（基础数学专业论文）几类时滞偏微分方程周期解的存在性和稳定性.pdf

几类时滞偏微分方程周期解的存在性和稳定性 基础数学专业 研究生宿娟指导教师李树勇 在生物，医学，化学，物理，工程，经济等领域中的许多现象和过去都是有联 系的，用含时滞的微分方程来模拟刻画这些现象会更接近实际然而，时滞微分 方程的求解比不含时滞时更为复杂时滞会影响方程解的存在性和稳定性：导致 振动，周期，分支，混沌等更为复杂的现象因此研究起来也更困难本文中，我们 主要考虑几类时滞抛物型方程周期解的存在性和稳定性 在第二章，我们将研究一类含时滞非线性抛物型方程组的周期解 詈一印。= 眦删，u ) ， ( 啦) ( o ，) x q ， e 吨= g ，( f ，z ，u ) ，( r ，工) ( o ，) x a q ， u i o ，z ) = “( f + r ，j ) ，( z ) 【一，o q ，f = 1 ，- ，n 通过上下解方法和相应的迭代技巧得到：若方程组存在周期上下解，则方程组一 定存在周期拟解且在一定的条件下，周期拟解恰好是方程组的周期解并以一 个生态模型为例说明了所得结果的意义 第三章研究了一类含离散时滞的l o g i s t i c 方程 丝笋刮“一“x ) 卜部桃矿弘堋吩卜水( g ! ! ! ! 立堕。o “，z ) ( o ，m ) a g d ， “e ，曲= o 曲， ( r ，x ) ，o 】q 通过构造常数上下解，我们得到了方程的周期拟解，并且拟解构成的区间是方程 的个吸引子最后利用不等式技巧得到了周期解的唯一性在这里我们所考虑 的问题和得到的结果比文 2 5 更进了一步 第四章讨论了含多个离散时滞的l o t k a v o l t e r r a 竞争方程 o u f i ( 1 , x ) 如( f 小州叫咖) _ 6 l 阶肿力一薹讹珈z ，功 ， 丝铲却：化小叫船) 卜小6 2 ( f 班，一善nd j ( t , x ) u x ( t - h ，, x ) 】， ( f ，z ) ( o ，o o ) x q ， 旦“。= 0 ， 吩( t , x ) = 峨。( 泓) ， ( f ，工) ( 0 o 。 a q ， ( f ，z ) 一巧，o q ，i = 1 ，2 通过混拟单调方程所建立的周期解的存在比较定理和迭代方法，我们得到了平 凡解，半平凡解和正周期解的存在性和全局渐近稳定性 关键词：时滞周期抛物型方程组上下解单调迭代技巧周期拟解周期 解存在性唯一性全局渐近稳定 i i e x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o n sf o r s e v e r a lc l a s s e so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u t i o n sw i t h t i m ed e l a y s p u r em a t h e m a t i c s g r a d u a t es uj u a n s u p e r v i s o r l is h u y o n g m a n yp r o c e s s e si nb j o 】o g y ，m e d i c i n e ，c h e m i s t r y , p h y s i c s ，e n g i n e e r i n g , e c o n o m i c s ， e t c ，h a v ec l o s ec o n n e c t i o nw i t ht h ep a s th i s t o r y am o r er e a l i s t i cm o d e ls h o u l d i n d u d et i m ed e l a y s h o w e v e r , t h eb e h a v i o ro fs o l u t i o n sf o rp a r t i a ld i f i e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t ht i m ed e l a y si sm u c hm o r ec o m p l e xt h a nt h a tw i t h o u tt i m ed e l a y s t i m ed e l a y sc a ne f f e c tt h ee x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo fs o l u t i o n sa n dl c a dt ot h e o s c i l l a t i o n ，p e r i o d i c i t y , b i f u r c a t i o n ，c h a o sa n dm o r ec o m p l e xp h e n o m e n a s oi ti s m