（基础数学专业论文）关于wf（prq）类算子的若干谱性质.pdf

摘要 本篇论文中，我们主要研究w f ( p ，r ，q ) 类算子的性质，重点讨论 f p ，r ，q ) 类算子 与f u g l e d e - p u t n a m 定理的关系，w f 0 ，r ，q ) 类算子与w e y l 定理的关系以及 f 0 ，r q ) 类算子的局部谱理论 首先我们介绍了预备知识及w f ( p ，r ，q ) 类算子的基本性质，如。可逆的w f 0 ，r ，q ) 类 算子是对数亚正规算子，若r 为 f ( p ，r ，q ) 类算子并且可逆，那么t - 1 为w f ( r ，p ，q ) 类算子 其次我们分别讨论了 f ( p ，r ，q ) 类算子与f u g l e d e - p u t n a m 定理的关系及w f ( p ，nq ) 类算子与w e y l 定理的关系f u g l e d e - p u t n a m 定理和w e y l 定理是算子理论中两个著名 定理我们将f u g l e d e - p u t n a m 定理由正规算子推广到了f 0 ，r q ) 类算子w e y l 首先 证明了h e r m i t i a n 算子满足w e y l 定理，近年来，c h o ，l t o 和o s h i r o 证明了p 一亚正规 算子满足w e y l 定理，我们将这一结果推广到了m f ( p ，r ，q ) 类算子 最后我们对w f ( p ，r ，q ) 类算子的局部谱理论进行了比较系统的研究，得出一系列重 要结果，例如；w f ( p ，n q ) 类算子是次标量算子，w f ( p r q ) 类算子是次可分锯算子， w f 0 ，r ，q ) 类算子的局部谱子空问与极大代数谱子空间相等，t ，f 0 ，r q ) 类算子具有有 限升等另外，我们还证明了如果t 具有有限升，那么丁的广义a l u t h g e 变换l ，= i t ? u i t l 7 ( 其中p + r = 1 ) 也具有有限升r 具有( 卢k 属性当且仅当耳，具有( 卢k 属性 等 关键词；w f ，r q ) 类，f u g l e d e - p u t n a m 定理，w e y l 定理，次标量，次可分解，有限升 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w er e s e a r c ht h ep r o p e r t i e so fc l a s s 枷f p ，r ，q ) o p e r a t o r s ，m a i n l yd i s c u s s t h er e l a t i o nb e t w e e nc l a s sw f 以r ，g ) o p e r a t o r sa n df u g l e d e - p u t n a mt h e o r e m ，a l s oc l a s s w f ( p ，r ，q ) o p e r a t o r sa n dw e y lt h e o r e m ，r e s p e c t i v e l y m o r e o v e r ，w es t u d yt h el o c a ls p e c t r a l t h e o r yo fc l a s sw f ( p ，r g ) o p e r a t o r s f i r s t l y , w ei n t r o d u c ep r e l i m i n a r i e sa n dt h eb a s i cp r o p e r t i e so fc l a s sw f ( p ，r ，口) o p e r a t o r s ，s u c ha si n v e r t i b l ec l a s sw f ( p ，r ，q ) o p e r a t o r si sl o g - h y p o n o r m a lo p e r a t o r s i ft i sa c l a s sw f ，r g ) o p e r a t o ra n di n v e r t i b l e ，t h e nt i sc l a s sw f ( r , p ，q ) o p e r a t o r s e c o n d l y , w ed i s c u s st h er e l a t i o nb e t