（基础数学专业论文）grothendieck+rings+and+grothendieck+moudles+of+ableian+tensor+category.pdf

a b s t r a c t t l l eg r o t h e n d i e c kg r o u pp l a y sa l li m p o r t a n tr o l ei nm a n yf i e l d s ，s u c ha sa l g e b r a ， n u m b e rt h e o r ya n da l g e b r a i cg e o m e t r y i tm a yh a v ear i n gs t r u c t u r ei n d u c e db y t e n s o rp r o d u c ta n di sc a l l e dag r o t h e n d i e c kr i n g h o w e v e ri nm a n yi n t e r e s t i n g c a s e s ，w en e e dt od e f i n eb o t hg r o t h e n d i e c kr i n g sa n dg r o t h e n d i e c km o d u l e s i n t h i sp a p e rw ed e f i n eg r o t h e n d i e c kt i n g sa n dg r o t h e n d i e c km o d u l e sf o rg e n e r a l a b e l i a nt e n s o rc a t e g o r y d e f i n et o rf u n c t o r sa n dg i v es o m eb a s i cp r o p e r t i e so f g r o t h e n d i e c kr i n g sa n dg r o t h e n d i e c km o d u l e s 首都师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导 下，独立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内 容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品 成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以 明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名；乏签习 日期：年月 日 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的 规定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机 构送交论文的电子版和纸质版，有权将学位论文用于非赢利 目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将 学位论文的内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论文 的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名： 幺汀 日期：髀乡月日 a c k n o w l e d g e m e n t s m yf i r s tt h a n k sg ot om y t u t o rl ik e z h e n g ，f r o mw h o mih a v el e a r n e dn o to n l y h o wt od ot h er e s e a r c hb u ta l s oh o wt ob eam a n w i t h o u th i sh e l p ，ic a l ln o t f i n i s hm yp a p e r t h e nit h a n km yp a r e n t sf o rt h e i re n d l e s sa n ds e l f l e s sl o v et om e t h ef i n a lt h a n ki st om yf r i e n d s i ti sag r e a tp l e a s u r et ol i v ew i t ht h e mt o g e t h e r f o rt h r e ey e a r s 0 i n t r o d u c t i o n t h eg r o t h e n d i e c kg r o u p ( i e k 0g r o u p ) p l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nm a n yf i e l d s ， s u c ha sa l g e b r a ，n u m b e rt h e o r ya n da l g e b r a i tg e o m e t r y i tm a yh a v ear i n gs t r u c - t u r ei fs o m ek i n do ft e n s o rp r o d u c te x i s t s i nt h i sc a s ei ti sc a l l e dag r o t h e n d i e c k r i n g t h ea i mo ft h i sp a p e ri st os e tu pt h ed e f i n i t i o n sa n ds o m eb a s i cf a c t s a b o u tg r o t h e n d i e c kr i n g sa n dg r o t h e n d i e c km o d u l e sf o rs o m er a t h e rg e n e r a lc a s e ， n a m e l ya b e l i a nt e n s o rc a t e g o r i e s am a j o rd i m c u l t ya p p e a r sb e c a u s ei nm a n yi n t e r e s t i n gc a s e s t o rf u n c t o r sc a n n o tb ed e f i n e du s i n gp r o j e c t i v