（基础数学专业论文）绝对k仿正规算子及aluthge变换的性质.pdf

摘要 本文主要引入了两类新的算子；一a ( k ) 类算子及绝对一+ 一k 一仿正规算子，并研究 了t 与t ( + ) 的一些相似性质本文组织如下t 第一章首先引入了与a ( ) 类算子及绝对一k 一仿正规算子相关的+ 一a ( k ) 类算子及绝 对一+ 七一仿正规算子，继而讨论其性质，诸如这两类算子的特征t 对任意 0 ，t 是 绝对一一k 仿正规算子当且仅当 t + frj 弘t 一( k + 1 ) a 蠡it 1 2 + 七a + 1 0 ， a o ； 这两类算子间的相互包含关系，, - a ( k ) 类算子是绝对一缸仿正规算子；这两类算子的 谱性质t 当0 k 1 时，绝对+ b 仿正规算子的联合点谱等于点谱，当0 k 1 时，绝对一+ 一缸仿正规算子的联合近似点谱等于近似点谱；并给出它们的一些应用；一个 算子s 如果与绝对- 宰一b 仿正规算子t 拟相似，则a b r o w d e r 8 定理对( s ) 成立，其中 f ( s ) 日p ( t ) ) 第二章主要研究了t 与于( ) 的一些相似性质，诸如t 有s v e p 当且仅当于( ) 有 s v e p , t 有p 性质当且仅当亘) 有p 性质，t 满足 e ) 条件当且仅当于( 满足 g ) 条件等一些内容 关键词： a ( k ) 类算子，绝对一十一k 一仿正规算子， 一仿正规算子，+ 一a l u t h g e 变换 a b s t r a c t t h i st h e s i si sd e v o t e dt oi n t r o d u c et w on e wd a s s e so fo p e r a t o r s ：d a s so f 一a ( k 、 o p e r a t o ra n dc l a s so fa b s o l u t e 一 一k - p a r a n o r m a lo p e r a t o r a n dw es t u d ys o m es i m i l a r p r o p e r t i e so ft a n dt ( “t h ep a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e ri ，f i r s t l y , w es h a l li n t r o d u c ec l a q so f 一a ( k ) o p e r a t o ra n dc l a s so f a b s o l u t e 一 一k - p a r a n o r m a lo p e r a t o rw h i c hi sa s s o c i a t e dw i t hc l a s so fn ( k 、o p e r a t o ra n da b s o l u t e k p a r a n o r m a lo p e r a t o r ，r e s p e c t i v e l y s e n c o n d l y ，w es h a l ls h o ws e v e r a lp r o p e r t i e so ft h e s et w o c l a s s e so f o p e r a t o r s ，s u c ha st h e i rd l a r a t e r i z a t i o n ：f o re a c hk 0 ，a no p e r a t o rti sa b s o l u t e - 一肛p 甜8 n o r i n a li fa n do n l yi f t ”itl 铀t 一( k + 1 ) a ir1 2 + k a 膏+ 1 0 ，a 0 ；t h e i r i n c l u s i o nr e l a t i o n ：e v e r y # a ( k 、o p e r a t o ri sa na b s o l u t e - * - k - p a r a n o r m a lo p 口a m r ；t h e i r s p e c t r u mp r o p e r t i e s ：t h ep o i n ts p e c t r aa n dj o i n tp o i n ts p e t r aa r ei d e n t i c a lf o ra b s o l u t e - * - k - p a r