（基础数学专业论文）stein流形局部q凹楔形上（e）方程解的一致估计.pdf

厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研 究成果本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究 成果，均在文中以明确方式标明本人依法享有和承担由 此论文而产生的责任 声明人( 签名) ：融步犀 础7 年乡月k 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规 定厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送 交论文的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目 的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将 学位论文的内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用 本规定 本学位论文属于 1 、保密( ) ，在年解密后适用本授权书 2 、不保密( ) ( 请在以上相应括号内打丹，) 作者签名：7 5 元过华日期：忉刃年箩月形日 导师签名：旦p 石绎日期：击9 年名月7 日 曼! 堕煎堑星塑垡：塑堡垄占丝垒直堡蟹丝= 塾笪盐 1 摘要 局部铲凹楔形是一类重要的邻域，被广泛的用来讨论c r 流形，切线的 c a u c h y - r i e m a n n 方程，c r 函数的全纯开拓。乱上同调理论对于q = n l ， 个局部争凹楔形就是个逐块光滑强拟凹域和一凸域的交集，因此局部q 凹楔形代表了类广泛的邻域c l a u r e n t - t h i d b a u t j l e i t e r e r 1 3 l 得到了 ( ：，l 中局部口- 凹楔形上( n ，r ) 型微分形式的c a u c h y - p d e m a n n 方程并对参方 程解做了一致估计进步，钟同德【1 6 - 卅利用h e r m i t i a n 度量和陈联络。得到 了s t e i n 流形局部铲凹楔形上( r ，s ) 型微分形式的k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公式，同伦公式和局部酽凹楔形上( r ，s ) 型压方程的解本文在【1 6 ，1 7 】的基 础上，利用j p d e m a i u y c l a u r e n t - t h i d b a u t i s 的思想以及r a n g e - s i u 1 4 l 的技巧，给出s t e i n 流形局部铲凹楔形上( r ，s ) 型微分形式的压方程解的一 致估计 全文分三章，其中： 第一章介绍了s t e i n 流形局部铲凹楔形上的一些定义，基本引理，包括 局部铲凹楔形，子流形r x ，局部铲凹域的l e r a y 映射等等 第二章介绍了算子m 和h 局部铲凹楔形上的同伦公式以及夏方程 的解，其中也包括核日的奇性阶 第三章对压方程的解进行一致估计，这一章是全文的重点 关键词：s t e i n 流形；h e r m i t i a n 度量；局部铲凹楔形；蚕方程；一 致估计 s t e i n 流形局部g 凹楔形上的参方程解的一致估计 2 a b s t r a c t al o c a lq - c o n c a v ew e d g ei sa ni m p o r t a n tc l a s so fd o m a i n s ，i th a sb e e n v a s t l yu s e dt od i s c u s sc rm a n i f o l d s ，t a n g e n t i a lc a u c h y - r i e m a n ne q u a t i o n s ， h o l o m o r p h i ce x t e n s i o n so fc r - f u n c t i o n sa n d5 - c o h o m o l o g y f o rq = n - 1 ，al o c a l q - c o n c a v ew e d g e i ss i m p l yt h ei n t e r s e c t i o no fa p i e c e w i s es m o o t hs t r i c t l yp s e u - d o c o n c a v ed o m a i nw i t hac o n v e xd o m a i n ，t h e r e f o r eal o c a lq - c o n c a v ew e d g e r e p r e s e n t sal a r g ec l a s so fd o m a i