（应用数学专业论文）不确定线性系统基于观测器的鲁棒控制研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 本论文主要基于l y a p u n o v 稳定性理论，运用线性矩阵不等式( l m i ) 方法 研究不确定线性系统的基于观测器的鲁棒控制问题，主要内容如下： 首先，证明文 2 8 中一个主要定理。文 2 8 针对如下系统 z o ) ；g 4 + a a ( t ) ) x ( t ) + ( b + a b ( t ) ) u ( t ) y p ) t c x ( t ) + d u ( t ) 设计基于观测器的鲁棒控制器的过程中，给出了相应闭环系统指数稳定的充 分条件，但未提供此定理的证明，该定理的详细证明将在本文给出。 其次，研究_ 类在系统矩阵、输入矩阵以及输出矩阵中均含有不确定项 的不确定线性系统基于观测器的鲁棒控制问题。其不确定性由范数有界不确 定性描述。本部分采用如下形式的系统模型 x ( t ) = 似+ 4 0 ) 弦o ) + p + b p ) ) l l o ) j ，p ) = ( c + a c ( t ) ) x ( t ) + d u ( t ) 通过应用l y a p u n o v 稳定性理论和线性矩阵不等式技术，给出使闭环系统指数 稳定的充分条件。 关键词基于观测器的控制：鲁棒控制：线性矩阵不等式：指数稳定： l y a p u n o v 稳定性理论 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 a b s t r a c t b a s e do nl y a p u n o vs t a b i l i t y t h e o r ya n dl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) a p p r o a c h ，t h eo b s e r v e r - b a s e dc o n t r o lf o rac l a s so fu n c e r t a i nl i n e a rs y s t e m si s c o n s i d e r e d t h em a i nr e s u l t sa r el i s t e da sf o l l o w s ： f i r s t l y , am a i nr e s u l ti n 【2 8 】i sp r o v e d i n 【2 8 ，f o rt h ef o l l o w i n gs y s t e m x ( t ) 一o + 4 0 ) 弦( f ) + ( b + a 8 0 ) ) 口( f ) y o ) = c x ( t ) + d u ( t ) t h ea u t h o rd e s i g n e dt h eo b s e r v e r - b a s e dc o n t r o l l e r as u f f i c i e n tc o n d i t i o n o f e x p o n e n t i a ls t a b i l i z a b i l i t yf o rt h es y s t e mw a sp r e s e n t e d h o w e v e r , t h ep r o o fo f t h em a i nr e s u l tf a i l e dt ob e p r o v i d e d t h ed e t a i l e d p r o o fi sg i v e ni n t h e d i s s e r t a t i o n s e c o n d l y ，t h eo b s e r v e r b a s e dc o n t r o lf o rac l a s so fu n c e r t a i nl i n e a rs y s t e m s i ss t u d i e d t h ep a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e sa r em o d e l e da san o r m b o u n df o r m c o n s i d e rt h ef o l l o w i n gu n c e r t a i ns y s t e m s ： x ( t ) 一似+ 4 p ) 弦p ) + p + b o ) ) 以o ) y ( t ) ；( c + a c ( t ) ) x ( t ) + d u ( t ) b yu s i n gl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r ya n dl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) a p p r o a c h ， as u f f i c i e n tc o n d i