（基础数学专业论文）三维as正则代数的a∞方法分类.pdf

摘要 设a 为阶1 生成的三维a s 正则代数， 则a 的y o n e d a 代数e x t a ( k , k ) 是f y o b e n i u s 的， 而且e x t a ( k , k ) 上白 然地有一a 二 一 结构. a r t i n 和s c h e l t e r ( a s ) ， 以 及a r t i n , t a t e 和v a n d e n b e r g h ( a t v 1 , a t v 2 1 ) 运用 几何的方 法对代数a作了 完整的 分类， 并对 其作了很多深入的研究. a s 中 证明 ， 阶1 生 成的 三维a s 正 则代 数a有两 种基 本类型， 一 类是由 两 个 生成元和两个三次关系所生成的代数a( 在第2 节中我们把它称为( 1 2 2 1 卜 a s 正则 代数) ，另一类是由三个生成元和三个两次关系所生成的代数 a( 在第 2 节中我们 把它称为( 1 3 3 1 卜 a s 正则代数) . 本文从与a s 正则代数a的y o n e d 。 代数e x t a ( k , k ) 有相同 的双分次 代数结构 的代数e着手， 通过讨论代数e的代数结构及a 。 一 结构， 应用l p wz 中的一个 结论， 得到a 、 一 代数e的。 对应。 代数的 分类. 此“ 对应” 代数包含a r t i n - s c h e l t e r 分类的a s 正则代数.这样我们就用 a -才 链 牧 的方法得出了三维 a s 正则代数的分 类。 本文的前半部分是与王俊同学合作完成的. 主要研究了三维 a s 正则代数及其 y o n e d a 同 调代数的 基本性质 王 俊的 硕士论文主 要完成了 对( 1 2 2 1 ) - r o b e n iu s 代数 的 a -结构的讨论， 得到其 “ 对应” 代数的分类，并初步地与 a r t i n 的分类进行比 较 ( 为了本文的需要及读者的方便，我们较详细地写出了这部分的内容) . 这篇硕 士论 文的主要工作在后半部分. 我们 完整地给出了 全部 ( 1 2 2 1 ) , ( 1 3 3 1 ) - f r o b e n iu s 代 数的a -结构的讨论， 以及它们 “ 对应” 代数的分类与 a r t i n - s c h e l t e r 分类的比较. 关键词: 连通分次代数，a 二 一 代数，f r o b e n i 二代数，a s 正则代数 abs t r a c t l e t a b e a n a s r e g u l a r a l g e b r a o f d i m e n s i o n 3 , g e n e r a t e d i n d e g r e e 1 . t h e n t h e y o n e d a a l g e b r a e x t 久 ( k , k ) o f a i s f r o b e n i u s , a n d e x t 久 ( k , k ) h a s a c a n o n i c a l a _ s t r u c t u r e . t h e a lg e b r a s a h a v e b e e n c l a s s i fi e d a n d s t u d i e d勿 a r t i n - s c h e l t e r ( a s ) a n d a r t i n , t a t e a n d v a n d e n b e r g h ( a t v i , a t v 2 ) b y u s i n g g e o m e t r i c a l m e t h o d . a s w a s s h o w n i n a s , t h e r e a r e t w o b a s i c p o s s i b i l i t i e s f o r a n a s r e g u l a r a l g e b r a a o f d i m e n s i o n 3 , g e n e r a t e d i n d e g r e e 1 , n a m e l y a c a n b e g e n e r a t e d b y b y 2 g e n e r a t o r s w i t h 2 c u b i c r e l a t i o n s ( c a l l e d ( 1 2 2 1 ) - a s r e g