（应用数学专业论文）非线性动力系统及复杂网络的混沌同步研究.pdf

中文摘要摘要：混沌同步是一门近年来发展迅速的学科由于它在保密通信等领域的巨大的应用价值，引起了全世界的科学工作者的广泛兴趣本文第一章是绪论部分，介绍了非线性系统同步问题研究的历史、现状及相关研究成果第二章叙述了本领域相关的基础知识本文第三章介绍了利用非线性反馈法实现同步的理论，并以它为基础对两个三维自治系统的同步进行了研究，同时利用l y a p u n o v 函数法和m a t l a b软件分别作了理论证明和数值仿真本文第四章介绍了一种复杂网络耦合同步的理论，并用它实现了一个四节点网络的同步问题，同时利用l y a p u n o v 函数法和m a t l a b软件分别作了理论证明和数值仿真图1 5 幅，参考文献3 l 篇关键词：混沌；同步；非线性反馈；复杂网络；耦合分类号：0 2 3 1 2a b s t r a c ta b s t r a c t ：c h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o ni saf a s td e v e l o p i n gf i e l di nr e c e n ty e a r s d u et oi t st r e m e n d o u sv a l u ei ns e c u r ec o m m u n i c a t i o n ，c h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o nh a sa t t r a c t e dm a n ys c h o l a r sa l lo v e rt h ew o r l dt ot a k ep a r ti nt h i sf i e l d w ei n t r o d u c et h eh i s t o r y ,l a t e s td e v e l o p m e n ta n dc o r r e s p o n d i n gr e s u l t si ns y n c h r o n i z a t i o no fn o n l i n e a rs y s t e m i nc h a p t e r2 ，w et a l ka b o u tt h ef u n d a m e n t a lk n o w l e d g ei nt h i sa r e a i nc h a p t e r3 ，w ei n t r o d u c ean o n l i n e a rf e e d b a c km e t h o d ，a n dh e n c ea ne x a m p l ea b o u tat h r e ed i m e n s i o n a ls y s t e m m e a n w h i l e , w i mt h eh e l po fl y a p u n o vr u n i o na n dm a t l a b ，w em a d ea na n a l y t i c a la n dn u m e r i c a lr e s u l tr e s p e c t i v e l y i nc h a p t e r4 ，w ei n t r o d u c eam e t h o dr e a l i z i n gc h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o no fc o m p l e xn e t w o r kc o m p o s e do fs o m en o d e sc o u p l e dt o g e t h e r , a n dh e n c ea l le x a m p l eo ff o u r - n o d e - n e t w o r k m e a n w h i l e ，晰n lt h eh e l po fl y a p u n o vf u n c t i o na n dm a t l a b ，w em a d ea na n a l y t i c a la n dn u m e r i c a lr e s u l tr e s p e c t i v e l y k e y w o r d s ：c h a o s ；s y n c h r o n i z a t i o n ；n o n l i n e a rf e e d b a c k ；c o m p l e xn e t w o r k s ；c o u p l ec i 。