（基础数学专业论文）四元数分析中的一些偏微分方程的边值问题.pdf

四元数分析中一些偏微分方程的边值问题 基础数学专业 研究生罗丙辉指导教师杨丕文( 教授) 论文摘要：本文用复分析的方法，讨论了四元数分析中的一些偏微分方程的边值 问题文章分为两部分 在第一章中，考虑了四元数空间中佗一正则四元数函数的一类带共轭 的r i e m a n n 边值问题，通过佗一正则四元数函数的p l e m e l j 公式，将问题转化为 奇异积分方程的形式，再利用积分方程理论和压缩映射原理，得到了该问题解的 存在性和唯一性 在第二章中，利用第一章中处理问题的方法，讨论了兄3 空间中的凡一正则向量 函数的一类带共轭值的r i e m a n n 边值问题，通过扎一正则向量函数的p l e m e l j 公 式，将问题转化为奇异积分方程的形式，再利用积分方程理论和压缩映射原 理，得到了该问题解的存在性和唯一性 关键词：四元数分析；佗一正则函数；p l e m e l j 公式；压缩映射原理；带共轭值 的r i e m a n n 边值问题 第i 页，共2 8 页 b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rs o m ep a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n si nq u a t e r n i o na n a l y s i s p u r em a t h e m a t i c s w r i t e r ：l u oy u h u i s u p e r v i s o r ：y a n gp i - w e n a b s t r a c t ：t h i sp a p e rm a i n l yd i s c u s s e sb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs o m e p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nq u a t e r n i o na n a l y s i sb yt h e o r yo fc o m p l e x a n a l y s i s t h ep a p e ri sd i v i d e di n t ot w oc h a p t e r s i nc h a p t e ro n e t h er i e m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t hc o n j u g a t e v a l u ef o rn - r e g u l a rv e c t o rf u n c t i o ni sd i s c u s s e d f i r s t l yt h i sp r o b l e mi s t r a n s l a t e di n t oa s i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o nb yn - r e g u l a rv e c t o rf u n c t i o nw i t h p l e m e l jf o r m u l a t h e nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o nf o rt h i s p r o b l e ma r ep r o v e db yu s i n gt h et h e o r yo fs i n g u l a re q u a t i o na n dt h ec o n t r a c t m a p p i n gt h e o r e m i nc h a p t e rt w o ，t h er i e m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t hc o n j u g a t e v a l u ef o rn - r e g u l a rf u n c t i o ni nq u a t e r n i o ns p a c ei sc o n s i d e r e db vm e t h o d s u s e di nc h a p t e ro n e f i r s t l yt h i sp r o b l e mi st r a n s l a t e di n t oas i n g u l a ri n t e g r a l e q u a t i o nb yn - r e g u l a rf u n c t i o nw i t hp l e m e l jf o r m u l a t h e nt h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so