（基础数学专业论文）完备brouwer格上模糊关系方程的极小解以及一些矩阵分解问题.pdf

完备b r o u w e r 格上模糊关系方程的极小解以及一些 矩阵分解问题 基础数学专业 研究生孙峰指导教师王学平( 博士教授) 论文摘要：本文讨论了完备b r o u w e r 格上模糊关系方程的极小解以及一些矩阵 分解问题首先在完备格上引入极小一般并分解与基极小一般并分解的概念， 探讨了这些分解的存在条件、刻画及其性质，并将其用于完备b r o u w e r 格上模 糊关系方程极小解的求解构造了模糊关系方程的极小解特别地，给出了满足 一定条件的完备格上模糊关系方程极小解的个数其次给出了3 阶可实现非负 整数对称阵容度的计算公式以及佗阶非负整数对称阵可实现的充要条件得到 了非负整数对称阵可实现问题的算法，这些算法不仅能判别非负整数对称阵的 可实现性而且在矩阵可实现时能给出其容度以及一个实现矩阵再次将可 实现布尔矩阵解释为无向图证明了可实现布尔矩阵的容度等于其对应的无向 图的团覆盖数与图中孤立点个数之和最后给出了完备格上基于s u p - 合成算 子的矩阵平方根存在的充要条件以及相应的理论上的算法求解所有的平方根 关键词：完备b r o u w e r 格；极小一般并分解；模糊关系方程；极小解；可实现 矩阵；容度：矩阵平方根 第i 页洪5 4 页 m i n i m a ls o l u t i o n so ff u z z yr e l a t i o ne q u a t i o n so v e r c o m p l e t eb r o u w e r i a nl a t t i c e sa n ds o m em a t r i x d e c o m p o s i t i o np r o b l e m s p u r em a t h e m a t i c s p o s t g r a d u a t e ：s u nf e n gs u p e r v i s o r ：w a n gx u e - p i n g a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rm i n i m a ls o l u t i o n so ff u z z yr e l a t i o n e q u a t i o n so v e rc o m p l e t eb r o u w e r i a nl a t t i c e sa n ds o m em a t r i xd e c o m p o s i t i o n p r o b l e m s f i r s t ，c o n c e p t so fam i n i m a lc o m m o nj o i nd e c o m p o s i t i o na n d ab a s i cm i n i m a lc o m m o nj o i nd e c o m p o s i t i o na r ei n t r o d u c e di nc o m p l e t e l a t t i c e s t h e nt h ee x i s t e n c ec o n d i t i o n s ，c h a r a c t e r i z a t i o n sa n dp r o p e r t i e so f s u c hd e c o m p o s i t i o n sa r ed i s c u s s e d a st h e i ra p p l i c a t i o n s ，c o m p u t a t i o n s o fm i n i m a ls o l u t i o n so faf u z z yr e l a t i o ne q u a t i o na r eg i v e no v e rc o m p l e t e b r o u w e r i a nl a t t i c e s i np a r t i c u l a r t h en u m b e ro fm i n i m a ls o l u t i o n so faf u z z y r e l a t i o ne q u a t i o no v e rc o m p l e t el a t t i c e su n d e rs o m ec o n d i t i o n si sg i v e n s e e - o n d w eg i v eaf o r m u l af o rc o n t e n to f3 - o r d e rn o n n e g a t i v ei n t e g r a ls y m m e t r i c r e a l i z a b l em a t r i c e s s h o ws e v e r