u c hd i f f i c u l tt or e s e a r c ht h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ht i m ed e l a y s i nt h i s p a p e r ，w ec o n s i d e rs e v e r a lc l a s s e so fp a r a b o l i ce q u a t i o n sw i t ht i m ed e l a y s a n d o b t a i ne x i s t e n c ea n da s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o n s i nc h a p t e r2 ，w ei n v e s t i g a t et h ep e r i o d i cs o l u t i o no fn o n l i n e a rp a r a b o l i cs y s t e m w i t ht i m ed e l a y s 詈一印= f ( 啦n 玑) 皿吨= g 。( t , x ，u ) ， q ( t , x ) = 吨( t + 丁，z ) ， ( f ，工) ( o ) q ， ( f ，x ) ( o ，) xa q ， ( f ，z ) _ t ，o 】q ，i = ”，n b yt h em e t h o do fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sa n di t sa s s o c i a t e dm o n o t o n ei t e r a t i v e t e c h n i q u e s ，i ti ss h o w nt h a ti ft h e r ee x i s tu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s ，t h e nt h e r ee x i s t s ap a i ro fp e r i o d i cq u a s i s o l u t i o n s u n d e rs o m ea d d i t i o n a lc o n d i t i o n s t h ep e r i o d i c q u a s i s o l u t i o n s a r e e x a c t l yt h ep e r i o d i cs o l u t i o no ft h es y s t e m a na p p l i c a t i o n a r i s i n gf r o me c o l o g yi sg i v e nt oi l l u s t r a t et h eo b t a i n e dr e s u l t s i nc h a p t e r3 ，al o g i s t i cm o d e lw i t hd i s c r e t et i m ed e l a y si ss t u d i e d i l i 丝笋刮一( f 卟阱6 ( f 蝴小弘咖斗( f ，水( 州垃， 里鲤：0 o v “( f ，力= o ，功， ( ，x ) ( 0 + m ) a q ， ( ) 一r ，0 q b yc o n s t r u c t i o nt h ec o n s t a n tu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s ，w eo b t a i n ap a i ro f q u a s i s o l u t i o n s m o r e o v e rt h es e c t o rb e t w e e nt h eq u a s i s o l u t i o n si sa na t t r a c t o r t h e u n i q u ep e r i o d i cs o l u t i o ni so b t a i n e db yt h ei n e q u a l i t yt e c h n i q u e s t h ep r o b l e ma n d t h er e s u l t so b t a i n e di nt h i sc h a p t e ra r ef u r t h e rt h a nt h a ti nf 2 5 c h a p t e r4f o c a s e so nt h el o t k a v o l t e r r ac o m p e t i t i v em o d e lw i t hd i s c r e t et i m e d e l a y s o u f l ( t , x ) 蝴( f 小州) 卜矿吣榔一薹他挑力 ， 塑铲咄小叫啦) 卜小挑阱喜d j ( t , x ) u l ( t - 叫， ( f ，x ) ( o ，) q ， b , u 。