a s s n 0 ：0 2 3 1 2学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定特授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明)学位论文作者签名：导师签签字日期：年月日签字日期日独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意学位论文作者签名：签字日期：年月日3 9致谢本论文的工作是在我的导师彭名书副教授的悉心指导下完成的，彭名书副教授严谨的治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响在此衷心感谢两年来彭名书老师对我的关心和指导彭名书副教授悉心指导我们完成了实验室的科研工作，在学习上和生活上都给予了我很大的关心和帮助，在此向彭名书老师表示衷心的谢意在撰写论文期间，姜小霞、姚锦涛等同学对我论文中的计算工作给予了热情帮助，在此向他们表达我的感激之情另外也感谢父母，他们的理解和支持使我能够在学校专心完成我的学业序在跟随彭名书老师学习的过程中，我逐渐产生了对混沌同步问题的兴趣在阅读了大量国内外文献之后，我决定在这个方向进行有益的探讨本文主要利用了较新的方法试图更方便的实现同步现象，希望能够有助于此学科在应用领域的发展1 引言1 1 本课题的背景所谓混沌是指在确定性系统中出现的一种貌似无规则、类似随机的现象，是非线性动力学系统所特有的一种运动形式，它广泛地存在于自然界诸如物理、化学、生物学、地质学以及技术科学、社会科学等各种科学领域一般而言，混沌现象隶属于确定性系统而难以预测，隐含于复杂系统但又不可分解，以及呈现多种“混乱无序 却又颇有规则的图像产生混沌的机制往往是简单的非线性，是丝毫不带随机因素的固定规则由混沌所表示的无序和不规则状态指出了在确定性系统中的随机现象，由事物的混沌现象又揭示了在自然界和人类社会中普遍存在着确定性和随机性的统一，有序和无序的统一，正是这种在确定性和随机性之间的由此及彼的桥梁作用，使得混沌学被誉为2 0 世纪科学发展的第三个里程碑从数学上讲，对于确定的初始值，由动力系统就可以推知该系统长期行为甚至追溯其过去性态但在2 0 世纪6 0 年代，美国气象学家l o r e n z 在研究大气时发现，当选取一定参数的时候，一个由确定的三阶常微分方程组描述的大气对流模型，变得不可预测了，这就是有趣的“蝴蝶效应在研究的过程中，l o r e n z 观察到了这个确定性系统的规则行为，同时也发现了同一系统出现的非周期无规则行为通过长期反复地数值试验和理论思考，l o r e n z 揭示了该结果的真实意义，在耗散系统中首先发现了混沌运动，这为以后的混沌研究开辟了道路长期以来人们觉得混沌是不可控的，不可靠的，因而是无法应用的怪物，在应用及工程领域中总被回避和抵制但是上世纪九十年代以来国际上混沌控制的突破性进展，由此激发起来的理论与实验应用研究的蓬勃开展，使混沌的可能应用出现了契机，为人们展现了十分诱人的应用与发展的美好前景混沌控制主要是指对混沌这种复杂，“麻烦现象的抑制，是由美国马里兰大学物理学家o t t ，g r e b o g i 和y o r k e 从理论上提出了参数小微扰方法( 简称为o g y 方法) ，使混沌控制引起了世界性的广泛关注同年，d i t t o 及其同事很快利用o g y 方法首次在一个物理系统上，即对磁弹性体混沌系统实现了周期一的稳定控制这些先驱性的工作，立即激起了混沌控制的研究热潮在自然界及实验室里，由于学科、领域、部门的不同，非线性系统多种多样，混沌行为千奇百怪，相应的混沌控制及其应用也是多彩多姿迄今，混沌控制的目标有两种：一种是基于在混沌奇怪吸引子内存在无穷多的周期轨道，控制的目标是对其中某个不稳定周期轨道进行有效的稳定控制，根据人们的意愿逐一控制所需的周期轨道，该控制的特点是不改变系统中原有的周期轨道而只是将轨道固定，优点是可以把系统从混沌状态控制在周期轨道上，而且不改变系统的结构，具有良好的轨道跟踪能力和稳定性，缺点是要有一个目标函数或给定轨道，实现起来比较困难：另一种控制目标则不要求必须控制原系统中的周期轨道，而只要通过可能的策略，方法及途径，达到有效控制得到我们所需的周期轨道即可，或抑制掉混沌行为，即通过对系统的控制获得人们所需的新的动力学行为，包括各种周期态及其他图样等，这类控制的优点是设计简单，不需特定轨道，易于实现，缺点是无法确保控制过程的稳定性从实现控制的原理上可分为反馈控制和无反馈控制反馈控制分为：参数微扰o g y 法及o g y 的各种改进法；偶然正比技术( o p f ) 法；跟踪法；连续变量反馈法；正比变量脉冲反馈；线性和非线性反馈；直接反馈法；变量反馈法等等无反馈控制分为：自适应控制法；参数共振法；神经网络法；人工智能法；外加强迫法；混沌信号同步法等等在自然界及实验室里存在着大量的同步现象，并有相当大的普遍性所谓同步，通俗地说就是指动态系统中步调一致的现象但混沌系统又有一特点，即：在两个完全相同的混沌系统中，当它们的初始条件有一微小差异时，两系统的运动轨迹在同一相空间将会变得毫不相关因此，许多人认为混沌系统要想达到同步似乎是完全不可能的在通过长期不懈的研究中，很多事实打破了传统的观念在科学史上，最早观察到的同步现象是在1 6 6 5 年，荷兰物理学家惠更斯在一次实验中偶然看到两个并排钟摆的振荡居然达到了完全同步正是这一发现开辟了数理科学中的一个分支一耦合振子理论，推动了人们对自然界中相当普遍的同步现象及其机理，尤其是生物体内外的同步现象的研究但是发现混沌同步现象，却是2 0 世纪9 0 年代初的事情，1 9 9 0 年美国海军实验室的学者p e c d r a 和c a r r o l l 