a ln e c e s s a r ya n ds u 伍c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e r e a l i z a b i l i t yo f 竹一o r d e rn o n n e g a t i v ei n t e g r a ls y m m e t r i cm a t r i c e s o b t a i ns o m e a l g o r i t h m sw h i c hn o to n l yd e t e r m i n ew h e t h e ram a t r i xi sr e a l i z a b l eb u ta l s o g i v eo n eo fi t sr e a l i z a t i o nm a t r i c e sa n dc o n t e n tw h e ni t i sr e a l i z a b l e t h i r d 。 i n t e r p r e t i n gb o o l e a nm a t r i c e sa su n d i r e c t e dg r a p h s w ep r o v et h a tt h ec o n - t e n to far e a l i z a b l eb o o l e a nm a t r i xi si u s tt h es u mo ft h ec l i q u ec o v e rn u m b e r o fi t sc o r r e s p o n d i n gu n d i r e c t e dg r a p ha n dt h en u m b e ro fi s o l a t e dv e r t i c e si n t h i sg r a p h a tl a s t w ep r e s e n tan e c e s s a r ya n ds u f t i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h e e x i s t e n c eo fas q u a r er o o tf o rag i v e nm a t r i xb a s e do ns u p - tc o m p o s i t i o n ， a n dg i v eat h e o r e t i c a la l g o r i t h mt oc o m p u t ea 1 1s q u a r er o o t so fag i v e nm a t r i x k e yw o r d s ：c o m p l e t eb r o u w e r i a nl a t t i c e ；m i n i m a lc o m m o nj o i n d e - c o m p o s i t i o n ；f u z z yr e l a t i o ne q u a t i o n ；m i n i m a ls o l u t i o n ；r e a l i z a b l em a t r i x ； c o n t e n t ；s q u a r er o o t so fm a t r i c e s n z ( ) ( ) 0 s u m ( x ) 或( m ) 巧 a 厶。 m 。 l = ( l ，a ，v ) s u p ，v i n f ：a ( a i ) i ， ( a 。，t 。， ( a i j ) j 弼( 。殇) 砑( 砑) 部分符号说明 自然数集 整数集 大于( 小于) 大于或等于( 小于或等于) 空集 集合的并 集合的交 集合的包含f 真包含) 集合尸的基数 对每一个 存在 实数域上o 至l j l 的闭区间 从1 到n 的所有自然数构成的集合 竹价单位矩阵 m 钾的0 矩阵 实向量x 所有分量之和 矩阵的第i 行第j 列的元 矩阵a ，的第i 行 矩阵m 的第歹列 格 上确界 下确界 取值于格上的一个行向量 向量( a i ) 叫的转置 取值于格上的，xj 的矩阵 模糊关系方程组的解集( 方程的解集) 模糊关系方程组的极小解集( 方程的极小解集) 第i v 页，共5 4 页 c u 礼婀 x m u n c一垆v r t l 陋盟厶仉 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师至堂垩整蕉指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任 何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而 引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥 有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印 刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库供 检索；2 ) 为教学、科研和学术交流目的，。