（基础数学专业论文）带跳过程的外汇期权定价.pdf

独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进 行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除文中已经标 明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发 表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律结果由本人承担。 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文 的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权云 南师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存和汇编本学位论文。 学位论文作者签名：诙加仓 2 0 0 5 年5 月2 4 日 指导教师签名：蒋之j 互 2 0 0 5 年5 月2 4 日 a c k n o w l e d g e m e n t t h ec o m p l e t i o no ft h i ss t u d yw o u l dn o th a v eb e e np o s s i b l ew i t h - o u tt h es u p p o r to fm a n yi n d i v i d u a l s f i r s to fa 1 1 1w o u l dl i k et oe x p r e s st h a n k st om ys u p e r v i s o rp t o - f e s s o rw e n j i n gj i a n g h en o to n l yo p e n e dad o o ro fp r a c t i c a lm a t h e m a t i c st om em o r et h a nt e ny e a r sa g ob u ta l s op r o v i d e dt h eb r i l l i a u c eo ff i n a n c i a lm a t h e m a t i c st om ei nr e c e n tt h r e ey e a r s s t u d ) ：】 t h a n kt oh i mf o ri n s p i r i n gm yi n t e r e s t i n ga n dh a p p i n e s si nm yl e a r n - i n g ，it h a n kt oh i mf o rh i st r u s ta n dc o n t i n u o u se n c o u r a g e m e n t i t h a n kt oh i mf o rh i ss c r u p u l o u ss u p e r v i s i o na n di n s t r u c t i o n ”e l e g a n t ，u n i q u e ，c r e a t i v e ，p r a c t i c a l ”，t h e s ep r f e s s o rj i a n g sa c a d e m i c s w l e ：h i ss i n c e r i t y ，m o d e s t ya sw e l la st h ek n o w l e d g eio b t a i nf r o m h i mw i l la f f e c tm ei nm yf u t u r ec a r e e r t h e ya r em yv a l u e dw e a l t h i nm 3 ，w h o l el i f e n e x t ，1w o u l d1 i k et ot h a n kt om yt e a c h e r sp r o f e s s o rw 如gt a x ) p r o f e s s o rc h e nl i ，p r o f e s s o rw a n gy u a n c h a n g ，m r s l iy a ha n d m r s l i l y t h e yp r o v i d e dm et h eb a s i ca c a d e m i ck n o w l e d g ea n d g a v em em u c hs u p p o r td u r i n gm ys t u d y 1w o u l dl i k et ot h a n k t om yc l a s s m a t e sx i n g p i n g ，h u i q i o n gf o rt h e i ri m p r e s s i v eh e l pa n d f r i e n d s h i p f i n a l l y , ih a v et os a yt h a n ky o ut om yf a m i l y m yh u s b a n da w e n a l w a y ss u p p o r t e dm ei np a s tt h r e ey e a r se v e ni nah a r dt i m e m y p a r e n t sl o o k e da f t e rm yd a i l yl i f ew h i l ei g n o r i n gt h e i rs i m p l el i v i n g c o n d i t i o n a n dm yi i t t l ed a u g h t e rm a d em eu n d e r s t a n dr e s p o n s i b i l - i t ya n di n d e p e n d e n c em o r e 带跳跃过程的外汇期权定价 线加玲 2 0 0 5 5 2 5 摘要 布朗运动和正态分布曾被广泛地应用于期权 定价和资产收益估计中。b l a c k - s c h o l e s 模型假 设股票价格是一几何布朗运动，这也意味着股 票价格的对数收益服从正态分布。然而，大量 的经验数据表明这样的假设是不切实际的。因 此，当前研究的一个主流方向就是寻找b l 跳k - s c h o l e sm o d e l 的替代模型。这当中，最受关注 的就是以布朗运动和跳过程为基本模块构造的 跳扩散模型。这种l e v y 过程的特例，即带跳过 程的模型能具体刻划更多的金融时序特性，如 不对称性、尖峰厚尾特征等。 一些带跳跃过程的期权定价，比如说回望期 权、障碍期权、美式期权，都被s g k o ua n d h u iw h n g j 二2 0 0 3 年解决了。钱晓松也予2 0 0 4 年 解决了跳扩散模型中的交换期权及亚式期权问 题。但是较为重要自q 外汇期权定价问题，据我 们所知，尚未见著于文献。 本文中，我们借助等价鞅测度转换、跳跃过 程的多元伊藤公式等，最终得到了对数价格服 从带跳过程时外汇期权的定价公式。接着，在 双指数模型的特例下，我们得出了这个定价公 式的显示解。 