a n o r m a lo p e r a t o r s ，0 k 1 ，t h ea p p r o 】d m a t ep o i n ts p e c t r aa n dj o i n ta p p r o x i m a t e p o i n ts p e t r aa r ei d e n t i c a lf o ra b s o l u t e - * 一k - p a r a n o r m a lo p e r a t o r s ，0 忌l ；a n dg i v e s o m ea p p l i c a t i o n s ：s u p p o s et h a ts t ，a n dti sa na b s o l u t e - , k - p a r a n o r m a lo p e r a t o r ， 0 k 1 ，t h e na o b r o w d e r st h e o r e mh o l d sf o rf ( s )f ( s ) 日( 口( t ) ) ) i nc h a p t e ri i ，w es h a l ls t u d ys o m es i m i l a rp r o p e r i e so ft a n d 丁( ”，s u c ha sth a s s v e pi fa n do n l yi f 氰h a s ，th a spp r o p e r t yi fa n do n l yi f 承时h a s ，ts a t i s f i e sd u n f o r d ，s p r o p e r t y g i fa n do n l yi ft ( ) s a t i s f i e sd u n f o r d sp r o p e r t y g a n ds oo n k e yw o r d s ：c l a s s 车a ( 七) ，c l a s sa b s o l u t e 一 k p a r a n o r m a l ，c l a s s 一p a r a n o r m a l ， * - a l u t h g et r a n s f o r m a t i o n 1 1 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写的研究成果，也不包含为获得河南师范大学或其他教育机构的学位或证书所使用 过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。 签名：! 塑缝豳 日期： 关于论文使用授权的说明 本人完全了解河南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：有权保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河南师范大 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 签名： 导师签名：举龇日期： 第一章关于- a ( k ) 类算子和绝对一木一k 一仿正规算子 1 1 引言 本篇论文中，设日为一个无穷维的可分的希尔伯特空间，b ( 日) ，k ( h ) 分别由日上 的有界线性算子和紧算子构成，一个大写字母指b ( h ) 中的一个元素若对任意z h ， ( t x ，z ) 0 成立，则称算子t 为正算子，记为t 0 若t 为可逆的正算子，则称算子 t 为严格正算子，记为t 0 可参阅文献【1 】，【2 】，【3 】，f 4 】 若t 曰( 日) ，记n ( ? ) ，r ( t ) 分别为丁的零空间与值域空间；a ( t ) ：= d i m n ( t ) ； p ( t ) ：= d i m n ( t * ) ；口( 印为算子t 的谱；( t ) 为t 的近似点谱；a a t ) 为t 的点谱 算子t b ( h ) 称为f r e d h o l m 算子，如果它的值域是闭的，并且有有限维的零空间 及有限余维的值域空间 中的f r e d h o l m 算子的指标定义如下 i ( t ) ：= q ( 丁) 一3 ( t ) 算子t b ( h ) 称为w e y l 算子，如果它是f r e d h o l m 算子且它的指标为0 算子 t b ( h ) 称为b r o w d e r 算子，如果它是f r e d h o l m 算子且有有限的上升与下降由【5 ，定 理7 9 3 1 。