w e e nc l a s sw f ( p ，r ，q ) o p e r a t o r sa n df u g l e d e - p u t n a mt h e o r e m ，a l s oc l a s sw f p ，r ，q ) o p e r a t o r sa n dw e y lt h e o r e m ，r e s p e c t i v e l y , t h a tt h i s t w ot h e o r e m sa r ef a m o u si no p e r a t o rt h e o r y w ee x t e n df u g l e d e - p u t n a mt h e o r e mf r o m n o r m a lo p e r a t o rt oc l a s sw f ( p ，r ，q ) o p e r a t o r s w e y lp r o v e dh e r m i t i a no p e r a t o rs a t i s f y w c y lt l m o r c mf i r s t l y r e c e n t l y , e 晒i t oa n do s h i r op r o v e dp - h y p o n o r m a lo p e r a t o rs a t i s f y w e y lt h e o r e m w es h o wt h a tc l a s sw f ( p ，r ，q ) o p e r a t o r ss a t i s f yw e y lt h e o r e mt o o l a s t l y , b ys y s t e m a t i c a lr e s e a r c ho nl o c a ls p e c t r a lt h e o r yo fc l a s sw f ( p ，r q ) o p e r a t o r s ， w eg e tas e r i e so fi m p o r t a n tr e s u l t s s u c ha sc l a s sw f ( p ，r ，口) o p e r a t o r si ss u b s c a l a ro p - e r a t o r ，c l a s sw f 慨r ，q ) o p e r a t o r si ss u b d e e o m p o s a b l e ，t h el o c a ls p e c t r a ls u b s p a c eo fc l a s s w f ( p ，r ，q ) o p e r a t o r si se q u a lt ot h em a x i m a la l g e b r a i cs p e c t r a ls u b s p a c eo fa l a s 8w f 0 ，r q ) o p e r a t o r s ，c l a s sw f ( p ，r ，q ) o p e r a t o r sh a sf i n i t ea s c e n t ，a n ds oo n o nt h eo t h e rh a n d ，w e a l s os h o wt h a ti fth a sf i n i t ea s c e n t ，t h e nt h eg e n e r a l i z e da l u t h g et r a n s f o r m a t i o no ft 砟，r = i t l 9 u i t i p + r = 1 ) h a sf i n i t ea w c i l t th a sp r o p e r t y ki fa n do n l yi f rh a s p r o p e r t y ( 国。，e t c 一 k e yw o r d s ：c l a s sw f ( p ，r ，口) ，f u g l e d e - p u t n a n it h e o r e m ，w e y lt h e o r e m ，s u b s c a l a r ，s u b d e - c o m p o s a b l e ，f i n i t ea 目c e n t 1 1 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包古其他人已经发 表或撰写的研究成果，也不包含为获得河南师范大学或其他教育机构的学位或证书所使用 过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示r 谢意 签名：盘生! 