（基础数学专业论文）一维p次线性laplace方程的无穷多次调和解.pdf

一维p 次线性l a p l a c e 方程的无穷多次调和解 摘要 一维p 次线性l a p l a c e 方程的无穷多次调和解 摘要 p - l a p l a c e 方程是来源于非牛顿流体和非线性弹性力学的重要微分方程模型本 文讨论一维p - l a p l a c e 方程 ( m p - 2 x ，) ，+ g ( t ，z ) = 0 大振幅次调和解和小振幅次调和解的存在性与多重性这里g c ( a r ，r ) 且是关 于t 为2 7 j r l j 、周期的函数，满足无穷远处p - 次线性条件( 第二章) 磐匕高等篆2 0 九r 十个、 或者原点处p - 次线性条件( 第三章) i 蓦m 0 嵩杀篆20 ，对【0 ，2 7 r 】一致 研究一维p - l a p l a c e 方程的多重次调和解的存在性的主要工具是p i o n c a r 6 - b i r k h o f f 扭转定理因此在证明中最关键的一步就是在相平面上找出满足扭转条件的环域 满足无穷远处p 次线性条件的l a p l a c e 方程的相平面上扭转环域的内边界的构 造比较困难随着时间的增加，解的旋转角度会变大但解的半径难以控制，可能会 跑向原点，从而无法计算解的旋转角度为此我们对原方程的等价系统进行改造，使 之成为一个新的h a m l i t o n 系统，且零函数是过( 0 ，0 ) 的惟一解由符号条件与少次 线性条件，我们可以找到一个单调递增函数，然后利用此函数控制内圈再由p 次 线性条件，找到外圈，保证其p i o n c a r 6 映射在由上述两个圈围成的环域上满足扭转条 件然后应用p i o n c a r 6 - b i r k h o f f 扭转定理得到新系统次调和解的存在性与多重性，并 且不动点的旋转角度又保证了这些解恰好是未改造时系统的解，从而是原方程的次调 和解用相平面方法研究p - l a p l a c e 方程还会遇到方程对初值问题的解存在惟一方面 的问题，我们通过光滑逼近的方法解决 满足原点处p 次线性条件的p - l a p l a c e 方程的研究中解决方程对初值问题的解存 在惟一时需先通过p 次线性条件找到“先验”的扭转环域，然后证明可以取一系列的 在同一个环域上满足l i p s c h i t z 条件的光滑函数乳( t ，z ) 来逼近g ( t ，z ) ，证明新系统在 这个环域上仍然是扭转的再应用p i o n c a r & b i r k h o f f 扭转定理可以证明新系统次调和 解的存在性与多重性最后应用a r z e l a - a s c o l i 定理逼近到原系统的次调和解 关键词：p - l a p l a c e 方程；p i o n c a r 6 映射；p i o n c a r 6 - b i r k h o f f 扭转定理；大振幅次 调和解；小振幅次调和解 一维p 次线性l a p l a c e 方程的无穷多次调和解摘要 作者：相福香 指导教师：钱定边 一维p 次线性l a p l a c e 方程的无穷多次调和解a b s t r a c t i n f i n i t e l ym a n ys u b h a r m o n i cs o l u t i o n s r 一 一 一一 t o ro n e - d i m e n s i o n a lp l a p l a c i a ne q u a t i o n a b s t r a c t p - l a p l a c i a ne q u a t i o ni sa ni m p o r t a n tm o d e lo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o nf r o mn o n - n e w t o n i a nf l u i dt h e o r ya n dn o n l i n e a re l a s t i c i t y i nt h i sa r t i c l e ，w ec o n s i d e rt h ee x - i s t e n c eo fi n f i n i t e l ym a n ys u b h a r m o n i cs o l u t i o n sw i t hl a r g ea m p l i t u d eo rw i t hs m a l l a m p l i t u d ef o ro n e - d i m e n s i n a lp - l a p l a c i a ne q u a t i o n ：( i x , i p - 2 ，) + g ( t ，z ) = 0 w h e r e g c ( r r ，r ) i s2 7 r p e r i o d i ci nt i m et ，a n di sp - s