算子t 为b r o w d e r 算子等价于t 如果它是f r e d h o l m 算子且t a 是可逆的， 对充分小的a o ，其中a c t 的本质谱以( t ) ，w e y l 谱w ( t ) 及b r o w d e r 谱a t , ( t ) 定 义如下一可参阅文献【5 】，f 6 】 其中 a e ( t ) ：= a g ：z 一坏是f r e d h o l m 算子) ； 加( 即：= a g ：t a 不是w e y l 算子 ； a b ( t ) ：= a c ：t a 不是b r o w d e r 算子 显然 盯；( t ) 叫( t ) d b ( r ) = d | ( r ) ua c c 盯( t ) ， 其中a c e k 表示彤的聚点 整二皇羞量! ：型塑耋复至塑丝壁：! ：! ：堕垄塑翌王 如果记i 8 0 k ：= k a c e k ，则 r o o ( t ) ：= a i s o 口( t ) ：0 a ( t a ) o o ) 定义有限维的孤立点的特征值 p o o ( t ) ：= a ( t ) a b ( t ) 定义t 的r i e s z 点集 h i l b e r t 空间日上的算子丁称为满足w e y l 8 定理，如果 口( t ) ( t ) = 7 r ( 功 即tw e y l 谱在谱中的补集恰好等于有限维的孤立点的特征值 如果 p o o l ：= 一( t ) ( t ) ， 则b r o w d e r 定理对r 成立，可参阅文献【7 】 我们记 圣+ ( ) ：一 丁eb ( h ) ：r ( t ) 闭且皿( f ) o 。) ； 垂一( 日) ：= r b ( h ) ：r ( t ) 闭且o ( t ) o ，称算子t 为p 一亚正规算子，若( t * t ) p 2 ( t t ) ，可参阅文献【1 2 】，其中p 为t 的伴随算子称可逆算子t 为对数一亚正规算子，若l o g ( t t ) b g ( t t ) ，可参阅 文献【1 3 1 若p = 1 ，称t 为亚正规算子；若p = i 1 ，称t 为半亚正规算子。可参阅文献【1 4 】 由l o w n e r - h e i n z 不等式( 可参阅文献【1 5 】，f 1 6 】，若0 n 1 ，则a b 0 号a o 8 。) ， 3 蔓二里羞王兰生f 堕耋蔓王塑竺堕：! ：! ：堡垩望蔓王 若0 0 ，称算子t 为a ( k ) 类算 子，若( pit1 2 t ) 南it1 2 ，其中itl = ( t 研；为t t 的平方根) 及a b s o l u 协k - p a r a n o r m a l 算子( 设k 0 ，称算子t 为a b s o l u t e - k - p a r a n o r m a 算子，若tr7 k 0t x 旷+ 1 对日中的每个单位向量z 成立) a b s o l u t e - k - 仿正规算子是仿正规算子的一般 形式，a b s o l u t e - 1 一p a x a n o r m a l 与p a r a n o r m a l 为同一类算子可参阅文献 1 8 】，对k 0 ， a ( k ) 类算子是绝对一k 仿正规算子 称t 为 一仿正规算子，若0 t z 酽0 t 2 x0 对日中的每个单位向量z 成立，可参 阅文献【1 9 】 作为a ( k ) 类算子及a b s o l u t e - k - p a r a u o r m a l 算子的变形，我们引入 一a ( k ) 类算子及 绝对一缸仿正规算子 定义1 1 1 设k 0 ，称t 为 一a ( k ) 算子，若( t ltpt ) 南2it 1 2 定义1 1 2 设k 0 ，称t 为绝对+ 缸仿正规算子，若 川trz o i f 到t + z0 h 1 ， 对日中的每个单位向量$ 成立 注- 由定义可知，+ 一仿正规算子与a b s o l u 协* 1 ：仿正规算子为同一类算子， 1 21 2 包含关系 关于包含关系已有下列一些结果一 定理1 2 1 i l q 设k 0 ，若t 是a ( k ) 类算子，则t 是绝对一虹仿正规算子 但这个结论反过来不成立，可参阅文献【1 8 】 4 整二里羞至! ：生! 