乞 日期：亟! ! 关于论文使用授权的说明 本人完全了解河南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：有权保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权河南师范大 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 签名：二杰丝导师签名：咩垃日期：里孑业 1 1 预备知识 第一章绪论 设日为一个复h i l b e r t 空间，b ( h ) 为日上有界线性算子全体构成的代数，一个大 写字母( 例如丁) 指b ( h ) 中的一个元素 定义1 1 1 【1 i 设f b ( 日) ，若存在一个算子5 f 使得s t = t s = i ，其中i 是恒等算 子，( 即对所有z h ，i x = x ) 则称t 为可逆算子，我们记s = t ，称t 一1 为丁的逆算 子 定义1 1 2 n 如果算子t 的定义域d ( t ) 在全空问中稠密，那么我们称丁为稠定算 子 定义1 1 3 f 2 】设h ，g 是复h i l b e r t 空间，t 是日到g 的稠定线性算子，其定义域 为d ( t ) ，记 。 d ( t ) = u l y g ，存在y h 使得( t x ，y ) = ( z ，矿) ，对一切z d ( 丁) 成立) 并在d ( t ) 上作算子t + ：y 一旷扭d ( t + ) ) ，那么我们称t 为t 的共轭算子或伴随算 子 定义1 1 4 f 2 1h 中的稠定算子t ，若有tct ，则称r 是对称的( 或h e r m i t e ) ，又若 t = t + ，则称t 是自共轭算子或自伴算子 定义1 1 5 i 1 】如果丁+ t = t t ，我们称t 为正规算子 如果t t = n = i ，我们称r 为酉算子 如果丁t = i ，我们称r 为等距算子 如果对任意z h ，( t z ，。) 0 ，我们称t 为正算子，表示为；t 0 如果p t 研，我们称丁为亚正规算子 这里a b 表示a b 0 ，其中a 和b 为自共轭算子 定理1 1 1 1 1 】设丁是复h i l b e r t 空间日上算子，那么下列断言成立； ( 1 ) t 为正规算子当且仅当i t x l i = i i t z 玑其中z ； 1 第一章绪论 ( 2 ) t 为自共轭算子当且仅当( n z ) 是实数，其中x 日： ( 3 ) t 为酉算子当且仅当f | 7 0 0 = 0 p x l i = i x l l ，其中z h ( 4 ) t 为亚正规算子当且仅当j i t x l i i i t * x l l ，其中z h 定理1 1 2 【1 】若t 是复h i l b e r t 空问日上算子。则下列断占相互等价。 ( 1 ) t 是等距算子； ( 2 ) i t 2 7 1 f = i i x l l ，其中2 7 日： ( 3 ) ( t x ，t y ) = ( z ，) ，其中2 7 ，y h 定义1 1 6 1 2 1 设m 是h i l b e r t 空问日中的闭线性子空问，如果对任意z h ，必有 y m ，z 上肘，使得z = y + 。，我们则称元素y 为z 在m 上的投影 在h 上作算子p ：对日中的元素z ，令p z 是在m 上的投影，称尸为由h 到m 上 的投影算子，有时为了标出p 和肘的关系，记尸为p f 由定义可直接证明投影算子有下列明显的性质， ( 1 ) 投影算子必定是线性有界算子， ( 2 ) 投影算子的范数或是0 或是1 ， ( 3 ) 如果p 为由日到m 上的投影算子，则m = p ( h ) = 2 7 1 p x = x ，z ) ( 4 ) 尸 = z 的充要条件是z m ，p ，z = 0 的充要条件是z 上m ， 定理1 1 ，3 设p 是h i l b e r t 空问日中在全空间定义的线性算子，则尸成为投影算 子的充要条件是；p 是自共轭( p = 尸) 而且是幂等( p 2 = p ) 的算子 定义1 1 7 【1 】如果p 为由h 到吖上的投影算子，那么我们称m 是p 的投影子空 问 由于投影算子p 是幂等的自共轭算子。