学校可以将公开的学位论文或解密 后的学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在有关网络上供阅读、浏览。 本人授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文 全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：彳】、吵牟 签字日期：7 口i o 年q - 月1 日 别醛氆嘲 签字日期i 。年斗月i e l 引言 模糊关系是普通关系的拓广，普通关系描述事物之间是否有关联，而模糊关系 则描述事物之间关联的程度1 9 7 6 年，法国数学家s a n c h e z 研究医疗诊断问题时提出 了模糊关系方程，它是控制问题的逆问题自s a n c h e z 进行开创性的研究工作f 1 1 以 来，国内外学者已经在有关模糊关系方程的问题上做了大量的工作【2 ，3 1 理论方面， 模糊关系方程的研究主要集中在方程解集的刻画阳】，特别是完备b r o u w e r 格上模 糊关系方程解集的确定完备格上模糊关系方程解集结构的刻画研究的是：在解 集非空时，如何确定定义在完备格上带有某种合成运算的模糊关系方程的解集在 模糊关系方程的研究中所涉及的合成算子很多，以下我们粗略回顾完备b r o u w e r 格 上s u p - i n f 合成模糊关系方程有关极小解的研究历史与现状 1 9 7 6 年，s a n c h e z 1 首先建立了完备b r o u w e r 格_ ：s u p - i n 洽成模糊关系方程组解 集非空的充要条件，证明了方程组有解则一定有最大解，并且给出了最大解的表达 式不仅如此，s a n c h e z 还给出了模糊关系方程组的解集是一个并半格f 即解集非空 时，任意两个解的并是解) ，且是一个凸集( 即解集非空时，任意两个解之间的元是 解) 的结论因此在求模糊关系方程组的解集时，我们仅需要确定解集的下方如果 模糊关系方程组有最小解的话，那么方程组的解集显然就确定了然而，模糊关系 方程组不一定存在最小解，因为在方程组解集非空时，任意两个解的交并不是解【2 】 既然最小解不一定存在，那是否存在极小解昵? 要是模糊关系方程组对于任意给定 的解都存在一个小于或等于它的极小解，那么解集就能够确定围绕极小解的存在 问题，研究者们做了大量的工作 7 - 2 3 1 在有限论域的情况下，s e s s a 7 给出了完备b r o u w e r 格上模糊关系方程组有惟 一解的充要条件假设模糊关系方程的右手项系数有不可约有限并既分解，d e b a u e t s 【1 2 】证明了对模糊关系方程的每一个解都有小于或等于它的极小解在同样的 假设下，王学平 1 6 1 不仅给出了模糊关系方程中极小解的个数，而且构造出模糊关 系方程解集中的所有极小元，并在无任何条件限制的情况下，给出了模糊关系方程 的每一个解都存在一个小于或等于它的极小解的充要条件 在无限论域的情况下，d in o l a 8 给出了模糊关系方程组的解是极小解的判别 第1 页，共5 4 页 引言 条件在模糊关系方程组的右手项向量的每一个分量都是紧的且有不可约有限并 既分解的假设下，王学平【1 4 】给出了模糊关系方程组每一个解都存在一个小于或等 于它的极小解的充分条件特别地，2 0 0 3 年，在模糊关系方程组右手项向量的每一 分量或模糊关系方程的右手项系数没有存在不可约有限并既分解的限制下，王学 平f 1 7 】给出了模糊关系方程组的每一个解都存在一个小于或等于它的极小解的充分 条件以及模糊关系方程的每一个解都存在一个小于或等于它的极小解的充要条件 无论是模糊关系方程组还是模糊关系方程，对于它们的每一个解都存在小于或等于 该解的极小解的条件已有一定的讨论，然而，事实上并非每一个解都存在小于或等 于它的极小解，甚至对任何一个解都不存在小于或等于它的极小解，那么，一般意 义下极小解的存在条件怎样? 