（基础数学专业论文）滤波器频率响应及小波集.pdf

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d , 波集的最新 结果作者从最简单的情况t = 进伸缩，一维整数平移开始叙述，逐步进行 推广首先是把= 进推广到a 进。然后又把平移算子推广到d 维整毁空间 上去后来又描述了与l 2 的子空间上的小渡集以及与m r a 相关的一些 结果 关键词：多尺度分析，r i e s z 小渡，滤波器，频率响应。小波集 2 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ep r o g e n i t o ro fw a v e l e ta n a 】y s j 8i sf o u r i e ra n a l y s i s ，w h i c hh a sb e e n u s e db r o a d l yb u t ，t h es a m et i m e ，h a si t ss h o r t c o m i n g st h a ti sn o tn e g l i g i b l e t h a ti s ，i tc a n n o tw e l ld e s c r i b et h el o c a l i t yo ff u n c t i o n s ，w h i c hg r e a t l yr e - s t r i c t si t sa p p l i c a t i o n s 舢af a i r l yn e wd i s c i p l i n ed e v e l o p e dg r a d u a l l yo nt h e b a s eo ff o u r i e ra n a l y s i s ，n o to n l yc a l lw a v e l e ta n a l y s i ss h a r et h ea d v a n t a g e s o ft h ef o r m e r ，b u ta l s oc a nm a k eu pi t sd e f i c i e n c i e s ，a n db e c a u s eo fw h i c h ， i th a sb e e ng r o w i n gr a p i d l ys i n c et h ed a yo fi t sb i r t h o n eo ft h em o s t e s s e n t i a lq u e s t i o n so fw a v e l e ta n a l y s i si st h ec o n s t r u c t i o no fw a v e l e t ，a n d m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i si st h ei m p o r t a n ta n dc e n t r a lm e t h o dt oc a r r yi to u t t h e r e f o r e ，t h er e l a t i o no ft h e mb e c o m e sas i g n i f i c a n tt o p i co fw a v e l e ta n a l - y s i s r a z a l i kg a v et h eo n ed i m e n s i o nc a s eo ft h er e l a t i o no fr i e s zw a v e l e t a n dw a v e l e ti n 【3 5 】，w h i c hi n c l u d e sas u 伍c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n ，s o m e e q u i v a l e n tc o n d i t i o n sa n dc o n c r e t ee x a m p l e s b e g i n n i n gf r o mt h ec o n c l u s i o n i nt h i sp a p e r ，ih a v eg o ts e v e r a ln e wr e s u l t so nr i e s zw a v e l e ta n dm r a t h i sp a p e ri sc o m p o s e do ft h r e es e c t i