（基础数学专业论文）拟线性椭圆系统解的存在性及多解性.pdf

西南大学硕士学位论文中文摘要 拟线性椭圆系统解的存在性及多解性 学科专业：基础数学 指导教师：唐春雷教授 研究方向： 硕士研究生： 摘要 非线性分析 赵晓晓 本文采用变分方法，用临界点理论研究了几类偏微分方程系统的解和多解的 存在性首先本文讨论了一类0 ，口) 一拉普拉斯椭圆系统 i nq i 1 1 q o na q 其中a p u = d i v ( i v u l p 一2 v u ) 足矿拉普拉斯算子，qcr 是具有光滑边界a q 的非 空开集我们假设1 p ，q n ( n 3 ) 或1 0 使得 l b ( 即，) l c o ( 1 + 1 s p + 掣) ， l 晟( 即，t ) i 岛( 1 + | s j 掣+ 旷1 ) ，呱州咄 1 i mh ( x ，8 ，t ) = + o o l ( a ，t ) - - - , o o 一致成立，其中h ( x s ) = ；r ( z ，s ，) s + ：r ( z l s t ) t f ( x ，s ，z ) 基金项目：国家自然科学基金资助项目( 1 0 7 7 1 1 7 3 ) 吐 u z 岛 缸缸剐蹦 + + 0 u 瓯瓯 从m m l l | | i l 地 曲d | | 一 一 u ，i-lljilli 西南大学硕士学位论文 中文摘要 我们得到下面的定理： 定理1 假设f ：q r r 一冗足满足( f o o ) 的c 1 函数，且( g i ) ，( f 1 ) ，( f + ) 成立，那么问题( p ) 至少有一个解 定理2 假设f ：q rxr r 是满足( f o 。) 的c 1 函数，且( g 1 ) ，( f 1 ) ，( f 一) 成立，那么问题( p ) 至少有一个解 然后本文讨论如下p 拉普拉斯系统 i 一p u = a f ( z ，t 正， ) + g t ( z ，u ；u ) ， i nq ， ( p ) 一a p 口= a r ( z ，u ，口) + g 。( z ，u ) ， i nf t ， 【让= = 0 ， o i la q ， 其中p u = d i v ( j v uj p 一2 v u ) 足p 拉普拉斯算子，qcr 是具有光滑边界a q 的 非空开集，a 是参数且a r o ) 我们假设1 o ) ，其中1 卢 o ) ，其中p q 0 使得当0 sa o 时问题( p 7 ) 至少有两个非负解+ ，u + ) 和( u 一，u 一) 满足u 士0 ，t ，士0 且u 士0 或u 士0 关键词：共振；( p ，口) 拉普拉斯椭圆系统；p - 拉普拉斯椭圆系统；r _ 环绕； 极小极大原理；n e h a r i 流形 i i 西南大学硕士学位论文 英文摘要 e x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fq u a s i l i n e a re l l i p t i c s y s t e m s l m a j o rl f u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c s s p e c i a l i t y ； n o l i n e a ra n a l y s i s s u p e r v i s o rlp r o f t a n gc h u n - l e i a u t h o riz h a ox i a o - x i a o a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，e x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n sa r es t u d i e db yt h ev a r i a t i o n a l m e t h o d sa n dc r i t r i c a lp o i n tt h e o r e m f i r s t l y , w ec o n s i d e rac l a s so f0 ，口) 一l a p l a c i a n s y s t e 脚 ， f 一尹t 上= 入g t ( z ，u ，u ) + r ( z ，u ，u ) ， ，i nq ， ( p ) - a g t j = a g ( z ，t | ，u ) + r ( z ，u ， ) ， i nq ， lu = u = 0 ， o i la q ， w h e r ea p u = d i v ( v u p 一2 v u ) i st h ep - l a p l a c i a no p e r a t o r ，qcr i san o n e m p t y b o u n d e do p e ns e tw i t has m o o t hb o u n d a r ya q w ea s s u m et h a t1 p q n ( n 3 ) o r1 0s u c ht h a t i e ( ，t ) i 岛( 1 + 旷i1 + 掣) ， i r ( ，) l c o ( 1 + i s i 掣+ i t l a 一1 ) ，比q ，s , te r ； ( f ) 1 i mh ( x ，8 ，t ) = 士o ou n i f o r m l yf o rz q ， i ( s , t ) l o o 1 s u p p o r t e db yn a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a ( n o 1 0 7 7 1 1 7 3 ) i i i 西南大学硕士学位论文英文摘要 w h e r et h ef u n c t i o nh ( x s ，) = ；e ( z ，s ，t ) s + j 晟( z ，s ，t ) t f ( x ，s ，) w eh a v et h ef o l l o w i n gt h e o r e m s ： t h e o r e m1 s u p p o s et h a tf ：qxr xr_ri so fc l a s sc 1s a t i s f y i n g ( f o o ) ， a n d ( 0 1 ) ，( f 1 ) ，( f + ) h o l d ，t h e np r o b l e m ( p ) h a sa tl e a s to n es o l u t i o n t h e o r e m2 s u p p o s et h a tf ：qxr r _ r i so fc l a s sc 1s a t i s f y i n g ( f o o ) ， a n d ( g 1 ) ，( f 1 ) ，( f 一) h o l d ，t h e np r o b l e m ( p ) h a sa tl e a s to n es o l u t i o n s e c o n d l y , t h i st h e s i ss t u d i e dt h ef o l l o w i n gp - l a p l a c i a ne l l i p t i cs y s t e m ： ( p 7 ) - a p t 上= a r ( z ，u ，秽) + g u ( z ，“，u ) ， - - a p u = a r ( z ，t ，u ) + g t j ( z ，u ，u ) ， u = u = 0 。 i nq i nq o na q w h e r ea p u = d i v ( i v u p 一2 v u ) i st h ep - l a p l a c i a no p e r a t o r ，qcr i san o n e m p t y b o u n d e do p e ns e tw i t has m o o t hb o u n d a r y 矾2 ，1 o ) ，w h e r e1 p 0 ) ，w h e r ep q 0 s u c ht h a tp r o b l e m ( p 7 ) h a sa tl e a s tt w on o n n e g a t i v es o l u t i o n s ( u + ，v + ) a n d ( t 一， 一) s a t i s f y i n g “士0 ，u 士20a n dz t 士0o ru 士0f o r0 l a l a 0 k e y w o r d s ：r e s o n a n c e ；0 ，g ) 一l a p l a c i a ns y s