最近文 4 ，2 3 】中分别给出了完备b r o u w e r 格和完备强 对偶原子分配格上模糊关系方程存在极小解的充要条件在第一章中，我们将继续 研究模糊关系方程组或模糊关系方程极小解的性质、个数及其构造 模糊矩阵的分解是模糊关系方程的另一种形式1 9 8 2 年刘旺金提出了模糊对称 方阵的可实现问题实际上这一问题最早可以追溯至l j k e l l y - ：1 9 6 8 年在文 2 4 】中讨论 的非负整数对称阵的可实现问题在非负整数对称阵的可实现问题中我们主要关注 矩阵可实现的条件以及可实现时其容度的算法当矩阵阶数小于或等于4 时这些问 题在文献 2 4 中已经得到较好的解决，并且文 2 5 】还给出了3 阶可实现非负整数对称 阵容度的直接计算公式迄今为止，当矩阵阶数大于或等于5 时，这些问题仍未得到 解决在第二章中，我们将讨论这些问题，试图得到非负整数对称阵可实现的条件 以及可实现时其容度的算法对于模糊对称方阵的可实现问题，研究者不仅给出了 模糊对称方阵可实现的充要条件 2 6 】，还给出了可实现模糊对称方阵容度的最小下 界的估计 2 7 - 2 9 2 0 0 0 年，王学平在文【3 0 】中给出了计算可实现模糊对称方阵容度 的算法对于特殊的模糊矩阵一布尔矩阵，是否有更特殊的结果或者其它一些结论? 在第三章中，我们将考虑布尔矩阵的可实现问题 另一个有趣的分解问题是布尔矩阵的平方根问题 3 1 】对于布尔代数或域上的 一个给定矩阵，至今还没有一个较好的准则可以用来判断这个矩阵是否有平方根， 对于平方根存在的情况，迄今为止也没有一种很快的方法把它求出来尽管在文 献 3 2 - 3 5 1 中已有部分工作，不过情况依然如此在2 0 0 4 年，m a r t i nk u t z 【3 6 】证明了 求解布尔矩阵的平方根是一个n p h a r d l 占l 题d in o l a 等把布尔矩阵的平方根问题延 第2 页，共5 4 页 引言 展为模糊矩阵的平方根问题，在3 之 3 7 - 3 9 1 h b 考虑了线性格上基于m a x - r a i n 合成的矩 阵平方根问题，给出了判别给定模糊矩阵是否有平方根并在平方根存在的情况下能 较快地找到其中一个平方根的方法然而对于更一般的情况，完备格上矩阵的平方 根问题却少有研究鉴于此，我们将在第四章讨论完备格上基于s u p - t 合成的矩阵 平方根问题，其中丁是无限v 分配的保序的算子 第3 页，共5 4 页 第一章极小一般并分解及其在求解完备b r o u w e r 格上模糊关 系方程极小解中的应用 在这一章我们将讨论模糊关系方程极小解的性质及构造首先，我们引入极小 一般并分解及基极小一般并分解的概念，然后讨论了这些分解存在的条件与性质， 最后我们给出了极小一般并分解与基极小一般并分解在求解完备b r o u w e r 格上模糊 关系方程极小解中的应用 1 1 基本定义及引理 首先，我们做一些符号说明我们采用集合论中的常用符号，即d ，u ，n ， c 以及i p l 分别代表空集，集合的并，集合的交，集合的包含，集合的真包含以及集 合p 的基数；对任意的集合p 与q ，p q = _ 【z p ：zgq ) ，若q = g ) ，我们规 定p q = p q 接下来，我们回顾格论( 参见 4 0 ，4 1 】) 及模糊关系方程理论( 参 见【2 】) 中的一些定义 定义1 1 1 【4 0 】设( 厶) 为偏序集r p c _ l ，如果不存在z p 使得x p ( h p z p 且z p ) ，则称p p 为p 的极小元；如果对任意的z x 有x g ，则称g p 为p 的 最大元极大元和最小元的定义可对偶地得到若有p 的子集c 使得c 中的任意两 元素x ，均可比，即有z 影或y z ，则称c 是链( 或全序集) 定义1 1 2 【4 0 】设( 厶) 为偏序集，如果对任意的a ，b l ，a - 与b 的上确 界s u p a ，6 ) ( 或并av6 ) 及下确界i n f a ，6 ) ( 或交aab ) 均存在，则称( 厶) 是格如 果对于格l 的任意子集s ，vs = v5 与八s = 八s 均存在，则称l 为完备格进一 步，如果完备格l 对其中任意的链c 和元素p 满足p ( vc ) = v az ) ，则称l 是上 连续的如果对格三上的任意元p ，q ，r ，有p 八( q v ，- ) = 函a q ) v a r ) 与p v ( q a r ) = 白vq ) a0 v 7 ) 成立，则称是分配格如果格三对任意的p ，口l ，存在使得不等 式pao 口成立的最大的z ，记作阳g ，则称l 为b r o u w e r 格 在本章中所有元素均取值于格工，除非特别指明，三一般都代指具有最小 元。和最大元1 的完备b r o u w e r 格；i ，j ，k 与t 一般都代指无限的指标集对任意 第4 页，共5 4 页 第一章极小一般并分解及其在求解完备b r o u w e r 格上模糊关系方程极小解中的应用 帆，q l ，记pgq ，都g 不成立；p 口( 我们说q 覆都蟛凇g 覆盖) ，若p g 且 没有z l 使得p z 口；pl l 口，若pgg 且g p ；pv q ，；g p q 或g p ；眵，q 】= z l ：p z q ) ，囟，q ) = z l ：p z g ，p ，q 】= z l ：p z 口) 以 及p ，q ) = z l ：p z g ) 定义1 1 3 【2 】设a = ( a i j ) x j ，b = ( b i j ) i ，是格l 