（基础数学专业论文）一般多值拟变分不等式与拟补问题的算法.pdf

摘要 本文研究了一般多值拟变分不等式及其拟补问题的算法，注意到 在变分不等式及其拟补问题里最重要也是最困难的问题之一，是关于 各类变分不等式及其拟补问题的有效的算法的发展与研究。与以往不 同，这里讨论的是一般多值拟变分不等式及拟补问题的新算法以及改 进算法的情形，并给出了此类问题的解的存在性以及由此算法生成的 迭代序列的收敛性。 全文共分五章，第一章前言介绍了变分不等式及其拟补问题以及 其算法的相关背景，本文的主要工作。第二章我们讨论了 s i d d i q i a n s a r i 定理与一般广义非线性集值混合拟变分不等式的迭 代算法。第三章研究了n a d l e r 引理与一般广义非线性集值混合拟变 分不等式的迭代算法。第四章是一类广义集值拟补问题的迭代算法。 最后第五章是总结与展望。 关键词：一般广义非线性集值混合拟变分不等式，迭代算法，广 义集值拟补问题，极大单调映像 a b s t r a c t i nt h i s t h e s i sw ea r ec o n c e r n e da b o u t a l g o r i t h m s f o r g e n e r a ls e t v a l u e dq u a s i v a r i a t i o n a l i n e q u a li t i e sa n d q u a s i c o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m s w en o t et h a to n eo ft h em o s t i m p o r t a n t a n d d i f f i c u l t p r o b l e m s i nv a r i a t i o n a l i n e q u a li t y t h e o r yi st od e v e l o pa ne f f i c i e n ta n di m p l e m e n t a b l ei t e r a t i v e a l g o r i t h m f o r s o l v i n gv a r i o u sc l a s s e so fv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e sa n dv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s at o p i co fm yt h e s i s i st oc o n s i d e rt h en e wa l g o r i t h m sa n di m p r o v e m e n to f a l g o r i t h m s f o r g e n e r a ls e t 。v a l u e d q u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s a n d q u a s i c o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m s i n a d d i t i o n ， w e p r o v e t h e e x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rt h ec l a s so f g e n e r a l s e t - v a l u e d q u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa n d q u a s i c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m sa n dd i s c u s st h ec o n v e r g e n c eo fi t e r a t i v es e q u e n c e s g e n e r a t e db yi t e r a t i v ea l g o r i t h m s i nd e t a i l ，w ep r e p a r ef i v ec h a p t e r sf o ro u rt o p i c si nt h i s t h e s i s 。