在电子学线路的设计实验中首次观察到了混沌同步的现象他们发现一个混沌系统的某些相同的子系统在特定的条件下可以做到相互同步，这里的两个系统同步，是指一个系统的轨道将收敛于另一个系统轨道的同一值，它们之间始终保持步调一致，并且这种同步是结构稳定的他们在理论上提出了同步原理，极大地推动了混沌同步的理论研究，奠定了混沌同步研究的理论基础混沌同步总体上来说大致可以分为两种类型，即驱动一一响应同步与控制同步所谓驱动一一响应同步就是指同步的两个系统之间存在着驱动一一响应关系，或称主役关系这种类型的同步方法有自同步法和主动一一被动同步法等；所谓控制同步就是指从控制论的观点出发，通过对非线性系统引入某种控制律，以改变受控系统轨道的演变，使受控系统的运动状态稳定到人们期望的状态上这种类型的同步方法有线性反馈法和自适应控制法等混沌同步从总体上来说属于混沌控制的范畴根据目前的文献报道，在混沌同2步中应用较多的有如下几种类型：第一种类型是1 9 9 0 年p e c o r a - c a r r o l l 提出的驱动一响应同步方案该类型的最大特点是同步的两个子系统之间存在驱动与响应关系，响应行为取决于驱动系统，而驱动系统的行为与响应系统无关这种类型的同步具有原理简单，思路清晰，实用性强的优点1 9 9 1 年，p e c o r a 和c a r r o l l 应用该方案实现了基于m e w c o m b 等人研究的三阶自治电路产混沌同步，1 9 9 2 年和1 9 9 3 年，o p p e n h 6 j n 和c u o m o 采用p e c o r a - c a r r o l l 同步方案设计并实现了基于l o r e n z 系统的保密通讯实验第二种类型是耦合同步方案1 9 9 4 年，美国学者r o y 及日本学者s y g a w a r a 等人分别独立地从实验中证实了耦合激光阵列中的同步现象，k a p i t a n i a k和c h u a 等人也用相互耦合的方法使两个c h u a 氏电路达到了混沌同步第三种类型是由i cp y r a g a s 提出的连续变量微扰反馈方案后来他与t a m a s e v i c i a s 又从实验上进一步验证了此法用于两个混沌系统的同步行之有效第四种类型为h u b e r m a n 和l u m e r 在1 9 9 0 年提出的自适应控制方案这种方法引进了可得到的系统参数的变化，所有的系统变量自由地演化，没有必要知道动力学吸引子的详细知识1 9 9 4 年，j o l l i l 和a m c i t k a r 对h u b e r m a n 和l u m e r 所提出的自适应控制方法进行了改进，使得非线性系统通过施加这种控制机制，不但可以实现处于稳定的周期或不动点的系统同步，同时也可以使处于不稳定的周期，如混沌系统控制同步计算机模拟结果证明此法对三阶l o r e n z 系统是有效的1 9 9 6 年，l e o n0 c h u a 及t a oy a n g 等人运用自适应控制算法，实现具有时变参数及时变信道的两个蔡氏电路的混沌同步，同时指出自适应控制对实际通讯系统的时变信道及时变参数可以做出有益的补偿1 9 9 7 年，a l e x a n d e r l f r a d k o v 应用自适应控制的梯度算法实现了参数未知的混沌系统的控制同步这无疑更加激起了人们对混沌同步应用研究的极大兴趣另外还有噪声感应同步，主动一一被动同步等由于超混沌吸引子的高度不稳定性及其结构的复杂性，实现超混沌系统同步的难度之大，可想而知1 2 本课题的研究现状充分利用和发展非线性系统理论中的控制方法并将其应用于控制混沌已取得了很好的效果目前研究和应用的控制方案，包括输送控制的新发展参数开闭环控制或者是镇定控制的一般形式，控制机制都比较简单，均为局部线性反馈控制，充分应用非线性系统理论( 包括随机自适应控制和人工神经网络) 并综合利用混沌的特点( 初值的敏感性，各态历经性和吸引子几何结构等) 尚有待深入研究混沌同步也属于混沌控制的范畴，近年来竞争最激烈的应用研究是将混沌同步用于保密通讯中已经发现，当秘密通讯的双方都有完全相同的混沌电路时，在特定的条件下可以实现秘密信号从发射机的编码到接收机的解码的全过程信息解密，即达到了两个系统的混沌同步这里两个系统的同步，是指一个系统的轨道将完全收敛于另一个系统轨道的同一值，它们之间将始终保持步调一致，并且这种步调是结构稳定的为此，p c c o m 和c a r r o l l 研制了一种能产生混沌的非线性电路，并可以分成一个稳定的子系统及一个不稳定的子系统，然后，把具有负的l y a p u n o v指数的稳定部分复制成一个响应系统，而原系统称为驱动系统，这样响应系统是稳定的而且是驱动系统的复制品，其轨道就不受初始条件微小波动的影响，而将与驱动系统收敛于同一轨道这样将非线性映射所产生的混沌序列作为载波，把有用的信号作为调制信号并混合在混沌信号中发射出去：在接收端，利用混沌序列的发生规则从接收信号中提取混沌载波，再经过简单的信号处理恢复出有用的信号混沌同步化与控制混沌关系密切，理论和实验研究都表明采用反馈和自适应控制可以实现混沌同步化事实上，o g y 