= 0 ，( t , x ) e ( o ，m ) a q ， “，( t , x ) = “，。t ，x ) ，( f ，x ) 一t ，o 】q ，i = 1 ，2 u s i n gt h ee x i s t e n c e c o m p a r i s o nt h e o r e m f o r t h eq u a s i - m o n o t o n es y s t e ma n d i t e r a t i v em e t h o d ，w ep r e s e n tt h ee x i s t e n c ea n dg l o b a l l ya s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h e t r i v i a ls o l u t i o n s e m i t r i v i a ls o l u t i o n sa n dp e r i o d i cp o s i t i v es o l u t i o n s k e y w o r d s ：t i m ed e l a y s p e r i o d i cp a r a b o l i cs y s t e m u p p e r a n dl o w e r s o l u t i o n sm o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e s p e r i o d i cq u a s i s o l u t i o n sp e r i o d i c s o l u t i o n se x i s t e n c e u n i q u e n e s sg l o b a l l ya s y m p t o t i cs t a b i l i t y i v 四川师范大学硕士毕业论文 第一章前言 在科学研究的诸多领域中，如物理、力学、工程、化学反应、生态学、医 学、金融学等，其相应物理量关于时间与空间之间的制约关系都可以通过偏微 分方程( 组) 来反映“1 此外，人们还发现在自然界、社会科学和各种工程系统 中，时滞现象广泛存在例如，人群在t 时刻的生育数量取决于l o 个月之前的 怀孕情况，即和t 一1 0 时的人群和环境状况有关具有时滞的模型反映的基本 事实是：t 时刻的变化规律不仅取决于t 时刻本身，还受到f 时刻以前某些时刻 的影响时滞往往能更真实的反映自然界的发展规律，有着比不含时滞方程更 丰富的性质和内容同时，由于时滞的出现使得系统的性质发生了变化，影响 了解的存在性、稳定性”；导致振动、周期解、分支、混沌等现象“例如， w r i g h t m 在研究具有时滞的l o g i s t i c 方程时曾指出，随着时滞的增加，平凡解将 由稳定变的不稳定m o r i t a “”在研究含时滞的偏微分方程时也得到，当扩散系 数变小或区域的凸性发生变化时，周期解的稳定性将会由于时滞而发生改变 因此，研究含时滞的偏微分方程解的基本性质是很必要的，可以更好的揭示事 物发展的规律 对时滞偏微分方程的系统性研究始于上个世纪7 0 年代由于数学理论研 究的完善和发展，人们借助半群理论、动力系统、泛函分析、常微分方程、偏 微分方程以及泛函微分方程等方向建立的各种理论、方法和结果，开始了对时 滞偏微分方程性质的研究，各种成果层出不穷，散见于各种学术期刊杂志，成 为最具有吸引力的一个研究热点例如，t r a v i s e 和w e b b 在文 1 1 中借助算子 理论，将时滞抛物型方程转化为抽象微分方程，在b a n a c h 空间中来讨论解的 存在性和稳定性，将h a l e 对时滞微分方程解的讨论在偏微分方程上作了一 定的总结，开创了时滞偏微分方程研究的新局面此后，在b a n a c h 空间中利用 半群算子来讨论时滞抛物型方程的研究非常活跃“又如，m a r t i n 和s m i t h “” 将偏微分方程中的上下解方法及相应的迭代技巧推广到了含时滞的偏微分方 程，建立了时滞抛物型方程组的上下解理论c v p a o 利用这一理论，建立了时 滞抛物型方程组解的存在比较定理”，为时滞抛物型方程组的研究奠定了坚 四川师范大学硕士毕业论文 实的基础利用该方法，cvp a o 相继讨论了几类时滞抛物型方程组解的存在 性和吸引子，其中包括有限时滞，无限时滞，离散时滞的抛物型方程组“”以及 自治的时滞抛物型方程组“近几年来，应用上下解方法研究一些特殊时滞抛 物型方程组解的存在性和稳定性也随着展开“1 周期解作为微分方程一种重要形式的解而倍受关注 2 2 - 2 4 ，长期以来一直 是时滞抛物型方程组研究的热点之一例如，文 2 5 讨论了线性边界条件时周 期解、周期拟解的存在性：得到拟解所构成的区间恰好是方程组的一个吸引子 