er e s o l u t i o n s f o re x a m p l e w h e nci st h ec a t e g o r y o fc o h e r e n ts h e a v e so v e ra p r o j e c t i v ev a r i e t yo fd i m e n s i o n 0 t h e r ei sn on o n z e r o p r o j e c t i v e sa ta l l ( s e er e m a r k2 9b e l o w ) o nt h eo t h e rh a n d ，i nm a n yi n t e r e s t i n g c a s e st h e r ea r ee n o u g hf l a to b j e c t s h e n c ew ec a ns e tu pt o tf u n c t o r su s i n gf l a t r e s o l u t i o n s b u tw em a yn o td ot h i su s i n gas t a n d a r da r g u m e n ti nh o m o l o g i c a l a l g e b r a t h i sm a k e st h ej o bn o n - t r i v i a l i th a sb e e np o i n t e do u tt h a ti ng e n e r a lc a s ew en e e dt od e f i n eb o t hg r o t h e n d i e c k r i n g sa n dg r o t h e n d i e c km o d u l e s ，w h i c hp l a yd i f f e r e n tr o l e sa n dn o n eo ft h e mc a n b es u p e r s e d e db yt h eo t h e r ( s e e 【7 ，p g - p 1 5 1 ) t h i si su s u a l l yt h ec a s ew h e nci sn o t s m o o t h ( f o re x a m p l e ，w h e nci st h ec a t e g o r yo fc o h e r e n ts h e a v e so v e ras i n g u l a r v a r i e t y ) i nt h i sp a p e rw ef i r s ts e tu pt o rf u n c t o r sf o ra b e l i a nt e n s o rc a t e g o r i e sw i t h e n o u g hf l a t s t h e nw ed e f i n eg r o t h e n d i e c kr i n g sa n dg r o t h e n d i e c km o d u l e s ，a n d p r o v es o m eb a s i cf a c t sa b o u tg r o t h e n d i e c kr i n g sa n dg r o t h e n d i e c km o d u l e sw h i c h a r em o r eo rl e s sk n o w ni ns o m es p e c i a lc a s e s w bc o l l e c tt h e mt o g e t h e ra sf o l l o w s t h e o r e m l e t2 【b ea na b e l i a nt e n s o rc a t e g o r yw i t he n o u g hf l a t s l e t2 【fc2 【 b et h es u b c a t e g o r yo ff l a to b j e c t s ，a n d 巍黝c2 tb et h es u b c a t e g o r yo fo b j e c t s w h i c hh a v ef i n i t ef l a tr e s o l u t i o n s l e t ( 级) b et h eg r o t h e n d i e c kg r o u po f2 l ，a n d g r ( 2 1 ) b et h eg r o t h e n d i e c kg r o u po f 嘶 i 1t h et e n s o rp r o d u c ti n d u c e sac a n o n i c a lr i n gs t r u c t u r eo ng r ( 疆) ，a n d ac a n o n i c a lg r ( 疆) 一m o d u l es t r u c t u r eo nk o ( 2 【) f u r t h e r m o r e ，t h e r ei sa c a n o n i c a lg r ( 疆) 一m o d u l eh o m o m o r p h i s mg r ( 2 1 ) _ j ( 级) ，w h i c hi sa ni s o - 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l e m m a ，s e e 【6 ，p 1 0 4 - 1 0 5 ) ：ci sa na b e l i a nc a t e g o r y , ( 1 2 ) i sa nc o m m u t a t i v ed i a g r a mi nc 5 ( 1 2 ) w h o s er o w sa n dc o l u m n sa r ee x a c t ，t h e nfi sm o n o m o r p h i s mi fa n do n l yi fgi s m o n o m o r p h i s m p r o p o s i t i o n1 6 ( s e e 【6 ，p 1 0 3 - 1 叫) ：l e tcb ea na b e l i a nc a t e g o r y 1 ) l e t0 _ a 三b 三c _ 0 b ea l le x a c ts e q u e n c e 专：d _ ci sa na r b i t r a r y m o r p h i s m ，( p p ：p d ，q ：p b ) i sap u l l - b a c ko f 妙a n d ，z ：a _ p i s i n d u c e db y0 ：a _ da n d 妒：a _ b ，t h e n0 _ a 三p 三d _ 0i se x a c t 2 ) l e t0 _ a 三b 三c 一0b ea ne x a c ts e q u e n c e ，：d _ bi sa ne p i m o r - p h i s m ，( p ，p ：p _ d ，q ：p _ b ) i sap u l l - b a c ko f 妒a n d ，f = 妒o ，t h e n 0 _ p 三d 三c _ 0i se 瑚砒 p r o p o s i t i o n1 7 ：l e tc b ea na b e f i a nc a t e g o r y , 妒：c ba n d 妒：a ba r e t w oe p i m o r p h i s m s ( p ，p ，q ) i sp u l l - b a c ko f 妒，砂r ：d pi sa l le p i m o r p h i s m t = p o7 ，= qor z ：k e r ( t ) _ k e r ( 妒) i st h ec a n o n i c a lm o r p h i s m t h e nli sa n e p i m o r p h i s m 6 k e r ( 1 i v ) 口 p ( 1 3 ) l e tkb et h ek e r 似) b yp r o p o s i t i o n l 7 ( 1 ) ，0 一k 二p 三c 0i se x a c t l e t ( q ，p ，：q _ k ，q 7 ：q _ d ) b e ap u l l - b a c ko f r a n ds t h u s i sa ne p i m o r p h i s m b yp r o p o s i t i o n1 72 ) ，qi st h ek e r n e lo f ，b ys n a k el e m m a ，l ：k e r ( t ) _ k e r ( 1 i o ) i sa ne p i m o r p h i s m q e d 2 a b e l i a nt e n s o rc a t e g o r y d e f i n i t i o n2 1 ( t e n s o rc a t e g o r y ) ：at e n s o rc a t e g o r yi sa c a t e g o r ycw i t haf u n c t o r o ：c c _ ca n df u n c t o r i a li s o m o r p h i s m s q x 。y , z ：xo ( yoz ) _ ( xoy ) oz ， t x y ：x y - yox ， s a t i s f y i n gt h ef o l l o w i n gi d e n t i t i e s ： 丁2 = i d o t x o y , z ，w c t x ，y , z o w2 ( q x ，y , zoi d w ) o t x ，y o z ，w ( i d xoo t y , z ，w ) ， ( 7 - x ，zoi d y ) a x ，z ，y ( i d xor v , z ) = o z x ，y , z r x o y , z q x ，y , z t h es e c o n da n dt h i r di d e n t i t i e se x p r e s st h ec o m m u t a t i v i t yo ft h ef a m o u sp e n - t a g o na n dh e x a g o nd i a g r a m s c o r o l l a r y2 2 ：l e tcb eat e n s o rc a t e g o r y , t h e n ( 1 ) ( ，70 ，) ( 9 7 0g ) = ( ，70 9 7 ) 0 ( ，og ) ( 2 ) i d a 圆i d b = i d a 圆b p r o o f ：t h e ya r et h ec o r o l l a r i e so ft h ep r o p e r t i e so faf u n c t o r 7 d e f i n i t i o n2 3 ( a b e l i a nt e n s o rc a t e g o r y ) ：l e tcb eat e n s o rc a t e g o r y , v a o b c ， d e f i n e a o ：c c b 卜一a o b if 、 l ，i d ao ， ii d 卜一a od a 0i so b v i o u s l yaf u n c t o r a na b e l i a nc a t e g o r yci sc a l l e da na b e l i a nt e n s o r c a t e g o r yi fi ti sa l s oat e n s o rc a t e g o r ya n dt h e t e n s o rp r o d u c ts a t i s f i e st h ef o l l o w i n g p r o p e r t y ： ( 宰) f o ra n yo b j e c ta o b ( c ) ，t h ef u n c t o ra o ：c + c i sa d d i t i v ea n dr i g h t e x a c t b e c a u s eoi sc o m m u t a t i v e ，0 ai sa d d i t i v ea n dr i g h te x a c ti fa oi sa d d i t i v ea n d r 培h te x a c t c o r o l l a r y2 4 ：l e t 疆b ea na b e l i a nt e n s o rc a t e g o r y , a ，b ，c 圣o b 僻) t h e n a ( boc ) = ( aob ) o ( aog ) f u r t h e r m o r e ，w eh a v ea 0 = 0 p r o o f ：p r o o fi se a s ya n di sl e f tt ot h er e a d e r d e f i n i t i o n2 5 ( f l a to b j e c t ) ：l e t 疆b ea na