u l a r a l g e b r a i n s e c t i o n 2 ) , o r 3 g e n e r a t o r s w i t h 3 q u a d r a t i c r e l a t i o n s ( c a l l e d ( 1 3 3 1 ) - a s r e g u l a r a l g e b r a i n s e c t i o n 2 ) . i n t h i s p a p e r , w e w i l l s t a r t f r o m a n a l g e b r a e, w h i c h h a s t h e s a m e p r o p e r t i e s o f y o n e d a a l g e b r a e x t 又 ( k , k ) o f a n a s r e g u l a r a l g e b r a a . b y d i c u s s i n g t h e a l g e b r a i c s t r u c t u r e a n d a _ s t r u c t u u e o f e ， 二w e l l a s u s i 工 i g a r e s u l t i n l p wz , w e g e t t h e c l a s s i fi c a t i o n o f t h e c o r r e s p o n d i n g a l g e b r a s r e c o v e r e d f r o m t h e a 二 一 a l g e b r a s e , w h i c h i n c l u d e t h e a r t i n - s c h e l t e r l i s t s o f a s r e g u l a r a l g e b r a . s o w e r e c l a s s i fi e d t h e t h r e e d i m e n s i o n al a s r e g u l a r a l g e b r a s 勿 u s i n g ao m e t h o d . t h e fi r s t p a r t o f t h i s p a p e r i s a c o l l a b o r a t e d w o r k w i t h wa n g .t u n . we e x p l o r e t h e b a s ic p r o p e r t i e s o f a s r e g u l a r a l g e b r a o f d i m e n s i o n t h r e e a s w e l l a s i t s y o n e d a a l g e b r a . t h e s t u d y o f t h e a . s t r u c t u r e o n t h e ( 1 2 2 1 ) - f r o b e n i u s a l g e b r a i s e n c l o s e d i n wa n g s ma s t e r t h e s i s ( f o r t h e i n t e g r a l i t y a n d c o n v e n i e n c e t o r e a d e r s , t h i s p a r t i s a l s o w r i t t e n i n d e t a i l ) . t h e m a i n c o n t e n t o f t h i s t h e s i s i s i n t h e s e c o n d p a r t , w e g e t t h e e n t i r e a - i n f i n i t y s t r u c t u r e b o t h o n ( 1 2 2 1 ) a n d ( 1 3 3 1 ) - f r o b e n i u s al g e b r a . a n d t h e n g i v e t h e c l a s s i fi c a t i o n o f t h e c o r r e s p o n d i n g a l g e b r a s a n d m a k e a d e t a i l e d c o m p a r i s o n w i t h a r t i n - s c h e l t e r s l i s t ke y w o r d s : c o n n e c t e d g r a d e d a l g e b r a , a _ a l g e b r a , f r o b e n i u s a l g e b r a , a s r e g u - l a r a l g e b r a 前 言 设 a是连通分次 k - 代数， k是一个特征为 。