（基础数学专业论文）涉及亚纯函数正规族理论的几个问题.pdf

重庆大学硕士学位论文中文摘要 摘要 二十世纪二十年代，芬兰数学家r n e v a n t i n n a 引进了亚纯函数的特征函数， 并创立了n e v a n l i r m a 理论。此理论是二十世纪最伟大的数学成就之一。半个世纪 以来，亚纯函数理论在n e v a n l i n n a 理论的不断发展与影响下取得了蓬勃的发展。 尤其在亚纯函数正规族理论，亚纯函数唯一性理论等方面取得了许多漂亮的结果， e m u s e , eg r o s s ，g f r a n k ，w b e r g e i l e r , i l a i n e 及我国熊庆来、杨乐等数学家在 上述领域内一系列令人瞩目的结果。当今，随着新的学科的交叉与新的方法的诞 生，一些问题得到解决而新的研究问题又不断地涌现。本文主要介绍作者在李江 涛副教授的悉心指导下，所完成的一些工作。全文共分三部分。 第一部分，主要介绍n e v a n l i n n a 基本理论以及一些基本概念和结果，并对本 文提到的一些定义和常用记号作了介绍。 第二部分，通过研究全纯函数族的正规性，给出了一个一般性的正规定则， 改进了李江涛和仪洪勋的结果即把，用，的微分多项式 h ( f ，f ，u ) ) = 6 1 ( z ) m ( f ，f ，u ) 卜+ 吮( z ) m 。( 工厂，u ) ( 其中m ( f ，f ，盯) ) = ，m 驴户眇广) 来代替，结论仍成立。主要定 理有 定理2 1 1 设f 为区域d 上的全纯函数族，m ，q ，k 为正整数， p ( 缈) = 缈9 + 口( 2 徊”1 + + q ( z ) c o 为一个多项式。令h ( f ，f ，( f ) ) 为f 的 微分多项式，满足 o ，a ( z ) ，b ( z ) 0 ，c ( z ) 0 为d 上的解析函数，如果对 v f f ，厂的零点重级至少为k ，且 ( z ) ：= o 等p ( d ) + h ( 六，u 耻) 产z ) ， 且 p u ) + h ( ，7 ，( 厂”) 产b ( z ) jf ( z 户c ( z ) 则f 在d 上正规。 在第三部分中，主要研究了亚纯函数族的正规性，获得了涉及零点重级的亚 纯函数族的一般性正规定则。并举例说明了定理中对，的零点限制是有必要的。 主要证明定理有定理3 ，1 2 3 1 6 。 关键词：全纯函数，正规族，亚纯函数，分担值 重庆大学硕士学位论文英文摘要 a b s t r a c t h1 9 2 0 s ，r n e v a n l i n n ai n t r o d u c e dt h ec h a r a c t e r i s t i c sf u n c t i o n so f m e r o m o r p h i c f u n c t i o n sa n dg a v et h ef a m 0 1 l sn e v a n l i r m at h e o r y t h i st h e o r yi st h em o s ti m p o r t a n t a c h i e v e m e n t si nt w e n t yc c n t r i c s f o ro v e ra h a l f c a n t u r y ，n e v a n l i a n at h e o r yh a sb e e n w e l ld e v e l o p e da n dc a nb eu s e di nt h er e s e a r c ho f m e r o m o r p h i cf u n c t i o m e s p e c i a l l y t h e r eh a v eb e e nl o s t so fc e l e b r a t e dr e s u l t si nt h en o r m a lf a t a l i t yt h e o r y , t h ec o m p l e x d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t h eu n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sa n do t h e rr c s e 组x c h f i e l d s ，b u tt h e r em a n yo p e nq u e s t i o n sh a v eb e e n1 1 0a l l g w e i 8 ，f o ri n s t a n c e ，t h eg r o s s p r o b l e m , w b e r g w c i l e rc o n j e c t u r e , t h ey i - y a n gp r o l c me t c , w h i c ha l ei n r e r e s t e db y m a n yc o m p l e xe x p e r t o i nt h i st h e s i s ，b yu s i n gn e v a n l i r m at h e o r y , w eg a v es o m e r e s e a r c h e so nt h et h e o r yo fm e r o m o r p h i ef u n c t i o nu n d e rt h eg u i d a n c eo fp m f c s s o i - l i j i a n g t a o i ns e c t i o n1 ，w ei n t r o d u c es o m ef u n d a m e n t a lr e s u l t s ，s 蚴en o t a t i o n s i ns e c t i o n2 ，w es t u d yt h en o r m a l i t yo faf a m i l i t yo fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n s 。a g e n e r a ln o r m a lc r i t e r i o ni so b t a i n e d w h i c hi m p r o v e st h er e s u l t sg i v e nb yl ij ta n dy i f i x “t h a ti s f i sr e p l a c e db yad i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a l h ( ，u ”) ) = 6 1 ( = ) m 。( ，厂，u ) ) + + 屯( z ) m 。( 厶， u ) ( a n dm ( 厂，u 耻) ) = ( 厂7 p 扩耻广) ，t h er e s u l t i so b t a i n e d w e o b t a i nt h ef o l l o wr e s u l t t h e o r e m1mfb eaf a m i l i e so f h o l o m o r p h i cf u n c t i o n si nad o m a i nd i l l ，q ，k b ep o s i t i v ei n t r g e r s ，a n dl e th ( f ，f ，u ) ) b ead i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a lw h i c h s a ：c i s f i 髓嘻 o ，a ( z ) ，b ( z ) o ，“z ) ob es o m ea n a l y t i cf u n c t i o n si nd i ff o re a c h f f t h ez e r o so f f h a v em u l t i p l i e i t ya tl e a s tka n d ，( z 户z ) j p u ) + h ( ，f ，u ) 户烈z ) ， p ( f ) + h ( ，u ) ) b ( z ) jf ( z 户b ( z ) t h e n f i s n o e m a l i n d i ns e c t i o n3 ，i nt h i sp a p e r , w es t u d yn o r m a l i t yo faf a m i l i yo fm e r o m o p l l i e f u n c t i o n sa n dg e n e r a lc r i t e r i af o rn o r m a l i t yo f af a m i l i yo f m e r o m o p h i cf u n c t i o n sw i t h m u l t 啦l ez f f f o sc o n c e r n i n gs h a r e dv a l u e sa l eo b t a i n e d 。