数学奥林匹克初中训练题（93）含答案.doc

数学奥林匹克初中训练题（93）第一试一、选择题（每小题7分，共42分）1已知m、n为常数，三个单项式4x2y、mxy和8x3y的和仍是单项式，则m+n的值有（ ）个 （A）1 （B）2 （C）3 （D）42已知在凸四边形ABCD中，AB=5，BC=，CD=3，AD=7，BCD=120，则BAD的度数是（ ） （A）120 （B）105 （C）135 （D）1503已知实数a、b为常数，关于x的不等式组的整数解只有8个，则a+b的值为（ ） （A）1 （B）0 （C）-1 （D）24如图，已知在直角梯形ABCD中，ADBC，CDAD，E是CD上一点，ABE=45，BC=CD=6，AE=5，则tanAEB的值是（ ）（A）1.5 （B）2 （C）3 （D）以上都不对5已知a、b为实数，且满足+6-2b=2 则符合条件的实数对（a，b）有（ ）个 （A）4 （B）3 （C）2 （D）16设三角形三边长a、b、c满足方程组 则a+b-c的值是（ ） （A）-2或4 （B）3 （C）-2或3 （D）4二、填空题（每小题7分，共28分）1已知在平面直角坐标系中，O（0，0），A（6，0），OBA=60，当OAB的面积取最大值时，点B的坐标是_2已知在ABC中，A：B：C=1：2：5，则=_3已知满足关于x的方程1-x=m-2 008的实数x恰有两个，则实数m的取值范围是_4如图，已知射线OM与射线ON互相垂直，A是直径PQ为6cm的半圆形铁片上一点，且AQ的度数为60，动点P从点O沿射线OM开始滑动，同时动点Q在ON上滑动当点Q滑至点O停止时，点A所经过的路程是_第二试一、（20分）将一块acmbcmccm（ab0 由题意知a2b-4a20， 解得b4 由原不等式知6-2b2 解得b=4 将b=4代入原等式，得a=-1 此时，（a，b）为（-1，4） 故符合条件的实数对（a，b）有3个 6B 由-，得 a2+b2+c2+2ab-2bc-2ac-a-b+c=6，即（a+b-c）-（a+b-c）-6=0 解得a+b-c=3或-2 又a、b、c为三角形的三边长，则 a+b-c0 故a+b-c=3二、1（3，3）或（3，-3）因O、A为两定点，OBA=60，所以，点B在以OA为弦的两条优弧上，弦OA所对的圆心角为120（如图） 过一优弧所在圆的圆心O1作O1COA于点C，交优弧于点B此时，OAB的面积取最大值 易知OAB为正三角形，则BC=OCtan60=3 故点B的坐标为（3，3）或（3，-3）21+ 因为A：B：C=1：2：5，且 A+B+C=180 所以，A=225，B=45如图，过点C作CDAB于点D，在AD上截取DE=BD，联结CE 有BD=CD，则BC=BD 由等腰三角形三线合一定理，知 CED=B=45，CE=BC=BD， ACE=A，AE=CE=BD 则AB=AE+DE+BD=（+2）BD 故=1+3m=2 008或m2 009 令y=1-x=m-2 008作函数y=1-x的草图（如图） 当y=0或y1时，直线y=m-2 008与折线y=1-x恰有两个交点，即满足条件的实数x恰有两个 故m-2 008=0或m-2 00814（9-3）cm 在MON内，过点O作射线OB，使得BON=30，联结AP、AQ 因为PQ为半圆直径，且=60，所以， PAQ=90，AQP=30 故AP=PQcosAPQ=6cos30=3（cm）， AQ=PQcosAPQ=6sin30=3（cm） （1）当点P在点O处时，点A在射线OB上，且点A到点O的距离为3cm（2）当点P在OM上，且0cmOP6cm时，联结OA（如图） 因为POQ+PAQ=180 故O、P、A、Q四点共圆 所以，AOQ=APQ=30，即点A在射线OB上 当APOM时，点A与点O的距离最远此时，OA=6cm （3）当点P在OM上，且OP=6cm时，点A还是在射线OB上，此时，AO=AQ=3cm 综上所述，在射线上有三个点A0、A1、A2，且OA0=3cm，OA1=6cm，OA2=3cm，点A始终在射线OB上运动点A从点A0出发向点A1运动，到A1后又向点A2运动，并运动至A2后停止所以，点A所经过的路程是 （OA1-OA0）+（OA1-OA2）=（9-3）（cm）第二试一、（1）（i）从三个图像上看，h的最大值为10，所以，水槽的深度为10cm 从图3（c）看，当注水21s后，水深6cm，此时，水面与铁块的上表面在同一平面内或水面刚好淹至铁块的上表面，所以，a、b、c中有一个为6 从图3（d）看，当注水45s后，水深9cm，此时，水面与铁块的上表面在同一平面内或水面刚好淹至铁块的上表面，所以，a、b、c中有一个为9 从图3（e）看，当注水62s（注满了水槽）后，水深10cm，此时，水面未淹没铁块，所以，a、b、c中有一个不小于10 又abc，所以，a=6，b=9，c10 （ii）从图3（c）、（d）看，水面淹没铁块后才注满水池，所以，这两次注入的水量相等，水量均为水槽的容积与铁块的体积之差；又注水的速度相同，所以，两次注水时间相等 （2）设水槽内底面积为Scm2，注水的速度为Vcm3/s 在图3（c）中，当t=21s时，有 6S-69c=21V， 即6S-54c=21V 在图3（d）中，当t=45s时，有 9S-69c=45V， 即9S-54c=45V 在图3（e）中，当t=62时，有 10S-6910=62V， 即10S-540=62V 联立，解方程组得 V=30，S=240，c=15 在图3（c）中，当t=t1时，有 10S-69c=t1V， 解得t1=53s因为t1=t2，所以，t2=53s 因此，水槽内底面积为240cm2，注水的速度是30cm3/s，c为15，t1为53s，t2为53s二、如图，过点E作EFBC于点F，过点A作AGBC于点G，设BC=CD=CE=2m 因为AGBC，EFBC， 所以，AGEF，AGB=90 又E是AB的中点，知F是BG的中点，则 AB=2BE，AE=BE， BG=2BF，AG=2EF， 因为BC=CE，所以， BEC=B=75 从而，BCE=180-B-BEC=30 在RtCEF中，因为 EF=CEsinBCE=2msin30=m， AG=2EF=2m， 所以，AG=CD 在RtAGC与RtADC中，由勾股定理得 AG2+CG2 =AC2=AD2+CD2 则AD=GC，即四边形AGCD为平行四边形 故DAB=180-ABC=105三、令m=x-y，n=xy代入已知等式得 m（m2+3n）-nm=4m2+4n+47， 即2（m-2）n=-m3+4m2+47 当m=2时，式不成立 故m2时，即m-20 式两边同除以m-2得 2n=-m2+2m+4+ 因为x、y均为整数，所以，m、n亦为整数 由式中为整数，知m-2=1，5，11，55 故m=3，1，7，-3，13，-9，57，-53 （1）当m=3时，由式得n=28 联立解得（x，y）=（7