u b l i n e a ra tt h ei n f i n i t y ( i nc h a p t e r 2 ) i nt h es e n s e 1 i m + 管每芝= oa n di sp s u b l i n e a ra tt h eo r i g i n ( i nc h a p t e r3 ) i n t h es e i l s el i m 磐：0 川一oi z i p - - z z t h ep i o n c a r 6 - b i r k h o f ft h e o r e mi st h em a i nt o o lo fs t u d yf o rt h ee x i s t e n c eo fi n - f i n i t e l ym a n ys u b h a r m o n i cs o l u t i o n sf o ro n e - d i m e m i n a lp - l a p l a c i a ne q u a t i o n t h u s t h ek e ys t e pi nt h er e s e a r c hi st oc o n s t r u c tat w i s ta n n u l u si nt h ep h a s e - p l a n e f o ro n e - d i m e n s i n a lp - l a p l a c i a ne q u a t i o n p - s u b l i n e a ra tt h ei n f i n i t y , t h ei n a i nd i f - f i c u l ti st of i n dt h ei n n e rb o u n d a r yo ft h et w i s ta n n u l u s w h e nt h es o l u t i o nm o v e s a r o u n dt h eo r i g i n ，i tw i l la r r i v e st h eo r i g i n t h e nt h ea n g l eo ft h es o l u t i o nm o v e sw i l l b en o td e t e r m i n e d t h e n ，w ec h a n g et h eo l de q u a t i o n ，i nt h en e i g h b o r h o o do f ( 0 ，0 ) ， i n t oan e wp l a n eh a m i l t i a ns y s t e mw h i c h ( 0 ，0 ) i st h eo n l ys o l u t i o nf o rt h eh a m i l t i a n s y s t e m b yp - s u b l i n e a ra n ds i g nc o n d i t i o n ，w ec a nf i n dai n c r e a s l yf u n c t i o nw h i c hc a n c o n t r o lt h ei n n e rb o u n d a r y l a t e rt h eo u t e rb o u n d a r yc a nb ef o u n db yp - s u b l i n e a r b yu s i n gp i o n c a r 6 - b i r k h o f ft h e o r e mi nt h et w i s ta n n u l u sb o u n d e db ya b o v ei n n e ra n d o u t e rb o u n d a r y , w ec a no b t i a nt h ee x i s t e n c eo ft h ef i x e dp o i n t sf o rt h ep i o n c a r 6m a p w h i c hc o r r e s p o n d i n gt ot h es u b h a r m o n i cs o l u t i o n sf o rt h en e wh a m i l t i a ns y s t e m t h e r o t a t i o ne s t i m a t i o n sf o rt h es u b h a r m o n i cs o l u t i o n si m p l yt h a tt h e s es o l u t i o n sj u s tt h e s o l u t i o n so ft h eo l de q u a t i o n a n o t h e rd i f f i c u l ti nt h es t u d yo fp - l a p l a c i a ne q u a t i o ni s h