方法的一种变形可控制混沌而产生任意非周期轨道，进行稳定性分析和利用压缩映像原理论证都表明控制混沌和混沌同步有相同的数学基础此外，控制混沌的逆问题，即瞬态混沌向混沌的转化和混沌的保持也有待研究另一类重要的问题一一湍流的反馈控制也与控制混沌相关控制混沌的应用特别值得重视，大量研究表明混沌无处不在，如存在于多种工程系统：航天器姿态动力学、车辆动力学、船舶晃动动力学、机床动力学等，也存在于物理、化学、生物、经济等自然系统与社会系统混沌控制都具有广阔的应用前景此外，混沌和混沌控制在数据分析和信息处理中更具有直接的应用，己受到广泛重视随着控制混沌方法的完善和普及，它的应用领域也在不断的扩大和深入1 3 本文的研究内容及意义本文对非线性动力系统的混沌同步问题进行讨论，主要分两个部分：第一部分，我们在第三章讨论用非线性反馈法实现混沌系统自同步完全相同的动力系统耦合后的动力系统，近年来已被广泛、透彻地研究并发现了其丰富的动力学行为，其中最常见的行为之一是：当耦合参数满足一定条件时两个混沌系统能达到完全同步近年来，混沌同步的研究得到了迅速发展，但迄今为止已经提出的许多实现混沌同步的方法多限于线性控制方法近年来非线性控制正在兴起，特别是非线性反馈控制，它不仅可以应用于混沌控制，而且还可以应用于混沌同步，因此己经成为人们关注的一个重要研究方向为此，我们应用非线性反馈控制的基本思想对一个三维系统混沌同步进行研究，讨论其复杂的混沌同步行为，最后给出数值模拟结果我们感兴趣的是，在系统达到完全同步时反馈参数数的具体取值范围我们在第二部分即第四章研究了耦合复杂网络的混沌同步问题，运用的d s s m4方法在误差比较小的时候可以迅速的计算出完全同步所需要的耦合系数的范围我们对两种网络连接方式分别作了理论分析并给出了数值模拟结果这在实际应用中是非常实用的在物理学及通讯领域有广泛的应用前景52 基本概念和理论基础2 1 混沌同步定义考虑两个混沌系统，一个混沌系统为：x = f ( x ，f )( 2 1 )该系统可以称为驱动系统，或者在通讯中称为发射系统另一个混沌系统为：y = f ( 】，f ) + g( 2 2 )其中g 为任意一个控制器，通常该系统称为响应系统，或者在通讯中称为接收系统这里t 为时间，矢量x ，y r ”，它们分别具有n 维分量( ，而，) 及( y 。，y 2 ，以) 上面两个系统可以是完全相同的( f ( x ，t ) = f t ( 】，f ) ) ，也可以是不同的，但是它们的初始条件都不同如果两个系统通过控制器g 的某种方式联系，令x ( t ；t o ；五) 和y ( t ；t o ；y o ) 分别为( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的解，并满足函数光滑条件，当存在尺”的一个子集d ( t o ) 时，使得初值五，r o d ( t o ) ，当t o o 时，若存在：f 兰! 受l l x ( t ；t o ；x o ) 一r ( t ；t o ；r o ) 1 专0( 2 3 )则称响应系统( 2 2 ) 与驱动系统( 2 1 ) 达到同步显然，控制器g 起关键作用，人们可以设计各种不同的控制器g ，于是就有各种同步方法混沌同步可以分为两大类型：1 ，恒等同步：对于参数和变量完全相同的两个或多个非线性混沌系统，即f ( x ，f ) = f t ( 】，f ) ，当它们系统相应的信号不仅幅度大小而且相位大小都完全相同时，这时达到了混沌同步，称为恒等同步2 ，广义同步：对于两个或多个完全不同的混沌系统，即f ( x ，0 f ( y ，f ) ，当它们相应的信号或者只是相位同步，或者只是频率同步，或者只是它们的幅度之间或者两个系统变量之间存在一定的函数关系，这种同步则称为广义同步2 2 混沌同步原理2 2 1p e c o r a c a r r o l l 混沌同步原理( 驱动一响应同步原理)1 9 9 0 年，p e e o r a 和c a r r o l l 为了阐明实验上观察到的混沌同步现象，对响应系统的稳定性及同步原理进得了理论分析，提出了实现混沌同步的p e c o r a - c a r r o l l 自6同步原理这个方法的最大特点是：由驱动系统与响应系统通过驱动变量构成总体动力学系统，响应系统的行为取决于驱动系统，而驱动系统的行为与响应系统无关设一个1 1 维自治动力学系统：j = 厂( 力( 2 4 )其中，将系统分解为激励部分d 和“专r “则相应的状态变量可表示为( 2 5 )其中，r 啊，而r 砚，嘲+ = 刀从而可以分解为两个子系统：r 2g ( 而，)( 2 6 )i ，hj【x r = 办( 而，)其中：石= ，屯，) r而= x l , 屯， 2- - x + l ，+ 2 ，x 1 2厂= z ，正，z rg = z ，五，厶) 2h - - i + ，厶彬，z r称( 2 6 ) 式为驱动系统现在复制一个响应系统：= ( 杨，)( 2 7 )并且用同一信号来作为激励，式中而为驱动变量，它由驱动系统( 2 6 ) 产生，用来驱动响应系统( 2 6 ) 与( 2 7 ) 构成一个总体系统：毛= g ( x o ，)五= 办( ，靠)( 2 8 )= ( 而，)定义瓴- - 4 - x r ，如果当f 专时，瓴一0 ，那么称与渐进同步，并且与初始条件无关p e c o r a 和c a r r o l l 对响应系统的稳定性及同步原理进得了分析，发展了混沌信号驱动系统的稳定性理论，即所谓的条件l y a p u n o v 指数稳定性判据，给出如下同7皿艮分玉：配广_jr 霸吉=一业x工靴步定理：只有当响应系统( 2 。