非线性边界条件是偏微分方程一类重要的边界条件研究这类边界条件下周 期解的性质对偏微分方程理论有重大的意义对非线性边界条件下的时滞抛 物型方程组，文 2 6 就反应函数、边界函数拟单调不减时得到了极大和极小周 期解的存在性但拟单调不减的要求对许多方程组来说并不满足我们将在第 二章中就混拟单调和非线性边界的条件下来讨论一类时滞抛物型方程组通 过将混拟单调方程组与一个拟单调不减方程组联系起来，利用对拟单调不减 时获得的结论来得到周期拟解的存在性如果周期拟解满足一定条件，则周期 解存在且唯一 生物数学作为一门新兴学科，近年来的发展十分迅速其中人们所关心 的问题有各种生物种群随时间推移的演变规律：是继续生存还是灭绝：种群的 规模是否具有平衡态女口果外在环境使得种群最初的数量发生了变化，随着时 间的推移，能否再回到这个平衡态上在数学上，这就是关于各种生态模型解 的存在性和稳定性的研究同时，生物种群生活环境昼夜和季节的周期变化， 预示着种群在规模上可能存在周期的变化周期解的存在性和稳定性的研究 对预测种群的发展规模有重大意义，受到了学者们的广泛关注。4 “ l o g i s t i c 模型是描述单种群生长的一类重要的生态模型自从v e r h u l s t 和 q u e t e l e t 在1 8 3 8 年提出后，一直是种群研究中的一个重要数学模型人们对该 模型的不断修改完善，对其性质的分析也越来越彻底尤其在近二十多年里， 有关该模型含有限时滞，无限时滞，离散时滞和扩散时对解的存在性、稳定性、 周期性、振动性等方面都有一定的研究“2 例如对不含扩散的常系数无穷时 滞l o g i s t i c 方程，m i l e r ”得到了正解的存在唯一性和稳定性r e d l i n g e r 。”则将 所得结论推广到了含扩散( 即时滞反应扩散方程) 的情况bs h i 和yc h e n ”1 2 四川师范大学硕士毕业论文 进一步就变系数的情况，得到了解的有界和稳定的判别准则，推广了常系数时 所得结论v a n g b i n gt a n g 和l iz h o u 。”就文 3 2 所讨论的无穷时滞反应扩散方 程，利用上下解和不等式技巧获得了周期解存在唯一的充分条件与此同时， 含离散时滞l o g i s t i c 模型的研究也陆续出现文 3 4 就时滞恰好是系数的周期 时，运用周期解线性化稳定的f l o q u e n t 理论得到了周期解的稳定性对于多个 时滞，并且每个时滞都是周期整数倍的情况，文 3 5 利用单调方法得到了平凡 解、正周期解存在和稳定的充分条件文 3 4 ，3 5 中，时滞都是和周期有关的， 所得的结论对于任意时滞不具有普遍性对任意离散时滞，文 2 5 得出若瞬时 效应大于滞后效应时，周期解是存在唯一的，并且得到了方程的一个吸引子 但是该方程中部分系数是常数的，对此，我们将在第三章中讨论含离散时滞的 变系数l o g i s t i c 方程通过构造常数上下解来得到方程的周期拟解和吸引子， 再利用不等式技巧得到了周期解存在唯一的充分条件 l o t k a v o l t e r r a 模型是生物数学中最典型和重要的模型之一最初由美国 种群学家l o t k a 在1 9 2 1 年研究化学反应和意大利数学家v o l t e r r a 在】9 2 3 年考 虑鱼类竞争时分别提出进入七十年代以后，l o t k a v o l t e r r a 系统的研究深度 与广度得到了加强同时该系统不仅出现在生物、化学、物理、人口、经济等 众多领域，而且其它大量的系统在某些变换下总能转化成这一系统由于应用 的广泛性，l o t k a v o l t e r r a 系统越来越受科学工作者的关注最近十多年，国内 外发表了大量关于这一系统的文章，与这方面有关的常微分，偏微分系统：时 滞，离散系统的专著也陆续出现 4 ，6 ，3 6 l o t k a - v o l t e r r a 模型周期解的存在性和稳定性作为其中的研究问题，已经 被许多的文献提出和研究 7 ，2 4 2 6 例如，对不含时滞的两种群反应扩散模 型，文 3 7 就相互竞争时得到正周期解存在和唯一的充分条件文 3 8 则将所 得结论推广到一般的两种群竞争模型文 3 9 运用周期抛物算子理论得到了 竞争一互助模型周期正解存在的若干判别准则，并且就唯一性给出了充分且必 要的判别准则文 4 0 则运用特征值理论和上下解及迭代方法获得了互助模 型周期解存在、唯一以及不存在的充分条件 随着不含时滞的l o t k a - v o l t e r r a 模型周期解的研究，含时滞周期解的讨论 也相应出现对竞争一互助的两种群模型，文 2 5 通过对抽象方程建立的周期 四川i 师范大学硕士毕业论文 拟解的存在理论，利用特征值构造上下解，进而得到了平凡解、半平凡解、周 期拟解存在稳定的充分条件，并且所得周期拟解恰好就是系统的全局吸引子 但其中没有对周期解的存在性给出具体的判别准则对含连续时滞的竞争模 