（基础数学专业论文）补偿列紧方法在一类非线性双曲系统中的应用.pdf

摘要 本文介绍了补偿列紧方法在单个守恒律方程和一些重要的双曲守恒律系统中 的应用借助于著名的b e r 璐t e i n - w e i e r s t r a u s s 定理，我们用l a x 熵导出了不带凸 性的单个方程在三o o 或l 己，中一致有界的逼近解序列的强收敛性，并据此研究了 一个对称双曲系统的松弛极限；用补偿列紧方法和动力学公式相结合的思想，我们 极大地简化了测度约化这一最为关键、困难的步骤，对二次流系统和l er o u x 系 统的l o o 熵解的存在性给了凝练的证明，并对p u 方程组1 7 3 的情形建 立一个紧性框架 本文共分五章，具体安排如下： 在第一章，我们介绍了一些基本概念和补偿列紧理论中的几个重要定理，并证 明了一个抛物型系统解的存在性定理 在第二章，我们用l a x 熵导出了不带凸性的单个方程在l o 。或l 己，解一致有 界的逼近解序列的强收敛性，并据此研究了个对称双曲系统的松弛极限 在第三、四章，我们用补偿列紧方法和动力学公式相结合的思想简化证明了 二次流系统和l er 0 u x 系统的l 。熵解的存在性，得到了一些更一般的结果我 们还讨论了这两个系统的零松弛现象 在第五章，我们对一维可压缩流体流的e u l e r 方程组( p 一让方程组) l 7 3 的情形建立一个紧性框架，以及在远离真空的假设下，对l ，y 3 的一维等熵 气体动力学系统( p m 方程组) 的熵解的存在性给了一个非常简洁的证明我们 还得到了一些重要的带源项的p 一乱方程组和p m 方程组的解的存在性 关键词：补偿列紧方法双曲守恒律粘性解熵一熵流弱解熵解松弛极限 a b s tr a c t i nt h i sp 印e r ，w ei n t r o d u c es o m ea p p l i c a t i o n so ft h ec o m p e n s a t e dc o m p a c t n e s sm e t h o dt os c a l a rc o n s e r v a t i o nl a wa sw e ua u ss o m ei m p o r t a n th y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w s w i t ht h ea i do ft h ew e l l - k n o w nb e r n s t e i n - w b i e r s t r a s st h e o r e m r ed e r i v et h es t r o n gc o n v e r g e n c eo fas e q u e n c eo fu n i f o r ml o oo rl 乙b o u n d e d a p p r o ) ( i m a t es o l u t i o n sf o rs c a l a re q u a t i o n sw i t h o u tc o n v e x i t yb yc o n s t r u c t i n gf o u r f a m i l i e so fl a x e n t r o p i e s ，a n ds t u d yt h er e l a x a t i o nl i m i tf o ras y m m e t r i c a u yh y p e r l b o l i cs y s t e mb a s e do nt h er e s u l t s ；b yu s i n gt h ec o m p e n s a t e dc o m p a c t n e s sm e t h o d c o u p l e dw i t hs o m eb a s i ci d e a l so ft h ek i n e t i cf o r i n u l a t i o n ，w ec o n s i d e r a b l ys i m p l i f y t h em o s tc r u c i a la n dd i m c u l ts t e p ，r e d u c t i o no fy b u n gm e a s u r e s ，t o 舀v er e 丘n e d p r o o f sf o rt h ee x i s t e n c eo fl o oe n t r o p ys o l u t i o n st oas y s t e mo fq u a d r a t i cf l u