n s c l a u r e n t - t h i d b a u t j l e i t e r e r 1 3 o b - r a i n e dt h ec a u c h y - r i e m a n ne q u a t i o nf o r ( n ，r ) d i f f e r e n t i a lf o r m so nq - c o n c a v e w e d g e so fc na n du n i f o r me s t i m a t ef o rt h e 参e q u a t i o n f u r t h e r ，b ym e a n s o ft h eh e r m i t i a nm e t r i ca n dc h e r nc o n n e c t i o n ，t o n g d ez h o n g 1 6 _ 1 7 1o b t a i n e d t h ek o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e tf o r m u l a ，h o m o t o p yf o r m u l aa n dt h es o l u t i o n s o fa l e q u a t i o nf o r ( r , s ) d i f f e r e n t i a lf o r m s0 1 1al o c a lq - c o n c a v ew e d g ei ns t e i n n u m i f o l d s o nt h eb a s eo f 【1 6 ，1 7 1 ，b ym e a l l so ft h ei d e a so fj p d e m 茄u y c l a u r e n t - t h i d b a u t s qa n dt h et r i c ko fr a n g - s i u 堋，t h ea u t h o ro b t a i n su n i f o r l l l m e s t i m a t e so ft h es o l u t i o n so f 参e q u a t i o nf o r ( r , s ) d i f f e r e n t i a lf o r m s0 1 1l o c a l 口- c 0 1 1 c a v ew e d g e so ns t e i nm a n i f o l d a t h ed i s s e r t a t i o ni n c l u d e st h r e ec h a p t e s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h ea u t h o ri n t r o d u c e ss o m ed e f i n i t i o n s ，t h eh 商c l e m m ao nl o c a lq - c o n c a v ew e d g e si ns t e i nm a n i f o l d s ，i n c l u d i n gl o c a lq - c o n c a v e w e d g e ，t h es u b m i n i f o l dr k ，al e r a ym a pf o rl o c a lq - c o n c a v ew e d g ea n ds oo n i nt h es e c o n dc h a p t e r ，t h ea u t h o ri n t r o d u c e st h eo p e r a t o rma n dh ，h o - m o t o p yf o r m u l af o rl o c a l 于a 如黼w e d g e sa n dt h es o l u t i o n so fo - e q u a t i o n s ， i n c l u d i n gt h es i n g u l 嫡t yo fk e r n e lh i nt h et h i r dc h a p t e r ，t h ea u t h o ro b t a i n st h eu n i f o r me s t i m a t eo fs o l u t i o n s 0 fo - e q u a t i o na n dt h em a i nr e s u l to ft h i sp a p e r k e yw o r d s ： s t e i nm a n i f o l d ；h e r m i t i a nm e t r i c ；l o c a lq - c o n c a v ew e d g e ； a e q u a t i 0 1 1 ；u n i f o r l ne s t i m a t e 