型，文 4 1 应用解的存在比较定理、特征值方程、综合分析技巧得到了平凡解、 半平凡解和正周期解存在且全局渐近稳定的充分条件文 4 2 同样就含多个 离散时滞，且每个时滞都是周期的整数倍时讨论了上述三类解的存在性和稳 定性对此，我们将在第四章中讨论含多个离散时滞的l o t k a v o l t e r r a 方程组平 凡解、半平凡解和正周期解的存在性和稳定性 4 四川i 师范大学硕士毕业论文 第二章一类含时滞的非线性抛物型方程组的周期解 2 1 引言 考虑如下含时滞抛物型方程组 降一地= 五( 船，u ，u f ) ， ( 啦) 0 , c o ) q 量略兰g i ( f ，工，u ) ，( f ，x ) ( o ，o o ) a q ， ( 2 1 ) j “i ( f ，x ) ；“；( f + r ，z ) ，( x ) t ，o q ， 【 周期解的存在难一性，其中f = 1 ，n ，t ，o ，t ，o 且为常数，u = ( u l ( t ，x ) ， u u ( t ，z ) ) ，u f = ( “，o 一，z ) ，“o h ，工) ) ，q 是r “中的有界区域，且具有 光滑边界d q 对v i = 1 ，n ， 衿荟n1 4 龇x ) 袅l 归= 1 ) 毒， b 。“，：粤+ 屈p ，z ) “。 厶是q 上的一致椭算子，q o ，展苫0 ，且a ，+ f l i ( t ，z ) 0 ，0 ，x ) 卜t ，+ o o ) x q 这里三表示边界a q 的单位外法向量l ( t ，工，u ，q ) ，g i ( f ，置u ) y 汗u ，u ，是 非线性的 2 2 基本准备 设d = r + q ，s = r + d q ，d 0 = - 呵i ，0 】q ，a 1 = 卜t i ，+ ) q ，q = a o x x q “设d 为上面任一集合，c ( d ) 表示c ”( d + ) 中的子集，且在d 上 是口阶h i 5 1 d e r 连续的，其中口( o ，1 ) ：c 1 2 ( d ) 表示对f 与x 分别是一次与二次 连续可微函数的集合，其中( f ，z ) d 中。2 ( d ) ；c 1 2 ( d ) x x c l 2 ( d ) ， 5 四川i 师范大学硕士毕业论文 中。( q ) ；c 。( q 1 ) x c 。( q ”) ，中( q ) ；c ( q ) c ( q ) 都是维的 向量函数空间记 f ( t ，x ，u ，v ) = ( 五o ，x ，u ，矿) ，一，厂o ，x ，u ，矿) ) ， g q ，z ，u ) = ( g 。o ，z ，u ) ，一，g o ，z ，h ) j 在本章中，我们假设对每个i = 1 ，n ，厶的系数属于c 。( d ) ，函数z o ，x ，) 关于f ，x 是属于c 4 ( d ) 的，其中5 = r + 百：屈以x ) e c 。( 5 ) ，g i ( t ，工，关于 f ，工是属于c 。( - ) 的：边界d q c 1 ”，其中a e ( o ，1 ) 定义2 1 u ；( 吩， u l ， u l ) ，u ；( u l j ， u l ) 其中a l , b l , c l , d 。均为非负 整数，且i + 岛= n 一1 ，c ，+ d 。- n ，i ；1 ，n 对r ”中的一个子集a ，若 u ，u a ，正( f ，工，【，q ) 对 u l ，p ，l ，单调不减，对p l ，p ，l 单调不增，则称 f ( t u ，u ，) 在a 上是混拟单调的若h i = df = 0 ，则称f ( t ，z ，u ，u ，) 在a 上是 拟单调不减类似地，令u = o 。，p l ，p 1 ) ，弓+ 吩= 一1 ，且岛，h i 为非负整数 若对每个f ，g l o ，p l ，矽1 ) 关于 u l 单调不减，对p l 单调不增，则称 g ( t ，x ，u ) 在a 上是混拟单调的若h 。= 0 ，则称g ( t ，z ，u ) 在 上是拟单调不减 因此( 2 1 ) 可改写为： - o 甜u il i u i 五k 吼， u k 咀， u ，“( “) d ， 垦“，= 毋( t ，z ， u i ， u k ) ，t , x ) s ， ( 2 2 ) i ( f ，x ) = q ( f + r ，z ) ；( f ，x ) 硝，i = 1 ， 定义2 2 设西；( 五1 i 一，虬) ，d t o l 一，i ，) 是中”( d ) n 垂4 ( q ) 中的函数， 且疗d ，若，o ，z ，u ，u 。) 关于u ，u ，混拟单调，g ( t u ) 关于u 混拟单调，且对 i + = 1 ，n 有 四川师范大学硕士毕业论文 詈一地= 五b 喀，n ，吼，嘲。，哆“( ) d ， 岛匾& 【r ，z ，匾， 疗 。， 疗 j ， ( r ，x ) s ， 嚷( f z ) z 匾( t + t ，x ) ，( x ) e 硝， 詈一硒s 五k 喀，问。