t e m s ；p - l a p l a c i a ns y s t e m s ；r l i n k i n g ； m i n i m a xt h e o r e m s ；n e h a r im a n i f o l d i v 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：匙眈吃 签字日期：w f p 年毕月“日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：赵或伪 签字日期：矽f d 年峰月“日 导师签名： 勿舫 签字日期：伽p 年争月刁日 西南大学硕士学位论文 前言与文献综述 第一章前言 变分方法的基本思想是把求非线性算子方程的解的问题归结为求某泛函的 的临界点的问题迄今为止，经过许多数学家的努力，一个解决非线性问题的数 学分支学科一一变分法逐渐形成变分法最终寻求的足极值函数：它们使得泛函 取得极大或极小值临界点问题足极值问题的进一步发展，解决了许多非线性分 析领域的重要前沿问题 近几十年来，变分法逐渐地完善和发展，最终形成了主要包括极小极大理论 和m o r s e 理论等的近代变分法( 又称为大范围变分法) 这两种理论都足依靠拓扑 方法，主要研究泛函的一般的、未必是极值点的临界点的存在性以及临界点附近 的点的拓扑性质 变分法是求解边界值问题的强有力工具，足核心数学的前沿和非线性分析最 具活力的热点之一它在积分方程、偏微分方程以及许多数学物理问题中具有广 泛的应用例如，微分几何学中的测地线的研究足很显然的变分性质的领域又 如，在物理学中，h a m i l t o n 系统的周期轨道和波的受迫振动的运动方程就是某 个泛函的e u l e r 方程 第二章文献综述 本文首先讨论了一类0 ，口) 一拉普拉斯椭圆系统 巨茹：僦： i nq i nq o na q 其中a p u = d i v ( 1 、t u l p _ 2 v u ) 是p 拉普拉斯算子， qcr 是具有光滑边界a q 的非空开集我们假设l p ，q n ( n 3 ) 或1 o ) 在【4 】 中，d en a p o l i 和m a r a n i 研究了特征值问题( 3 ) 且利用问题( 3 ) 的第一个和第二个 特征值证明了系统( 2 ) 的解的存在性这些特征值足由具有l j u s t e r n i k s c h n i r e l m a n 特征的筹数大于等于k 的集合的极小极大来定义的还有一些文章也研究了共 振问题( 参见【5 1 0 】) 本文中，我们将在第五章仔细研究系统 i 一p u = a g t ( z ，u ，u ) ， i nq ， 一g u = a 瓯( z ，u ，u ) ， i nq ， ( 4 ) 【u = u = 0 ， 。na q 的变分特征值，并得到问题( p ) 的解的存在性 然后，我们讨论如下p 拉普拉斯系统 i 一= a r ( z ，u ，u ) + g u ( z ，u ，u ) ， ( p 勺t 乱- a ：p v ：= 。a ，r ( z u ，t ，) + g 。( z ) ， i nq i nq o na q 其中p u = d i v ( 1 v u l p 一2 v u ) 是p 拉普拉斯算子，qcr 足具有光滑边界a q 的 非空开集， 入是参数且a r o ) 我们假设1 p p ，则p = 辑； 若n p ，则p + = o 。) f ：孬 o ，0 0 ) 【o ，o 。) 一r 及g ：西【o ，o o ) 【o ，o o ) 一r 2 西南大学硕士学位论文前言与文献综述 是c 1 函数且满足对p 口 p 4 ，l 1 ，p 1 满足2 q + 卢 2 4 ( 若n23 ，则2 + = 鹩；若n = 1 ，2 ，则 2 + = o o ) ，1 q 0 ，l p p q 0 使得 j 厶( ，) l m o ，以( u 。，) ( 1 + l i u n i l l ，p + l i 忆口) _ 0 ， v c u n ，) 彤( 6 ) 则 ( 缸。，u 。) 有收敛子列 j 定义2 ( 见文献【l o 】) 设q ，q o 是b a n a c h 空间x 的子流形且q ocq ，s 是 b a n a c h 空间y 的闭子集及fcc o ( q o ，y s ) 我们称s 和( q ，q o ) 足r 一环绕，如 果对于任何映射h c o ( q ，y ) 使得h l q 。