7 ) 的所有条件l y a p u n o v 指数都是负时，才能达到响应系统和驱动系统同步f l o ：瓴( f ) = l i m 恢( f ) 一x r ( t ) i = 0( 2 9 )或者构造矗：皈= 取。g ( x d ，稚) 瓴= o ( ( a x d 2 )( 2 1 0 )其中，见。g ( x o ，) 是系统g 对的雅克比矩阵如果此雅可比矩阵的特征值全部具有负实部，那么，这个系统是收敛的，这可用条件l y a p u n o v 指数来衡量如果条件l y a p u n o v 指数均为负，则可以确定是收敛的综上所述，p e c o r a - c a n o l l 驱动响应同步原理可以表述为：一个自治的混沌系统，可以将它分解为激励部分和响应部分，只有当响应系统的所有条件l y a p u n o v指数均为负时，才能达到响应系统与驱动系统的混沌同步随着人们对混沌研究的深入，人们进一步将驱动一响应同步原理推广到超混沌系统中，其同步机理与混沌同步机理类似，只是超混沌同步的条件有所改变当将此同步原理推广到超混沌同步系统中时，得到的同步条件为：当响应系统所有条件均为负时，能够达到驱动系统与响应系统渐近同步：当响应系统仅有一个正的l y a p u n o v 指数，而且小于驱动系统的最大l y a p u a o v 指数时，即响应系统要比驱动系统相对稳定时，响应系统也能够与驱动系统达到渐近同步2 2 2 耦合同步原理由于驱动响应同步的混沌系统之间存在驱动与被驱动的关系，它是用驱动变量替换响应系统中相应的变量，因此也称作替换型同步，这就要求构造可同步的子系统将原始系统( 即驱动系统) 进行分解：一个是稳定的子系统另一个是不稳定的子系统，显然这一操作步骤大大限制了这一原理的实际应用范围，因为在自然界中，许多客观存在的实际系统在物理本质上是不可分割的，即使在理论上可以分解，在实际上也不一定能办到对于这些广泛存在而本质上又无法分解的系统，能否通过耦合实现非线性混沌系统之间的同步? 这个问题早在2 0 世纪8 0 年代就引起了广大科学家的极大兴趣许多研究也证明，相互耦合的混沌系统在一定条件下同样能达到混沌同步相互耦合的非线性系统广泛存在于众多学科中，如物理、化学、生物等，而且它具有非常丰富和令人感兴趣的动力学行为深入研究各种相互耦合系统的同步，必将会促进混沌同步的各种实际应用耦合混沌系统的同步，实质上是要把耦合系统稳定到状态空间( 工，y ) r 2 ”中的一个低维流形s = ( x ，夕) ：y = 石 上，流形s 称为同步流形或吸引域耦合系统之间的8同步是通过两个系统之间的信号差来实现的假设n 维自治系统可用下列微分方程来描述j = 厂( 功其中，z r “为状态变量另有一个与式( 2 1 1 ) 所述系统结构及参数均相同的系统，我们令它为：夕= ( y )其中，y r ”为状态变量耦合项分别用u ，v 表示，这里( 2 1 1 )( 2 1 2 )髓譬二舅崩z m ，一l ，= 岛( 毛一只)。一一则相互耦合的系统可表述为： 毒2 舷“! ( 2 1 3 )【夕= f ( y ，d当t 专0 0 时，若有忙一少0 寸。成立，则表明耦合系统己实现了同步此时耦合项“，y 均趋于零因此通过耦合实现混沌或超混沌系统之间的同步，并不改变原来非线性系统的动力学特性相互耦合的非线性系统，具有十分复杂的动力学行为虽然对这类系统的同步现象进行了不少研究，但还是没有一个普适性的理论，不过选择合适的耦合系数是实现耦合同步的关键2 2 3连续变量反馈原理1 9 9 3 年，德国学者k p y r a g a s 提出了对非线性连续混沌系统实行连续变量微扰反馈的控制方法，后来这一思想被用来研究两个混沌系统的同步其原理可用图( 2 1 ) 表示假设有两个混沌系统( i ) 和( i i ) 分别为：i j = 厂( 力( 2 1 4 )i 夕= g ( y ) + k ( x - y )( 2 1 5 )其中x , y r 4 ，七= d i a g k i ，乞，吒r ，调整反馈权重系数k 的大小可以达到两个混沌系统( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 的完全同步，即当t - - o o 时，若y ( f ) 一“f ) 专o ，则两系统达到同步值得注意的是，为了保证两系统的同步，选择初始条件是非常重要的如果启动时刻两者状态之间的距离太大，系统将不能达到同步或达到同步的时间太长9y ( 1 )0图2 1 反馈同步原理图但总的来说这种反馈同步法简单有效，易于实现，具有一定的实用价值另外，根据具体的系统，可以灵活的采用单变量、多变量甚至所有系统变量反馈微扰来实现同步关于此同步原理，k o c a r e v 等人提出了下列同步收敛定理：定理1 若f = g ，gx ( t o ) - y ( t o ) i 非常小，则存在一个有限值磅o = 1 ，2 ，万) 使得对于向 奄，有j ，( f ) 一“f ) 专o 即两个系统达到同步对于f g 的情况，假设对于所有的f = 1 ，2 ，刀，k 为一个非负的实参数，则有：定理2 ：对于s k 。