璺丝煎垄旦叠坌墼堡垄土鲤鱼查堡堡丝二鍪笪过 3 s t e i n 流形局部g - 凹楔形上乱方程解的一致估计 引言 多元复分析是现代数学中最为活跃的学科之一一般认为，现代数学的特 点之就是高维，而多复变函数正是反映这一特点的方向之1 9 世纪初， 多复分析只是单复分析的简单推广而到2 0 世纪，由于p o i n c a r e ，h o r t o g s 的 发现，决定了多复函数论与单复变函数论在很多方面有着本质的不同，从而多 复变作为个独立研究方向获得发展 早在1 8 3 1 年，c a u c h y 发现了以其名字命名的著名的c a u c h y 积分公 式，数学家就认识到积分表示在复分析中的重要性自从上个世纪7 0 年代 h e n k i n 1 _ 司和g r a u e r t & l i e b 3 1 分别得到了c n 空间中强拟凸域参方程解的 积分公式后，多复变数的积分表示方法迅速发展起来，成为多元复分析的主要 方法之一，它的主要优点是象单变数的c a u c h y 积分公式一样便于估计 自从k o p p e l m a a 4 1 于1 9 6 7 年碍到了c n 空间中( 0 ，q ) 型微分形式的k o p - p e l m a a 公式，有关c ：i 空间中( 0 ，q ) 型微分形式的积分表示理论已经有了很多 研究p 7 l ，但复流形上的积分表示的研究则是近几年才开始的首先。h e n k i n 和l e i t e r e r r ；1 研究了s t e i 流形上( 0 ，q ) 型微分形式的积分表示理论，得到了 ( 0 ，q ) 型的k o p p e l m a a 公式，k o p p e l m a n - l e r a y 公式和k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公式，并给出了参方程的解接着d e m a i l l y 和l a u r e n t - t h i e b a u t s ! 研 究了s t e i n 上( p ，q ) 型微分形式的积分表示理论，得到了( p ，型的k o p p e l - m 蚰和k o p p e l m e m - l e r a y 公式以及参方程的解，它和( o ，q ) 型微分形式的情 形有本质的区别，这时不能象c n 空间一样采用e u c l i d 度量，因为在s t e i n 流 形上( p , q ) 型微分形式的积分核在e u c l i d 度量下不是全纯变换下的不变量 国家自然科学基金资助项目( 项目批准号t1 0 s z l l 4 4 ) 和厦门大学新世纪优秀人才计 爿 s t e i n 流形局部g 凹楔形上的六方程解的一致估计4 为了克服这个困难，d e m a j n y 和l a u r e n t t h i e b a u t 8 1 利用h e r m i t i a n 度量和 c h e m 联络，给出了不变积分核，这是一个十分重要的思想 个局部铲凹楔形是类重要的邻域它被g m h e n k i n ，r a a i r a p e t i a n ， c l a u r e n t - t h i e b a u t ，j l e i t e r e r ，a a n d r e o t t i 和h g r a u e r t 9 - 1 a 广泛应用于讨 论c r 流形，切线的c a u c h y - r i e m a n n 方程，c r - 函数的全纯开拓，参上同 调理论对于q = n l ，个局部于凹楔形是个逐块光滑强拟凹域和一凸 域的交集，因此局部铲凹楔形代表了一类广泛的邻域 c 珐空间中局部铲凹楔形，对于光滑的情况( a d 光滑分段数n = 1 ) ，1 9 7 9 年l i e b 1 l 】得到了铲凹楔形上c a u c h y - r i e m a n n 微分方程的一致估计从比 较特殊的情况转到一般的情况( 即lsq n 一2 和o d 光滑分段数n 大于l 的情况) 遇到了下面的问题：l e r a y 映射( 见定义1 8 ) 关予入不再是线性的 这个问题首先由a t r a p e t j a n 和h e n k i n 1 2 l 讨论他们注意到在关于入是非线 性的情况下对a 直接积分成为个相当难的问题( 见f 1 2 】中的1 4 节) 。从而 他们提出了一个重要的想法：如果l e r a y 映射关于a 是个特殊有理的形式 ( 见【1 2 1 中公式( 1 4 1 ) ) ，应用他们所谓推广的f a n t a p p i e - f e y m n a n 公式( 见 【1 2 1 中命题1 4 1 ) ，直接积分也是可以的进一步，在【1 2 1 中的命题6 2 1 。 