t h ef i r s tc h a p t e rs e r v e sa sa ni n t r o d u c t i o nt o t h i s t h e s i sw h i c hi n v o l v e st h es u m m a r yo f m yw o r k t h es e c o n dc h a p t e r m a i n l yc o n c e r n sa b o u ts i d d i q i a n s a r it h e o r e ma n da l g o r i t h m s f o r g e n e r a lg e n e r a l i z e dn o n l i n e a rs e t v a l u e dm i x e d q u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，n a d t e rl e m m aa n da l g o r i t h m s f o r g e n e r a lg e n e r a l i z e dn o n l i n e a rs e t v a l u e dm i x e d q u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e si sp r e s e n t e di nt h en e x t c h a p t e r i nc h a p t e rf o u r ，w ed i s c u s sac l a s so fm u l t i - v a l u e d q u a s i c o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m s f i n a l l y ，w ep r e s e n tt h er e v i e w a n do u tl o o ko fm yw o r k k e y w o r d s ：g e n e r a l i z e dn o n l i n e a rs e t v a l u e dm i x e d q u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ， i t e r a t i v e a l g o r i t h m ， m u l t i v a l u e dq u a s i c o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m ，m a x i m a lm o n o t o n e m a p p i n g i i 第一章前言 1 变分不等式及其补问题和算法 现在大家所熟悉的变分不等式起源于g u i d os t a m p a c c h i a 的一篇论文必及稍候由他与 j a c q u e s l o u i sl i o n s 合作的另一篇论文；这两篇论文发表于六十年代中瓤，之后，变分不等 式在欧美各国蓬勃发展，其理论日臻完善，成为当前数学方法中非常有效的工具之一，其应用 也不断拓广形成一个颇具规模的体系 下面我们来看一类经典的变分不等式阀题。 若日表示h i l b e r t 空间，o ( ，v ) 是日上的连续双线性型，且满足o ( ，口) 口j l v h 。，q 0 ，v 日，表示日中的闭凸子集，则存在唯一懈扎k 满足下面不等式 o ( 札， 一u ) ( ， 一u k v k ( 1 1 ) 变分不等式( 1 ，1 ) 就是我们常见的变分不等式形式 从1 9 6 6 年到1 9 6 8 年，s t a m p a c c h i a 开始着手解决一个问题，即障碍同题这个问题的 解决导致了许多关于变分不等式方面的重要发现定义k = v l v 罐( q ) ， 妒，妒q ) ， 函数妒表示障碍那么相应的问题( 1 1 ) 有唯一撰这之后，众多学者对各类变分不等式进行 了大量的研究 1 9 8 2 年，ab e r s o u s s & n 和j 工l i o n s t 2 4 j 通过对脉冲控制和连续性控制的研究，介绍了 一类椭圆型和双曲型的非线性拟变分不等式，即当又依赖于解。时，那么我姐称问题( 1 1 ) 为拟变分不等式问题( q v i p ( ，k ( 茁) ) ) ，即： f 址k 沁) ， 1o ( 一) ( 厂，”一u ) ，v v k ( u ) ( 1 2 ) 反过来，拟交分不等式也可用来解决各类力学问题。如cb a i o c c h i a 通过用未知函数鹄变 换来解非矩形水坝( 即渗流) 的问题；j n e c a s 及其研究小组应用拟变分不等式解央了磨擦问 题；k a m a l l a ，nn a s s i f 也应用拟变分不等式解凑了晶体管问题等等 另外。在非线性泛函分析中，由予次微分概念的建立，特铋是各种趺徽分檄念钓；i 入，使 得许多与次微分相关的多值非线性微分方程与相应的变分不等式相等价，因此，可应用已有的 微分方程的结果和变分不等式所具有的特点来处理和解决该变分不等式近似解的存在，唯一性 阔题，而且更重要的是，以变分不等式为桥梁。可以捷我们看到各类多值熊线性擞分方程与具 有自由边界和运动边界的具体的偏微分方程密切相关，而这些偏微分方程覆盖了大量的具有具 体物理背景的实际问题，从而使得我们可以用一种统的观点和方法来处理这些问题【37 j 由 此可见，我们对拟变分不等式问题的研究有非常重要的作用， 尤其在近年来，古典变分不等式问题已经被拓展和推广来研究在力学，物理，优化和控制， 非线性规划。