（基础数学专业论文）几类非光滑规划的理论及算法.pdf

几类非光滑规划的理论及算法 基础数学专业研究生 张蕾蕾指导老师张庆祥教授 摘要 本文利用c l a r k e 梯度、对称梯度，在e 一凸函数、蹋一凸函数、弧式连通函数的基础 上，定义了e ( 6 ，p ) 一凸函数、广义e ( 6 ，p ) 一凸函数、对称弧式连通函数等几类广义的非光滑凸函 数，在这些新广义凸性和半局部凸函数情形下，得到了半无限规划和多目标半无限规划的最 优性条件、对偶性及鞍点理论，并在无约束规划下给出了一种新的含参数的共轭梯度算法， 主要内容包括以下几个方面： ( 1 ) 在岛一凸函数的基础上，利用c t a 7 k e 梯度的概念，定义了e ( 6 ，) 一凸函数及广义e ( b ，p ) 一 凸函数，并研究了这些函数情形下半无限规划下的最优性条件、对偶性及鞍点理论； ( 2 ) 利用弧式连通函数和对称梯度的概念，定义了一类对称弧式连通函数，并研究了相 应的多目标半无限规划的最优性条件及对偶性； ( 3 ) 得到了半局部凸多目标半无限规戈的最优性条件及对偶性； ( 4 ) 提出了一个新的解无约束规划含参数的共轭梯度算法； 总之，本文在理论上推广了几类广义凸函数，得到了几类更广意义下的凸函数，并讨论 了它们的最优性、对偶性问题，丰富了非光滑优化的理论；在算法上给出了新的共轭梯度算 法的全局收敛性，同时风的取值进行拓广，使共轭梯度法的应用范匿更加广泛。 关键词：最优性 对偶性 e ( b ，) 一凸 对称弧式连通共轭梯度算法 o nt h et h e o r ya n da l g o r i t h mf o rs o m e n o n s m o o t hp r o g r a m s a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r ，b yu s i n gc l a r k e sg r a d i e n ta n ds y m m e t r i cg r a d i e n t ，t h ec o n c e p t so fe c o n v e x ，e b c o n v e x ，a r c w i s e c o n n e c t e dc o n v e xf u n c t i o n si s e x t e n d e dt ot h ec o n c e p t s o fe ( 6 ，p ) _ c o n v e x ，g e n e r a l i z e de ( b ，p ) 一c o n v e x ，s y m m e t r i ca r c w i s ec o n n e c t e dc o n v e xf u n c t i o n s t h e o p t i m a l i t yc o n d i t i o n s ，d u a l i t yr e s u l t sa n ds a d d l e p o i n tt h e o r ya r eo b t a i n e df o rs e m i i n f i n i t e p r o g r a m m i n g a n dm u l t i o b j e c t i v es e m i i n f i n i t ep r o g r a m m i n gp r o b l e mi n v o l v i n gt h e s ef u n c t i o n s a n ds e m i l o c a l l yc o n v e xf u n c t i o n s ，a n dan e wc o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o df o ra nu n c o n s t r a i n e d p r o g r a m m i n gi sp r o p o s e d t h em a i nc o n t e n to ft h i sp a p e ri n c l u d e ss e v e r a ls i d e sa sb e l o w ： ( 1 ) t h eb a s i so f 晶一c o n v e xa n db yu s i n gc l a r k e sg r a d i e n t ，e ( b ，p ) 一c o n v e x ，g e n e r a l i z e de c b ，p ) 一 c o n v e xf u n c t i o n sa r eg i v e n ，a n dt h eo p t i m a l i t yc o n d i t i o n s ，d u a l i t ya n ds a d d l e - p o i n tt h e o r yf o r n o n s m o o t hs e m i - i n f i n i t ep r o g r a m m i n gw i t ht h e s ef u n c t i o n sa r es t