xa n d t h el er o u xs y s t e m ，a n de s t a b l i s hac o m p a c t n e s s 矗a m e w o r ko ft h ep ue q u a t i o n s f o rt h ec a s eo fl 一y 3 t h i 8p a p e rc o n 8 i s t so ff i v ec h a p t e r s ，t h ea r r a n g e m e n to fi ti 8a sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c es o m eb a s i cd e f i n i t i o i l sa n di m p o r t a n tt h e o r e m s o ft h et h e o r yo fc o m p e n s a t e dc o m p 2 u c t n e s s ，a n dp r o v et h ee 妇s t e n c eo fs m o o t h s o l u t i o n sf b rt h ep a r a b o l i cs y s t e m i nc h a p t e r2 ，伧d e r i v et h es t r o n gc o i e r g e n c eo fas e q u e n c eo fu n i f o r ml o 。 o r 玩cb o u n d e da p p r o x i m a t es o l u t i o n sf o rs c a l a re q u a t i o n sw i t h o u tc o 侧t yb y c o n s t r u c t i n gf o u rf a m i l i e so fl a xe n t r o p i e s ，a n ds t u d yt h er e l a x a t i o nl i m i tf o ra s y m m e t r i c a l l yh y p e r b o l i cs y s t e mb a s e do nt h er e s u l t s i nc h a p t e r3 ，4 ，w eu s et h ec o m p e n s a t e dc o m p a c t n e s sm e t h o dc o u p l e dw i t h s o m eb a s i ci d e a u so ft h el 【i n e t i cf o r m u l a t i o nt os i m p l i 矽t h ep r o o f sf o rt h ee ) ( i s t e n c e o f 斟o b a l l yb o u n d e de n t r o p ys o l u t i o n st oas y s t e mo fq u a d r a t i cf l u xa n dt h el e r o u xs y s t e m ，a n dt h e no b t a i ns o m em o r eg e n e r a lr e s u l t s t h ez e r or e l a x a t i o n l i m i t sf o rt h et 、0s y s t e m sa r ea l s od i s c u s s e d 1 v 目录 v i nc h 印t e r5 ，w ee s t a b l i s hac o m p a c t n e s s 在a m e w o r ko ft h ee u l e re q u a t i o i l s o fo n ed i m e n s i o n a l ，c o m p r e s s i b l en u i dn o w ( p 一乱e q u a t i o i l s ) f o rt h ec a s eo fl 7 3 ，a n d 舀v eam u c hc o n c i s ep r o o ff o rt h ee ) ( i s t e n c eo fe n t r o p ys o l u t i o i l st oo n e d i m e 璐i o n a li s e n t r o p i cg a sd y n a m i c s ( p me q u a t i o n s ) w i t hl ，y 3 ，p r o 、r i d e d