o wt op r o v et h eu n i q u e n c eo ft h es o l u t i o nf o rt h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e m w eu s ea n a p p r o x i m a t i o na p p r o a c ht oo v e r c o m et h i sd i f f i c u l t f o ro n e - d i m e n s i n a lp - l a p l a c i a ne q u a t i o np - s u b l i n e a ra tt h eo r i g i n ，i fw ew a n tt o p r o v et h eu n i q u e n e s so ft h es o l u t i o nf o rt h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e m ，w en e e dt oc o n s t r u c t i i i 一维p 次线性l a p l a c e 方程的无穷多次调和解 a b s t r a c t ap r i o ra n n u l u s t h e nc h o o s eas m o o t hf u n c t i o ns e q u e n c e 鲰( t ，z ) w h i c ha p p r o a c h g ( t ，z ) ，a n dp r o v et h et w i s tp r o p e r t yf o re v e r yn e ws y s t e ma tt h eo u t e rb o u n d a r ya n d i n n e rb o u n d a r yo ft h ep r i o ra n i l u l u s t h e no b t a i nt h ee x i s t e n c eo fi n f i n i t e l ym a n y s u b h a r m o n i cs o l u t i o n sw i t hs u f f i c i e n t l ys m a l la m p f i t u d eb yp i o n c a r 6 - b i r k h o f ft h e o r e m f i n a l l yw ec a no b t a i nt h es u b h a r m o n i cs o l u t i o n so ft h eo r i g i n a ls y s t e mb ya r z e l a - a s c o l i t h e o r e m k e y w o r d s ：p - l a p l a c i a ne q u a t i o n ；p i o n c a x dm a p ；p i o n c a r 6 - b i r k h o f ft h e o r e m ；s u b - h a r m o n i cs o l u t i o nw i t hl a r g ea m p l i t u d e ；s u b h a r m o n i cs o l u t i o nw i t hs m a l la m p l i t u d e w r i t t e nb yx i a n gf u x i a n g i v s u p e r v i s e db yp r o f q i a nd i n g b i a n 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权的声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学 或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律 责任。 研究生签名：盘盛盔日期：鲨! 兰篁月 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：扫三壶盔日期：二塑主塑 导师签名： 一维p 次线性l a p l a c e 方程的无穷多次调和解 第一章引言 第一章引言 1 1 课题的背景和意义 本文讨论的是p - l a p l a c e 方程 ( i z 7 l p 一2 2 7 ) 7 + g ( t ，z ) = 0( 1 1 ) 周期解的存在性和多重性( 无穷多个周期解) ，其中p 1 ，g ( t ，z ) 关于时间t 是2 7 r 最 小周期的且连续 p - l a p l a c e 方程在p = 2 时。