b e l i a nt e n s o rc a t e g o r y , a o b ( 2 【) i s c a l l e df l a ti fa i se x a c t c o r o l l a r y2 6 ：l e t 疆b ea na b e l i a nt e n s o rc a t e g o r y , i fa ，b o b ( 2 ) a r ef l a t ，s o a r ea o b a n da b p r o o f ：p r o o fi se a s ya n di sl e f tt ot h er e a d e r l e m m a2 7 ：l e t 疆b ea na b e l i a nt e n s o rc a t e g o r y 0 一a _ b _ c 一0i sa n e x a c ts e q u e n c ei n 吼，w h e r eci sf l a t ，t h e n 1 ) f o ra n yd 疆，0 _ d0a _ d 固b _ d 圆c _ 0 i se x a c t 2 ) ai sf l a ti f a n do n l yi f b i sf l a t p r o o f ：1 ) b e c a u s e 疆h a se n o u g hf l a t s ，t h e r ei sa ne p i m o r p h i s m ，：f _ df o r 8 s o m ef l a tf l e tk = k e r ( f ) t h e n r o w sa n dc o l u m n s w eh a v eac o m m u t a t i v ed i a g r a mw i t he x a c t k a 叫k 圆拶一k 固c 一0 上上上叮 0 _ foa _ f b 叫f c _ 0 上上上 d0a j _ _ + do b 一d 口_ 0 上上 nn ( 2 1 ) s i n c eci sf l a t ，盯i sam o n o m o r p h i s m b ys n a k el e m m a ( o r9 - l e m m a ) ，w es e e7 - i sam o n o m o r p h i s m 2 ) f o ra n ym o n o m o r p h i s md _ e ，b y1 ) w eh a v eac o m m u t a t i v ed i a g r a mw i t h e x a c tr o w s 0 - dqa d0b 叫doc _ 0 上王，l a上仃 ( 2 2 ) 0 _ e 固a 一e 0b 叫e c o b e c a u s ec i sf l a t s i n c e 盯i si n j e c t i v e ， o n l yi f i si n j e c t i v e t h i ss h o w st h a t b ys n a k el e m m aw es e e 入i si n j e c t i v ei fa n d ai sf l a ti fa n do n l yi fbi sf l a t q e d f r o mn o wo n w ea l w a y ss u p p o s et h a tt h ea b e l i a nt e n s o rc a t e g o r ych a se n o u g h f l a t s ，i e v a o b c ，t h e r ee x i s t saf l a to b j e c tb o b c ，s u c ht h a tt h e r ee x i s t sa e p i m o r p h i s mb a d e f i n i t i o n2 8 ：s i m i l a rt ot h em e t h o dc o n s t r u c t i n gp r o j e c t i v er e s o l u t i o n w e c a l lc o n s t r u c tf l a tr e s o l u t i o no fa n ya o b ( 疆) e i t h e r i fah a saf l a tr e s o l u t i o n 一万一矗一a _ 0s u c ht h a t 兀= 0f o rs o m en ，t h e nw es a yah a sf i n i t e 丑a t 出m e n s i o na n di nt h i sc a s et h em i n i m a l 佗s u c ht h a tt h e r ei saf l a tr e s o l u t i o n o faw i t h 只= 0i sc a l l e dt h ef l a td i m e n s i o no fa ，d e n o t e db yf d i m ( a 1 i fe v e r y o b j e c to f2 lh a sf i n i t ef l a td i m e n s i o n w es a y 疆i ss m o o t h r e m a r k2 9 ：i nm a n yc a s e s ，w ed o n th a v ee n o u g hp r o j e c t i v e s ，b u tw eh a v e e n o u g hf i a t s f o re x a m p l e ，xi saq u a s ip r o j e c t i v ev a r i e t yo v e rk ，c o i ) xi st h e 9 c a t e g o r yo fc o h e r e n ts h e a v e so nx w eh a v en oe n o u g hp r o j e c t i v e sb u tw ea l w a y s h a v ee n o u g hf l a t s i na d d i t i o n ，w h e nxi ss m o o t h ，t h e nc o b xi ss m o o t h l e m m a2 1 0 ：l e t 吼b ea j la b e l i a nt e n s o rc a t e g o r y ，：a bi sa ne p i m o r p h i s m i n 嘎l e ta ( r e s p b ) b eaf l a tr e s o l u t i o no fa (