（应用数学专业论文）一类耦合二阶非线性系统的动力学性质研究.pdf

一类耦合二阶非线性系统的动力学l i 生质研究 摘要 本文运用动力系统的方法来分析一类耦合二阶非线性系统的动力学行为，此 系统在天体力学、等离子物理、非线性光学等许多实际物理问题中有着广泛的 运用，对其各种解的性质的深入研究和认识具有重要的理论意义和现实的实用价 值由于非线性动力学问题在一般情况下很难求得精确解，除了用数值方法和渐 进分析方法求近似解外，更重要的是利用动力系统分支与混沌理论来分析系统动 力学随参数的变化规律，特别是分析系统平衡解i 周期解、拟周期解、同宿异宿 解和混沌解等各种特殊解随参数的分支及其稳定性，并研究系统可积性和不可积 性的参数条件 本文研究的系统如下 ， i 岔1 + a 1 2 1 + ( 6 1 1 z ；+ b 1 2 x ；) x 1 = 0 ( 1 ) i 叠2 + a 2 x 2 + ( b 2 1 z ；+ 6 2 2 z ；) z 2 = 0 其中a 1 ，a 2 ，6 0 ( t ，j = 1 ，2 ) 是任意参量 可以看出在系统( 1 ) 中，耦合项的系数为b 1 2 和b 2 1 ，因此我们可以根据这两个 系数的不同情况对系统进行分类讨论：i ) 当参数b 1 2 ，b 2 1 都为零时，该系统的两个方 程是完全解耦的，且都是平面h a m i l t o n 系统，此时利用平面动力系统理论就可以 分析清楚系统的平衡点个数、类型以及全局相图；i i ) 当参数b 1 2 ，b 2 1 只有一个为零 时，根据系统中两个方程的对称性，不妨假设b 1 2 = 0 ，b 2 1 0 ，此时系统的第一个 方程可以单独求解，将解出的z 1 代入第二个方程中的耦合项x 2 x 2 ，可将系统( 1 ) 转 化为关于z 2 的二阶非自治非线性方程本文研究的是当z 1 为周期函数，对应于第 一个方程的周期解，此时将z 1 代入第二个方程得到的系统具有平面h a m i l t o n 周 期扰动系统的形式，本文运用m e l n i k o v 方法分别研究了系统同宿轨的存在性以 及次谐周期解的存在性i i i ) 对于参数b 1 2 ，阮1 都不为零的情况，若b 1 2 ，b 2 1 同号，则我 们经过适当的尺度变换之后，可以得出系统( 1 ) 是具有两个自由度的h a m i l t o n 系 统本文利用l y a p u n o v 中心定理说明周期轨道的存在性，并且重点分析了其平衡 点类型为鞍点和鞍中心的情况下，利用m e l n i k o v 方法说明系统的混沌性 关键词：哈密尔顿系统；周期轨；同宿轨道；混沌现象；m e l n i k o v 方法 d y n a m i cbe h a v i o r sf o rac l a s s0 ft w 0 c o u p l e dn o n l i n e a rs y s t e m a b s t r a c t t h et h e s i sd e a l sw i t ht h ed y n a m i cb e h a v i o r sf o rac l a s so ft w oc o u p l e dn o n l i n e a r s y s t e mb yu s i n gt h em e t h o do fd y n a m i c a ls y s t e m s u c hs y s t e mh a sw i d ea p p l i c a t i o n i nm a n y p h y s i c sp r o b l e m s ，s u c ha sc e l e s t i a lm e c h a n i c s ，p l a s m ap h y s i c s ，n o n l i n e a ro p t i c s i ti si m p o r t a n tn o to n l yi nt h e o r yb u ta l s oi np r a c t i c a l i t yt os t u d ya n du n d e r s t a n d m o r ea b o u tt h ep r o p e r t i e so fv a r i o u ss o l u t i o n s a sw ea l lk n o w ，i ti sd i f f i c u l tt oo b t a i nt h ee x p l i c i ts o l u t i o nf o rt h i sn o n l i n e a rd y n a m i c a li s s u e s b