t h a tt h ei n i t i a ld a t aa r ea w a yf r o mv a c u u ms t a t e w ba l s oo b t a i n 对o b a le x i s t e n c e f o rs o m ei m p o r t a n tp 一钍e q u a t i o n s 而t hs o u r c e sa sw e l la sj d me q u a t i o 璐w i t h s n l l r r e r k e y 、怕r d s ：c o m p e 瑚a t e dc o m p a u c t n e s sm e t h o d ；h y p e r b o l i cc o 璐e r v 8 土i o nl a w s ； v i s c o s i t ys o l u t i o 璐；e n t r o p y e n t r o p yn u ) ( ；w e a ks o l u t i o n s ；e n t r o p ys o l u t i o n s ；r 争 l a x a t i o nl i m i t 致谢 首先感谢我的导师陆云光教授，本文的研究工作是在陆老师的悉心指导下完 成的，从论文的选题到最终定稿，陆老师倾注了极大的心血我从博士生阶段开始 跟随陆老师学习补偿列紧方法和双曲守恒律的相关知识，三年来在学业上取得了 很大的进步，这与陆老师的严格要求和耐心指导分不开的在学习和科研中，陆老 师言传身教，他给我的教诲不仅在学业上，而更多的来自于其严谨的治学风格及 对学术的孜孜不倦的追求精神，将使我终生受益同时，我要感谢陈祖墀教授和宣 本金副教授，他们在学习过程中时常给我指导和帮助陈老师渊博的知识和严谨的 治学作风让我受益匪浅，是我今后学习和工作的榜样在此谨向三位老师致以诚 挚的谢意和崇高的敬意 时光飞逝，我已经在中国科学技术大学数学系度过了五年的学习时光在这 五年中，科大严谨、朴实的学风一直影响着我，数学系积极向上的学术氛围为我的 学习提供了十分良好的环境在此感谢数学系的所有老师，他们在我的学习过程 中给予了很大的帮助感谢室友田可雷，我们互相帮助、互相鼓励，一起度过了难 忘的研究生时光我还感谢盐城师范学院数学系的所有同事，在工作上一如既往 地帮助我、支持我，让我学习时无后顾之忧 最后感谢我的母亲和妻儿，他们的关心和对我取得成绩后的自豪感是我学习 的动力源泉正是他们的鼓励和帮助，让我顺利地完成了博士学业 第一章预备知识 1 1 基本概念与性质 双曲守恒律系统是一些非常重要的数学模型，可以用来描述好多出现于流体 力学，弹性力学，气体动力学等中的物理现象，例如燃烧模型，l er o u x 系统，多 方气体动力学系统等都是重要的双曲守恒律 我们考虑具有以下形式的拟线性偏微分方程组： u t + f ( u ) z = o ，( z ，) 廷已+ ，( 1 1 1 ) 其中向量函数u = u ( z ，亡) = ( 乱。( z ，) ，u n ( z ，亡) ) t 中的每个分量表示守恒物理 量的密度，f ( u ) = ( ( u ) ，厶( u ) ) t c 1 ( 时；黔) 为流函数通常这些方程组 称为双曲守恒律 一般来说，非线性双曲守恒律的柯西问题不存在全局古典解，即使初值小且 光滑，这意味着解通常会在某个有限时刻出现间断，即产生激波因为解不连续而 不能在古典意义下满足方程组，所以我们必须研究它的广义解，即在分布意义下 满足方程组的函数假设u 是系统( 1 1 1 ) 带可测初值 u ( z ，o ) = u o ( z )( 1 1 2 ) 的古典解，则用试验函数四( r r + ) 乘系统( 1 1 1 ) 并在r r + 上分部积 分得： z 。仁u 喇脚+ 仁u o 咖如- o ( 1 怕) 定义1 1 1 称函数u ( z ，) 巩( r 豫+ ；渺) ( 1 p o 。) 为柯西问题以! 一 以f 纠( u 0 ( z ) 汐假；舻) ) 的弱解，如果等式以f 剀对任意的试验函数咖 四( r 酞+ ) 成立 本文主要研究两个方程组成的双曲守恒律系统： 1 ( 1 1 4 ) n 吼 一一 = 如吐似如 + + 似 优 ，jli 2 中国科学技术大学博士学位论文 其中，厂( 钍，秒) ，9 ( “，钉) c 1 ( r 2 ) 为流函数，其对应的雅可比矩阵我们记为 d f ：i 元i i - 乳吼j 定义1 1 2 如果d f 有两个实的特征值久1 和a 2 ，则称系统以j 钏是双曲的j 如 果a 1 o ，存在丁o o 使柯西问题p 2 纠一以2 砂在r ( o ，丁b 】上存在唯一解小( z ，t ) c o 。