（应用数学专业论文）带有低阶项的退化强制非线性椭圆型方程.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究一类退化强制的非线性椭圆型方程的低阶项对解的正则性影响，并推 广了文献【8 的结果。 关键词：非线性椭圆问题；退化强制；广义解；熵解；i e 贝, l j 性 带有低阶项的退化强制非线性椭圆型方程 n o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o nw i t hl o w e ro r d e rt e r ma n d d e g e n e r a t ec o e r c i v i t y a b s t r a c t i nt h i sa r t i c l ew es t u d yan o n l i n e a re l l i p t i cp r o b l e mw i t hd e g e n e r a t ec o e r c i v i t y w e w i l ls h o wt h a tt h ep r e s e n c eo fs o m el o w e ro r d e rt e r m sh a sar e g u l a r i z i n ge f f e c to i lt h e s o l u t i o n s ，a n de x t e n dt h er e s u l t so ft h ep a p e r 8 k e y w o r d s ：n o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ；d e g e n e r a t ec o e r c i v i t y ；d i s t r i b u t i o n a ls o l u t i o n s ； e n t r o p ys o l u t i o n s ；r e g u l a r i t y i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工 作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外，本论 文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请学位或 其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论 文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目：带有低阶项的退化强制非线性椭圆型方程 作者签名：平惭吼。牛年月卑日 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间论 文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有权保 留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目：带有低阶项的退化强制非线性椭圆型方程 作者签名： 豳! 星见互堑 日期： 2 竺i 年上月巡日 导师 签名：茑二因j 亟一日期：4 年正月二犁日 3 1 大连理t 大学硕士学位论文 1 引言和主要结果 对问题 = + i 卵 吖妻裟 我们已经知道低阶项i u l q - 1 牡对此方程的解有正则性影响：假设，l 1 ( q ) ，则解乱 l q ( q ) ( 见【1 】) 且v u l r ( q ) ，r 0 ，若死( 珏) w 3 p ( q ) 则存在 唯一的可测函数口：q r ，使得 v t 七( u ) = v x l u i 0 2 大连理工大学硕士学位论文 映射u 成为钍的弱导数。如果牡w j 1 ( q ) ，则乱的弱导数与它分布意义下的导数一 致( 见【9 】) 。 定义1 3 若存在c 0 使得训k l 毒，vk 0 则称钉属于空间m 。( q ) ，s 0 如果i q i 且0 8 1 ，我们可以证明 l 8 ( q ) cm 8 ( q ) cl 卜6 ( q ) 下面四个定理是本论文的主要结果。 为方便记伽= 1 + 坐学，p = 两高等舞示篙精与而 定理1 1 设，l 1 ( q ) ，1 鲁，则问题( 1 6 ) 存在广义解让，使得 缸附r ( q ) 咄( q ) ，- 再 2 若0 q 等，则问题( 1 6 ) 存在熵解u ，使得 川口l 1 ( q ) 且i v u l m 并南( q ) 定理1 2 设，三1 ( q ) ，p o p n 1 若q n ( p - 一l p - t ) ，则问题( 1 6 ) 存在广义解乱，使得 乱哪! q 糕 2 若q 一n ( p 万- 了1 - 0 ) ，则问题( 1 6 ) 存在广义解u ，使得 乱耐 r ( q ) n 州吼r 1 ，1 p p o 3 带有低阶项的退化强制非线性椭圆型方程 1 若q 岩，则问题( 1 6 ) 存在广义解乱，使得 u 仉0 p ( q ) nl q m ( q ) 2 若岩- 上 q j 鲁，则问题( 1 6 ) 存在广义解u ，使得 缸l 口m l 1 ( q ) 且u 啄懈仃= 揣 3 若0 1 ，p o p n 1 若q t i 瓦( 删 所以对任意可测集ecq 有 i 死( i u n 七q 一1 让n 南) i t q i e i + l 死( i 乱n j c i q - , u 竹七) i t q i e i + l 瓦( 厂) j e j e n l u 。