s o m ee x a m p l ea r cp r o v i d e dt o 重庆大学硕士学位论文英文摘要 s h o w t h er e s u l t i ss h a r p w e o b t a i n t h e t h c r o m 3 1 2 - 3 1 6 k e y w o r d s ：h o l o m o r p h i ef u n c t i o n s ，n o r m a lf a m i l y , m c r o m o r p h i ef u n c t i o n s ，v a l u e d i s t r i b u t i o n i l l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得重迭态堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：i 南 签字日期： m 7 年6 月2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解重麽太堂有关保留、使用学位论文的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许 论文被查阅和借阅。本人授权重废盔堂可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存、汇编学位论文。 保密() ，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密( ) 。 ( 请只在上述一个括号内打“4 ”) 学位论文作者签名：壶1 衔 签字日期：瑚年6 月上日 导师签名专江湍导师签名伟江漓 签字日期：x 9 年6 月日 重庆大学硕士学位论文引言 引言 一些理论与实际问题的研究往往需要寻求某些整函数或亚纯函数的根，这就 是说，对于一个整函数或亚纯函数“z ) 与任意复数a ，要研究方程厂( z ) = 口是否 有根以及根的多少与分布等问题。十九世纪末，著名数学家p i c a r d 和b o r d 先后 获得了突出的成果，以后有许多学者从事这方面的研究，因而形成了整函数与亚 纯函数值分布理论。在二十世纪二十年代，芬兰数学家r n e v a n l i n n a 引进了亚 纯函数的特征函数并创立了n e v a n l i n n a 理论，此理论是二十世纪最伟大的数学 成就之一。半个世纪以来，距纯函数理论在n e v a n l i n n a 理论的不断发展与影响下 取得了蓬勃的发展。尤其在亚纯函数正规族理论，亚纯函数唯一性理论等方面取 得了许多漂亮的结果。 正规族的的概念是由m o n t e l 在上世纪初引进的，它是指一族全纯函数或亚纯 函数的某些列紧性。m o n t e l 成功的把函数族是否正规与函数取值问题联系起来， 建立了重要的正规定则。n e v a n l i n n a 理论与正规族理论的结合，促进了正规族理 论的深入发展，c m i r a n d a , gv a l i r o n , w k h a y m a n 及我国数学家熊庆来，庄圻 泰，杨乐，顾永兴等在这方面取得了杰出的成果。 关于正规族理论的研究，大都是按照b l o c h 法则的启示进行的，a b l o c h 曾经 注意到：如果开平面内的一个亚纯函数满足某条件即以锐化为常数，则在区域内 一族亚纯函数一致满足该条件时应该是一正规族。尽管这一法则在一般意义下是 不准确的，但是人们常常根据这一法则的启示去猜测并相继证实了许多新的正规 定则。把亚纯函数正规族理论和唯一性理论结合起来研究是值分布理论的一个崭 新的研究方向。w s c h w i c k 首先在涉及分担值函数族的正规性作了研究，孙道椿 庞学诚，与l z a l c m a n 等在这方面也取得了最要结果。但在这一领域上仍有许多 问题有待进一步研究。 本文共分三部分第一部分是预备知识，给出n e v a n l i n n a 基本理论中的几个基 本结果及常用记号，并叙述亚纯函数正规族理论中的一些基本概念，结果及本文 相关问题。参阅文献 1 】 2 】 3 】【4 】 5 】 1 1 1 1 2 3 2 第二部分主要研究全纯函数的正规定则，改进了李江涛和仪洪勋的结果， 把厂忙用厂的微分多项式来代替，得出一个更一般的正规定则。 第三部分，主要研究了亚纯函数族的正规性，获得了涉及到零点重级和分担 值的亚纯函数族的一般性正规定则，推广了前人的一些结果。 以上是本文的主要内容框架，是作者在李江涛副教授的悉心指导下所完成的 一些研究工作。 重庆大学硕+ 学位论文1 预备知识及本文主要结果 1 预备知识及本文主要结果 亚纯函数正规族理论与唯一性理论是亚纯函数理论的重要组成部分，是富有 研究意义的重要课题。二十世纪二十年代，芬兰数学家& n e v a n l i r m a 所创立了 的值分布理论是亚纯函数理论研究所使用的主要工具。这个理论的建立，为值分 布论的发展做出了划时代的贡献，构建了值分布论的基本理论。