t i o no fe x p o n e n t i a ls t a b i l i z a b i l i t yf o rt h es y s t e m si sp r o p o s e d k e yw o r d so b s e r v e r - b a s e dc o n t r o l ；r o b u s tc o n t r o l ；l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ； e x p o n e n t i a ls t a b i l i z a t i o n ；l y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y 西南交通大学四南父迥大罕 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇 编本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密函使用本授权书。 ( 请在以上方框内打“4 ) 学位论文作者签名：丁司掺 日期：如呢i i 指导老师签名：乡觚 日期： 形否f2 西南交通大学学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研究工作所 得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中作了明确的说明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本学位论文的主要创新点如下： 1 证明文 2 8 中一个主要结论。文 2 8 针对系统矩阵和输入矩阵中含有不 确定项的不确定线性系统设计基于观测器的鲁棒控制器的过程中，给出了相应 闭环系统指数稳定的充分条件，但未提供此结论的证明，本文给出了该结论的 详细证明； 2 采用l y a p u n o v 稳定性理论和线性矩阵不等式( l m i ) 处理方法，研究一类 在系统矩阵、输入矩阵以及输出矩阵中含有不确定项的不确定线性系统的基于 观测器的鲁棒控制问题。通过构造观测器，并利用观测器状态进行反馈控制，设计 了基于观测器的鲁棒控制器，给出了使闭环系统指数稳定的充分条件。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 1 1 系统不确定性描述 第1 章绪论 控制系统是使控制对象按照预期目标运行的系统。大部分的控制系统是 基于反馈原理进行设计的。反馈控制已经广泛地用于工业控制、航空航天和 经济管理等各个领域。经典的反馈控制系统设计需要被控对象的精确模型( 包 括模型的结构和其中所含的参数) ，但这在工程实际中往往是很难办到的。由 于被控对象的复杂性，常常要用低阶的线性定常集中参数模型来代替实际的 高阶、非线性甚至是时变和分布参数的系统，这样势必要引入系统模型的不 确定性。另外，除了数学模型不精确外，在控制系统的运行过程中还会出现 环境变化、元件老化等问题。事实上，在实际控制问题中，不确定性是普遍 存在的，控制系统设计必须考虑不确定性带来的影响。 为便于研究，通常要用一定的数学模型对系统不确定性进行描述。在控 制系统中，常见的不确定模型有以下几种【1 j ： ( 1 ) 随机模型。这种不确定性可以用某种随机分布来描述( 如高斯正态分 布) ，这种模型在随机控制中用到。 ( 2 ) 统计模型。这种模型与上一种很接近，两者的区别在于统计模型是建 立在抽样实验的基础上的。由于实验的次数和样本的长度都受到限制，而且 实验过程往往会受到随机干扰的影响，只能得到不确定因素的估计值及其统 计特性。自适应控制是这种不确定系统的最主要的控制方法。 ( 3 ) 模糊模型。这种模型通常可用来描述由自然语言而产生的不确定性。 描述这种不确定性的方法一般是定义某个集合，而假设不确定因素以某种隶 属度属于该集合。基于模糊不确定性模型而产生的模糊控制理论己成为控制 理论中相对独立的一个分支而受到广泛的重视。 ( 4 ) 未知有界模型。这种模型对不确定性的描述是相当“宽松”的，这里 并不需要对不确定因素的随机( 统计) 特性作任何假设，通常只认为它属于 某个已知的集合。这种不确定性正是鲁棒控制理论研究的对象。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 随机控制自适应控制模糊控制鲁棒控制 图1 1 系统不确定模型 未知有界不确定性包括参数不确定性和未建模动态( 或称为动态不确定 性) 。参数不确定性通常不会改变系统结构( 阶次) ，并且不确定参数是非时 变的j 参数不确定性对系统的影响通常发生在低频段，而未建模动态通常表 现为高频不确定性。对未建模动态a ( s ) 通常并不知道它的结构和阶次，但可 以通过频响试验测出其幅值界限，即 i 厶( j ) i s l 矽( j ) i ，v w e r 上式中i w o w ) l 为确定值，用来表示未建模动态的幅值界限。 系统的动态不确定性常常分为以下几种形式： ( 1 ) j j h 性不确定性。