（基础数学专业论文）交换环上典型群和典型李代数结构的若干研究.pdf

中文内容摘要 本文主要研究了交换环上典型群和典型李代数的结构问题。 在第一章中，得到了局部环上酉群的一类极大子群：设r 是一个特征不为2 的局部环，：a 卜a 是r 的一个二阶白同构，m 是个正整数，s 是r 的唯一极大理 想，令g c 垆舱咎啤咄帅，c ，。甜，蹦” ，则g 是叩咄，的 一个极大子群 在第二章中，得到了多项式环上酉群的一类极大子群：设f 是一个 域，r = f 是域f 上关于五的一元多项式环。设：口h 云是f 的一个二阶自同构， 它诱导出f 的一个二阶自同构：刀+ + 函五十矾h 乙刀+ + 石五+ 一c l o 。设m 是一个正 整数，= 7 f ，s 是 r 的由2 - f 生成的理想， 则 g c = ( 罢言 u c z m ，刮a , c , d e r , b e s 是u c z m ，r ，的一个极大子群 在第三章中，对r 是交换环的情形，讨论了典型李代数的导子代数的结构 问题：设r 是一个含幺交换环，g l ( n ，r ) 是r 上一般线性李代数。t ( 相应地u ) 是g t ( n , r ) 的所有肝阶上三角矩阵( 相应地，严格上三角矩阵) 构成的子代数，d 是g l ( n ，r ) 的所有n 阶对角阵构成的李代数。本章将描述交换环上介于d 和t 的中 间李代数，并给出交换环上介于d 和t 的中间李代数的导子代数的一个显式表示。 关键词：酉群；局部环；多项式环；交换环；中间李代数：李代数的导子 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w eh a v es t u d i e dc o n s t r u c t i o no fc l a s s i c a lg r o u p sa n dt h a to ft h e d e r i v a t i o na l g e b r a so f c l a s s i c a ll i ea l g e b r a so v e rr i n g s i nc h a p t e r1 ，o n et y p eo fm a x i m a ls u b g r o u p si nu n i t a r yg r o u p so v e rl o c a lr i n g s i so b t a i n e d l e trb eal o c a lr i n gw i t haa u t o m o r p h i s m 庐o fo r d e r2 ：ah oa n dc h a r r 2 ，mb eap o s i t i v ei n t e g e r , sb et h eu n i q u em a x i m a li d e a lo fr ，w ed e f i n e ： g c s ，= ( 詈三 u c ：m ，r ，i 爿，c ，。r “，b e s “) ， t h e ng i sam a x i m a ls u b g r o u p so f 职2 m ，r ) i nc h a p t e r2 ，o n et y p eo fm a x i m a ls u b g r o u p si nu n i t a r yg r o u p so v e rp o l y n o m i a l t i n g si so b t a i n e d l e tfb eaf i e l dw i t h aa u t o m o r p h i s m 痧o fo r d e r2 ：口卜口， r = f 口】i s a r i n g o f p o l y n o m i a l s i n o n ev a r i a b l eo v e rf ，t h e n d ，刀+ + a 。兄+ 瓯卜云。刀+ + 石五+ 石。b e a na u t o m o r p h i s mo f o r d e r2 i n d u c e d b y 妒 l e t m b ea p o s i t i v e i n t e g e r , 7 = f f a n d s b e t h e i d e a lo f rg e n e r a t e d b y 2 一f w e d e f i n e g c s ，= ( 三三) u c 2 ，绣五，i 爿，c ，。