，陬，哆h 玩“( 船) d ， 聃卜喀，吲。，问。j ， ( ) 韪 正；( t ，x ) s 玩( t + t ，z ) ，f t , x ) 上埔) 则称疗，d 为方程组( 2 2 ) 的一对周期上下解 记( d ，疗) ； u 中( q ) ：d s us 疗) 假设：( q ) 对f ：1 ，n ，工。的系数n 篁0 ，x ) ，6 只0 ，z ) 和正，g ，成0 ，x ) 都 是关于t 的r 周期函数 ( h ：) 对u ，v e p ，d ) ，( f u ，矿) 关于【，y ，占o ，z ，关于c ，是连续可 微的，且在a ；( 疗，疗) 上都是混拟单调的 令v = m u ，其中m = ( 吖1 ，一，m ，) ( 哆喀，i = 1 ，n ) 是常向量则 ( 2 2 ) 可扩展为如下方程组： 詈一工以= ，小 u l ， m y i ， u l ， m k i ) ， 詈一u 一f ( r m u m y l ，p k ， m k l ， u r l ) ，( l x ) d ， 垦驴( 啦， u l ，阻一y k ) ， ( 2 3 ) 垦u = 成肘，一旦“j 一占_ r ，置m ，一u ， w y l ， u l ) ， ( f ，x ) s ， “( f ，x ) = h ( f + r ，石) ， y “，z ) ：v “+ z ，x ) ，( f ，z ) d ! 7 四川师范大学硕士毕业论文 令t ( r ，z ，u ，y ，u 。，y ，) = 正i 矽l ，阻一y l ， u 。l 。，k k 1 j ， 日+ ，o u ，v ，q y 。) 工i m 一u ，k y l ， u l ，瞳一k l ， u 。l ) f ( 毛z ，u ，v ，u r ，v 。) = ( 互( f ，五u ，v ，u ，k ) ，e 。( f ，z ，u ，v ，u ，k ) ) ， g ，0 ，x ，u ，矿) = g i e 眇l ，融一v l , ) ， g 。( f ，z ，u ，矿) = g ? e ，z ，m ；叫，瞳一v l , ，矽1 ) ，i = 1 , - - , n ， g ( f ，工，u ，y ) = ( q o ，工，u ，y l ，g ：。扛，工，u ，y ) ) 令w = ，v ) = ( u 1 ，u ，k ，h ) = ( m ，w ：。) ， ( 诊，谚) = ( u ，矿) 中( q ) 中( q ) ：ds us 舀，m 一疗s 矿s m 一疗) ， l “= 三f ，b “；骂，i = 1 ，一， 则( 2 3 ) 可以记作如下 ( t , x ) e d ， ( t , x ) e s ， ( 2 4 ) ( ，j ) 崩“，i = 】，2 n 2 3 主要结果及证明 引理2 1 若正0 ，z ，u ，u ，) 及毋0 ，z ，u ) ，i = l ，满足( q ) ，( 哦) 则 ，o w ，噬) ，g o ，z ，) 在( 谚，谚) 上拟单调不减 证明：由文 1 9 中引理2 1 知，f o ，t w ，暇) 在妒，谚) 上拟单调不减同样 的方法可以证得g e ，叫在( 矿，矿) 上拟单调不减 引理2 2 痧= ( 疗，m 一疗) ，谚= ( d ，m 一矿) 为方程组( 2 4 ) 的周期上下解当 且仅当舀，d 为( 2 2 ) 的周期上下解 证明：设疗，疗为( 2 2 ) 的周期上下解，由定义2 2 ，( 2 3 ) 及f ，g 。的混拟单调 8 矽 矿 ， b ，砖 味巧 e p “ 1 ， = 却咆小塑以跳毗 四川i 师范大学硕士毕业论文 性知矿= p ，矿) = ( d ，m d ) ，谚= p ，矿) = ( 疗，m d ) 满足 堕o t 一厶喀z 五( t ，z ，磊，p 。， m 一旷 。， 玩】。， m 一吱 。) ， 詈一ez 一正仁j ，峨一e ， m 一旷】p 。， m 一吃 。， 玩 。) ，( r ，z ) d ， e 暖强k 匾， 疗m 一旷n 垦ea 属吖；一旦喀= 西( r ，葺m e ， m 一矿 。，p 。) ， ( t , x ) 苫玩( t + 丁，z ) ， e ( f ，x ) e ( t + 丁，工) ， ( f ，z ) s ， ( f ，x ) 瞄 由( 2 3 ) 与( 2 4 ) 的等价性可知谚为( 2 4 ) 的周期上解同理可证谚为周期下 解 反之，若矿，矿为( 2 4 ) 的周期上下解，则疗z 疗，由旷为周期上解及( 2 3 ) 和( 2 4 ) 的等价性有 等一龋z 五k 喀， 疗m 一矿疗， 。