（应用数学专业论文）模糊目标规划及其近似解.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 本文主要就模糊目标规划问题的模型和近似解进行了探讨和研究。 首先在f g p 的简单加法模型、加权和模型和带优先级的简单加法模型 的基础上提出了带优先级的加权和模型：然后就决策变量、目标函数、 目标值及偏差函数都是三角形模糊数的f g p 模型，给出了其等价模型， 设计了解该类问题的迭代算法；重点讨论了f g p 问题中目标的隶属函 数为非线性函数时用线性函数、阶梯函数及分段线性函数近似的方法， 及其近似模型和近似m p a r e t o 最优解的概念，通过灵敏度分析得出了 近似解与原问题解的关系及该近似方法的有效性，设计了分段近似的二 分法。通过l a g r a n g e 插值误差分析，给出了线性函数是否以近似水平f 近似非线性函数的判断方法，并证明了对任何非线性函数总可用有限段 分段函数近似的结论。 关键词：目标规划：模糊集；模糊目标规划；近似模型；近似解 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 | 页 a b s tr a c t i nt h i sp a p e r ，t h em o d e l sa n da p p r o x i m a t es o l u t i o n so f f u z z yg o a lp r o g r a m m i n gp r o b l e mw e r ed i s c u s s e d f i r s t l y ，t h e w e i g h t e da d d i t i v em o d e l w i t h p r e e m p t i v ep r i o r i t vt o s o l v e f u z z yg o a lp r o g r a m m i n g ( f g p ) i sf o r m u l a t e db a s e do nt h es i m p l e a n d w e i g h t e da d d i t i v em o d e la n dt h es i m p l ea d d i t i v em o d e lw i t h p r e e m p t i v ep r i o r i t y ：s e c o n d l y ，a c c o r d i n gt of g pm o d e lw i t h d e c i s i o nv a r i a b l e sa n dg o a l sa n dd e v i a t i o n sb e i n gt r i a n g u l a r f u z z yn u m b e r s ，i t se q u i v a l e n tm o d e la n di t e r a t i v ea l g o r i t h m a r ep r o p o s e d t h e nt h e p a p e rd i s c u s s e st h em e t h o do fu s i n g 1 i n e a rf u n c t i o no r s t a g g e r e df u n c t i o n o r p i e c e w i s e1 i n e a r f u n c t i o nt oa p p r o x i m a t en o n l i n e a rf u n c t i o ni nf g p p r o b l e ma n d t h ec o n c e p t so fi t sa p p r o x i m a t em o d e ia n d a p p r o x i m a t em p a r e t o o p t i m a ls o l u t i o n ，e d u c et h er e l a t i o no fa p p r o x i m a t es o l u t i o n a n do r i g i n a ls o l u t i o na n dv a l i d j t yo ft h i sa p p r o x i m a t em e t h o d b a s e do nt h e s e n s i b i l i t ya n a l y s i s ，p r o p o s ed i c h o t o m y o f p i e c e w i s ea p p r o x i m a t e t h ep a p e rp r e s e n t st h em e t h o dt oj u d g e 1 i n e a rf u n c t i o n a p p r o x i m a t en o n l i n e a rf u n c t i o nw i t hd e g r e e 占o rn o ta n d p r o v e t h a