r “，b s ” t h e ng q i sas u b g r o u po f 叭2 m ，r ) i nc h a p t e r3 w eh a v es t u d i e dc o n s t r u c t i o no ft h ed e r i v a t i o na l g e b r a so f c l a s s i c a l l i ea l g e b r a so v e rac o m m u t a t i v er i n g l e trb ea na r b i t r a r yc o m m u t a t i v er i n gw i t h i d e n t i t y , g l ( n ，r ) t h eg e n e r a ll i n e a rl i ea l g e b r ao v e rrc o n s i s t i n go f a l l ”m a t r i c e s o v e rra n dw i t ht h eb r a c k e to p e r a t i o ni x ，y = x y y x ，t ( r e s p ，u ) t h el i es u b a l g e b r a o fg l ( n ，月) c o n s i s t i n go fa l l ，z ，? u p p e rt r i a n g u l a r ( r e s p ，s t r i c t l yu p p e rt r i a n g u l a r ) m a t r i c e so v e rra n ddt h el i es u b a l g e b r ao fg l ( n ，彤c o n s i s t i n go fa l l nx 1 d i a g o n a l m a t r i c e so v e rr w ew i l ld e s c r i b et h ei n t e r m e d i a t el i ea l g e b r a sb e t w e e nda n dt ， t h e ng i v ea ne x p l i c i td e s c r i p t i o no nt h ed e r i v a t i o n so ft h ei n t e r m e d i a t el i ea l g e b r a s b e t w e e n da n d t k e yw o r d s ：u n i t a r yg r o u p s ，m a x i m a lg r o u p s ，p o l y n o m i a lr i n g s ，c o m m u t a t i v er i n g s l o c a lr i n g s ，i n t e r m e d i a t el i ea l g e b r a s ，d e r i v a t i o n so f l i ea l g e b r a s 独创性声明 y9 7 9 0 1 9 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知 他人已经发表或撰写 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者始方坤 签字魄炒多年p 月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了艉婆秸式孪有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授戡i 歉和l ；( 将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：方窍串导师签名：方亡易孑孳 签字日期：伊易年9 月1 日 签字日期：一厶年，月泸日 学位论文作者毕业去向：李殛啼毛童民号岛 篡耋甜和拣锄“篆臻p 一 堑二兰曼苎堑主堕壁竺二耋堡盔至登 第一章局部环上酉群的一类极大子群 一、引言 一般地设r 是一个含么交换环且有一个二阶自同构：口a 对于任意正整 数m ，n ，我们用r 表示r 上所有m n 矩阵全体并以r “代替r ，爿( n 表示 a r ”一表示4 的转置l o 分别表示单位阵和零矩阵e 。r ”表示只有( f ，) 分 量为1 其余分量全为零的方阵，当i ，时，我们用p ，r 一表示 只，2 i - e 。一目。+ e 。