因此对任何z h ，有 ( p 2 7 ，z ) = ( p 2 z ，z ) = ( p x ，p x ) ：= l l p z 8 2 事实上，对复空问来说，这是刻画投影算子的又一特征 定理1 1 4 1 2 i 设p 是复h i l b e r t 空问日中的有界线性算子，则p 成为投影算子的充 2 第一章绪论 要条件是：对任何z h ， i i p z i l 2 = ( 尸z ，z ) 成立 定理1 1 5 嘲设p l ，r f 是h i l b e r t 空问好上的两个投影算子，则下列断言相互等 价； ( 1 ) p l p m ； ( 2 ) i p 删i i i i p x 1 1 对任何x h 成立； ( 3 ) l ) m ； ( 4 ) 砌p l = p m ； ( 5 ) 兄p f = p m ， 定义1 1 8 【1 】设m 是h i l b e r t 空间日的闭子空问。我们定义m 的正交补子空间 p 为， m 1 = ： 。h ：( 2 ，y ) = 0 ，y 彳) 定义1 1 9 【2 】设厶m 是日的两个闭线性子空间，而且l m ，l 中与m 正交的向 量全体称为m 在中的正交补，记为l e m ，即 l e m = ：川z l z 上肘 = n m l 定理1 1 6 【2 】设屁，j f k 是h 上的两个投影算子。则兄一b ，成为投影算子的充要条 件是l ) m ，当p l 一尸h 是投影算子时，p l 一尸k = p l e m 定理1 1 7 1 2 1 设p f 是h i l b e r t 空间日到它的闭线性子空间 上的投影算子，则 ，一f k 是在m 1 上的投影算子 定义1 1 1 0 1 】如果x h 可以表示为z = y + z ，其中y m ，。m 1 ，那么我们简 单记为z = y o 。 定理1 1 8 1 1 】设m 是h i l b e r t 空问日的闭子空问，则对任意z h 都可以表示为 z = y o 。， ( 1 1 ) 其中y m ，2 m 1 ，我们简单记( 1 - 1 ) 式为h = m o m l 3 第一章绪论 定义1 1 1 1 1 】设7 b ( 日) ，m 是h 的闭子空间，若t mcm ，即，当z h i 时， t x m ，则称们是丁的不变子空问；若m 和 ，1 都是丁的不变子空问，则称 ，是丁 的约化子空问， 定理1 1 9 【1 i 设a 是h i l b e r t 空间日上的有界线性算子，m 是日的闭线性子空 间，则m 是a 的不变子空间的充要条件是：a p f = 助a f k 引进约化子空间的概念很重要，因为当肘约化，4 时，用a 作用于何中的元素乩有 a x 将日分为两块，一块是 a x l x m ) ，一块是 j t c i z m 1 另外，若 ，约化a ，则 由定理1 1 6 还可得到下面的两个推论，它们从另一个侧面说明了算子以存在约化子空问 的重要性质 推论1 1 1 0 2 l 约化a 的充要条件是，a p a t = p m a 推论1 1 1 l i 2 1 m 约化a 的充要条件是，m 同时是a 及小的不变子空问，特别当 a 是自共轭算子时，a 的不变子空问必定约化a 定理1 1 1 2 1 】设t b ( 日) ，m 是的闭子空间，下列断言相互等价t ( 1 ) m 是丁的约化子空间， ( 2 ) m 1 是t 的约化子空间， ( 3 ) m 是2 的约化子空间 定义1 1 1 2 【1 】我们用r a n ( t ) 表示t 的值域，定义为tr a n ( t ) = t x ：z 月 ， 我们用k e r ( t ) 表示t 的核，定义为tk e r ( t ) = z 日：t x = o ) 定义1 1 1 3 1 】设u 是h i l b e r t 空间日上的算子，如果存在闭子空问吖， 使得对任意o m 。 阮0 = 肛0 ， 使得对任意z m 1 i l u l l i = 0 那么我们称u 为部分等距算子，其中称m 为u 的始空问，称n = r a n ( u ) 为u 的终空 4 第一章绪论 间，到始空间和终空间的投影分别称为u 的始投影和终投影 定理1 1 1 3 1 1 1 设u 是h i l b e r t 空间日上的部分等距算子，始空间为m ，终空问为 ，那么下列断言成立。 ( 1 ) u p m = u 且矿u = ， ( 2 ) n 是日的闭子空间， ( 3 ) u 为部分等距算子，始空问为，终空间为 ，即u 毋v = 矿，u u + = b v 定理1 1 1 驴】设u 是h i l b e r t 空问h 上的算子，那么下列断言相互等价； ( 1 ) u 为部分等距算子； ( 1 ) 扩为部分等距算子； ( 2 ) u u u = u ； ( 2 ) 矿u u = u + ； ( 3 ) u + u 是投影算子； ( 3 ) u u 是投影算子 定义1 1 1 4 1 1 】设m 是h i l b e r t 空问盯的子空问，如果丽= m ，其中砑表示m 的 闭包，那么我们称m 是盯的闭子空问 定理1 1 1 5 【1 】对任意正算子a ，存在唯一的正算子s ，使得s 2 = a ，我们记s = a 定理1 1 1 6 1 】设t 是h i l b e r t 空问日上的算子，那么存在一个部分等距算子u ，使 得 t = u i t ， 其中f t i = ( t 丁) ，m 和n 分别为矿的始空问和终空间，其中m ，可表示为m = r a n ( i t ) = r a n ( t ) ，n = r a n ( t ) ，而且k e r ( u ) = k e r ( i t d ，u u i t l = i t i 定理1 1 1 7 【1 】设t 是h i l b e r t 空间h _ k i l o 算子，当t = u i t l 满足k e r ( u ) = k e r ( i t d ，我们称t = u i t i 为丁的极分解，当t = u i t i 不满足k e r ( u ) = k e r ( i t d ，那 么我们称t = u i t i 为丁的分解 定理1 1 1 8 1 1 】设r 是h i l b e r t 空间日上的算子，t = u i t i 为t 的极分解，那么下 列断言成立t ( 1 ) k e r ( t ) = k e r ( i t i ) ， 5 第一章绪论 ( 2 ) i t + r = u i t i q u ，其中口为任意正数 定理1 1 1 9 设t 是h i l b e r t 空间h 上$ j i e 算子，那么k e r ( t q ) = k e r ( t ) ，其中口 为任意正数 定理1 1 2 0 【1 】设t 是h i l b e r t 空间上的算子，t = u i t l 为t 的极分解，那么 p = u 4 i t i 为r 。的极分解 定理1 1 2 1 【1 ( l f ；w n e r h e i n z 不等式) 如果a b 0 ，那么a n b n ，其中o z f 0 ，1 1 定理1 1 2 2 【1 i ( h f l d e r - m c c a r t h y 不等式) 如果f 是h i l b e r t 空问日上的正线性算 子，那么下述断言成立， ( 1 ) ( 丁1 z z ) ( t x ，z ) 1 其中a l ，z 为单位向量； ( 2 ) ( 丁1 z ，z ) ( 强，z ) 1 其中a 【0 ，1 】，z 为单位向量； ( 3 ) 若丁可逆，则( t x x ，z ) ( 丁z ，z ) 1 其中a l ，z 为任意向量； ( 2 ) ( t 1 z ，z ) s ( t x ，z ) 1 牡0 2 0 - x ) 其中a 【o ，1 1 ，z 为任意向量； ( 3 ) 若丁可逆，则( t z ，z ) ( t x ，z ) 1 忙一1 - 1 ) 其中a 0 ，卢 0 下列断言 成立： ( 1 ) 旷u ( i t i a a i t l 4 ) 。= ( i t i a a i t l 8 ) 。， ( 2 ) u u + ( i t + l a a i t + j 4 户= ( i t i a a i t + 1 4 ) 。， ( 3 ) ( u i t i z a i t l a u ) 。= u ( i t l a a i t l 4 ) 。u + ( 4 ) ( 扩i t 1 4 a i t 尸矿户= u ( i t i ：a i t + 。