t a n y n o n li n e a r f u n c ti o nc a nb e a p p r o x i m a t e db yp i e c e w i s e1 i n e a rf u n c t i o nw i t hf i n i t ep i e c e k e y w o r d s ：g o a lp r o g r a m m i n g ；f u z z yg o a lp r o g r a m m i n g ；f u z z y s e t s ：a p p r o x i m a t em o d e l ：a p p r o x i m a t es o l u t i o n 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 页 第一章绪论 在决策科学、管理科学、信息科学、系统科学、计算机科学、工业工程以 及可靠性技术等众多领域研究的问题中都存在着客观的或人为的不确定性。在现 实世界中，不确定现象是普遍存在的，表现形式也是多种多样的，如随机性、模 糊性、粗糙性、模糊随机性以及其他多重不确定性。伴随着这些千姿百态的不 确定性，存在着大量的优化问题需要解决。不确定环境下的优化理论一不确定规 划正是在这种背景下建立和发展起来的。 不确定规划【l 】是处理各种不确定环境下的优化问题的工具，它提供了随机规 划、模糊规划、粗糙规划以及模糊随机规划建模与求解的统一原理。随着计算机 技术的飞速发展以及智能计算技术的不断涌现，许多复杂的优化问题已经能通过 计算机求解。尽管目前优化问题的求解规模常常与计算机的运行速度有关，但是 随着时阊的推移和计算机技术的更新换代，问题的主要矛盾不在于运行速度而在 于建立问题的数学模型和求解算法。事实上，一些过去根本无法求解的复杂问题 如今很多都可以通过计算机求解。摆在我们面前的任务是提出更加丰富的建模思 想，建立优化问题的数学模型并设计模型求解的现代算法。不确定规划理论的建 立和发展正是当前这一方面的国际研究潮流的具体体现 1 1 目标规划( g p ) 运筹学是从2 0 世纪3 0 年代发展起来的一门新兴学科，其研究对象是人类 对各种资源的运用及筹划活动，研究目的在于了解和发现这种运用及筹划活动的 基本规律，以便发挥有限资源如人力、物力等的最大效益，从而达到全局最优的 目标。作为运筹学的基本工具，数学规划从数学方法论的观点出发，通过对优化 问题中各种因素之闻数学关系的研究，构造出数学模型并进行求解，从两为决策 提供支持。简单的说，数学规划就是在一些数学等式或不等式约束条件下，求一 个( 或一组) 函数极值的方法。 常见的数学规划有线性规划、非线性规划、多目标规划、目标规划、动态规 划、多层规划、随机规划、模糊规划、粗糙规划、随机模糊规划等。 目标规划是一种多目标规划技术，其基：本思想源于s i m o n 的目标满意概念， 即每一个目标都有个要达到的标靶或目标值，然后使距离这些目标的偏差最小 化。 c h a m e s ，c o o p e r 和f e r g u s o n 等人在1 9 5 5 年发表的一篇关于用线性规划来最 西南交通大学硕士研究生学位论文 第2 页 优地测算经理人员的酬劳的文章中，为目标规划的产生打下了基础。但目标规划 这一术语则是于1 9 6 1 年在c h a m e s 和c o o p e r 所著的管理模型与线性规划的工 业应用( m a n a g e m e n t m o d e l sa n di n d u s l r i ma p p l i c a f i o n so fl i n e a rp r o g r a m m i n g ) 一 书中首次提出的。 l e e 在其1 9 7 2 年出版的决策分析用的目标规划( g o a lp r o g r a m m i n gf o r d e c i s i o na n a l y s i s ) 一书中介绍了目标规划的基本概念、解法及其在生产计划、财 务决策、市场决策、公司计划、学院计划、政府决策、医疗保健计划等多方面的 应用，是致力于讨论目标规划的第一本专著。 i g n i z i o 在他1 9 7 6 年所著的目标规划及其扩展( g o a lp r o g r a m m i n ga n d e x t e n s i o n s ) 一书中阐明了目标规划的基本理论，并将其应用扩展到整数规划及非 线性规划领域。此后他又提出了目标规划的对偶和效率较高的求解算法。 s c h n i e d e r j a n s 在其1 9 8 4 年出版的线性目标规划( l i n e a rg o a lp r o g r a m m i n g ) 一 书中详细讨论了目标规划的应用。 r o m e o 在其1 9 9 1 年出版的目标规划关键问题手册( h a n d b o o ko fc r i t i c a l i s s u e si ng o a lp r o g r a m m i n g ) 一书中探讨了目标规划的建模方法，并给出了详尽的 参考文献目录。