8 0 年来，值分布 论在n e v a n l i n n a 理论的影响下取得了巨大的发展。近年来，这一理论不断发展和 完善，一些历史遗留问题逐步获得解决；同时，它向复分析的其他分支，甚至是 数学的其他领域逐渐渗透。本节我们将给出i ln e v a n l i n n a 基本理论中的几个基 本结果及常用记号，并叙述亚纯函数理论中的一些基本概念，结果及相关问题( 参 考文献【l 】【2 】【3 】【4 】【5 】【3 2 】) 1 1n e v a n l i n n a 理论概要 在本文中，如果没有特别说明，所提到的亚纯函数均指开平面c = z ： 回 中的亚纯函数，用于= 仁：l z i 0 0 u o o 表示扩充复平面。 对于x 0 ，定义x 的正对数为： o g + x = l o g 毛：三k 由这个定义易看出对任意的非负实数工有： l o g 石：l o g x - l o g + 1 定义1 1 1 设，( 力为在讨 置，( o r s 呦上的非常数亚纯函数，口为任一复 数，规定 m ( r ，) 2 万1f l o g + 胁”) 卯l ， ( ，3 = r 亟佥l 州o ，加g ， 丙( r ，力= f 亟等丛生如+ 瓢加g r ， 丁( ，力= 辨( r ，力+ ( ，门， 其中栉( r ，力表示( z ) 在纠 ，( o ， 嚣m ) 的极点数，重级极点按其重数计算， 2 重庆大学硕士学位论文 l 预备知识及本文主要结果 雄( o ，力表示厂( z ) 在原点处极点的重级，- ( ，n 表示厂( z ) 在i z l ，( o s ， r s o o ) 的极点数，重级极点只计算一次( 当八o ) 0 0 时。n ( o ，d = 万( o ，力= 0 ；当f ( o ) = o o 时，万( o d = 1 ) 珂( r ，多表示，( = ) 在i ：l _ ( o r r o o ) 的零点数，重级零点按 其重数计算，_ ( ，争表示( z ) 在j 2 i r ，( o r r o o ) 的零点数，重级零点只计算 一次。 我们称研( r ，d 为，( z ) 的均值函数，并分别称( ，力和- ( r ，门为，的极点的 计数函数( 亦称作厂的幂指量) 和精简计数函数( ，的精简幂指量) 。t ( r ，力称作f ( z ) 的n c v a n l i n n a 特征函数，简称( z ) 特征函数。另外，m ( r ，力亦记作m ( r ，o o ) ， 肌( r ，_ l ) 亦记作m ( r ，口) ，( 门亦i 8 作n ( r ，0 0 ) ，( ，了l ) 亦记作( ，4 ) 。 ，一a，一a 对于特征函数我们有如下性质 设工( z ) p = 1 ，2 ，p ) 为p 个于h r ( o o ) 内亚纯的函数，g m j x c f o ， r ， 有： ， ，娶p t ( r 工) 圭r ( ，工) ， ， ，娶工) 乏r ( ，工) ， r ( 童工) 兰r ( z ) + l o g p 。 定理1 1 1 ( n e v a n l i n n a 第一基本定理) 设函数厂( z ) 于h r ( go o ) 内亚纯。 若4 为任一有穷复数，而且厂( z ) 不恒等于a 。则对于0 ， r ，有 m ，去) 川棚+ l o g i e i 州v ) ( 1 1 ) 其中 厂( z ) 一a = c , z + c ：“z “+ ( c ：0 9 ； l e ( a ，r ) l l o g + h + l 0 9 2 定理1 1 2 ( x , l l l l l x 弓l 理) 设函数0 ) 于h r ( o o ) 内亚纯，且 ( o ) o ) 0 0 ，又设k 为一正整数，则对于0 r p 3 ) 个判别的有穷复数，则 ( q - 2 沙( ，力( ，了) 一m ( ，) + s ( r ，d ( 1 4 ) ，；lj “j 其中j ( ，门和s ( r ，力与定理1 1 3 的定义相同。 关于第二基本定理的余项s ( r ，力，根据对数导数引理，有如下估计： 定理1 1 5 设函数厂( z ) 于开平面亚纯，不蜕化为常数，s ( r ，f ) 由n e v a n l i n n a 第二基本定理中的( 1 1 3 ) 式确定，则当f ( z ) 为有穷级时，有 s ( r ，力= o ( 1 0 9 r )( ，- - 9 叻； 当f ( z ) 为无穷级时，有 s ( r ，门= o ( 1 0 9 ( r t ( r ，力) ) ( ，一a o ，譬占) ， 其中e 为线性测度为有穷的集合。 