盟耋蔓王塑丝堕：! ：堕垂塑复至 本节中，我们讨论关于* a ( k ) 类算子及绝对一，一七一仿正规算子的类似包含关系，通过 讨论我们可得“a ( k ) 类算子与绝对一b 仿正规算子也有类似的包含关系 引理1 2 2 设a 是h i b e r t 空间日上的正的线性算子，则( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 式成立， ( 1 )( a 1 z ，z ) 2 ( a x ，动1 对每个a 1 及单位向量z 成立 ( 2 )( a 1 戤z ) ( 舡，z ) 1 对每个a i o ，1 l 及单位向量舅成立 ( 3 )如果a 可逆，则( a 1 。，甸( a ：r ，z ) 1 对每个 1 及单位向量2 成立 ( 2 ，)( a 1 z ，功( a x ，z ) 1i lz 咿1 - x ) 对每个a f o ，1 】及单位向量$ 成立 ( 3 7 ) 如果4 可逆，则( a 1 日功( a x ，z ) 1 ”z 2 ( 1 _ ”对每个a 1 ，则 1 0 ，1 】 对每个单位向量z ， 因此。 ( 血，z ) = ( a 1 z ， s ( a z ，善) 圭 ( z ，功( a x ，。) 1 5 笙二皇差王! 二型盟耋蔓王塑丝壁：! ：! ：笪垩望蔓王 ( 3 ) 如果a 1 存在，则对每个单位向量z ， 1 = l iz0 4 = j ( a z ，a 寻z ) 1 2 0 ，则t ( t i t l 2 南l t 1 2 ，k 0 ； 则对任意单位向量$ h ， 川tr 了oj 1 2 = ( r i t i 铀n ，茹) ( ( r itl 姥t ) 南z ，z ) + 1 ( i r l 2z ，z ) 1 = 0 t z 铲+ ” 6 蔓二皇羞王! ：丛盟耋篁塑丝堕：! ：! ：笪堡塑蔓 因此，我们有。对任意单位向量z 日 0 t + 0 州- 0 ，_ 【 0 ，a + p = 1 定理1 2 5 对任意k 0 ，t 是绝对+ 舡仿正规算子当且仅当 t + iti 驰t 一( k + 1 ) x it + 1 2 + k a + 1 0 ， a 0 证明假设t 是绝对十舡仿正规算子，k 0 ，则对每个单位向量z h ( 1 - 1 ) 等价于对任意z h 或 0 t 。俨1 - 1 1 t * x i i ( t 。itl 驰t x ，z ) 研1 ( z ，z ) 南( ij r 1 2z ，。) ( 1 1 ) ( 1 - 2 ) 由引理1 2 4 ，对任惹z h 及a 0 ， ( rit i “t x ，。) 研1 ( ，。) 南= ( ；) ( t it l 绌t 3 ：，z ) 南 a ( z ，z ) 南 击去( t j t i “t 3 ：一+ 而k ，n 因此。对任意ze 日及a 0 ， ， ： 南去( t i t i 姥n ，z ) + 雨k ，z ) ( i t + 1 2 舭) ( 1 - 3 ) 反过来，( 1 - 3 ) 式j ( 1 - 2 ) 式，令a = ! 譬乎) 南代入( 1 - 3 ) 式便可得( 1 - 2 ) 式 成立 当( t itpt 3 ：，z ) = 0 时，令a 一0 因此对任意a 0 ， 7 蔓二童苤王! ：生f 盟耋蔓王塑丝墅：! ：! ：堕垩塑蔓王 ( 1 - 3 ) 式成立 = = pi 丁pt 一( k + 1 ) 妒j 丁1 2 + k a + 1 0 推论1 2 6 算子t 是 一仿正规甘t “t 2 2 刀+ + a 2 0 ，对任意a 0 在定理1 2 5 中令k = 1 便可证明 引理1 2 7 r 令k = o ：兰。峨，其中e 。篁日，对口上的正算子a ，口，在髟上定 义t 如下一 t = ooo00oo 口o0ooo 0 0 b ( 0 ) 00 00 00口oo00 00oa000 00ooao0 其中( ) 为( 0 ，0 ) 点的位置，则以下论断成立。 ( 1 ) 若k 0 ，则t 属于 a ( k ) 当且仅当( b a 2 k b ) 南2 8 2 ( 2 ) 对每个 0 ，t 是绝对* k 仿正规算子当且仅当对任意a 0 ， b a “b 一( k + 1 ) a b 2 + k a + 1 0 ( 3 ) t 是事- 仿正规算子当且仅当对任意a 0 ，b a 2 b 一2 a b 2 + 舻0 证明因为t 属于+ 一a ( k ) 当且仅当( t l t l 2 r ) 南i t + 1 2 经过简单计算易得t t i 。= 丁”r = b 20 00 0 0b 2000 0 0 ( b 2 ) 0 0 000a 20 0000a 2 8 蔓二皇羞王! ：墨f 盟耋箜至塑竺堕：! ：! ：堕垩塑复王 因此有 t 1 2 = t t 。