在i g n i z i o 和c a v a l i e r 于1 9 9 4 年出版的线性规划( l i n e a r p r o g r a m m i n g ) 一书中对目标规划及其向人工智能领域的扩展进行了综述。 大体上说，7 0 年代到8 0 年代初期是目标规划蓬勃发展的阶段，许多学者进 行了多方面的探索，发表了数百篇研究论文，在理论和实践两方面都有不少进展。 尽管学术界都承认目标规划是一种解决实际生活中多目标问题的有效方法和一 个强大的工具，但对目标规划进行研究和应用的热情在8 0 年代中期以后却有所 减退。其原因之一是普遍缺乏建立有效的目标规划模型所需的知识；二是缺乏商 业化的大型目标规划求解软件，从而阻碍了目标规划的实际应用。 从9 0 年代中期开始，目标规划又开始引起人们的注意。1 9 9 4 年6 月1 日至 3 日在英国朴茨茅斯大学召开了第一届多目标规划与垦标规划理论与应用国际会 议( m o p g p9 4 ) ，会上共宣读了1 0 篇目标规划方面的论文，i g n i z i o 教授在会议 上作了有关目标规划的主题演讲。他指出，自从目标规划在印年代提出并应用 之后，在解决现实世界的一些难题中取得了相当大的成功。特别是对那些具有众 多而相互矛盾的目标，以及软硬约束共存的问题，用常规的方法求解时通常都要 做许多简化的( 往往是有问题的) 假设。从解决美国太空计划中的工程设计问题 到进行预测和成本测算，都已证明目标规划是一个解决现实问题的有效而实用的 方法。但遗憾的是有些研究人员只热衷于探索这一新热门工具的新颖特性，而忽 视了去理解它在决策中的特定作用，从而阻碍了目标规划的发展。他在报告中还 西南交通大学硕士研究生学位论文 第3 页 列举了许多在多目标决策学术界还鲜为人知的目标规划的新应用。 1 9 9 6 年5 月1 6 日至1 8 日在西班牙的托莱莫利诺斯召开了第二届多目标规划 与目标规划理论与应用国际会议。会上宣读了8 篇有关目标规划的论文。从中可 以看到在理论和应用方面的一些新进展。例如在克服决策变量的量纲不一致性、 启发式搜索解法、动态目标规划，以及在股票市场、配送系统设计、投票行为、 模糊估计等方面的应用。 我国学者在目标规划方面的研究大致开始于2 0 世纪8 0 年代初期，主要侧重 于其应用。不仅翻译了i g n i z i o ，【等人的著作，宣家骥、方爱群、陈景艳、赵可 培、陈昌华、裴鑫德等人还编写了目标规划方面的专著。但由于我国学术界对目 标规划的了解不够，国内外的学术交流较少，又缺乏适用的求解软件，故早期的 研究深度及应用广度都远远逊于线性规划、整数规划及动态规划等其他数学规划 方法。近年来，我国学者刘宝碇等【1 1 对不确定规划作了深入研究，在目标规划方 面也取得了不少成果，提出了随机、模糊、随机模糊及模糊随机环境下的目标规 划模型，并设计了基于随机模拟和模糊模拟的遗传算法，且广泛运用到水资源供 给一分配问题、生产过程、开放存储网络及资金预算等实际问题当中。 1 2 模糊目标规划( f g p ) 目标规划( g p ) 是对于决策者在同时考虑多个目标时寻找其可接受解集时 的一种有效方法。然而精确的决定每个目标的目标值是很困难的，因为决策者有 可能只能获得部分信息1 5 】。有许多方法把j f 确定性和不精确性融入目标规划中， 如概率分布、惩罚函数、模糊数和各种阈l o 】。在带有不精确性的目标规划中， m a r t e l 和a o u n i 1 1 - 1 3 1 等通过弓 入满意度作为目标函数的偏差函数而提出了标准g p 模型口4 1 ，为了刻画目标值的不精确性，在满意函数中使用了无区分阈概念。这种 方法可允许决策者用一种明确的方法表述其偏好结构。 1 9 6 5 年，美国加利福尼亚大学控制论专家扎德( l a z a d e h ) 教授在 ( i n f o r m a t i o na n dc o n l r 0 1 ) ) 杂志上发表了一篇开创性论文“f u z z ys e t s ”，标志着 模糊数学的诞生。模糊数学开辟了一个新的研究领域，成为研究当代科学技术的 有力工具。其应用已涉及到自然科学、社会科学的各个领域，尤其在运筹学、管 理科学、信息科学、系统科学、计算机科学以及工程等众多领域显示出了强大的 生命力和广阔的应用前景。 为了在模糊环境中指定目标的非精确期望水平，n a r a s i m h a n “驯通过使用隶属 函数最先提出了模糊目标规划( f g p ) ，并利用z i m m e r m a n n 的模糊规划方法获得 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 了一些研究成果 1 “”。f g p 广泛应用于各种领域【2 3 】。更进一步的研究涉及到f g p 问题模型、模糊目标的相对重要性和优先性及算法等。 在f g p 中由于一些目标比其他目标更重要。因而有必要考虑各目标的相对 重要性及优先性。n a r a s i m h a n 1 5 1 使用使用晤言变量描述目标的模糊权重，且通过 指定隶属度的期望区间定义对应的隶属函数来反映其重要性。