h e n k i n 证明的思想；1 ) 构造个上面所提到关于a 是特殊有理的分段形式 的l e r a y 映射2 ) 依靠推广的f a n t a p p i e - f e y n m a a 公式对入直接积分3 ) 关于被积函数模的积分估计 c h r i s t i n el a u r e n t t h i d b a u t 和j i i r g e nl e i t e r e r p o , l 两对h e n k i n 技巧做了 修改不找特殊形式的l e r a y 映射，而是利用r a n g e & s i u 堋，w f i s c h e r 和 l i e b p 明构造的推广获得个l e r a y 映射，并证明了在某种狭义意义下，这个 l e r a y 映射就是上面所提到的特殊有理形式他们于1 9 9 2 年给出了c n 空间 局部于凹楔形上( n ，r ) 型微分形式的积分公式，同伦公式并利用个与推广 的f a n t a p p i e - f e y n m a n 公式接近的辅助不等式给出了参方程解的致估计 随后1 9 9 8 年，钟同德【1 6 - 1 7 i 利用h e r m i t i a n 度量和c h e m 联络，以及h e n k i n 技巧构建s t e i n 流形局部q - 凹楔形的l e r a y 映射和不变积分核，从而给出了 个新的，不依赖于边界积分的k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公式，同伦公式 s t e i n 流形局部口一凹楔形上的参方程解的一致估计 5 以及扣方程的解 本文的目的是应用d e m a i l l y 和l a u r e n t - t h i e b a u t i s 的思想，利用h e r - m i t i a n 度量和c h e m 联络。胁型算子，一个辅助不等式，知自由式以及 r a n g e - s i u 技巧对s t e i n 流形上的局部q - 凹楔形的参方程解进行一致估计 第一章，简单介绍一下s t e i n 流形局部争凹楔形上的有关定义， 口凹- 结构，酽凹楔形的定义，l e r a y 映射，子流形r x 等基本定义和基本引理以 及一些符号 第二章，给出了支撑函数圣和妒，利用h e r m i t i a n 度量和陈联络，通 过l e r a y 映射妒构造不变积分核，用区域的积分代替边界积分，得到了s t e i n 流形局部争凹楔形上新的，不涉及边界积分的k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公 式。同伦公式以及参方程的解 第三章，对参方程的解进行一致估计本文主要是对积分胃致估计 利用局部化技巧证明了算子是有限个m ( m 0 ) 型算子之和接着利用一 个辅助不等式，k 自由式来估计m 型算子，然后应用r a n g e - s i u 1 4 l 技巧得 到参方程的解的一致估计这是本文的主要结果 第一章s t e i n 流形g - 凹楔形上有关定义和基本引理 在这一章里，我们首先介绍s t e i n 流形争凹楔形上的有关定义和基本引 理，为后面的定理和估计作准备 1 1s t e i n 流形 定义1 1 【5 卅设x 是一复他维的复流形，秽= 秽( x ) 为x 上的全纯函 数x 称为s t e i n 流形，如果它满足下列三个条件t ( i ) x 是全纯凸的，即对x 中任一紧集k ， r、 k o = z x ：l ，( z ) i ：冬s u pi ，l ，v ，毋( x ) l k ， 也是x 中的紧集； ( 豇) x 中的全纯函数可分离x 上的点，即对于任意的名，锄x ，z 埘，存在 ，毋( x ) ，使得，( z ) ，佃) ； ( i i i ) x 上的全纯函数可给出x 的局部坐标，即对于任意的名x ，存在 ，厶秽( x ) ，仇，厶) 是z 的个邻域的局部坐标 注：h g r a u e r t 1 9 5 8 有个深刻的定理，即如果x 是一复流形，具有 强多次调和穷竭函数，那么x 是s t e i n 的，但是只要用条件( i ) 和( i i ) 就可以 证明s t e i n 流形有一强多次调和穷竭函数因此由g r a u e r t 定理可知在s t e i n 流形的定义中条件( i i ) 是多余的 定义1 2 1 5 卅复切丛和复余切丛及其范数 设x 是个复n 维的复流形。