ft h es o l u t i o nf o rt h i sp r o b l e ma r ep r o v e db yu s i n gt h et h e o r yo f s i n g u l a re q u a t i o na n dt h ec o n t r a c tm a p p i n gt h e o r e m k e y w o r d s ： q u a t e r n i o na n a l y s i s ；n - r e g u l a rf u n c t i o n ；p l e m e l j f o r - m u l a ；c o n t r a c tm a p p i n gt h e o r e m ；r i e m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t h c o n j u g a t ev a l u e 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师堑至塞指导下，独立进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均己在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而 引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥 有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印刷 版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库供检 索；2 ) 为教学、科研和学术交流目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的 学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在有关网络上供阅读、浏览。 本人授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全 文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 躲和野 签字日期：。f p 年年月占日 新躲怕庆 签字日期加f 。年年月日 引言 在1 9 世纪，c a u c h y ，r i e m a n n ，w e i e r s t r a s s 的工作奠定了复分析的基础 后来，在复数域上建立的函数理论及其边值问题是复分析极为重要的组成部 分从五十年代起，有许多学者开始关注并从事这方面的研究经过国内外众 多学者长期以来的不懈努力和研究，复平面上的函数理论已经发展到比较完 善的程度在文 1 - 3 ， 7 ，8 】， 2 4 】， 2 6 ，2 7 ， 4 0 】，【4 3 】中，就系统地论述了复变函数 的一些基本性质，并给出了其d i r i c h l e t ，r i e m a n n ，r i e m a n n h i l b e r t 等边值 问题的一般解法及其解得表示 近些年来，许多学者开始把复变函数理论和文【1 2 中研究椭圆型偏微分方 程及其边值问题的一些经典方法向高维的情形推广，并取得了许多重要的结 论，其结果被广泛应用到许多学科分支中在文 1 4 ， 3 0 - 3 2 】中，闻国椿系统地 研究了阶，二阶和高阶椭圆型复方程的各种边值问题，同时也介绍了某些 混合型复方程的一些研究方法和结果 四元数是由爱尔兰数学家h a m i l t o n 于1 8 4 3 年发现的这一发现是1 9 世 纪代数学最重大的事件之一，它推广了平面复数系结构二十世纪三，四十 年代，许多学者开始了对四元数分析理论的研究1 9 3 5 年及其后的十多年 中，r f u e t e r 与他的合作伙伴开始了这一工作r f u e t e r 在文【2 2 中，用类似 于复平面的c a u c h y r i e m a n n 方程，给出了四元数分析中正则函数的定 义，并利用此定义得到了类似的c a u c h y 积分定理，c a u c h y 定理以及在 2 3 中 的l a u r e n t 级数在文【4 4 1 中，c a d e a v o u r s 给出了四元数分析理论更为简单 的解释1 9 7 9 年，a s u d b e r y 在文 2 5 】中，使用外微分的方法，更简单，更新颖地证 明了兄f u e t e r 在文2 2 1 中得到的主要定理，同时也在文章中更好地区分了四 元数分析与一般复分析 四元数分析是复分析在高维空间中的另一种形式的推广它在数学物 理等方面有较为重要和广泛的应用如对m a x w e l l 方程，y a n g - m i l l 场理论，光 学，量子力学等问题的研究，引起了国内外许多学者的关注 第1 页共2 