的代数闭域。 a称为 。维 a r t i n - s c h e lt e r ( a s ) 正 则 代 数， 如 果 它 满足 下面的 三 个条 件: ( i ) a的整体维数为n ，即 g ld i m ( a ) 二。 - 4 ) . 容易 验证等式屿， 从 ， 惩 成立， 且呱 ( 二 妻 6 ) 恒为零，所以( a , 二 。 ) 为一个a - 一 代数. 例 1 . 3设 a二k 阔k 。k x。k x 2 。 一 ，设 - ., ( x ) ( a , 。 ， 一 “牛 ) 为d g a . 也 即， ， 为奇 i 为偶 a=a 0 。a l $a 2 。一 二 。 : 为一般的多项式乘法;m。=0， a)3;则 互 2 三维 a s正则代数及其 a r t i n - s c h e l t e r 分类 在前言中我们已经给出了a s 正则的定义。 设a为连通分次k 一 代数， 对于连通 分次k - 代数a，vca 是生成a的 极小分次向 量空间，v - m / m 2 ， 其中m=a 是a的唯一极大分次理想. 取v的一组基( x i , . . . , x d , ) , d ; 是a作为k 一 代数的齐 次生成元 二的最小个数.设 r=. r a ct v ， 是a的生成关系的极小分次向量空 间 ， 其中r , c v ii , . 设( 8 l ， 一， s d , ) 是r的 一组生 成元，d : 是a的 齐次生 成关系 的最小个数. 我们所考虑的是阶一生成的情形， 所以x 、 都是一阶元. 我们可以把 a 写成如下非交换多项式商的形式: a二k a , l ，一 ， s d 2 ) 且 s 其中 且 a k l j m ij x j ， 写 作矩阵 方程即 为: 9=m x ,( 2 . 1 ) s =( 5 1 , . . . , 5 d , 的极小投射表示的开始项为 a d s ( - 动,孟 =(x i ， 一， x d i ) t , c h a p . 1 4 , p r o p . 3 . 2 j ) =, a一 a k 一 。 ， ( 2 . 2 ) 这里的x , 表示右乘列向 量孟 ， 相应地jq则表示左乘列向 量x , 又a k 的一般极小表示可以写成: 一ar一av一a一a k一0 , ( 2 . 3 ) 由于极小表示是同构的，所以有交换图: 一a 一a k一0 一a k 一0 平a 妒护 妙护 一ar万ao v 一 我们可以得到两个同构 e x t 戈 ( k , k ) = h o :工 ， a ( a d , k ) - h o m a ( a 、 v k ) - h o m k ( v k ) = v e x t 直 ( k , k ) = h o m a ( a d 2 , k ) 二 h o h i a ( a 、 r , k ) - h o m k ( r , k ) = r ( 2 .4 ) ( 2 - 5 ) 此外， 对于三维的a s 正则代数我们有如下 的刻画( a s , t h - 1 动: 性质 2 . 1设 a是阶 1 生成的三维 a s正则代数，那么 a的生成关来、 : 有相同的 阶，即d e g ( 司 = d ,而 且 d l = 心 =司. 代数a仅有下面的两种情况: .a有 2 个生成元和z 个三次关系，即d =2 , d =3 .a k的极小投射表示为 0 一a - 4 兰a - 3 s - , a - 1 2 - a 一， 、 一。 ，( 2 . 6 ) 或 a有， 个生成元和， 个二次关系 ，即d =3 , d 二 2 a k 的机小投射表示为 0 一a f- 3 , = a - 2 3 -l - a - 1 3 - a 一， k 一。( 2 . 7 ) 且对于上述两种情况都存在一可逆矩阵q e g l d k ) ，使得 m = ( q s ) 性 质2 . 