o n s t h ef i r s ts e c t i o ni n c l u d e st w op a r t s t h ef i r s tp a r tg i v e so u tt h ed e f i n i t i o n so ff r a m e ，r i e s zb a s e ，m u l t i r e s o l u - t i o na n a l y s i s ( m r a ) a n di t sr e l a t i o nt ow a v e l e t ，t h u sg e n e r a l i z e sar e l a t i o n b e t w e e nr i e s zw a v e l e ta n dm r a t oh i g hd i m e n s i o n ，w h i c hw a ss t a t e di n at h e o r e mi nz a l i k 【3 5 】t h e n ，w ea p p l yt h es u f f i c i e n t - n e c e s s a r yc o n d i t i o n i n 【3 5 】，j u d g i n gw h e t h e rar i e s zw a v e l e ti sc o m ef r o ma l lm r a ，t os o m e c o n c r e t ee x a m p l e s a n dc h a n g eac o l l d i t i o ni nt h i st h e o r e mi n t oam o r ei n t u - i t i o u i s t i co n e a tl a s tt h e r ei sat h e o r e mo nt h er a n g eo ft h es p a c eg e n e r a t e d b yd i l a t i o n sa n dt r a n l a t i o n so fr i e s zw a v e l e t s f o rt h es e c o n dp a r t ，ap r o p e r t yo ff i l t e ri sf i r s ts t a t e d ：8m a t r i xw i t h r e s p e c tt ol o w p a s sa n dh i g h p a s sf i l t e ri so ff u l lr a n k ，w h e nt h er i e s zw a v e l e ti s o b t a i n e df r o ma nm r a ；t h es e c o n dt h e o r e mp r o v a sap r o p e r t yo ff r e q u e n c y r e s p o n s eo fh i g h - d i m e n s i o n a lm r a 3 坐查丝堡主兰垡丝茎 i nt h es e c o n ds e c t i o n ，t h ea u t h o rd e p i c t st h ef r a m e sa n dr i e s zb a s e so n e u c l i d e a ns p a c e s f i r s t as u f f i c i e n t - n e c e s s a r yc o n d i t i o no nw h i c hmv e c t o r s ( m d ) o nr di st i g h tf r a m eo n 驶di sd e m o n s t r a t e d ；s e c o n d ，as u f f i c i e n t c o n d i t i o nf o rg e n e r a lf r a m e sa n dr i e s zb a s e s ；t h i r d ac o n c r e t ei n s t a n c eo f t h e f t a m eo n 掣；f i n a l l y ta p r o p e r t yc o n c e r n i n g t h e m a t r i x n l a d eu p o f v e c t o r s t h a tf o r maf r a m e t h ef i n a ls e c t i o ni sag e n e r a lr e p