上的矩阵，定义格矩阵的偏 序关系，并v 和交a 如下： a b 当且仅当n 巧b i j ，avb = ( a i jvb , j ) j x ，aab = ( a i ja ) j ， v i ，j j ，其中第一个“”( “v ”，“ ”) 是格上矩阵之间的运算，第二个“”( “v ”， “a ”) 是格上元素之间的关系运算，v = s u p ，a = i n f 定义1 1 4 【2 1 设a = ( a o ) z ，是格l 上的矩阵，b = ( 玩) 趸j 是格l 上的列向 量( “p 表示“转置”) 称a o x = b 或 v ( a i ja 巧) = b i ，i i ( 1 1 ) j j 是格l 上的s u p - i n f 合成模糊关系方程组，其中o 表示s u p - i n f = 厶成算子，且所有 的勺，玩，都取值于l 满足方程( 1 1 ) 的x = ( 巧) 灵，称为方程( 1 1 ) 的解记方 程( 1 1 ) 的解集为。筋当i 引= 1 时，模糊关系方程组变成了下述的模糊关系方程： a ox = b 或 v ( a 巧) = b ， ( 1 - 2 ) j e j 其中6 l ，a = ( q ) j ，是格工上的行向量记方程( 1 2 ) 的解集为。殇。筋( 。筋) 中的 极小元与最大元分别称为方程( 1 1 ) ( 方程( 1 2 ) ) 的极小解与最大解 定义1 1 5 【4 0 】格l 上的元素微称作并既约的，如果x v y = p 蕴含z = p 或秒= p 都可以写成有限个并既约元的并，即p = vq k ，其中g l ，q 2 ，是并既约元， 七= 1 n 则称p 有有限并既分解进一步，若对任意的歹n ，有p v讯，则称该分解是 不可约的，并称p 有不可约有限并既分解 定义1 1 6 【4 0 】格l 中覆盖最小元的元称为l 的原子，被最大元覆盖的元称 为l 的对偶原子如果格三有最大元且对任意的a p ，其子格囟，g 】都存在对偶原子， 则称l 是强对偶原子格 第5 页，共5 4 页 第一章极小一般并分解及其在求解完备b r o u w e r 格上模糊关系方程极小解中的应用 定义1 1 7 【4 2 】若p = vq ，q l ( 0 名q ) ，满足： ( 1 ) 对任意的q q ，p v ( q q ) ； ( 2 ) 对于p 的其它分解p = v c 以及任意的q q ，存在c c 使得q c ， 则称vq g p 的标准分解 定义1 1 8 【4 2 】格l 中的元g 被称作是完全并半分配的，如果对任意的p 厶 c l ，有q = p vc ，坳p ，蕴含q = ( 八p ) vc 如果l 中的所有元都是完全并半分 配的，则称格l 是完全并半分配格 为了讨论方便，我们先介绍一些引理 n 引理1 1 1 4 1 】若p g 分配格l 中的并既约元，则p vq k 蕴含存在七n 使 得p q k 引理1 1 2 【4 1 】任何b r o u w e r 格都是分配格一个完备格l 是b r o u w e r 格当且仅 当三是完全交分配的，即对任意的z l ， y k ：k k ) l 有 x a ( vy k ) = v ( z 玑) k e kk e k 引理1 1 3 【2 】 国当且仅当x = ( 全( n 玎q b ，t ，筋进一步，x = ( ( 。巧q 玩) ) 灵j 是所的最大元 引理1 1 4 【2 】设x 1 ，弱。筋，_ k x l x 2 对任意的x ，x 1 x ， 有x 。筋，即是凸集 设x = ( ) 灵，筋，对任意的歹0 j ，记( x ) = z l ：( a i j oaz ) v v ( a i ja 巧) 】= b i ，v i j ) 于是有： j e j - j o 引理1 1 5 4 1若x = ( 勺) 灵- ，。叛，则对任意的x 7 = ( 巧t 巧t ，。所且x x 7 有x j ( x ，) ，j 引理1 1 6 【2 0 】设方程( 1 1 ) 有解则x 是方程( 1 1 ) 的解当且仅当方程( 1 1 ) 中 每一个方程v ( a i ja 勺) = 6 i 有解x ，i i ，使得x = vx 且vx x 第6 页，共5 4 页 第一章极小一般并分解及其在求解完备b r o u w e r 格上模糊关系方程极小解中的应用 引理1 1 7 【4 3 】 设是完备分配格模糊关系方程p v z = q 有解当且仅当p q 进一步，当p g 时，其解集为【o ，q 】一u 0 ，司 p s d q 引理i i 8 4 2 1 完备格l 中的元p 有标准分解当且仅当p 是完全并半分配的且 子格【0 ，纠是对偶原子格 引理i i 9 4 4 1 对上连续的完全并半分配格厶l 中的每一个元都有标准分解 当且仅当三是强对偶原子格 1 2 极小解的一些性质 在这节中，我们将给出模糊关系方程组极小解的一些性质分别记方程( 1 1 ) 和方程( 1 2 ) 极小解构成的集合为。