2由a k 的 极小 投射表示( 2 .7 ) 与( 2 .6 ) 可 知， a的h i l b e r t 级数为( 1 一 t 犷 2 ( 1 - 内一 或( i 一 t ) 一 “ q s - 2 ) 另 一 方面 ， 若a是一 个三 维n o e t h e r i a n 连通分次 代数， 且它的h i lb e r t 级数为( 1 一 t 犷 2 ( 1 一 t 2 犷 或( 1 一 t 犷 3 ， 那么a是a s 正a 9 的i 网夕 . 由性 质2 . 1 可知三维a s 正则代数a 可被分为两大类， 第一类我们称为 1 2 2 1 关 a s 正则代数， 第二类称为( 1 3 3 1 ) - a s 正则代数. 对于每一类a s 正则代数， a r t i n - s c h e t e r 给出了具体的分类 ( a s , t h . 3 . 1 0 ) . 对于( 1 2 2 1 ) - a s 正则代数， 记 x 二( x , y ) ， 则它 的a r t i n - s c h e t e : 分类如下 表 表1 ( q=d i a g ( a , 0 ) ) 类型( a , p ) ( 1 , 1 ) ( 1 , g) ( ( s ， - ( a ) ( 。 ， 。 一 土 ) ( 。 ， 一 。 一 1 ( 1 ， 一 1 ) ( g e n e r i c f o r m s ) 82 x 3 + a x y 2 + a y 2 x + b y x y x 3 十 y 3 - ( 8 y 3 + ( a y x 2 + ( 3 x y x + x 2 y x y 2 + ix y 2 x + a y x y x y 2 +n y 2 x x 3 +x y 2 + y 2 x y 3 + a y x 2 + a x 2 y + b x y x 沪 x + 如 y x y + 烤 x 沪 y 2 二 一 ( a 。 二 ， + ( $ x y 2 + ( 8 x 3 a x 2 y +护笋2 + a n 珊x , 2 笋2 一 n x 2 万 y x 2 一 x 2 y aer姚凡砚 其中系数。 ， a , b为任意的常数，( n 表示 1 的n 次本原根. 对于( 1 3 3 1 ) - a s 正则代数， 记x 二( x , y , z ) ， 则它的a r t i n - s c h e t e r 分类如下表 表 2 ( q=d i a g ( a , ,3 , 7 ) )( g e n e r i c f o r m s ) 类型 ( a ,0 ) 1)a - 2) x 2 +a y z + b z y y x +x y +y 2 一 z 2 ( y z x + ( 9 y 2 + 二 x 2 一 y 2 y z +a ,3 z y a y z+a z y az x+ xz y 2 +a z x +b x z x 2 ， x y + y x 一 a z 2 ( 9 z 2 + ， 二 + ( s y x y 一y x +俞 产 功好以 az x+ a x z az x+ a x z az y 一 yz 尸+ a x y +勺x 之 一x z一a y z+a z y z y + ( y y z + ( 91 x 2 y z 一以z y x 万+a y x x 2 + x y +a y x 劣 2 一y 2 ，-1-今卜1匕(一a 口-卜仁-口al q-11勺iqaa abeh凡凡员 其中系数 。 ， ,0 , a , b为任意的常数， 氨表示 1 的n 次本原根. 三维 a s 正则代数还有一个很好的性质 定理 2 . 3三维 a s 正则代数是 n o e t h e r i a n 的. 证明 参见a t v 1 , t h . 8 .1 二 对于高维的情况这是一个未解决的问题. 3 a的y o n e d a 代数e x t 斌k , 劝 首先我们简要回 顾一下y o n e d a 积. 设a是一个任意的环，x , y和z为左 a 一 模.y o n e d a 积即为下 面定义的映射 e x t a ( y , z ) e x t a ( x , y ) 一 e x t q j ( x , z ) , 3 。 *13 1 1a 1. ( 3 . 1 ) 设 y 一 x和 q 一 y为 x和 y的投射表示， 设 网 e x t q ( y z ) ,回 e e x t a ( x , y ) . 由 比 较引 理 w e , t h . 2 .2 .6 ) ,。 存在 一 个 提升。 a - p + j 一 q i , 所以 o a i : p + ; 一 z ( 3 .2 ) ， 且,3 a : 在h o m a ( p + z ) 的c y c l e 中 ， 即3 a i e e x t a ( x , z ) . 