8 页 引言 1 9 9 2 年，张万国开始了对四元数分析中的初边值问题的研究，在文【3 5 ， 3 6 1 中，作者分别研究了四元数分析中的n e u m a n n 边值问题与r 一日边 值问题的具体提法和求解方法，并给出了这两类边值问题解得存在性 和唯一性及其解得积分表达式1 9 9 4 年，在文1 5 1 中，杨丕文研究了四元 数空间中的正则函数及其d i r i c h l e t 边值问题的解法和解的积分表达式 1 9 9 7 年，在文【4 5 中，乔玉英研究了四元数广义正则函数的斜微商边值问 题1 9 9 9 年，在文【17 1 中，作者把四元数分析与多复变联系起来，将四元数分 析中实变元的微分算子晓= 晚，+ i o , ：+ j o = 。一k o = 。改写成两个复变元 的微分算子晓= 2 ( 岛，+ z 岛。) ，岛。= 互1 、0 z 。+ i o ：) 然后，作者用类似于 单复变对解析函数的定义岛厂= 0 ，给出了四元数分析中的正则函数的定 义2 ( 岛，+ i 锄) 乱( z 1 ，z 2 ) = 0 ，获得了超球与双圆柱区域上四元数正则函数 的c a u c h y 型积分与c a u c h y 积分公式，并给出了四元数正则函数从超球与双 圆柱区域边界上开拓到区域内部的条件2 0 0 1 年，在文f 1 8 】中，作者将复分析中 非齐次c a u c h y r i e m a n n 方程的t 算子理论推广到四元数分析中，构造了四 元数中非齐次d i r a c 方程的积分的分布解，并讨论了t 算子的一些基本性质 2 0 0 3 年，在文 1 9 中，作者又研究了四元数中的，算子在区域g 上的h s l d e r 连 续性2 0 0 5 年，在文f 3 8 中，李觉友，杨丕文讨论了丁算子在全空间中的h 6 1 d e r 连 续性，推广了文【1 9 中的结论同年，鄢盛勇在文 3 9 中讨论了，算子在有界 区域上g 的琊性质，同时也给出了四元数分析中的p o m p e i u 公式，进一步完 善了t 算子理论2 0 0 6 年，张位全在文【1 1 】中讨论了可交换的四元数代数中的 一类一阶双曲型方程的r i e m a n n h i l b e r t 边值问题在四元数分析中，处 理的方程很多都是椭圆型的，为了研究双曲型复方程我们可以引入可交换 的四元数空间2 0 0 7 年，在文【1 0 】中，杨丕文，李曼荔，杨硕通过引进可交换四元 数代数来研究高维空间中的双曲型方程，并系统地研究了一阶和二阶的双 曲型方程的特征边值问题的可解条件和其通解的积分表达式2 0 0 8 年，在 文f 9 中，作者系统地讨论了r 3 和群空间中的两类一阶双曲型偏微分复方程 的r i e m a n n h i l b e r t 边值问题，并得到了其可解条件和其通解的积分表达 第2 页，共2 8 页 引言 式同年，在文【4 8 】中，张位全利用文 9 ，10 】的方法，讨论了一个在超球与双圆 柱区域上的一阶双曲方程的一些边值问题 以上这些文献中的结果，都是复分析在高维空间中的推广有了以上结果， 我们就可以进一步研究四元数分析中的某些边值问题受到上述一系列工作 的启发，本文用复分析的方法，讨论了四元数空间中的一些偏微分方程的边 值问题文章分为两部分 在第一章中，受文【4 娟 的启发，考虑了四元数空间中佗一正则四元数函数 的一类带共轭值的r i e m a n n 边值问题，通过钆一正则四元数函数的p l e m e l j 公 式，将问题转化为奇异积分方程的形式，再利用积分方程理论和压缩映射原 理，得到了该问题解的存在性和唯一性 在第二章中，在文f 4 _ 6 1 的基础上，利用第一章中处理问题的方法讨论 了冗3 空间中的n 一正则向量函数的一类r i e m a n n 边值问题，通过佗一正则向量 函数的p l e m e l j 公式，将问题转化为奇异积分方程的形式，再运用积分方程理 论和压缩映射原理，得到了该问题解的存在性和唯一性 第3 页，共2 8 页 第一章四元数空间中的一类带共轭值的r i e m a n n 边值问题 四元数的发现推广了平面复数系结构在r f u e t e r ，d e a v o u r s 等数学家的 推动下，四元数分析得到了迅速的发展近年来，国内外许多学者开始了对四 元数分析的研究，并得到了丰富的研究成果，可以参见文 3 】本章受文 郴】的 启发，考虑了四元数空间中n 一正则四元数函数的一类带共轭值的r i e m a n n 边 值问题，通过n 一正则四元数函数的p l e m e l j 公式，将问题转化为奇异积分方 程的形式，再运用积分方程理论及压缩映射原理，得到了该问题解的存在性 和唯一性，推广了文 粕 的结果 1 1预备知识 用c 和r 分别表示复数域和实数域设q 是一个以e ，i ，歹和忌为基元的四维 实向量空间其中? 