f ，我们有h ( q ) ns 0 r - 环绕定理( 见文献【2 5 】) 设x ，y 是b a n a c h 空间考虑子流形q ，q ocx 且q ocq ，scy 是闭子集使得( q ，q o ) 和s 是r 一环绕令f 。= h c o ( q ，y ) ： hj q 。f 对于f c 1 ( kr ) ，若 ( n ) 3 h o f 4 使得s u p z q f c h o ( x ) ) 0 使得当0 0 使得当f ( x ，u ) = i u rg ( x ，u ) = i u l 1 ( 1 p p q p + ) 时问题( 7 ) 在区间( 0 ，a ) 内至少存在两个正解存在函 数， g 满足满足我们定理1 的假设但不满足【2 2 】中定理的条件，例如，对任意的 z q ，令，( z ，札) = f x l 2 l t l p ，g ( x ，乱) = i z f 2 l 乱i 。( 1 p p 0 使得对于一切，”r 川， 若1 p 0 事实上，由( g 1 ) ，对于某个正数k ， 我们有 s 一陋( 抄+ 扣) ， 对v c 0 ，我们容易验证 c s ( z ，c 石：1 - s ，c t g b t ) ：c c s ( z ，s ，z ) 及g ( z ，c 南s ，c 虿与t ) = c g f ( z ，s ，) 是成立的，则存在常数翻 0 使得 i a s ( 即，t ) i q ( i 纩i1 十i 圳掣) ， l a t ( 叩，t ) | 。 因此，由札的定义知k 0 为了证明这些批是特征值，我们要首先证明垂l e 满足p a l a i s s m a l e 条件 然后，通过形变讨论( 详见【1 】) 我们可得到k 是特征值下面我们将来验证一个 紧性条件； 引理2 圣i e 满足p a l a i s s m a l e 条件 证明 设 ( u 。，v n ) ) ce 是p a l a i s s m a l e 序列，即圣( 札。，) 足有界的且当 竹_ o 。时有 西i z ( n ，u n ) _ 0 ( 1 2 ) 下面我们将证明在e 中( 乱。，v n ) _ ( u ， ) 显然 ( u n ) ) 在e 中有界，如果必要取子列，不妨设 在e 中，( u n ， v n ) 一( u ，口) ，( 1 3 ) 在l p ( q ) xl 9 ( q ) 中，( u ，t j n ) ( 札， ) 且存在m t 0 使得对一切n n 有 ( u n ，v n ) l 舰 8 ( 1 4 ) ( 1 5 ) 胂i 乞( ，) = m i 1 l o ( ，) 一r 妒，( ，) m 故存在兄使得对一切n 有 o i o , ( t n ，) 一妒7 ( ，) f | f j 圣j 乞( ，) f l + 丢 因此，由( 1 2 ) ，我们可以得到当n _ o o 时 i 卜7 ( “疗，) 一砂7 ( 让。，) i f _ 。( 1 6 ) 成立又由( 1 4 ) ，当扎qo 。时我们有 和 西( ，) 一_ 0 f ( 虫c ，c 一让，。，) 一( 妒7 c u n ，c u n u ，) f f 卜7 ( 乱竹，) - 妒7 ( 乱n ，) f f | l 让n 一训f ，p ( 1 7 ) _ o ( 1 8 ) 由h 6 1 d e r 不等式，( 8 ) ，( 1 1 ) ，( 1 4 ) 和( 1 5 ) ，当佗一。o 时我们可得 陋吣c 叫棚) f f z 嘶咧u 一，如f 上i 瓯( z ，) j f n u l 如 a 上( f u 竹r 1 + j l 驾) i 一心j 如 s q ( l i p 郴- - 1 灿一怕( 哟+ 蒜渺n 一怕) q q c 雪- 1 + ) | j “n 一岫m ) _ 0 9 ( 1 9 ) 西南大学硕士学位论文 主要结果的证明 由于西( ，) 是有界的，故由( 1 7 ) 知存在某个正数使得对于一切n n h i 尬 成立从而由( 1 8 ) ，( 1 9 ) 及( 2 0 ) ，当n 一。o 时我们有 上( i v u 。i p - 2 v ，v ( u n 一乱) ) 出= ( 西铷n ，) ，( 一u ，。) ) 又由( 1 3 ) 可知 _ 0 ( 2 0 ) 上( 1 v u n p - 2 v u n - i v u i 扩2 v 札，v ( u n - u ) ) d x - - - ，。 ( 2 1 ) 若1 2 则由引理1 我们得到 。 1 时j l 钆n u l l l p 一0 成立，即在咏p ( s 2 ) 中一u ( n _ + ) 同理，在毗。( q ) 中我们有 o n _ v ( n o o ) 从而引理2 成立 口 1 0 西南大学硕士学位论文主要结束的证明 我们将 札) 女n 作为问题( 4 ) 的变分特征值 a k k n 是否包括所有的特征 值是未知的，但 a k k n 对我们的证明有重要的作用 引理3 若( g i ) ，( f 1 ) 和( f + ) 成立，则厶满足( c e ) 条件 证明设 ( ，) ) cw 是( c e ) 序列我们可以证明( u n ) ) 有收敛的 子序列若不然，当n _ 时我们有l l ( ，u n ) i i 一。o ，则我们可以得到一个具有 正测度的子集q o q 使得存在子列( 不妨仍记为 ( ，) ) ) 满足当n 一。时 l u 。( z ) l _ o 。或l ( z ) i _ o o 成立事实上，设= i ( “n ，) 一o o ( n o o ) 令砬n = 辫，“= 撩故( “，饥) 在w 中有界且对于一切扎n 有 | i “1 1 1 ，p + i i 锄1 1 1 ，q = 1 ( 2 2 ) 因此存在一个子序列，仍记为 ( 锄，) ) 和某个( 砬，西) 使得 在w 中，( u r 1 ) 一( 砬，西) ， 在矿( q ) l 9 ( q ) 中，( 锄，诜) 一( 砬，o ) 故由( 6 ) ，当几一o 。时我们得到 ( 以( “，) ，( t 2 n - 西, 0 ) ) i l k ( 如，) 锄一刮- ，p i k ( 如，) i l ( i i 如i i ，p + 1 1 , i 1 1 - ，p ) _ 0 又由h 6 1 d e r 不等式，( 8 ) ，( 1 1 ) ，( 2 2 ) 和( 2 4 ) ，当扎一o 。时我们有 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 上g u ( z ，) ( q n - - ) 如l 上l g u ( z ，锄，锄) i l 锄一砬i d z s q 上( 1 如i p - x + i 锄i 驾) l 如一n i 出 q ( i | | | 莓占：) i l 如一包i i l p ( f 2 ) + l i 锄| | 蒜) o 色。一训b ( q ) ) q ( 四一l + c 2 咀v ) 一砬怯( n ) 亘堕盔兰堡兰登笙! i 垒墨一 圭墨笙墨丝垩翌 一_一 x ；不口，h l 明 _ 0 ( 2 6 ) 当礼一o o 时，由h s l d e r 不等式，( f 1 ) ，( 8 ) ，( 2 2 ) 和( 2 4 ) 可知 zr ( z ，“，“) ( “一砬) 如l上| 凡( z ，砬。，) | | 锄一舀i 如 岛上( 1 + i p - z + i i 哆) i 如一色i 妇 ，p i 岛( 矧爷8 色n 一训l ，( f 2 ) + f f l i p l - ，( 1 2 ) | | 如一也怯【q ) p j + 蒜胆一f i t l y 哟) c o ( q l p + 喏一l + ) 啪( n ) _ 0 ( 2 7 ) 故当n 叶时，由( 2 5 ) ，( 2 6 ) 和( 2 7 ) 我们得到 z ( f v 训p - 2 v f i n , v ( f , , - f ) ) d x = ( 以( 砒( “吨。) ) + a 上瓯( z ，霞。，。n ) ( “一砬) 如 + 上r ( z ，色。，) ( u n - - ) 如 _ 0 ， 从而当凡_ o 。时，由( 2 3 ) 可知 上( m n p - 2 v 砬n - - i v 五 v - 2 v f , v ( f i n - f * ) ) d x 。( 2 s ) 若1 p o 使得 o 一训p i p li w - w l p ( i v “i + 叫牮( j v 如i + i v 砬i ) 掣出 ( z v 如娟巾训小也i ) 卿出) 暑( z ( f v 训叩砬1 ) p 如) 争 1 2 ( v 孙i v 五学 一 一 一 厶、 ， 2 2 已2 、j 印 u u v v v 口 一 一 p p 训 叫 v 铲 锄 赫 v v 垒- r v v ，、0 厂厶厂厶 ，一 ，一砚研一q 一 一 一 0 ， 我们可以得到 ；p(脚，vn)dx=卿(三脚胁川u竹+吉肌隔，vn)vnit-*00 j jpn n o 。 