( r ( 0 ，而】；r 住) 且有估计 l i u i ( z ，亡) i i l * ( r x 【0 ，伯】) 2 m ，l | u 三( z ，) i | l o 。( r 【o ，匍】) 2 m 其中，丁0 0 只与初值的三o 。范数有关 俐若柯西问题以2 砂一以2 剀的解旷( z ，t ) 有先验估计 i i 让i ( z ，) l i l * ( r 【0 ，卅) m ( e ，丁) ，0 u ：( z ，) i i l 。( r 【o ，卅) m ( e ，t ) ， 则解小( z ，t ) 在r o ，卅上存在唯一特别地，若解小( z ，t ) 有先验估计 | | 钍i ( z ，) | i l 一( 豫x 【o ，+ 。) ) ，i | u ：( z ，) | i l 一( r o ，+ o 。) ) ， 其中 o 为常数，则解u 。( z ，) 在r 0 ，o 。) 上存在唯一 俐若f ( o ) = f ( o ) = o ，且毕mu o ( z ) = o ，则 l z l o o 。l i mu 5 ( z ，) = o 对t o ，t 】一致成立 i z l _ o 。 似j 进一步，若系统p 2 纠中的某个方程具有如下形式 伽t + ( 彬夕( u ) ) z + 叫雪( u ) = 妣茁，( 1 2 5 ) 其中函数夕( u ) ，蚕( u ) e ( r n ) ，则伽2 ( z ，) c ( ，s ，6 ) 0 ，如果叫o ( z ) 6 0 这里6 为正常数，c ( ，6 ) 可能会在时间t 趋于无穷或趋于零时趋于零， 证明 定理中的结论( 1 ) ，( 2 ) 可用文 4 1 】中的方法给出证明首先运用g r e e n 核 俨 一，t ) = 去e x p _ 一鱼】，把柯西问题( 1 2 2 ) 一( 1 2 3 ) 写成与其等价的积分 形式： u 归仁g 刮毗汹+ 0 。d s 仁眦，s ) ) 塑署型 一f ( u ( 秒，s ) ) g 5 ( z 一可，一s ) d 可 ( 1 2 6 ) 1 2 粘性解和l o 。估计 5 作集合 & = u = ( 让1 ，乱n ) l o 。( r 【o ，7 _ 】；酞n ) ：i i “ i i l * 2 m ，1 z 佗) ， 并在母上定义度量 p ( u ，v ) = | | u v | | o 。全攫麓| | 地一耽0 l 一， 则易验证( 研，p ) 是一个完备的度量空间 定义映射t = ( 乃，) ：s s 如下： ( 删叫) = 仁g 刮u 如mz 。如仁怖，s ) ) 盟等型 ( ，i i u ) ( z ，) = g 8 ( z 一可，) u o ( 可) 咖+ 如f ( u ( 剪，s ) ) 毛导型 - ，一o o，ui ，一o ov 汐 一 ( u ( 爹，s ) ) g ( z 一秒，一s ) 由， 则我们有下面的估计 其中 t u l l o o = 攫黑1 l 五u l | l 一m + k 1 以+ 鲍， t u t v i i 。o 蚝l | u v i | o 。以+ 甄i i u v i | t ， 这是因为 仁g 叱蜮乩z 。ej 掣协妊2 涯c ( 1 2 8 ) 选取勺 o 使甄办+ 恐罚m ，乜= 蚝而+ 托罚 o 只依赖于初值的l o o 范数，于是当解u 5 有先验估计恶誉| | 妣；( z ，洲l o 。 m ( ，丁) 或粤够| i 牡；( z ，) 忆。时，我们可把u 6 ( z ，丁o ) 作为初值，从而据结 l 气z 、n 论( 1 ) 知u 5 ( z ，t ) 在熙 丁o ，2 伯 上存在重复这个过程，就得到结论( 2 ) 为了便于证结论( 3 ) ，我们给出另外一种方法，但仍沿用上述方法中的记号 ( 1 ) 构造逼近解序列u 七，惫玳如下： u o ( z ，) = m ( z ) ， u = 仁g 沁刮u 如mz 。如仁廿地，s ) ) 竖等型 u 屉( z ，) = g ( z 一夕，芒) u o ( 可) 而+ 如f ( u 肛l ( 剪，s ) ) = 毛攀 0 一juo 一 净 一f ( u 知一1 ( 秒，s ) ) g 6 ( z 一秒，亡一s ) d 剪，老1 ( 1 2 9 ) 我们易得下面的估计 忖怯= 畏装l i u 七i i l 一m + 甄以+ 恐， i i u 惫一u 南一1 i f o o i l u 惫一1 一u 七一2 i i 以+ 甄i i u 惫一1 一u 七一2 | i o 。 于是选取伯 0 使k l 而+ 硷伯m ，q = 凰俪+ 甄丁0 o ，由( 1 2 8 ) ，存在充分大 的x 0 使得 p r 。 