=+ 4 j : =a s a q k a r 刁l - ， r , . ， 八 二一w ，一q j, u ; q j尸 =一 a s、矛止 二 日 n 加 g , * ( 2 - 6 8 ) g . : 偏斜应变能释放率 ( 2 - 6 0 ) 式得证 弹 塑 性 断 裂 力 学 之j 积 分 与 复 合 型 裂 纹 扩 展 断 裂 准 则 的 研 究 式 ( 2 - 6 0 ) 理解为在具有相同几何外形，相同外载和边界条件约束下，具 有相近裂纹长度a 及a 十 4 a 的两个试样单位厚度的偏斜应变位能差 率。即j 积 分在线弹性情况下解释为偏斜应变能释放率。 2 . 7 改进和展望 在本学位论文中提出的偏斜应变能的j积分是一个守恒积分。 由 于j 积分 值与 路 径无关。 我 们沿 裂 纹 尖 端的 一 圆 周 上 积 分 得 到了j值 与k ， 的 关 系。 在 应 用举例时，当 积分 路径 沿外边界 积分时，由 于应力 张 量不 难以 在外 边界上 分 解 成应力偏张量s ; 和应力 球张量a。 因 此， 在外边界的j 值是一 个 近 似值。 利用 有限元分析的手段，这一缺陷不难加以改进。其方法概括如下: 1 . 根据本文提出的j 积分: j 二 i (w f n ， 一 s ;u ,.,) . d s ( 2 -6 9 ) 沿 裂 纹 尖 端 一 圆 周 积 分 得 ，j . = .(i + v x 4 - 3 v ) . k ; 6 e 2 . 沿裂纹尖端任一路径c ，如图2 . 1 所示。 ( 2 - 7 0 ) j = 工 (