e s i d e st h en u m e r i c a l m e t h o da n da s y m p t o t i ca n a l y s i sm e t h o d ，b i f u r c a t i o na n dc h a o st h e o r yo fd y n a m i c a l s y s t e mi su s e dt oa n a l y z et h ed y n a m i c so ft h es y s t e ma c c o r d i n gt od i f f e r e n tp a r a m e t e r s e s p e c i a l l yf o rt h ee q u i l i b r i u ms o l u t i o n 、p e r i o d i cs o l u t i o n 、q u a s i p e r i o d i cs o l u t i o n 、h o m o c l i n i ca n dh e t e r o c l n i cs o l u t i o n 、c h a o t i cs o l u t i o n ，t h eb i f u r c a t i o na n ds t a b i l i t ya n a l y s i so fs u c hs o l u t i o n sh a v e b e e ns t u d i e d a n ds o m es p e c i a lc a s e so fc o m p l e t e i n t e g r a b i l i t y 、n o n i n t e g r a b i l i t yh a v eb e e ns t u d i e dw i t ht h eg i v e np a r a m e t e r s t h es y s t e mw ed e a l tw i t hi sg i v e nb y w h e r et h ep a r a m e t e r s a 1 ，a 2 ，b i j ( i ，j = 1 ，2 ) a r ea r b i t r a r yr e a ln u m b e r s ( 2 ) i nt h i ss y s t e m ，t h ec o e f f i c i e n t so ft h ec o u p l e di t e ma r eb 1 2a n db 2 1 ，s ow ec a n c l a s s i f yt h es y s t e ma c c o r d i n gt ot h ed i f f e r e n tc a s e so ft h e s ec o e f f i c i e n t s i ) i nt h ec a s e o fb 1 2 = b 2 12 0 ，t h et w oe q u a t i o n so ft h es y s t e ma r ed e c o u p l e d ，a n db o t ho ft h e ma r e i i i n u 0 = = 1 2 z z 、，、i， 2 2 2 2 z z 2 2 1 2 k u l u + + 2 1 2 1 z z n 殂 6 6 ，l， + + 1 2 z z a a 、+ 十 1 2 z z ，j(1【 p l a n eh a m i l t o n i a ns y s t e m ，i ti se a s yt oa n a l y s i st h et y p eo fe q u i l i b r i u mp o i n t sa n d d r a wi t sp h a s eg r a p hb yu s i n gt h et h e o r yo fp l a n ed y n a m i c a ls y s t e m i i ) w h e nt h e r e i so n l yo n eo ft h ec o e f f i c i e n t sb e i n gz e r o ，b a s eo nt h es y m m e t r yo ft h es y s t e m ，w i t h o u t l o s so fg e n e r a l i t y , w ec a nl e t b 1 2 = 0 ，b 2 1 0 ，s ot h ef i r s te q u a t i o no ft h es y s t e m c a nb es o l v e da l o n e ，t h e nt a k et h es o l u t i o nz l ( t ) b a c kt ot h ec o u p l e di t e m 。