l l 如l l 。o + i i j l 3 | i o 。+ 0 如i | o 。+ i i j l 6 i i o o s 由于对固定的x ，我们有 i 息g 沁唱舢_ 器摩e 彳拈吣2 旨) ； i 息上x 酽( 一引) 句2l 器乓e 吨。一o ( 一葡) ； 同理 i 卓毫菇如成塑坠哥幽咖= o 对【o ，丁0 】一致成立 所以毕m0 i | o o + 0 厶| i o 。= o ，从而 l z l o 。 毕mu 1 ( z ，t ) = o 对 o ，伯】一致成立 1 z i + o o 用归纳法易证 摹mu 2 ( z ，亡) = o ( 七n ) 对【o ，丁0 】一致成立 1 z i 故 毕m 小( z ，) = o 对【0 ，丁0 】一致成立 i z l + o o 由u 5 ( z ，) 有先验一致界估计以及解的延拓过程立得结论( 3 ) ( 4 ) 令 = l o gt u ，我们可把系统( 1 2 5 ) 写成如下形式： 仇+ 9 ( u ) + 夕( u ) z + 亘( u ) = e ( + 秒：) ，( 1 2 1 1 ) 即 仇= 州一掣) 2 叫u ) 茁一掣吲u ) 方程( 1 2 1 1 ) 带初值蜘( z ) = l o g 咖( z ) 的解可表示为 巾= 仁g 刮响肼弘仁椭，s ) ) 盟寻型 可( z ，t ) = g 6 一可，) 咖( y ) 咖+ d s g ( u ( 秒，s ) ) ，_ l _ t ，一 t ，u- ，一o o 一口 + 【如一掣) 2 一掣吲u ( ”) ) 】g 沁鸭h ) 咖 1 2 中国科学技术大学博士学位论文 最后我们表述一个紧嵌入定理，它与m u r a t 3 2 中的一个结果有关，其证明 请参阅文 1 3 】 定理1 3 6 ( 嵌入定理) 设qcr 为有界开集，l q 2 o 使( 2 1 3 ) 的右 边小于零这不可能，故缸( z ，) o ，( z ，) 【一r ，剧 o ，邪令兄_ 即得 口( z ，t ) m 同理可证u ( z ，) 一m 证毕 口 引理2 1 2 设| | 蝴( z ) l i p = 且，( 让) c 2 - ，】，则柯西问题偿f ! ) 一偿j 剀 的粘性解( z ，) 全局存在且有估计j j 矿( z ，洲p ， 证明因为i 珏5 p ) i = ，所以由引理2 1 1 知粘性解矿有先验估计 i i 矿( z ，) | i l * i i ；( z ) i l l o o = ，( 2 1 4 ) 因而由定理1 2 1 ，粘性解仃全局存在 口 引理2 1 3 方程俾d 砂的任何熵? 7 ( 饥) c 2 ( r ) 满足日_ 1 紧性，即7 7 ( u 5 ) t + 口( 矿) z 在日一1 中紧，其中g 是相应于熵叩的熵流，旷为柯西问题偿，j j ，偿_ f ，矽唯一 确定的粘性解 证明 显然方程( 2 o 1 ) 有个严格凸熵矿( u ) = 警和相应的熵流矿( u ) = u ，( 乱) 一 片t 厂( s ) d s 设kcr r + 是一个紧集，选取留( r r + ) 使得i 耳三l ，且 o 1 在方程( 2 1 1 ) 的两边同乘旷妒并在r r + 上 x 2 1 己o o 熵解 1 5 显然，由( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) 知b 在上有界，从而由专著【4 4 】中第十章的s c h a u d e r 定理，岛对某个指数乜( 1 ，2 ) 在w _ 1 乒中紧；p 1 在日一1 中紧，因为1 7 7 ( u 。) 霉i = 1 7 7 7 ( u 6 ) u ：i c i u 卦又( 2 1 6 ) 的左边在彬q ，。中有界，故由定理1 3 6 ，叩( u 。) t + 口( 矿) 。在日一1 中紧证毕 口 接下来，我们给出方程( 2 0 1 ) 的两族l a x 型熵一熵流对： 吼= e 舰，吼= ，n ) e 札一 厂( s ) e b d s ；( 2 1 7 ) ，t j n 7 7 一七= e 山u ，g 知= 厂协) e 一南札+ ，( s ) e “8 瓠 ( 2 1 8 ) p n t 应隆安和滕振寰 4 3 曾用这两族熵研究过方程( 2 o 1 ) 凸的情形 由积分中值定理， 九s ) e 吲飞) c 扩d s _ 。护u ； ，( s ) e b d s = 厂( f ) e b d s = o ( 圭) e 托； j nj n k 类似地， z ，( s ) e 一知5 d s = 。