就是非线性振动的重要模型d u f f i n g 方程 + g ( t ，z ) = 0 ( 1 2 ) 当p 1 时，其模型来源于非牛顿流体和非线性弹性力学下面先分别回顾一下d u f f i n g 方程和p - l a p l a c e 方程周期解的存在陛和多重性( 无穷多个周期解) 的研究现状 证明d u f f m g 方程存在无穷多周期解的基本工具是变分方法【1 】和p i o n e s r 6 - b i r k h o f f 扭转定理变分方法对g 的增长性有比较多的要求，但可以讨论一定条件下的高维系 统应用p i o n c a r 6 - b i r k h o f f 扭转定理则是通过证明方程( 1 2 ) 的p i o n c a r 6 映射( 为保面 积映射) 在无穷多不同的环域上的扭转性而得到无穷多个不动点的存在，它们对应到 原方程的无穷多周期解因此在证明中最关键的一步就是找出满足扭转条件的环域 对于超线性( j i n a ( 9 ( z ) z ) = + ) 和半线性( 0 a 夕( z ) 肛b + o 。) 方 i x l 十” 程，从扭转的观点看，其解的旋转角度是有一定正下限的因此在给定环域上对方程的 p i o n c a r 6 映射作若干次迭代可以检验扭转条件这样的环域相对容易构造些目前对 于d u f f i n g 方程多重周期解的研究比较多的结果是在方程或时间映射的超线性和( 振 动位势) 半线性假设下得到的，如文献f 2 】一f l o 】及它们的参考文献 对于次线性方程的情况，满足扭转条件的环域是不容易构造的具体原因是次线 性的条件对应于解在相平面上的旋转角度越来越小。以次线性条件l i m ( 9 ( z ) g ) = 0 i 刮，+ o o 为例，在次线性条件下方程的解半径越大，其在相平面上绕原点转一圈所用的时间越 长，且当解的半径趋于无穷时，解绕原点旋转一圈的时间亦趋于无穷为了产生扭转， 我们希望找一个内圈，使得从其上出发的解在给定时间2 m 7 r 内至少转过一圈但解的 半径不一定是趋于无穷的，也可能从内圈上出发的解在时间2 m 7 r 内经过原点，这样旋 转角度就不好估计，而且即使解不经过原点但在原点附近时，它并不一定都是顺时针 转动的，从而旋转角度亦不好估计 1 一维p 次线性l a p l a c e 方程的无穷多次调和解 第一章引言 因此，对于次线性d u f f i n g 方程无穷多次调和解( 即2 仇7 r 周期解，m = 1 时为 调和解) 的研究结果就比较少( 虽然次线性方程调和解的存在性比较容易证明，如 【1 1 】) 丁同仁和f z a n o l i n 在文【1 2 、【1 3 中研究了一些关于夕或时间映射为次线性 的d u i f l i l g 方程，证明了方程( 1 2 ) 的无穷多个次调和解的存在性为了克服上述提到 的困难，他们采用的方法是利用( 1 2 ) 的一个周期解z o ( t ) ( 这样的周期解的存在性证 明是容易的) ，作变换y = z x o ( t ) ，然后考虑关于y 的d u f f m g 方程y + 雪( t ，y ) = 0 ， 满足蚕( t ，0 ) 兰0 这样不从原点出发的解就不会经过原点再运用一些相平面分析就 巧妙地构造出了扭转环域 一维p - l a p l a c e 方程周期解问题和其它边值问题的解的存在性和多解性的研究成 果也已比较丰富 比如在文献 1 4 】中，m a d e lp i n o 和l ：t m a n 6 s e v i c h 利用比较定理和拓扑度理 论证明了方程( 1 1 ) 在g 满足一些少半线性条件，即 0 口释6 悃 和其它一些条件下周期解的存在性 r m a n h s e v i c h 与f z a n o l i n 又在 1 5 】中结合时间映射估计、l e r a y - s c h a u d e r 度 和极大值原理讨论了相应方程的d i r i c h l e t 边值问题的无穷多正解的存在性 章梅荣在文【1 6 】中提出了一个作用一角变换，利用权特征值方法给出了方程 ( 如( z 7 ) ) 7 + 9 ( z ) z 7 + y ( t ，z ) = 0 的周期解的存在性条件 c f a b r y 和r m a n 自s e v i c h 在【1 7 】中证明了作为等时系统扰动的p - l a p l a c e 方程 ( 1 1 ) 的周期解的存在性 研究一维p - l a p l a c e 方程周期解的多解性问题的基本工具仍然是p i o n c a r 6 - b i r k h o f f 扭转定理 m a d e lp i n o 和r m a n 矗s e v i c h 在【1 4 】中的第二部分就运用此定理证明了方程 ( 1 1 ) 在p 半线性且一些参数变化下有限多个周期解的存在 x m i n g 等在文献 1 8 中考虑一维p - l a p l a c e 方程 ( i z 7 l p 一2 z ) + a ( z ) = ，( ，z ) ， 其中夕满足p 超线性条件，即 i 器= 悯 2 一维少次线性l a