（基础数学专业论文）某些特殊有限群的自同构.pdf

中文摘要 摘要 本文讨论了有限群的自同构群研究中较为常见的一些方法，并归纳 了几类特殊的有限群的构造，以及它们的白同构群的刻划。 印2 阶群共有五类，其自同构群分别为 ( 1 ) a u t c 2 。z 兰哆x c e 一1 ；( 2 ) a u t ( c p qx g ) 兰g l ( 2 ，巴) ： ( 3 ) a u t d 2 ，：兰h o l q z ；( 4 ) a u t g j 兰h o i ( c p q ) ： ( 5 ) a u t g 兰h o l q x a u t g 兰h o l g c ， 2 p q 阶群共六类，其自同构群分别为 ( 1 ) a u t g 月兰q i g “ ( 2 ) a u t g i 兰h o l c p q ( i = 1 ，2 ，3 ) ； ( 3 ) a u t g 兰h o l c p ( j = 4 ，5 ) a 关键词：有限群；自同构群 英文摘要 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ed i s c u s st h em e t h o do fa u t o m o r p h i s mg r o u po ff i n i t e g r o u p t h es 扛u c t u r eo fs o m ef i n i t eg r o u p sa n dt h e i ra u t o m o r p h i s mg r o u p s a r eg i v e n t h ef m i t eg r o u po fo r d e r2 p 2c a nb ec l a s s i f i e di n t of i v ec l a s s e s ，a n d t h es t r u c t u r eo ft h e i ra u t o m o r p h i s mg r o u p sa r e ( 1 ) a u t c 2 ，z 兰q 啄l ；( 2 ) a u t ( c p q x c 2 ) = g l ( 2 ，) ； ( 3 ) a u t d 2 。zh o l c p z ：( 4 ) a u t g , h o l ( c p q ) ( 5 ) a u t g 2 兰h o l q x a u t q 兰h o l q q _ 1 0 t h ef i n i t eg r o u po fo r d e r 2 p qc a nb ec l a s s i f i e di n t os i xc l a s s e s ，a n d t h es t r u c t u r eo ft h e i ra u t o m o r p h i s mg r o u p sa r e ( 1 ) a u t c 2 月兰q l q l ； ( 2 ) a u t g i 兰h o l c 刍( f = 1 ，2 ，3 ) ( 3 ) a u t g j 兰h o l c p ( 江4 ，5 ) 。 k e y w o r d s ：f i n i t eg r o u p ；a u t o m o r p h i s mg r o u p i i 基本知识 一、基本知识 研究有限群的自同构群是非常重要而又因难的，这是因为群论中的许多深刻技 术( 如群在群上的作用以及群表示等) 都有赖于对自同构群的认识，而自同构群的 计算又十分困难。在许多问题中，自同构群的研究可归结为p - 群的情形。 在群论的众多分支中，有限群论无论从理论本身还是从实际应用来说都占据着 更为突出的地位。同时，它也是近年来研究最多、最活跃的一个数学分支。经过很 多数学家的努力，在有限群中取得了一连串的突破，于上世纪八十年代解决了著名 的有限单群分类问题。这项重大的科学成果从1 8 3 2 年g a l o i s 证明交错群丘是单群 算起，经过了1 5 0 年。人们使用了抽象群论、表示论、几何以及组合论和图论的方 法，共发表了数于页以上的论文，最终证明了有限单群共有十八个无限族和二十六 个零散单群。 。 设g 是群，用a u t g 表示g 的自同构群，i n n g 表示g 的内自同构群，g 的中 心记为c ( g ) ，生成元为口的循环群记作 ，如果g 是有限群，用l g i 表示g 的 阶，a g 用o ( a ) 表示元素d 的阶，胛阶循环群记为e 。 关于自同构群的研究主要有两个方面，其一是给定群g 求解同构式a u t x 兰g 中的群x ；其二是给定群g 求a u t g 的有关信息。 引理1 1 设g 为有限群，且i g l = 2 p 2 ，p 为素数，, i j g 只有唯一的s y l o w p 一 子群。 