注：对于非常数亚纯函数f ( z ) ，本文用s ( r ，力泛指这样的量：当，( z ) 为 有穷级时，s ( r ，力= o ( r ( r ，肋( 厂_ m ) ：当，( z ) 为无穷级时，有 s ( r ，f ) = 口( “，厂) ) p 斗o o ，芒d ，这里e 是一个有穷线性测度的集合。 通过对定理1 1 4 和定理1 1 5 中项l ( ，) 的估计，有n e v a n l i r m a 第二基本定 理如下常用形式。 定理1 1 6 设函数f ( z ) 非常数亚纯函数，又设盯，u 1 , 2 q ) 为g ( 3 ) 个判 4 重庆大学硕士学位论文l 预备知识及本文主要结果 别的复数( 其中可以有一个复数等于无穷) ，有 国一2 妒( ，力 荟似，7 i 卜l ( ，) + 联，力， 口 或 ( 譬一2 ) f ( ， 力s 喜- ( r ，了 + s ( r ，力 ( 1 5 ) 其中l ( ，) ，s ( r ，门性质仍如上所述。 上述n e v a n l i n n a 第二基本定理指出，亚纯函数的特征函数可被其计数函数所 界囿，而用亚纯函数及其导数的计数函数来界囿其特征函数的问题，就是下面的 m i l l o x ( 7 1 不等式： 定理1 1 7 ( m i l l o u x 不等式) 设函数厂0 ) 于h 月( ) 内亚纯。若 ，( o ) o ，o d ；及厂( o ) l ；“1 ( o ) 0 ，则当0 ， r 时，有 r ( 力 职，力+ ( ， _ 1 ) + n ( r ，了害j ) 一( ，7 b + s ( ，力 ( 1 6 ) 定义1 1 4 设，( ：) ，口( z ) 在开平面上亚纯，如果“，4 ) = s ( r ，d ，则称口( z ) 为 ，乜) 的小函数。 定理1 1 8 ( h a y m a n 嘲不等式) 设函数厂( z ) 于1 z l r ( o o ) 内亚纯，不蜕 化为多项式，k 为一正整数，且 ，( o ) o , o o ；f ( 0 1 ；f “( o ) 0 ， 以及 ( k + 1 ) f 。“( o ) u ( 0 ) 一1 ) 一( | + 2 ) 厂“( 0 ) 2 0 ， 则对于0 ， r 有 r ( ，力 ( 2 + 妻) 二) 1 + ( 2 十争- ( ，了害j ) + s ( 门 ( 1 7 ) 定理1 1 9 ( h u r w i t z 吲定理)设函数序列阢( 2 ) 在区域d 内解析，并且在 d 内内闭一致收敛到一个不恒为零的函数厂( z ) 。，是d 内可求长简单闭曲线，其 内部属于d ，且不经过，( z ) 的零点。则存在正整数n ，使得当n 2 n 时，在，内部 正0 ) 和0 ) 的零点个数是相同的。 定理1 1 1 0 ( b u r e a u 1 引理) 设“，) 是区间0 ( ， p 内的菲负且非减的函 数，又设口和b 均为正数，使b 2 a 且b 28 a 2 ，若不等式 5 重庆大学硕士学侥论文l 预备知识及本文主要结果 m ) a l o g + t ( r ) + 口l o g 击+ 6 于区间0 ， r p 成立，则不等式 m ) 2 幽g 击+ 2 6 ( 1 8 ) 于区间0 ， r p 成立。 1 2 正规族 正规族理论是复分析的一个重要组成部分，从e m o n t e l 引进正规族，它便与 函数取值的问题紧密联系在一起，以后的发展也是如此。在证明正规定则时，函 数值分布论常常起着重要作用。 众所周知，平面上任一无限点集至少存在一个聚点( 有穷或无穷) ，这就是点 集的列紧性，但一族函数就未必具有上述性质。2 0 世纪初，e m o n t e l 引进了正规 族的概念，把具有某种列紧性的函数族称为正规族。 定义1 2 1 设正( z ) ( n = l , 2 ，) 为一函数序列均在一区域d 内亚纯。我们称 z ( z ) 在d 上内闭一致收敛，如果对任一点知d ，存在一邻域( ) ( ( 毛) c d ) ， 1 一 使( z ) 或了去在( z o ) 上按通常意义一致收敛。 j n z j 一个亚纯函数序列在一区域内闭一致收敛，其极限函数有下列性质： 定理1 2 1 在区域d 上内闭一致收敛的亚纯函数序列工( z ) ( 萨l ，2 ，) 的极限 函数俐要么是一个亚纯函数，要么恒为无穷。 定义1 2 2 设“= ) 为区域d 内一族亚纯函数，如果从这个族中每一个函数 序列 z ( z ) o 产l 2 ) 均可以选出一个子序列( 厶( ：) ( 转1 2 ，) 在区域d 上内闭 一致收敛，则称族 厂( z ) ) 在区域d 内正规。 定义1 2 3 设矿( z ) ，为区域j d 内一族亚纯函数。我们称族矿( ：) 在区域d 内 一点z o 正规，如果存在一个属于d 的以气为心得圆内部c ( z 0 ) ，使族矿( z ) ) 在 c ( z o ) 内正规。 