这种不确定对象表示为 6 ( s ，a ) 一g o o ) + a a 0 ) ( 1 1 ) 上式中g 。( s ) 通常称为标称对象。 ( 2 ) 乘性不确定性。这种不确定性在对象中的作用可表示为 6 ( s ，a m ) 。g 。( s ) ( 1 + a m ( s ) )( 1 - 2 ) 这种不确定性反映了实际对象与标称对象的比值与1 之间的差距，即 a 。堂堂一l g 。0 ) ( 3 ) 分子、分母不确定性。当传递函数的分子、分母中分别有未建模动态 时，可用这种模型来表示，即 6 ( s ，n ，a d ) i l m ( o ) + n 0 ) ) ( d o ) + d o ) ) 1( 1 3 ) 此时标称对象为 g o ( s ) = n ( s ) d 。1 ( s ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 加性、乘性和分子、分母不确定性模型可以分别用图1 卜1 4 来表示。 )t 图1 2 加性不确定性模型图1 3乘性不确定性模型 ， 图1 4 分子、分母不确定性模型 如上介绍的三种不确定性是系统不确定性的频域描述形式，这三种不确 定性模型在鲁棒控制早期的研究中占有重要的地位。 本文主要采用时域方法研究用状态空间描述的不确定性线性系统。因此 下面重点介绍一下状态空间描述中系统参数的不确定性模型。 考虑如下由状态空间描述的带有不确定性的系统模型 工= 似+ 4 ) 工p ) 其中z o ) r “是系统的状态变量，4 为已知的适当维数的矩阵，鲋为系统 的不确定性部分。在鲁棒控制理论的研究中，系统模型的不确定性有以下几 种描述形式【2 1 ： ( 1 ) 秩1 型分解模型 a , 4 = 口1 p ) 囊? g ，+ 口2 ( f ) 而；9 2 + + 口。o ) 砣g 。( 1 - 4 ) 其中吃，g i ot 1 ，朋) 是确定的并具有适当维数的一维实向量，q p ) 是有界的 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 实标量函数，它是l e b e s g u e 可测的，且满足 ia i ( t ) | sq ，吼芝0 , it1 ，朋( 1 5 ) 其中皿为确定的标量。 ( 2 ) 线性不确定模型 a , 4 = q ( f ) 4 + 口2 ( f ) 4 + + 口。( f ) 以( 1 6 ) 其中4 ( f = 1 ，1 ) 是确定的实矩阵，q ( f ) 为( 1 5 ) 式的标量。 ( 3 ) 范数有界不确定模型 l i m o ) 临a( 1 7 ) 其中口为己知的标量。更广泛采用的是如下形式的不确定性模型 a , 4 = d f ( t ) e ( 1 8 ) 其中d 、层为具有适当维数的实常数矩阵，f ( t ) 为l e b e s g u e 可测的，有界， 且 f 1 ( 0 f ( f ) 墨i( 1 9 ) ( 4 ) 凸多面体不确定模型 埘 a , 4 = q ( f ) 置 ( 1 1 0 ) 筒 其中e 为已知的实矩阵，q o ) 为有界的实标量函数，且满足 罗哆o ) - - i a , ( t ) 芝o ( 1 1 1 ) 面 其中，( 3 ) 、( 4 ) 两种不确定描述出现的较为普遍。在本文所讨论的线性系 统中，采用的是第三种即范数有界的不确定性描述。 1 2 鲁棒控制的起源与发展简介 “鲁棒”一词是英文单词“r o b u s t 的音译，表示稳健或强壮的意思。 鲁棒控制的主要思想是利用系统模型的一些不确定信息，如一定范围的参数 不确定性或一定限度的未建模动态，来设计一个确定的控制律，使得这个闭 环系统的期望性能对所有设计控制器时考虑到的不确定性都是满足的。那么 称这个闭环系统的性能是鲁棒的。 系统鲁棒性问题也许可追溯到无穷小分析的思想，例如微分方程解在给 定区间的任意小变化依赖于初值和方程系数的充分小变化，再如偏微分方程 中的适定性研究、计算方法中关于误差的灵敏性等。鲁棒控制问题事实上最 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 初在具有摄动的精确系统的大增益反馈器设计有所体现。这一思想最早研究 可以追溯到1 9 2 7 年b l a c k 针对具有摄动的精确系统的大增益反馈设计思想。 由于当时不知道反馈增益和控制系统稳定性之间的确切关系，基于上述思想 设计的控制系统往往是动态不稳定的。1 9 3 2 年n y q u i s t 提出了基于n y q u i s t 曲线的频域稳定性判据，使得反馈增益和控制系统稳定性之间的关系明朗化。 1 9 4 5 年b o d e 讨论了单输入单输出( s i s o ) 反馈系统的鲁棒性，提出了利用幅 值和相位稳定裕度来得到系统能容许的不确定性范围，并引入微分灵敏度函 数来衡量参数摄动下的系统性能。二十世纪六十年代初，c r u z 和p e r k i n s 将 单输入单输出系统的灵敏性分析思想推广到多输入多输出( m i m o ) 系统，引入 灵敏度矩阵来衡量系统的闭环和开环性能。