经济学，结构运输和应用科学中产生的大量问题如在工程和物理中的应用，包 括轴承的润滑，液体在多孔介质中的渗流及渡体通过已知侧面的绕流等等。 补问题早在1 9 6 0 年由l e m k e 2 5 】及c o t t l e 和d a n t z i g t 2 6 j 引入，后来由其他人发展。它 日益广泛地应用到力学，优化与控制理论，经济效学，对策论，微分方程等许多重要学科中， 现已变成了很有效和强有力的研究工具在补理论方面的研究已与纯和应用科学的许多领域建 立了重要的关联作为结果，它在起源于控制和优化。经济和运输平衡，弹性学中的紧问题， 通过渗透介质的流体以及数学和工程科学的许多其他分支的广泛的问题中起了重要的和基础 的作用，详见1 2 2 3 9 l 以及那里相应的定理通过各种方法，人们研究了补理论并且在不同的 方向上对其进行了延拓补问题的一个重要的推广就是广义补问题( 详见1 2 7 ，2 8 ，3 4 i ) ；补问题 的另外一个有用的推广就是广义强补问题( 详见1 3 1 ，3 3 ，3 5 ，3 6 ，3 8 1 ) 近几年来，主要由v a nb o k h o v e n 引入的变量代换的技巧已经被用来构造解补问题的新 的迭代方法；详见f 2 9 ，3 0 ，3 2 ，3 3 】特别地，利用变量代抉的技巧，n o o r 及a l s a i d l 3 4 j 建立了 广义补问题和w i e n e r h o p f 方程的平衡，并且利用这个平衡构造了一系列解广义补问题的迭 代算法， 众所周知，变分不等式及其补问题中最重要的也是最困难的问题之一就是关于各类变分不 等式及其补问题的有效算法的研究因此关于变分不等式及其补问题的算法的研究有着非常 重要的意义人们对变分不等式及其补问题领域的理论和应用方面都在进行着积极的探索和研 究通过使用各种新的方法和技巧，各类变分不等式及其补问题已经在不同的方向被推广并取 得了突破性的进展 为解决变分不等式及其补问题和它相关的控制问题，已出现过许多不同的数值方法其 中，最有效的方法有投影法1 4 1 1 和它的推广形式，w i e n e r h o p f 方程，辅助原理方法及罚函 数法等等我们主要研究以上常见的几种重要方法1 9 8 5 年，n o o r l 4 2 1 就通过使用投影法 研究了变分不等( 1 2 ) ，由r i e s z f r e c h e t 理论得出式子( u ， ) = ( t u ， ) 因此由迭代算法 u 时1 = 尸( 。一p a ( t u 。一，) ) ( 其中p k 是投影算子) 得到不等式的近似解； 1 9 9 0 年， s i d d i q i 和a n s a r i 进一步应用投影法研究了非线性强拟变分不等式 fu k ， 1 ( 丁( u ) ，t ，一u ) 2 ( 4 ( u ) ，削一t 。) ( 1 3 ) 其中，la 是h _ h 非线性算子，可见1 4 2 中的拟变分不等式是( 1 3 ) 的特例其后， z e n g l “j 又改进了s i d d i q i 和a n s a r i 研究的变分不等式解的收敛性结论我们知道，投影法 的收敛分析要求算子必须是强单调且l i p s c h i t z 连续的，而这些条件恰恰限制了投影法的适用 范围因此人们选择了新方法及w i e n e r h o p f 方程对投影法进行了改进【4 4 4 8 1 值得注意的 是投影法并不能用来解决带有非线性项的混合变分不等式因而，为了克服这些困难，人们采 用了预解算子法 对于各类变分不等式及其补问题，以n o o r ，s i d d i q i 和a n s a r i 等人为代表的大批国内外学 者研究了此类不等式的许多问题之后，h a s s o n n i ，m o u d a f i 介绍和研究了一系列变分问题， 并发展了为求找近似解的扰动算法现在，这一领域已成为力学，经济学等的研究热点 2 本文工作的概述 本文的第二章和第三章，我们研究了如下的一般广义非线性集值混合拟变分不等式 设日是一个实h i l b e r t 空间，其范数为| | t 忆内积为( ，) 令g ，s ，t ：h - - 42 “是集 值映象，其中2 “表示日的非空子集之族p ：h _ h 和n ：hxh _ h 是单值映象 假设m ：hxh _ 2 “是集值映象，使得对每个固定的t h ，m ( ，t ) ：h _ 2 8 是极大单 调映象及r a n g e ( p ) 7 1d o r a ( m ( - ，t ) ) 0 ，y t h 考虑如下的问题： 2 寻求“h ，z s ( u ) ，y t ( u ) ，z g ( u ) ，使得 fp ( ) d o m ( m ( ，z ) ) ， l0 n ( x ，y ) + m ( p ( u ) ，z ) 问题( 2 ，1 ) 称为一般广义非线性集值混合拟变分不等式 为得到我们的结论，我们还需要下面的重要定理： 定理2 1 引( s i d d i q i a n s a r i 定理) 设f ：h _ 2 日是按6 ( - ，- ) 的集值压缩映象，即存在 p ( 0 ，1 ) ，使得日( f ( u ) ，f 0 ) ) 钏u 一 i i ，对u ，口h ，则f 有不动点。