h a n n a n 3 0 和t i w a r i 等拉“对不同目标使用了不同的权重以反映各目标的相对重要性，并将其权值作为 对应目标的系数。 更进一步，如果决策者希望一些目标在其他目标满足之前优先满足，则可对 目标设定优先顺序。在已有的方法1 2 1 , 3 1 “a 2 中，决策者将所有目标划分为k 个优先 级( k 小于或等于目标数) ，从而将原问题划分为k 个子问题，然后按优先顺序依 次解之。而在解某一优先级的子问题时，高优先级中各目标的隶属度将作为附加 约束，即优先级低的目标的满足不能牺牲高优先级目标的满足。 1 。3 本文工作及内容安排 在现实生活和工程领域中，存在着许多不确定现象，这种不确定现象主要表 现为随机性、模糊性和粗糙性。而在数学规划问题中，这种不确定性现象会给决 策者作决策时带来很大困难。因此对于研究这种不确定环境下的最优化问题，具 有很重要的理论和现实意义。 本文讨论了一类不确定性规划问题一模糊目标规戈r j ( f g p ) 。模糊目标规划是 一种模糊多目标规划技术，其实质是模糊多目标规划的一种妥协模型。 本文从f g p 的加法模型、f g p 的推广及f g p 的近似模型和近似解等方面对模糊 目标规划进行了探讨和研究，并得出了一些结果。 本文的主要工作： ( 1 ) 本文在模糊目标规划( f g p ) 的简单和模型、加权和模型及带优先级 的简单和模型的基础上，基于同一优先级中各目标的重要性不同提出了带优先级 的加权和模型，并给出了具体的数值例子。 ( 2 ) 就决策变量、目标函数、目标值及偏差函数都是三角形模糊数的f g p 模型及其性质，给出了其等价模型，设计了解该类问题的迭代算法，并给出了具 体的数值例子。 ( 3 ) 针对f g p 问题中目标的隶属函数为非线性函数的情形，讨论了用线性 函数、阶梯函数及分段线性函数近似非线性函数的方法，及其近似模型和近似 m - p a r e t o 最优解的概念，通过灵敏度分析得出了近似解与原问题解的关系及该近 似方法的有效性，设计了分段近似的二分法。通过l a g r a n g e 插值误差分析，给出 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 了线性函数是否以近似水平占近似非线性函数的判断方法，并证明了在特定条件 下对任何非线性函数总可用有限段分段线性函数近似的结论。 本文内容安排： 第一章绪论。总结了国内外在g p 和f g p 方面的研究现状及成果，提出了 本文研究的主要问题和方法，安排了本文的工作等。第二章模糊目标规划的加 法模型。讨论了模糊目标规划( f g p ) 的简单和模型、加权和模型及带优先级的 简单和模型。在具有优先结构的f g p 问题中，由于同一优先级中各目标的重要 性不同而提出了带优先级的加权和模型。对一具体问题，通过各种模型求出了它 们的解。第三章f g p 问题的推广。讨论了决策变量、目标函数、目标值及偏差 函数都是三角形模糊数的f g p 模型及其性质，给出了其等价模型，设计了解该 类问题的迭代算法，给出了数值例子。第四章f g p 的近似解。针对f g p 问题中 目标的隶属函数为非线性函数的情形，介绍了用线性函数、阶梯函数及分段线性 函数近似非线性函数的方法，及其近似模型和近似m p a r e m 最优解的概念，通过 灵敏度分析得出了近似辫与问题解盼关系及该近 娃方法的有效性，设计了分段近 似的二分法。通过l a g r a n g e 插值误差分析，给出了线性函数是否以近似水平占近 似非线性函数的判断方法，并给出了在特定条件下对任何非线性函数总可用有限 段分段线性函数近似的证明。结论及展望。总结了本文的方法及成果，提出了有 待进一步研究的领域、问题和方法。 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 第二章f g p 的加法模型 目标规划( g p ) 是对于决策者在同时考虑多个目标时寻找其可接受解集时的 一种有效方法。然而精确的决定每个目标的目标值是很困难的，对这种不精确性 和不确定性的处理，直接导致了模糊目标规划( f ( 狰) 的产生和发展。本章讨论 了f g p 的简单加法模型、加权和模型及；带优先级的简单加法模型，针对同一优 先级中各目标重要性不同的情形，提出了带优先级的加权和模型，并就同一具体 问题建立了各种加法模型，求得了它们的解。 2 1 传统目标规划模型( g p ) 在传统目标规划中，通常是给各目标一个期望值，计算各目标的偏差，然后 最小化各偏差和。模型如下： m i n ( d ? + 布) | = i s t g i x + d ；一d ；= g i d ：= q 。 矗i ，d ? ，x 2 0 ，i = 1 ，2 ， ( 2 1 ) 其中。为”维决策变量，g i ( 力，i = 1 ，m 为目标函数，g ，为第i 个目标的期望 值，d ? = m a x g f ( 工) 一g ；，o 为第f 个目标的正偏差，矗i = m a x g 。一q ( 砧，o 为第f 个目标的负偏差。 2 2 模糊目标规划模型( f g p ) 2 2 1 简单加法模型。” 