这些关于鲁棒控制的早期研究主 要局限于系统的不确定性是微小的参数摄动情形，尚属于灵敏度分析的范畴， 并只是停留在理论上。在实际生产过程中，系统的参数摄动往往由于各种原 因会在较大的范围内发生变化，早期的理论研究不能解决实际中出现的这种 情况，为适应社会的发展和解决生产过程中出现的问题，现代鲁棒控制理论 得以应运而生l 引。 现代鲁棒控制理论的研究始于1 9 7 5 年左右。第一次在论文中明确使用鲁 棒控制这一术语的是1 9 7 1 年d a v i s o n 的论文【训，而首先将这一术语写进论文 标题的是1 9 7 4 年p e a r s o n 等人的论文1 5 j 。鲁棒控制能够被推到控制理论的前 沿，与这一时期有关n y q u i s t 判据在多变量系统中的推广、有理函数矩阵分 解理论以及y o u l a 参数化方法等基础理论的突破性进展是密切相关的。另外， 对现代鲁棒控制理论的建立有重要影响的还有两篇文章，一篇是1 9 6 3 年 z a m e s 关于小增益原理的论文1 6 j ，这一原理为鲁棒稳定性分析奠定了基础， 至今仍然是频域分析非结构不确定性系统鲁棒稳定性的基本工具，另一篇则 是1 9 6 4 年k a l m a n 关于单输入单输出系统l q 调节器稳定裕量分析的研究报 告1 7 j ，在此文中k a l m a n 讨论了单输入单输出系统线性二次型最优状态反馈控 制律( l q ) 的鲁棒性，证明其具有无穷大增益稳定裕量和6 0 度相位稳定裕量。 鲁棒控制理论发展的最突出标志是日。控制理论和结构奇异值理论。1 9 8 1 年 z a m e s 提出最优灵敏度控制方法，d o y l e 和s t e i n 提出在频域内进行回路成形 ( l o o ps h a p i n g ) 的重要性，使得在控制系统设计中许多鲁棒稳定性和鲁棒性能 的指标可以表达为特定闭环传递函数矩阵的日。范数。此后发展起来的日。控 制理论成为鲁棒控制系统设计的经典工具。 日。控制理论最早是从频域发展起来的。从1 9 8 1 年z a m e s 提出日。控制 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 思想1 1 1 】至今，日。控制的发展大致可以分为三个时期：( 1 ) 第一个时期为 1 9 8 1 1 9 8 4 年，其中代表性工作是1 9 8 4 年d o y l e 等提出的所谓“1 9 8 4 年方法 ； ( 2 ) 第二个时期为1 9 8 5 1 9 8 8 年，在此期间日。控制获得突破，1 9 8 8 年，g l o v e r 和d o y l e 给出了著名的“2 r i c c a t i 方程 的解法；( 3 ) 第三个时期为1 9 8 9 年 至今，是日。控制理论的完善和推广时期l l o j 。 日。控制具有如下几个特点：( 1 ) 确定了系统地在频域内进行回路成形的 技术和手段，充分克服了经典控制理论和现代控制理论各自的不足，使经典 的频域概念与现代的状态空间方法融合在一起；( 2 ) 可以把控制系统设计问题 转换成日。控制问题，它更接近实际情况，并且满足实际需要；( 3 ) 给出了鲁 棒控制系统的设计方法，可以通过求解两个黎卡提( r i c c a t i ) 方程或一组线性 矩阵不等式( l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y , l m i ) 来获得日。控制器，充分考虑了系 统不确定性的影响，不仅能保证控制系统的鲁棒稳定性，而且能有好一些的 性能指标；( 4 ) 它是频域内的最优控制理论，但日。控制器的参数设计比最优 调节器更加直接。正因为如此，日。控制理论的应用研究得到了广泛的重视， 日。控制理论正逐步走向应用实际领域【1 7 彩】。 作为鲁棒控制的最有效方法而吸引着众多学者进行研究的是d o y l e 在 1 9 8 2 年提出的结构奇异值方法1 8 9 。该方法的基本思想是，对控制系统输 入、输出、传递函数、不确定性等进行回路成形，把实际控制问题归结为求 结构奇异值的问题，从而进行控制系统的设计。 由系统固有性质所决定的不确定性，在频域上往往表现为具有特定的结 构。日。控制对于处理非结构不确定性是精确的和全面的，但是对于处理结 构不确定性则存在着设计上的保守性。利用结构奇异值作为控制系统设计 的度量，可以克服设计上的保守性，使控制系统设计更具有普遍性，能够把 鲁棒稳定性和鲁棒性能结合起来考虑，从而设计出性能和鲁棒性都满足较高 要求的控制系统。利用结构奇异值的鲁棒控制系统分析可以归纳为基于结 构奇异值j c l 的鲁棒稳定性定理和鲁棒性能定理。结构奇异值z 所具有的普遍 性质以及j c 方法和日。控制之间的联系，使得控制系统的设计可以使用基于 日。控制的z 方法。此方法很好地补充了日。控制的不足，是一种把系统的性 能和鲁棒稳定性结合在一起考虑的分析和设计方法【1 0 】。 鲁棒控制理论经过三十年的发展，已经成为控制理论研究中最为活跃的 领域之一，并取得了令人瞩目的成果1 3 卜3 5 j 。