；z 2i nt h e s e c o n de q u a t i o n s ot h es y s t e m ( 2 ) b e c o m et ob ean o n - a u t o n o m o u ss y s t e mo fn o n l i n e a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h i sa r t i c l e ，w ef o c u so nt h ep e r i o d i cs o l u t i o n z 1 ( t ) ，w h i c h m e a n st h ep e r i o d i co r b i tz l ( t ) i nt h ef i r s te q u a t i o n ，s ot h es e c o n de q u a t i o ni sap l a n e h a m i l t o n i a ns y s t e mw i t hap e r i o d i cp e r t u r b a t i o n m e l n i k o vm e t h o di su s e dt oa n a l y s i s t h ee x i s t e n c eo fh o m o c l i n i co r b i ta n ds u b h a r m o n i cp e r i o d i co r b i to ft h es y s t e m i i i 、 w h e nb o t ho ft h et w oc o e f f i c i e n t sa r en o tz e r o ，i f b 1 2a n db 2 1a r ew i t ht h es a m es i g n ， t h e nb yt h ea p p r o p r i a t es c a l i n gt r a n s f o r m a t i o n ，t h es y s t e mi sah a m i l t o n i a ns y s t e mw i t h t w o d e g r e e o f - f r e e d o m l y a p u n o vc e n t e rt h e o r e mi su s e dt oe x p l a i nt h ee x i s t e n c eo f p e r i o d i co r b i t w h e nt h ee q u i l i b r i u mp o i n t sa r ei nt h et y p eo fs a d d l ea n ds a d d l e c e n t e r , w ea n a l y s i st h ec h a o so ft h es y s t e mb yt h em e l n i k o vm e t h o d k e yw o r d s ：h a m i l t o ns y s t e m ；p e r i o d i co r b i t ；h o m o c l i n i co r b i t ；c h a o s ； m e l n i k o vm e t h o d i v 浙江师范大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其他机构已经发表 或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确 的声明并表示了谢意。 作者签名：橡汤醉 日期：矽吁年f 月 1 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解浙江师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描 等手段保存、汇编学位论文。同意浙江师范大学可以用不同方式在不同媒体上发表、 传播论文的全部或部分内容。保密的学位论文在解密后遵守此协议。 作者签名：琳澎砰导师签名： 日期：砷年占月日 浙江师范大学学位论文诚信承诺书 我承诺自觉遵守浙江师范大学研究生学术道德规范管理条例我的学位论文中 凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明并详细列出有关文 献的名称、作者、年份、刊物名称和出版文献的出版机构、出版地和版次等内容。