u d i e d ； f 2 1 ac l a s so fs y m m e t r i ca r c w i s e c o n n e c t e dc o n v e xa r eg i v e ni nu s eo fa r c w i s e c o n n e c t e d c o n v e xa n ds y m m e t r i cg r a d i e n t ，a n dt h eo p t i m a l i t yc o n d i t i o n sa n dd u a l i t yf o rn o l i s m o o t h n m l t i o b j e c t i v es e m i i n f i n i t ep r o g r a m m i n gw i t ht h e s ef u n c t i o n sa r es t u d i e d ； ( 3 ) t h eo p t i m a l i t yc o n d i t i o n sa n dd u a l i t yw i t hs e m i l o c a l l yc o n v e xf u n c t i o n sa r eo b t a i n e d f o rm u l t i o b j e c t i v es e m i i n f i n i t ep r o g r a m m i n g ； ( 4 ) an e wc o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o df o rw i t hp a r a m e t e rf o ru n c o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o n p r o b l e mi sp r o p o s e d ； i na l l ，i nt h i sp a p e r ，s o m ec l a s s e so fm o r eg e n e r a l i z e dc o n v e xf u n c t i o n sc a no b t a i n e db y e x t e n d i n gs o m eg e n e r a lc o n v e xf u n c t i o n s ，t h eo p t i m a l i t ya n dd u a l i t yf o rt h e s ec o n v e xf u n c t i o n s a r ed i s c u s s e d ，w h i c he n r i c h e dt h et h e o r yo fn o n s m o o t hp r o g r a m m i n g ；t h eg l o b a lc o n v e r g e n c e r e s u l tf o rt h en e wc o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o di sp r o p o s e d ，凤i sa l l o w e dt ob eaw i d e rr a n g e ，s o t h a tt h ec o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o dw i l lb eu s e dw i d e r w r i t t e nb yz h a n gl e i l e i d i r e c t e db yp r o f e s s o rz h a n gq i n g x i a n g k e y w o r d s o p t i m a l i t yc o n d i t i o n d u a l i t y e ( b ，一c o n v e x s y m m e t r i ca r e w i s e c o n n e c t e d e o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o d 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得延安大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中做了明确的说明并表示谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：熬董萱日期：趔基逝 关于论文使用授权的说明 本人完全了解延安大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校攻读 学位期间论文工作的知识产权单位属延安大学。本人保证毕业离校后，发表论文或 使用论文工作成果时署名单位仍然为延安大学。