即存在u + h ， 使u + f ( u + ) ，其中6 ( a ，b ) = i l a 一圳，aea ，b b ，v a ，b 2 8 定理2 2 ( n a d l e r 引理) 设e 是一个完备的距离空间，t ：e _ c b ( e ) 是一个集值 映像，则对任意的e 0 和u ， e ，o r ( u ) ，存在y t ( v ) 使得 d ( x ，y ) 曼( 1 + e ) 日( t ( u ) ，t ( ”) ) ， 其中，日( ，) 是c b ( e ) 上的h a u s d o r f f 离，即h ( a ，b ) = s u p i n 厶a d ( x ，b ) ，i n 矗b d ( y ，a ) ) 且c b ( e ) 是刀的非空有界闭子集之族 定理2 3 t “j 设( ，) 依第一个变量是l i p s c h i t z 连续的。且具有常数卢如果t 是h l i p s c h i t z 的，具有常数p ，且t 依( ，) 的第一个变量是强单调的，对任意固定的 k h ，i n t d ( n ( t ( ) ，) ) o ，则( t ( ) ，k ) 不可能在i n t d ( g ( t ( ) ，) ) 是多值的 一般广义非线性集值混合拟变分不等式是h u a n g 2 】引入和研究的，在h u a n g q 中，作者 利用n a d l e r 的方法来证明一般广义非线性集值混合拟变分不等式解的存在性以及收敛性实 际上。根据定理2 3 ，我们便可知道，h u a n g n 的主要定理中涉及到的集值映像实际上是单值 映像因此，在本文第二章中，我们修正了h u a n g 圳的定理4 1 ，并且提供了不同于n a d l e r 的新方法来证明一般广义非线性集值混合拟变分不等式的解的存在性以及收敛性主要利用 s i d d i q i a n s a r i 刮的方法，应用不动点理论来证明解的存在性以及收敛性在构造算法方面， 我们选用了不同于h u a n g q 的n a d l e r 的方法。而是选用了带误差e 。和厶的i s h i k a w a 选 代算法，因此算法则显得简洁，运算量少，迭代次数少而且此算法中的误差项e 。和厶均 与前几项线性无关，而h u a n g i 劭的算法5 1 及k a z m i u 的扰动迭代算法中的误差项分别为 q 。e 。，风 以及e 。，风r 。，它们均有一个或两个误差项与前几项线性相关，因此第二章中构造 的算法更具一般性 在本文的第三章中，我们还是研究了一般广义非线性集值混合拟变分不等式，主要做了两 项工作 我们已经知道，由于l i u 与l i 证明了定理2 3 ，那么根据定理2 3 ，我们就可以知道， h u a n g t w 的主要定理中涉及到的集值映像实际上是单值映像所以第三章的第一项工作就是修 正h u a n g l2 j 的定理4 1 第二部分的工作也是本文最具创新之处就是我们将带误差的i s h i k a w a 迭代算法推广到了集值的情形 注意到，长期以来，人们对一般广义非线性集值混合拟变分不等式( 2 1 ) 的研究大都仪局 限于一步迭代和m a i l n 型迭代算法近几年来，虽然也有人研究过带误差的i s h i k a w a 迭代算 法，但仅仅推广到单值的情形，例如h u a n g 例等，而并没有人推广到集值的情形我们已经 知道h u a n g w 中关于精确解与误差解可以化为利用下列引理h z 的回归不等式 引理h z 2 0 l 设 a 。) 是区间【o ，1 】中的实数列， ) 与 “。) 都是非负实数列而且 是o a 。= 。o ，黯o 0 ，存在自然数n o 使得 竹叶ls ( 1 一 n ) m l + e a 。+ p 。，v n n o ， 3 则有0 茎l i r a 。c o s u p y n ( i i ) 若存在自然数n 1 使得 1 ，n + l 釜( 1 一a n h ，n + a n o - n + k ，v n n 1 ， 其中， d 矗 是非负实数列，满足- qo f n _ o o ) ，则有l i r a 。- s 丝p = 0 从而利用此引理证明了近似解收敛到精确解的目的而现在在集值的情形下无法做到这 并不是说长期以来没有人做，而是说已有的技巧与方法不够用了原先h u a n g n j 的单值映象 情形下的方法与技巧已经失效，必须另辟途径我们在擞的过程中也遇到重重困难，因为按传 统的方法和技巧，希望估计u 。+ 1 与“。的误差。从而证明t 上。