目前，线性系统的鲁棒控制方法 正在向非线性系统扩展。鲁棒控制理论还需要不断加以完善，从而使控制系 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 统设计更加精确，更加实用，更加符合实际的需要。 1 3 线性矩阵不等式( l mi ) 的发展 线性矩阵不等式方法是解决鲁棒控制分析和综合问题的有力工具，是近 几年受到广泛关注的一种用于解决控制理论问题的重要技术。l m i s 在控制领 域中主要经历以下发展历程：0 ) 1 8 9 0 年，出现了第一个l m i ，通过l y a p u n o v 方程可以得到l y a p u n o v l m i 的解析解；( 2 ) 2 0 世纪4 0 年代，l y a p u n o v 方法被 应用于实际的控制工程问题中，人们可以通过手算求解小型的l m i s ；( 3 ) 2 0 世纪6 0 年代初期，正实定理提供了用图解技术求解另一些l m i s 问题的基础； ( 4 ) 2 0 世纪6 0 年代后期，人们注意到同一类的l m i s 可以通过解a r e 求解； ( 5 ) 2 0 世纪8 0 年代，人们认识到通过计算机这一工具，许多的l m i s 都可以 通过凸规划来求解；( 6 ) 2 0 世纪9 0 年代，用于求解l m i s 的内点法得到不断 发展。 线性矩阵不等式方法使用之前，许多控制问题是用r i c c a t i 方程或r i c c a t i 不等式方法来解决的，而r i c c a t i 方程或r i c c a t i 不等式的求解带有一定的保 守性。解r i c c a t i 方程或r i c c a t i 不等式时，有大量的参数和正定对称矩阵需 要预先调整。而线性矩阵不等式处理方法可以克服r i c c a t i 方程处理方法中存 在的部分不足。线性矩阵不等式方法给出了问题可行解的一个凸约束条件， 因此，可以应用求解凸优化问题的有效方法来进行求解。不需要预先调整任 何参数和正定对称矩阵，大大降低了问题可解的保守性和方便性。正是这种 凸约束条件，使得在控制器设计时，得到的不仅仅是一个满足设计方法的控制 器，而是从凸约束条件的任意一个可行解都可以得到的一个控制器，即可以得 到满足设计要求的一组控制器，这一性能在求解系统的多目标控制问题时是 特别有用的。 1 9 9 5 年，m a t l a b 推出了求解线性矩阵不等式问题的工具箱，使得各 种线性矩阵不等式问题的求解更加方便、直接，从而进一步推动了线性矩阵不 等式方法在系统和控制领域的应用。目前已经有大量的文献涉及到相关问题 的讨论，这是一个极具吸引力，急需开拓的研究领域。工作刚刚开始，需要 解决的问题很多，甚至有些问题尚未考虑到。但这毕竟是控制工程技术发展 的一项重要工作，也是一个很新的研究领域。虽然起步较晚，但已显示出良 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 好的应用前景。由于l m i 算法的快速性，为现代控制技术的实时应用、进一 步实现实时控制提供了可能。应用l m i 技术，有望能找到鲁棒建模和鲁棒控 制器一体化设计的有效方法。许多现在无法解决的问题或者较难解决的问题， 有可能在此找到答案。 1 4 本文的研究内容及安排 本文主要研究不确定线性系统的基于观测器的鲁棒控制问题。在 l y a p u n o v 稳定性理论和线性矩阵不等式方法的基础上，主要针对在系统矩 阵、输入矩阵以及输出矩阵中均含有不确定项的不确定线性系统，设计了基 于观测器的鲁棒控制器。论文总体上分为三章： 第一章为绪论，对系统不确定性进行了阐述，并对鲁棒控制理论和线性 矩阵不等式的发展进行了综述。最后简要介绍了本文的主要工作与结构安排。 第二章对本文涉及到的基础知识进行了介绍，包括观测器理论、线性矩 阵不等式( l m i ) 的相关知识以及l y a p u n o v 稳定性理论等内容。 第三章进行基于线性矩阵不等式( l m i ) 的鲁棒控制器的设计研究。首先， 补充证明了文 2 8 】中针对在系统矩阵和输入矩阵中含有不确定项的不确定线 性系统呈现的一个主要定理；其次，针对在系统矩阵、输入矩阵以及输出矩 阵中均含有不确定项的不确定线性系统，采用l y a p u n o v 稳定性理论和线性矩 阵不等式( l m i ) 处理方法研究了基于观测器的鲁棒控制问题。在假设参数不 确定性是范数有界的情况下，设计了基于观测器的鲁棒控制器，使得闭环系 统指数稳定。 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 2 1 观测器理论 2 1 1 状态观测器【1 2 】 第2 章预备知识 状态观测器的基本思想基于传统的控制原理反馈。状态反馈在控制 系统的各种综合问题的讨论中已充分显示出其优越性。不管是系统的极点配 置、镇定、解耦控制、无静差跟踪还是线性二次型的最优控制，人们首先想 到的是用状态反馈去加以实现。但是，状态作为系统内部变量组，或由于不 可能全部直接测量，或由于量测手段在经济性和适用性上的限制，使状态反 馈的物理实现成为不可能或很困难的事。