论 文中未注明的内容为本人的研究成果。 如有违反，本人接受处罚并承担一切责任。 4 5 承诺人( 研究生) ；旅澎醉 指导教师： 1 绪论 本文的主要研究对象是如下的耦合二阶非线性系统： 其中a 1 ，a 2 ，6 巧( t j = 1 ，2 ) 是任意参量 在天体力学、等离子物理、非线性光学 1 ，2 、地球物理流体力学 3 ，4 等许 多实际物理问题中所涉及的非线性偏微分方程数学模型，通过求其特定形式的有 限行波解，就可以转换成本文所要研究的非线性常微分方程问题因此通过对系 统( 1 1 ) 各种不同形式解，如周期解、拟周期解、同宿异宿解的研究，就能够得出 关于原偏微分方程中对应各种解的性质 微分方程非线性问题一般情况下很难求其精确解，因此在研究进程中，科学 家们通过各种方法和变换技巧将方程化为相对易于求解的形式，从而在某些特定 参数情况下求出方程的孤波解 5 1 5 】、周期波解 1 6 ，1 7 等特殊精确解但对大多 数非线性模型而言，根本得不到其精确解于是，一批学者在对模型进行定性分析 的基础上，利用数值模拟和渐进分析的方法求其近似解然而，这些方法在参数变 化的时候，对方程解的存在性的影响却不能给出较完整的回答而动力系统分又 理论和混沌理论方法可以弥补上述求解方法在这方面的不足 同时一些学者在特定参数条件下对系统的完全可积性进行了研究 m a n a k o v 系统 1 8 】就是其中一类具有重要意义的完全可积系统系统( 1 1 ) 在 特定参数条件下是完全可积的( 详见文献 1 9 ，2 0 及其相关文献) 但对一般的参数 条件下，系统( 1 1 ) 是不可积的到目前为止，并没有关于系统( 1 1 ) 一般的较完整的 研究成果，所以本文将从动力系统的观点对系统进行分析研究 1 0 0 | l = 1 2 z z 、，、l， 2 2 2 2 z z 2 2 1 2 l d 6 + + 2 1 2 1 z z 1 1 l 2 6 6 ，k，fk + + l 2 z o a a + + l 2 o z ，j(1i 1 绪论 在系统( 1 1 ) 中，耦合项的系数为6 1 2 和b 2 1 ，因此我们可以根据这两个系数的 不同情况对系统进行分类讨论：i ) 当参数b 。2 ，b 2 1 都为零时，该系统的两个方程是完 全解耦的，且都是平面h a m i l t o n 系统，此时利用平面动力系统理论就可以分析清 楚系统的平衡点个数、类型以及全局相图；i i ) 当参数b 1 2 ，b ：1 只有一个为零时，根 据系统中两个方程的对称性，不妨假设b 1 2 = 0 ，6 2 1 0 ，此时系统的第一个方程是 解耦的，将解出的z 。代入第二个方程中的耦合项z ；z 2 ，可将系统( 1 1 ) 转化为关于 z 2 的二阶非自治非线性微分方程本文研究的是当z ，为周期函数，对应于第一个 方程的周期解，此时将x 1 代入第二个方程得到的系统具有平面h a m i l t o n 周期扰 动系统的形式，本文运用m e l n i k o v 方法分别研究了系统同宿轨的存在性以及次 谐周期解的存在性i i i ) 对于参数b 1 2 ，b 2 1 都不为零的情况，若b 1 2 ，b 2 1 同号，则我们 经过适当的尺度变换之后，可以得出系统( 1 1 ) 是具有两个自由度的h a m i l t o n 系 统；若b 1 2 ，b 2 1 异号，经过相应的变换后，系统( 1 1 ) 是反转对称系统 本文的结构和主要内容如下：第一章为绪论，简单介绍本文所要研究的系 统( 1 1 ) 以及前人所做的成果第二章，首先通过三个具有实际物理背景的例子说 明对系统( 1 1 ) 的研究是有重要意义的，接着给出在本文中会用到的相关动力系 统知识以及系统( 1 1 ) 在一些特殊参数条件下的完全可积情况第三章，分两个 部分进行，第一部分在参数b 1 2 ，b 2 1 都为零的情况下，简单分析系统的平衡点个 数、类型，利用m a p l e 软件画出其全局图，并求出系统周期解、同宿异宿解的解 析表达式；第二部分讨论在参数b 1 2 = 0 ，b 2 1 0 的情况下，利用m e l n i k o v 方法 分别研究了系统同宿轨的存在性以及次谐周期轨的存在性第四章，考虑在参 量b 1 2 b 2 1 均大于零的情形下，通过适当的尺度变换，系统( 1 1 ) 是具有两个自由度 的h a m i l t o n 系统，从而利用h a m i l t o n 系统的相关知识对系统进行定性研究最后 一章对本文进行小结 2 2 相关背景及预备知识 在绪论中我们已指出系统( 1 1 ) 在许多物理问题中有着广泛的应用，因此在本 章中我们将先给出三个具有实际物理背景的例子来说明系统( 1 1 ) 的广泛性，并给 出本文所需的动力系统相关知识，最后给出系统完全可积的几种情况 2 1 方程的相关物理背景 1 n 耦合非线性k l e i n g o r d o n 方程的行波解 考虑文献 1 5 】所涉及的一类n 耦合非线性k l e i n g o r d o n 方程： ( 面0 2 一翕) 皿七一皿七+ 2 ( 壹q 2 + g ) 惫：。 ( 2 1 7 ( 岳一知一2 丧壹叼2 一 亿2 ， 、a z 况用一况厶j p 一7 其中 饥三帆( z ，亡) ，q 三q ( x ，亡) ，忌= 1 ，2 ， 为了寻求系统( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的行波解，令 皿k ( z ，亡) = x k ( ) ，q ( x ，亡) = q ( ) ，= z c t ，k = 1 ，2 ，n ( 2 3 ) 其中c 指行波速度 把( 2 3 ) 代回方程( 2 1 ) 矛1 1 ( 2 2 ) 中，可得到如下的+ 1 个非线性常微分方程 ”孑，掣一础 粪寥删嘲= 。亿4 ， 3 2 相关背景及预备知识 ( 1 + c ) 掣忆面d ；n 碍= 。亿5 ， 对于方程( 2 5 ) 关于变量进行积分可得： 眯) = 一熹n 砑+ c 1 ，c 1 ( 2 6 ) 其中c 1 r 是一个积分常数如果c = 4 - i ，则可得到矽，口的平凡解将( 2 6 ) 代入 赢+ 筹甄+ 南粪邪剐， 亿7 ， 其中艾岛三一d 2 x 改k ：( ) ，尼= 1 ，2 ， 恳瓮兹撼薹 ， 其中a = 警暑，b = 百舞 因此在系统( 1 1 ) 中只要令a 1 = a 2 = a ，b 仇竹= b ，仇，礼= 1 ，2 ，则方程 考虑文献 9 】所涉及的耦合非线性s c h r f d i n g e r ： = 5 f 呈： iia且t+a岛xzz+(。ijabi产2+卢l|三寡；三三三 c 2 9 ， 4 2 相关背景及预备知识 其中a ，b 表示两个波包的复波幅，p 是一个实值交叉相位调幅系数 寻求如下形式的孤波解： 其中u 是波速 记 则通过尺度变换： 互= z u t ，u 2 = u ；u 舌= u 弘厅= r l w 1 ，尼= r 2 u i 就可得到如下关于r ，r 2 的常微分方程组： ( 2 1 0 ) 注意这里我们仍用原来的符号r ，r 2 来表示 通过对方程组( 2 1 0 ) 的分析，文献【9 给出了几种特定参数条件下解的解 析表达式，并且利用渐进分析和数值分析方法对由母女波( w a v ea n dd a u g h t e r w a v e ) 产生的对称与反对称孤立波进行了分类 值得注意的是，方程组( 2 1 0 ) 是方程组( 1 1 ) 当a 1 = - 1 ，a 2 = 一u 2 ，b 1 1 = b 2 2 = 1 ，b 1 2 = 6 2 1 = 卢时的特殊情况 3 n 耦合非线性s c h r s d i n g e r 方程的驻波解 考虑文献 1 1 所涉及的一类关于电场中沿着藉由传播的，缓慢变化的复包络 5 t 幢 m 雕2 l 二2 叫 p ，l ，引和 斗 刍 2 z ， 阢 u | 一， 。 e 0 0 = = 您 ，“ r 抄矽 矽 十 + 碍 p + + 仡 n 矿 一 一 。n 。吃 ，j、l-， 2 相关背景及预备知识 或分量咖mz ，亡) 的n 耦合非线性s c h r s d i n g e r 方程： n n i m ：+ 删+ + ( p m n l n f 2 ) + ( 醒) 蛾= 0 m = 1 ，( 2 11 ) n = ln = l 其中麓是的共轭函数，p ，q ，k 是媒介的特征参量，下标m 表示西的不同分量， 下标z ，t 表示对西关于z ，t 求导 寻求形如驴m ( z ，t ) = z m ( 亡) e 印( i q z ) 的驻波解，其中q 是实常数，z m ( t ) 是只关 于亡的实函数从而方程( 2 1 1 ) 可v a 写成如下的耦合非线性方程： ( 2 1 2 ) 其中岔= 象，= 一q ，b = p + g 撕 文献 1 1 】中日i d e 通过待定系数法得到了在参数b 仇n = 4 - 1 ，v m ，礼= 1 ，这 种特殊情况下l e g e n d r e 函数形式的解： z m = 瑟昭j ( t a n h ( a t ) ) ，m = 1 ， 当n = 2 时，方程( 2 1 2 ) 就是本文所要研究的系统 2 1 2 预备知识 定义2 1f 2 1 】( 日o m 砒。