o r ta b o u tw a v e l e ts e t ss u m m a r i z i n g t h el a t e s tr e s u l t so fr e c e n ty e a r s t h ea u t h o rb e g i n sw i t ht h es i m p l e s tc a g e ： 2 - a d i cd i l a t i o n ，1 - d i m e n s i o n a li n t e g r a lt r a n s l a t i o n ；a n dt h e ng e n e r a l i z e ss t e p b ys t e p ：f i r s tf r o m2 - a d i cd i l a t i o nt oa a d i cd i l a t i o n s e c o n dt h et r a n s l a t i o n o p e r a t o rt od - d i m a n s i o n a li n t e g e rs p a c ez d a n df u r t h e rs o m er e s u l t sr e l a t e d t ow a v e l e ts e t so ns u b s p a c e so f 工2 a n dm r a k e yw o r d s ：m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，r i e s zw a v e l e t ，f i l t e r ，f r e q u e n c y r e s p o n s e ，w a v e l e ts e t 4 山东大学硬士学位论文 引言 小波分析的前身是f o u r i e r 分析在过去的两百年里，f o u r i e r 分析是刻 划函数空间，求解微分方程，进行数值计算与信号处理等的主要工具之一 这是因为f o u r i e r 分析有许多的优点从理论角度看主要在于许多常见运算 在f o u r i e r 变换下性质变得很好，例如微商运算变为多项式乘法，卷积变为 普通乘积等；从实际应用角度看是因为f o u r i e r 级数展开是每个周期振动都 是具有简单频率的筒谐振动的叠加这一物理现象的数学描述但是f o u r i e r 分析也有不可忽视的缺点，这就是f o u r i e r 级数中的指数函数e 在整个时 问域上是非零的。所以f o u r i e r 系数是，( z ) 在整个时间域上的加权平均，因 而想用它来反映，( z ) 的局部性质是不可能的可是局部性质的描述无论是 理论方面，还是实际应用方面都是十分重要的，例如我们常常要知道f ( x ) 在 某些给定点附近的光滑性质，要知道语音信号在何时具有何种频率的分量有 多少f o u r i e r 分析在时间域上局部性的缺乏大大地限制了它的应用长期 以来。数学家们与工程师们梦想对函数空间l 2 ( r ) 能有一种基函数族，它能 保持指数函数基的优点，又能弥补它的缺陷并且对这种基函数族的形式都 有想象，它应该是由个函数妒( t ) 经过两个简单的运算，即平移与伸缩， 生成的函数族( = 2 妒( 2 j z 一) ，j ，k z ，其中o ( x ) 具有如下的好性 质t 妒( z ) 是光滑的( 高次可微) ，局都的，也是振荡的，即具有充分多次的消 失矩性质由于廿( z ) 的图像形如小波。因而这样的基便称为小渡基对它 的存在性，构造与性质的研究便是小波分析 1 9 8 2 年，j o s t r s m b e r g 首先构造出了个很接近现在称之为小波基 的基( 它被称为历史上第一个小波基) ，但它没有引起人们的注意八十年代 初许多搞信号分析的工程师们也为小波分析的诞生作出了积极的贡献，例如 j m o r l e t 就在八十年代初最早使用了小渡这一名称直到1 9 8 6 年y m e y e r 在 怀疑上述意义下的小波基的存在性的同时偶然地构造出了现在称之为m e y e r 基的真正的小波基。以后随之不久s m a l l a t 与y m e y e r 建立了构造小波基 的通用方法即多尺度分析以后。小渡分析才形成一门学科在其后至今不到 二十年的时问内小波分析及其应用得到了蓬勃的发展它涉及面之广，影响 之深远，发展之迅速都是空前的它所取得的成就也令人瞩目它能对几乎 所有的常见函数空问给出通过小波展开系数的简单刻划，也能用小波展开系 5 坐查奎兰堡主兰垡丝茎 数描述函数的局部光滑性质，特别是在信号分析中，由于它的局部分析性优 越，因而在数据压缩与边缘检测方面它比现有的手段更有效 小波分析的核心内容之一就是小波的梅造。