u 定义1 1 1 5 1 3 1 设t b ( 日) ，若t 是满射，丁一1 存在并且是有界算子，则称t 为正 则算子 定义1 1 1 6 1 3 1 设t b ( 日) ，若t a ，是正则算子，称a 是t 的正则点，丁的正则 点的全体记为p ( 叨，称p ( t ) 为t 的正则集 定义1 1 1 7 3 1 设t b ( h ) ，若丁一a ，不是正则算子，称a 是丁的谱点，丁的谱点 的全体记为口( t ) ，称o ( t ) 为丁的谱集 6 第一章绪论 定义1 1 1 8 1 3 设t b ( 日) ，若r a ，不是可逆的，称a 是r 的特征值，r 的特征 值全体记为a p ( t ) ，称唧( t ) 为r 的点谱 定义1 1 1 9 3 1 设a 唧( t ) ，若z 0 使得( t a ，如= 0 ，则称z 是丁的相应于a 的特征向量称k e r ( t a i ) 是t 的相应于a 的特征向量空间 定理1 1 2 4 1 3 1 设x 为b a n a e h 空问，t 口( x ) ，那么 ( 1 ) p ( t ) 为开集， ( 2 ) a ( t ) 为紧集 定理1 1 2 5 【1 1 对任意算子a 和b ，a ( a b ) 一0 = a ( b a ) 一0 ，即，a ( a u ) 和a ( b a ) 中非零元素相同 定理1 1 2 6 ( 谱映照定理) 设口( t ) 为t 的谱集， ，是解析函数，那么口( ，( t ) ) = ，( 仃( t ) ) 定理1 1 2 7 如果t 是可逆算子，那么口( t 一1 ) = 口( r ) 定理1 1 2 8 1 1 l 对任意算子t ，口( t ) = 口( 丁) + = ”：a 仃( t ) ) 定义1 1 2 0 【3 】称r ( r ) 2 m 。a ( x ”为算子t 的谱半径 定理l - 1 2 9 a 设x 为b a n a c h 空问，t b ( x ) ，那么 r ( t ) = l i m 厕 定义1 1 2 1 【1 1 如果l i t i i = r ( 丁) ，那么我们称丁为n o r m a l o i d 算子 定义1 1 2 2 1 4 1 我们称t b ( h ) 在a c 具有单值扩充属性如果下述断言成立。若 d 是a 的一个开邻域而且如果f ：d 一日是一个h 值解析函数满足方程 ( p t ) f ( p ) = 0 ， p d ，那么，在d 上恒等于零当t 在每个a c 都具有单值扩充属性，我们简称t 具有单值扩充属性 定义1 1 2 3 1 4 1 我们称t 在a c 具有( p ) 属性，如果下述断言成立，若d 是a 的 一个开邻域，n ：d h ( n = 1 ，2 ，) 是日值解析函数，如果( p 一丁) ( p ) 在d 的每个 7 第一章绪论 紧子集上一致收敛于零，那么 ( p ) 在d 的每个紧子集上也一致收敛于零如果丁在每 个a c 都具( p ) 属性，我们简称丁具有( p ) 属性 这一性质b i s h o p 是在研究b a n a c h 空问上算子的广义谱理论时首先提出来的 定义1 1 2 4 1 目设t b ( x ) ，o x ，我们定义局部予解集 p r ( 曲：= 入c l 在 的某个邻域内方程( t p ) z ( p ) = z 有解析解 ， 我们定义局部谱集a v ( x ) = ：c 册扛) ，对给定的a c ，我们定义局部谱子空问 x r ( a ) ：= z x l a r ( * ) 以 定义1 1 2 4 6 设x 是复b a n a c h 空间，t b ( x ) ，如果对任意闭集f c ，局部谱 子空间b ( f ) 也是闭集，那么我们称t 具有心) 属性 引理1 1 3 0 6 1 设x 是复b a n a c h 空间，t b ( x ) 如果t 具有( 口) 属性，那么t 具有( e ) 属性；如果r 具有( g ) 属性，那么t 具有单值扩充属性 1 2 鲫f ( p ，r ，q ) 类算子的基本性质 定义1 2 1 【7 】设t 是可逆算子，如果 l o g ( t t ) 2l o g ( t t + ) 那么我们称r 为对数一亚正规算予 定义1 2 2 【1 】如果当a b 0 时，f ( a ) ，( 口) ，那么我们称函数，为算子单调函 数 由于l o g ( t ) 为算子单调函数，若p 0 ，则每个p 亚正规算子为对数一亚正规算子 由于觋点笋= l o g ( x ) 对每个x 0 成立，所以对数一亚正规算子可被看作o - 亚正规 算子f u r u t a - i t o - y a m a z a k i i s 引入a 类算子( 称算子t 为a 类算子若l 弘i i t l 2 ，其中 i t l = ( t 。t ) ) 及a ( k ) 类算子( 设k 0 ，称算子t 为a ( k ) 类算子若( t i t l 2 丁) 12j v l 2 ) ， a 类与a ( 1 ) 类为同一类算子( 见【9 j ) 作为a ( k ) 类算子的扩展，f u j i i - j u n g - s h l e e - myl e e - n a k a m o t o 1 q 与f u j i i - n a k a m o t o 1 1 】分别引入a ( p ，r ) 类算子与f ( p ，r q ) 类算子， 8 第一章绪论 定义1 2 3 【1 0 l 设p 0 ，r 0 如果 ( i t 。