礼系统) 对于r 2 n 上定义的可微函数h ( q ，p ) ，( 口，p ) r 轨， 所 一喟h a m z l t o n 系统是指如下的微分方程组： la 吼8 h j 出 却i l 要：一票，江1 j 2 柚 l 出弛一一 其中n 称为系统的自由度，函数日称为系统的h a m i l t o n 函数 6 1=mn u i i m z 2 竹 z m b 脚 + m z ma + m z 2 相关背景及预备知识 h a m i l t o n 方程还可以改写成如下的p o i s s o n 括号形式： j ，磐= 日) l 象= 协，日) ，江1 ) 2 棚 只g ) = 葛o a 吼r o a 一嚣o f 瓦o g ) 卜静 亿 k 一等( q j 珐( g ，p 邶c r 鼽 u j 刊 其中五= ( ，厶) 是常向量则易证坞是一个与e = 1 ，钆) 具有同样光 滑度的流形，且是( 2 1 3 ) 的不变集，关于这个不变集上的轨道性质，有如下的著名 定理： 7 2 相关背景及预备知识 定理2 1 【2 2 】( l i o u v i l l e a r n o l d 定理) 1 若屿是紧致、连通的，则屿与n 维环面p = _ ( 。，) m o d 2 7 r ) 是微分 同胚的： 2 系统( 2 1 3 ) 生成的流在p 上对应于拟周期运动，即在屿上用角度坐标表 示( 2 1 3 ) n 警叫n u ( ，) 却。( n ，( ，) ) 3 系统( 2 1 3 ) 口- i 以通过积分运算求解，即在坞的邻域内可以构造一组辛坐标 变换 ( j ，口) h ( q ( 1 ，曰) ，p ( ，p ) ) ， 其中i bc 形，b 是开集，0 t 礼，使得 h ( q ( i ，口) ，p ( j ，p ) ) 兰日( j ) ， 此时h a m i l t o n 系统( 2 1 3 ) 变为 从而有 帕 定理2 2 2 2 】( l y a p u n o v e ? 心定理) 考虑方程窑= 厂( z ) ，z 形，满足f ( o ) = 0 ， a = d ，( o ) 是可逆的设q 1 = i w ，q 2 = 一讪0 是a 的一对纯虚特征值，e 是它 们确定的特征子空间，若a 的其余特征值q 惫( 尼= 3 ，n ) 满足条件普整数，且 8 u 0 兰 兰 j 和捕百 = = 2 相关背景及预备知识 g 是方程的一个c 2 首次积分，d 2 c t e 0 ，那么对任意e 0 充分小，在e 附近存 在唯一的周期解z = p ( t ，e ) ，落在g ( z ) 一g ( o ) = e 2 上且其周期接近警 定义2 3f 2 2 1 ( m e l n i k o v 方法) 对于系统 香= j d h ( q ) + e g ( q ，t ，e ) ，( 2 1 4 ) 扣0 。 g = ( z ，y ) r 2 ，d h ( q ) = ( a h ，等) ，g = ( 9 1 ，9 2 ) ，g l ，夕2 关于其变量是光滑的，且 关于t 是周期t = 警的函数 假设无扰动系统( 2 1 4 ) 满足： 1 系统( 2 1 4 ) 。：o 有一个鞍型平衡点p o ，并且有一条同宿轨道9 0 ( 亡) 同宿于p o ， 2 设r k = 口r 2 i q = q o ( t ) ，t r ) u 伽) = w 8 ( p o ) nw u ( p o ) u p o ) r p 。的 内部由一族周期为p ，q ( - 1 ，o ) 昀周期轨道旷( t ) 充满，并且a l i 。r a u q a ( t ) = q o ( t ) ，1 i m t a = o 。 q + u 将( 2 1 4 ) 。改写为自治系统 参dt：=ujd，h国(，q咖)，+e冗92(q,s,e，) c 2 5 ， 此时7 ( 亡) = ( p o ，( 亡) ) 是( 2 1 5 ) 仁。的一条双曲周期轨 对充分小，在( 2 1 5 ) 仁。的周期轨道7 ( 圳咐近仍存在扰动系统( 2 1 5 ) 。o 的双 曲周期丁轨道讯( t ) = 7 ( 亡) + 0 ( 4 记仉( ) 的稳定流形和不稳定流形分别为w s ( 仉( 亡) ) ，w u ( 仉( t ) ) 2 相关背景及预备知识 为了研究w 8 ( 讯( 亡) ) 与w u ( 仉( 亡) ) 是否相交( 即( 2 1 5 ) 。是否存在同宿轨) ，定 义m e l n i k o v 函数如下： m ( 亡。，。) = fd h ( q 。( 亡) ) 夕( 口。( 亡) , w t + w t o + 矽。，。) 