n q f ( 刚n ，) ) 如 = t 恕p ( 驰n 川一 ) m 3 结合( f 1 ) 和( f + ) 可知存在正数慨使得 故由法都引理我们有 h ( x ，u n ，u n ) 一舰a e z q ， l i mh ( x ，u n ，) = + o o a e z q o n + o o 1 嘞f 上日( z ，v n ) d z 1 骢辫上。日( z ，u n ，v n ) d x 一地i 叭q 。 z 。l i m i n f 日( z ，u n ，v ) d x 一眠i q q 。 = - 4 - 1 3 ( 2 9 ) 西南大学硕士学位论文 主要结果的证明 这与( 2 9 ) 矛盾故 ( ，) ) 足有界的从而存在收敛子序列，不妨仍记为 ( ，) ) ， 即存在( u ， ) w 使得 在中，( 札。，) ，( 3 0 ) 在l p ( s 2 ) xl q ( 1 2 ) 中，( ，) 一( u ，v ) ( 3 1 ) 且存在正数m 5 使得对于一切n n 有 忙。，) 忙坞 当n o o 时，由( 6 ) 可知 ( 双( 札n ，) ，( 一u ，。) ) i i k ( ，) 一乱i i - ，p 慨( ，u n ) i | ( | | 札。1 1 1 p + ，p ) _ 0 利用h s l d e r 不等式，( 8 ) ，( 1 1 ) ，( 3 1 ) 和( 3 2 ) ，当n o 。时，我们得到 ( 3 2 ) ( 3 3 ) 上瓯( z ，) ( u n - - u ) 妇l zi g 。( z ，让n ，) ii 一u i 如 a 上( i | p _ 1 h i 芈一) i u n u i 妇 q ( 吼p - 1 ：) u , n - - i t i l l p ( + l 蒜加h 一札慨i 2 ) ) 瓯( 罐一1 m 罗- 1 + m 5 ，1 ) 1 1 u - u h 删) 一0 又由h s l d e r 不等式，( f 1 ) ，( 8 ) ，( 3 1 ) 和( 3 2 ) ，当n _ 。时，我们有 ( 3 4 ) 上凡( z ，) ( 一u ) 如i 上l r ( z ，札n ，) i i 一札| 出 岛z ( 1 + i “n i p _ 1 + j j 哗) f u n - - i 如 c o ( i n l 宁 i u - u l l l 一( q ) + l i u 。i l 筘岛) | | 一乱l f l ，( q ) 1 4 西南大学硕士学位论文主要结果的证明 + 蒜) h u n - - , 慨) 赢( i q i 皆+ 罐一1 蝣一1 + q e _ ，z 2 屹p 1 ) 1 1 u n - u l l 酬n ) _ 0 故当n _ 0 0 时，由( 3 3 ) ，( 3 4 ) 和( 3 5 ) 可知 上( 1 v l p - 2 v ，v ( 一乱) ) 出= ( 以( ，) ，( u n - - u , 0 ) ) ( 3 5 ) + a g 。( z ，u n ，u 。) ( u n u ) d x i n + f n f u ( z ，) ( u n - - u ) d z _ 0 ( 3 6 ) 从而由( 3 0 ) 及( 3 6 ) ，当n c o 时我们得到 上( i v u n | p - 2 v 乱n i v u l p - 2 v 仳，vu n - - ) ) 如_ 。 ( 3 7 ) 若1 p 0 使得 f v u , , - v u 巾“。忡“i ) 学( i v “n i + j v u l ) 掣如 ( v u 。- v u 2 ( f v 训邶钍j ) ”2 如) 葺( 上( i v 训叩i ) p 出) 警 历1 ( 上( i v 仳竹 p - 2 v u n - - i v u p - 2 v u , v ( 叫) 如) 学( z ( 川+ i v u i ) p 出) 半 丽c s ( 上( i v i p - 2 v u n _ l v 札 p - 2 v ? a , v 叫) 如) 羞， 因此结合( 3 7 ) ，我们有l i 让n 一p _ 0 ( n o 。) 