关于一函数族在一区域内正规与其在区域内一点正规的关系如下： 定理1 2 2 设饥z ) ) 为区域d 内一族亚纯函数，则矿( z ) ) 在区域d 内正规的 充要条件为它在区域d 内的每一点正规。 下面引进球面距离的概念： 定义1 2 4 设z 1 ，乞为两复数( 有穷或无穷) ，设啊，m ：分别为球面上与z l ，z 2 相 应的点。则直线段m 。m ：的长度称为毛，z 2 的球面距离并以符号k ，乞i 表示。 6 重庆大学硕士学位论文l 预备知识及本文主要结果 k ，乞i ( 毛0 0 ，乞= o o ) ( z 1 = o o ，z 2 = c o ) 根据定义不难验证 l 磊，乞l i 刁一龟l ( 刁：g ：o o ，乞) l z lz , f - o ，a ( z ) ，b ( z ) 0 ，c ( - 7 ) 0 为d 上的解析函数， 如果对v f f ，f 的零点重级至少为k ，且 厂( 垆o 营p r y ”) + h ( l 厂，( 厂) 户a l z ) ， 且p 0 ) + h ( f ，f ，。，) ) = b ( z ) ( z = c ( z ) 。 则f 在d 上正规，k 2 。当k = l 时，只要a ( z ) ( 埘+ l y a g ) ( ”= 1 , 2 ，) 即可。 最近，李江涛和仪洪勋证明了 定理c 【2 6 1 设f 为区域d 上的全纯函数族，k 为正整数，a ，b ( o ) ，c ( 0 ) 及 d 为有穷复数且b a 。若对v f f ，f d 的零点重级至少为k 。 f = 0 ：o f 仕= a n f ) = 6 j = c ，则f 在d 上正规。 自然地，我们希望把定理c 1 中的厂忙用厂的微分多项式来代替，结论仍成 立，本文中我们将得到以下结果。 定理2 1 1 设f 为区域d 上的全纯函数族，m ，q ，k 为正整数， p ( 户国。+ 口q - i ( z ) c o q - i + + q ( z ) c o 为一个多项式。令h ( f ，f ，u ) ) 为定理 b 中所提到的微分多项式，满足 o ，a ( z ) ，b ( z ) 0 ，c ( z ) 0 为d 上的解析函 数，如果对v f f ，厂的零点重级至少为k ，且 ( z ) = oj p u ) + h ( 一，( 厂) 户a t z ) ， 且p t f 忙) + h ( f ，厂，( ，仕) ) = b ( z ) j ，( z ) = e ( z ) 则f 在d 上正规。 当h ( ，7 ，u 似) ) 取特殊函数值时，即可得到下面的推论。 推论1 ：设f 为区域d 上的全纯函数族，i n ，q ，k 为正整数， p ( 国) = 国9 + a q - 1 ( z ) c 0 4 _ 1 + + q ( z ) c o 为一个多项式。a ( z ) ，b ( z ) 0 ，c ( z ) 0 为d 上 的解析函数，如果对v f f ，f 的零点重级至少为k ，且 ，( ：) 卸m p ( 厂冲) = a ( z ) ； p u 忡) = b ( z ) j ，( z ) = “z ) 。 则f 在d 上正规。 r e m a r k ：明显地，定理c 是推论l 的一个推论。 定理2 1 2设f 为区域d 上的全纯函数族，n l ，q ，k 为正整数， p ( 国户口4 + 口q - i ( z ) o a ”1 + + 口1 ( z ) o a 为一个多项式，h ( f ，厂，u ) ) 为定理 b 中所提到的微分多项式，满足 o ，a t z ) ，b ( z ) 0 为d 上的解析函数，如果 1 2 重庆大学硕十学位论文 2 涉及微分多项式的全纯函数的正规性 对v f f ，f 的零点重级至少为k ，且 ，( z ) = a ( z ) j p ( u ) 卜h ， ，( ，) 产z ) ， 且p ( f ) + h ( 厂9 - - , 9 u ) ) = b ( z ) j ，( z ) = b ( z ) 则f 在d 上正规。 2 2 几个重要引理 引理1 ：设f 为单位圆盘上的全纯函数族，k 为一正整数，对b 歹f ， 厂的零点重级均k 假设存在a 1 ，当o ) = o 时，| 厂“口l 4 。，若f 在上不 正规。则对0 口k ，存在： ( 1 ) 数r ，0 r 0 ，v z d 有 k ( z ) i 肘，k 0 ) f m ，“= l 2 q - 1 ) 。由假设和引理7 ，我们可得到当 f ( z o ) = 0 时，j 厂耻( z o ) l s 均+ 1 。现假设f 不正规，由引理l 对a = m q + i ，存在 函数列，。e f ，复数列z 。0 ，正数列岛寸0 ，有 g 。( 孝) = 户z ( o + p o 斗g ( o( 2 2 ) 按球面距离一致收敛。