基元e 是单位元，而i ，j ，忌满足关系： i 2 = j 2 = k 2 = 一e ，i j = 一j i = 七，j k = 一k j = i ，k i = 一i k = j q 中元 z = c x l + i x 2 + j x 3 + k x 4 称为实四元数，简称四元数其中，z 1 ，z 2 ，x 3 ，3 7 4 称为四元数x 的实系数，单位 元e 通常也简记为1 记 q = z = z 1 + i x 2 + j x 3 + k x 4 i x l ，x 2 ，x 3 ，x 4 r ) 基元1 ，i ，歹和k 所对应的矩阵形式为： z 1 ，z 2 都是复数，而2 的共轭 z = z l + j z 2 ， z = z l 一3 2 2 - 第4 页，共2 8 页 砂 d 1 1 一 0 一 o ； ： 0 o 式t 丁卜h 喊 一 例 0 作)记 o 1 一兀 l o 】 卜卜 一 蝴 1 们我 于是，可以得到 q ： z ：计锄+ 炳+ = 计j 勿) 一 f 二? ) ) ， 。 砘砚 即q 与形如fz 1 一施1 的全体复矩阵上的反交换代数同构从而，q 中的 乏2 乏 、 元z 也可以写成z ：2 l + 歹勿：fz 1 一沈1 从q 的元的矩阵形式，我们容易看 勿幻 出，q e eg j 元：x = z 1 + i x 2 + j x 3 - 4 - k x 4 q l o ) 都有逆元 1z 】一i x 2 7 2 3 一后z 4 zk f 虿再丽 定义实变元微分算子 以= 矗+ t 矗+ 歹去一七毫 其共轭算子 a000 如。瓦d x l 叫瓦i ：i x 2 一j 瓦u x 3 + 七- o x 4 于是，可以得到 啪，= 姚= 翕。鑫誓鑫一庇2 磊= 品+ 鑫+ 碡0 2 + 碡0 2 = 乱 我们设z l = z l + i x 2 ，z 2 = x 3 - 4 - i x 4 ， 瓦0=一1石00-22 + z 毫) ，毫= 一= 一i 一十z 1 一= 1、如】一沈2 ”钷2 0 1 ，00 、0 石o z 一2 【石叫面) 瓦2 1、a z l。a z 2 a 勿 去+ z 套瓦+ 。瓦) ， 去一t 旦o x 4 ) ，a z 3 。 于是，可以定义复变元微分算子 反= 2 ( 高+ 歹毫) ，国= 2 ( 击一歹毫) ， 其中乏为2 的共轭复数同样，有 包岛= 岛侥= 4 ( a 2 o z l 瑟1 +0 2 2 0 - 2 2 ) = 4 定义1 设g 是q 上的一个区域，其边界s 是光滑闭曲面，u ( z ) 是定义在g 上 的一个四元数函数若u ( z ) c n ( g ) 且满足方程霹u ( z ) = 0 ，z g ，则 称u ( z ) 为区域g 上的佗一正则四元数函数 第5 页，共2 8 页 第一章四元数空间中的一类带共轭值的r i e m a n n 边值问题 定义2 设叻( ( ) ，歹= 0 ，1 ，n 一1 是定义在曲面s 上的四元数函数，场 g ( s ) ，0 q 1 ，则称 u ( z ) = 而厂n-222n j s ( _ 1 心2 七曙( 佗一2 ) ! ( n 一1 ) ! 丌2 。乞、叫。( - k r m 一1 ) ! m 一2 ) ! 。( 扎一k 一1 ) ! ( n k 一2 ) ! r 2 ( n 一知一2 ) i nr 2 ( 1 1 ) 1 + 夕k ( 扎) r 2 m 一七一2 】g 妒n 一七一1 ( ( ) + ( 一1 ) n 一1 2 2 m 一1 ( 砖砉) g 妒o ( ( ) ) 以 为扎正则四元数函数的c a u c h y 型积分 引理l ( p l e m e l j 公式) 3 设g 是四元数空间中的一个有界区域，其边界是 光滑闭曲面s ，以g + ，g 一分别表示光滑闭曲面s 所围成的内部区域和外部区 域，当z 从g + 与g 一分别趋近于7 - ( s ) 时，露u ( z ) ，m = 0 ，1 ，钆一1 的极限值 存在，分别记为( 刀u ( 丁) ) + 和( 掣u ( 丁) ) 一，并有 ( 啪( 丁) ) + = 万而( - 1 丽) n - m “- - 磊m - 2 ( 一1 ) 七2 2 七号一七【而睾翰 r 2 ( n m 一七一2 ) b ar 2 + g k ( m ，n ) r 2 m m 一向一2 】g 妒t l 一七一1 ( e ) + 。( - 1 ) n - 卜m - 1 2 一警豢。蒯d 1 。2 ， ( 啪( 丁) ) 一= 万“喜2 ( 一1 ) 喈耙啐一七【而睾黹芸高 r 2 ( n m 一七一2 ) b ar 2 + g k ( m ，n ) r 2 ( 佗一m 一七一2 】g 妒n 一七一l ( ( ) + ( 一1 ) n m 一1 2 2 m m 一1 ( 砖击) g 妒m ( ( ) ) d s 一 妒m ( 7 ) 还可以写成 ( 6 7 u ( 丁) ) + 一( 谬( 丁) ) 一= 妒mt ) ( 洲丁) ) + 帽删一2 丽犒南“篆2 ( - 1 心2 七r 知( 1 3 ) 丽= ；磊葛( n j - 1 可) ! 