k i t )j l u 。k l t 因为，l 1 ( q ) 和乱n 南在叼p ( q ) 中是有界的，所以对任意e 0 ，存在t e 使得 i 瓦( 删e ，vk 0 j l t t l k l k 这样疋( i u n k q 一1 u n k ) 是积分等度绝对连续的，所以由v i t a l i 定理可知 7 带有低阶项的退化强制非线性椭圆型方程 死( i 牡n _ i c q - l u n k ) 堡i 让n r 在l ( q ) 中 所以对任意妒l ( q ) ，成立 巩( i 札n 七 q - l ? l , n k ) 妒旦l u i u n 妒e l l ( a ) e 0 这样，对( 2 3 ) 7 求极限且p - 得( 2 3 ) 。 下证明( 2 2 ) ，我们分两种情况m 1 和m = 1 当m 1 时。取妒= i u n f 口i m - 1 ) s i g n ( u n ) ( 此时由于瓦( ，) l o o ( q ) ，所以根据椭圆 方程正则性理论可知让l o o ( q ) ) 代入到( 2 3 ) 得 加p 加妒1 ) 利用h s l d e r 不等式得 所以 上i 川u 胛- 1 ) ( 上i ，i m ) 击( z l u n i 唧) 1 - 击 zi u n f 唧( 上i ，l m ) 击( z i i 唧) 1 - 击 由上式即得( 2 2 ) 。 当m = 1 时。取妒= 盈警代入到( 2 3 ) 得 fl u n q - - l u n 掣上叫，掣加 当k 一0 时，由法都引理可得( 2 2 ) 。 引理2 2 设u 属于m 8 ( q ) ，并假设存在正常数p 0 ，使得厶i v t d u ) l p c k ，vk 0 ，则有i w l m 嚣( q ) 证明：对任意正整数入，对任意k 0 ，i i w i a ) i = i i v u i 入，i u i 8 大连理工大学硕士学位论文 忌) i + l i r a i a ，l 缸i 后】i l i v “i 入，l u i 七 i + l l u i 七) l 且 i i v 让i a ，i u i - - - 七) l 击zi v 瓦( u 胪c 等 而u m 8 ( q ) ，故由上面可知 关于炙取最小值得 所以 i v 奶划c 篙+ 两c 1 w l 划焉c v u i m 茄( q ) 口5 引理2 3 设是可测函数列，使得对任意k 0 ，疋( u n ) 在咐p ( q ) 有界，则一 定存在一个可测函数u 使得瓦( 心) 孵p ( q ) ，一u ，口e 在q 中，并且 所以 疋( 缸住) 旦死( u ) 在w ，p ( q ) 中。 证明：下面证明u 佗是依测度c a u c h y 列。对任意t ，e 0 我们有 _ 【l 一u m i t - c i i 七) u i u m l 尼) u i 死( 乱n ) 一死( 让m ) i 班 m e a s i u n u m i 亡) m e a s l u n i 尼) + m e a s i u m i 后) + m e a s i t k ( u n ) 一死( u m ) i 亡) 由于t k ( u n ) 在w p ( q ) 中有界，所以可取充分大的k 有 m e a s l u n l 七) 忌) 等 取妒= ( 1 + i i ) 1 一1 s i g n ( u n ) ，a 1 代入到( 2 3 ) 得 设， p ，则有 c 上器 f i l l o o ( 3 1 ) 加j = 上器c 1 州严 右端利用h s l d e r 不等式得 所以 f i v u ，l r 乎( 1 制) 掣鲴z ( 1 讹i ) 掣 1 - ； 上i v 让蚓z ( 1 仆枷警】1 _ ； 由引理2 1 ，如果掣q ，即r 爿 。，i 1 利用( 3 3 ) ，对任意t 0 ，任意可测集ecq ，我们有 1 2 ( 3 3 ) 大连理- t 大学硕士学位论文 | 乱n i 口t q i e l - t - i u n l 4 t q i e i - i - i 外 j e j e n l u 。i t j | u n i t ) 因为，l 1 ( q ) 和 u 付) 在哪r ( q ) 中是有界的，所以对任意s 0 ，存在t 。使得 i l lg ， i u 。i t 。 这样 i i 口- 1 u n ) 是积分等度绝对连续的。因此由v i t a l i 定理得 钍n i 州让n 里l ut 乱在己1 ( q ) 中 所以我们可以对( 2 3 ) 左边的第二项取极限，( 2 3 ) 右端的项可以利用控制收敛定理即可 证明。综上所述可知钆为问题( 1 6 ) 的广义解。 第二步：设0 0 有瓦( 札) 附p ( q ) 且 死( u n ) 旦死( u ) 在叼，p ( q ) 中 并且 在( 2 2 ) 中应用法都引理可得 一u ，n e 在q 中 u l q l 1 ( q ) 对( 3 4 ) 利用泛函的弱下半连续取极限得 1 3 ( 3 4 ) 带有低阶项的退化强制非线性椭圆型方程 由引理2 2 知 厂l v 死( u ) j p c k ( 1 + 七) 1 ，q v u l m 忐( q ) 下证u 是问题( 1 6 ) 的熵解。对妒蝣p ( q ) n 己o 。