g 为非常数整函数，满足：g 的零点重级均k 和 g 撑( 孝) g ( 0 ) = c a + l 。 又由引理2 ，g ( f ) 的级至多为1 。令 甲( 国) 翎9 坻和) 国9 哪+ + q ( o ) c o ( 2 3 ) 首先我们证明： ( 1 ) g ( o = 0 = o ( g ( f ) ) = 口( 0 ) ( 0 ； ( 2 ) w ( g ( f ) ) 6 ( o ) 。 不妨令 ( 力= p ( 厂n ) + h ( ，f ，( 厂”)( 2 4 ) 假设g 曦) = 0 ，由h u r w i t z 定理，3 六，六斗彘，g 。g ) = 五( 乙+ 岛善) = 0 ( 当n 充分大时) ，则有l ( f 。0 。+ 成善) ) = 口g 。+ 以六) ，i e l ( z ( ：。+ 以f ) ) = p ( 一”( z 。+ 成磊) ) + h ( 乞+ 成f 。) ，0 ( z + 以六) ) ：”( 乙+ 成六) ，+ q - 1 吩瓴+ 以) 协”d 。+ 成舅) y + 岛( 乙+ 成六) 膨，( 乙+ 以f 。) ，刀”( 乙+ 几厶) ) 1 4 垩壅奎兰堡主兰垡望奎 ! 鲨墨塑坌童堡茎箜全丝堕墼堕垩壁一 ：g ( 品) 户+ a q _ t ( z 。+ 岛厶) ( g ( 六) 户一+ + q ( 乙+ 以六) g ( 六) + 芝反o 。+ p 。六) 枷饥1 m 肘( g 。( ) ，g ( 六) ) ( 2 5 ) = 4 ( 乙+ 成六) 由假设嘻 。，我们可知? 幺 0 ， 使得 锱瓦1h(z l o g 幽r 2 r e 幽r ( 2 1 0 ) 。) i 2 厅 u、。 所以当，l _ 时。由( 2 1 0 ) 式 锱专mp ( 2 。) i ( 2 1 1 ) 另一方面，由引理7 ，当n - - ) o o 肛f , 睦i m 竺z ! o 圣) l 是有界的。于是得到矛盾。 ( i i )当c 1 = 0 时，g ( 孝) = 6 。十p 却= 常数。即g 为k 次多项式，且g 的零点 重级至少为l 【，则g 一定有一个重级为k 的单零点参，使得 g ( 善) = p ，十e c ) ! 圭二：予兰 ( 2 1 2 ) 由引理7 知p l + p 唧j 幻+ l 。 通过简单计算得g4 ( o ) 等( 当旧j 2 l 时) 或g 。( o ) p 1 + e 勺i ( 当禹i 1 时) 。这 与g ( o ) = 触+ l ，a = 均+ 1 矛盾。 综上，f 在上正规，进而在d 上正规，证毕。 定理2 1 2 的证明：令户= 矿一4 ：厂f ，则对矿户，厂一a 的零点重级 后，7 = 0 j 驴) = 口( o ) 和( 7 ) = 6 j 7 = b - 口，x n b ( z ) 口( z ) ，运用定理1 到f 上，即可得f 在d 上正规，则f 在d 上正规。证毕。 1 6 重庆大学硕士学位论文 3 与分担值相关的弧缝晒数的正规性 3 与分担值相关的亚纯函数的正规性 本文我们主要研究亚纯函数及其导函数具有公共值的正规性问题。并改进和 推广了已有的结论。 3 1 引言及主要结果 寻求什么样的条件来使一族亚纯函数正规，这是亚纯函数理论研究的一个课 题。近年来有不少数学研究者把函数族的正规性与亚纯函数的唯一性结合起来考 虑，并获得了一些很好的结果。 设，g 为区域d 上的亚纯函数，a 为一个非零有穷复数，令 亏( 力= 扛d ：厂( z ) = 口) ，若易( 口) = 瓦( 口) ，则称，与g 分担值a s c h w i c kc 3 3 1 证明了： 定理a ；设f 为区域d 上的亚纯函数族，a , b ，c 为相互判别的有穷复数。如果 对v f f ，户矿有分担值a , b ，c 则f 在d 上正规。 方明亮和徐炎 3 4 1 证明了 定理b ：设f 为区域d 上的全纯函数族，a , b 为相互判别的有穷复数。如果 对v f f ，有云r ( 口) = 耳( 口) 及雷r ( 6 ) 耳( 6 ) ，则f 在d 上正规。 方明亮证明了 定理c ：设f 为区域d 上的亚纯函数族，k 为一正整数，a 为一个非零有穷复 数。如果对可e f ，f 与，分担a ，且厂0 ，则f 在d 上正规。 章文华证明了 定理d ：设f 为单位圆盘上的亚纯函数族，a 为一个非零有穷复数。如果对 w f 。满足： ( 1 ) f 的零点是重级的 ( 2 ) ，7 n “分担值a 则f 在d 上正规。 本文主要证明如下结果： 定理3 1 1 ：设f 为区域d 上的亚纯函数族，a 为非零的有穷复数，若对v f ， 满足： ( 1 ) f 的零点是重级的， ( 2 ) e ，( 口) ce s ( 4 ) 。 1 7 重庆大学硕士学