1 7 i t l 2 p l r i ) 寿i t o i ， 那么我们称丁为a 加，r ) 类算子 定义1 2 4 1 1 1 】设p 0 ，r 0 q 1 ，如果 ( 州r i t l 2 一i i t 幅2i t l 掣， 那么我们称丁为f 0 ，r ，q ) 类算子 对每个p 0 ，r 0 ，a ( p ，r ) 类算子包含所有p 亚正规算子与对数一亚正规算子( 见 1 1 2 1 ) a ( k ) 类算子与a ( k ，1 ) 类算子为同一类算子，a ( p ，r ) 类算子与f 0 ，r 宰) 类算子 为同一类算子 a l u t h g e - w a n g i l 引入一亚正规算子( 称算子t 为w 一亚正规算子若 i 于i i t i2ic t ) + i ，其中亍= f 引j 1 “i i 为t 的a l u t h g e 变换) ，作为 一亚正规算子的 扩展，i t o l l 引入w a ( p ，r ) 类算子 定义1 2 5 f 1 设p 0 ，r 0 ，如果 ( i t 1 7 i v l 2 p l v i ) 南i r 门 且 i t l 2 p ( i t i p l t 门丁i ，) 寿， 那么我们称丁为w a ( p ，r ) 类算子 一亚正规算子与 a ( ，1 2 ) 类算子为同一类算子( 见1 1 2 ) ，m i t o 与t y a m a z a k i 在 1 1 q 中得出对每个p 0 ，r o , a ( p ，r ) 类算子与a ( p ，r ) 类算子为同一类算子注意到 w a ( p ，r ) 类算子定义中专与寿为一对共轭数( e p 专+ 寿= 1 ) ，作为对w a ( p ，r ) 类算 - t - - 与f ( p ，r ，q ) 类算子的进一步研究，c y a n g 与j y u a n 引入w f ( p ，r ，口) 类算子( 见t l s l ) 定义1 2 6 【1 目设p 0 ，r 0 ，q 1 ，称算子t 为w f ( p ，r ，口) 类算子若 ( i t i r i t l 2 p l t i r ) ；1 7 i 竿，( 1 2 ) 且 i 丁1 2 ( p - l - j 1 一；( i t h z 讳1 2 r i t i p ) 1 一i 1 ( 1 3 ) 9 第一章绪论 凼q i 时，q 与( 1 一q “) - 1 为一对共轭效，故此时记( 1 一q “) “为矿 注：在( 1 2 ) 及( 1 * 3 ) 中记6 = 字r ，则一r 0 ，b 0 ，若a n p 0 且a + p = 1 则加+ 曲一泸 命题1 2 2 若丁为w f ( p ，r ，q ) 类算子，则 i t i r i t l 2 p l t i r g ) t q t i 型譬生+ 妇一1 ) a , - , i20 ， 其中，a 0 证明对单位向量x ，由w f ( p ，r ，口) 类算子的定义可得z ( ( i 丁+ i r i t l 2 p l t 睁z ，z ) ( i t i ! 字2 z ，z ) 由h - m 不等式可得， ( i t j 7 i t l 2 一i t + l z ，z ) ；( ( i t i r i t l 2 v l t + i r ) ：z ，z ) ， 所以 ( i t i r i t i 却i t i r z ，z ) ：( ( i t j r i t i z p l t r ) ；z ，z ) ( 阻”i ! 娅产z ，z ) 对任意向量x ，由上式我们可得， ( i t 1 7 i 丁门r 隅z ) ；( z ，) 1 一；( i t 4 i 型皆z ，z ) ( 1 6 ) ( i t i i t l 2 p i t + | z ，z ) ；1 ( z ，z ) 1 一；) ：= a 一4 ( 1 j r i r i t l 2 p i j r i r z ，z ) ： a i 乌( z ，z ) 1 一；) ， 由引理1 2 1 可得， ( i t i i t i 劫附z ，z ) 籼寺( z ，z ) 一 s ； 一- ( j r + j 7 i t l 2 p l t 1 7 z ，z ) 4 - ( 1 一：) a 。