如果决策者对多目标问题中各目标的重要程度不加以区分或是无法判断，即 认为各目标是同等重要的，这时对各目标的满意度采取简单加法，用其和作为目 标函数，从而把多目标规划问题转化为单目标规划问题加以解决。这类问题的模 型称之为简单加法模型。 考虑如下f g p 问题： 求x 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 j f g i ( 曲g 。，i = 1 ，m l g ，( 功g ，j = 1 , - - - , 搬2 a x b z 0 其中x = ( x 。，x ：，工。) ，m + m ：= m ，符号“”为“近似大于或等于”，即期 望水平的模糊化，它表示即使目标值小于期望水平，只要大于某一特定容忍极限， 决策者是满意的，只不过满意的程度不同而己。根据z i m m e r m a n n 2 羽的理论，目 标g i ( 工) 的隶属函数如下表述： l g f u i ( 2 2 2 ) 其中u 。为第f 个模糊目标g ( z ) 的上容忍极限。 则f g p 问题( 2 1 ) 的简单加法模型为( 2 2 3 ) 。 这里y ( ) 称为模糊达成函数或模糊决策函数。这是一个单目标优化问题， 用传统的优化技术即可解之。由于目标具有模糊性，决策函数是最大化各目标隶 属值之和，而传统g p 是最小化偏差之和。 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 m a x y ( ) = h 且t 舻掣l 一 驴等等= “，州 a x b j “ ，p i s l x ，雎，t j o ；f ，”，n ) ( 2 3 ) 2 ，2 2 加权和模型乜3 1 加权和模型由于反映了各目标的相对重要性而在目标规划和多目标优化技 术中得到广泛应用。该方法中决策者根据各目标的相对重要性对各目标的隶属值 指定不同的权重作为其系数，然后最大化加权和。则对应问题( 2 3 ) 的模型为： m a x y ( ) = w f 一 只 似：g a x ) _ - l , ，f ：1 ，小， ，：u ：_ - 一g j ( x ) ，_ ，：m r + 1 ，m 一2 面，刊小m 弘i ，p 。s 1 x , f l l ，纷o ；i ， l ，班) ( 2 4 ) 其中为第i 个模糊目标的权重，且y = 1 冒 这种方法的主要难点在于决策者难于对各目标的相对重要性做出正确评价。 “相对重要性”本身就是一个模糊概念，其不同重要级也只能用一种不精确表述。 但是也有一些比较好的方法用来进行权值的设定，如s a a t y t 3 6 j 的特征向量法， n a r a s i m h a n 3 如的几何平均法，j a y n e s 3 哪的熵：疗法及c h u 等的加权最小平方法等。 2 2 3 具有优先级的简单加法模型嘲3 在许多决策问题中，各目标是不能同单位度量的。甚至有些时候除了某些特 殊目标被满足外，其余目标根本不予考虑。在这种情况下，加权和模型是不合适 的，因而可把各目标划分为若干个优先级，然后按优先级从高到低逐一解之。优 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 先结构表示为p ， p 。，表示第f 个优先级中的各目标比第f + 1 个优先级中的目 标又更高的优先权，即无论取多大的，都有b v p 。因而原问题被分成t 个 子问题，七为优先级的数目。在第一个子问题中，仅有第1 个优先级中的目标被 考虑，用前述简单和模型即可解之。但在：其他优先级中，更高优先级中各目标达 成的隶属函数值被作为附加约束条件。一般的，第i 个子问题为： m a 】【( 以) 。 “舻等瓢= 器 a 工b ( ) ，= ( ) n ，r = 1 ，i 一1 从1 五麒o , i2 l ，m ( 2 5 ) 其中( 雎) 。为第i 个优先级中各目标的隶属函数，( ) ，是第r 个优先级中各目标 已达成的隶属函数值，且r i 一1 2 2 4 具有优先级的加权和模型 在具有优先级的加法模型中，没有考虑同一优先级中各目标的相对重要性， 而是所有目标视为同等重要的，这是不太合理的。在许多现实问题中，往往存在 几个目标重要程度不同，但又不足以分在不同优先级中的情况，这时在同一优先 级中根据各目标的相对重要性设定权值，将其加权和作为决策函数，不失为种 合理方法。与( 2 2 3 ) 一样，将所有目标分成女个优先级，原问题被分成女个子 问题，一般的，第i 个子问题为： m a x ( w 。以) n 砒扩等瓤= 器 a x b( 2 6 ) ( ) ，= ( ) p ，= 1 ，i 一1 从兰1 x ，。0 ，f = 1 ，m 西南交通大学硕士研究生学位论文第10 页 其中( 从) 。