1 及足够小的i x ( t o ) - y ( t o ) l ，存在一个气，使得在t o t l ，j 甜j迭代使两点分开，如果i 华l 1 ，迭代使两点靠拢但是，在不断的迭代过程中，l 华i之值要随时变化，时而分离时而靠拢，为了表示从整体看相邻两状态分离的情况，必须对时间( 或迭代次数) 取平均为此，设平均每次迭代所引起的指数分离中的指数为仃，则原来相距为s 的两点经过n 次迭代后距离为6 e 柑= l f ”( x o + e ) - f ”( ) l取极限g 一0 ，万一o o ，上式变为仃( x o ) ：l i m l i 婴k i 丛壁删ll 亦”( 力ld f ( f ”1 ( 功) d f ( f ”2 ( x ) ) d f ( x ) iid xl ；嘶担”1 ( x )扭”2 ( x ) d xi ，嘶：塑到d f ( x ) l 堡盟f 出l ，铀出i ，出i ，铂可得仃：l i m l i m l l 争l i l l 型i 仃：y l i l l 型1 n ”以智ld xi x = x ,上式中的仃即称为李雅普诺夫指数( 或l y a p u n o v 指数) ，它表示在多次迭代中平均每次迭代所引起的指数分离中的指数由以上讨论知，当盯 0 ，则意味着运动轨道的局部不稳定，相邻点的轨道最终按指数方式分离，如果轨道有整体的稳定因素( 例如有捕捉区域，耗散等) ，则在此作用下反复折叠，形成混沌吸引子因此，仃 0 可以作为混沌行为的判据对于高维离散动力系统可以类似的定义李雅普诺夫指数设f 是尺”_ r ”的m维映射，决定以下的m 维离散动力系统毛+ 。= f ( ) 将系统的初始条件取为一个无穷小m 维的球，由于演变过程中的自然变形，球将变成椭球将椭球的所有主轴按其长度顺序排列，那么第i 个l y a p u n o v 指数根据第i 个主轴的长度的增加速率定义为l y a p u n o v 指数q = 舰去h 俐扣1 ，2 ，棚这样l y a p u n o v 指数是与相空间的轨线收缩或扩张的性质相关联的，在l y a p u n o v指数小于零的方向上轨道收缩，运动稳定，对初始条件不敏感，而在l y a p u n o v 指数为正的方向上，轨道迅速分离，对初值敏感注意椭球的主轴长度按矿增加，由前二个主轴定义的区域面积按p ( 吼+ 吒增加，由前三个主轴定义的区域体积按p 毋+ 吒+ 乃增加，如此等等，这个特性表达了l y a p u n o v 指数的另一个含义，即前j1 2h1 一万溉f i由个指数的和由前j 个主轴定义的j 维立体体积指数增加的长期平均速率确定用上述无限小状态球的演变来计算l y a p u n o v 指数是不能在计算机上实现的，因为计算机不能表示无穷小量另一个问题是球的扭曲程度也指数地加速增加，因而所有主轴向量的方向将向最大l y a p u n o v 方向靠拢，无论计算机的精度如何，都无法区分这些主轴向量的方向为此，我们可以采用线性代数中的g s r 方法追踪发散轴的行为，可以用相空间各维上的体积元素的长期增长速率来计算l y a p u n o v 指数但是在实际计算中还是很困难的，不过为了判断m 维离散动力系统是否出现混沌，并无必要去计算一切李雅普诺夫指数1 9 8 3 年格里波基证明只要最大的李雅普诺夫指数大于零，就可以肯定混沌的存在，而计算最大的李雅普诺夫指数可以采用下面的n i e o l i s 方法用表示m 维空间的距离，则最大李雅普诺夫指数满足l l a x oe 呻= j | f 4 ( x o + a x o ) 一f 4 ( ) 0l i j ( x 。一1 ) ，( 吒一2 ) j c x o ) a x o1 1 为计算q ，选取眠为盛，其中反表示模，f f 西e o 表示一单位向量，( 而) 也为一向量，设为d l e l ，d l 为模，e l 为一单位向量j ( 五) q 也为一向量，设为以e 2 ，以为模，e 2 为一单位向量以次类推，得到，( 一。) 乞一。= 以巳，巳为一单位向量贝uo - t = l i m 二l i l i 吃屯一吐盔i2 4 李雅普诺夫函数可以借助构造一个特殊的函数v ( x , y ) ，并利用v ( x , y ) 及其通过方程组的全导数掣便确定了方程组零解的稳定性，这就是李雅普诺夫第二方法的思想i d r ：f ( 功( 2 1 9 )x = 三 ，f c x ，= 二三一二 假设，( o ) = o ，且，( 功在区域g = ( 五，x , ) ：l x l l 0 ，且v ( o ) = 0 ，则称v ( x ) 为定正的如果函数一v ( x ) 是定正( 常正) 的，则称v ( x ) 为定负( 常负) 的进一步假设函数v ( x ) 关于所有变元的偏导数存在且连续，以方程( 2 1 9 )的解代入，然后对t 求导坐d t1 ( 2 - 1 9 ) = 喜篆亟d t = 喜簧似“智挑智挑川”一。