关键词：跳扩散模型、均衡价格、外犷期权定价 1i n t r o d u c t i o n b r o w n i a nm o t i o na n dn o r m a ld i s t r i b u t i o nh a v eb e e nw i d e l yu s e d t os t u d yo p t i o np r i c i n ga n dt h er e t u r no fa s s e t s ，e g ，b l a c ka n d s e h o e sm o d e lf1 9 7 3 1a s s u m e st h a tt h es t o c kp r i c ei sag e o m e t r i c b r o w n i a nm o t i o n w h i c hi np a r t i c u l a ri m p l i e st h a tt h el o gr e t u r n s o ft h es t o c kp r i c ef o l l o wt h en o r m a ld i s t r i b u t i o n h o w e v e r c u r - r e n te m p i r i c a le v i d e n c e sh a v es h o w nt h a tt h el a t t e ri su n r e a l i s t i c ( s e e f o re x a m p l e ，b a r n d o f f f - n i e l s e na n dj i a n g ( 1 9 9 8 ) ) r e c e n t l y ， t h e r eh a sb e e nc o i l s i d e r a b l ei n t e r e s ti nr e p l a c i n gt h ed a s s i e a lb 1 8 c k s c h o l e sr o o d e la l l o w i n gf o rj u m p s t h i sm o d e lc a nb ei n c o r p o r a t e d m o r ee m p i r i c a lp h e n o m e n a ，s u c ha sa s y m m e t r i cl e p t o k u r t i cf e a t u r e a n dt h ev o l a t i l i t ys m i l e s o m eo p t i o n sp r i c i n gw i t hj u m pd i f f u s i o n ， s u c ha st h el o o kb a c k b a r r i e ra n dp e r p e t u a la m e r i c a no p t i o n s ，w e r e s o l v e db ys g k o ua n dh u iw a n g ( 2 0 0 3 ) ，b u tt h ef o r e i g nc u r r e n c y o p t i o np r i c i n gh a v en o tb e e nt r e a t e de x p l i c i t l yi nt h el i t e r a t u r e a t 1 e a s tf r o mo u rk n o w l e d g e l u c k i l y u s i n g e q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e 8 - s u r ed e n s i t yt r a n s f o r m a t i o na n dt h ei t 6f o r m u l af o rb i n a r yi u m p d i 跳s i o n w eo b t a i nt h es o l u t i o no ff o r e i g nc u r r e n c yo p t i o np r i c i n g t h i sp a p e ri 8o r g a n i z e da sf o u o w s i ns e c t i o n2 t h ej u m pd 稠u s i o nm o d di sp r o p o s e d a n ds o m et h e o r e m so fe q u i l i b r i u mp r i c ea r e g i v e n o u rm a i nr e s u l t s ，t h ep r i c i n gf o r m u l af o rf o r e i g nc u r r e n c y o p t i o np r i c i n gu n d e rj u m pd i f f u s i o np r o c e s s e s ，a r eg i v e ni ns e c t i o n 3 t h es p e c i a lc a s e s d o u b l ee x p o n e n t i a lj u m pd i f f u s i o nm o d e lf o r f o r e i g nc u r r e n c yo p t i o np f i d n g ，a r et r e a t e di ns e c t i o n4 2 j u m pd i f f u s i o nm o d e l 2 1t h em o d e l t h em o d e if o rt h ep r i c eo fa nu n d e r i y i n ga s s e t ( f o re x a m p l ea s t o c ko ras t o c ki n d e x lc o n s i s t st w op a r t s ，ac o n t i n u o u sp a r td r i y e n b yag e o m e t r i cb r o w n i a nn o t i o n ，a n daj u m pp a r t ，w i t ht h el o g n - r i t h mo fj u m ps i z e sh a v i n gs o m ed i s t r i b u t i o na n dt h ej u m pt i m e s c o r r e s p o n d i n gt ot h ee v e n tt i m e so fap o i s s o np r o c e s s m o r ep r e - c i s e l y , t h ef o l l o w i n gs t o c h a s t i cd i f i e r e n t i a le q u a t i o ni su s e dt om o d e l t h ea s s e tp r i c e ，s ( t ) 3 黑：脾+ 盯d w ( t ) 而j 2 删+ 盯 ( 1 ) w h e r ew ( t ) i sas t a n d a r db r o w n i a nm o t i o n n ( t ) i sap o i s s o np r o - c e s sw i t hr a t e ，a n dk 一1as e q u e n c eo fi n d e p e n d e n ti d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e d ( i i d ) n o n n e g a t i v ev a r i a b l e s i nt h em o d e l ，a l ls o u r c e s o fr a n d o m n e s s ( t ) ，w ( t ) a n dv s a l ea s s u m e dt ob ei n d e p e n d e n t f o rn o t a t i o n a ls i m p l i c i t y , a n di no r d e rt og e t8 n a l ，- t i c a ls o l u t i o n sf o r v a r i o u so p t i o np r i c i n gp r o b l e m s ，t h ed r i f tpa n dt h ev o l a t i l i t y 盯& r e a s s u m e dt ob ec o n s t a n t s ，a n dt h eb r o w n i nm o t i o na n dj u m p s8 r e a s s u m e dt ob eo n e - d i m e n s i o n a l t h e s ea s s u m p t i o n s ，h o w e v e r ，c a n b ee a s i l yd r o p f i e dt od e v e l o pag e n e r