前面我们已经介绍过，多尺 度分析是构造小波的重要以及主要方法，那是不是所有的小波都是有多尺度 分析构造出来的呢? 答案是否定的j l 5 0 u r r 厄首先给出了个反例。说明 了并不是所有的标准正交小波基都来自于m r a 很自然的，我们就要问， 在什么情况下，小波是可以由m p , a 得到的呢? 我们知道。小波又分为正 交小波。r i e s z 小波和挺架小波，它们与多尺度分析的关系可分别参考以下 文献t 【3 8 3 7 ，3 6 ，【3 2 7 ，3 5 ，【2 1 4 ，2 8 】r a z a l i k 在【3 5 1 中给出了r i e s z 小波与m r a 关系的一维情形其中包括个充要条件( 命题2 2 ) 和几个 等价条侔( 定理2 4 ) 而且给出了具体的例子。利用文章给出的条件来判断 小波是否由m r a 得到我们从这篇文章出发。首先给出了r i e s z 小波与 m r a 的关系个充要条件的高维情形，而且也给出了具体的例子然后我 们改进了原文中定理2 4 的个条件，用一个更为直观的条件代替了原来的 条件然后我们给出了由高维r i e s z 小波的伸缩平移生成的空问的值域的一 个定理 在 3 5 】的命题2 2 中，我们得到了一对滤波器，p ，q l 2 ( 一玑7 r ) 而 k i m 等在( 2 7 】中给出了关于这一对滤波器的一个性质。即它们组成的一个矩 阵是满秩的我们在推广【3 5 】中的命题2 2 时，同样得到了一组滤波器，只 不过此时高通滤波器一共有2 d 一1 个，而一维情形，低通和高通滤波器都是 个在第二节中，我们首先把k i n l 等的结论进行了推广，即证明在对【3 5 】 中命题2 2 的推广中得到的滤波器组成的矩阵也是满秩的接下来我们给出 了高维多尺度分析的频率响应的一个性质 第二节是作者以前所做的关于d 维欧式空间r 4 的框架与r i e s z 基的几 个结果 第三节是关于小波集的综述 本文中z 表示整数集，表示d 维整数集。r 表示实数集，一表示 d 维实数集。f 等同于基本域【一玎，口】。或【0 ，2 7 r p 2 ( r 4 ) 是r 4 上的平方 可积函数空间。l 1 ( r 8 ) 为彬上的绝对可积函数空问2 ( r 4 ) 或工2 ( 俨) 中的函数，( z ) 的f o u r i e r 变换定义为t ， ，( f ) = ，( ) e 4 d z ，r d 6 山东大学硕士学位论文 f o u r i e r 逆变换定义为t m ) = ( 去) 4 厶艇炉吨v ，甜 f o u r i e r 逆变换通常记作，( z ) 或，一1 ( ，) 7 山东大学硕士学位论文 第一节r i e s z 小波与多尺度分析及相关问题 1 1 高维r i e s z 小波与多尺度分析的几个问题 定义1 1 廖刃设为可分l h l b e r t 空间， ) 。z 是i - i 中的序列，若存在 正常数a ，b ，使得对任何的，有 a i f 1 1 2s | ( ，) 1 2 b l l f l l 2 ， ( 1 1 ) n = l 则称 妒。) 。z 是研中的框架。b ，a 称为框架的上、下界当a = b 时， 称为紧框架 定义1 2 4 e 设 ) 。z 是h 中的序列，且= i 面筇 ，r t z ) ，若存 在常数b2a 0 使得对任何数列 h ，n z ) j 2 ，恒有墨lc h , p 。收 敛且适合 a 2s l | “m i l 2 b 2 ， ( 1 2 ) n=l，t=ln = l 则称 妒。) 。z 是h 中的r z e s z 基 我们定义伸缩和平移算子如下： d f ( x ) ：= 2 ；f ( 2 z ) ， 疋，( z ) ：= ，( z 一女) k z 4 若f ( r 8 ) 中的函数妒经过平移，伸缩后得到的函数系，k ( t ) ；d j 瓦舻= 2 譬w ( 2 a ：r k ) 构成2 ( r d ) 的标准正交基( 称为小波正交基) ，就称妒为小渡 母函数或正交小波前面我们已经介绍过。