为第i 个优先级中各目标的隶属函数，峨为对应目标的权值，且 w s = 1 ( ) ，是第r 个优先级中各目标己达成的隶属函数值，且r 茎f 一1 2 3 数值例子 例：求x ，使其满足下面模糊目标： 4 五+ 2 x 2 + 8 x 3 + x 4 3 5 4 工j + 7 工2 + 6 工3 + 2 x 4 1 0 0 x l 一6 x 2 + 5 而+ l o x 4 1 2 0 ( 2 7 ) 5 x , + 3 x 24 - 2 x 4 7 0 4 x i + 4 k + 4 x 3 4 0 j t 7 x l + 5 x 2 + 3 x 3 + 2 屯9 8 7 茗l + 屯+ 6 屯+ 6 1 1 7 + x 2 + 2 x ，+ 6 x 4 1 3 0 9 x i + x 2 + 6 x 4 1 0 5 五，k ，x 3 ，工4 0 令5 个目标的容忍极限分别为( 5 5 ，4 0 ，7 0 ，3 0 ，1 0 ) 则5 个目标的隶属函 数分别为： 5 5 一( 4 工l + 2 屯+ 8 x 3 + ) “一一 4 x l + 7 x 2 + 6 + 2 x 4 4 0 鸬= x , - 6 x 2 + _ 5 x 万3 + 1 0 一x 4 - 7 0 段= 5 x , + 3 x 2 石+ 2 x , 一- 3 0 “。：4 x l + 4 x a + 4 x 3 - 1 0 。 3 0 则对应各种模型的解分别为： ( 1 ) 简单加法模型 x = ( o ，9 7 5 ，0 , 1 5 8 7 5 ) g = ( 3 5 3 7 5 ，1 0 0 0 , i 0 0 2 5 ，6 1 0 ，3 9 0 ) k t = ( o 9 8 1 ，1 0 0 , 0 6 0 5 ，0 7 7 5 ，0 9 6 7 ) 亘重奎垄查兰堡主婴壅竺兰篁堡塞 塑! ! 至 _-_一一 ( 2 ) 加权和模型 设各目标权重分副为w = ( o 4 9 ，0 1 3 1 , 0 1 5 3 , 0 1 1 4 , 0 t 1 2 ) ，锯得 工+ = ( o 9 5 4 5 ，0 ，1 4 ，9 0 9 ) g = ( 3 5 ，9 8 6 3 3 ，1 0 1 8 2 ，6 0 ，4 5 3 , 3 8 1 8 ) ， = ( 1 o , o 9 7 7 ，0 6 3 6 , 0 7 6 1 ，0 ，9 3 9 ) ( 3 ) 具有优先级的加法模型 设5 个目标分为三个优先级： 优先级1 ：g i 和g ， 优先级2 ：g ， 优先级3 ：g 4 和g 5 ， 解褥工= ( 0 0 2 ，7 ，4 7 9 ，0 4 7 3 1 6 2 5 t ) ， g = ：( 3 5 0 0 0 8 7 7 0 , 1 2 0 0 0 0 , 5 4 9 4 9 , 3 l t 8 l 6 1 ， t = ( 1 o o , o 7 9 5 ，1 o o , o 6 2 4 ，0 7 2 7 ) ( 4 ) 具有优先级的加权和模型 同样设5 个目标分为三个优先级： 优先级1 ：g i 和g ，对应权值为w l = 0 7 5 ，w 2 = o 2 5 优先级2 ：g 2 ， 优先级3 ：g 4 和g ，对应权值为w 1 ：= o 6 峨= 0 4 解得工= ( o 0 0 1 ，7 4 8 2 2 ，0 4 7 2 8 ，1 6 ，2 5 2 9 ) ， g = ( 3 5 0 0 0 0 , 8 7 7 1 8 0 , 1 2 0 ，0 0 1 3 0 ，5 4 9 5 2 0 ，3 1 8 1 9 0 ) ， 2 = 0 0 0 0 0 , 0 7 9 5 3 ，1 ，0 0 0 0 ，0 6 2 3 8 ，0 7 2 7 3 ) 本章小结 ， 本章讨论了f g p 的简单加法模型、加权和模型及带优先级的简单加法模型。 在具有优先级的加法模型中，没有考虑同一优先级中各目标的相对重要性，而是 所有目标视为同等重要的，这是不太合理的。在许多现实问题中，往往存在几个 目标重要程度不同，但又不足以分在不同优先级中的情况，针对这种情形，提出 了带优先级的加权和模型。并就同一具体问题建立了各种加法模型，求得了它们 的解。 西南交通大学硕士研究生学位论文第12 页 第三章f g p 的推广 传统的f g p 问题只讨论了目标值是模糊数的情形，在目标函数和约束条件 中都不含模糊参数，决策变量也不是模糊变量。若用这种方法给某些实际问题建 模，则难以体现其全部信息。本章讨论了决策变量、目标函数、目标值及偏差函 数都是三角形模糊数的f g p 模型及其性质，给出了其等价模型，设计了解该类 问题的迭代算法，并给出了具体的数值例子。 3 1 传统目标规划问题h 1 ( g p ) 4 x 为决策集，g 为目标集，q ( 曲，i = 1 ，m 为目标函数。在g p 问题中 我们就是寻找一个决策工+ x ，使q ( 上) 最大满足所给目标值g 。e g ，即q ( 工) 与 g i 的偏差d ( c i ( x + ) ，g 。) 最小。 令g = ( g l ，9 2 ，g 。) c ( x ) = ( c l ( x ) ，c 2 ( 曲，c 。( 曲) d ：g “g 4 - - 【o , + z o 】 则g p 问题可转化为如下优化问题： r a i n d ( 。