令 ( 屿，b ) 是x 的全纯坐标卡设 玛c cx 令劬z ) ：= 气曲7 t ( z ) ，z 阢n ，这里屯o 7 - ( z ) 是oh ；1 在z 的j a c o b i 矩阵那么在阢n n 玩，有g i j g j k = g i k 由过渡函数g 巧定义x 上的全纯向量丛用t ( x ) 表示，称作x 上的复切丛由过渡函数( g f ) _ 1 定义 x 上的全纯向量丛用p ( x ) 表示，称作x 上的复余切丛，这里( g 巧) 是g i j 的转置t ( x ) 和p ( x ) 在名x 的纤维用( x ) 和( x ) 表示t ( x ) s t e i n 流形局部g 一凹楔形上的夙方程解的一致估计 7 和p ( x ) 关于投影x x x ，( z ，( ) 一z 的拉回分别记为t ( x x ) 和 p ( x x ) t ( x ) 的全纯截面记为s ( 乞) ，即有 s ( 名，( ) ：x x 叫t ( x x ) 选择x 的一组局部有限开覆盖 ，使得对每一j ，有一组全纯坐标 如：一伊以及全纯平凡化弓：t ( x ) i 如一u j c ，i 其次，命 x a 为 从属于 的沪单位分解那么每一t ( x ) 值形成s ( 2 ，( ) 在集合d 冬x 上可以和一向量组 s o ) ) 等同，其中向量组 s o ) ) f h ：燕h j ( u j n d ) 冬c ，i 上的萨全纯函数的向量s o ) = ( 印，鹳) 所构成的定义s ( z ，( ) 的 范数为 l l s ( z ，e ) 0 ：= 尥( 2 ) l l s 9 ( 吻( 名) ) i l ，z d j r = l 其中i l 萨( 如( 彳) ) f | 是系数为( 如( 名) ) 的向量的欧氏长度 下面的基本引理可参见文献【5 】中的引理4 2 4 引理1 1 暇设x 是个复霸维的s t e m 流形，t ( x ) 是x 上的复切 丛再假设x 是个更大s t e i n 流形上相对紧开集那么存在个全纯映射 s ：x x 聿t ( x ) 和x x 上的全纯函数妒满足以下条件s ( i ) 对于任意的名，e x ，s ( z ，e ) 正( x ) ( 即s ( z ，c ) 是丛t ( x ) 关于映射 x x ( z ，c ) 一名x 的拉回上的截面) ( 鲢) 对任意固定的z x ，s ( z ，2 ) = 0 ，从x 到( x ) 的映射s ( z ，c ) 在c = z 的邻域上是双全纯的 ( i i i ) 对任意的名x ，( 毛z ) = 1 ( i v ) 如果砖是由s 生成的x x 一的解析子层，那么妒f s ( ( x x ) ( z ，名) ： z x ) ) 、 ( v ) 存在一个整数r 0 使得t ( x ) 中对于任意的范数i i 1 i ，函数扩i l s l l 刁 在( x x ) ( z ，名) ：z x ) 是c ( 2 ) 的 s t e i n 流形局部q 凹楔形上的乱方程解的一致估计8 注：引理中假设t 。x 为一更大的s t e i a 流形的相对紧开子集”可以不 要，引理照样成立 以下我们假定 ( ，妨) 是x 的全纯坐标卡集使得对所有的j ，c c x 如果d 是x 中的开集，则记t ( x ) 和p ( x ) 在d 上的限制为t ( d ) 和t ( d ) 根据定义1 2 ，现在固定全纯平凡化b ：t ( ) 屿c n 和 巧：p ( ) 一o 使得 0 ，( 嘞( 名) ) 0 = i f 。彳1 ( 磊n( z ，( ( 钙) 一1 ( 孑) ) 0 = 耳。( 弓) 一1 ( 名，( ) ， 名阢n 现，( c 竹 如果名和口e 正( x ) q ( x ) ) ，那么具有弓( 口) = ( z ，吩) ( g ( 口) = ( z ，吩) ) 的向量吩c 竹称为n 关于 ( ，b ) ) 的表示如果名u , n v , ， 口正( x ) ，6 霉( x ) 且口，吩，玩，b 分别为口，6 关于( 氓，j l ) 和( 吗，b ) 的 表示那么有 口= ( 功0 ) 吩，玩= ( 嚷) 一1 ( 名) 毛 因此，下述定义是正确的 定义1 3 嗍如果z x ，口( x ) 和6 ( x ) ，则可任意选择一歹 使z 巧并定义 住口) ：= 绺，叼) ， 其中和叼是b 和口关于( ，b ) 的表示 命t ，= ( m ，) 和让= ( “i ，t ，) 为d 1 ) 一流形x 上的复c ( 1 ，- 函 数定义 和，啦= 敬牡l 十+ ， u ( u ) = 砒1a ad t l l ， ( t ，) = ( 一1 ) 妣 j = lj 如果 表示x 上的变量雨函数吩和吩还依赖于其他变量，剐记为吣，和 啦如果吻和哟中的独立变量不止个，则这些独立变量都要标出 s t e i n 流形局部q 凹楔形上的乱方程解的一致估计 9 现在命d x 为一开集，y 为一实的c ( 1 ) 一流形，并命口：dxy t ( x ) 和b ：d y 啼r ( x ) 为c ( 1 ) 一映射，使得对所有的( z ，秒) d y 有a ( z ，箩) 正( x ) 和m 名，箩) 2 ( x ) 命吩：( dn 巧) y c n 和 ：( dnu j ) y c n 为口和b 关于( ，) 的表示则 以( 6 ( 毛秒) ) 哟他( z ，们) = q ( 嘞( z ，可) ) 人( ( 名，可) ) ，z d n u n 玛，y y 因此有下述定义 定义1 4 【5 _ q 如果d x 为一开集，y 为一实的c 1 ) 一流形， a ： d y 啼t ( x ) 和b ：d y 