证明设群g 的s y l o w p 一子群有七个，则k = l 或2 ，若k = 2 ，由第四s y l o w 定理知2 - ；l ( m o d p ) ，则p 1 2 - 1 ，矛盾。因此g 只有唯一的s y l o w p 一子群。 证毕 定义1 一定义群g 为群a 被b 的扩张，如果a 是g 的正规子群，并且 g a 兰b 。 引理1 3 0 1 设b = 是m 阶有限循环群，当群一被曰扩张为g 时，则g 关 于一的( 左) 陪集分解之代表元素令为1 ，g o ，配，簖，使彳有一个自同构 某些特殊有限群的自同构 盯；= 矿= 爵1 ) 及单位元“( 簖= “) 具有下面二性质：盯”= 1 ，“4 = “。 引理1 4 若群中元素口的阶为m ，b 的阶为玎，则当a b = b a ，且，n ) = 1 时， 有o ( a b ) = 埘以。 引理1 5 “1 阶为2 p 2 ( p 为奇素数) 的群g 有如下五型： ( i ) c 2 ，z ； ( i i ) q 巴c 2 ； ( i i i ) d 2 。：= ( 2 p 2 阶二面体群) ； ( i v ) g l = ( 口，6 ，c i 口9 = 6 9 = c 2 = 1 ，b - l a 6 = a , c - l a c = a - l , c - i b c = 6 1 ) ； ( v ) g 2 = ( 口，b , c id = 6 = c 2 = l ，b - l a 6 = a , c - l a c = a , c - 1 b c = 6 1 ) ； 证明1 、若g 中有2 p 2 阶元素，则g 为循环群，为( i ) 型群； 2 、若g 不是循环群，因为i g l - 2 p 2 ，由引理1 1 知群g 只有唯一一个s y l o w p 一子群一，则a 为p 2 阶循环群或4 = ，口，6 均为p 阶元素，且可交换。 ( 1 ) 若a 为p 2 阶循环群，设爿= ，则口，= 1 。 此时，g 为p 2 阶循环群4 被2 阶群的扩张，因g 中阶为2 的元素b 不在a 内， 故g = a u a b = ，d ，2 = b 2 = 1 ，b - t a b = d ，则，- - - _ + l ( m o d p 2 ) ，由于口，6 不可 交换( 否则由引理1 4 知g 为循环群) ，因此，= 一l ( m o d p 2 ) ，因此一a b = 口，此 时g 为( i i i ) 型群； ( 2 ) 若a = ，口，b 均为p 阶元素，a b = b a 。 此时，g 中阶为2 的元素c 不在a 内，故g = a u a c = ，r a b = b a ， 口9 = b p = c 2 = 1 ，c 一1 口c = a 4 ，c - i b c = 6 4 ，但盯a u t a ，盯2 = 1 ( 弓i 理1 3 ) 。 若令口4 = 口口，b 4 = 6 ”b ，由盯2 = 1 知口= 口，= ( 口b ) 。= ( 口。) ( 6 4 ) = 口，”b ( ) ，得j 2 + t u - - - l ( m o d p ) ，f o + v ) - - - 0 ( r o o d p ) ； 2 基本知识 同理6 ：6 4 2 ：( 口“b ”) 4 = ( 口。) ”( 6 。) = a u ( 5 + ”6 ”2 + “，故v 2 + t ul ( m o d p ) u ( s + 们i 0 ( m o d p ) ； 若s + v o ( m o d p ) ，由于s 2 + t u w - l ( m o d p ) ，v 2 + ml ( m o d p ) ，两式相减 得，o + d o v ) s o ( m o d 力，此时有s - - = v ( m o d 力，且由，0 + v ) ；o ( m o d p ) ， d + v ) ；o ( m o d p ) ，可得“= f = 0 ，因此s 2 = v 2 - = l ( m o d p ) ，则s = v i l ( m o d p ) 或 引，随而有雠徘荨， 当 篆：；时，盯为恒等映射，此时c _ 口c 2 口，c - b c = b , g 为交换群， 是( i i ) 型群； 当 ，篆：时，矿= 扩= c 2 = ，幻= q c c = 口，c 啪c = 6 - t ，g 为 ( i v ) 型群； 若s + v o ( m o d p ) ，特取s = 1 ，v = - 1 ，甜= f = 0 ，可得一群 g 2 = ( 口，b , c i a p = 6 9 = c 2 = 1 ，b - l a 6 = a , c - l a c = a , c - l b f = 6 一) ，下面证明按前面定 义的群g = ( 口，b , c i 口9 = 6 9 = c 2 = 1 ，b 。