( q ) ，取瓦( 仳n 一妒) 为试验函数， 代入到( 2 3 ) 得 a ( x ，瓦( ) ) i v | p _ 2 v u n v t k ( u 竹一妒) - i - - i u n r l 死( 一妒) - ，q，q = z t n ( f ) t k ( u n 一妒) ( 3 5 ) 对于( 3 5 ) 左端第二项利用法都引理即可取极限，右端的项由控制收敛定理可取极限。 取妒= 瓦( ) 一死( 乱) 代入( 2 3 ) 得 n ( z ，瓦( 死( ) ) ) i v 死( u n ) r 2 v t k ( u n ) v 死( u n ) 一v 死( u ) 】+ ，i u nq u t k ( u 竹) 一死( u ) ，q，q = z 死( 川死( ) 一死( u ) 】 所以 o ( z ，t ( t k ( u n ) ) ) i v 死( u n ) i p _ 2 v 死( ) 一i v 死( u ) i p _ 2 v 死( 乱) v 瓦( u n ) 一v 死( 缸) ，q = t n ( f ) t k ( u n ) 一死( 仳) 】一i u i 口一1 乱n 死( ) 一t k ( u ) ，q ，q + o ( z ，t ( t k ( u n ) ) ) i v 瓦( 仳) i p 2 v 瓦( 让) v 死( 钍n ) 一v t k ( u ) ( 3 6 ) ，q 1 4 大连理工大学硕十学位论文 下面证明( 3 6 ) 右端三项的极限都为零。对于( 3 6 ) 右端的第一项利用控制收敛定理可 证。我们由第一步的证明知 又因为 u n i 。一1 里l u l 口一1 u 在l 1 ( q ) 中 t k ( u n ) 一死( u ) 墅0 在l ( q ) 中， 所以( 3 6 ) 右端第二项的极限可证。由于 口( z ，瓦( 瓦( u n ) ) ) i v 死( u ) l p 一2 v t k ( u ) i _ y 7 ( q ) 因此由积分的绝对连续性对任意可测集ecq 有 易知 i a ( x ，t ( t k ( u n ) ) ) i v 死( 让) i p - 2 v t i , ( u ) i 一0 ，当蚓- - - 4o 时 je a ( x ，瓦( 死( 缸佗) ) ) i v 死( 仳) i p - 2 v t k ( u ) - - - - - - 4a ( x ，死( 乱) ) f v 死( 钍) i p _ 2 v 瓦( u ) ，o e 在q 中 所以由v i t a l i 定理得 。( z ，死( 死( 他) ) ) i v 瓦( 仳) r z v 死( u ) 里。( z ，死( 让) ) l v 瓦( 乱) i p 2 v 死( u ) 在汐7 ( q ) 中 因为v t k ( u n ) 护( q ) 且v t k ( u n ) 一v t k ( u ) ，a e 在q 中，由此得 v 死( 让n ) 一v 瓦( u ) 里0 在汐( q ) 中 所以( 3 6 ) 右端第三项的极限可证。综上所述得 1 5 带有低阶项的退化强制非线性椭圆型方程 a ( x ，已( 氕( u n ) ) ) | v 死( “n ) i p v t k ( u 佗) 一i v 死( 缸) i p v t k ( u ) v t k ( u ) 一v t k ( u ) 一o ，q 因此由文【1 0 中的引理5 可得 所以 v t , j u n ) 堡v 死( u ) 在妒( q ) 中 v t k ( u n ) 一v 死( 心) ，a e 在q 中 令m = k 4 - - il l ，o ll l o o ( n ) 则( 3 5 ) 左端的第一项可写为 o ( z ，瓦( ) ) i v ( u n ) 1 p v t , ( u ) v t k ( u n 一妒) - ，n 由k 的任意性和v t k ( u ) 一v t k ( u ) ，a e 在q 中得 a ( x ，瓦( u n ) ) l v t m ( u 礼) 1 p v t m ( u n ) 一a ( x ，u ) l v t m ( u ) l p v t m ( u ) ，o e 在q 中 并且 a ( x ，死( 钆竹) ) f v ( ) i p v t m ( u n ) l p 7 ( q ) 所以 n ( z ，瓦( ) ) i v t m ( ) | p - 2 v t m ( u n ) 里n ( z ，让) i x 7 t m ( u ) i p 一2 v ( 乱) 在妒7 ( q ) 中 因此可对( 3 5 ) 左端的第一项取极限得 a ( x ，u ) i v ( 仳) i p 一2 v t m ( u ) v t k ( u 一妒) = a ( x ，u ) i v u i p 一2 x 7 u v t k ( u 一妒) - ，s 1，q 综上所述可证也是问题( 1 6 ) 的熵解。 1 6 大连理t 大学硕士学位论文 定理1 2 的证明分为两步： 第一步：若q 型趔n - p 由( 3 1 ) 得 取1 7 p 有 由s o b o l e v 嵌入定理得 所以 上器舛，n ( 1 + i i ) 什入。一 上i v u 鲴z ( 1 仆川掣】1 - ； ( 加i r ) 专 c ( li v 训巾= 是 z 蚶蚓上( 1 仆川警】譬 如果捌p - r7 + ，即r 一n ( p 一- a a 一- 1 y ) - 1 ) 所以 小l r 鲴上( 1 制门乎c + c f l 训 业p r 对上式右端第二项利用带e 的y o u n g 不等式可得 因此 u n r c 上i v 划7 舛r 糟 其中c 是与n 无关的正常数。其余证明类似定理1 - 1 第一部分的证明。 