p l a c e 方程的无穷多次调和解 第一章引言 ，被g 控制应用p i o n c a r 6 - b i r k h o f f 扭转定理该文证明了周期解的存在性与多重性 此外，讨论一维p - l a p l a c e 方程周期解的多解性问题的还有f 1 9 2 4 】 本文将考虑方程( 1 1 ) 在g 满足p 次线性条件 ( 卯) 或 ( 站) 川l i m 氍- 0 ，对川o 2 叫一致成立 l 蓦m 0 器= 0 ，对蚓0 7 2 卅一致成立 下的次调和解的存在性与多重性 在应用p i o n c a r 6 - b i r k h o f f 扭转定理时我们仍然遇到前面提到的构造扭转环域内 圈的困难而且丁同仁和f z a n o l i n 在文【1 3 中的方法在此不适用，理由是变换y = z - z o ( t ) 后关于y 的p - l a p l a c e 方程不再保持，变复杂了( 注意p 2 时，( 1 可，l p - 2 y ，) ， ( 1 i p 2 z ，) ，一( i ( 圳p 2 z ；( t ) ) 7 ) 我们的方法是考虑( 1 1 ) 的等价h a m i l t o n 系统 f 一= 扩2 可；( 1 3 ) 【矿= 一g ( t ，z ) 、。 对其h a m i l t o n 函数进行了改造，使得( 0 ，0 ) 是新系统的惟一解从而对非零解可以作 极坐标变换在极坐标变换下，我们可以得到新系统的一系列性质，比如弹性性质、 顺时针旋转性、回转不超过半圈等等，另外还有解围绕原点旋转一周所用的时间会随 着半径的增大而增大，且当解的半径趋于无穷时，解绕原点旋转一圈的时间亦趋于无 穷我们找到了一对单调递增函数与仁n ( 性质2 6 ) ，利用这两个函数和前面的 那些性质而得到内外圈这样就可以利用p i o n c a r 6 - b i r k h o f f 扭转定理得到新系统的一 个次调和解，然后再用性质2 6 与。回转不超过半圈”的性质可以证明此解实际上仍 是原系统( 1 3 ) 的解 在考虑p 次线性条件的l a p l a c e 方程时遇到的一个新的困难是解对初值的存在 惟性比如系统( 1 3 ) 中在1 p o 0 ，i z i c o ，vt 毫 我们得到如下结果 定理1 1 设g ( t ，z ) 关于时间t 是2 7 r 周期且关于z 连续的函数，而且满足条件 ( 卯) 与( 9 1 ) ，则方程( 1 1 ) 至少存在无穷多个次调和解z = 巧( 亡) ，且满足 熄( 。似s u p 。v j x 3 ( 圳2 + 嗽) 1 2 ) = + 。 在第三章，我们讨论的是在原点附近p 次线性条件( 夕6 ) 下l a p l a c e 方程( 1 1 ) 的 无穷多小振幅的次调和解的存在性设 ( 弛) 3 c o 0 ，肋 0 ，使得i g ( t ，z ) l p o 0 ，l z i c o ，vt 如第一章所述，我们首先对原方程进行逼近，然后对相应的h a m i l t o n 函数进行 改造，使之成为具有很好性质的h a m i l t o n 系统，然后通过证明新系统无穷多次调和 解的存在性来得到原系统大振幅次调和解的存在性与多重性 下面我们分若干部分给出无穷多个大振幅次调和解存在性的证明 2 1 构造h a m i l t o n 函数，研究相应方程的一些基本性质 方程( 1 1 ) 的等价系统为 ；叫= l yj q - 2 y 破； ( 2 1 ) 一般来说，系统( 2 1 ) 的右端函数不一定是l i p s c h i t z 连续的，因此初值问题的解 不一定惟一，解对初值也不一定连续所以我们考虑系统( 2 1 ) 的辅助系统取o 足够 小，e ( 0 ，e o ) ，c l 为待定参数，取l i p s c h i t z 函数g e ( t ，z ) ：满足i 珧( t ，z ) 一夕( t ，z ) i e ， 对e l 和t 0 ，2 7 r 】一致成立再取l i p s c h i t z 函数蛎( ) ，使得嚆( o ) = 0 ，且当 l y l c 1 时，1 c q ( y ) 一9 - 2 y l ；当l y l c l 时，蝣( 可) = 川。y 考虑系统 ；三篡n 2 ， 我们希望( 0 ，0 ) 成为新系统( 2 2 ) 的解，故再考虑辅助h a m i l t o n 函数 h ( t ，z ，可) = 西；( 秒) + g ( x 2 + y 2 ) g 。( 亡，z ) + 【1 一k ( z 2 + 妙2 ) 二11 z i p ， 其中哦( 可) = z 掣蝣( s ) 如 6 一维少次线性l a p l a c e 方程的无穷多次调和解第二章p - l a p l a c e 方程的大振幅次调和解 滢霉o h 鞲5d k 筠并1 鼍烛矿蚓坤小h 卿z ， 0 k ( x 2 + y 2 ) 1 并且 k c z 2 + 可2 ，= ：翥委z x ：2 + + 秒y 。