， 旦匾强k 匾， 舀m 一旷n 匾( t , x ) z 喀( t + r ，z ) ， p 一吃n ( ) d ， ( t , x ) e s ， ( f ，x ) e 硝 又m 一旷；d ，故疗为( 2 2 ) 的周期上解同理可得疗为周期下解所以d ，d 为( 2 2 ) 的周期上下解 引理2 3 若矿，旷为( 2 4 ) 的周期上下解，则( 2 4 ) 有一组周期解 旷0 ，x l 里0 ，x ) ，且旷( f ，z ) z 世0 ，z ) ：若旷( o ，x ) 一芝( o ，z ) ，则谚( f ，z ) = 堡( f ，z ) = w + ( f ，z ) ，且0 ，x ) 为( 2 4 ) 在( 矿，i f , ) 上的唯一周期解 证明：由引理1 知f ( f ，x ，w ，彬) ，g 0 ) 在( 谚，形) 上拟单调不减，取非 负常数k ，k ! 满足： 四川i 师范大学硕士毕业论文 定义算子 鲁d w , ( f ，坍川小一面吧杪，矿) ) i 秘圳小，z ) e s , w e ( 叫 鼍hs 警一厶雌+ 酏， b ，w ，e b i i v i + k l w 。， r a t ，x ，w ，h ：) 曼k i w i + 互( f ，x ，w ，w ) ， h 。( r ，x ，h 7 ) 兰墨m + g ，( f ，工，w ) 于是方程组( 2 4 ) 改记作： 分别以= u ，鲨”= 【，为初值进行如下迭代： 卜；r i ( 船，w “，吧“”) ， ( t , x ) e d b f q = h i ( 啦，陋叫) ， ( x ) e s ， i 谚( 船) = 谚- x ) ( t + t ，z ) ，( t , x ) e d 5 “，i = 1 ，2 n 得到序列矿“) 证“ 由文 2 6 知，当t - o o 时，旷c i ) 一旷，里“，一坐，其中 旷，墅为( 2 4 ) 的周期解，且矿；旷= 堡：谚若旷( o ，z ) = 堡( 0 ，z ) ，则 谚( f ，工) = 坐( f ，z ) = ( f ，z ) 为( 2 4 ) 在( 谚，谚) 上的唯一周期解 定理2 1 若( 2 1 ) 满足( 一) ，( h ：) ，且存在周期上下解疗，疗，则( 2 1 ) 在 a 一( 驴，巧) 上存在一对周期拟解盯( f ，z ) ，里o ，x ) ，且舀( r ，x ) 疗( f ，z ) z 垡( f ，工) 1 0 r、l rj、l x x 一 一 j i 墨 汜 陋韪州 啦一舭 0“：，0 峨叭 ；： e 墨“：， m l h ，卜 穹 i i 一 心m 小 v 耳w 四川师范大学硕士毕业论文 z 疗( x ) 若u ( o ，z ) = 里( 0 ，x l 则厅( x ) = 里( f ，z ) = u ( f ，工) ，其中u + ( r ，z ) 为 ( 2 1 ) 在a 上的唯一周期解 证明：若巧，舀为( 2 1 ) 的周期上下解，由( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的等价性及引理 2 2 知妒= p ，m 一疗) ，旷= ( 舀，m 一矿) 是( 2 4 ) 的周期上下解由引理2 3 知 ( 2 4 ) 在( 矿，谚) 上有周期解旷o ，z ) = 修，m 一型l 芝o ，走) = 世，m 一扩) ，且 矿( f ，z ) 矿( f ，z ) z 鲨p ，工) z 谚( f ，z ) 将矿o ，z l 型o ，z ) 代入( 2 4 ) 中易知盯( f ，z x 望0 ，x ) 为( 2 2 ) 的周期拟解，即 矿0 ，z x 型o ，z l 满足如下方程组 鲁一厶薅= z ( ，呸，1 7 。，匣l ， 玩 。， 匕l ) ，( 舢) d ， 旦砭一【f ，艺瓯，i v 。， 型kj ， ( f ，z ) s ， 巧( f ，z ) = 互( t + t ，x ) ，( f ，x ) e 硝) ， 警一地；五k 坠 型l ，吼，匮l ， 玩( ) b i u _ ；= ( 置弛， 型l ， 疗 ) ， ( f ，茗) s ， “，( t ，工) ：坚i ( t + r ，工) ，( f ，x ) d 0 ) 若扩( o ，z ) ；型( 0 ，z l 则旷( 0 ，z ) = 堡( 0 ，z ) ，由引理2 3 有旷o ，z ) = 墅o ，x ) = 矽( f ，x ) 是 ( 2 4 ) 在f 谚，谚) 上的唯一周期解，所以扩o ，x ) ：坚扛，z ) ：u 0 ，z ) 满足 、， ( 2 2 ) ，u o ，：) 为( 2 1 ) 在a 上的唯一周期解 2 4 应用举例 讨论如下方程组 1 1 四川师范大学硕士毕业论文 鲁- d 1 v 2 ”a i - b l u l - c l u 2 + d 1 u 3 ，3 ) ， 鲁- d 2 ：a - 6 2 1 1 - c 2 u 2 + 咖) ， 鲁_ d ，v 2 铲“，k + 饥_ c 3 、一d 3 u 3 ) ，( ) d ， ( 2 9 ) b i “，= 0 ，( f ，z ) s ， “，( 姐) - 蛳( t + t ，z ) ，( f ，j ) d 弘i = 1 ，2 ，3 其中目如之前的定义，t 为正常数，d iad j ( f ，x lqs q ( r ，工) ，b 。