丽( n ；- 2 元= ) f = ) i _ 面r 2 ( n - m - k - 2 ) i nr 2 + 夕知m ，n ) r 2 m 一竹l 一愚一2 g 妒n 一詹一1 ( ( ) + ( 一1 ) n m 一1 2 2 ( - , n - 1 ) ( 农嘉) g 妒m ( ) ) d s 其中m = 0 ，1 ，钆一1 ，而 玑( m ，扎) = 百- 丢三号导尚( n 一七) + 第6 页，共2 8 页 ( 佗一七一1 ) ! ( 扎一k 一2 ) ! ( n 一仇一惫一1 ) ! ( n m k 一2 ) ! ( 死) 第一章四元数空间中的一类带共轭值的r i e m a n n 边值问题 1 2问题r 7 的提出 设g 是四元数空间中的个有界的区域，其边界s 是一条光滑闭曲面， a l ( 丁) ，a 2 ( 7 - ) ，口3 ( 7 ) ，0 4 ( 7 ) ，0 5 ( 7 - ) 是定义在s 上的已知四元数函数求四元数函 数u ( z ) ，使它在s 外佗一正则，且满足下列边界条件： 0 1 ( 7 ) u + ( 丁) + 口2 ( 7 ) u 一( 下) + q 3 ( 7 - ) 而+ n 4 ( r ) 而= 0 5 ( 7 - ) o ，( 丁) ( 掣) + + 口2 ( 丁) ( 掣) 一+ 口s ( 丁) ( 掣) + + 口4 ( 7 ) ( 掣) 一= 口s ( 7 i ) ( 1 - 4 ) 。( 丁) ( 等饕) + + 口。( 丁、j ，i , 竖o t 坳n - - 1j 、一+ 。3 ( 丁) ( 笨掣) + + 啦( 丁) ( 错) 一= 0 5 ( r ) 把以上问题称为问题尉 1 3问题r 7 的转化 由( 1 2 ) 或撤1 3 ) 两个式子，问题爿可以转化为 ( a l t a 2 ) + 去) + ( 1 一n 2 ) + ( a 3 + a 4 ) ( + 互1 妒m ) 一口4 而- a 5 - = - ( 1 - 5 ) 其中 t m 妒m = 拳套k = o 2 ( 舭2 詹雩一七 f芒兽糌r2(n-m-k-2)k k hr 2 ( n m 一一1 ) ! ( 扎一m 一一2 ) ! + 鲰( m ，n ) r 2 一m 一七一2 g 妒n 磨一1 ( ( ) + ( 一1 ) n 一州2 2 ( n - m - 1 ) ( 龟刍) g 妒m ( e ) 第7 页，共2 8 页 第一章四元数空间中的一类带共轭值的r i e m a n n 边值问题 引进算子 r ( p m ) = ( a l + a 2 ) ( + 互1 妒m ) + ( 1 一。2 ) + ( a 3 + n 4 ) ( 妒m + 去妒m ) 一铷丽一a 5 则( 1 5 ) 式可以转化为 ( 妒m ) = 妒m( 1 - 6 ) 于是，问题兄7 转化成了求解关于微分算子的奇异方程( 1 6 ) 式 以下部分将运用压缩映射原理讨论问题碍的解 1 4重要不等式准备 设g 是四元数空间中的一个有界闭集若四元数函数妒m q ( s ) ，0 q 1 ，定义其h s l d e r 范数 l l 妒m 1 1 = c ( 妒m ，s ) + 月0 ( 妒m ，s ) ，( 0 p 0 定理1 如果妒n 一1 ，妒二一l 鳓( s ) ，那么 i i t 一1 妒n 一1 一死一。妒：l 一1 | i 腹l i 妒礼一。一妒：一1 | i( 1 7 ) 和 i i ( t n l 妒n 一1 + 专妒n 1 ) 一( 死一妒：一l + 吉妒：一。) 1 1 妒n l 一妒：i l | i 0 - s ) 证明如果，令m = 礼一1 ，则对任意的妒：l 一1 ，一l 日( 妒m ，s ) 有 死一- 一= 巧再忑赫z ( 仃一1 ) ! ( n 一2 ) ! ( 砖去) g 妒t l 一( 删d s 第8 页，共2 8 页 第一章四元数空间中的一类带共轭值的r i e m a n n 边值问题 = 一嘉，峨嘉脚州( ( ) t n - l 妒n - 1 - - 瓦一- 妒：l 一。= 一去，【( 奄去) g ( 一，( ( ) 一妒：l 一。( e ) ) 幽 i 瓦一，一- 一死一妒：l 一。l = 嘉f ， ( 奄嘉) g ( 一，( ( ) 一菇一- ( ( ) ) 】如i 嘉lz 峨扣m - 妒- 1 ( 钏s 1 + 杀iz 【( 圣去) g ( 疋一- ( ( ) 一疋一t ( 2 j d ) ) 】以i + 嘉iz ( 砖去) g ( 一( 徇) 一妒：l 一。( 翔) ) 】始i = l 1 + l 2 + l s 由一l ( z ) g ( s ) ，0 。 二z = 去iz ( 砖嘉) 嘶一沪妒：l 一( z o ) ) d s l _ 。 l 3 = 去i z ( 砖击) g ( 一- ( 细) 一妒：一t ( 徇) ) 】如i 于是， - 7 以得到 l 瓦一1 妒n 一1 一矗一1 妒：一1 l 墨 c ( 妒n l 一妒二一1 ，s ) ， 0 ( 1 9 ) 现，设( 1 ，已是s 上的两个任意的点，则 ( 死一- 妒n 一- ( 6 ) 一乃一。妒：一。