啼p ( x ) 为c ( 1 ) 一映射，使得对所有的 ( 名，磐) d l ，有a ( z ，秒) 贮( x ) 和b ( z ，秒) ( x ) 命吩：( d n 巧) y 一 伊和6 j ：( d n ) y c n 为口和b 关于( ，吻) 的表示则可任意选择 一j f 使z d r u j 并定义在d x y 上的连续微分形式吒( 6 ( z ，箩) ) 蛳( 口( z ，秒) ) 嵋( 6 ( 名，矽) ) aw y ( a ( z ，可) ) = q ( b ( z ，掣) ) ( ( 名，y ) ) ，2 dn ，矽y 下面我们引进下述有关雪( 毛c ) 的定义 定义1 5 1 5 - q引进保持纤维的c l 映射 ：t ( x ) 叫r ( x ) 它相应于c 忭中的映射名i - - - t 毛使得满足下列条件t 对所有口t ( x ) ， p 口，a ) 0 并且映射 l l a l l ，：= ( 0 1 1 ，口) ) 主，口t ( x ) 在t ( x ) 的每纤维上定义一范数这样的映射仃可以接下述方式定义。如 果石巧，口( x ) 且吩是口关于( ，b ) 的表示，则记吩a 为霉( x ) 中 的向量，它关于( ，b ) 的表示为而选择一从属于的伊o - 单位分解骼 并定义 ：= x j ( z ) a j a ，口( x ) ，z x j 并记9 ( z ，( ) ：= 矿s ( z ，( ) ( 这样雪( z ，( ) 就可以替代c ，中的映射一之) 1 2 预备知识 记p ( n ) 为对整数1 h ，岛n 的所有有序集k = ( h ，硒) 的 集合。p ，( ) 为对整数l 露l ，岛 n 的每一个严格增加的所有有序集 k = ( 后l ，白) 的集合 记j = o l ，j 1 ) ，1sl ，为对整数0sj l 序列的单形，其中0 知l ，0 k 1 使得歹譬j 时，= 0 ，且+ 几= 1 以形式d k a d a # 。a d a j = o 定义j 的方向 定义1 6 1 1 3 1 q l 00 a ， 定义受= ll 主a 1 表示【o ，1 】_ 【o ，1 】的一固定俨函数 设整数n 之l ，k = ( ，向) ，( 嬲宰) 当a a o k ，知1 时，记a 为a k 中由 ， 屯= 盏，( u = l z ) 定义的点；当a a k 。，k l 时，记天为x 中由 沁：# 年，扣；l ，) 概。两：移5 土”j 定义的点；当a a o 胁，知1 ，置太= 彘，则当凡1 时，记艾为a s ： 中由 口 入k a k = 1 - a o s t e i n 流形局部q 一凹楔形上的乱方程解的一致估计 1 1 定义的点 定义1 7 【1 6 l 设x 是个s t e i n 流形，域dc cx d 称为是c ( 七) 交集 ( k = l ，2 ，) ，如果存在万的邻域和邻域中有限个实d 七) 函数 m ，触，办，满足 ( i ) d = z d 参：店( 力 0 ，则在西上是关于指数q 的h 6 1 d e r 连续令 1 1 ：l l a = l l ，o 。= l l ，8o 。+ “s u 孚p p 盟黼， 其中0 0 ， l i ，( z ) 0 c 【( 1 i s t ( z ，a d ) 】卢， 名d 1 3局部铲凹楔形 命dc cx 为一区域，p 为d 上一实c ( 2 ) 类i $ i 数，记厶( ( ) 为p 在 ( d 的l e v i 形式，b ( ，e ) 为p 在e d 的l e v i 多项式，即 。( e ) t2 j , k = l 护删c ed , te 俨， 杈) _ 2 骞鬻( 白刊一j , k = 。幽o c j a ( h ( 白叫( q 叫, ( e d , ze 五 由t a y l o r 定理阿 如昂( z ，e ) = 从e ) 一从z ) - t - o ( ( ) ( c z ) - i - - d ( 脚( z ，0 1 2 ) 这一节中死和口是固定的整数，0 q 住一1 记m o ( n ，口) 为复n 行 方阵所成的复流形，它定义个从c 竹到c n 的某一q 维子空间的正交射影 定义l l o f l 7 3 交集( 配伪，p a t ，) 称为是x 中的q - 结构，如果矽gx 是个凸邻域，n ，p n 是【厂上实的c ( 3 ) 函数满足下列条件t s t e i n 流形局部g 凹楔形上的乱方程解的一致估计 1 3 ( i ) z u ：p i ( z ) = = p m z ) = o 谚； ( i i ) d p l ( z ) a ad p n ( z ) 0 对所有的名u ； 汹) 如果入l n ，p x ：= a l m + + a j v p n ，则l e v i 形式k ( 名) 至少有 q + 1 个正特征值 定义1 1 1 1 6 1 局部g - 凹楔形( e ，d ) ，0sqs1 t - - 1 是一c ( 3 ) 交集d ， 对于它可以找到一标架( ，p l ，细，办) 和e = z t r n ，j p l ( 2 ) = = p n ( z ) = 0 ，办 0 。