因此定义 ! a a = 下 o a i .由图追踪，容易证明该定义的合理性. 只 + ，一一p i一 一x 一。 。 上。 。 少 r 、一r o一y 0 土 由y o n e d a 积( 3 . 1 ) ， 令x 则e x t y ( x , y ) 是一 个分次 左 =z二y， 则e x t 锹y , y ) 是一个分次代数， 令z ( 3 . 2 ) =y ， e x t a ( y , y ) 一 模. 若a 是连通 分次 代数， y为 分次a 一 模， 则h o m ( y ; y ) _ r .有分次 结构， e x t ( y , y ) _ l 自 然继承分次结构，再由y o n e d a 积 e x t , ( y , y ) i e x t q ( y , y ) 。 一 e x t a 9 ( y , y ) ,+ j , ( 3 .3 ) 可知e x t 不y , 州是一个双分次 代数. 由a k 的极小自 由 表示可 得同 调群 e x t q ( k , k ) ， 带上y o n e d a 积，e x t a ( k , k ) 就是一个双分次代数， 它称为a的y o n e d a 同调 代数。 而且由俘4 ) , ( 2 .5 ) 我们知道 e x t 人 ( k , k ) =h o m k ( v , k ) = v * . e x t 岌 ( k , k ) = h o m k ( r , k ) = r * . 由匡 p wz 中的一 个结论可知， a的y o n e d a 代数e x t 粼 k , 劝上存在a 、 一 结构. 现在我们 将介绍 这一结论( l p wz , t h . 1 4 司 ) ， 我们也 称这 个结论为b a s ic l e m m a . 定理3 . 1 设a是阶1 生成的分次代数， 记e = e x t 扒k , 脚. 那么在e上存在一个 a , 结构，且高 阶乘法m n 限制在( v * ) 下。 丁 、 ， h o m k (a , k ) (_ 么 h o m k ( a d , k )兰 么h o m k (a d , k ) 叮如 由此交换图易知 叮 f s = 可 肠= ( f + 2 9 1 ) = 6 i1 ( 1 ( z , 7 ( d ) , 容易 验 证 f l* , . . . , f d , 9 1 , . . , 9 d 都是线 性无 关的。 再由k a的 极小 投射表 示 ( 4 .2 ) 可 知: e x t 戈 ( k a , k a ) =h o m a ( a d , k a ) , e x t 三 伏 a , k a ) =h o m a ( a , k a ) ， 而 h o m a ( a 4 , k a ) = h o m k ( 峨 ， k ) ， 因 此( f , , 好 ) 为e x t 扒 k a , k a ) , e x t 粼 k a , k a ) 的 一 组 对 偎 基 _ . 引理 4 . 4若肺 有极小投射表示 ( 4 . 1 ) ，则灿 有极小 投射表示( 4 .2 ) . 证明 由 引 理4 .2 , e x t 恤 , k ) 是f t o b e n i u s 代数， 而 且e x t 久 价 a , k a ) 0 p = e x t a 伪 , k ) s m l , l e m m . 2 . 1 ， 所以e x t a ( k a , k a ) 也是f r o b e n i u s 代数， 因 此根据引 理4 .2 可 得 到k 作为右a - 模的极小投射表示: 0 _a 或a d 些a d 兰a _、 ， 一。 ， 其中寥一 ( j i ， 编 ) ， m 一 ( - j ) d x d . 再由引 理4 .3 可知，e x t 戈 ( k a , k 幼， e x t 二 ( k a , k a ) 有一组对偶基为( 刀， 由y o n e d a 积的定义有下面的交换图: 0_a j与a d 2 a d 。 土fu 土。 上 .m f=i a d 一 竺，a 竺， k a 9 j ) 。 因 此 ( 4 . 6 ) 妒川川牛 一 设 f * =e ( 0 , ， 1 ,0 ) l ， 则f ,u = 梦 f ., ( 0 , . . . , 1 ， 一， 0 ) l .由 图(4 .6 ) 右边的第一个 交换方块有: =局m , 因此知道: m a , / ( x i ) i- i d a t 1 ) 1 饥 ; 1 / ( 二 ) m i d / ( - d ) l /了了.