卵和砑记坛= d j ：巧o ) ，其 中x = ( q ) 灵，；g ( b ) = d j ：叼ab = b ) 若b = 0 ，则踢= x ：x = ( 巧) j t ， 其中q o 时，巧 0 ，a j a o ；= o 时，即l ) ( 参见【4 5 】) 因此在下文中我们假 设b 0 定理1 2 1设o _ r x 4 是既的最大元，则对任意的j o j ， ：x = ( 巧) 灵，斯) = 7 j o ( x 4 ) 证明首先，引理1 设z ( x + ) 并作x 7 = ( ：x = ( 巧) 灵，既 ( ) 灵，) = 竹。( x + ) 5 已经保证 z j o ：x = ( q ) 灵j 瓤 ( x 4 ) 假 弓，灵j ，其中弓= 雩j j ：如j o , 易证x 7 ，从而z ，即( x + ) 勺。：x = ( 巧) 灵，。所) 于是 ：x = 从定理1 2 1 易得下述推论 推论1 2 1 方程( 1 1 ) 有最小解当且仅当叉= ( - - 山j ，j t ，其中而= m i n 7 3 ( x + ) ，坳j 进一步，若- 2 。所，则又就是最小解 从极小解的定义易得下述性质： 性质1 2 1 设l 是完备格且x = ( 巧) 灵，。镏如果存在坛的两个交不空 的子集以，也，则( v 巧) | | ( v 吻) j j 1j j 2 第7 页，共5 4 页 第一章极小一般并分解及其在求解完备b r o u w e r 格上模糊关系方程极小解中的应用 性质1 2 2 【17 】设工是完备格如果兄= ( 勺。) 灵，是的极小元，则对所有 的歹，有叼ax j = 巧。，即6 = v 勺。且巧。a j ，j 3 e j 从性质1 2 2 和文 2 中的定理3 2 1 ，可得下述性质： 性质1 2 3 设x = ( 勺) 灵，。筋则x = ( 巧) 灵，。卯当且仅当对任意 的j o j ，q 。= m i n z 工：zv ( v 巧) = 6 ) j e j - j o 定理1 2 2 设l 是完备格，j 有限且对任意的歹l ，如j ，叼。ab 叼：ab 则。曙仍当且仅当g ( 6 ) 0 进一步，对任意的x 。砑，n xn v ( b ) o 证明易证t 砑o 当且仅当g ( b ) o 假设存在x = ( 巧) 灵- ，砑使 得坛nc ( b ) = 谚，即对任意的j g ( 6 ) ，= 0 则由性质1 - 2 2 知6 = v = j e j v x j v( a jab ) b ，矛盾 _ j e j - c ( b )j e j - g ( b ) 这里我们指出定理1 2 2 推广了文【4 6 】中基于线性格的相应结论 定理1 2 3 设三是完备格若 而：v ( a ja6 ) = b ，j oczi j o l 。) 3 q d 且。砑d ，则对任意的x = ( 勺) 灵t ，。叼，i n x i m i n l j o i ：v ( 口jab ) = j j o b ，j oczi j o i o 。 证明记t = m i n i j o l ：v ( ab ) = b ，j oczi j o i o 。 如果存在x = j 而 ( 勺) 灵，。础使得s = l n x i t ，则由性质1 2 2 知6 = v 勺= vx j = v 巧。 j e jj e n x k = l 88 v ( 叼。ab ) b ，血n x = d l ，j 2 ，歹。) 从而b = v ( 町。a6 ) ，由t 的定义， s t ，矛盾 对任意的歹j ，用b 表示j 的子集且使得对任意的歹1 ，歹2 例，ab ，a6 以 及a6 两两可比 定理1 2 4 设l 是完备格，j 有限，且以是使得v ( 叼ab ) = 6 成立并具有 最小基数的t ，的子集，若。砑谚，则对任意的x = ( 巧) 灵，。砑，蜥垡 ui j ，v j o 以 j e j , - j o 第8 页，共5 4 页 第一章极小一般并分解及其在求解完备b r o u w e r 格上模糊关系方程极小解中的应用 证明如果存在x = ( 巧) 炙，。砑使得3 j 0 j a ，坛u阴，则由性 质1 2 2 知b = v 巧= v vv ( a tab ) v( a j ，ab ) sb ，其 j e jj e n xj j x j ot b 1j j l 一如 中叼，ab = v ( a t a6 ) 于是b = va j ，ab ，与以的最小基数矛盾 t e j l j j x j o 用影t ，i j ，表示方程( 1 1 ) 的第i 个方程的解集，表示方程( 1 1 ) 的第i 个方 程的极小解构成的集合由性质1 2 2 ，易得下述性质： 性质1 2 4 设三是完备格若b 。b t ，s ，t ，则彤s on 彤o = o 性质1 2 5设l 是完备格若砑o ，则v 砖：x i ，x i x 。 = 墨， i e i v x , x o 证明任取霹 砖：定彤，墨墨) ，v i i ，由引理1 1 4 知，砖 v 雹墨，即v 墨影，v i ，从而vx ! 又因为v 墨v 墨： x ：z ，砖x 。】墨，故据引理1 1 4 有v 砖：砖影，砖墨) 由兄的极小性知v 【砖：艇彤，定s 墨) = 兄 i e i 性质1 2 6设是完备格如果存在i j 及咒使得墨影t o 且x 。筋， 则五x o 证明由x 。是彤的极小元即知 文【1 6 】中的定理7 1 以及文【1 7 1 中的定理4 1 分别给出了有限和无限情况下方 程( 1 1 ) 每一个解都存在小于或等于它的极小解的充分条件然而遗憾的是，即 使x o 毋，影，i i ，可能全为空集；即便所有的形仍0 ，为。可以是空集例子 如下： 例1 2 1设l = ( n ，v ， ) ，其中n 是自然数集，aa6 表示a ，6 的最小公倍 数( 1 c m ) ，av6 表示a ，6 的最大公因子( g c d ) ，a a b = g c d z n ：aaz 6 ) ， a 6 当且仅当a 是b 的倍数，其中a 力都是自然数可以验证工是完备b r o u w e r 格考 ( 3ax 1 ) v ( 2ax 2 ) = 2 ， ( 2az 1 ) v ( 3ax 2 ) = 2 第9 页，共5 4 页 ( 1 - 3 ) l - - _ _ ，组，；0 程方系关糊模的 匕l 格该虑 第一章极小一般并分解及其在求解完备b r o u w e r 格上模糊关系方程极小解中的应用 显然( 0 ，2 ) t 。彩1 0 ，( 2 ，o ) t 形2 0 ，受五= ( 2 s ，2 t ) t ：8vt = 1 ，其中s ，t = n 磙，n k n ，m 是素数并且m 3 ，v k k 因为对每一个x = ( 2 s ，2 t ) t k e k 新有墨= ( 2 s 2 ，2 t 2 ) t 并且置 x ，所以筋没有极小元 例1 2 2 设l = ( m ，v ， ) ，其中m = o ) u 【2 m 3 n ：m ，竹n ) 可以验 证三是完备b r o u w e r 格考虑该格l 上的模糊关系方程组 ! ( 3 a x l ) v ( 4 a x 2 ) _ 2 ，( 1 4 ) i ( 4 ax 1 ) v ( 3a x 2 ) = 2 不难得到= ( 2 ，2 ) t ) ，彤1 = ( 2 ，z ) t ：z = 2 n ，佗n ) 且彤2 = ( 而2 ) t ：z = 2 n ，佗n 显然x o d 然而影1 0 与彤2 0 都是空集 从上面的例子不难发现，要想找到方程( 1 - 1 ) 有极小解存在的充要条件并非易事 引理1 1 6 说明了方程( 1 1 ) 的每一个解x 可以写成x = vx ，其中掣形且x i e l x ，于是我们有： 定理1 2 5 设 x ：x 彤，x sx + ) d ，v i i 对所有的x 1 ，恐 证明对所有的i j 任取砖【x ：x 影，x x + ) 则墨v 墨 i e i x + ，v t j 于是由引理1 1 4 ，vx ：形，即v 墨。筋进一步， i e li e l v 砖是。所的极小元事实上，若存在x 斯使得x v 砖，则由引理1 1 6 ，x = i e i i e i vx v 砖，其中x 影，v i i 从而由假设，存在t o ，使得x 站 碰这 i e ii e i 与x i , o 彤站矛盾 1 3 极小一般并分解及其在求解模糊关系方程极小解中的应用 在本节中，我们介绍了完备格上极小一般并分解与基极小一般并分解的概念， 讨论了这些分解存在的条件以及性质，而后运用这些分解来求解完备b r o u w e r 格上 模糊关系方程的极小解 定义1 3 1若完备格三上的非零元p 有分怖= vq k ，其中弧0 ，v k k ，则称v 吼是p 的一般并分解进一步，若对任意的k o k ，t k o 有p 第1 0 页，共5 4 页 砭 x 中其砖 幻l x 得使 f 加 在 存岔 蕴咒 v 澍 = m v 触卵 = 则 h 厶 果 如 既配 第一章极小一般并分解及其在求解完备b r o u w e r 格上模糊关系方程极小解中的应用 (vq k ) vt k o ，则称vq k 是p 的极小一般并分解如果完备格三中的每一个元p 至少有一个极小一般并分解p = vq ，对其它任何极小一般并分解p = vq 以及任 意的q q ，存在q 7 q 7 使得p = q ，v 【v ( q g ) 】是极小的，则称三上的极小一般并分 解具有可替换性 注1 3 1 显然，极小一般并分解是不可约的文 2 3 中考虑的极小并分解要 求q k p 在这里，我们允许平凡情况的发生，a p p 是它本身的极小一般并分解 接下来我们将讨论极小一般并分解存在的条件及性质，并用它来求解完 备b r o u w e r 格上方程( 1 2 ) 的极小解 首先，我们用极小一般并分解的定义重述文 4 】中关于完备b r o u w e r 格上方 程( 1 2 ) 有极小解的充要条件： 定理1 3 1 设0 。