使得 对所有a a i n 和名，( 一r e ( 乙( ) 纵( z ) 一纵( 0 使得对所有d i s t ( z ，e ) 的( z ，e ) x 。有 f k 渺z ，( ) 办( e ) 一a ( z ) + ，y 【( 1 i s t ( 名，( ) 1 2 ， ( 1 ) 由此可知对所有( 乞e ) d & ，有矿z ，( ) 0 由于以，p n 定义在的邻域内并且是c ( 3 ) 类的，我们可以在吻 上找到c o o 函数口箩( 1 ，= 1 ，；k , j = 1 ，死) 使得对所有e 阻卜裂l 函数，并有下列性质： ( i ) 矽( 名，( ，a ) 关于z d 是全纯的； ( i i ) 妒( z ，e ，入) 0 当( z ，( ，入) dxs ：k a g ； ( i i i ) 妒( z ，z ，入) = 0 当z d 因此，根据文献【5 j 的推论4 9 4 。可以找到一定义于( z ，e ，久) d s kxa k 的p ) 值的d 1 ) - 映射伊( z ，e ，a ) 满足下列条件t ( i ) 对( z ，e ，a ) d x ，s ( z ，( ，a ) ( x ) ； ( i i ) 扩z ，e ，a ) 关于2 d 是全纯的； ( i i i ) ( z ，( ) 妒( z ，e ，入) = ( s ( z ，e ，入) ，s ( z ，( ) ) ( z ，e ，入) dx k 那么，当( 名，e ，入) d s k k 时。有妒( z ，e ，a ) 0 。这时就有 ( z ，e ) s ( z ，e ，入)s ( 2 ，e ，入) ( s ( z ，( ，a ) ，s ( z ，( ) )妒( z ，e ，a ) 因此，( 伊( z ，c ，入) ，1 ) 是对( d ，s 咖) 的个l e r a y 截面当流形x 是p 时， 跏胪2 筹一言蜘( 飙圳一a 砉 q 幻( 入) ( 一厶) 璺! 墅煎垄旦蔓垡：墼堡垄土鲤鱼友垂壁丝二鍪焦盐 1 6 其中 k ( 入) 是矩阵q ( a ) 的元素，即 q ( 入) = lq h j ( 入) l ( 七是列指标) k d f f i l 因此，命 批 ( 护凳筹一冰d & 她k e 尸，( ) 批一队) 焉”。队) ) 渊， z ，( ，又) d s ：k k ，k p j ( ) ， 就得到伊值的c ( 1 ) 映射簇妒= 妒k ， k p ，( 奶。显然妒是对于标架 ( ，p l ，p n ，办) 的l e r a y 映射 定义1 1 3 1 1 g 1s t e i n 流形x 上的映射，称为b 全纯的，如果对每一点 e x ，在( 的邻域中存在全纯坐标a l ，k 。使得，对 l ，k 是全 纯的 引理1 2 1 1 q 对每一固定的( 2 ，a ) 蛄1 ，映射伊( 名，( ，a ) 和函数 妒( 名，e ，入) 对( x 是口+ 1 全纯的；同样的，对每一k ，( ) 和所有固定 的( z ，入) 鼬k ，映射坛( 乙e ，a ) 对e x 是q + 1 全纯的 第二章s t e i n 流形俨凹楔形上的同伦公式 本章利用h e r m i t i a n 度量和陈联络，结合上一章的l e r a y 映射引入了算 子m 和h 。然后给出s t e i n 流形局部口凹楔形上的同伦公式 1 1 1 2 1 算子m 和h 设x 是复n 维的s t e i n 流形，t ( x ) ( p ( x ) ) 是x 上的复切丛( 复余 切丛) t ( x ) 和p 伍) 关于投影x x x ，( z ，( ) _ 名的拉回分别记为 t ( x x ) 和p ( x x ) 设口是t ( x ) 上的俨的h e r m i t i a n 度量，它 在t ( x x ) 上诱导一h e r m i t i a n 度量，仍记为口，在p ( x x ) 上诱导 一h e r m i t i a n 度量记为伊命d 为t ( x x ) 关于度量0 的陈联络。v 为 t ( x x ) 关于度量伊的陈联络 记s 为c o o 截面。x x p ( x x ) ，它由雪= 矿os 定义如果 口是第一章中所定义的t ( x ) 的度量，则雪和定义1 5 中的雪一致，而且雪 和雪具有相同的性质 ( p ( x ) ) 关于映射( 磊e ，入) 叶z 的拉回记为f ( x x a g ) 记切丛的 度量p 在于( xxx 耳) 上诱导的度量为伊 设为t ( x x a k ) 上关于度量扩的联络 记卯( x x a x ，驴) 为x x x x 上取值于矿= p ( x x k ) 的詹阶微分形式的空间，它有如下的分解 卵x a k ，伊) = 墨水蠢嚷r 伍x a k ，哥) ， 其中c p ，g o o ，r ( x x k ，伊) 表示关于( z le ) 是白，g ) 型的。