a it h e o r ) ： n o w 1 e tu ss o l v et h es t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( 1 ) w jd e - f i n et h ep r o c e s sz ( t ) b yz ( t ) = i 饥s 0 ) ，t h e n u s i n gt h ei t 5f o r m u l a w i t hj u m pd i f f u s i o n ( s e e ，马7 5i n 【2 ) ，v v ec a no b t a i nt h ef o l l o w i n g ： 1 c c z ( ) = 卢d 一言盯2 出+ a d 9 7 ( ) + z n ( s ( t + ) + ( “一1 ) s ( 互) ) 一z n ( s ( z ) ) 1 = ( p 一言口2 ) 斑+ 仃d w ( t ) + 2 竹( k ) w h e r e ，正i st h et i m eo fd i s c o n t i n u i t i e s i = 1 2 托) t h i se q u a t i o nc a nb ei n t e g r a t e dd i r e c t b rt o 1 z ( d = z ( o ) + ( 一去矿) + a w ( t ) + t n ( v , ) w h i c hm e a n st h a ts ( t ) i sg i v e nb v s ( t ) = s ( o ) e x p ( ( g 一护) h 盯h ，( t ) ) n ( tk ， ) ( 2 ) 2 2 g e n e r a le q u i l i b r i u mp r i c i n go fo p t i o n sw i t hj u m p d i 鼬s i o n 2 2 1 b a c k g r o u n d c o n s i d e rat y p i c a lr a t i o n a le x p e c t a t i o ne c o n o m ) 。i nw h i c har e p - r e s e n t a t i v ei n v e s t o rt r i e st os o l v eau t i l i t ) m a x i m i z a t i o np r o b l e m 峄e f z 。删州 4 一 k 删 d + w h e r eu ( c ( t ) ，t ) i st h eu t i l i t yf u u c t i o no ft h ec o n s u m p t i o np r o c e s s c ( t ) ，t h e r ei sa ne x o g e n o u se n d o w m e n tp r o c e s s ，d e n o t e db y6 ( t ) ， a v a i l a b l et ot h ei n v e s t o r a l s og i v e nt ot h ei n v e s t o ri sa l lo p p o r t u n i t y t oi n v e s ti na na s s e tw h i c hp a y sn od i v i d e n d s i f6 “) i sm a r k o v i a n ，i t c a nb es h o w nt h a t u n d e rm i l dc o n d i t i o n s t h er a t i o n a le x p e c t a t i o n e q u i l i b r i u mp r i c ef a l s oc a l l e dt h e ”s h a d o w ”p r i c e lo ft h ea s s e t ，p ( t ) ， m u s ts a t i s f yt h ee u l e re q u a t i o n p = 墼跺器塑，v t 剀 ( 3 ) w h e r e 以i st h ep a r t i a ld e r i v a t i v eo fuw i t hr e s p e c tt oe a tt h i sp r i c e p ( t ) ，t h ei n v e s t o rw i l ln e v e ri n v e s ti nt h ea s s e t ，t h o u g hh ei sg i v e n t h eo p p o r t u n i t vt od os o i n s t e a d i ne q u i l i b r i u mt h ei n v e s t o rf i n di t o p t i m a lt oj u s tc o n s u m et h ee x o g e n o u se n d o w m e n t ：i e c ( t ) = 6 ( t ) f o ra l l t 0 i nt h es e c t i o n w es h a l ld e r i v ee x p l i c i t l yt h ei m p l i c a t i o no ft h ee u l e re q u a t i o n ( 3 ) w h e nt h ee n d o w m e n tp r o c e s s5 ( t ) f o l l o w sag e n e r a l j u m pd i i f u s i o np r o c e s s ： 裂= # ；d r + a i d 嗽窆( 玩叫 ( 4 ) 。 t = 1 w h e r ek 0c a l lb ea n yi n d e p e n d e n ti d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e d ，n o n n e g a t i v er a n d o mv a r i a b l e s i na d d i t i o n a l lt h r e es o u r c e so ft h er a n d o m n e s s ，t h ep o i s s o np r o c e s s “) ，t h es t a n d a r db r o w n a nm o t i o n h ，1 ( t ) ，a n dt h ej u m ps i z e sva r ea l la s s u m e dt ob ei n d e p e n d e n t f o rs i m p l i c i t y ，a si n 【3 】( 1 9 9 0 ) ，w es h a l lo n l yc o n s i d e rt h eu t i l i t y f u n c t i o no ft h es p e c i a lf o r m s fe 棚譬0 0 ( 2 0 ) w h e r ep ，口0 ，p + q = 1 , r e p r e s e n tt h ep r o b a b i l i t i e so fu p w a r da n d d o w n w a r dj u m p s i no t h e rw o r d s ， l o g ( v ) ：y 皇 ；= ： l w i t hp r o b a b i l i t yp w i t hp r o b a b i l i t yq w h e r e f + a n d 一a r ee x p o n e n t i a lr a n d o mv a r i a b l e sw i t hr e c a l l sl q 1 a n d1 7 7 2 r e s p e c t i v e l 3 + a n dt h en o t a t i o n 兰m e a n se q u a li nd i s t r i b u - 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