刚开始小波基的构造是比较困难 的，直到1 9 8 6 年y m e y e r 偶然的构造出了现在称之为m e y e r 基的真正的 小渡基后来s ，m a l l a t 与y m e y e r 3 0 j 建立了构造小波基的通用方法即多 尺度分析 下面我们给出高维多尺度分析( m r a ) 的定义， 定义1 3 廖j ，l 2 ( r d ) 的一个m r a 是指l 2 的满足如下性质的闭子空问的 增加族 巧 竺k ： ( n ) n i ，= o ) ，u k = 铲； ( 6 ) ，( z ) 嵋 = = 争，( 2 f ) 嵋+ 1 v j z ； ( c ) 存在垆v o ，使得 妒0 一) ) k e z d 构成的r l e s z 基 8 些查查兰塑主兰垡垒茎 定义中的r i e s z 基若换为标准正交基( 框架) ，则称为正交( 框架) 多尺度分 析 我们已经知道，任给个正交m r a ： v j ，妒) ! k ，都能构造出小波母函数 妒【4 1 】反过来考虑，是否每个小波母函数都是由多尺度分析得到的呢? 下面我们首先给出关于多尺度分析与小波的关系的两个等价的定义 定义1 4 我们说一个r i e s z 小波雪= 妒1 妒2 ，俨) cl 2 ( r o ) ，是由多尺 度分析得到的，若存在一个m r a 使得妒1 ，妒2 ，妒 z a l i k 在【3 5 】中给出了此定义的一维情形 定义1 5i s 假设 妒0 ，j z ，k r d ，r = 1 ，l 是2 ( r 。) 的r i e s z 基 或标准正交基。令 嵋：= 而 螈i ，k z d , r = 1 ，l ) ，k = o i 勺w k 则王然m r a 定义中的前两条均满足那么我们说皿= ( 砂1 妒2 ，矿 是 与m r a 相伴随的，若存在一个尺度函数妒! i o ，使得和扛一) ，k z 4 是的r i e s z 基或者标准正交基 由上述两定义我们易知若个小波与个m r a 相伴随，那么显然它是 由m r a 得到的。而b o w n i k 在【3 】中证明反之也成立，鄄若个小波是由 m r a 得, 到的。那么它必与个m r a 相伴随 z a l i k 在 3 5 1 中给出了关于r i e s z 小渡与m r a 关系的一个命题( 命题 2 2 1 ： 命题+ 1 俐设 也血j k z 是l 2 ( r ) 的r i e s z 基，则 f 是由多尺度分 析得到的。当且仅当存在非零函数妒，p ，g 满足下述条件t ( 1 ) 妒l 2 ( r ) ，且 咖i k z ) 是而丽 伽 ，k z ) 的m e s z 基； ( 2 ) p l 2 ( t ) ，p ( 埘) 周期为2 丌，且p ( 2 叫) = _ p ( t ，) 驴( 叫) ，口e ； ( 3 ) q l 2 ( t ) ，q ( | i ，) 周期为2 r ，且妒( 2 | i ，) = q ) p ) ，d e 下面给出我对此定理的一个推广( 推广到高维的情形) ，证明过程类似， 只给出其叙述如下一 定理1 6 设 妒i 扣j z ，z 4 r = 1 q 是l 2 ( 1 f ) 的r i e s z 基， 则 曲7 ) 。1 工是由多尺度分析得到的，当且仅当存在非零函敷9 ，p ，q ，r = 1 一l 满足下述条件， ( 1 ) 妒l 2 ( r 4 ) ，且 l - ，o m k ) 是筇而 妒，) 的r i e s z 氛 9 山东大学硕士学位论文 ( 2 ) p l 2 ( t 8 ) ，且驴( 2 叫) = p ( 1 j ) p ( 加) ，口e ；， ( 3 ) 矿l 2 ( 俨) ，且妒( 2 w ) = q r ( ) p ( 埘) ，r = 1 ，la , e 龙瑞麟在 4 1 】中证明，当) ，- l ，l 由多尺度分析得到时，妒的个数 l = 2 d 一1 定义1 7 吲我们说集合a 本质包含于b ，如果a b 的l e b e s g u e 测度为 0 说a 与曰是本质相等的，如果a b 与b a 的l e b e s g u e 测度均为口 下面给出1 3 5 ) 中判断r i e s z 小波是否由m r a 得到的几个等价条件， 并给出具体的例子 定理+ 2p 哥设 奶m j ，k z ) 是l 2 ( r ) 的r i e s z 基，令 r ( w 、：= 则下述四条等价t ( 口) 妒由多尺度分析得到且s “即 乒( 2 ) ) 与s “即 毒) ) 本质相等； ( 6 ) 1 ；c r 由多尺度分析得到且钆卯( 西( 2 ”) ) 本质包含于8 n 即 训) ) ； ( c ) 存在一个以4 7 r 为周期的函数g ) 0 且妒( 2 w ) = 9 ( ) 妒( w ) ； ( d ) r ( w ) 0 ，a , e ，且存在- # - t x4 7 r 为周期的函数g ( w ) 0 使得 v ( 2 叫) = g ( t ，) v ( t ，) 例1 8m o r l e t 地震小波一妒( ) = e 曲e 一暑，其f o u m e r 变换为 # ( f ) ：厄一毕 躲；盏：。