( 昙) e 一t 因此 吼( “) = ( 八乱) + o ( 昙) ) 讯( 峨( 让) = ( 八钍) + 。( 昙) ) 弛( 乱) ( 2 1 9 ) 易见l a x 熵叩士七( 钆) 满足日一1 紧性 因为有估计式( 2 1 4 ) ，所以存在粘性解的子列旷( z ，) 使得 让 ，) = 矿一l i m “0 ，) ( 2 1 1 0 ) 我们将用上面构造的l a x 熵证明( 2 1 1 0 ) 中的弱木收敛实际上是几乎处处收敛 确切地说，我们有本节的主要结果： 定理2 1 4 如果| i 让o ( z ) l l 沪= ，c 2 僻) 具有性质m e a s 让i 厂( u ) = 0 】= o ， 那么u 6 ( z ，) 几乎处处收敛于柯西问题俾d 砂俾d 矽的一个三熵解u 0 ，) 1 6 中国科学技术大学博士学位论文 注2 1 5 函数乱( z ，) 称为柯西问题偿d f ，) 侣d 纠的熵解，如果对任意的试验 函数( z ，) 四( r 酞+ ) 都有 p p p o o 乱+ ，( u ) 屯d z 出+ u o ( z ) ( z ，o ) 如= o( 2 1 1 1 ) l ，o，一o 。，一o o 并且 叩( u ( z ，) ) + 口( 乱( z ，t ) ) z o 对方程俾d ! ) 的任何凸熵? 7 ( u ) 在分布意义下成立，其中口( u ) 是相应于叩( u ) 的 熵流 为了证明这个定理，我们需要下述引理 引理2 1 6 设实值函数f ( s ) c 【o ，6 】具有性质? e f ( s ) e b d s = o ，v 七n ，则 f ( s ) 在 n ，6 】上恒等于零 证明令z = e 8 以及q = e 口，p = e 6 ，则 f ( 1 n z ) 扩如= o ，忌o ，庇z 因而对任何多项式p ( z ) 成立 p 8 f ( 1 n z ) p ( z ) 6 k = o 因为f ( s ) c n ，6 】，f ( 1 n z ) c 及，例，所以由著名的b e r n 8 t e i n - 、) l r e i e r s t r a s s 定理， 存在一列多项式( z ) 一致收敛于f ( 1 n z ) 因此鬈f 2 ( h l z ) 如= o ，即f ( 1 n z ) 三 0 ，z q ，例，也就是说f ( s ) 在【o ，6 】上恒等于零 口 定理2 1 4 的证明 因为粘性解札5 ( z ，) 在l o 。空间中一致有界，依据定理1 3 1 ， 我们考虑具有紧支集的概率测度不失一般性，我们固定( z ，t ) r r + 而 只考虑一个测度 对任意满足日- 1 紧性的熵一熵流( 仇，吼) i = l ，2 ，我们依据d i v c u r l 引理有 7 7 1 ( 札6 ) 9 2 ( 矿) 一叩2 ( 旷) 9 1 ( u 5 ) = 叩1 ( u 5 ) 啦( 旷) 一叼2 ( 乱5 ) 9 1 ( 舻) ， 其中丽两= 矿一l i m 叩( 乱e ) ，页两= 矿一l i m 口( u e ) 运用y o u n g 测度表示定理， 我们得到下面的测度方程： 一 = ( 2 1 1 2 ) 2 1l o 。熵解 1 7 令，为包含测度的支集的最小特征区间，则由定理1 3 1 得 ，= 钍一，乱+ 】c 【一，】 我们现在用反证法证明让一= 矿假没乱一 ， s u p p 肛一= 乱一】i ( 2 1 1 3 ) 事实上，对任何具有性质s u p p 危( u ) c 心一，面】的函数允( u ) c ( ，) ，其中霞 u 一，u + ) 为任一常数，当后_ 。时，我们有 锱= j 测：i 考舌：三j 了= 三；e 七c 面+ 6 一+ ，斗。， = 一l = 一p 一、一1 - ，、i - l jj j 二c 2 驴( u + 一6 c 2 。 u 其中c 1 ，c 2 为两个适当大小的正常数，6 0 满足j 乱+ 一面，这是因为，是的 最小特征区间这样我们就得到了( 2 1 1 3 ) 中的前一个等式；同理可证后一个等 式 在( 2 1 1 2 ) 中令( ? 7 1 ，口1 ) = ( 佻，饥) ，则 一 三考焉告= 三! 笔篓詈 ( 2 1 1 4 ) 注意到讯与吼的关系式( 2 1 9 ) ，并且在( 2 1 1 4 ) 中令七_ o 。，我们有 一 = ( 2 1 1 5 ) 类似地，在( 2 1 1 2 ) 中令( 叩l ，口1 ) = ( 弘七，弘忌) 并让七一o 。