= r l t l 溉t = b 20000 0 0伊0000 00 ( b 2 ) 0 00 00 0b 200 000 ooo 0a 20 0 0a 2 ： b 2 k + 200000 b 2 k + 2 o 0 0 o ( b a 2 b ) o 0 0 0 0 a 2 + 2 0 0o o0 0o a “+ 20 00a 2 k + 2 故比较两矩阵( pjtpt ) 南及lt 1 2 ( o ，o ) 位置的元素得证( 1 ) 成立 ( 2 ) ，( 3 ) 可类似证明 下面给出一个例子说明定理1 2 3 的逆命题不一定成也 例子1 2 8t 是绝对一# 2 - 仿正规算子，但不是“a ( 2 ) 算子 设t 如引理1 2 7 所定义，其中 a ：1 4 0 9 笙二童羞王! ：生! 盟耋蔓王塑丝翌：! ：! ：鱼垩望簦王 口= 把竺嚣) 则 4 b ) 埘= ( ：= 0 地4 4 ，2 i 8 9 - 。) 经过计算可得，( b a 4 b ) i b 2 的特征值是1 4 1 5 1 和一0 1 4 6 8 7 因此，( b a 4 b ) ；b 2 由引理1 2 7 ，t 不是, - a ( 2 ) 算子 另一方面t 对a 0 ，定义j 已( a ) 如下， 础h 鲋4 驴。r 伊妒= 2 4 - 8 v 5 - 6 a 2 + 2 a s - - 1 + 2 + 3 一a 2 - 1 23 a 2 48 4 3 6 a 。+ 2 a 。) +一2 +3 ， 令p 2 ( a ) = t r x 2 ( a ) 且啦( a ) = d e l x 2 ( a ) 则m ( a ) = 4 舻一1 2 舻+ 4 8 且 q 2 ( a ) = ( 2 4 8 以一6 r + 2 a 3 ) ( 2 4 + 8 以一6 a 2 + 2 a 3 ) 一( 一1 2 + 3 a 2 ) 2 = 4 一2 4 舻+ 2 7 a 4 + 9 6 a 3 2 1 6 a 2 + 2 4 0 因此，对任意 0 ， 仇( a ) 0 由于 ( 砷= 2 4 a 5 1 2 0 a 4 + 1 0 8 a 3 + 2 8 8 a 2 4 3 2 a = 1 2 a ( a 一2 ) ( 2 a 3 6 a 2 3 a + 1 8 ) 因此，吐( a = 0 当且仅当a = 0 ，2 又因为对任意a 0 ，2 a a 一6 a 2 3 a + 1 8 0 即，对任意a 0 ，q 2 ( a ) q 2 ( 2 ) = 6 4 0 因此，对任意a 0 ，x 2 ( a ) 20 由于对任意 0 ， t r x 2 ( a ) = p 2 ( a ) 0 且d e t x 2 ( a ) = 口2 ( a ) 0 因此，由引理1 2 7 得，t 是绝对一 一2 仿正规算子 蔓二皇薹王! ：墨f 盟耋蔓王塑丝堕：! ：! ：堕垂望复 1 3 谱性质及其应用 一个复数a 称为t 的联合点谱，如果t 与p 有一个公共的特征向量z ，即tt z = a z 且t + z = k ( q ，a j p ( t ) 分别表示t 的点谱与联合点谱 一般情况下，a p ( t ) o ，( t ) ，但对于一些特殊的算子，a p ( t ) = a l p 汀) 成立，以下 结果众所周知： 定理1 3 1 若t 是半亚正规算子，则c r p ( 印= 乃p ( 丁) ， 定理1 3 2 2 1 】设t = utl 是p 一亚正规算子，0 p i 1 ，若u 是酉算子且lt | - 1 存在，则a p ( t ) = 乃，( t ) 定理1 3 3 【2 2 1 若t 是p 一亚正规算子，0 p i 1 ，则a p ( t ) = 乃p ( t ) 定理1 3 4 1 2 3 若t 是可逆的对数亚正规算子，则唧( 即= a l p ( t ) 定理1 3 5 若t 是弱亚正规算子，则a n ( t ) 一 o ) = 乃，( 一 o ) 显然，定理1 3 5 是定理1 3 1 - 1 3 4 的扩展 我们将此结论推广到绝对一“仿正规算子，一a ( k ) 算子及* 仿正规算子上 定理1 3 6 若t 为绝对+ k 一仿正规算子，0 k 1 ，则唧( t ) = a j p ( t ) 证明我们只需证明；对每个a c ， n ( t a ) n ( r a ) 假设z n ( t a ) ，则t x = a x 由于r 是绝对一女一仿正规算子，则对每个单位向量z h 因此 0 t 。旷+ 1 剑l t i 儿 t * x0 + 1 剑i t 垆t 。 = a ( i t l 2 zz ) a ( i t l 2 zz ) = a0 r z 旷 = i 川” 1 1 蔓二童羞至! ：生f 生耋蔓至塑丝堕：! ：笪垂塑复王 因此对任意n ( t a ) 且l lz = 1 ， t o0 ia 1 即对任意的z n ( t a ) ， ( ( t a ) + z ，( t a ) + 岳) ) = 1 1t z0 2 一( z ：x j 阮) 一( 页丁_ z ) + ia1 2 z1 1 2 la 1 2 一la 1 2 一ia 1 24 - ia 1 2 = 0 即0t z ki i = 0 ，所以。n ( t a ) + 因此n ( t a ) n ( t a ) 推论1 3 7 设t 为绝对一- 舡仿正规算子。若t x = 妇，t y = 删且a p ， 则( z ，y ) = 0 证明由定理1 3 6 a ( z ，y ) = ( t x ，y ) = ( z ，t + y ) 、 = p ，) 由于a p ，则仁，y ) = 0 推论1 3 8 若丁为+ 一a ( k ) 算子或 一仿正规算子，则唧( t ) = 乃p ( t ) 由定理1 2 3 及定理1 3 6 可得结论 推论1 3 9 若t 为绝对一+ 一k 一仿正规算子，0sk 1 ，则卢汀一a ) n 口一a ) ，姒 e 由定理1 3 6 可得结论 定理1 3 1 0 若t 或t + 是绝对- 幸- k 一仿正规算子，0s ks1 ，则埘( ，( t ) ) = ，( t ) ) ， 对每个，日( 盯( ”) ，其中日( 口( 丁) ) 为口( t ) 的解析函数的全体二 证明由于 ( ，( 功) c ，( ( t ) ) 对任意的算子t 成立，我们只需证 ，( 即) c ”( ，( 刃 ( 1 - 4 ) 当，是常值函数时，( 1 - 4 ) 式显然成立 以下假设，不是常值函数，假设ag 叫( ，( ? ) ) ， ，( z ) 一a = 0 一a 1 ) 0 一a k ) 9 ( z ) ， 1 2 簦二主羞王兰生i 塑耋蔓至塑丝壁：! ：! ：堕垂塑蔓王 在a ( t ) 内，j = 1 ，k ，是，( z ) 一a 的0 点，g ( z ) 0 因此，对任意的z d ( t ) ， ( v ) 一a = ( t a 1 ) ( t a k ) 9 ( t ) ( 1 - 5 ) 显然，a6 ，( 埘( t ) ) = 争6 ( t ) ，对某个j 因此为证( 1 4 ) 式，我们只需证对于，隹 ( r ) 由于f ( t ) 一a 是w e y l 的，( i - 5 ) 式右边可交换且每个t 一是f r e d h o l m ，又由于 n ( t b ) n ( f ( t ) 一a ) 且n ( t 一) n ( ，( 即一a ) ，n ( t 一) 及n ( t 一) 都是 有限维的 所以由定理1 3 6 得 i ( t 一) 曼0 由于i ( f ( t ) 一a ) = f ( 9 ( t ) ) = 0 ，因此由( 1 - 5 ) 式得 t ( r b ) = 0 ， 因此t 一是w e y ! 的，即譬 ( r ) 假设p 是绝对掌- 肛仿正规算子则由推论1 3 9 i ( t b ) 0 ，j = 1 ，2 ，n 然而。 t ( 丁一) = 州即一a ) = 0 ， j = l 因此r 一是w e y l 的，v i = 1 2 ，t 1 因此a 隹，扣( t ) ) ，即w ( f ( t ) ) = ，( 刃) 定理1 3 1 1 如果t 或p 是绝对+ b 仿正规算子，0 七1 ，则口矗( ，( t ) ) = ，( d 。( t ) ) ，v f 日( 口( t ) ) ，其中日( 口( t ) ) 为盯( t ) 的解析函数的全体 证明设，日p ( t ) ) ，只需证 ，( ( t ) ) 互( ，( t ) ) 假设a 簪口。( ，( 丁) ) ，则( r ) 一a6 圣；( 日) 1 3 笙二童羞王! ：墨l 堕壅蔓王塑丝塑：! ：堕垂塑蔓王 由于 ，( 印一a = c ( t a 1 ) 一( t a ) 9 ( r ) 其中c ，a l ，a 2 a 。c 且g ( r ) 可逆 由于( 1 - 6 ) 式右边的算子可换，所以t 一九币+ ( 日) 假设r 是绝对* k 仿正规算子，则由定理1 3 6 可得 ( r 一) 0 ，坳= 1 ，2 ，n 因此a 垂，( 以。( t ) ) 如果p 是绝对# 缸仿正规算子，由推论1 3 9 得 l ( t 一) 0 ，v j = 1 ，2 ，1 1 , 因此 。 