若p 2 ，则由引理1 可知 。驯叫l p ，p 去上( 1 v u n p - 2 v u - - v u p - 2 v u , v ( u n - u ) ) d z ， 1 5 一 一 一 一 1 ，当n _ o o 时我们可以得到i i u n u i | l ，p 一0 ，即在略p ( q ) 中_ 让一。o ) 同理可得在嚼9 ( q ) 中v n _ v ( n 一。) 故引理3 成立 口 定理1 的证明我们将通过判断入的取值把证明分成三种情况 情况l ：沁 0 使得 l f ( z ，u ，口) i e ( i “i p + i uj a ) + 札 故 上f c z u ，出i 上f f c z ，u ，u ，l 如 上( 列u i p + i 蚋i + 札) 出 上( i 乱i p 仆1 9 ) 妇+ 肌i q | ( 3 8 ) 从而对于( t l ，口) a ，t 0 我们有 厶( t 吾乱，t ；u ) “21 v u i p 妇+ 孝上i v u i q d x - t az g ( z u ) 如 + i 上m 南) 如 三zi v “i p 出+ 孝zl v 卵如一t a 五g ( z u ) 如 + 上( i u i p + i u l 9 ) d 计肛l q i ( m a ) + 垢上( 嘴i v u j p + q l v u i a ) d x + 肌i q ( m a ) + 侥上( i v u i p + i v u i 。) d x + 札i q 1 6 西南大学硕士学位论文主要结果的证明 t ( m - a ) + 侥岛拓( 刍zi v u l p 出+ 吉上i v u i a 出) + 也l q t ( m 一入+ c 5 c 9 m ) + k l a l ， ( 3 9 ) 其中岛= m a x 饥口) 令a 知+ l = ( ，u ，u ) w ：西( u ，u ) a 七十1 妒( u ，u ) ) 对于所有的( u ，u ) 九+ l ，由 ( 8 ) 和( 3 8 ) 可知 孙川( 一击) ( 去上i v 卵如+ 吉上i v iz ) 一互m 岫 ( 一击) ( 刍上i v u i p 如+ 吉上l v u l 9 d x ) 一上( i h i p 川i d x 剖q i ( 一去) ( 扣u 旧伊+ 扣训；，。) 一( 四忆旧, p - - i - 四删) 一他j q i a 。( 1 一石a ) ( l ￥，p + l l v | | 7 ，。) 一q ( 怯| | 2 p + l l v l | ，。) 一肌蚓 = 0 倬得 q 芦( u ， m 脚a x r 厶( 札酬 p ( 4 2 ) 现令t a ： ( 石1 钍，t 百1u ) ：( u ，口) a ，t t ，q ；仇( 鼠代表r k 中闭单位球， a q = s 扣1 ，r = h c o ( 驴，w ) ：h 是奇的且九( 妒_ 1 ) ct a 对于任意h f ， 由( 4 1 ) 和( 4 2 ) 可知h ( s 七一1 ) na k + 1 = d ，从而r 是c c s 血一1 w a 七+ 1 ) 的子集 令r = h c o ( b k ，w ) ：h i 舻一- ro 故r 是非空的且对于一切h r + 有 h ( b k ) a a k + l 仍事实上，由k 的定义知存在一个连续的奇的满射h ：s 肛1 一a 对v s 驴一1 及t 【0 ，1 】，取瓦：b k _ w 为万( s ) = t t h ( s ) 故瓦r 。若存在 ( u ， ) h ( b k ) 使得妒( u ，u ) = 0 ，我们可以得到h ( b k ) na 南+ l 西否则我们考虑映 射左：s k _ e ，定义如下； 妣舰川= 忙2 2 0 鼍训，= i 1 7 西南大学硕士学位论文 主要结果的证明 其中丌( “，u ) = ( u ， ) 妒( t ，u ) 不难验证五( 胪) a k + 1 因此对某个( u o ，如) 元( 妒) 有圣( 呦，v o ) a 七+ l 即( i t o ，v o ) a k + 1 由于丌o h ( x ) a k + 1 故h ( x ) a k + 1 从而 ( 风) na 七+ l d 所以妒和a 七+ 1 是r 环绕由