出 ( 2 1 6 ) 定理2 31 2 2 1 ( m e 2 讹尼d u 定理) 若存在( t o ，o ) = ( 磊，而) 满足 i ) m ( t o ，而) = 0 ， i i ) 鬻而) 0 则对任意充分小e ，w 3 ( 仉( 亡) ) 和w u ( 讯( 亡) ) 在( 口o ( 一晶) + d ( e ) ，而) 处横截相交， 且若对任意( t o ，如) r 1 s 1 ，m ( t o ，如) 0 ，则w 8 陬( t ) ) nw u 陬( t ) ) = d 入正则变换：( z ，可) h ( j ( z ，可) ，o ( x ，可) ) ，使得h ( x ( i ，8 ) ，v ( i ，口) ) = 豆( ，) ，从而扰动 忙黧嚣叫 亿聊 f ( i ，e ) = 瓦o i ( z ( ，目) ，觚p ) ) 夕。( z ( j ，口) ，觚，e ) + 静圳) j “l 岫z 扛u ) ，郎) ，如) ， ( 2 1 8 ) c ( i 以缸) = 鬈圳岫“邢m 既扯) 卜“叫 + 雳( 川，既川，刚夕2 ( 川，既卵，既如) 1 0 2 相关背景及预备知识 将( 2 1 w ) 。改写为自治系统如下： 构造全局截痕 定义p o i n c a r d 映射： 其中 从而可知 印= _ ( ，目，妒) i 妒= 妒o ) ， 甲：伽一e 伽 ( 厶( 0 ) ，c 7 e ( o ) ) h ( 厶( m t ) ，良( m t ) ) i 。( m t ) = i o + e 1 1 ( r o t ) + o ( e 2 ) o 。( m t ) = 0 0 + m t q ( i o ) + e 0 1 ( r o t ) + o ( e 2 ) i i ( m t ) = f ( j i d ，q ( 础+ u 抖o ) d 拒砰( 圳删o ) ， 吣唧= 鼽而砌删枨+ o o , w o ) 0 ) d d t 十g ( 上o ，q ( 厶) t + 0 0 , w t + c p o , 0 ) 出 三m y ( 站，0 0 ；妒o ) ( 2 1 9 ) ( ，) s 0 s 三 矿 口 0 力 ”叫 咖 咿 + l ， ) ( f 比 厶 “ q u = = = ， 吕 眵 2 相关背景及预备知识 定义次谐m e 2 俄尼d u 向量如下： m 鲁( ，目；妒。) 三( 蹿( ，p ；妒o ) ，磷( ，0 ；咖) ) 根据前面对p o i n c o r 色映射甲的定义，霉的不动点就对应于扰动系统( 2 1 9 ) 。的m 阶 次谐周期轨道，因此可以得到如下的扰动系统( 2 1 9 ) 。的m 阶次谐周期轨道存在性 判定定理 定理2 41 2 2 ( 次谐m e 2 倒惫o u 定理) 若存在一点( j ，舀) 使得t ( j ) = 署t ，且下列条 件之一成立： 1 ) m i 一 ( i ，0 一；妒。) ：o ，( 并喾) 怖) 0 ； 2 ) 砰( j ，= o ，箬i ，= o ，( 等等) 一等r n 等r n ) 协】o m 卫丑 则对任意0 0图3 1 2a i 0 ，b i l 0 ，b 1 1 0 的情况下，系统的相图3 1 1 是一族单参数的周期轨 1 5 3 单自由度的平面h a m i l t o n 系统 一一 设此周期轨的初始条件为： 其中a 0 其中 t = 0 ，z 1 = a ，夕1 = 0 因此在此初始条件下系统( 3 2 ) 的日o m 砒d 佗量为 从而有 日= 互1 可；+ 互1 缸；+ 扣z ；= 互1 掣2 + 石1 6 1 1 。4 可2 _ a ( a 2 - - x 孤+ 互b a l l 。a 2 + 丽5 1 1z ；) = 净一z i ) ( 等材+ z 劲 n 2 + 挚 a 2 0 b l l 对系统( 3 2 ) 中的第一个方程进行积分可得： 记 t = l 2 r 、石上， 尼1 = - ir z l 饥j 一， 。n 1 6 ( 3 3 ) ( 3 4 ) 3 单自由度的甲面h a m i l t o n 系统 则 从而可得： z ：1 ( 亡) = o o n ( v a 1 + a 2 b n t ，k 1 ) ， ( 3 5 ) 可；1 ( 芒) = 一a v a 1 + a 2 b 1 1 s n ( 、a 1 + a 2 b l l t ，) d n ( v a 1 + a 2 b l l t ，k 1 ) 其中s n ( ) ，m ( ) ，机( ) 是模为k 1 ( 0 ，1 ) 的j a c o b i 椭圆函数 同时此周期轨g 七( 亡) = ；z ( t ) ，y ：1 ( 亡) ) 的周期为 4 