、 一- 几 这 里。 岁(x l ) i ， 一， m 娜 ( x d ) l ， 满 足二 ， (二 别(二 ， ) l) + + z d ( m 娜(- d ) l ) - 在( 4 .4 ) 中的p 是非奇异矩阵， 所以不妨令 ( p t ) - 1 八二儿 几二内 2矛矛lesesl、 一- 又 因 为p 一 9 1 0 ， 二 ， 9 d 0 ) d . d ， 且9 i 一 e97,(1 5 i ( d ) ， 而芳f i* 一 9 * f l 一 d ii ， 所 以 由 逆同构映射 4)可以知道: f 2 =( q 1 i , 0 2 i . . . , o di ) t . 由( 4 .6 ) 右边第二个交换方块有: m f , 2 =几y 因此: 气 1 ,3 1 + + t n ; 沪*t n i 1 / ( 二 ， k ) y 生 + ( - id / ( 二 ， ) ? ) 蛤 m d 1 r 1 i + m d d f3 d i( 叫1 / ( - d ) t ) y i + ( - id / ( x d ) e ) y d 上式两边同时左乘 x t 得到 j 1 几 : + 3 2 儿 : +一 + s d 而 =城1 斌+ : 碗场+ n t id y d , 也即 、.了 叭蛇 2夕.、 、少产 d .r丢 饥 、，lesest/ 内内 /了.t、. 51 s 2二( m i 1 。 : 2 所以我们得到: ( 3 1 、 :d d ) ( ( p t ) - 1 ) 、1.jz j工d x:工 产2犷.1、 m - p 口尸 日n 、.1.刀2 钊j。岑 /尹.t气、 m 、lesesl/j 51匈 /了.己.，、 ，上 一 p 也即 一 一 ! 一 (: ! 因此我们得到复形 一 a = a d业 一兰二 与a d兰a _、 ， 一。 是 k 作为右a 一 模的极小投射表示二 由引理4 . 1 , 4 .2 , 4 .4 ， 我们即可有下面的定理: 定理4 . 5 a是n o e t h e n a 二 连通分次k - 代数且g ld i m 协) = 3 ， 那么a是g o r e n s t a i n 代数当且仅当a的 y o n e d a 同调代数 e x t 久 恤 ， 间是 f r o b e n i u 、 代数. 推论4 . 6 a是n o e th e r i a n 连通分次k - 代数且g l d i m ( a ) = 3 ， 那么a是a s 正则代 数当 且仅当a的y o n e d a 同 调代数e x t 久 汗 , k ) 是f r o b e n :二 ， 代数. 对于高维的情况见 !l p wz . 且 5 f r o b e n i u s 代数 e及其 a 二 一 结构 设 a是三维 a s 正则代数，那么它的y o n e d a 代数为 e x t 又 ( k , k ) =e x t 头 ( k , k ) . e x t 久 ( k , k ) 。 e x t 支 ( k , k ) . e x t 飞 ( k , k ) 是一个z 一 双分次f r o b e n i u s k 一 代数.我们将以具有以 上代数结构的f r o b e n i u s 代数 e为 对象，e=e 0 ( d e e z . e 3 ， 讨论它的 代数结构和a 二结构. 1 ) 当a 是( 1 2 2 1 卜 a s 正 则 代 数时，d un k ( e x 嗡 ( k , k ) ) = d im k ( e x t 支 ( k , k ) ) 二1 ， d u n k ( e x t 久 ( k , k ) ) = d im k ( e x t 头 ( k , k ) ) =2 ， 且带有双阶( 0 , 0 ) , ( 1 , - 1 ) , ( 2 , - 3 ) , ( 3 , - 4 ) 现在我们假设e=e 0 e e l b y e 2 。e 3 =k e ( k x l k x 2 ) ( k y (d k y 2 ) k z是 一个z 一 双分次f r o b e n i u s k - 代数，且具有同样的双阶. 因为e是双分次代数， 考虑 e( 0 i 3 ) 的双阶， 就有: e e =e 2 e 2 =e 3 e 3 =。 ， 且非平凡的积只可能有: e e 2 一e 3 , e 2 e ( 、e 3 , 即e的双分次代数结构由下面的双线性映射所决定: e x e 2 *e 3 及e 2 . e *e 3 , ( 5 . 