2 嵋r 2 1 ，, 其中g 。( ，z ) = 珧( s ，x ( s ) ) d s ，1 r l r 2 以及函数d 1 ，d 2 ：【岛，+ 。) 一r + ，使得当 r ( o ) = r r o 时，有 且 d l ( r ) r ( t ) d 2 ( 兄) ， vt 0 ，l 】 证明在性质2 1 中有 r 璺也( r ) = + o o ，z = 1 ，2 m f ( t ) 利用g r o n w a l l 不等式可得 f ( z ( t ) ) e m f ( t ) f ( z ( t ) ) e m 从而 m i n 。，f ( z ( t ) ) e m 。f ( 名0 ) ) e m 。f ( t ) f ( z ) ) e m 25m a x 。f ( z ( t ) ) e m 2 z l = l 引= 8 一维p 次线性l a p l a c e 方程的无穷多次调和解第二章 l a p l a c e 方程的大振幅次调和解 所以 e m l m i nf ( z ( t ) ) sf ( t ) e m m a xf ( z ( t ) ) - - - r 一 i z i = r 故| d 1 ( r ) ，d 2 ( r ) ，使得 d l ( r ) 7 ( t ) d 2 ( r ) ，vt 【0 ，剀 且 1 i md i ( r ) = + o o ，i = 1 ，2 r + 性质2 3 存在常数b o 0 ，使得当r b o 时，方程( 2 3 ) 的任一解( r ( t ) ，p ( t ) ) 有i d 0 r 2 时，方程( 2 3 ) 为 j z k 蛎( 耖) ； l y ，= - g 。( t ，z ) 由极坐标变换得 矿：丁x y - - x y ：型丝r 立2 型 由乳( t ，z ) 与戎( 可) 的取法可知， p ，! 监生业驻韭止型 由( g o ) 可知，当足够小时，可取岛足够大，当b o 您时，使得p 7 t o ，设方程( 2 3 ) 的解在( z ，y ) 平面上的辐角满足条件伊( t 1 ) 一 o ( t o ) t l ，有e ( t 2 ) 一e ( t o ) 一2 7 r + 丌 证明当z = 0 ，y 0 时，g 。( t ，z ) = 0 ，由方程( 2 3 ) 中第一式有= 织( y ) 可 知，当解与y 轴相交时，是按照顺时针方向横截相交的，即当解从正( 负) y 轴到负 ( 正) y 轴时，解的辐角口获得的一个增量为一7 r ，而轨线在右( 左) 半平面时，不管 它如何活动，它的辐角所能获得的增量不会超过7 r ，从而有o ( t 2 ) 一口( t 1 ) 0 ，存在h 0 ，使 鬻 h ，i z i p 一2 z 。i z i p 一2 z 1 ：。 选取r ，使得d 1 ( r ) h 若初值r o = 讧3 + 菇= r ，则由性质2 2 知，方程( 2 3 ) 的解( z ，y ) = ( z ( ) ，y ( t ) ) 满足 z ( ) 2 - 4 - 可( t ) 2 d l ( r ) h 若吲h ，从而有 x g e ( t ，z ) 引z i p 若 0 2 、c 吲姗降e = 1 c 6 - j o 斯l t 衄e l 宁d o - q 。( 5 - ；， 其中勺= ：后霄it 缸o i ”p 2 d e 因为 宁l 勺6 一 令h _ + o 。，则6 0 ，从而有 1 i r at ( h ) = + 。o ? t - - * + o o 由o 与p 的性质可知 l i m 下( ) = + 。o h - + 一 性质2 5 说明随着半径的增大，方程( 2 3 ) 的解绕原点旋转一圈的时间越长，且当 半径趋于无穷大时，解转一圈的时间亦趋于无穷 性质2 6 vt t n ，存在常数c 讯) m a x b o ，、2 c 0 ) 和两个单调递增的连续函 数，* n ：【c ( 川，+ 。o ) _ r + ，使得 ( 1 ) 对于每个s c ( ，( s ) s ，* n ( s ) c ( ，若r ( t o ) ( a ) 或者r ( t o ) a ，r ( h ) t o ) ，贝0 口( 1 ) 一o ( t o ) - 2 ( n + 1 ) i t 性质2 6 说明方程( 2 3 ) 的半径比较大的解在转过t t 圈的过程中，其半径可以被某 个单调递增函数控制：即此解在转过t t 圈的过程中，一定会停留在某两个圆盘之间， 并且这两个圆盘的位置关系被一个单调递增函数控制其证明见第四节 注从上述诸性质的证明可见，这些性质中的估计对o 足够小，当( 0 ，6 0 】是 一致成立的 2 2 推广的p o i n c a r 6 - b i r k h o f f 扭转定理 本节我们介绍在j f r a n k s 和丁伟岳文章的基础上提出的一个p o i n c a r 4 - b i r k h o f f 扭转定理( 见 3 】， 2 5 】和 2 6 】) 1 