这样求得的导数等i称为矿( x ) 关于方程( 2 1 9 ) 1 拘全导数d fi ( 2 一1 9 )定理2 对于方程( 2 1 9 ) ，如果存在一个定正的函数v ( x ) ，其关于方程的全导数华为常负函数或恒等于零，则方程( 2 1 9 ) 的零解为稳定定理3 对于方程( 2 1 9 ) ，如果存在一个定正的函数矿( 力，其关于方程的全导数等是定负的，则方程( 2 1 9 ) 的零解为渐近稳定定理4 对于方程( 2 1 9 ) ，如果存在一个函数v ( x ) ，其关于方程的全导数可以表示为= 矿( 功+ 形( 功且当非负常数0 时，w 为常正函数或恒等于零，= 0 时，w 是定正函数，又在z = 0 的任意小邻域内都至少存在某个i ，使得v ( y ) 0 ，那么方程( 2 1 9 ) 的零解是不稳定的定理5 如果存在一个定正的函数v 伍) ，其关于方程( 2 1 9 ) 的全导数等为常负，但使等= 0 的点x 的集合中，除零解x = 0 外，并不包含方程( 2 1 9 ) 的其它解，则方程( 2 1 9 ) 的零解渐近稳定李雅普诺夫第二方法将稳定性的问题转化为李雅普诺夫函数的构造问题，寻找和建立满足上述诸定理的函数v ( x ) ，实质上需要高度的技巧李雅普诺夫和他的后继者也己经提供了某些建立李雅普诺夫函数的方法，他们可以成功的解决许多具体问题，归集起来，有类比法、能量函数法、变量分离法、变梯度法、广义能量法、首次积分线性组合与加权法等1 43 一个三维系统的非线l 生反馈法同步反馈技术是工程上普遍应用的一种方法利用反馈技术可以实现混沌系统的控制，如将系统稳定到不稳定的不动点、周期轨道等一般来说，在混沌同步中，用到的反馈方法可以分为参数反馈和状态变量反馈两种参数反馈是指利用反馈的误差信号去调整系统的参数，这是因为混沌系统对参数的极端敏感性可以通过调整参数就可使两个混沌系统实现同步化，这类似于混沌控制的o g y 方法状态变量反馈指的是反馈的信号直接加到响应系统的状态变量上去，不必改变系统的参数状态变量反馈可以有多种形式，可以是线性的，也可以是非线性的近年来，混沌同步的研究得到了迅速发展，但迄今为止已经提出的许多实现混沌同步的方法多限于线性控制方法值得注意的是，近年来非线性控制正在兴起，特别是非线性反馈控制，它不仅可以应用于混沌控制，而且还可以应用于混沌同步，因此已经成为人们关注的一个重要研究方向本章首先将非线性反馈法做一简单介绍，然后应用非线性反馈控制的基本思想分别对一个三维自治系统混沌同步进行研究，最后给出数值仿真结果3 1 方法原理现考虑二个n 维非线性动力学系统：j = ，( f ，x )( 3 1 )y = f ( t ，y ) + g ( x ，】，)( 3 2 )其中：x ，y r “，f 为n 为非线性函数，g 为n 维输入控制函数这里，g 为非线性反馈函数显然，当g = 0 时，系统( 3 2 ) 是系统( 3 1 ) 的复制系统通常，称系统( 3 1 ) 为驱动系统，系统( 3 2 ) 为响应系统从通讯角度说，前者称为发射机系统，后者称为接收机系统如果能选择合适的g ( x ，使得t _ o o 时，g ( x ，y ) 专o ，r ( t ) 一x ( t ) 即当g ( x ，聊0 ，时，l i mj r ( t ) 专x ( f ) l i = 0 ( 3 3 )也就是说，式( 3 2 ) 的解渐近地趋向式( 3 1 ) 的解，从而使系统( 3 2 ) 与系统( 3 1 ) 达到同步为了应用李雅普诺夫方法讨论混沌同步，可将上述问题转变为研究式( 3 1 ) 与式( 3 2 ) 的误差动力学方程：吾= 膏一矿= f ( t ，彳) 一f ( t ，y ) 一g ( x ，y ) ，( 3 4 a )即色- el f , ( , ，x ) - f i ( t ，】，) 卜g ( x ，y ) ( 3 4 b )i = 11 - 1l = l倘若找到一个正定的李雅普诺夫函数，它对于时间t 的由式( 3 4 b ) 构成的全导数为负定，则有躲愀f ) 一玉( f ) 0 = o ；( 3 5 )或! i r a l i t ( t ) - x ( t ) i i = 0 r _ w由式( 3 3 ) 知，式( 3 2 ) 与式( 3 1 ) 己达到同步3 2 一个三维非线性系统的同步3 2 1 三维系统的构造耦合发电机是一个非线性动力系统，它具有混沌行为这个系统由两个联结在一起的发电机构成，其中一方产生的电流可产生对另一方的磁场我们定义转子的角速度分别为q ，电流分别为x ，y 则这个系统的数学模型可记为石2 q y h xy2 哆x f 1 2 y( 3 6 )q2 吼一毛q 一砂呸29 2 一岛吼一砂其中，q ，g ：为施加到转子的扭矩，h ，鸬，毛和岛为表示耗散效果的正常数这是个四维微分方程系统( 3 6 ) 中，令岛= 岛= o g 。= q 2 = 1 将系统简化为如下形式f j = 叫x + j ，( z + 口) 夕= - f l y + x ( z - - )( 3 7 )【三= l - x y其中，m = 鲍= ，q = z + 口，哆= z 一口，且口是运动常数( 3 7 ) 的散度v f = 塑+ 堡+ 堡：- 2 0 ，苏砂瑟其中，f = ( e ，五，e ) = ( - 1 t x + y ( z + c t ) ，- l g y + x ( z - a t ) ，1 一x y ) ，当- 1 ，口= 2 时，此系统出现混沌现象，如图3 11 604图3 1 三维系统的混沌吸引子3 2 2 控制器的设计及证明驱动系统的状态方程为：i 毫= + 乃( 毛一2 ) 虫= 一m + 五( 毛一2 )【毛= i 一五乃对( 3 8 ) 带有反馈函数u ( 彳，】，) = 【u ，以】2 的响应系统为f 毫= - - x 2 + y 2 ( z 2 + 2 ) + u 兜= - y 2 + 恐( 乞一2 ) + 【之= l 一屯儿+ u4( 3 8 )( 3 9 )构造误差系统，令e l = 吒一五，乞= 儿一y l ，岛= 乞一z l ，将( 3 9 ) 与( 3 8 )做差，得i 磊- - - q + 奶乞一y l z , + u 岛= 吃+ 屯z 2 一五z l + 【岛= 一屯儿+ 五m + 以选择如下的非线性反馈函数1 764202466u i = o 时，有三。