厂一 丁( 忌- ) 2 赤k ( 尼1 ) 、1 2 磅 ( 3 6 ) 其中k ( k 1 ) 表示第一类完全椭圆积分( 关于j a c o b i 椭圆函数及椭圆积分详见文 献 2 3 ) ( i i ) a 1 0 ，b 1 1 0 ，h = 露，a 1 0 ，b 1 1 0 因此，原方程( 3 1 2 ) 1 拘研究转化为对系统( 3 1 3 ) 的研究特别当b 2 1 a 2 充分小时， 记 e = b m 0 2 ，g ( x 2 ，t ，e ) = 一饥2 ( v a 1 + a 2 b n t ，七1x 2 则系统( 3 1 3 ) n 以改写成： ( 雪：) = ( 一a 2 z 曼6 沈z ；) + e0 ) c 3 4 ， 当e = 0 时，即对于无扰动系统，它是平面h a m i l t o n 系统，其动力学性质与系 统( 3 2 ) 是一样的，这里就不重复分析接下去考虑当e 0 时，系统( 3 1 4 ) 又会有怎 样的动力学行为我们将在3 2 1 节和3 2 2 节中用m e l n i k o v 方法对同宿轨和次谐 周期轨这两方面进行详细讨论 3 2 1 同宿轨分叉 对于无扰动系统( 3 1 4 ) ，根据3 1 节的分析我们知道当参数a 2 0 时， 系统存在同宿轨q o ( 亡) ( 见图3 2 2 ) ，且其解析表达式为： ) _ ( 士俺b 2 2s 砒( 厢n a z 层s 砒( - 4 - 2 z z 吼a n h ( - 4 - 2 x 。啪 ( 3 1 5 ) 2 0 3 单自由度的平面h a m i l t o n 系统 图3 2 1 无扰动系统( 3 1 4 ) 在a 2 o 的相图 图3 2 2 同宿轨 下面运用m e 2 m 忌伽方法讨论扰动系统( 3 1 4 ) 。是否依然存在同宿轨根据第 二章的定义2 3 可知： 则 其中 m ( t o )d h g ( q o ( t ) ，t + t o ，o ) d t 9 ( q o ( t ) ，t + t o ，o ) d t 一 日( n ，t o ；t ) d t 日= 砻1 + 互1 a 。z ；+ 牵1 z 釜 d h = ( a 2 x 2 + b 2 2 x 2 ，y 2 ) r ，g = ( 0 ，g ( x 2 ，t ，e ) ) t 日( n ，t o ；t ) = s e c h 2 ( 、j 碌) t a n h ( 雁亡) c 佗2 ( v a 1 + a 2 b l l ( t + ) ，k 1 ) 令 云= x a 1 + a 2 b n t ，e o = 、历而t o 蛳，：警溉厂眯删f 2 1 一o o ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 3 革自由度的平面h a m i l t o n 系统 其中 玛h = s e c h 2 ( 鼯t 珧( 蕊嘏 一 记 广 厨( 磊) 一f 2 ( a , 曷；刁d t ( 3 ，1 8 ) 因此只要能够说明方程( 3 1 8 ) 存在单根，就可说明方程( 3 1 6 ) 是存在简单零点的 简单分析可知函数府( 曷) 是奇函数，并且关于变量晶是周期的由于( 3 。1 8 ) 的 具体积分表达式不易求出，接下来将通过数值模拟的方法说n ( 3 1 8 ) 是否存在简 单零点 4 可呻- 0 1 1v 、 圈3 3 当撖不同值时，函数麝( 晶) 关于变量t o e 变化曲线 从图3 3 中可以看出，方程( 3 1 8 ) 确实存在简单零点，因此根据第二章中的定 理2 。3 可知，扰动系统( 3 t 4 ) 存在同宿轨，从雨说明系统( 3 1 4 ) 是混沌的 3 单自由度的平面h a m i l t o n 系统 3 - 2 2 周期轨分叉 下面运用m e l n i k o v 方法讨论扰动系统中次谐周期轨的存在性 对于无扰动系统( 3 1 4 ) ，根据3 1 节的分析当参数a 2 0 时，同宿轨 g 呈( t ) 里面存在两族周期轨g 垒( 亡) ( 见图3 2 1 ) ，此周期轨的表达式为： 其中 z ；( ) = q k + ( t ) = ( z ；( 亡) ，影；( 亡) ) ，q k _ ( t ) = 一g 晕 ) ，0 0 令a 1 = s g n ( a 1 ) u ，a 2 = 卵佗( 4 2 ) 遁，其s g n ( ) 是符号函数。设6 1 1 0 ， b 2 2 0 ，作尺度变换o 从而系统( 1 1 ) 变为 其中 z 辛鲁z 净煎( a j l 7 = w i t u ：丝，q ：- b l l 0 ，卢：粤 0 u u u = 一，q2 ，1 )