( ( ) ) 一( 死一- 妒n 一。( 已) 一死一。妒：l 一。( 白) ) = 一嘉z ( 砖知州一“s 第9 页，共2 8 页 第一章四元数空间中的一类带共轭值的r i e m a n n 边值问题 + 一去上 ( 奄嘉) g ( ( 已) 一妒二一( 已) ) 】如 于是，可以得到 i(瓦一-妒n一，()一瓦一妒二一()一(瓦一-妒nt(已)一瓦一-妒二一t(已)lit = i 赤上【( 奄壶) g ( 一- ( ( ，) 一妒二一，( 臼) ) 】d s 一赤上 ( 奄嘉) g ( 一，( 已) 一妒：一- ( 已) ) 如i 取垂( ( ) = 一。( ( ) 一妒：l 一1 ( ( ) ，则如文【6 中定理1 的证明过程，并取几= 4 ，可得 南iz ( 砖嘉) g 西( 。 于是，可以得到 i ( 死一1 一1 ( e ) 一咒一1 妒：一，( ( ) ) 一( 瓦一】妒n 一1 ( ( ) 一死一】妒：，一，( ( ) ) i s m g h ( f ，o n 一1 ( ( ) 一妒二一1 ( ( ) ) ( 1 - 1 0 ) 由( 1 9 ) ，( 1 1 0 ) 式，并取腹= m a x 磁，瞒) ，可得不等式( 1 7 ) 从而 i i ( 瓦一l 垆n 一1 + 寺妒n 一1 ) 一( 死一1 妒：一1 + 去妒：l 1 ) i | = ii ( t 一妒n 一一瓦一1 妒：一。) + ( 去妒n 一1 一寺妒：一1 ) | i i i t 一1 妒n 一1 一死一1 妒：一。i l + 磁o i l 妒n 一。一妒：一1 l | ，硝o 0 现取瞒= 磁+ 叫o ，并由( 1 7 ) 式，可得不等式( 1 8 ) 于是，定理1 得证 推论1 若妒n 一1 ，一2 ，妒m + l h ( s ，p ) 被取定，m = 0 ，1 ，n 一2 且妒仇，妒二h ( s ，) ，那么 l | z m 妒m z t m 妒，m l l i i 妒m 一妒，m l i( 1 - 1 1 ) 和 i i ( t m 妒m + 寺妒m ) 一( 妒二+ 专妒二) | i l l 妒m 一妒二i i ( 1 1 2 ) 证明设一1 ，妒n 一2 ，妒m + l h ( s ，卢) 被取定，m = 0 ，1 ，n 一2 则 阶m 潮= i 丽茄肛妒一1 ( 州) i ( 州) ! 第1 0 页，共2 f 页 第一章四元数空间中的一类带共轭值的r i e m a n n 边值问题 ( 奄嘉) ( 妒m ( ( ) 一妒幺( 刚以i = 互1 s 1 i ) g ( 妒m ( ( ) 一妒二( 刚斟 显然，如( 1 7 ) ，( 1 8 ) 式，推论1 成立 推论2 在推论1 的条件下，也可以得到下列不等式： 1 1 7 ：石一丽i l 腹i i 妒m 一妒二l f 且 i i ( t 棚m + 去妒m ) 一( 妒幺+ 三) i i 卢瞒m 一妒二 证明事实上 丽一丽i = i 妒m 一妒二 ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) i ( + 丢) 一( 妒幺+ 互1 妒，m ) i = i ( + 互1 ) 一( 妒，m + 三妒，m ) 1 余下的证明过程与定理1 的证明过程相同于是，推论2 成立 1 5主要结果 定理2 若n 1 ( 7 - ) ，0 2 ( 7 - ) ，a 3 ( t ) ，口4 ( 7 - ) ，a 5 ( r ) h ( s ，p ) ，且 r = 瞒i 1 0 1 + 口2 l i + 1 1 1 一a 2 1 i + 瞒ij 口3 + 口4 i l + i 1 0 4 那么，当0 r 1 时，问题r 7 中的第n 个方程有且只有唯一解 证明任取- 1 ，沈一l n ( s ，p ) ，则由( 1 6 ) 式中的积分算子有 l i r l ( 妒n 一1 ) 一r 一1 ( 妒：一1 ) l l = i i ( a l + a 2 ) ( t n 一1 妒n l + 去妒n 一1 ) + ( 1 一0 2 ) 妒几一l 十( a a + a a ) ( 已一1 妒n - 1 - - 互1 妒) 一口4 硎 一 ( 口t + n 2 ) ( 死邓：一，+ 丢妒：一。) + ( 1 一口z ) 妒：一。 + ( 。3 + 。4 ) ( 死一t 妒：- 1 + 弘1 一。) _ 0 4 碉| | = + 。2 ) 【( 矗一1 妒“+ 荟1 一1 ) 一( 死川：l 一。+ 去妒】+ ( 1 一n 。) ( 。一妒 第1 1 页，共2 8 页 第一章四元数空间中的一类带共轭值的r i e m a n n 边值问题 + ( n 3 + 。4 ) ( 矗州n - 1 - j r - 丢) 一( 死州二一。+ 弘一。) 卜啦( 丽一石) i i 【l i 。- + n 2 i i i i ( t 州n - 1 + 丢- ) 一( l 州：一。+ 弘驯 + 1 1 1 一口z i 妒n - i - - q p ：一， + 【l i 。