a b = a , c - 1 a c = a 5 b , c - l b c = 口“b ) 与g 2 同构即可。 由于盯a u t a ，且a = ，只需证明在g 中可在它的子群 a = 内能取二元索q = d b 。与岛= a x b 使a = ， 砰= c a l e = a i ，玎= c 。1 6 l c = 岛就行了。 假设已找得a l = a 与乜= 矿b ，使a = ，茚= j - i q c = c l i ， 茚= c 。1 岛c = 6 l ，于是 d b = q = c 一1 a l c = c “ab c = ( 矿b ) ( b ) - - a “埘b “+ 口2 6 = b l = ( c 一1 岛c ) = ( c 一1 a 5 b c ) 一= ( 口5 b ) 1 ( 口。b ) 】= 口一“一“一” 某些特殊有限群的自同构 得 ( s 一1 ) “巧；0 ( m o d p ) t i + ( v 一1 ) j5 0 ( m o d p ) ，( 1 3 ) ( s + 1 ) x + u y z o ( m o d p ) t x + ( v + 1 ) y 2 0 ( m o d p ) 由行列式f j l ，u 一。l _ 删一。+ 一甜+ t 及s + v = - o d p ，+ m z d p ，可得 上述行列式为1 5 7 1 。：。l = - s v - u t + 1 = - - s 2 - u t + 1 - - - 0 ( m o d 力，则满足上式的工墨y 存在，且x 与y 中至少有一个0 ( m o d p ) ，i 与了中也至少有一个0 ( m o d p ) ；、因此 对这样的一组值i ，x ，j ，而言有a l 1 ，b 1 ，于是d ( 口i ) = d ( 6 1 ) = p 。 另外 n = 1 ，事实上，若q 1 = 岛7 ，则a ；j b 村= a r x b ”，2 i = y x ( m o d p ) 与五，；y y ( m o d p ) ，故7 x ，7 y 应为( 1 3 ) 之一、三两式的解，即有 ( s 一1 ) y x + u y y ；0 ( r o o d p ) 与0 + 1 ) y x + z y y z 0 ( m o d p ) ，两者相减得 2 y x ；0 ( m o d p ) ，故7 x = 0 ( m o d p ) ；同理，肛，7 y 又应为( 1 3 ) 之第二、四两式的解， 由此可得7 y ；0 ( r o o d p ) 。于是由x 与y 中至少有一个0 ( m o d 力，则必须有 ，；0 ( m o d q ) ，这样就证明了 n _ 1 ，因此有a = = n ，故g = 。而具定义关系f = 吖= c 2 = 1 ，q6 l = 6 1 q ， c 1 嘎c = a i ，c - 1 6 l c = b i l ，恰好与上述之g 2 有同样的定义关系，即g = q 。这也就是 说在5 + y - - - 0 ( m o d p ) 时，可选取口，b 使g = ，b ，c 而具定义关系矿= 矿= c 2 = 1 ， a b = b a ，c - l a c = a ，c - 1 b c = 6 ，即g 为上述的g 2 ；也就是说在j + y i 0 ( r n o d p ) 时， 群为g 2 ，是第( v ) 类群。 最后再解决当s + g ；0 ( m o d p ) 时的群g 2 与s + p 0 ( m o d p ) 时的群 g = ，a p = 扩= c 2 = l ，a b = b a ，c - l a c = a ，c - i b c = 6 1 是互不同构的； 事实上，不论m ，玎取何值，在群g 中恒有( 口”b “c ) 2 = a m b “c a ”b “c = 口m b “a “b 1 = 1 ， 4 基本知识 即g 中阶为2 的元素共有p 2 个；但对g 2 而言，有0 ”b ”c ) 2 = n “矿c o l b ”c = 口”矿a ”b ”m 0 2 m ，其为单位元之充要条件是珊= 0 ( m o d p ) ，故g 2 中阶为2 的元素 只有p 个；故g 与g 2 不同构。综上，2 p 2 阶群有五个类型。 证毕 定义1 6 设、h 是群g 的两个子群，满足n 司g ，g = 剧且n h = 1 ， 则称g 是与h 的半直积( s e m i d i r e c tp r o d u c t ) ，记作g = h 。cn 。此时g 中的 每一个元素都可以唯一表示成h 的元素与n 的元素之积，g 中的元素_ 与 2 疗2 ( 曩h ，胛n i = l ，2 ) 的运算( 岛刀i ) ( h 2 n 2 ) = 啊自2 办i 玎i h 2 门2 = 鱼也n ? ：厅2 。 