1 ) 同 时e 是f r o b e n i u s 代数， 有e -e * 卜 川， 因 此e l = ( e 2 ) + ， 所以e l , 尸为 对偶空间， 假定 ( x i , x 2 ) , ( y, y 2 ) 是e , e 2 的一组对偶基， 我们有 x i y , 二凡e , y ,凡 二勺。 ，沁 k , 1 i , 7 2 , 显然e的代数结构由 矩阵 ( “ “ ， 、 人 2 1人 ， ?/ ( 5 2 ) 所决定， 这个矩阵 称为e的结构矩阵. 由 性质( 5 . 1 ) , e 1 , e 2 的任意两组对偶基所 得的结构矩阵是相似的.由于 k 是代数闭域， 所以对于代数 e可取适当的基， 使它 的结构矩阵有形式 a , 0 /0 a 2 “ ( ;) ， a , a t, a 2 4 。 。 ( 5 . 3 ) 2 ) 当a是( 1 3 3 1 卜 a s 正则代数时，d i m k ( e x t 支 恤 ， k ) ) =d i m k ( e x t 头 伪 ， k ) ) =1 ， d i m k ( e x t 戈 ( k , k ) ) = d iin k ( e x t 支 ( k , k ) ) 二3 ， 且带有双阶( 0 , 0 ) , (1 ， 一 1 ) , ( 2 ， ) , (3 ， - 3 ) . 现在我们假设e= e 0 ff i e l ff i e 2 s e 3 =k e (d ( k x 1 e k x 2 . k x 3 ) e ( k ye k y 2 e k y 3 ) e k z 是一个z 一 双分次f y o b e n i u s k 一 代数，且具有同样的双阶. 因 为e是双分次代数，b i d e g ( m ) = ( 2 一 。 , 0 ) ， 考虑e ( 0 i 3 ) : m y : e l . e t 、e 2 尸 0 e 2 一e 3 ， e 2 e l *e 3 其中e l ( , e 2 _ e s , e 2 fi t, e l 、e 3 是对偶空间e 1 和e 间的f j o b e n i n 、 乘法， 决定 了e的 代数结构. 设( x 1 , x 2 , x 3 ) , ( y, y 2 , y 3 ) 是e 1 , e 2 的一组对偶基， 我们有 弋巧=气。 玖 凡 =勺。 ，从 ; e k , 1 : ， ， 3 , 显然e的代数结构由 矩阵 ( 5 . 4 ) 、!|月声/ 13路招 久久入 12咒32 入入八 1，esli 从戈弋 所决定， 这个矩阵同 样称为e的结构矩阵.由 性质( 5 .1 ) , e 1 , e 2 的任意两组对 偶基所得的结构矩阵是相似的.由于 k 是代数闭域， 所以对于代数 e可取适当的 基， 使它的结构矩阵有形式: a , 入 ， ， 入 2 务0 ( 5 .5 ) 、1，|.1了户 n曰，1入 ，土、门 人no /矛古.t、 、1.11/ 01戈 0勺。 戈00 厂了口.、 、!r 00弋 0梅。 从00 /j月.、 性质 5 . 1 e 1 , 凡 都为具有上述性质的 f r o b e n i es 、 代数，那么 e l 场 当 且仅当它们 的结构矩阵相似. 证明:设 ( 或， ， 城) , w ip、，eeweesj了 (xxl，珠 ，2了子月.，、 n)m 声一 b ij e , y x二1 i , j t b， 因为恤1 ， 珠) 都是e 1 的基， 所 、.|卫.f/ 城成 /才叮.1、 得 使 以存在一个 ， 蜘是e 1 , e 2 的 另 外 一 组 对 偶 基 ， 则 有x (鲜 阶过渡矩阵m 同样对于e 2 的两组基 、les，1了 脚如 /了.、 n - 、.，.右/ 叭:编 2声口1.est、 ( y 1 ， 二， y . ) ，( y i ， 一， 呱) ， 存在一个n x 。 阶 矩阵n， 使得: 因此有 , y rz ) n 、t.1.1/ 0，1 11们 /了llsel、j 二几夕 n 所以可知，m=( n 犷1 ，再根据假设就有: x) 劣 、1，.，月1矛 功:黝 2诊.1、 - 、1.fl 执二叭 入入 ，占1 -几 入入 了!、 m 、!. 冻一瑞 从二戈 了r，lwel、 m - x 、1，.jz 叭呱 /了r盆弓1%、 二 n , x ) ( m ) 所以结论成立. 对于结构矩阵， 还有如下的性质 性质5 . 2 设a是阶1 生成的三维a s 正则代数， 则e x t 久 恤 ， 劝的 结构矩阵协 动=侧 其中q使得满足 x m = ( q 邓 证明 : 我 们 知 道e x t q 恤 ， 劝是分次f r o b e n i u 。 