关于a 是r 的微 分形式的空间 联络分解为a = ，+ 一，其中 ：嚷r ( xxx 胃，哥) _ 曙1 扇r ( x xxa k ，雪) ， 一一墅堕煎垄旦塑坐墼堡垄占丝垒立矍堡煎= 墼焦盐 1 8 a ”：馏p , q ，r ( xx x x x ，旁) _ + c 茹+ l ，r ( x xx x x ，哥) o 。r + l ( x xxa k ，驴) 设 ( ，妨) 是x 上的个固定的全纯坐标卡使得对所有的j 有c c x 让，i i * ，砬分别是墨舻，s 在坐标卡下的表示。并令日表示由t ( xxx ) 的h e r m i t i a n 度量口决定的矩阵命d ，v 和分别为t ( xxx ) ，r ( x x x ) 和r ( x x x x ) 关于度量口，扩伊的陈联络命 d = + ，v = 矿+ v ”，= + ”， 则d s 在该坐标架中的表示为d u + ( h 一1 0 h ) a 饥记u 为r ( x x a k ) 的个截面7 的局部坐标表示，则r l = 曰( 以 c ( 曰一1 t ，) ) ，印= ( 盈t c + 氐扣 设( e ，d ) 是局部铲凹楔形，0 口n l ，( u v , p , ，p n ，办) 是满足定义1 1 l 条件( i ) ，( i i ) ，( i i i ) 的标架，矽是1 4 节中所构造对于标架 ( ，m ，肌，办) 的l e r s y 映射 命 圣z ，( ) = 矽。仁，c ) 一2 风( e ) ，( z ，e ) x u & 雪( z ，e ，入) = 砂( z ，( ，a ) + 轨( e ) ，如，e ，a ) xx x l 则由( 1 ) ( 4 ) ( 5 ) 可知 妒( 名，( ) 0 ( 2 ，( ) dx 面， 圣( z ，( ，入) 0 ，( z ，e ，a ) dxdx l t , 7 因此可定义c ( 2 ) 映射 砒栌椭器+ ( 1 矗) 裂， ( z ，c ，入) d 万xa k ，k p ，( ) ， 当( 名，( ，入) dxs kxa k ，有妒kz ，e ，入) = 妒j rz ，e ，入) 兰! 堕煎垄旦叠垡：竖堡垄上鲍鱼查堡壁丝= 墼笪进一 1 9 命 磁( “，肛筹帅，( ) ( ( 删) n ( “，冰d 西纰 现在，对f 僻( d ) ，定义算子t 埘( 垆x 蠢 枨m 耳玳) 绯 ( u 艇d 删扣k 磊灿f ( c , x ) e r k x a x , f 硅阮h d 显然m f ( z ) 和m * f ( z ) 在d 上连续 同样地，利用妒和圣，对( z ，e ，入) d 万a o l 且z e ，定义 c ( 1 ) 映射 心护讯) 耥州( 帅爻) 器+ ( 1 文轴) 甓】， 现在，对( z ，e ，a ) d 面a o l r 且z e ，引进连续微分形式 肌疋炉筹怍( ) ( ( 嘲“朋炉 引理2 1 1 1 6 l 记田( 名，e ，a ) 】蝌为形式i t ( z ，a ) 中关于a 的次数为七 的部分，则形式【膏( z ，e ，入) 】惝在名= ( 的奇性阶s2 n 一驮+ 1 设，磁( d ) ，0 p 1 ，则对所有的k 尸，( ，) ，定义 h k f ( z ) = ，( e ) a 官( 乞e ，a ) ， 名d 则由引理2 1 知积分收敛。因此所定义的微分形式日k f 在d 上连续命 h i - - ( 一1 ) 捌h g f其中，霹。( d ) ，0s p 1 k p ，( m ) 现命f 配( d ) ，0 p l ，o 厶葶s 纭由于雪( z ，( ，砷是2 n 次的，并 且包含对z 是，次的单项式，而d i m r r s - a o g = 2 n4 - 1 。所以詹( 2 ，( ，入) s t e i n 流形局部g 凹楔形上的氖方程解的一致估计 2 0 中只有关于( e ，a ) 是孙+ 1 一r s ( 0 r , a n ) 次的单项式，因此关于名是 ( f _ ，s 一1 ) ( 0 r ，8 n ) 双次的才对积分有贡献，这表示魄，= 0 ，如果8 = 0 或者2 玎+ 1 一，一暑 i k l = d i x n e l o k = 2 n + 1 因此。对，b 巴，0 p l ，0 r s n ，有 h i = ( 一1 ) 吲取， k e p j ( i k i 2 n + l - r - - s 当s = 0 时，日厂= o ；当1 暑n 时，h f 观一l ( d ) 2 2局部俨凹楔形上的同伦公式和压方程的解 设( e ，d ) 是复n 维s t e i n 流形的局部铲凹楔形。0 口5n l ，( 吻，见，肌，办) 是满足定义1 1 l 条件( i ) ，( i i ) ，( i i i ) 的标架 定理2 1 【1 q 设( e ，d ) 是s t e i n 流形x 上的局部铲凹楔形( 0sq n 1 ) ，c ( t ( x x ) ) = d 2 = 0 ，命0