定义1 7 在集厶a u t g g 上，定义乘法为( 盯，口xr , b ) = ( c r f ，f ( 。) b ) ，这里 盯，f a u t g ，a ，b g ，则得到一群称为g 的全形群，记作h o l g 。 引理1 8 设半直积a = 日o f f n 中，圩对的作用为共轭作用，若有群同构 ，：h _ 和g ：n 呻y ，满足g ( n h ) = g ( n ) ，h 日，”n ，则有 g = h n 兰x0 2 y 。 证明h o c n 中的元素可唯一地表示为h n ，由 一与吃他的运算结果为 ( 魄玛) ( 吃也) = 啊吃碎 ：，令妒：h * n 斗x y ，h n 卜f ( h ) g ( n ) ，则妒为双射，只需 证明妒为同态即可。f l ：a l = 啊伪a ，a 2 = h ：2 爿，则妒( q a 2 ) = p ( 囊啊也n 2 ) = 妒( 囊如啊n 2 ) = f ( t 】l l h ) g ( t h - 1 ”缟h ：) = ，( 啊) 厂( 鸩) g ( 蛭1 啊吃) g ( ) ，又 妒h 吒) = 矿他n o c ：( h ：0 = 厂( 啊) g ( 啊) 厂( ) g ( 也) = 厂( ) 厂( 如) g ( 啊) 7 ”g ( n o ，于是若 g ( 巧1 啊 2 ) = g ( 啊) 7 ，则妒( 口l 口2 ) = 妒( q ) 妒( 口2 ) ，p , 雁j h n 兰x y 。 证毕 引理1 9 “1 阶为2 p q ( p , q 为互异奇素数，且g = x 兰m c ( p q ) x c ： ( 6 ) g = 。 证明由j g i = 2 p q ，说明g 有一f f 糊p q 的正规子群4 ，即a q g 且 a i = p q ， 于是当( i ) q 不能整除p 一1 时，a 只能是循环群a = ，d ”= 1 ；当( i i ) q i ( p - 1 ) 时，还有可能a = ，a 9 = b 9 = 1 ，及b a b = a 7 ，但，l ( m o d p ) j l r l ( m o d p ) 。 ( i ) a = ，n 月= l 此时，g 为循环群a = 被2 阶循环群的扩张。取g 中阶为2 的一元素y ， 于是g = 爿+ 4 y = ，其中a ”= 1 ，y 2 = 1 ，y - 1 缈= a 7 ，且r 2 - = l ( m o d p q ) ( 霍 尔特定理) ，2 = l ( m o d p q ) 共有4 个解：1 ，一l ，( 刀- q q ) ( m o d p q ) ，但p 与g ，分 别满足p p ，- l ( m o d q ) 与g g - = 1 ( m o d p ) 。显然当，- - - l ( m o d p q ) ，a t = y a ，o ( a y ) = 2 p q ， g 为循环群。当r s l ，( 刀一钾) ( m o d p q ) 时，得到了三个非交换群： g l = 显然( i ) 与( i i ) 不同构。证毕 7 某些特殊有限群的自同构 说明：引理中的d 2 。：是2 p q 阶二面体群，m c ( p q ) 是p q 阶亚循环群。从证明过 程可见，g 4 ，g 两种类型只有当g l p 一1 ) 时才存在，否则只有前四种。在g j ( f = l ，2 ，3 ) 中，元素矿的阶为p ，且0 ，p q ) = l ，元素a b 的阶为2 ，共朋个( o t d , b + 0 p - 1 ，( g ) = 1 c i 寸矿co 之s p - 1 而且由( 仃( 6 ”一1 c r ( 口) c r ( 6 ) = ( 口b ) 一d ( d l b ) = 6 一。口b = 口一= ( a 。( 口) ) 7 = a t 得 ，7 三r ( m o d p ) 。即，= 1 ，再由( 盯( c ) ) - 1 仃( 6 ) 盯( c ) = ( n c ) - 1 c f l l b d 2 c = c - l a 一口1 b a c = a i 2 a 一1 b a 一4 = o c t - i l b a 一乜= b a 一“一i 2 = i 丁( 6 ) = d 1 6 = b a i 7 ，得 i a r - i ) = 2 l r ( m o d p ) ，又( 盯( c ) ) 。1 盯( 仃( c ) = c 。1 a c = a = p ( d ) ) 一，因此有 盯：口l 呻a 。 ( f ，p ) = 1 6 i + 口1 b 0 兰i l , i 2 p - 1 c 卜矿c r i 2 ( r - 1 ) - = 2 i j r ( m o d p ) 证毕 二、2 p z 阶群的自同构群 引理2 1 m 对于引理1 1 中的g 2 ，若仃e a u t g 2 ，则有口：口卜口，6 卜6 ， c 卜6 c ，其中1 - i , j b , c 卜d b j c , o i ，p 一1 ，易知也是a u tg 1 的子群，1 i = p 2 ， 且除f = ，= o 对应的口为恒等自同构外，其余口n 的阶均为p ，因此兰q c p ， 同构映射为g ：口寸( 乩u 】) ，由于仃- 1 鼢n ，即n 日a u t g l ，且h f q n = 1 ，于是 a u t g l = ho c n 。再通过计算得r 。o r ( a 1 = 口，t - 1 0 v ( b 1 ：b ， r - 1 0 r ( c ) = t - i ( 口。b ) c = a s b 。c ， 脯 ! 批， 而g ( o ) = ( f 】， 皿， 厂( ，) ：f jj ，则g r - i 阶) ：( f 】，【邶，只需定义，( f ) 对g ( 目) 的作用为 l 1 2j 2 ( ( ：羔 7 ( ； = ( ； ，即有g c r 一1 御，= g c 目，“叶，故由s i 理- s 知 a u t g , 兰ho c n 兰g l ( 2 ，0 ) ( q q ) 兰a u t ( c ，x q ) ( c p q ) 兰h o l ( e p x c e ) a ( 5 ) 下面证l a mg 2 l = p ( p 1 ) 2 ，j ； a u t g z 兰h o l q a u t q 兰h o l c p x c p - 1 。 由引理2 1 知，若盯e a mg 2 ，则盯：口卜口。，b l a b , c l - , b c ，且 1 - ，p i ，0 b j , c i - - c ，( p ) = 1 ) ，显然也是a u tg 2 的子群，且 n = - a u t q 兰c 0 ，由于日n = 1 且计算可知中的每个元素口与日中的每个元素 f 均可交换，故有a u tg 2 兰h x n ，再看日，若令 x = l a 卜a ，b l - b , c i - - c ，( f ，p ) = 1 ) y = o l 口i - 以b l - b ，cj 斗c l k c ，o s k s p - 1 则x ，j ，又构成h 的两个子群，nx n y = 1 ，x 兰a u t 巴，此同构由，：t o 卜【f 】给出， 而y 司日，且g ：f l 卜【蜘给出y 到c p 的同构，于是h = x0 c y ，只要定义j r ( o ) 对 g ( r o 作用即i 对k 的作用为同构式s ；k ( m o d p ) 在c 中的唯一解j ，就有 g ( r g t ：- o ) = 占( 1 ) 7 “，因此日= jo c 】，兰a u t c p c p = h o l c p ，故 a u t g 2 = h x n 兰h o l cp x a u t cp 兰h o l c 。x cp e 综上，定理2 2 证毕。 三、2 p q 阶群的自同构群 定理3 1 设p ，q 为互异奇素数，则有 ( 1 ) a u t c 2 月兰q lx q “ ( 2 ) a u t g j 兰h 0 1 ( f = 1 ，2 ，3 ) ： ( 3 ) a u t g i 兰h o l c 。( i = 4 ，5 ) 。 证明 ( 1 ) a u t c 2 月a u t ( g x q x c g ) - = a u t g x a u t qx a u t q 兰q l q _ 1 ( 2 ) a u t g t = - a u t d 2 w 兰h o l c 二是已知的结果，对g 2 = 此 处r 。p p - q q ( m o d p q ) ，但p ，g 分别满足p p ；l ( m o d q ) 与q q l ( m o d p ) ，由于g 2 中 p q 阶元为口。，o ，p q ) = 1 ，而g 2 中2 阶元是口7 b ( o _ ， p q - 1 ) ，因此若e r a u t g 2 ， 2 p q 阶群的自同构群 则应有 盯：盯卜以( f ，p q ) = 1 b i 斗a j b ，0 j p q 一1 由p ( 6 ) ) 。c r ( a ) c r ( b ) = b - l a b = a ”= ( 口0 ) ) 7 知盯保持了生成元口与b 之间的关系。反 之，上述定义的盯确实构成了a u t g 2 的全部元素，从而 f a u t g 2 = p q l f o ( p q ) = p q ( p 一1 ) ( g 1 ) 。 