( x ) ，g ) ( 3 1 ) 即寻找工+ x ，使偏差d ( c ( 工+ ) ，g ) 最小，即z + = a x g r a i n d ( c ( x ) ，g ) 通常，偏差函数d 是各个目标偏差的最大者，用“m a n r r l g , x ”方法即为： m i n d ( c ( x ) ，占) = m i l l m a x b ( f 】( z ) ，9 1 ) ，d ( c 。( d ，g 。) 这里n ：g x g - - - h 0 ，+ 。= 1 ，2 ，m 是单个目标的偏差函数，则问题( 3 1 ) 可转 化为如下数学规划问题： 西南交通大学硕士研究生学位论文第13 页 r a i n 五 奠 。d 1 ( c 1 ( 工) ，9 1 ) 墨五 现( c 2 ( 曲，g z ) s 五 ( 3 2 ) d 。( c 。( z ) ，g 。) a z x 因而，若上述约束的左边是x 的线性( 非线性) 函数，则问题( 3 2 ) 是线性( 非 线性) 规划问题。 3 2 模糊目标规划 本文中我们考虑决策变量、目标函数和偏差函数均为模糊变量的模糊目标规 划。其中涉及的模糊值均为具有分段线性函数的三角形模糊数，而两个三角形模 糊数的偏差也用一简单的偏差函数来度量。 3 2 1 模糊决策变量 对于决策变量的单个分量，我们用对称非负三角形模糊数表示，其分离率为 善： 也= # ；王= ( 五f ) ，j 0 , 0 s 手1 其中i 的隶属函数u 如下定义3 力( 见图3 1 ) ： 图3 1 对称三角形模糊数 西南交通大学硕士研究生学位论文第14 页 ；( 0 = 一卜譬 l o 乒0 ，t r 乒= 0 ，f = x ( 3 ，3 ) 其它 则决策向量为具有分离率孝的非负模糊向量。，即x 群，其中 龟= 每；王= ( i ，i ：，最) ，霉是，= 1 ，2 ，n ) 3 。2 2 模糊目标 这里考虑隶属函数为三角形模糊数的模糊目标，即g = t ，其中 穸= 瘩；享= ( g 量刃，聍0 , g - o ；的隶属函数心定义咖如下( 如图3 2 ) ： 以( f ) = m a x o t 一爿哪 一 o ，卜引 t g ( 3 4 ) 这里仅考虑墨，享 0 的情形，否则其定义可扩展如( 3 3 ) 式的形式。 图3 , 2 模 西南交通大学硕士研究生学位论文第15 页 显然，对称三角形模糊数集是于的_ 子；集。 3 2 3 模糊目标函数 本文仅在x 互彤上考虑线性模糊目标函数，即 i ：雕_ t ，i = 1 , 2 ，m ， 五( i ) = 互，；芊；瓦i ( 3 5 ) 其中毛= ( 勺， ，弓) ， t = ( x j ，乒，) ，i = l ，m ，j = l ，n ( 3 5 ) 式中的算子“；，_ ”如下定义： 令三= ( 口，璺刃，b = ( 6 ，西 加法算子； 云；占= ( 以竖，研；( 6 ，卢，万) ：0 + 以垡+ ，酉+ 万) ( 3 6 ) 乘法算子： 占：b = ( 4 ，璺a - ) ：( 6 ，西= ( a b ，垡l + a f t a _ p ，a - b + 妒一砌 ( 3 7 ) 因而有 互( 王) = i i7 - ；瓦? 五= ( c f ( 工) ，c 。( 曲，互( 曲) 也是一三角形模糊数，其中 q ( 算) = c 工， j i l ! 删：窆b + 孝( 勺一白) k 一l t ( 算) = 竞b + 善( 勺+ 弓) k ， 3 2 4 偏差函数 令孑，；丁，孑= ( c ，c ，砷，荟= ( 昌，璺亭) ，：，罾的偏差d 如下定义m 1 ： ( 3 8 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第16 页 蛹，= o 1 ，一 嚣，砸c - g ( 3 ，9 ) 如图3 3 ，偏差d ( 孑，；) 等于l 减去两个隶属函数交点的隶属度。两个模糊值 的偏差通常是介于o 到l 之问的实数，当且仅当c = g 时，两个模糊数孑，吾的偏 差为0 ， 图3 , 3 偏差d ( 孑，量) 性质1 令苫，享f ，孑：( c ，! ，力，；：( 占，g ，可) ，o 五1 若c 十五( 虿+ c ) g ，c ( 墨+ 石) g ， 则d ( 亭，；) a 证明：若 c + a ( f + 9 g ，c 一丑( 墨+ 力占， 则有兰a ，三二! s 五， g + !g + c 一 里，里 五 l g + cc + g l 故蜥，= 曲 1 ，一慝，遥忙 西南交通大学硕士研究生学位论文第17 页 事实上，由于0 旯1 ，上述过程是可逆的，因而由d ( 孑，；) 五也可导出 c + 丑( 蓼+ c ) g ，c 一2 ( 一g + c - ) s g 3 2 5 模糊目标规划问题( f g p ) 前面讨论了模糊目标规划的有关概念， r a i n 兄 j t d ( 云( 呈) ，g 。) 五 d ( 乏( i ) ，i ：) 五 现在给出模糊目标规划问题的模型： ( 3 1 0 ) d ( 己( ；) ，；。) 五 i x 其中葚( ；) = 互。i 芊芊互。t ，i = 1 ，m 为模糊目标函数，d 为偏差函数， g 。，；：，喜。为给定目标值，f t o , 1 为模糊变量的分离率。 