0 ( t 一) = l ( ，( t ) 一 ) 0 = l ( 1 6 ) 因此，t 一是彬e 瀚，= 1 ，2 ，n 因此，a 隹，( t ) ) 即( ，( 即) = ，( ( r ) ) 引理1 3 1 2 如果t 是绝对 缸仿正规算子，0sk 1 ，则t a 有有限的上升， va c 证明假设t 是绝对一# b 仿正规算子，0 k 1 ，则 n ( t a ) n ( r 一页) ，坝c 因此，我们可以把t a 分解为n ( t a ) o n 口一a ) 1 上的形式如下 ：f ，o o1 0s 令z n ( t a ) 2 ，霉= y + z ，其中y n ( t a ) ，2 n ( t a ) 上 因此，0 = ( t a ) 2 z = ( t a ) 2 z ， 即( t x ) z n ( t a ) i 1n ( t 一 ) 1 = 0 1 ， 则知2 n ( t a ) ，因此，z n ( t a ) 即n ( t a ) = n ( t a ) 2 整二里羞王：型婪耋簦至塑丝堕：! ：! ：鱼垂塑蔓王 引理1 3 1 3 如果r 是绝对一 一k 一仿正规算子，0 sk 1 ，并且s e 则s 有s v e p 证明由于t 是绝对一# 缸仿正规算子，0 k 1 由引理1 3 1 2 可得，t a 有有限的上升，其中a g 因此t 有s v e p , 可参阅文献【2 5 ，引理1 8 1 令，是任意一个开集，：u 一日是任意的解析函数，满足 ( s a ) ，( a ) z0 ，v a 矿 由于s t ，则存在一个单且值域稠的算子a ，满足 4 s = t a 因此 a ( s a ) = ( t a ) a ，矿 假设( s 一 ) ，( a ) = 0 ，u ，则0 = a ( s a ) f ( a ) = ( t a ) a f ( a ) ，v a u 而t 有s v e p , 因此a f ( a ) = 0 ，v a u 由于a 是单射，则，( a ) = 0 ，v a u 因此s 有s v e p 定理1 3 1 4 如果t 是绝对宰- 舡仿正规算子，其中0 k 1 ，并且s t ，则 a - b r o w d e r 8 定理对，( s ) 成立，其中f ( s ) 日p ( r ) ) 证明由于t 是绝对一# 虹仿正规算子，0 k s l ，且s t 由引理1 3 1 3 得，s 有s v e p 下证a - b r o w d e r s 定理对s 成立 出于口矗( s ) ( s ) 显然成立 反过来，假设a 靠( s ) 口。( s ) 则s a 町( 日) 且s a 不是下有界的 由于s 有s v e p 且s a 西；( 日) ，有【2 6 ，定理2 6 】得s a 有有限的上升 因此，由【2 7 ，定理2 1 】得，a ( s ) d “( s ) 因此a - b r o w d e r 8 定理对s 成立 令r 日( 口( s ) ) ，则由定理1 3 i i 得 4 曲( ，( s ) ) = ，( o 矗( s ) ) = ，( 口。( s ) ) = 。( ，( s ) ) 1 5 蔓二童羞王! ：生f 盟耋蔓王塑竺壁：! ：! ：笾垩望蔓王 因此a - b r o w d e r s 定理对f ( z ) 成立 定理1 3 1 5 如果t 是绝对一丰- 虹仿正规算子，0 k s l ，则( t ) = 乃。( t ) 证明只需证对任意的单位向量序列 z 。) ，当( t a ) 一0 时，( r a ) z 。一0 由于t 是绝对一k 一仿正规算子，0 k 1 则对任意的单位向量列 z 。， i i r x u0 1 1 1 i t 产t x n 由于( t a ) z 。一0 ，则( t 2 一舻) z 。一0 又因为 i it 2 z 。0 ( 0 ( 铲一a 2 ) 而。0 + la1 2 ) 0t x 0 2 ( 1 - k ( 1 1 ( t a ) q ；0 + ia1 2 ) 2 0 - k ) 因此 0 t z 。i i + 1s 0 i tr t z 。0 = ( 1 t i “t x 。t x 。) 曼( 1 t 1 2 了k ，t x n ) i l t z 。俨“ = i i 严i t x n l o - k ) ( h ( 铲一a 2 ) z 。0 + ia 2i ) 七( i i ( t 一 ) q 。i l + iai ) 1 一 但是 0 ( ( t a ) 矗。( t a ) z 。) = 0 r a 0 2 一( t x nj ) 一( z 。