是c a u c h y 序列，进而证明札。 的收敛性但在此处显然是行不通的因为按照i s h i k a w a 迭代算法，在估计u 。+ 1 与u 。的误 差时会出现迭代参数o 与。矗一h 这就无法产生h u a n g l 2 l 可利用引理h z 中的回归不等式的 情形，因此原来的技巧就不够用了，也就是我们无法转化为h u a n g t 训所研究的单值映象情形 下的关于近似解与精确解的误差的回归不等式的形式为克服这个困难，本文第三章中发展了 新的方法与技巧，以便让带误差的i s h i k a w a 迭代算法推广到集值的情形 在本文的第四章中，我们研究了一类广义集值拟补问题，即 设h 是一个实h i l b e r t 空间，其内积和范数分别由( ，) 和”l | 表示设 k = u 日；( u ， ) o ，v vek 是h 中闭凸锥k 的极锥，设d 是h 的非空子集且设2 h 是日的非空子集之族 给定非线性单值算子9 ，m ：d - - + h 且( ，) ：日h - h ，广义集值映像k ，t ，v d _ 2 “，我们考虑问题如下：寻求x + ed ，4 t ( x + ) 和矿y ( 矿) ，使得 f9 ( x + ) k ( z + ) ， m ( u + ，u + ) k 4 ( 。+ ) ， 【( ，汀( “+ ，口+ ) 萝( z + ) 一r n ( z + ) ) = 0 其中，k ( o ) = m ( z ) + k 且k + ( z ) = ( m ( x ) + k ) + 在第四章中，我们利用l i 和d i n g l 3 8 j 及n o o r l 3 9 1 的技巧讨论了这类拟补闽题的解的存 在性以及由此算法生成的迭代序列的收敛性我们的结果改进和延拓了先前由一些作者包括 n o o r 2 9 , 3 9 j ，c h a n g 和h u a n g 3 1 1 及l i 和d i n g 3 8 1 得到的相应的结果 我们已经知道为解决变分不等式阿题及其相关的控制问题，已经出现过许多不同的数值 方法，其中，最有效的方法有投影法【4 l j 和它的推广形式，w i e n e r h o p f 方程，辅助原理方 法及罚函数方法等等其中，投影方法所得到的迭代算法是显示算法，也是解变分不等式常用 的方法，是经典的方法，有效的算法在第四章中，我们首先利用投影法解补婀题因此用投 影法解补问题是一种推广的问题，以前没有人做过的 4 第三章n a d l e r 引理与一般广义非线性集值混合拟变分不等式 的迭代算法 1 引言 众所周知，变分不等式理论是当今非线性分析的重要组成部分，此同题广泛地应用于微分 方程。弹性力学中的紧问题，控制问题，经济与运输方面的平衡问题，单层，移动及自由边界 以及其它应用学科等方面近几年来，变分不等式理论已经在很多不同方向上得到推广各种 拟( 隐) 变分不等式和拟( 补) 问题是这些古典问题的很重要的推广经典变分不等式和补问题 的另一种和有用的推广是一般广义非线性集值混合拟变分不等式和补问题 最近，h u a n g 2 】引入和研究了一类新的广义非线性集值混合拟变分不等式。并发展了寻 求近似解的迭代算法，且证明了这类广义非线性集值混合拟变分不等式解的存在性以及由此算 法生成的近似解序列的收敛性 然而，另一方面，l i u 与l i t “j 证明了如下定理： 定理1 1 。叫设( ) 依第一个变量是l i p s c h i t z 连续的，且具有常数芦，如果t 是 h l i p s c h i t z 的，具有常数p ，且t 依( ，) 的第一个变量是强单调的，对任意固定的k h ，i n t d ( n ( t ( ) ，) ) 0 ，则( t ( t ) ，k ) 不可能在i n t d ( n ( t ( ) ，) ) 是多值的 根据定理1 1 ，我们便可知道h u a n g l 2 1 的主要定理中渗及到的集值映象实质上是单值映 象本文，继续研究由h u a n g 2 j 引入的广义非线性集值混合拟变分不等式应用h i l b e r t 空 间内极大单调映象的预解算子的性质，已熟知，广义非线性集值混合拟变分不等式等价于不动 点问题利用这一关系，我们建立了寻求近似解的迭代算法，并且给出了由此算法产生的迭代 序列的收敛性本文中的结果改进和发展了这一领域中原先的结果 注意到，长期以来，人们对一般广义非线性集值混合拟变分不等式( 2 1 ) 的研究大都仅局 限于一步迭代和m a n n 型迭代算法近几年来，虽然也有入研究过带误差的i s h i k a w a 迭代算 法，但仅仅推广到单值的情形，例如h u a n gp j 等，而并没有人推广到集值的情形我们已经 知道h u a n g t q 中关于精确解与误差解可以化为利用下列引理h z 的回归不等式 引理h z l 2 0 j 设 a 。 是区间1 0 , 1 中的实数列， 与 p 。 都是非负实数列，而且 芒oa n = 0 ( 3 ，。