+ 易并令只，= ，对于f ，口r ，z ，( 口) r ”表示矩阵 z ，( 口) ：i + a e , 对于r 的一个理想s ，我们用五，( s ) 表示所有z ，( 口) 构成的集合， 其中口墨特别地，我们用王，代替z ，( 月) d i a g ( a 一，4 ) 表示以4 ，4 为对角 块的准对角矩阵g l ( n ，月) 表示r “中所有可逆方阵的乘法群，称为r 上胛级一般 线性群s l ( n ，r ) 表示r “中行列式为1 的方阵全体，它是g 三( 心，r ) 的正规子群，叫 做r 上t t 级特殊线性群 设m 是一个正整数，r 是一个局部环， 日= 0 川7 ： s g l ( 2 小，r ) ， 我们定义u ( 2 肼，月) = x g l ( 2 m ，月) j 艚了= h 显然，u ( 2 m ，月) 是g l ( 2 m ，r ) 的一 个子群，我们称之为r 上的酉群， 而u ( 2 m ，r ) 中的每个矩阵称为个酉矩阵 设s 是r 的唯一极大理想，定义g c s ，= ( 尝丢 u c z 聊，励阻c ，。r ”，b 则g 是u ( 2 m ，脚的一个子群。 方炜：交换环上典型群和典型李代数的结构的若干研究 在这篇文章中，我们得到了局部环上的酉群的类极大子群 定理设r 是一个特征不为2 的局部环，s 是r 的唯一极大理想，则m 为 正整数时，g ( d 是氓2 州，r ) 的一个极大子群。 证明主要建立在矩阵技巧上，我们需要p 夕u 有关局邵外上的酋矩阵的事买 ( 1 ) 对x = ( 詈三 e 龇( z m ，励，x 为一个酉矩阵当且仅当 a b ：b a ，c 可：d c ，爿万一b 孑= ， c z ，若x = ( 三言 吼c z 研，尺，是一个酉矩阵，由于x _ 1 也是，则z “h 一，= 日， 所以一a c c a ，_ d ：动，初一面= 7 c s ，( 。aj o ， e u c z 聊，月，若爿eg l ( m ，r ，( b i ； e u c z m ，r ， 且 舌； e u c z m ，月， 若b = 可e 尺“ ( 4 ) 对v 口，r2 “，我们定义内积仁，功= 孑印若如，) = 0 ， 我们称口正交于，0 ，) = 0 铮，口) = 0 ( 5 ) 对z u ( 2 m ，月) ，记x = ，岛，厦。) 这里所有尼r 2 ”1 ，则对 v i _ i ，j _ 2 m ，局) = o 营i f 一卅m 而( 孱，成+ 。) = 一丽厕= 1 对v l k m ( 6 ) 设口= ( 口，o ，o ；6 ，c u 0 一，o ) r 2 是酉矩阵的一列，则盈= b a 。 群论的概念和通常一样，例如( z ) 表示群的子集z 所生成的子群，对于群 元素z 1 ，z 2 ，用z l ，z 2 1 表示z l 和z 2 的换位子z ，z ，z i l z i l 。 第一章局部环上酉群的一类极人予群 二、引理和主要定理的证明 引理，设g = ( 罢分础圳u 存在y e g ( s ，使 = ( 乏茇 s u c ：埘，脚，这罩4 s 吼c 坍，脚。 证明：对任意的g = ( 詈言 u c z m ，r ，由l a p l a c e 定理，在行列式蚓中取 定前m 行，则由这前m 行元素所组成的c 易个m 级子式与它们的代数余子式的 和等于圳。由于r 是局部环，gg l ( m ，r ) ，所以这c 易个棚级子式中必有一个 子式对应的矩阵可逆，我们设为4 ，并且它的列取自g 的第i t , f ：，i m 列，这里 - t t ，1 砜= 防孙g ，令9 5 = x 5 一 ：予 则9 5 x ，b 5 的( f ，1 ) 元为包，g s ，化为已知情形 第二步，证明b = 五r ，l f 肌，l 卿( 6 ) x 。 2 。当聊2 时，对任意6 = i r ，令6 l = ( 2 a ) - 1 b 则岛= 百r 取葺= ( 搿6 1 五尹，；一岛， e g c s ， 令g = c 五，正，。+ c 口，贝u g = ( ：， ，尽= 毒口a ：b 1 2i 镰( 黜一尚书：办毗：弘t 2 ，2 m ) 凇啪t 2 ( 2 m ) 鲋， 取而= ( 日护只， g ( s ) ，则屯疋。+ ：( 。) 丐。= 巧，。( g ( s ) ，进而对所有 。= 石r ，t z 聊，一，c = ( 暑暑， 五，。+ ，c 。，( 鼻暑， z ，证毕 引理4 z 如引理3 定义，则对任意6 r ，1 i 埘，巧，( 石) 巧，( 6 ) x 证明：令x = 弓“引乙( 与) g c 回，取y = z ，巾) z 查堕：銮垫墅：! 壅型登塑苎型主垡墼塑笪塑塑董竺窒 蚍小别= ( ：n 且= 磁+ 蟛扣蜮。令嘲，扣) 乩 月j jx g , = l ，) 乃，( 6 ) x 弓l 理5 u ( 2 m ，r ) = 这里i = l ，m ，口= 五，b r ，1 k j 卅 证明：令右边的群为g ，显然g u ( 2 m ，月) t i l t _ u ( 2 m ，r ) g 现任 取g = 三三 e u c z m ，励，则由前面的引理可知，存在x , y e g c 印 使晶= 删= ( 训z 鹕 当m = l 时，g i = x g y c g ，g = x g l y 。