3 + 口4 i i i i ( t 一1 妒n 一1 + 互1 妒巧一1 ) 一( 咒一1 妒：l 一1 + 去妒：l 一1 i i + i l a , l l l l n - 1 。一妒：一1 i l ia l + 0 2 i | j i 妒n 一1 一妒：一l | l + 1 1 1 一a 2 1 1 1 1 ￥, n 一1 一妒：一l i i + l 1 0 3 + 0 4 l i 磁i l 妒n l 一妒：一1 i | + i l a 4 1 1 1 1 妒n - 1 。一妒：一1 | i = ( 瞒i l 口1 + 口2 i i + 1 1 1 一a 2 1 i + 瞒i i 口3 + n 4 | | + i l a 4 1 1 ) i i r z n - 1 一妒：l 一1 i i = r i i r z n - 1 一妒：一1 于是，由压缩映射原理，方程( 1 6 ) 有唯一解，不妨记为一1 推论3 在定理2 的条件下，若一1 ，一2 ，c i p m + 1 h ( s ，p ) 被取定， m = 0 ，1 ，佗一2 ，那么，第m + 1 个方程也有唯一解 证明由( 1 6 ) 式中的积分算子r 有 i l ， m ( 妒m ) 一f 1 m ( 妒，m ) l i = i i 【( n l + a 2 ) ( 妒m + 去妒m ) + ( 1 - a 2 ) + ( a 3 - b a 4 ) ( + 互1 妒m ) 一口4 _ 】 一 ( 。+ 。2 ) ( t i n 妒二+ 三妒：y 1 ) + ( 1 一。2 ) 妒幺+ ( 口3 + 口4 ) ( 焉+ 弘) 一n 4 硼 = + 。2 ) 【( + 三妒m ) 一( 妒，仇+ 去妒，仇) 】 第1 2 页，共2 8 页 第一章四元数空间中的一类带共轭值的r i e m a n n 边值问题 十( 1 一n 2 ) ( 妒m 一妒幺) + ( n 3 + 0 4 ) 【( z m 妒m + 专妒m ) 一( 7 仇妒幺+ 石1 妒m t ) 】 一口4 ( 万磊一妒幺) l f i i a z + a 2 i l l l ( t m 妒m + 专妒m ) 一( 矗+ 去妒，m ) + 1 1 1 一a 2 l 妒m 一妒，m | | + 川0 3 + 口4 i ( 妒m + 言妒m ) 一( 妒篇+ 去妒幺川 + i 1 0 4 l i i l 两一妒幺l l 于是，由( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) ，( 1 1 3 ) ，( 1 1 4 ) 式，以下不等式成立： i i r ( 妒m ) 一f m ( 妒，m ) | l r i l 万磊一妒幺m 如定理2 的证明过程，命题得证 定理3 在定理2 的条件下问题r 7 的解存在且唯一 证明由于问题兄7 中的每个方程的解存在且唯一，于是，可以找 到一1 ，一2 ，妒o 然后，代入( 1 一1 ) 式，就可以得到唯一的u ( z ) 第1 3 页，共2 8 页 第二章r 3 空间中的r t 一正则向量函数的r i e m a n n 边值问题 本章在文 蛐】的基础上，使用与前面一章中类似的方法，讨论了r 3 空间 中竹一正则向量函数的一类带共轭值的r i e m a n n 边值问题，通过t t 一正则向量 函数的p i e m e l j 公式，将问题转化为奇异积分方程的形式，再利用积分方程 理论和压缩映射原理，得到了该问题解的存在性和唯一性，进一步推广了 文【郴 和第一章的结果 2 1基础知识 用c 和r 分别表示复数域和实数域设q 是一个以e ，i ，j n l k 为基元的四维 实向量空间其中，基元e 是单位元，而i ，j ，七满足关系： i 2 = 歹2 = 尼2 = 一e ，i j = 一j i = 七，j k = 一k j = i ，k i = 一i k = j q 中元 z = e x l + t z 2 + j x a + k x 4 称为实四元数，简称四元数其中，z 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 称为四元数z 的实系数，单位 元e 通常也简记为1 记 q = z = x l + i x 2 + j x 3 + k x 4 x l ，x 2 ，z 3 ，x 4 r ) 我们也将q 中元记作下列形式： z = z l + 歹勿， z 1 ，z 2 都是复数，而z 的共轭 万= - 2 1 一j z 2 定义微分算子 a = 岳+ 巧爰 其共轭算子 万= 岳一巧晏 第1 4 页，共2 8 页 第二章r 3 空间中的佗一正则向量函数的r i e m a n n 边值问题 蹰= 一a ：嘉+ 昙+ 导= 3 这里的3 是r 3 空间中的l a p l a c e 算子 记r 3 = r c 空间中的元7 7 = ( t ，z ，y ) = ( t ，z ) ，卵为二维复向量 定义1 3 】假设d 是r 3 = r xc 空间中的一个区域，其边界s 是光滑闭 曲面，若在d 内的二维复向量函数皿( 叩) c n ( d ) ，且满足方程伊皿( 叩) = o ，则 称( ? 