，同步现象发生3 2 3 数值仿真当没有反馈函数的时候，即u = = 玑= 0 时，取我们取( 3 8 ) 的初值为五( o ) = 1 5 ，乃( o ) = 1 5 ，毛( o ) = 1 5 ，( 3 9 ) 的初值为屯( o ) = 1 5 1 ，兄( o ) = 1 5 1 ，z 2 ( 0 ) = 1 5 1 ，虽然差值很小，但是两个系统的误差随时间指数分离，如图3 2 然后我们取k = - o 2 ，符合( 3 1 0 ) 的条件取( 3 8 ) 的初值为五( o ) = 1 5 ，乃( 0 ) = 1 5 ，毛( 0 ) = 1 5 ，( 3 9 ) 的初值为而( o ) = 3 ，y 2 ( o ) = 3 ，z 2 ( 0 ) = 3 结果表明虽然两系统的初值不同，但最终实现了两个系统的同步见图3 3 ，图3 4 ，图3 5 图3 2 没有反馈时误差q 随时间的演化过程j 壁塞銮适太堂亟堂僮i 佥塞= 仝三维丞统的韭线性厦熊法回垄图3 3 误差q 随时间的演化过程图3 4 误差p 2 随时间的演化过程1 9图3 5 误差吃随时间的演化过程2 04 复杂动力网络的混沌同步4 1 复杂网络的介绍近年来，复杂网络引起了许多相关领域研究人员的关注所谓复杂网络就是具有复杂拓扑结构和动力行为的大规模网络，它是由大量的节点通过边的相互连接而构成的图例如，因特网，万维网，超文本传输协议，食物链网络，生物网络，脱氧核糖核酸，无线通讯网络，高速公路网，航空线路网，电力网络，细胞神经网络，超大规模集成电路，人体细胞代谢网络，流行病传播网络等都是复杂网络复杂网络的节点可以是任意具有特定动力和信息内涵的系统的基本单位，而边则表示这些基本单位之间的关系或联系由于我们的生活中存在着大量的复杂网络，这促使我们去研究这些复杂网络的行为网络化是今后若干年许多研究领域发展的一个主流方向，因为复杂网络的研究显得愈来愈重要当前，我们正在建立各种各样的复杂网络，如能源供应网络，交通网，信息网，金融网等等，这些网络与我们的生活密切相关，这就需要我们深入研究和更深刻的理解这些复杂网络的拓扑结构，运行机制，动力行为，同步能力，抗干扰能力等，以便更好的设计和管理这些实际的复杂网络研究复杂网络，对于防备黑客攻击、防治流行病( s a r s ，h 5 n 1 ) 和开发新药等，都具有十分重要的意义具有不同拓扑结构的复杂网络可以分类为规则网络，随机网络，小世界网络，无尺度网络，演化网络等( 见图4 1 ) 规则网络是指我们常见的具有规则拓扑结构的网络，如完全连结图，星状网络，临近节点连结图等随机网络是由一些节点通过随机布置的连结而构成的复杂网络，如美国的高速公路网随机网络的节点连结的分布为钟形曲线分布小世界网络是一类特殊的复杂网络，它具有大的串系数和小的平均最短距离无尺度网络是节点与节点之间的连结分布遵循幂次定律的网络，如美国航空网无尺度网络的大部分节点只有少数连结，而少数节点则拥有大量的连结演化网络是一类更复杂的网络，它的倾向性选择概率是非线性的，它存在边的增加和减少，内部节点之间存在着竞争，它的增长性受到节点老化等多种因素的限制同步是一类非常基本的非线性现象，复杂网络展示各种网络同步现象。现在已经证明了两个或更多的混沌系统能够通过相互的耦合达到同步在统一混沌系统的情况下( 即每个节点由相同的常微分方程及参数构成) ，可以达到完全同步完全同步的含义就是任意选择的两条轨线戈( f ) ，y ( f ) 会收敛到同一值此后保持步调一致2 1彳铴愈，襞，、) 厂、凝么赫落瓣藕慰凶杉规则网络中的完全连结小世界网络随机网络图4 1 网络模型无尺度网络( ! i r a i “f ) 一y ( f ) l = 0 ) f 。，田近年来有许多研究耦合方法的文章，其中的关键就是耦合系数的选择在本文中，我们利用了文献【5 】中的耗散同步稳定性矩阵的方法( d s s m ) 来做耦合参数的估计振子的同步倾向于只受两种因素的影响：节点系统的李雅普诺夫指数和节点之间的耦合系数4 2 方法原理先考虑两个相互耦合的相同的1 1 维动力系统j = 厂( x ) + 以( y 一力( 41 )夕= f ( y ) + d y ( x y )其中，x , y r “( 刀3 ) ，) = d a g l 以j ，；以；，以。，j r o( 七= o ，1 ，2 ，刀)是对角耦合矩阵自然数k 表示耦合矩阵的维数我们现在考虑k - - n 的情况先考虑没有耦合时( k = 0 ) ，( 4 1 ) 中的两个子系统就是两个独立的动力系统j = ( x )( 4 2 )夕= 厂( y )因为两个系统是相同的，可以认为( 4 2 ) 中的两个系统初始于同一吸引