学校有权保留送交论文的复印件， 允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、 缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密在年解密后适用本授权书。 本人签名： 毯蒸蕴日期：垄塑立乏么 导师签名：；毖荔篮丕日期：巡：五：五： 几类非光滑规划的理论及算法 前言 非光滑分析是2 0 世纪6 0 年代至8 0 年代发展形成的现代数学分支，它是指在求鸸极值 问题时，对所涉及的目标函数和约束函数不作可微限制，作为描述和解决非光滑问题的1 j 力 工具，在非线性最优化、多目标决策、最优控制、对策论、变分学、逼近理论以及数理经济等 领域用途广泛近年来，有不少学者投身于这一领域的研究，例如：p k a n n i a p p a n 1 】利用凸 函数的次梯度，讨论了一类非光滑多目标凸规划的最优性优化条件；f 日c l a r k e 2 】给出了 c l a r k e 广义方向导数和广义梯度的概念，并讨论了相应的非光滑优化问题，m p a p p a t a 7 d o 3 】 利用i m a g e s p a c e 方法讨论了局部l i p s c h i t z 函数的最优性条件；m i n c h r af 4 】利用对称梯 度讨论了非光滑优化问题， 半无限规划问题最早出现在2 0 世纪6 0 年代，其早期理论主要由c h a r n e s 等人创立一随 后又有不少人在这方面做了大量的工作，它在大气污染控制的最小费用、机器人运行轨道设 计、工程设计、膜片振动、物质应力等方面有着广泛的应用，国内在半无限规划领域张庆祥 教授等做了大量的工作，例如：张庆祥卧，7 】分别讨论了一类非光滑( h ，庐) 凸半无限规划的 最优性和对偶理论，研究了一类( h ，) 意义下的凸半无限规戈的最优性条件，给出了参数约 束p - 凸半无限规划的充分性等等。 与此同时，许多学者也致力于非光滑广义凸函数概念的推广，如b e c t o r 和s i n g h 8 j 把 凸函数推广到日一凸函数，随后b e c t o r 和s u n e j a l 9 】把b 一凸函数推广到广义b 一凸函势并 且给出了涉及这类函数规划问题的最优性条件张庆祥【1 0 1 给出了一类风凸函数等九类广 义凸函数的概念，y o u n e s s “】给出了一类称为e 一凸函数的概念， m a v i i e la n di z a n g 地】 给出了弧式连通函数以及广义弧式连通函数，g me w i n g 1 3 j 提出了半局部凸函数的概念等 等，这些成果极大地推动了非光滑优化的发展。 共轭梯度法是算法中较为常见的一种方法，它首先由h e s t e n e s 和s t i e f e l “j 在1 9 5 2 年提 出来作为解线性方程组的方法，由于解线性方程组等价于极小化一个正定二次函数，故1 9 6 4 年f l e t c h m 和r e e v e s t ”j 提出了无约束极小化的共轭梯度算法，它既克服了最速下降1 史敛 慢的缺点，又避免了存储和计算牛顿法所需要的二阶导数信息，共轭梯度算法的关键是如何 选取仇和女，不同的凤和a 自就决定了不同的共轭梯度算法，例如文献1 5 1 中提出的 鳝r ：p o w e l l 1 6 j 证明了f l e t c h e r r e e v e s 方法在精确线搜索下具有全局收敛性，a 1 b a a l i l l 7 】 在非精确线搜索下证明了f l e t c h e r r e e v e s 方法的全局收敛性，但数值表现较差，ep o l a k 1 8 第一章 一类e ( b ，一凸半无限规埘 2 h - _ _ _ _ ，_ 十_ _ _ _ _ _ _ _ _ i _ _ h - _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ - - - _ - _ _ _ _ - _ _ _ h - _ 一 提出的雎rp o l a k - r i b i e r e 方法在数值表现上很好，但有很差的全局收敛性，d a iy h ，y u a n y 【l 。】提出的卢p y 也是比较著名的一种方法，国内在改进风计算公式上也进行了许多工作， 例如：时贞军【2 0 】提出的改进共轭梯度算法及全局收敛性，杜学武，徐成贤【2 1 】提出了一族新 共轭梯度法的全局收敛性，陈元媛，杜守强一类无约束优化问题的非单调共轭梯度法等 等。 本文利用c l a r k e 梯度和对称梯度的概念，在e 一凸函数、e b 一凸函数、弧式连通函数的 基础上，定义了e ( b ，p ) 一凸函数、广义e ( 6 ，p ) 一凸函数、对称弧式连通函数等几类广义的非光滑 凸函数，在这些新广义凸性和半局部凸函数情形下，讨论了半无限规划和多目标半无限规划 的最优性条件、对偶性及鞍点理论；算法方面，构造了一个新的凤计算公式，给出了在共轭 梯度算法中的全局收敛性。 第一章一类球一凸半无限规划 近年来，在凸函数的基础上，许多学者对它进行了推广。例如b e c t o r 和s i t z g h 8 把凸函 数推广到b 一凸函数，随后b e c t o r 和s 钍礼e o 【9 】把b 一凸函数推广到广义b 凸函数，并且给 出了涉及这类函数规划问题的最优性条件。