g 当川2 时，设置= ( ) ，包，= 一h i , i r ， 取_ ：血，( - b l 、) 兀( z ，( _ b o ) l ，( 一b 力) g ，则墨g 、= ，( 2 州l i j m ， 可见g = x - i g ，y = x - 1 x i l y - 1 g ，证毕 主要定理的证明：设g ( s ) y u ( 2 m ，r ) ，下证y = u ( 2 m ，r ) 任取g y g ( 刚蛳胛叩飚= 删= 钞可却且脚“，令 x = ，则由引理可知，中己包含所有z ，( 口) ，i = 1 ，m ； z ，嘲。m = 瓦b r ，1 f ，珑，而它们与可共同生成取2 m ，r ) ，可见 u ( 2 m ，r ) y 兰u ( 2 m ，r ) ，x = u ( 2 m ，r ) 证毕 6 第三章交换环e 介于对角阵和上三角阵的李代数的中间李代数的导予 第二章多项式环上酉群的一类极大子群 一、引言 有关矩阵的说明同第一章 设肌是一个正整数，曰是含么交换环日= ( 一p 0 ，7 ： g l c z 脚，彤，我们定 义：u ( 2 m ，r ) = 缸g l ( 2 m ，尺l 坩了= 显然，它是g l ( 2 m ，r ) 的子群，叫做曰上 2 历级酉群，u ( 2 m ，r ) 中的方阵叫做酉方阵 设s 是r 的一个理想，我们定义： g = ( 矧删z 酬a , c , d e r , b e s 。 则g 是u ( 2 m ，r ) 的子群。众所周知， 引理1如果r 是一个域，s 是r 的零理想，则g ( s ) 是u ( 2 m ，r ) 的一个极大子 群。 本文得到了一元多项式环上酉群的一类极大子群。 定理设f 是一个域，且有一个二阶自同构：。h 石，r = ，阻】是域f 上 关于五的一元多项式环，则衍生出r 上的二阶自同构： 口。刀+ + 函五+ 函卜_ 卅刀+ + 夏五+ - 0 ，设m 是一个正整数，= 7 f ，s 是月的 由2 - f 生成的理想，则g 是u ( 2 m ，r ) 的一个极大子群 方炜：交换环上典型群和典型李代数的结构的若干研究 证明主要建立在矩阵技巧上，我们需要f 列有关多项式环上的曲矩| 5 军的事买 ( 1 ) 对z = 曙劫e g 三( 2 m ，固，z 为一个酉矩阵当且仅当 a b = b a ，c d = d c ，a d 一b c = j 若x = 偿簪唧咄，是一个酉矩阵，由3 j = x - 1 是硎x 慨巩 所以一a c c a ，而= 动，- d 一劭= 7 c s ，( 。a 孚，) e u c z m ，尺，若爿eg l ( 埘，r ，( b i ； e u c z m ，月， 且( 三； e u c z m ，r ， 若b = 可e r ” ( 4 ) 对v 口，r 2 “1 ，我们定义内积0 ，) = 石；印若如，) = 0 ， 我们称口正交于，0 ，) = 0 营，口) = 0 ( 5 ) 对x e u ( 2 m ，r ) ，记x = ( 屈，厦，屈。) 这旱所有屈r 2 “，则对 v i i ，j _ 2 m ，如，岛) = o 铮l j 一，i 脚而( 屏，成+ 。) = 一历厕= l 对v 1 k 脚 ( 6 ) 设口= ( d ，u ，0 一，o ；6 ，c ，u ，0 一，o ) r 2 “是酉矩阵的一列，则盈= 麝。 群论的概念和通常一样，例如( z ) 表示群的子集z 所生成的子群，对于群 元素z l ，z 2 ， l z l ，z 2 表示z l 和z 2 的换位子z ，z ，z i l z ；1 二、引理和主要定理的证明 在本章中，设f 是一个域，且有一个二阶自同构：a b a ，r = f ( 五) 是域f 上关于五的一元多项式环，它衍生出r 上的一个二阶自同构： 口。刀+ + 皿旯+ 矾卜磊。刀+ + 石五+ 赢若0 a r ，我们用8 ( a ) 表示a 的次数， 第三章交换环上介于对角阵和l - - 角阵的李代数的中间李代数的导予 对于7 = ，e f ，我们用s 表示由a - f 生成的理想设加是一个正整数，我们用 g 表示u ( e m ，r ) 的包含切形如曙匐e 叽2 m ，脚的矩阵，其中 a ，c ，d r “，b s ”则g ( $ 是u ( 2 m ，r ) 的一个极大子群 为了证明主要的定理，我们现在给出几个引理： 引理2 设口r 2 是一个酉矩阵的一列，则存在z g ( s ) ， 使得x o = ( 口v 0 一，0 ；b ，c ，u ，0 一，o ) r 2 “ 证明：设口= ( “确，a 。