状态反馈在性能上的不可替代性和 在物理上的不能实现性形成了一个尖锐的矛盾。基于解决控制系统中这类矛 盾的需要，推动了状态重构问题的研究，并最终导致状态观测器理论的形成 和发展。 ，状态重构的实质是，根据给定的确定性线性时不变被观测系统z ，重新 构造一个线性的时不变系统z ，利用z 中可直接测量的输出y 和输入口作为 的输入，并使的状态或其变换工在一定指标提法下等价于的状态j ，等 价指标的提法通常取为渐近等价，即 l i mx ( t ) = l i m x ( t )( 2 1 ) 并且，称z 的状态j 为被观测系统z 的状态z 的重构状态。所构造系统z 为被 观测系统的一个状态观测器。 对线性时不变被观测系统，观测器也是一个线性时不变系统。观测器可 按两种方式进行分类。 从功能角度，可把观测器分类为状态观测器和函数观测器两大类。状态 西南交通大学硕士研究生学位论文第10 页 观测器以重构被观测系统状态为目标，取重构状态x 和被观测状态z 的渐近 等价即式( 2 1 ) 为等价指标。状态观测器的特点是，当t 一0 0 即系统达到稳态 时可使重构状态z 完全等同于被观测状态工。函数观测器以重构被观测系统 状态的函数如反馈线性函数k x 为目标，将等价指标取为重构输出w 和被观 测状态函数如k x 的渐近等价，即 l i m w ( t ) = l i m k 工( r ) 五为常数阵( 2 2 ) f 田r 函数观测器的特点是，当t 一即系统达到稳态时可使重构输出w 完全等同 于被观测状态函数如k x 。函数观测器的优点是在维数上低于状态观测器， 状态观测器优点是综合方法较为简单和成熟。 从结构角度，可把状态观测器分为全维观测器和降维观测器。维数等于 被观测系统状态维数的观测器称为全维观测器，维数小于被观测系统状态维 数的观测器称为降维观测器。降维观测器在结构上比全维观测器简单，全维 观测器在抗噪声性能上比降维观测器要优越。 2 1 2 全维状态观测器【1 2 】 考虑n 维连续时间线性时不变被观测系统 工= a x + 8 狂，苫( o ) ；x o ，t 乏0 ( 2 - 3 ) y = c 工 其中，4 、曰和c 分别为n x n , n x p 和q x n 实常阵。该系统的状态不能直接 加以量测。所谓系统( 2 3 ) 的全维状态观测器，就是以y 和口为输入构造一个咒 维动态系统，不论该系统和原系统( 2 3 ) 的初值为何，该动态系统的输出x ( t ) 和 原系统( 2 - 3 ) 的状态x q ) 满足 l i r ax ( t ) = l i mx q ) f f 西南交通大学硕士研究生学位论文第11 页 ( 1 ) 全维状态观测器的属性 给定n 维连续线性时不变被观测系统( 2 3 ) ，全维状态观测器也为，z 维连 续线性时不变系统。并且，取状态观测器的输入为被观测系统的输出歹和输入 口，其状态工为被观测系统状态工的重构状态，z 和工满足上式。 ( 2 ) 全维状态观测器的构造思路 全维状态观测器在构造思路上由“复制”和“反馈 合成。复制就是， 基于被观测系统的系数矩阵4 、曰和c ，按相同结构建立一个复制系统。反 馈则指，取被观测系统输出y 和复制系统输出y 的差值作为修正变量，经增 益矩阵l 反馈到复制系统中积分器组输入端以构成闭环系统。， 图2 1 反映出全维状态观测器的基本设计思想。虚线框内的部分为被观 测系统，虚线外部分为构造的全维状态观测器。可以看出，状态观测器的维 数为n ，以被观测系统的输出y 和输入“作为输入，结构上与被观测系统的唯 一区别是引入由l ( j ，c 工) 表示的反馈项。 ：。j ： 2 1 全维闭环观测器结构图 西南交通大学硕士研究生学位论文第12 页 ( 3 ) 引入反馈项l ( y - c 工) 的必要性 表面上看，在全维状态观测器构造中，由被观测系统系数矩阵导出的复 制系统 aaa 工= a x + b h o ) ，x ( 0 ) = x o ( 2 4 ) 已可实现状态重构。这对于一些理想情形是可行的，且若进一步做到使初始 状态为相等即x o = x o ，则理论上应当可以实现对所有t 0 有x ( 0 = x ( t 1 ，即实 现完全状态重构。但是，这种开环型状态观测器在实际应用中存在三个基本 问题： ( i ) 对系统矩阵4 包含不稳定特征值情形，只要初始状态x o 和x o 存在很小 的偏差，系统状态工o ) 和重构状态工o ) 的偏差就会随t 的增加而扩散或振荡， 不可能满足渐近等价目标； ( i i ) 对系统矩阵4 为稳定情形，尽管系统状态工0 ) 和重构状态工o ) 最终趋 于渐近等价，但收敛速度不能由设计者按期望要求来综合，从控制工程角度 这是不能允许的： ( i i i ) 对系统矩阵4 出现摄动情形，开环型状态观测器由于系数矩阵不能相 应调整，从而使系统状态工o ) 和重构状态x ( t ) 的偏差情况变坏。 反馈项l ( y - c x ) 的引入，有助于克服和减少上述这些问题的影响。从而 说明这个反馈项对全维状态观测器的不可缺少性。 ( 4 ) 全维状态观测器的状态空间描述 对于按图2 1 思路给出的全维状态观测器，可以导出： a a a a x = a x 十己( 夕- ，j + b u ，工( 0 ) = x o ( 2 5 ) y = c x ( 2 6 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第13 页 将式( 2 - 6 ) 代入式( 2 5 ) ，并整理，则可得按图2 1 思路组成的全维状态观测器 的状态空间描述为： a 工= 似- l c ) x + l y 4 - b u , x ( o ) = x o( 2 7 ) ( 5 ) 全维观测器的渐近等价条件 对于图2 1 所示结构的珂维全维状态观测器，存在，z x q 维反馈矩阵l 使 得 l i mz o ) = l i m x ( t ) i wl w 成立的充分必要条件是被观测系统的不能观测部分为渐近稳定，充分条件 为被观测系统( 4 ，c ) 完全能观测。 ( 6 ) 全维观测器的设计方法 给定完全能观测连续线性时不变被观测系统 工= a x + b u ， 工( 0 ) 气r o ，t 苫0 y = c 工 其中，么、b 和c 分别为nx 惕nx p 和qx n 实常阵，该系统的全维状态观测器 一般有如下两种设计方法： 设计方法1 ： 第1 步：计算对偶系数矩阵4 = a tb = c t ； 第2 步：指定所要设计的全维观测器的一组期望极点 ，疋，t ，采 用极点配置问题的算法，计算使得 以似- bk ) = 一，i = 1 ，2 ，以 成立的反馈增益阵x ； 一t 第3 步：取l = k ： 第4 步：计算( 4 l c )； 西南交通大学硕士研究生学位论文第14 页 第5 步：所设计全维观测器为 j = 1 4 l c ) 工+ l y + b u 设计方法2 ： 全维观测器先取为如下形式： z 。，z + 6 y + h u ,z ( o ) = z o ( 2 - 8 ) j t z 其中，待定系数矩阵f 、g 、日和r 分别为咒nx q , nxp 和nx n 实常矩阵， 对任意的x o , 7 。和口，系统( 2 8 ) 成为被估计系统( 2 3 ) 的全维观测器的充分必要 条件是： t a f t = g c ，t 非奇异； h = t b ； f 的全部特征值a 伊) ，i = 】，z ，咒均具有负实部。 2 2 线性矩阵不等式 近十多年来，由于线性矩阵不等式( l m i ) 的优良性及数学规划和解法的突 破，特别是内点法的提出以及m a t l a b 软件中l m i 工具箱的推出，l m i 这 一工具越来越受到人们的广泛关注与重视，使其在控制理论的分析和设计方 面得到了广泛的重视和应用，成为这一领域的研究热点。在此之前，绝大多 数的控制问题都是通过r i c c a t i 方程或其不等式的方法来表示和求解的。但 是，求解r i c c a t i 方程或其不等式时，有大量的参数和正定对称矩阵需要预先 调整，因而有时即使问题本身是有解的，也不能找出问题的解。这给实际问 题的解决带来了很大的不便，而l m i 方法可以弥补r i c c a t i 方程方法的很多 不足，不需要调整任何参数，便可获得问题的解。 2 2 1 线性矩阵不等式( l m i ) 的一般表示 线性矩阵不等式的一般形式为 西南交通大学硕士研究生学位论文 第15 页 f ( x ) - f o + h e + ；矗l 0 ( 2 9 ) 其中，e = e t r “4 ，f = 0 ，】，加是一组给定的实对称矩阵；_ ，是m 个 实数变量，称为线性矩阵不等式( 2 - 9 ) 的决策变量；工= “，靠) t r ”是由决 策变量构成的向量，称为决策向量；f ( 工) 0 是指矩阵f ( x ) 是负定的，即对任 意非零向量y r “， ，r f ( z 弘 0 。 如果将式( 2 9 ) 中的“ 换成“s ，则相应的矩阵不等式称为非严格的 线性矩阵不等式。 在许多控制系统与控制问题中，问题的变量是以矩阵的形式出现的。例 如l y a p u n o v 矩阵不等式： f ( x ) 一a 1 x + x a + q 0( 2 1 0 ) 其中，4 和qe r 是给定的常数矩阵，且q 是对称的，x = x te r 是对 称的未知矩阵变量，因此该矩阵不等式中的变量是一个矩阵。设e ，e ：，风 是s “= m ：m = m t r 中的一组基，则对任意对称矩阵x = x t r ， r 存在墨，h ，使得x = 鼍e 。因此， 胃 f ( x ) 一f ( x i e i ) 了；可 nn = 4 t ( x i e ；) + ( 罗鼍e ；) 4 + q 一 “、白“ 一 = q + 五( 么1 e 1 + e 1 么) + + h 似1 e + e a ) 0 即l y a p u n o v 矩阵不等式( 2 1 0 ) 写成了线性矩阵不等式的一般形式( 2 9 ) 。 记o = x l f ( x ) 町，易证西是一个凸集。