张庆祥给出了一类p 。一凸函数等九类广义凸 函数的概念。y o u n e s s “1 给出了一类称为e 一凸函数的概念，然而所得到的某些相关凸集， 凸规划的结果不正确，这已被杨新民 2 3 】所指正，在这基础上贾礼平 2 4 1 给出了一类邑凸 函数的概念及规划问题，并研究相应的半无限规划| 霹题的最优性条件 1 1 e ( 6 ，p ) 一凸函数和广义e ) 凸函数 本章措助c l a r k e 广义方向导数和c l a r k e 广义梯度，给出了称为e ( 6 ，讲一凸函数、e ( 岫) - 拟凸函数等几类广义凸函数的定义，研究了局部l i p s c h i t ze ( b ，p ) 一凸半无限规划，给出了 些最优性充分条件。 以下均假定x o 为兄“的非空子集。称实值函数f ：x o _ r 是局部l i p s c h i t z 的，若对 任意x x o ，存在一个正常数k 和z 的领域，对v y ，z x o ，使得 i ，( ) 一，0 ) l k l 秽一。l 定义1 1 【l l 】称集mcr ”为e 一凸的，若存在一个映射e ：兄n _ 兄n ，使得对比，y m 几类非光滑规划的理论及算法 ： 和a 【0 ，1 】，有： ( 1 一a ) e ( z ) + a e ( y ) m 定义1 2 【2 4 】称实值函数，：x o 兄在u x o 为岛一凸的，若存在一个映射e ： r “h 毋和实值函数b ( x ，u ，a ) 0 ，使得对妇x o 和a 【0 ，l 】，有 ，( a e ( z ) + ( 1 一a ) e ( “) ) a b ( x ，u ，a ) ，( e ( z ) ) + ( 1 一a 6 ( 。，“，a ) ) ，( e ( “) ) 若函数，是局部l i p s c h i t z 的，设函数，：x o _ 冗在x 沿方向u 的c l a r k e 广义方向 导数和c l a r k e 广义梯度分别为： ，。( 删) ：蛳印地塑- 生趔 扩_ 0g o f ( z ) = 倒，ox ，札) 2 t 乱，v u r ) 定义1 3 称实值函数f ：x oh r 在u x o 为e ( b ，p ) 一凸的，若存在一个映射e 舻- 一礤和实值函数b ( x ，钍， ) 0 ，使得v z x o 和a i o ，1 】，存在一个实数p ，百： p e ( z ) e ( 札) | | 2 + ，( a e ( 茁) + ( 1 一a e ( “) msa b ( x ，：a ) ，( e ( ) ) + ( 1 一a 6 ，u ，a ) ) ，( e ( 扎) ) 定义1 4 称实值函数，：x o _ 置在珏x o 为严格e 帅1 一凸的，若存在一个映射 e ：舻叶舻和实值函数b ( z ，让，a ) 0 ，使得对比x o ，满足e ( x ) f ( u ) ，a 0 ，1 】， 存在一个实数p ，有： p i e ( x ) 一e ( 乱s l l 2 + ，( e ( z ) + ( 1 一) l e ( u ) ) 0 ，i a ； 则e ( x o ) 为( p ) 的最优解 证明：因为e ( z o ) 为( p ) 的可行解，并且在护处i ( x ) 是e ( b 。，计一凸的，g ( z ，u 2 ) 是 e ( b ) 一凸的所以对v e ( z ) x ，有 b o ( 正，x 0 ) f ，( e ( z ) ) 一，( e ( 。o ) ) 】毋( e ( z ) 一e ( z o ) ) + p i e ( x ) 一e ( 卫o ) 1 1 2 ，v 0 i ( e ( x o ) ) ( 15 ) b i ( 豇z 。) b ( e ( z ) ，u i ) 一g ( e ( x o ，u 。) ) 】彦( e 扛) 一e ( z o ) ) + n i e 扛) 一e ( 护) 1 1 2 ，v 靠eo g ( e ( x o ) ，7 1 i ) ( 1 6 ) 第一章 一类e ( b ，m 凸半无限规划 由( 11 ) 知j 岛o f ( e ( x o ) ) ，6 o g ( e ( x o ) ，“) ，i a 使得 由( 1 5 ) 和( 1 7 ) 知 f 。+ l ：毛= 0 t a ( 1 。7 ) b o ( x ，z o ) 【，( e 扛) ) ) 一f ( e ( x o ) ) 】一f i 亭( e ( z ) 一e ( x o ) ) + p i l e ( x ) 一e ( x o ) 1 1 2 、8 j i e a 利用( 1 ，6 ) 式可以得到： 一，( e ( z ) 一e ( x o ) ) 一巩x ，z o ) b ( e ( z ) ，) 一g ( e ( z o ，“) ) + p i i i e ( x ) 一e ( z o ) 1 1 2 并由( 1 3 ) 式得 一f ； ( e o ) 一e 扛。) ) 2 一如b i ( x , 。) b ( e o ) ，) 一9 ( e ( 护，) ) + t p 。