；以o ，z ) ， c i ；q o ，x ) ，d i ；喀p ，x ) ，i = l 2 ，3 为正的r 周期函数 记厶= s u p ，( f ，z ) ：( f ，z ) 【一，+ * ) 西) ， 五= i n f f ( t ，x ) ：( l z ) 【一，+ c o ) 孬) ， 其中r5 m a x 托，f = 1 ，2 ，3 ) 若d n 钆 ，令m - 2 i d 3 j l a e i ”= + d 画l m a a m ， m2=生也型逊，其中m，=瓦b3m五al_m瓦+bjllai3mc2l 取眩，矗z ，以) ；- ，m z ， d 3 岛一d l m 岛村 m ，) ，仁，d ：，如) = ( 0 ，0 ，0 ) 作为( 2 9 ) 的常数上下解因此( 2 9 ) 存在周期拟解 恒。，u ：，坚。x 瓴，瓦，瓦) 使得 ( 0 ，0 , 0 ) s 血。，坚：，竖，) s 瓴，疋，瓦) s ( ，m ：，m ，) 若幢。，坚：，u ，) = 瓴，瓦，瓦) ，则它是( 2 9 ) 的唯一周期解 为了得到( 2 9 ) 的非常数周期解，下面讨论如下形式的周期上下 解：( 五，厅：，u 3 ) = ，m ：，m ，) ， ，五：，以) = ( 哦中。，6 ：中：，6 ，中，) ，其中m ，如上定 义，d ；j r + ，巾为周期特征值问题 四川师范大学硕士毕业论文 堡一(djv2+q)中；=由；，ot 、7 b 中j = 0 ， 中；( f ，z ) = 中。( t + r ，工) ， ( t , x ) e d ， ( t , x ) e s ， ( t , x ) e 球，i = 1 ，2 ，3 ， 的主特征值丑缸。) 对应的正的特征向量对充分小的6 ，若 c c 2 m ：，九 也m 。，- t - c 3 m ：，则有( 4 中。，6 ：中：，岛中，) ，( m ，m ：，m ，) 满足如下不等式 组： 岛等一d 1 6 1 v 2 卟神- ( ”哺卟c 2 + d 舻，( f 一巳) ) ， 6 ：等一d 2 6 2 v 2 m 2 a m 荟c i m ，则3 1 存在正的常数上下解卢，a 证明：若芦，口为( 3 1 ) 的常数上下解，则由引理3 1 有 0 占 0 s a 6 ( f ，x ) 卢一善c i ( t ，x ) a 6 0 ，z ) a 一善c i ( t ，z ) 卢 ( f ，工) ( o ，。) q ， ( 3 2 ) 警：o ；罢， ( 姐) ( o ，m ) a q ， d ya y 、 。 吼一荟c 皿 。：挚，( 0 ，+ o o ) x 酗脚( f x )a = l ，( o ，q ，且卢之庐( f ，) 一；蒌c 正 ：a ( ( r ，x ) 一t ，o 西) ，则( 3 2 ) 成立，且卢，a 为( 3 1 ) 的常数上下解定理得 证 若方程组( 3 1 ) 存在常数上下解卢，a ，由文 2 5 可知方程组存在周期拟解 i o ，z ) ，坚o ，z ) ，即i o ，z ) ，丝o ，z ) 满足 o u f ( t , x ) 石 岖叫删曲风小扣瑚嘞z ) 1 丝笋倒叫州叫啦龇小蓦删砸 小“) ( 0 一x q 塑生：型一o u ( t , x ) o d vd v i ( f ，z ) = 望( f ，x ) = 妒( f ，z ) ， 且有 f t , x ) e 0 ，* ) a q ， ( f ，z ) o 】q 、， ) z x o o 口 口 p【r【 四川师范大学硕士毕业论文 as 坚o ，工) 蔓h o ，工) s 卢， 【町，+ o o ) x c 2 由 2 5 中定理3 2 知，对任意初直妒0 ，z ) ，若a s 妒( f ，z ) s p ，则妒o ，茗) 对应的周 期解“o ，x ) 满足 u ( t ，工) s u ( t ，工) s u ( t ，x ) ，t m 仁q ) ( 3 3 ) 定理3 2 若n z n ”1v i m , 目- a m 一2 吃口+ 善卢一z l c l a o ，则方程 ( 3 1 ) 在( 口，卢) 上存在唯一的正周期解 证明：若n 。吮，n ”c w ，则( 3 - 1 ) 存在周期拟解“o ，z ) ，u ( t ，x ) - 由 “( f ，z ) ，坚o ，z ) ，的周期性有 吒何一坚) 丢( 厅一些) 出= o 又( 万一竖) 丢p 一坚) 出 由于 = f 强( 咖) p 万卜m f 一秘班_ 也叫吨小蚝珊一耋他蚓卜 = f 吐( 订一坚) ( 缸一熊) 出n o ，x ) 扛一些) 2 出 - f od t f a b ( t ，z ) ( i 一些) 2 ( 厅+ 丝) 出 o ( 吨) 悖”飑+ 扣工峨卜 f 唯仃一翌) ( 厅一趣) 出= f ( 万一坚) ( 订一丝) 出 = - f o , l v l i - 一u ) 1 2 出s o 四川i 师范大学硕士毕业论文 j ：n p ，x ) p 一丝) 2 d x i 雌( 厅一坚) 2 出， f f d t f g b ( t ，x ) ( 万一些)