事实上，对任意的z l , z ：垂和 任意的口( 0 ，1 ) ，由于，伍) 0 , f ( z ：) 0 以及f ( x ) 是一个仿射函数，故 f ( a z l + ( 1 一a ) z 2 ) f f ia f ( z 1 ) + ( 1 - a ) f ( z 2 ) 0 。所以o t z l + o - a ) z 2 o ，即是凸 的。此结论说明了线性矩阵不等式( 2 9 ) 这个约束条件定义了自变量空间中的 一个凸集，因而是自变量的一个凸约束。正是线性矩阵不等式的这一性质使 得可以应用解决凸优化问题的有效方法来求解相关的线性矩阵不等式问题。 西南交通大学硕士研究生学位论文第16 页 系统与控制中的许多问题初看起来不是一个线性矩阵不等式问题，或不 具有( 2 9 ) 式的形式，但可以通过适当的处理将问题转换成具有( 2 9 ) 式形式的 一个线性矩阵不等式问题。下面给出这方面的一些典型例子1 1 3 1 。 1 多个线性矩阵不等式 e ( 工) o ，e ) 0 称为一个线性矩阵不等式系统。引进f ( x ) = d i a g f l ( x ) ，e ( z ) ，则 e o ) o ，e ) 0 同时成立当且仅当f ( x ) 0 。因此，一个线性矩阵不等 式系统也可以用一个单一的线性矩阵不等式来表示。 2 考虑问题 删 f ( 工) - f o + t ( x o + 鼍乞) - f o + r ( 工。) + 誓r r ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第17 页 t f o + 五e + + 吒e f ) 其中：r r + r ( 工。) ，e r ( p a 工一k ，以】t 。注意，工的维数要小于工的 维数。 3 在许多将一些非线性矩阵不等式转化成线性矩阵不等式的问题中，我 们常常用到矩阵的s c h u r 补性质。考虑一个矩阵s r “4 ，并将s 进行分块： s = 慝s 1 2 其中墨。是，维的。假设墨。是非奇异的，则s 笼一s ：。s o s ，：称为s 。在s 中的 s c h u r 补。以下引理给出了矩阵的s c h u r 补性质。 引理2 - 2 ，对给定的对称矩阵s = 乏$ 墨2 2 2 ，其中墨- 是，灯维的。以下 三个条件是等价的： ( i ) s o ； ( i i ) s 1 l o ，s 2 2 一s 矗s o s l 2 o ； ( i i i ) s 笼 o ，墨。一墨：s 丢s 5 o 。 证明( i ) 尊( i i ) 由于s 是对称的，故有s 。，= ，s 挖= s 乏，s ：。一s 5 。应用矩 阵块的初等运算，可以得到 一s 二。： 要：；： 一s 3 。： t = 1s 丝一s 。s 止 因此， 西南交通大学硕士研究生学位论文第18 页 s 。 一s 3 。：】 霎：霎兰 一s s 。： t 。 营【墨1二笠一s00：，s 。s ： 。 【s 2 2 一s z ，s o s ：j 营( i i ) 这就证明了结论( i ) 和结论( i i ) 是等价的。 ( i ) 营( i i i ) 注意到 r ；- 1 豫黜一卅1 = r 五乏】 类似于前面的证明即可以得到这一部分的结论。 综合以上两部分的证明，可得引理的结论。 对线性矩阵不等式， ， ? ，其中f ，2 乏：；乏：； ，e - ，是方阵。 则应用矩阵的s c h u r 补性质可以得到：， ) o 当且仅当 厂曩t ) o 1 ) 峨； 圾 圾： ) o ( 2 - 1 2 ) 或 厂民o ) o 弋( 2 1 3 ) l 互。0 ) 曩：往) 砭0 厩： ) o 注意到式( 2 - 1 2 ) 或式( 2 1 3 ) 中的第二个不等式是一个非线性矩阵不等式，因此 以上的等价关系也说明了应用矩阵的s c h u r 补性质，一些非线性矩阵不等式 可以转化成为线性矩阵不等式。另一方面，这一等价关系也说明了式( 2 1 2 ) 或式( 2 1 3 ) 中的非线性矩阵不等式也定义了一个关于变量茗的凸约束。 在一些控制问题中，经常遇到二次型矩阵不等式： 西南交通大学硕士研究生学位论文第19 页 么t p + p a + p b r - 1 b t p + q o ，r - - r t ) 0 是给定的适当维数的常数矩阵，p 是对称矩 阵变量，则应用引理2 2 1 ，可以将矩阵不等式( 2 - 1 4 ) 的可行性问题转化为一 个等价的矩阵不等式 n b 篡p 也竺r1 。 ( 2 1 5 ) l t i r7 的可行性问题，而后者是一个关于矩阵变量p 的线性矩阵不等式。 2 2 2 标准的线性矩阵不等式问题 在控制、辨识和滤波等领域中，许多问题都可以转化成用线性矩阵不等式 来描述的优化问题。本节介绍几类标准的线性矩阵不等式问题。在m a t l a b 的l m i 工具箱中给出了这三类问题的求解器。假定其中的，( 工) 、g ( 工) 和 日( 工) 是对称矩阵且为x 的仿射函数，c 是一个给定的常数向量。 1 可行性问题( l m i p ) 。对给定的线性矩阵不等式f ( x ) 0 ，检验是否 存在工，使得f ( 工) o 成立的问题称为一个线性矩阵不等式的可行性问题。 如果存在这样的