7 ) 为区域d 内的礼一正则向量函数 定义2 【3 】设仍( e ) ，j = 0 ，1 ，n 一1 是定义在曲面s 上的二维复向量函 数，妒，q ( s ) ，0 q 1 ，则称 里(77)=l(-1)一n。一-。2(一1)七ij元=二lif二=_主南-霹-kr2(n-k)-3(，叩) ( 2 - 1 ) g 妒n - k - 1 ( ( ) + ( 一1 ) n - 1 2 n - l 否( 志g 为扎一正则向量函数的c a u c h y 型积分 其中r ( ( ，叼) ：i e 一砒g ：f c o s 7 ，一c o s q + 知0 s p1 ，q ，p ，7 分别 、c o sq 十zc o s j c o s y ， 是s 上点( 处的外法方向与z ，y ，亡轴正方向之间的夹角 引理1 ( p l e m e l j 公式) 【3 】设d 是兄3 空间中的一个有界区域，其边界是光滑 闭曲面s ，以d + ，d 一分别表示光滑闭曲面s 所围成的内部区域和外部区域， 当叩从d + 与d 一分别趋近于7 ( s ) 时，俨皿( 叩) ，m = 0 ，1 ，n 一1 的极限值存 在，分别记为( 扩皿( 7 - ) ) + 和( 扩皿( 7 - ) ) 一，并有 。 ( 扩( 7 - ) ) + = 丽( - 1 ) n - ”s 1 厶n 脚- m ( 一1 ) 七面丽面杀厕 矿一仇一七r 2 一m 一知) 一3 ( ( ，丁) g 妒n 一七一1 ( ) + ( 一1 ) n m 一1 2 n m 一1 否可b g 妒m ( e ) ) d s + ；妒m ( 7 - ) ， ( a m 皿( 7 ) ) 一= 丽( - 1 ) n - ml e ；- o 一2 ( 一1 ) 七西再石磊互瓦考每丽厕 - 万n - m - k r 2 ( n m 一知) 一3 ( ( ，7 ) g 妒n 一七一l ( ( ) + ( 一1 ) n m 一1 2 n m 一1 万可南g 妒m ( e ) ) d 。一丢妒m ( 丁) ， 第1 5 页，共2 8 页 ( 2 - 2 ) 第二章r 3 空间中的几一正则向量函数的r i e m a n n 边值问题 还可以写成 ( 铲皿( 7 - ) ) + 一( 伊皿( 7 ) ) 一= 妒mt ) ( a m 皿( 7 ) ) + 一( 扩皿( 7 ) ) 一= 妄篙b 芝孑一2 西不忑鬲j 沅( - - i 1 河) k 币2 k 二元= j i 可 - 万n - m - k r 2 一m 一七) 一3 ( ( ，7 ) g 妒n - k - 1 ( ( ) + ( 一1 ) n - m - 1 2 n m 一1 万可南 ( 2 - 3 ) g 妒m ( ( ) ) d 。【( n m 一( n 七一- - 1 1 ) ) ! ! ( ( n n 一- - m 2 ) ! j 两r 2 ( n - m - k - 2 ) i nr 2 + 9 七( m ，礼) r 2 ( n - m - k - 2 ) 却n 一知一l ( ( ) + ( 一1 ) n m 一1 2 2 ，l m 一1 ( 砖专) g 妒m ( ( ) ) d s 其中m = 0 ，1 ，n 一1 引理2 3 】设r 是r 3 空间中的一个光滑曲面，9 ( 7 7 ) 是定义在r 上的复值 向量函数，夕( 叩) 在r 上除定点伽= ( t o ，z o ，珈) 外连续，在伽点附近无界，如 果g ( r ) 在叩0 点在曲面r 上的某个领域内满足 1 9 ( n ) l 南0 妯“， 其中m 是一正实常数，j 刁一 7 0 l 是i 、上的两点叩与伽之间的距离，那么曲面瑕积 分矗夕( 7 7 ) d s 收敛 2 2问题冗的提法 设d 是冗3 空间中的一个有界的区域，其边界s 是一条光滑闭曲面， a l ( t ) ，a 2 ( t ) ，a 3 ( t ) ，a t ( t ) 是区域边界上的已知实函数，a 5 ( 7 - ) 是定义在趾的 已知二维向量函数求二维向量函数( 叩) ，使它在s 外n 一正则，且满足下列边 界条件： a 1 ( 亡) + ( 7 - ) + a 2 ( 亡) 皿( 7 - ) + a 3 ( 亡) 研+ a 4 ( 亡) 研= a 5 ( 7 ) a 1 ( 亡) ( 掣) + + a 2 ( 亡) ( s 掣) 一+ a 3 ( ) ( 掣) + + 删( 掣) 一= 酬 ( 2 4 ) a l ( 亡) ( 帮) + + a 2 ( 亡) ( 帮) 一+ a 3 ( 亡) 死叵o 三r n 亟- z 互百 + a 4 ( 芒) ( 1 0 n 孬- l 矿 ( r ) ) 一= 4 5 ( 7 - ) 把以上问题称为问题r 第1 6 页共2 8 页 第二章印空间中的n 一正则向量函数的r i e m a n n 边值问题 2 3问题刷拘转化 由( 2 2 ) 或者( 2 3 )