代 数，e x t 姐 k , 劝与e x t 直 ( k , 树存 在一 组对偶 基( f l , . . . ! f n ) , ( 9 i , . . . , 9 o ， 满足f i l (9 i ) 二 b il ，9 i f j = a ij ，e x t *q ( k , k ) 的 结 构矩阵可由 e x t 支 ( k , k ) e x t 久 ( k , k ) 一 e x 七 直 伪 ， k ) 的y o n e d a 积求得. 考虑下面的交换图 护洲j 鳞一人 一-分 - - , k ( 5 . g ) 护111上护 鲜一几。一 一叫一叹 其中 f i 二 图，得 l i x = 1 , . . , 0 ) t ( 第i 个位置为1 ，其 余位置为0 ) ，由 右方的 交换 即 人 。因此可得 毗场 f i l 二 m i i / x i -2 i l x l -h/x2 -2 i / x 2 - i i / x . m2 i / 二 、 m n i / x i 二二 / x 2。 。 ， / 二 二 了声.、/1.、 其中( - ,j l x l ) x l +t tij i x 2 ) x 2 + 二 分量。 由 5 . 6的左方交换图， 得 f i 2 m +( m i j i x n ) x u =。 。， 即m ij / 二 、 为。 i7 右提x 、 的 二x 0 f i i ， 因 为a j i =lg j j v i =f i t s ; ， 其中9 i = j 个位置为i 7 7 1 1 1刀1 1 2 7 7 7 . 2 1 7 1 1 2 2 其余位置为 o ) ， 所以 f i t =( a l i , 入 2 、 ， 八 二 ， ) 即 (0，l -一 、，.万，.，了/ m 1 n p i i ; 标 7n,1刀 1 n 2刀1 -, . 第/了1.，、j 0)f碱 nn 荡x 了j了了.子 爪m ( x 1 ， 二 2 ， - 1 i / x l -2 i / - l -1 i / x 2 。2 : / 二 : d .,v i / x l 7 1 1 - / x 21 1 1 2 / 二 川; 、兄、 a k i - -k s =又、 二 、 7 1 k i / x s 又因为 s =mx，所以 s = ( 艺 x k t11 k l , ， 又x k m k n ) 因此 、.，.夕/ 玩二朋 入入 11二们 入入 /了厂leses吸、 、 ， ， t , s . ) ( a ij ) 一( 艺、 。 、 : ， ， 又x k 911 k n ) ( 艺a k l 艺。 、 ; : ， ， 艺a k 2 艺77ik s x s , - ( 艺( 艺 a k 1 111 k s ) 二 ， 又( 又 a k 2 1 1k s ) x a , 又入 、 二 : 7 11k s x e ) k3 又( 又 a k n - k e ) x s ) 5 s ks k3无 ( 艺( 艺二 、 t 11k l / 二 ， ) x s ( f _ x k 1 k 2 / x s ) x s , ( 艺x k m k l , 艺x k n l k 2 , 又x k - k . ) - ( y-二 ; 。 乙、 / x s ) 二 ， ) s k = ( x i ， 二 。 ， 所以 容易看出a ij =守 , x 2 2 ) ( n l i j ) . 现在我们开始分两个小节分别对 e的a -结构进行分类 互 5 . 1 ( 1 2 2 1 卜 f r o b e n i u s 代数 对于( 1 2 2 1 ) - f r o b e u i u 。 代数， 我们已 经清楚它的 代数结构， 首先考虑分次映射 v n - . 这里我们 考虑二 二 带有双阶， 即b id e g ( m , ) = ( 2 - n , 0 ) ， 考虑到e ( 0 i 3 ) 的双阶，易知道 ， 。为平凡作用， 且 m 2 就是代数乘法. 对于。 3 , n z3 ( e i 0 p i 3 e k ) = e i + j + k - i ， 其中。 ， e e , 0 n =i , j , k 3 .由 于 对v i , b id e g ( e i ) =( ; ， 一 ; 一 i o ) , i s =0 或1 ， 所以 b i d e g ( e i + j + 、 一 ， ) =( i + j + k 一 1 , - i 一 i 一 k +1 一 l o ) , (