；h ，6 ：，乩) r “是酉矩阵的一列，则存在 _ y 。g l ( m ，r ) ，使得y 1 ( 口，a ，) k ( o ，o ，a ，o ，o ) ，这里a 在第i 个位置；而歹， 使舐。1 ( 6 ，加一川。钒= r 品) ，则腓哪) ，使。 2 ( ：o ，a , o , 0 ；b n b m l ) 7 ，这里口是x 。的第f 个分量。令* = f 繁 则勘茧口= ( 口，u 0 ，o ；b ，晚。) r 2 。相似地，我们可以找到y ：g l ( m 一1 ，j r ) ，使得 y i ( 6 ：v t ；瓦) = ( o ，o ，c ，o ，0 y r ”。设j 局惑柏口= b o d ；b 。，o ，一，d ，c ，o ，o ) r 2 “， 甄= ( 警喜，) e g c s ，则却而垃丑。= 。，o ， 1000 一一1 0 y ：0 0 0010 0 0 0 弛 则确g ( s ) 且 这里c 是为而蜀a 的第_ ，个分量。设 ，o ；h ，c 0 ，o y r ：一即所得。 引理3 设x = g 。0 。bc ，v ，0 一，0 ie 尺2 是一个酉矩阵的一列，则存在 x g ( s ) 使得x 口= ( 。，u ，0 0 ；b ，c ，0 ，o ) r 2 ”满足a b = o 、， o 秽 方炜：交换环上典型群和典型李代数的结构的若干研究 证明：我们记g 是u ( 2 m ，r ) 的由l 扎l 和t l ，m + l ( s ) cu ( 2 m ，r ) 张成的子群。令 u = k 以b ) l ( a ，o ，o ；b ，c ，o ，o ) g 口) 我们只要证明至少存在一个( 口，6 ) u 使得 a b = o 若不然，则存在u 中( p ，使得a ( p ) + a ( d ) 是最小的，相对( p ，印，设 = ( p ，u 0 一，o ；d ，c ，o ，o ) g 口。若a ( p ) a ( d ) ，则在r 中可找到q ，使得d = e q + r ， 其中r = o 或a ( r ) a ( p ) 。由e 万= 万可得e 面+ e ；= p 动十其中e f = 一e r = 0 或 o ( e r ) = o ( t r ) o ( e e ) 这意味着i = g ，e p = ，由于川( 一g ) 卢属于g e t ，故( p ，r ) 在u 中，其中r = o 或a ( r ) a ( d ) ，设e = e o a ”+ 8 l 五”1 + + e n ， d = d o j t , + 4 x “十+ 屯。由p d = 一e d 可得勘孑。= 矾；。且磊矛= 削明显地， 我们可以找到j s 使得j = j 满足r = e d s = o 或a ( ，) a ( p ) 由t 1 ，m l ( s ) 卢g a 可得( r ，d ) u 。这是另一个矛盾! 由上述证明，我们知道，在g 口中至少存在一 个元素满足要求。 引理4 设d = ( a w 0 一，o ；b ，c “0 一，0 ) r ”“是臼矩阵的一夕u 且a b 2 0 则仔仕 x g ( s ) ，使得工口= p ，u ，0 一，0 ；1 一占，0 ，o ) 这里占= 0 或1 证明：首先证明b = o 的情形。设f l = ( 日，v ，0 0 ；0 ，c ，u ，0 - o ) 。由于也是酉矩阵 的一列，a ，c 不会全为零。不失一般性，假设a o ，c = 0 ，则口在r 中可逆。令 * = ( ：； ，这里p = 魄1 ，- ，舯e 吼c 咄，则舴即，且 蜀卢= ( 1 o ，0 ；o o ，o ) ，即所得。假设n c 。设r 是由所有( ，：二) 民) p 0 ， ， ( 公“e ；( + ) e 。 张成的g 的子群，其中r = r e r , i = s e s - 又令 0 第三章交换环上介于对角阵和 ：三角阵的李代数的中间李代数的导子 u = ( c ，a ) t ( c ，0 ，o ，o ；o ，d v ，0 一，o ) 7 珊由上面的讨论，我们只要证在u 中至少有一 个( c ，力， 使得c d = o 否则，在u 中存在( c o ，巩) 使得a b ) + o ( d o ) 是最小的。 若a ( c 0 ) a 慨) ，则存在石= g ，p r 满足p = o 或a 0 ) a 协) ，则存在j = s e s 使得，= c 0 一s d 是0 或a p ) co ( c o ) ， 事实上， c r ，。，一，。；。，矾，。，一，。，= ( 公j e ；。：晟l 卢e z 声 意味着( ，矾) u ，这是另一个矛盾! 对a = b = o 或a = o 的情形，结论是显然的。 