，我们有 一 = ( 2 1 1 6 ) 1 8中国科学技术大学博士学位论文 在( 2 1 1 2 ) 中令( 7 7 1 ，9 1 ) = ( 吼，吼) 及( 7 7 2 ，口2 ) = ( 叩一七，口一南) ，则由( 2 1 9 ) 得 ，、，l 、 l 、尼 ( 2 1 1 7 ) 显然， c e 一地， c e 七口对某个乜心一，让+ 】和正常数c 成立 于是在( 2 1 1 7 ) 中令忌_ o 。就有 = ( 2 1 1 8 ) 把这个等式与( 2 1 5 ) 一( 2 1 6 ) 相结合，我们得到下述等式 = 对任意满足仇+ 在日一1 中紧的熵一熵流( 7 7 ，q ) 成立特别地， = ， 克z + ( 2 1 1 9 ) 注意到( 2 1 7 ) 和( 2 1 1 3 ) ，由( 2 1 1 9 ) 立得衅，( s ) e b 如= o ，尼z + 利用 引理2 1 6 ，在 u 一，乱+ 上，( s ) 三o ，这与m e a s u i ，( u ) = o ) = o 矛盾因此 乱一= 钍十，即、r o u n g 测度是d i r a c 测度由推论1 2 4 知旷几乎处处收敛于柯 鹾问题( 2 o 1 ) 一( 2 o 2 ) 的一个l 。o 熵解“证毕 口 考虑下述带非其次项的抛物型方程的柯西问题： u t + 厂( u ) z + 夕( u ，z ，) = e 乱z z( 2 1 2 0 ) 带可测初值 u ( z ，o ) = 乱；( z ) ( 2 1 2 1 ) 定理2 1 7 设钍5 ( z ) = u o ( z ) ，i i 钆o ( z ) l k 。= ，函数，( 扎) c 2 ( r ) ，夕( 乱，z ，亡) c 嘤r r + ) 关于乱局部l i p s c h i t z 连续如果存在m 使得当i 札i m 时，u 9 ( u ，z ，亡) 0 ，且当m m 时，1 9 ( 乱，z ，t ) i c ( m ) ，其中c ( m ) 为只与m 有关的正常数，那么粘性解矿( z ，) 全局存在且满足0 让8 ( z ，) l k 一m i 而且，若 m e a s _ 缸：，( u ) = o ) = o ，则存在子列矿( z ，) 几乎处处收敛于方程 乱t + 厂( u ) z + 9 ( u ，z ，) = o( 2 1 2 2 ) 带初值俾d 砂的柯西问题的一个l o o 解“( z ，) 2 4中国科学技术大学博士学位论文 把这与( 2 2 1 2 ) 一( 2 2 1 3 ) 相结合，我们有 = ( 2 2 1 6 ) 对任意叼( 扎) 四( r ) 成立，其中q 为对应于7 7 的熵流由( 2 2 8 ) ，( 2 2 1 6 ) 得 口( o 。) = 口( 一o 。) ；但对熵方程q 7 ( u ) = t 厂7 ( “) 叩7 ( 让) 在( 一o 。，o 。) 上积分得 g ( 。o ) = 口( 一。) 一 ，( s ) 叼( s ) d s ， 所以e ，( s ) 7 7 ( s ) 如= o 对任意7 7 ( u ) c 台( r ) 成立由引理2 2 4 ，在( 一。，o 。) 上，( “) 三o ，这与假设m e a s 钆i ，( u ) = o = o 矛盾因此情形( c 1 ) 不可能发 生 同理可证对情形( c 2 ) 和( c 3 ) 分别成立 ，o o，u 。 ，( s ) 叩( s ) 如= o ， ，( s ) 叩( s ) d s = o ，叩( 让) 锘( r ) ，t 一，一o o 这也不可能，所以“+ 和“一均为有限数 选取k n 使k 2m a x i 钍+ i ，l 乱一i ) ，我们给出下述两族l a x 型熵一熵流： 饥= k e 舰，磊= 厶厂7 ( s ) 磁d s = 厂7 ( u ) 饥一厶，( s ) 吼( s ) 如； 亓一七= 妇e “乱，豇南= 戌厂，( s ) 说d s = ，7 ( u ) 露一七+ 戌厂( s ) 而一忌( s ) 如， 其中k ( u ) 曙( r ) 满足s u p p kc 【一k ，吲，在卜譬，筹】上庐k = 1 且o 砂k 1 用( 让，豇七) 替代( 2 1 7 ) 一( 2 1 9 ) 中的( 性七，q 士知) ，我们就可由定理2 1 4 的证明中的相同方法推导出u 一= 乱+ 因此y 0 u n g 测度是点测度由定理1 3 3 知矿( z ，) 在l 。( 1 口 p ) 中强收敛于钆( z ，亡) 若，( 钍) 还满足假设( a 2 ) ，则由标准的讨论可知乱( z ，t ) 是柯西问题( 2 0 1 ) 一 ( 2 o 2 ) 的一个护解证毕 口 从上面的证明过程易得下面的推论，它们是文 5 】中一个结果的推广 推论2 2 5 设缸o ( z ) 妒假) ，厂( u ) c 2 ( r ) 满足增长性条件，(