o o ：o 脚 0 ，存在自然数伽使得 1 ，n + 1 0 ，称由 下式定义的映象，：日。h ： ( z ) = ( + p m ) 。1 ( ) ，v x 日 为m 的预解算子。其中，为矗上的恒等映象 定义2 2 映象g ：日_ h 称为 ( i ) j 一强单调的，如果存在常数6 0 ，使得 国( u 1 ) g ( u 2 ) ，1 一u 2 ) 占i | 札l 一2 1 1 2 ，v u i 日，i = 1 ，2 ( i i ) 口一l i p s c h i t z 连续的，如果存在常数口 0 ，使得 | 1 9 ( 札1 ) 一g ( 2 ) | | 盯i i u l 一u 2 | | ，v u , h ，i = 1 ，2 定义2 3 n ：hxh _ h 称为依笫一个变量是卢l i p s c h i t z 连续的，如果存在常数 卢 0 使得 l l n ( u l ，。) 一n ( 珏2 ，) u 墨零l l “1 一t 毛2 h ，v t 王t h ，i = l ，2 ， 同样的方法，我们可以定义( ，- ) 依第二个变量的三i p s c h i t z 连续性 定义2 4 集值映象s ：h - 4c b ( h ) 称为日一l i p s c h i t z 连续的，如果程在常数q 0 ， 使得 日( s ( 让1 ) ，s ( 仙2 ) ) 叩l f u l 一札2 f l ，v u 。h ，i = 1 ，2 ， 其中，纾“) 是c b ( h ) 上的h a u s d o r f f 距离，虽c b ( h ) 是抒鹩菲空有界镯子集之族 1 6 定义2 5 n ：h 打_ 日，s ，t ：日+ 2 日，则称n 关于s 与t 是混合强单调 的，如果存在常数 0 对v u i h ，t = i ，2 ，有 ( g ( x l ，y 1 ) 一n ( x 2 ，y 2 ) ，札1 一u 2 ) 口i f u l 一“2 1 1 2 ，v 吼s ( u ) ，玑t ( 啦) 为证明本章主要结果，我们需要下列引理 引理2 1 。【1 9 】( u ，可，z ) 是同题( 2 1 ) 的解当且仅当( u ，茁，玑z ) 满足关系式 p ( u ) = 垮+ 4 b ( ) 一p n ( x ，y ) ) ， 其中，p 0 是常数，j ( ，。) = ( i + p m ( ，z ) ) - 1 并且，是h 上的恒等映象 引理2 2 1 1 7 】设m ：日- + 2 对是极大单调映象，则m 的预解算子口：日_ h 是非 扩张的+ 即是 l i l ，尹( z ) 一t ， ) l 墨l l z y l l ，v x ，y h 。 引理2 3 【1b 】设e 是一个完备距离空间，t ：e _ + c b ( e ) 是一个集值映象，则对任意 的e 0 和缸，u e ，卫t ( 乱) ，存在g t ( v ) 使得 d ( z ，y ) 墨( 1 + e ) h ( t ( 乱) ，t ( ”) ) ， 其中，日( ，) 是c b ( e ) 上h a u s d o r f f 距离，且c b ( e ) 是e 的非空有界闭子集之族 3 迭代算法 设p ：h _ 口，：日xh 叶日，s ，正g ：日_ c b ( h ) ，其中c b ( h ) 是h 的非空 有界阕子集之族对给定的钍o h ，取瓢s ( 啦e ) ，o o t g ) 和z q e g 扛o ) ，设 札1 = “o p ( 札o ) + 铲“扫( u o ) 一p n ( x o ，o ) ) ， 由于。oes 沁o ) c b ( h ) ，y o t ( u o ) c b ( h ) 和劫eg ( u o ) c b ( h ) ，利用引理2 3 ， 存在。1 s ( u 1 ) ，y i t ( u 1 ) 和z 1 g ( 1 ) ，使得 z o 一。1 8 ( 1 + 1 ) h ( s ( u o ) ，s ( u 1 ) ) y o y 1 | | s ( 1 + 1 ) h ( t ( u o ) ，t ( u 1 ) ) z o 一乱l l ( 1 + 1 ) h ( g ( u o ) ，g ( q ) ) 其中，h ( - ，) 是c b ( h ) 上的h a u s d o r f f 距离，通过归纳法，我们得到问题( 2 1 ) 的如下算 法： 算法3 1 。假设p ：日斗日，n ：h h _ 争日并且s ，t ，g ：矗一c b ( h ) 对给定的 oe 日，。o s ( 让o ) ，y o t ( u o ) 和z 0 g ( o ) ，由以下选代格式计算 札。) ， 盘n ) ， ) 和 ) ： 让。+ l = 。一p ( t n ) + ( ，“) 如( u 。) 一p n ( z n ，聃。) ) ， 1 i z 。一。+ l l f5 ( 1 + ( 礼+ 1 ) - f ) h ( s ( u 。) ，s ( 让。十1 ) ) ，卫。s ( 钍。) ， l i 鲰一+ 1 l ls ( 1 + b + 1 ) _ ) 日( t 托。) ，t 托。