引理5 若g ； 占口b - - 矗 0a - 厦b i 1 一占yd 。口- o c l 口：d u ( 2 m ，r ) ，这旱占= 0 或1 ， 口，届，履，弘q ，盯：r “忡_ ) ，4 。，旦，c ，。r ，则( 蓦芸 e u c ：胁一z ，r ， 证明：不失一般性，我们只对艿= 1 的情形证明引理，对艿= 0 的情形类似可证 因为g 的第1 列与第m + l 列的内积是l ，而与其它各列的内积为0 ，因此 y = o 1 = o 且d1 l = 1 ，而 g 抒孑= 日意味着4 哥= b 万，c 西= d 】一c i ，a 百一b 一c i = p m 故 曙咎呻柚。 方炜：交换环上典型群和典型李代数的结构的若干研究 引理6 设g = 曙： e u ( 2 m ，励，则存在x l , x 2e g ( 回使得 曩：= ( 苫盖 ，这里4 = 西昭 ，如，氏) ，所有的4 = 或。，c l = i - 4 证明：对m 用归纳法证明这一引理 当m = 1 时，由引理4 已证 定义g 。一。( s ) 是u ( 2 m 一2 ，尺) 的一个子群： g “印= t f 篆h h i e u ( 2 m - 2 , r ) i h , ，且，凰e 尺”l ，凰e s ”1 ， 假设如果a = 耋耋 e u ( z m z ，励，则存在m ，y ：g 卅( s ) ，使得 y 缈= 暖玢慨趴 这罩形：d i a e 慨a 万1 ，占：1 或0 对于任意2 i m 阢：1 一形 对m 的情形，由引理4 ，存在z g ( s ) 使得x g = da + 0 q 】+ q 2 1 一d 护 d ，西 0 9+ q 4 u ( 2 m ，r ) 这里4 = 1 或0 ，不失一般性，我们只对4 = l 的情形加以证明假设点= 1 ，和引理 5 中一样，臼= q = 。且d - - = l ，由引理5 ，= ( 耋耋 e u ( 2 m - 2 , r ) , 由归纳假设 存在 = 哮纷啪帆z ，慨。一暖玢 这里= 硪昭慨，岛，氏) ，其中点= 1 或0 ，= i - 彬对，= l ，2 ，我们令 1 0 0h s l 00 0h n 00 0h n 10 0 i t , 。 g l = x l x g x 2 ，则x ，g ( s ) ，并且 第三章交换环上介于对角阵和上三角阵的李代数的中间李代数的导子 r 1 + 、 。：置珊：lo ：i 。u ( 2 m , r g1 = 置珊= j o + l “ ) 具口1 10 聪+ + j 正是我们所要的 则g ( s ) ，且g t x 3 - lo + o隔+ oo 4 + 0 职 + u ( 2 m ，r ) 弓i 理7 设g = 曙尝 e u ( 2 m ，r ) ， 这里4 = 威昭嘏，盈，瓦) ，所有正= l 或 。，c = i - a , n g - 在- x , y e g ( 啪得删= f ：b i e u ( 2 m , r ) 证明：假设a 的秩为我们可以选择一个置换矩阵p g l ( m ，r ) ，使得 p 爿p = ( 7 ： ，贝u p c p = p c ，一爿，p = c ：，。三。， 设x ，= d i a g ( p ，歹一) = d i a g ( p ，尸) g ( s ) ，贝0 r n ，0b ib ：、 哥= 肋= 心：芸外吼鼽哥2 肋2 io o凸d 2f 6 叭2 脚 1 0i “凸nj 这里b i ，d j r k ；b 4 ，d 4 r , , - k ；b 2 ，d 2 r k 。( m - k ) ；b 3 ，d 3 r ”嘶由昏i = 知 b 3 = d 2 = 0 ；d 1 = ，“，b 4 = 一，”“ 也就是说 0且 o0 0 ，( ，( “) 及 b 2 一，( “一。 0 见 1 3 o 0 0 肛 o o一幽 幽州 0 0 一r l o o o ，l i | 站殴 姑 o o o ，f ，。，。 | | r j j g 查堕! 銮塑堑：垦叁型登塑些型奎垡茎塑堕塑塑董婴窒 0 ( m - k ) 0 一，( m - k ) 贝4 x 2 g ( s ) ，且g ：= g l x ：= 00 0 0 ，( ) 0 0 ，( m - k ) 一b 2 0i ”一 00 01 ”“一n b & 01 “一 ， o 凸n u ( 2 m ，r ) b00 ，m 。- - ”二，。0l ，m l j x 3e g c s ，且g ，= 9 2 x 3 = ( 7 ： s u c z m ，t ， 0一岛i ”j 记g ，= 套星 ，贝u 百- = 9 设x 。