天甄) + la 1 2 ( 1 1 ( t 2 一a 2 ) 靠i i + l 妒1 ) 精( 0 ( t a ) + ia i ) 雩茅 一( 天t j z 。) 一( x 。天t a k ) + ia 1 2 _ o 因此( ? 一x ) z 。一0 ，所以( r ) = o 3 。( t ) 推论1 3 1 6 若t 为“以( k ) 算子或# 仿正规算子，0 k 1 ，则( t ) ) = 呀。( t ) 由定理1 2 3 及定理1 3 1 5 可得结论 引理1 3 1 7 设t = 矿i 丁i 是t 的极分解，a = i 川0 ， z 。) 是一向量列， 1 6 蔓二里羞王! ：生! 盟耋蔓塑丝塑：! ：! ：堕垂塑蔓量 则下列条件等价， ( n ) ( t a ) 卫。_ + 0 且( t 一a ) z 。_ 0 ，( 礼- - - , ) ； ( b ) ( it l i i ) 0 且( u 一) - - - 40 ，( n o o ) ； ( c ) ( it l iai ) 0 且( 旷一e - 1 0 ) z 。0 ，加- - - - , ) 证明( a ) 争( 6 ) ，( c ) 因为a 0 ，则lt l + l al 及lp i + ial 都可逆，且由， ( j t i + la i ) ( 1 t l ia i ) = r ( r a ) + a ( 2 ”一a ) i r l + ja i ) ( 1 r i la i ) = t ( t + 一a ) + a ( t a ) ia i ( u e ”) = t a u ( 1 t i ia 1 ) iai ( u + 一e 一胡) = r x u + ( it + i iai ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( i - 9 ) ( i - 1 0 ) 可知( 6 ) ，( c ) 成立 反之由( 6 ) ，( c ) 成立，应用( 1 7 ) 式，( 1 - 9 ) 式或( 1 - 8 ) 式， ( 1 1 0 ) 式也可以看出( n ) 成立 推论1 3 1 8 设t 是绝对一# k 仿正规算子，0 k i ，若a 0 使a 靠( 即， 则lai ( it i ) n ( ipi ) ，特别地，若a o a ( t ) ，则iai ( 1ti ) n o a ( ir1 ) 证明因为丁是绝对一# 缸仿正规算子，因此有定理1 3 ，1 5 得t ( r ) = 乃。( t ) 又因为a ( ，故a 乃。( t ) 从而存在单位向量列 z 。，n = i ，2 ，) ，使 ( t a ) - 0 且( t 一a ) z 。一0 ，m - o o ) 由引理1 3 1 7 可得 “丁i l i ) ，0 且( 1 t + l ia 1 ) 靠一0 从而la i 几( i t i ) n a o ( i p i ) 推论1 3 1 9 设t 是绝对一# 缸仿正规算子，0 k s i ，则 a ( t ) = ( 口j ( f ) ) 4 = a i 天口；( t ) ) 1 7 蔓二童羞乏! 二墨l 盟耋蔓塑丝堕：! ：! ：堕垩望蔓王 证明我们只需证明e ( t ) ( ( t ) ) 。 由于a ( t ) = ( “( p ) ) u ( 丁) ，对任意t b ( h ) 由定理1 3 1 5 ，( t ) = o 。( ? ) ( p ) + 故口p ) ( 靠( p ) ) + 1 8 2 1 引言 第二章t 与于( + ) 的关系 于= iti uiti 称为丁的a l u t h g e - 变换，关于t 与t 的关系已有许多作者研 究，可参阅文献【2 8 】，【2 9 1 ，【3 叫， 3 1 1 ，【3 2 1 t 的另一种变换t ( ) = lpi ；uit i 称为丁 的 一a l u t h g e 变换，但关于t 与r ( ) 的关系很少有人研究，这就是我们本章要研究的内 容要研究t 与r ( + ) 的关系，我们需要下列定义及基础知识； w ( t ) = ( 儿，z ) ：6zij = 1 ) 称为t 的数值值域 r ( d = s u p la i ：a ( t ) ) 称为t 的数值半径 称算子丁为拟仿射，如果丁是单射且值域稠 称最t b ( h ) 是拟相似的，如果存在拟仿射x ，yeb ( 日) ，使得 x s = t x 且y t = 蹦 且s 与r 拟相似表示为，s t 称闭子空间m 为t 的不变子空问