在上述定义的盯中取定r 形成集合 日= 十i 斗a , b l - - + b ，( f ，p q ) = 1 易得日为a u tg 2 的子群，殿l h - - _ a u t c _ ，此同构由厂：fj 斗 f 给出，再取定满足 下在面条件的0 形成集合 = 俐d l 哼咖卜a j b ，o j p q 一1 ) 则容易验证n 为a u t g z 的子群且为交换群，由于l | v i = p g 且其中恰有( p 1 ) 个p 阶 元又恰有g 1 个g 阶元，因此兰= c p c q ，此同构由g ：引斗 _ ，】给出，还可验 i e n 司a u t g 2 ，w i h n n = 1 ，于是有a u tg 2 = h n ，如果我们定义，( f ) 对g ( p ) 的 作用即f 对- ，的作用为由i t - = j ( m o d p q ) 的解f ，则有g ( f 1 口r ) = g p ) m 成立，由引理 1 1 1 知a u tg 2 = h n = - a u t = h 0 1 。 对q = 此处r 与g 2 中一致，则与上述证明过程完 全一样。可知盯：口卜，b 卜a j b ，( f ，p q ) = 1 ，0 ， p q 一1 是g 3 的全部自同构，且仍有 a u t g 3 = h 0 1 。 ( 3 ) g 4 _ 兰m c ( p q ) xc 2 ，a u t g 4 _ = a u t m c ( p q ) x a u tc 2 兰- a u t m c ( p q ) ，由引理 1 1 2 知a u tg 4 _ = h o l 巴。 ( 4 ) 对g 5 ，由引理1 1 1 ，若盯a u t g ，则盯：口卜，6 卜a j b ，c 卜a t c ，此 处( f ，p ) = 1 ，0 - p - 1 ，0 r - p - 1 且t ( r - 1 ) 2 j r ( m o d p ) ，由于，及，一l 均与p 互素，困此当，取遍p 元域，r 由，唯一决定也取遍巴。反过来给定上述的映射盯， e h g c r ( a ) ，盯( 6 ) ，盯( c ) 是g 5 的生成元且满足g 中各生成元的关系并生成g ，因此盯 是g 5 的自同构，从而a u t g 的元素全部由上述盯给出，即有i a u t g i - p ( p 1 ) ，即 定集合 = 口i 口i - + 见6 卜a j 6 ，讣g o ，, t - p - l ，r ( r 1 ) ；2 j r ( m 。d 力l ， h = f i 口卜口，b l - b ，c 卜c ，( f ，p ) = l 则可验证日和均为a u t g 的子群且n 】a u t g 5 ，而h f ) n ：1 ，于是 a m g = 日2 n ，容易看出h 兰a u t c p ，此同构由厂：r 卜嘲给出，n 兰c 同构由 g ：o l 哼【力给出，若定义，( f ) 对g ( 口) 的作用也即f 对，的作用为同构式括；_ ，( m o d p ) 在c 中的唯一解s ，则有g ( r 一1 曲) = g ( o y ”，从而a u t g ：日。c n 2 a u t c p a u t g = h o l g 。证毕 致谢 本文在写作过程中得到了导师靳平的耐心指导和帮助，在此表示衷心的感谢。 另外山西大学的郝成功老师、雁北师专的乔世东老师和中北大学的赵修坤老师都给 予了我很大的帮助，在此一并表示感谢。 1 4 参考文献 参考文献： 1 】张远达有限群构造 m 科学出版社，1 9 8 4 ：2 8 4 2 9 4 【2 】2黄平安朋阶群的自同构群数学理论与应用，1 9 9 9 ，1 9 ( 1 ) ：1 3 1 4 3 】w a l l s ，g l a u t o m o r p h i s mg r o u p s 【j 】a m m 1 9 8 6 ，9 3 ( 6 ) ：4 5 6 - 4 6 1 【4 】黄平安关于自同构群的结构【j 】湖南大学学报，1 9 8 9 ，1 6 ( 4 ) ：1 3 5 1 3 7 ，4 9 【5 】杨子胥近世代数( 第二版) 高等教育出版社，2 0 0 3 6 】6 杨子胥等近世代数习题解山东科学技术出版社，2 0 0 3 7 】徐明曜等有限群导引( 上、下册) 科学出版社，2 0 0 1 【8 】韩士安等近世代数科学出版社，2 0 0 4 【9 】b a ng u i - n i n g ，p a n gs u - l i na n o t e o nt h eg r o u p st h a t a r ea u t o m o r p h i s mg r o u p s c h i n e s eq u a r t e r l yj o u r n a l o fm a t h e m a t i c sd e c 1 9 9 9 1 0 】班桂宁不充当自同构群的有限群数