牢1 每( f )e 一1 冲卫 。 我们定义 贰) = 鬻， 可知g ( ) 不是周期函数，从而由定理2 知条件( c ) 不成立，又因为( c ) 错 ( 6 ) ，故( 6 ) 不成立而s u 即( 跫) ) = 5 “即 西( f ) ) = r ，即5 “即 岳( 2 f ) 与 5 u 卯( ) 本质相等，所以可知妒不能由多尺度分析得到 1 0 山东大学硕士学位论文 例1 9 口托k - l e m a r 讵基指由样条函数做尺度函数然后正交化得到的基 在这里我们用它来检验一下与定理+ 2 的条件是否符合一次时， 所以 咖，= 外繁怪1 傩，= ( 扣q ) ) 2 = ( 戮) 2 经计算小波母函数为 则定义 讯，= 疳n 。 ( 筠) 5 ( 志) 5 驴( ；) 镨一e - t ；( 精黼) 5 甜l 昧) ：= 鬻 可知9 ( f ) 0 ，且以4 r 为周期，满足定理。2 的条件( c ) 定理2 4 ( a ) 中的条件”5 u 即 西( 2 ) 与s “卯m ) 本质相等”可以改 为一个更为直观的说法，我们给出下面的定理来说明这一点 定义1 1 0 庳毋我们说一个集合n 是二进吸收的。若任给f q ，有2 “f n 后z 定理1 1 15 t q 甲 岳( 2 ) ) = 即 岳) ) = 专s t i 印 函( 叫) ) 是二进吸收的 证明：必要性假设n = s “卯 妒) ) ，则由s “即 参( 2 ) ) = s u 弦 西( 叫) ) 可 得n = 譬，同样，可得， n = 罢= 署；- 一昙，t z 1 1 山东大学硕士学位论文 所以，任给f z 2 “f 2 - k 0 = q ， z 故由定义知q 是二进吸收的 充分性假设n 是二进吸收的，则比n ，2 “f n ，所以得2 k n ，对所 有的女z 故nc2 k n 对所有的k z 所以我们得到q = 2 q 所以 n = 2 n 在定义1 4 中。若h i l b e r t 空间是d 维的，我们已经知道l = 2 4 1 又 因为妒1 ，t f ，2 ：妒，所以存在 ) 1 2 ，使得 妒( z ) = 2 4 妒( 2 2 一k ) r = 1 ，l z d 对此式作f o u r i e r 变换得t 讥”厶三纰以矿 。三矿5 厶2 “) e 1 协“嵯如 = 矿( 告) p ( ；) 其中q r ( 5 ) = z 一e 1 “设 吒 ，j z ，k r 4 ，r = 1 ，l ) 是给定的 小波正交基。记= s p a n ( 妒7 ( 掣扛一 ) ) ) 庭j o ) 对l 2 ( r 4 ) ，定 义z 。：= ( ，扛+ 2 7 r k ) ) k 。掣，。= f ( ，p + 2 7 r k ) ) k e z d ，v o 4 1 】中有如下 的命题- 命题+ 3 辟，设y 是至多可列个函数旅西cl 2 ( r 4 ) 生成的闭平移不变予 空间( 记为5 ( 西) ) ，则 。= s p n “口( f + 2 女”) ) i z 4 ，妒西) ，( 1 3 ) 我们利用此命题来证明如下的定理t 定理1 1 2 设 螈 ，j z k r d ，r = 1 ，工 是工2 ( 彬) 的r m ；基，记 t 巧：= 可丽 螈i ，k z 4 ，r = 1 ，l ，且巧= o k o ，r = 1 ，z 俨， 那么。 ( s ( ) l 。= f ( f ) ，d e z 特别地。若y o 是平移不变的。则诧。= f 扛) ，8 工邗 山东大学硕士学位论文 证明；首先我们来证明s ( v o ) = s ( 矿，j 0 r = 1 ，工 ) 因为 妒7 ，j 0 ，r = 1 ，l cv o ， 所以 s ( 矿，j 0 ，r = i ，l ) ) c 。( k ) ，( 1 4 ) 下面我们证明相反的方向 死d 妒= 死2 乎妒( 掣z ) = 2 譬妒( 掣( 。一) ) = 2 譬l b ( 2 j x 一掣女) = 而k 妒 又因为j 0 时。 2 j 女女z 4 ) 3 2 4 ，所以我们有z s ( 矿，j o ，r = 1 ，l ) ) = 丽筇( 瓦矿，j 0 ，t r ；1 ，l 一i 丽_ 而儿j 0 ，k z 。，r = l ， ) j p 丽 疋妒，j 0 ，t z d r = 1 ，) = v o 3 5 ( ) 即 s ( 矿，j o r = 1 ，) ) ) s ( ) ， (