】 一维p 次线性l a p l a c e 方程的无穷多次调和解第二章p - l a p l a c e 方程的大振幅次调和解 设平面环域4 的内边界k 1 和外边界k 2 都是关于原点的星形光滑闭曲线 设 f ：a _ bc r 2 ( o ，o ) 】 是一个同伦于包含映射的保面积同胚，其中召是由两个同心圆围成的环域，acb ， f ( a ) c 召，似) nc o b = o 设么，地，鲍表示么，1 o ( 或 c ( 川，r ：1 = ( 以1 ) ，r 孑= ( r 5 1 ) 由性质2 3 知，在s 睢1 s ( 以1 ) 这个紧区域内，有 0 ( 其中a ，b 与龟有关) ，使得 一6 一o ( 其中s 卜】表示半径为r p 的闭圆盘，s ( r ) 表示半径为r 的开圆盘) 并且注 意到：这里a ，b 的选取对e ( 0 ，0 】是一致的 1 2 一维p - 次线性l a p l a c e 方程的无穷多次调和解第二章p - l a p l a c e 方程的大振幅次调和解 性质2 7 取r ：1 为内边界，则从半径为r ：1 的圆上出发的解在l = 2 ( 吃】+ 1 ) 7 r 时间内都转过了竹圈( 这里【 表示取整运算) 证明 ( 1 ) 若vt 【o ，纠，都有r ( ) 【7 ，毋】，则可得 p ( l ) 一= o l 面d o 出 一。l 一2 胍 ( 2 ) 若jt 1 o ，纠，使得r ( t 1 ) 矗，则由性质2 6 知 p ( 1 ) 一0 0 - 2 ( n + 1 ) 7 r ， 又由性质2 4 知，该解逆时针最多转半圈，即 o ( l ) 一o ( h ) r 5 1 1 ，使得满足r 以1 的解对 vt 【0 ，l 】都有 p ( t ) 一e o 一2 7 r 一2 n t r 再由性质2 2 ，刍7 ；，满足撂= d l ( r ) ，使得从7 i o = r 上出发的任一解满足 vt 【0 ，l 】有 r ( t ；绚，o o ) 矗 同样，j 卷= d 2 ( r p ) ，使得从r o = r 上出发的任一解满足vt 【0 ，l 】有 r ( t ；r o ，0 0 ) - - 2 n r 1 3 ( 2 5 ) 一维p 次线性l a p l a c e 方程的无穷多次调和解第二章p - l a p l a c e 方程的大振幅次调和解 记内外边界构成的区域为a ：r 7 o r ；1 由性质2 1 以及4 的紧性可知，从环域a 出发的解在时间l 内一定在极点的某 个小圈之外；另一方面，由上面可知，从环域4 出发的解在时间己内又不会跑到半 径为以u 的圆盘之外，因此从环域a 出发的解在时间l 内必定在一个圆环内，记其 为召，并记m = 卦 找对一致的环域召，使掣) ，ac 召，再取定2 1 节一开始所待定的常数e l ， 使h e l 包含1 3 在e l 上i 珧( z ) 一夕( z ) i e 于是辅助h a m i l t o n 系统在b 内 每一点出发的解均是存在惟一的，故刀是环域4 上的同胚 回到辅助系统的记号，考虑方程( 2 3 ) 的p i o n c a r 6 映射的m 次迭代： 掣：4 _ 8 ，( 伽，如) _ ( 以( 2 m 7 r ；r o ，o o ) ，以( 2 m 7 r ；r 0 ，0 0 ) ) 要应用推广的p i o n c a r 6 _ b i r k h o f f 扭转定理，须说明映射r 是恰当辛映射，于是 有下面的引理： 引理映射疋是保面积映射，其面积元为r d r d o ；并且见是恰当辛映射，即 r 对任何环绕极点的简单闭路径7 满足 p 硼= 厶吖 注此证明与文 2 和文【2 7 性质2 3 的证明是一样的，故这里不再重复 再由( 2 4 ) 和( 2 5 ) 得知它在环域a 上是扭转的因此利用p i o n c a r 6 - b i r k h o f f 扭 转定理推出，映射凹至少有两个不动点 丘七= ( p e k ，晚七) a( k = 1 ，2 ) ， 它们满足 o 。( 2 m z c ，厶七) 一以( 0 ，岛七) = - 2 n 7 i -( k = 1 ，2 ) 显然，z e = 名( ，g 七) ( 七= 1 ，2 ) 都是方程( 2 3 ) 的2 m 7 r 周期解由于p ( t ，缸) 对 t 【0 ，2 m 7 r 】是单调递减的，所以周期解z e = 磊( t ，岛k ) 在2 m 7 r 时间内顺时针绕原点转 动的圈数等于n 下面要证：z e = 磊( t ，g 七) ( 七= 1 ，2 ) 的最小周期是2 m 7 r 假若不然，令磊= 名( t ，缸) 的最小周期是2 f 7 r ( 0 z 1 和 8 1 这与n 是素数矛盾从而证明了周期解z e = 气( ，缸) ( 七= 1 ，2 ) 的最小周期是 2 m 7 r 这样我们至少可以得到一个次调和解 名= 1 ( t ) ，名l ( 0 ) = 丘1 4 下面说明次调和解z e = z e ，(