= 一二：； ，贝u x 一g c s ，且 * 舒= 0 呈 e u ( z m ，尺) ，这是我们需要的 u ( 2 肌，f ) 是定义在数域f 上的酉群，它是u ( 2 m ，r ) 的子群我们用g f ( o ) f 琵 示g f ( 。) 的包含所有形如偿三 e u ( 2 m , f ) 的子群，这里4 ，c ，。f ”由引理1 g “0 ) 是u ( 2 ，) 的一个极大子群 引理8 设g = 习e u ( 2 m 固，这里b = 百e p 设x - ， 则u ( 2 m ，f ) x 证明：记b ：( 西，) 对于任意1 f ，j - m ，假设6 j ，= 以一，) g 。+ ，这里 吼，r ，f 占= t c s ”说明，不全为0 ，由占= 万可知，岛，= 万于是 4 似 o 0 0 ， ， = 2 x 设 r o o 0 ，。l = x 没 第三章交换环上介于对角阵和上三角阵的李代数的中间李代数的导子 ( 五一f ) q 。+ ，= 一厂) 瓦+ i ，从而，( 五一厂) ( g 。一瓦) = 万一l ，比较次数可 钆吼，= 石，i = 。，设x = 兀。z ，t ( y - ) q 。】，贝l j x e g ( s ) 设g 。= x g ， 则岛= 0 ， e x ，这里。马= g ，) m 。，f ”因g f ( 0 ) g c ，蜀x ，我们有 u ( 2 m ，f ) = x 。 引理9设g 是u ( 2 m ，r ) 的一个由g ( s ) 和u ( 2 m ，f ) 生成的子群，则 g = u ( 2 m ，r ) 证明：取任一个g = 偿三e u ( 2 m , r ) - g ( s ) ，由引理7 我们知道，存在 训g ( 滩得螂= ( ：， ，这里面= 蜀和引理s 一样，存舐g ( $ 使得g 。= x l x g y u ( 2 m ，) 这就使得g = xz - i g ；y “g = 所以 主要定理的证明 设g ( s ) ， 由引理8 ，我们知道x 包含u ( 2 m ，f ) ，而由引理9 ，u ( 2 m ，f ) 和g 生成u ( 2 m ，尺) 因此u ( 2 m ，r ) x y u ( 2 m ，r ) ，这说明y = u ( 2 m ，r ) 这等价地说，g 是u ( 2 m ，r ) 的一个极大子群 方炜：交换环l 典型群和典型李代数的结构的若干研究 第三章交换环上介于对角阵和上三角阵李 代数的中间李代数的导子 一、引言： 设r 是一个任意的含么交换环，r + 是r 的可逆元构成的乘法群，r 所有的 理想构成的集合记为托足) 。设g l ( n ，r ) 是r 上所有设r 是一个任意的含么交换环， r + 是r 的可逆元构成的乘法群，月所有的理想构成的集合记为) 。设g l ( n ，r ) 是r 上所有h n 阶矩阵构成的并带有括积 x ，y 】= x y y x 的一般线性李代数；又 设t ( 相应u ) 是由所有n 胛阶上三角阵( 相应地，严格上三角阵) 构成的g l ( n ， r ) 的李子代数。而d 是r 上的所有n 肝阶对角阵构成的g l ( n ，r ) 的李子代数，设 u z = u ，u ：= u ，u ， ，u f 【u ，u ： ， 是u 的降中心链。我们记e 是g l ( n ，r ) 的单位矩阵，最。是g l ( n ，r ) 中第( f ，) 个位 置是1 而其它位置是零的矩阵，设r e 是所有标量阵构成的集合 r e i r r 。 对r 一模m 和k ，我们记所有从m 至k 的r - 模同态构成的集合为h o m r ( m , i o 。 而把h o m r ( m , 哟简记为i t o m r ( m ) 。对任意的1 1 脚，则疋：d r ， d i a g ( d 1 ) 一，以) h d 。是一个从d 到r 的标准同态。显然， 石l i = 1 ，2 ，h ) ：是h o m r ( d ， r ) 的一组基，h o m r ( d , r ) 是秩为i l 的自由尺模。 1 6 第三章交换环卜介于对角阵和l 二三角阵的李代数的中间李代数的导子 二、介于d 和t 的中间李代数 定义2 1 设= 4 ，i ( r ) 1 1 _ _ i 疗 是斤n ( n 一1 ) 2 个理想构成的 ，( r ) 的子集，我们称是厅的一个理想标志，如果对任意的1 i ，n 和任意的 七( 如果存在) ，i k ， a i ，t a t ，a i ，都成立。 例2 2 当所有a 。，1 i ，聆，都取零理想( 或斤) ，则 a = 4 ，( r ) 1 1 i s 聆) 是斤的一个理想标志。 例2 3 设爿。，：4 ：，爿。，。是斤的任意的肝一1 个理想，令4 ，：行爿，+ 。 女= l 这里l f ，聆，则= 臼。1 1 f n 是斤的一个理想标志。 例2 4 设4 。