+ 1 ) ) ，t ( 珏n ) ， | i 磊；一岛件l | | 曼( 1 + ( + 1 ) 一1 ) 日( g ( 仳。) ，g ( t h + 1 ) ) ，z n g ( u n ) ， 1 7 4 存在和收敛性定理 定理4 1 设( ，) 依第一十变量和第二十变量都是l i p s c h i t z 连续的，且分别具有常 数芦，亭设s ，e g ：h _ c b ( h ) 都是日一工i p s c h i t z ，连续的，且分别具常数叩7 和8 设 p ：日一h 是d 一强单调的和盯一l _ l p s c h i t z 连续的，n 关于s ，了是o t 一混合强单谓的假 设存在常数a 0 及p 0 使得 而且 ，。( z ) t 。1 ( z ) l l 刈z 一训l ，妇，y ，z h ， ( 4 1 ) i p - 趔 ( 卢卵+ f 7 ) 七( 2 一七) ，七= s + 2 、，_ 二1 万：f 孑，七 1 ， 、 则由算法3 1 生成的选代序列( ， 。) ， 铷 和 g 。 分别强收敛于矿，z + ，y 和矿且 ( u + ，z ，旷，矿) 是问题( 21 ) 的解 证明：由算按3 1 ，( 4 1 ) 以及引理2 2 有 i l 。+ 1 一u 。i i = 0 “。一“。l 一( p ( u 。) 一p ( u 。一i ) ) + j p 埘【_ 4 卅0 ( t k ) 一p n ( x 。，g 。) ) 一o 。“。扣( 一1 ) 一p n ( x , “一1 ) ) | | 茎l l “。一“。一l 一( p ( u 。) 一p ( u 。一- ) ) 0 + | | j 卢埘【卅( 芦( 札。) 一卢( z 。，可。) ) 口【_ 。( p ( u 。一1 ) 一p n ( x 。“y n 一1 ) ) | | 茎i i 珏。一一1 一( “。) 一p ( 札。一1 ) ) i + l l j 尹，2 - ( p ( t h 1 ) 一p ( z 。一l ，钋。一1 ) ) 一j 笋+ ，7 1 ( 性。1 ) 一p n ( x 。一1 ，* ：一1 ) ) + “j ，7 n 0 ( 。) 一p n ( x 。，玑) ) 一。”“( p ( u 。一1 ) 一p _ ( z 。1 l ，0 h 1 ) ) | | i | ，一t h l 一白( 让。) 一p ( u 。1 ) ) i i + a l i z l l + | | p ( u 。) 一p n ( x 。，玑。) 一( “。一1 ) 一p n ( x 。一l ，y - z ) ) 2 | | u 。一。一- 一( p ( t k ) 一p ( u 。一1 ) ) l i + a l4 t z n l + l u 。一u 。一1 一p ( ( z 。，肼。) 一( 卫。一，g 。一1 ) ) 1 l 利用p 的l i p s c h i t z 连续性和强单调性，得到 i i “。一让。一l 一( p ( 。) 一p ( “。1 ) ) 1 1 2 ( 1 2 d + 2 ) l i u 。一u 。一- i | 2 而 i i u 。一t 一l p ( x ( x 。，玑，) 一n ( x 。一l ，f 。一1 ) ) l f 2 = i l u 。一t t u - 1 i 【2 2 p ( u 。一。一hn ( x 。，y 。) 一( z 。1 ，g 。1 ) ) + p 2 i i n ( x 。，) 一( z 。l ，蜥一1 ) 1 1 2 ( 4 4 ) ( 45 ) 由于依第一十，第二十变量的l i p s c h i t z 连续性以及s ，t 白勺h l i p s c h i t z 连续性。故有 j i 0 ”) 一扣n 一- ，一- ) 0 i i n ( x 。，9 。) 一n ( x 一，) | | 1 8 ( 4 3 ) + i i ( t i ，) 一( z 。一l ，鼽一l ) l l 卢f | z n q 。一- | | + 引i 聃。一弘。一lj i 羔卢( 1 + n 一1 ) 日( s 0 扣1 ) ，s ( u 。) ) + f ( 1 十 - - 1 ) h ( ： 扣。一1 ) ，t ( u 。) ) 声田( 1 十n _ 1 ) 1 1 世。一l 一缸。”+ - y ( t + ，7 , - t ) 1 i 。一l 一“。1 1 = ( 卢口十f 7 ) ( 1 + n - i ) f “。一1 一“。f( 4 6 ) 科用( 45 ) ，( 4 们以及n 关千s ，t 是。一棍舍单诵性，碍蓟 i u 。一1 一o ( n ( z 。，) 一( z ，1 ，一1 ) ) i 2 s 【l 一2 印+ 矿( 声可十f 们。( 1 + n 一1 ) 2 孙u 。一u 。一1 1 1 2( 4 _ 7 ) 车f 用( 4 2 ) ，( 4 4 ) ，( 4 7 ) 以及g 的s l i p s c h i t z 连续性有 0 “n + l u 。