l l e ( z ) 一e o 。) 旷 i e 五话a a 由此结合( 1 怎) 式： b o ( z ，z 。) ，( e ) ) 一，( e ( 一) ) 一n6 扛，尊。) b ( f ( 。) ，“) 一g ( e ( x 。) ，u 。) 】+ ( f 。p 。+ p ) l l e ( z ) 一 e ( x o ) lj 2 = 一姒b 2 ：s2 ：0 ) g ( e ( z ) ，) + ( 妞+ p ) 峨。) 一e ( 一) l 【2 因为9 ( e ( z ) ，) so , l i o , b j z ，。o ) o ，k p i + p 0 l e a 所以 ，陋( 。) ) f ( e ( x o ) ) 故e ( z o ) 为( p ) 的最优解， 定理1 2 对规划( p ) ，假定e ( z o ) x ，若以下条件成立： ( 1 ) ，( z ) ，g ( x ，u i ) ( i a ) 定义在x o 上为实值函数，f ( x ) 在点一关于q ( z ，。o ) 为置b o ：p ) 一 不变凸的，g ( g ，u 2 ) 在点护关于相同的叩( 石，扩) 为e ( b 。；) 一不变凸的。 ( 2 ) 存在l i 0 , i a ，使得( 1 1 ) 一( 1 4 ) 式成立。 ( 3 ) 对v z x ，b o ( x ，z 。) 之o ，魄( 茁，z o ) 0 , i a 则f ( p ) 为( p ) 的最优解。 证明：与定理1 1 的证明类似 定理1 3 对规划( p ) ，假定e ( z o ) x ，若以下条件成立： 几类非光滑规划的理论及算法 ( 1 ) ，( z ) ，g ( x ，) ( 。a ) 是定义在z o 上的实值函数，( z ) 在点x o 处为e ( b ，川一伪凸的 g ( z ，u ) 在点一处关于相同的6 ( z ，护) 为e ( b ，。) - 拟凸的。 ( 2 ) 存在k 0 ，i a ，使得( 1 1 ) 一( 1 4 ) 式成立。 ( 3 ) 对v x x ，b ( x ，一) 之0 ， 则e ( z o ) 为( p ) 的最优解 证明：假设e ( z o ) 不是( p ) 的最优解，那么存在e ) x ( e 忙) e ( z o ) ) ，使得： ，( e ( z o ) ) ，( e ( 牙) ) 由( 3 ) 知： 6 ( 耍，x 0 ) ，( e ( z o ) ) 6 ( i ，z o ) ，( e ( 雾) ) 因为，( 。) 在点x o 处是e ( b ，一伪凸，所以 f t ( f ( 峦) 一e ( 卫。) ) 一p i i e ( 牙) ) 一e ( z o ) | 2 ，比o i ( e ( z o ) )( 1 9 ) e ( 童) x ，有9 ( e ( 牙) ，让。) s0 = 9 ( e ( 。o ) ，u 2 ) ，i a 又因为g ( 。，) 在点x o 处是e ( 5 。) 一拟凸的，所以 6 ( 孟，x 0 ) 毋( e ( 牙) 一e ( z 。) ) s 一肼 l e ( 孟) 一e ( z o ) 1 1 2 ，v 已却( e ( z o ) ，“4 )( 1 1 0 ) 给( 1 1 0 ) 式两边同乘以兰0 ，i a ，并求和得 l 。6 ( 牙，z 。) 譬( e 渖) 一e ( 护) ) s 一屯p ；l l e ( 雪) 一e ( z 。) 1 1 2 i e a a 给( 1 9 ) 式两边同乘以6 ( 牙，。o ) 0 ，得： b ( 雪，。o ) t ( e ( 牙) 一e ( 。o ) ) s 一6 ( 孟，z o ) p i i e ( 牙) 一e ( x 。) 1 1 2 ( 1 1 1 ) + ( 1 1 2 ) 可得： ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 僖+ f ；矗) 6 ，护) ( e 渖) 一e ( 护) ) 一如见i i 目忙) 一e ( 扩) f 2 6 忙，扩) p i f e ) 一e 扛“) 1 1 2 i a 迮a = ( 一f n 一6 忙，z 。) p ) i l e ( 孟) 一e ( 扩) lj 2 0 ，所以： ，陋( z ) ) ，( e ( 矿) ) e ( r o ) 为( p ) 的最优解 定理1 6 对规划( p ) ，假定e ( z o ) x ，若以下条件成立： ( 1 ) ，( z ) ，9 ( z ，) ( ；a ) 是定义在。o 上的实值函数，( z ) 在点z o 处关于卵( z ，扩) 为 e ( b , o t ) 一伪不变凸的， k 9 ( z ，) 在点。处关于相同的6 ( z ，护) 和町( z ，一) 为e ( 咖。) 拟不 i e a 变凸的。 ( 2 ) 存在n 0 ，i a ，( 11 ) 一( 1 4 ) 式成立。 ( 3 ) 对比x ，b ( x ，z o ) 0 则e ( 护) 为( p ) 的最优解 证明：与定理1 ，5 的证明类似 1 3 对偶性及鞍点理论 ( p ) 的l a g r a n g e 对偶规划( d ) m a x 坤) + 1 。