3 3 等价模型 f g p 问题( 3 1 0 ) 与下述问题等价 m m n c “书，+ 丑( 磊+ b + f ( c f 一，) k ) g 。 1 。， ( 3 1 1 ) ， ， c i x ，一五( 墨。+ 皖+ 善( q 一毛) k ) g ； = lj = l 0 旯l i x ，i = 1 , - - - , 蜥 证明：由互( ；) = 弓。_ i - 7 - 芊己了i = ( c 。( 曲，c 。( z ) ，五( x ) ) c a x ) = c o x j g ( 曲= 窆b + 善( 勺一白) k 弓( 工) ：窆阮+ 善( c f + 弓) k ， j = i 有宝勺工，+ 五( 舀+ 窆k 口+ 孝( 勺一白) k ，) 占。辛c j ( 功+ 五( 瓦+ 刍( j ) ) g 窆c “- 一 ( 曼+ 宝b + 善( 勺一气) k ，) g ；jc i ( 工) 一五。+ 互( ：) ) g ， 西南交通大学硕士研究生学位论文第18 页 由性质1 得d ( 互( 础蠡) i ，i = l ，m ， 若d ( 乏( x ) ，蟊) s z ，i = 1 , - - - , m ，则由( 3 9 ) 式d 的定义有： 鱼二生五 墨- g 鱼二堡 i + 旦 c 口工，+ 五( 瓦+ b + 弛口一乃) k ，) g = lj a l e c i j x 厂五( 墨。+ b + 善( c 一弓) k ，g 故问题( 3 1 0 ) 和问题( 3 1 1 ) 等价。 3 4 迭代算法 第一步：给出解的初始估计工= ( “，x ；”，) ； 第二步：令x 仕1 ) _ ( 石p 。1 ，拶。1 ，一o ) ，解下面线性规划问题： mm “ 勺工1 + ( 磊+ b + 鬏勺- c 口) k 严- 1 ) g ； ，= lj = l 勺z 一”( 墨+ b 十孝( 勺一弓) 】垮。) g ， j - 1j = t 0 s 1 ，章x ，i = i , - - - , ，拄 第三步：令k = k + l ，回到第二步。 该方法产生一序列( 工”，) ，其收敛于问题( 3 i i ) 的最优解( z ，刀) 。 3 5 数值例子： 考虑下面问题： c ( x l ，x 2 ) = 6 葺+ 1 3 x 2 ；g l = 1 0 0 0 c ( 五，x 2 ) = 1 0 + 7 屯；9 2 = 1 0 0 0 s t x = ( 石l ，工2 ) x b薯藉 一 西南交通大学硕士研究生学位论文第19 页 使用下面偏差函数： j d ( c ( 功，g ) = m a x c 。( j ) 一占，j ，i c ：( x ) 一占：j 解得最优解为 x + = ( 工? ，墨) = ( 4 0 ，6 0 ) 现把上面问题推广到如下f g p 问题( 善e o l 】) ： 葚( i ，五) = 6 i + 1 3 ；：2 ；f f ，= 1 0 0 0 砭( 王，；：) = l o i + 7 ；：；2 = 1 0 0 0 j ( t q ，五) xc 2 ， 主= i ，五) r g , x l + 屯= 1 0 0 ，工：o 其中i = ( x i ，圣，墨) = ( ，鼠，) ，i = 1 ，2 是模糊变量，模糊参数为： 6 = ( 6 ，1 ，1 ) ，1 3 = ( 1 3 ，3 1 ) ，1 0 = ( 1 0 , 1 ，2 ) ，7 = ( 7 , 1 ，1 ) ，1 0 0 0 = ( 1 0 0 0 , 2 0 0 ，0 ) 用( 3 9 ) 定义的偏差函数，取孝= 0 2 ，用上面的算法解得最优模糊解为： ；= ( 耳，霹) = ( 5 6 ，4 4 ) ，最小偏差z = o 0 5 本章小结 本章讨论了决策变量、目标函数、目标值及偏差函数都是三角形模糊数的 f g p 模型及其性质，给出了其等价模型，设计了解该类问题的迭代算法，并用具 体的数值例子说明了该模型的可行性及有效性。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 0 页 第四章f 6 p 问题的近似解 一般来说，模糊参数多目标规划中的模糊数都是取三角模糊数、梯型模糊数， 以及一些具有线性隶属函数的模糊数，但这些模糊数往往不足以刻画某些参数的 本质特征，因此，很多时候还得考虑非线性隶属函数，如指数函数、反双曲函数 等。当问题中参数的隶属函数为非线性时，求解原问题是很困难的。因此本章针 对f g p 问题中目标的隶属函数为非线性函数的情形，讨论了用线性函数、阶梯 函数及分段线性函数近似非线性函数的方法，及其近似模型和近似m p a r e t o 最优 解的概念，通过灵敏度分析得出了近似解与原问题解的关系，设计了分段近似的 二分法。通过l a g r a n g e 插值误差分析，给出了线性函数是否以近似水平占近似非 线性函数的判断方法，并证明了在特定条件下对任何非线性函数总可用有限段分 段线性函数近似的结论。 4 1 非精确目标规划 传统的多目标线性规划( m o l p ) 模型如下： r a i n ( m a x ) 2 ( 而5 ( 2 t ( 力，2 2 ( j 。，( ) ) ( 4 1 ) j f x x 这里z ( 劝，