1 7 带有低阶项的退化强制非线性椭圆型方程 第二步：若q j v ( v 矿- l - 1 ) 此部分的证明同定理1 1 第部分的证明相同。 定理1 3 的证明分为三步： 第一步：若q 岩 取妒= ( 1 + i u n l ) 1 + 7 1 s i g n ( u ) 代入( 2 3 ) 得 利用h s l d e r 不等式得 所以 上i v 乱胛c 上l y l l u i f l l u n p c 一i 删】一 ，qj q 上i v 让n i p c z i i 等竿】1 _ 击 因为业m - - 1 q m ，( g j 鲁) 由引理2 1 可得到一与礼无关的正常数c ，使得 上i v 计c ，v n 因此存在乱叼p ( q ) ，使得 且 旦牡在叼，p ( q ) 中 叫u ，o e 在q 中 在( 2 2 ) 中应用法都引理则得椰( q ) 我们可以证明( 见 1 0 引理5 ) v 乱n 旦v 乱在驴( q ) 中 j 单 1 8 大连理工大学硕士学位论文 所以 由上面可知 且 v 一v u ，口e 在q 中 v u n p _ 2 v 让n 旦i v 牡| p - 2 v 乱在l 舟( q ) 中 。( z ，瓦( 乱n ) ) v 妒里。( z ，u ) v 垆在汐( q ) 中 所以( 2 3 ) 左端第一项可取极限，第二项和右端项的证明同定理1 1 的第一部分。 第二步：若蛊- 上 q 岩 取妒= 【( 1 + i u n i ) 口一1 ) 一1 s i g n ( u , ，) 代入( 2 3 ) 得 上丽1 耘q ( m - 1 ) c 加叫“酬i ，n ( + i i ) 1 + ，y 一一。，n r “l 利用h s l d e r 不等式和引理2 1 得 上i 川u 胛_ 1 ) c 上i u 卵m 1 舛 所以 设仃 1 类似定理1 2 第二部分的证明可 得 其余同定理1 3 第二部分的证明。 第二步：若p l q 岩 证明同定理1 3 的第二部分。 第三步：若口岩 证明同定理1 3 的第一部分。 v u n i c r c 大连理- 丁大学硕士学位论文 结论 本论文主要讨论了带有低级项的退化强制非线性椭圆型方程( 1 6 ) 的解的正则性。通 过研究表明，低阶项。一1 u 对方程( 1 6 ) 的解有正则性影响。并针对低阶项中g 的不同范 围得出了相应的结果，即定理1 4 1 5 。 2 3 大连理工大学硕士学位论文 参考文献 【1 】h b r e z i s ，w s t r a u s s s e m i l i n e a rs e c o n d - o r d e re l l i p t i ce q u a t i o n si n 工1 【j 】j m a t h s o e j a p a n ，1 9 7 3 ，2 5 ：5 6 5 - 5 9 0 【2 】l b o c c a r d o ，t g a l l o u e t ，j l v a z q u e z n o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n si nr w i t h o u t g r o w t hr e s t r i c t i o n so nt h ed a t a 【j 】j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，1 9 9 3 ，1 0 5 ( 2 ) ：3 3 4 - 3 6 3 【3 a p o r r e t t a u n i q u e n e s sa n dh o m o g e n i z a t i o nf o r ac l a s so fn o n c o e r c i v eo p e r a t o r si n d i v e r g e n c ef o r m 【j 】a t t is e m m a t f i s u n i v m o d e n a ，1 9 9 8 ，4 6 ：9 1 5 9 3 6 【4 】j l l i o n s q u e l q u e sm d t h o d e sd er e s o l u t i o nd ep r o b l m e sa u x l i m i t e sn o nl i n d a i r e s 【m d u n o d ，g a u t h i e r - v i l l a r s ，p a r i s ，1 9 6 9 【5 】a a l v i n o ，l b o c c a r d o ，v f e r o n e ，l o r s i n a ，g t r o m b e t t i e x i s t e n c er e s u l t sf o r n o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n sw i t hd e g e n e r a t ec o e r c i v i t y 【j 】a n n m a t p u r aa p p l ，2 0 0 3 ，1 8 2 ： 5 3 - 7 9 【6 】l b o c c a r d o s o m ee l l i p t i cp r o b l e m sw i t hd e g e n e r a t ec o e r c i v i t y 【j 】a d v n o n l i n e a rs t u d ， 2 0 0 6 ，6 ( 1 ) ：1 - 1 2 7 】l b o c c a r d o ，a d a l l a g l i o ，l o r s i n a e x s i t e n c ea n dr e g u l a r i t yr e s u l t sf o rs o m ee l l i p t i c e q u a t i o n sw i t hd e g e n e r a t ec o e r e i v i t y j 】a t t is e r e n a t f i s u n i v m o d e n a ，1 9 9 8 ，4 6 ：5 1 8 1 【8 】g c r o c e t h er e g u l a r i z i n ge f f e c t so fs o m el o w e ro r d e rt e r m s i na ne l l i p t i ce q u a t i o nw i t h d e g e n e r a t ec o e r c i v i t y j 】r e n d i c o n t id im a t e m a t i c a ，s e r i ev i i ，2 0 0 7 ，2 7 ：2 9 9 - 3 1 4 【9 】p b e n i l a n ，l b o c c a r d o ，t g a l l o u 荟t ，r g a r i e p y ，m p i e r r e ，j l v a z q u e z a nl 1t h e o r y o fe x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fn o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s 【j a n n s c u o l an o r m s u p p i s ac i s c i ，1 9 9 5 ，2 2 ( 2 ) ：2 4 0 - 2 7 3 【1 0 l b o c c a r d o ，f m u r a t ，j p p u e l e x i s t e n c eo fb o u n d e ds o l u t i o n sf o rn o nl i n e a re l l i p t i c u n i l a t e r a lp r o b l e m s j a n n a l im a t p u r aa p p l c l i i ，1 9 8 8 ：1 8 3 - 1 9 6 1 1 】l b o c c a r d o ，t g a l l o u e t n o n l i n e a re l l i p t i ca n dp a r a b o l i ce q u a t i o n si n v o l v i n gm e a s u r e d a t a 【j 】j f u n c t a n a l ，1 9 8 9 ，8 7 ：1 4 9 1 6 9 2 5 【1 2 l b o c c a r d o ，t g a l l o u e t n o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n sw i t hr i g h th 粕ds i d em e 鹊i l r e j 】c o m m u n s p a r t i a l d i f f e q n s ，1 9 9 2 ，1 7 ：6 4 1 6 5 5 1 3 g r c i r m i r e g u l a r i t yo ft h es o l u t i o n st on o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n 8w i t hal o w e r o r d e r t e r m j n o n l i n e a ra n a l ，1 9 9 5 ，2 5 ( 6 ) ：5 6 9 5 8 0 【1 4 l b o c c a r d 。o nt h er e g u l a r i z i n ge f f e c to fs t r o n g l yi n c r e a s i n gl o w e r 。r d e rt e r 眦 j j e v 0 1 e q u ，2 0 0 3 ，3 ( 2 ) ：2 2 5 2 3 6 1 5 】h b r e z i s e q u a t i o n se ti n d q u a t i o n sn o nl i n d a i r e sd a n sl e se 8 p 嬲v e c t o r i e ke nd u a l i t 【j 】a n n i n s t f o u r i e r ( g r e n o b l e ) ，1 9 6 8 ，1 8 ：1 1 5 - 1 7 5 1 6 g r c i r m i o nt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n st on o n - l i n e a rd e g e n e r a t ee l l i p t i ce q u a t i o 璐 w i t hm e a s u r e $ d a t a j j r i c e r c h em a t ，1 9 9 3 ，4 2 ( 2 ) ：3 1 5