l | ( 2 ，f = 1 苫：f 万0 u 。一u 。一。| _ + ( 1 + n1 ) f = ( g ( 。) ，g ( ；一1 ) ) + 万j 面巧丽i 葡丽再可一一。1 l ( 2 x i - 2 5 + a 2 + a s ( 1 + n 一1 ) + 1 2 p + 矿( f 聊+ 丁) 2 ( 1 + n - 1 ) 2 ) i i “。一u 。一1 i f 8 。1 1 u 。一1 i( 4 8 ) 其中，日。；a s ( i + n 一) + 2 、，i r = 1 百；孑+ 、f 二i ；i _ = i j 谣丽j 丽j 研 设 。_。一 日= k + 1 2 肚4 - 矿( 砌+ 聊) 2 其中，= a s 十2 4 y l 孺+ q z ，我们知道“r0 由( 42 ) 知0 0 使得对v z ，y ，z h ， | | ，( ，。( z ) 一z y ( ，”( z ) | | a i i z 一引l 目 p 一删i ，y ( 1 一) + ( 卢2 叩2 一f 2 7 2 ) ( 2 一) ，一y 叩卢 p ，y 0 使得 i i 掣0 8 ( z ) 一( z ) i i 刈茁一训，比，y ，z h ，( 5 1 ) 而目 i p a ( 卢7 7 + 7 型a 2 一( 口 + f 7 ) 2 女( 2 一) ，l ：a s 宰；蒡2 5 - 弼i - 0 - 2 1 ， ( 曩2 ) ，=+ 2 1 一， ， 。 2 0 假设序列 a 。) ， 风 满足以下条件z( i ) 0 a 。，风 0 是任给正数对给定的铭o h ，取芏o s ( 髓o ) ，y o t ( u o ) 和；g o g ( u o ) ，令 v o = ( 1 一风) 札o + 岛 u o 一芦( u o ) + z y ( 。，”( u o ) 一p n ( x o ，掣o ) ) 】， 取而s ( o ) ，而t ( v t ) ) 和丽c ( v o ) ，令 u l = ( 1 一a 8 ) “o + a o v o p ( v o ) + j ( 矧( ) 一趔( 丽，_ ) ) ， 由于x o s ( u o ) c b ( h ) ，y o t ( u o ) c b ( h ) 和z o g ( u o ) c b ( h ) ，利用引理2 3 ， 存在x l s ( u 1 ) ，g l t ( u 1 ) 和z l g ( 珏1 ) ，使得 i x o z z l is ( 1 + e ) h ( s ( u o ) ，s ( u 1 ) ) ， l 旧。一玑i is ( 1 + e ) h ( t ( u o ) ，t ( 让- ) ) ， | | 劫一z 1 i ( 1 十e ) h ( c ( u o ) ，g ( 让1 ) ) ， 令 v l = ( 1 一卢) “+ 卢1 m l p ( u ) + z ( + m b ( u 1 ) 一p n ( x l ，。) ) ， 由于葡s ( v o ) c b ( h ) ，丽t ( v o ) c b ( h ) 和丽g ( v o ) c b ( h ) ，利甩引理2 3 存在瓦s ( v 1 ) c b ( h ) ，酊t ( v 1 ) c b ( h ) 和石a ( v 1 ) c b ( h ) ，使得 j 石两| | ( 1 + e ) h ( s ( v o ) ，s 扣1 ) ) 丽一而1 ls ( 1 + e ) h ( t ( v o ) ，丁( 口) ) 丽一百i is ( 1 + e ) h ( g ( v o ) ，g ( 廿- ) ) 令 ? 9 2 = ( 1 a 1 ) u l + o z l 一1 一p 0 1 ) + ( ，玎0 1 ) 一p n ( 蕾7 ，而) ) 】， 其中日( ) 是c b ( h ) 上的h a u s d o r f r 距离。通过归纳法，我们得到序列 u 。) ， 2 。) ， 铷) ， ) 和 瓦) 甄) 磊) ： u 。= ( 1 艮) t k + 艮【u 。一p ( 让。) + j ( ，“) ( p ( u 。) 一p n ( x 。，。) ) 1 ， u 。+ l = ( 1 0 1 。) 。+ n 。【 。一p ( 。) + 掣( ，石) ( p ( 珥。) 一p ( 曩i ，甄) ) ， f f 。n z 。+ 1 | | ( 1 + e ) h ( s ( u 。) ，s ( u 。+ 1 ) ) ，x 。s ( 钆。) ， i l g 。一y n + l l l ( 1 + e ) h ( t ( u 。) ，t ( 乱。+ 1 ) ) ，y 。t ( 乜。) ， 1 1 4 。一z n + l | | ( 1 + e ) h ( g ( u 。) ，g ( 札。+ 1 ) ) ，z n g ( 。) ， l l j 石一面i 再| | ( 1 + e ) h ( s ( v 。) ，s ( 珥件1 ) ) ，j