：彳：，3 以叱。是斤任意的力一1 个理想，令爿。：i ：= 1 爿，+ 。 这里l f ，n ，则= 臼。 1 - i j n 是亓的一个理想标志。 定理2 5 p 是一个介d 和t 的中间李代数当且仅当存在一个r 的理想标 志= 臼。1 1 i j n 使得p = d + 4 ，巨， l s i j n 证明：假设= “，1 1 i j ，z j 是r 的一个理想标志并且p = d + 4 。，巨 i s ， n 设 x = a i ，巨，p ，y = b i ，e ，p 这里吼。，m k , i ) b k ，f 4 ，当1 k ，? 时。显然对任意的，s r 有麒+ 叫p 注意到 j i x ，_ y 】= c i ，巨，这里q ，= ( q ，。瓯，- b , 。吼，) 1 s f 5 ，月女= 1 j 1 1 果1 i o n ，因为= 臼。1 1 f ，n 是斤的一个理想标志，所以有 方炜：交换环上典型群和典型李代数的结构的若干研究 h 气，。= 2 ( o , o ，庙女，如一玩，k a 自o ) 氏一。因此i x ，川p 从而p 是t 的包含d 的子代数 女= b 另一方面，设p 是一个介于d 和t 的中间李代数，对任意的1 f j n 我们定义 又设 4 广a i d 巨，- = 臼。1 1 f ，n ， 且 q = d + 4 ，e ， 接下来，我们将证明是斤的一个标志，并且q = p 显然，对1 - i ，兰h ，所有的a , a 都是斤的理想。如果1 f k ，珂且 a i 。e a , 。，a k ，4 ，则由【e 。巨。a k ，e ，】_ 口。吼。e ，p ，我们可以得到q ，女a k ，j a j j 从而4 ，。4 ，呈4 ，这样a = 臼。1 1 f j ” 就是斤的一个理想标志， q = d + a 1 j e i ，就是一个介于d 和t 的中间李代数。显然q p 。 l 鲥 j 珈 设 x = d + a i , 届p 。 l e f ，月 对任意l k ，兰行，因为 日p 毛”z 】= 一a k ，p ，所以吼，a k f ，从而x p 因此p q ，故p = q 这样就完成了证明。 三、p 的标准导子。 设p = d + 4 ，e ，是介于d 和t 的一个固定的中间李代数 1 虫j a = 4 ，l ( r ) l l - i n 是与之相应的斤的一个理想标志，下面我们将讨论p 的导子。 p 有如下的标准导子： ( a ) 内导子 设x p ，则a d x ：p 专p ，y 卜 x ，川，是p 的一个导子，称之为由j 诱导出的p 第三章交换环上介于对角阵和上三角阵的李代数的中间李代数的导子 的内导子。设a dp 是所有的a d 石，z p 构成的集合，则a dp 形成d e rp 的一个理想。众所周知a dp 与p 到及p ) 的商李代数同构。 ( b ) 极导子 定义3 1 设妒= 九- h o m r ( a 。) j 1 f n 是由竹一d 2 叶- 肛模同 态构成的集合。我们称是适合极导子的，如果对任意1 - i ，i _ j _ ，( 如 果七存在) ，q ，女4 ，和任意的吼，4 谚，( 口啪吼，) = 谚，女( q ，。) 吼，+ q 。吮。，( 吼，) 都成立。设矿= 泐，h o m 。( a u ) 1 1 f ，n ) 适合极导子的，我们定义 协：p - + p ，口。e i ，h 谚。，( q ，) 互 1 e ，e j hl ， ，如 这里当火时，( 2 i ，a i ，。 引理3 2 如果妒= 矿w 胁( 一。) j 1 - i ，刀) 适合极导子，则仇是p 的一个导子。 证明：设x = 口。巨，e p ， y = 6 ，e ，p 1 j 3 “ i ，s j 月 这里所有的q 6 j ，r 且当1 k ，”时，吼，4 p 阮f a k ，显然对任意的 j r 协( 啊+ 妙) = r t l ( x ) + s t 7 ( y ) 注意到 x ，y 】_ c i , j e ，j 这罩 l s j s n c l ，= ( q t 玩，一6 i ，。唧，) 。因为是适合极导予的并且= 4 ，e i ( r ) 1 1 i ，s 行) 是斤的一个理想标志，我们有 协( x ，y 】) = ( 谚，* ( q ，。) 钆，+ t i ，。纯，( 瓯，) 一谚，。( 包，。a k 。一6 ，。纯，( 吼，) ) e ， i - - 1 ，s nr = ， 1 9 方炜：交换环上典型群和典型李代数的结构的若干研究 这刚好等于 r z a x ) ，纠+ x ，巩( y ) 】，因此仉是p 的极导子。 设中= 引是适合极导子的) ， 对声”= 磋? h o m 月( 4 f ，o l l