有极小元当且仅当b 有极小一般并分解vm 且对 任意的p k ，k k ，存鹤j 使得p k a j 命题1 3 。1设v 锯是p 的一般并分解则v 鲰是极小一般并分解当且仅 当q k o = m i n q l ：qv ( vq k ) = p ) ，v k o k k e k - k 证明设v 饥是p 的极小一般并分解显然口 q l ：q v ( vq k ) = p 】 对任意的q 口l ：qv ( vq k ) = 力，由引理1 1 2 ，( q k 。aq ) v ( vq k ) = 【q k o v ( vq k ) 】a 【g v ( v吼) 】= p a p = p 则由定义1 3 1 知q k o = q k o a q q 从- 而q k o = m i n q l ：qv ( vq k ) = 力 反过来，若存在k o k 与q q k o = m i n q l ：qv ( vq k ) = 计，使 得qv ( vq k ) = p ，则q t 口l ：qv ( vq k ) = 力，故而g ksq ，矛盾 _ k e k - k o k e k - 推论1 3 1可替换性对于极小一般并分解并不成立 证明假设格l 上的元_ p 有两个极小一般并分解vq 和vq 7 满足可替换性，则由 定义1 3 1 ，对任意的g q ? f f q 7 q 7 使得 v ( q g ) 】vg ，= p 是极小的从而由性 质1 3 1 得到g ，= m i n t l ：tv v ( o g ) 】= p ) = q ，于是有q q 7 类似地可 证q 7 q 从而q = 0 7 ，矛盾 _ 第1 1 页，共5 4 页 第一章极小一般并分解及其在求解完备b r o u w e r 格上模糊关系方程极小解中的应用 命题1 3 2 设v 瓠是p 的极小一般并分解，j l q t ：t 研是 酝：k k = 七k q 的一个划分，则v ( vq ) 是p 的极小一般并分解 t t i 正r i 由定义1 3 1 ，假设存在t o t 与c v q t 。使得【v ( v q t ) 】vc = p ，则 t e t - t o p = 【v ( vq t ) 】v 【ca ( vq o ) 1 t e t - t o = 【v ( v 仇) 】v 【v ( ca 口) 】 t e t t o q e q t o = 【v ( q q 。) v v ( caq k ) 】 七甄o = (vq k ) v 【v ( ca 弧) 】， k e k k t ok e k t o 其中玩= 七k ：q k q t 。】_ 假设存在k o k t 。使得c a q k o q k 。，则(vq k ) v ( caq k o ) = p ，这与题设矛盾于是caq k = q k ，即q k c ，v k 战，从而vq 如= vq k c ，矛盾 注1 3 2通常情况下命题1 3 2 在完备格上是不成立的设完备格l 如下： d 显然ev ，v 夕是1 的极小一般并分解，且 e ，) ，9 ) 是 e ，夕) 的一个划分然而， avg = ( ev ，) v 夕并不是1 的极小并分解，因为dv g = 1 且矗 a 在命题1 3 2 的证明中我们要求完备格l 是b r o u w e r 格，实际上这一要求可以舍 弃： 命题1 3 3 设v 饥是完备格l 上p 的极小一般并分解，且 q ：t t ) 是 啦： k e k k k ) = q 的一个划分如果对任意的t t 以及任意的z ( 0 ，vq t ) n 【可l ： 矽0v ( q q d ，存在诺c 轨使得z = v q ，则v ( v 砚) 是p 的极小一般并分解 t e t 第1 2 页，共5 4 页 第一章极小一般并分解及其在求解完各b r o u w e r 格上模糊关系方程极小解中的应用 证明假设存在o t 及c vq t 。使得【v ( v 轨) 】vc = p 易 证c 秒l ：y0v ( q q t 。) ) 由题设，存在q ：。cq t 。使得c = v 娥。， 于是p = 【v ( v q t ) v ( v q ：。) = v i ( q q t o ) uq 乞】，这与定义1 3 1 矛盾 故v ( vq ) 是p 的极小一般并分解 t e t 例1 3 1设完备格l 如下： a f 因为ov ( cad ) = avg = a ( avc ) a ( nvd ) = 1a1 = 1 ，故三不是分配格，且 可以验证l 满足命题1 3 。3 e e 题设的条件显然，vgv 忍是1 的极小一般并分解，考 虑 ，g ，危) 的划分 ，9 ，九) ，而【，9 ) = ( o ，n ) i 1 可l ：y | l 九 ，从而口v 危是1 的极 小一般并分解 下述性质是显然的： 命题1 3