9 ( t ，) ( 11 7 ) t a 乩t 0 o f ( t ) + 屯曲( t ，u 2 ) ( 1 1 8 ) l e a f ；0 ，对于一切i a ，仅有有限个1 0 记( d ) 的可行集w = ( t ，舻，f ) o o f ( t ) 十以o g ( t ，札) ，1 ；a ，2 ycj p ，a = i e a i l g ( z ，i t 2 ) so , z t yc 尼“) ，y 为无限可数参数集 第一章一类臣6 ，p ) 一凸半无限规划 1 0 定理1 7 设，( z ) ，目( z ，u ) ( i a ) 对于v u i y 关于点y 是e ( b ，一凸函数，若e ( z ) ，e ( 9 ) 分别是( p ) 和( d ) 的任意可行解，并且假设h i 中( 2 ) 成立，即( 1 4 ) 成立，则： ，( e ) ) ，( e ) ) + 1 ：9 ( e ( 9 ) ，) i e a 证明：因为，( 。) ，g ( x ，u 。) 关于点y 是e ( b ，p ) 一凸的，所以 p l i e ( x ) 一e b ) 1 1 2 + 毋( e ( z ) 一目( f ) ) 曼b ( x ，) ，( e ( z ) ) 一，( e ( ) ) 】，v 如o f ( e ( y ) ) ( 11 9 ) p d l e ( 。1 一e ( y ) 1 1 2 + ( e ( 髫) 一e b ) ) 6 ( 。，筝) b ( e ( 髫) ，钍2 ) 一9 ( e b ) ，钍1 ) 】，v 6 a 口( e 妇) “。) f 12 0 1 给( 1 2 0 ) 式乘以毛0 ，并求和得： k p d l e ( z ) 一e ( y ) 1 1 2 + f ；亭( e ( z ) 一e ( 9 ) ) 冬y ) l “g ( e ( 。) ，u i ) 一吲e “。) 一 a 2 a。5 a f 12 1 v 已0 9 ( e ( y ) ，u i ) 由( 1 1 8 1 式知，| 岛a ，( w ) ) ，j & a g ( e ( y ) ，乱。) 使得 知十fz 。矗= 0 ( 12 2 ) i e a 利用假设及( 1 2 0 ) ，( 1 2 1 ) ，( 1 2 2 ) ： b ( ：。：p ) ( 【，( e ( 。) ) 一，( e ) ) ! 一如9 ( e ) ，订) ) f 手( e ( z ) 一e ( ) ) + p i l e ( x ) 一e ( y ) 1 1 2 6 扛，) 1 1 9 ( e ( f ) ，) = 一1 t 毫t 、e ( z ) 一e ( ) ) + p i l e ( 。) 一e ( y ) 1 1 2 6 ( 。，口) 1 1 9 ( e ( ) ，矿) 一她) t 。g ( e ( z ) ，舻) 舶( z ，) e ( 们，“2 ) + ( l i p 。+ p ) l l e ( z ) 一e ( y ) 1 1 2 6 ( 砌) k 9 ( e ( ) ，u 2 ) 一b ( x ，弘) f 吲e ( z ) ，u ) 因为z x ，g ( e ( z ) ，u ) so ，b ( x ，s ，) 0 ，- b ( x ，) l i g ( e ( x ) ，u i ) 0 b ( x ，”) “，( e ) ) 一，( e ( ) ) 】一l 。9 ( e ( 可) ，u ) ) 0 坨a 几类非光滑规划的理论及算法 所以，( e 扛) ) 2 ，( e 白) ) + f 9 ( e ( ) ，) 迮a 定理1 8 设，( 。) ，9 ( z ，口) ( ；a ) 对于v u 2 y 关于点。o 是e ( b ，p ) 一凸函数，若e ( z o ) 是( p ) 的最优解，( e ( 一) ，u 。， ) 为( d ) 的可行解，若“g ( e ( x 0 ) ，) = 0 ，并且假设h 1 i e a 中( 2 ) 成立，即( 1 4 ) 成立，则( e ( 。) ，“。，z ) 为( d ) 的最优解，并且最优解相等。 证明：设( e ( x o ) ，u 2 ，f ) 不是( d ) 的最优解，则存在( d ) 的可行解( e ( 雪) ，u i ，d ，使得： ，( e ( 扩) ) + “g ( e ( x o ) ，u ) ，( e ( 牙) ) + g ( e 渖) ，u 。) i e ai e a ，( e ( 护) ) ：9 ( 目扩) ，舻) ，并且假设h 1 中( 2 ) 成立，即( 1 4 ) 成立，则e ( z 。) 是( p ) 的最优解， e ( e ( o ) ，4 ，d 是( d ) 的最优解 证明：若e ( z o ) 不是( p ) 的最优解，则存在( p ) 的可行解e ( e ) ex ，使得 ，( f ) ) f 1 。 因为6 ( z ，牙) 0 ，所以 即 【，( e ( 口) ) 一，( e ( i ) ) + b ( e 舻) 一9 ( e ( 宝) ，。) 】o t e a ，(