- - 一q _ - ( z ，z ) 第一章绪论 由( 1 - 6 ) 式和( 1 7 ) 式整理得t i t r i t l 2 p i r i r g a o i t i ! 号山+ ( q 1 ) a 岳j 0 口 推论1 2 3 对任意p o ，r 0 ，若t 为可逆的f ( 鼽r 譬! ) 类算子，则t 为对效一 亚正规算子 证明由命题1 2 2 可知t 若t 为w f ( p ，r q ) 类算子，则 i t i r i t i z p l t i r q a a i 丁i 型譬生+ ( g 一1 ) a , - i2 0 特别地，当a = 1 时，( 1 - 8 ) 式也成立，在( 1 - 8 ) 式中令q = 牢， = 1 可得。 t i t 1 7 i t l 2 9 i r i 一仞+ r ) l t l “+ p l 0 ， 由于t 可逆，所以( 1 - 9 ) 式可变形为一 i t 印- i 二， t * - 2 - i p r 在( 1 一加) 式中令p 一+ o ，r 一十。可得： l o gj t l 2 l o g i t 1 2 因此，t 为对数一亚正规算子 引理1 2 4 1 1 】若a 0 , b 可逆，则 ( b a b ) 1 = b a ( a b b a ) 1 一i a i b ，其中a 为实数 定理1 , 2 5 | 1 4 】设a ，b 0 ，则对每个p ，r 0 ( 1 ) ( b ；a p b ；) 毒b 蕴涵( a g b r a 暑) i 转a p ； ( 2 ) ( a g b 7 a ；) 弗sa v 且k e r ( a ) k e r ( b ) 蕴涵( b ；b ；) 赤b r 定理1 2 6 设t 为w f ( p ，_ q ) 类算子，若t 为可逆，则当p + r ) ( 1 一；) r 字s p 口2 时，t 一1 为w f ( r p ，g ) 类算子 证明由于t 为w f ( p ，r q ) 类算子，所以 ( i t ，j r i t i 印j t m i t i ! 皆 1 l 删 咖 哪 口 o o 第一章绪论 由o h 不等式得 ( i t + 1 7 i t l 2 p l t j 7 ) i # i t p 由引理1 2 4 可知t ( i t | r i t ? q t + i ) 南= i t i r i t i p ( i t i p l 7 7 门丁j 一) 暑i t 吲t + 1 7 ，( 1 1 2 ) 由( 1 1 1 ) 式和( 1 1 2 ) 式可得； t 2 v ( i t i v l t 1 2 7 i t i 一) 一j _ ( 1 一1 3 ) 将i t l = i ( t - 1 ) i 一，f t i _ j t - 1j - 1 代入( 1 1 3 ) 式可得 所以 ( t 一1 ) i - 2 p ( i ( 丁一1 ) + r - p i t 一1 i 一”i ( r 一1 ) | - 一) 专= ( i ( 丁1 ) + i p l t 一1 l ”i ( t 一1 ) f ，) 暑 由k h 不等式得。 ( 1 ( t 一1 ) i p i t 一1 l ”i ( t 一1 ) f ，) 寿i ( t 一1 ) + 1 2 p ，( 1 1 4 ) ( i ( t 一- ) i pj r t 一( t 一) 吲i ( t t ) | 华， 由( i - 1 4 ) 式和定理1 2 5 可得； 由l h 不等式得t i t 1 r ( i t 。l i ( t 一1 ) 1 2 v l t 。1 i ) 南 i t - 1 1 2 7 ) ( 1 一；( i t 一1 r i ( t 一1 ) + 1 2 p i t 一1 附1 一 ) 因此，t “为w f ( r ，a q ) 类算子 1 2 口 第二章与w f ( p ，r ，q ) 类算子相关的两个著名定理 2 1w f ( p ，r ，q ) 类算子满足f u g l e d e - p u t n a m 定理 设日为复h i l b e r t 空问，b ( 日) ，b ( k ) 分别为日，k 上所有有界线性算子构成的 代数，b ( h ，) 表示所有从日到上的有界线性算子构成的代数 设t = u i t i 为r 的极分解我们定义耳，= i t i ，u i t l 7 ，其中p - t - r = 1 我们称b r 为t 的广义a l u t h g e 变换我们定义( 耳，) 1 ) = 耳。( 耳，) ”) = ( 耳，) ( ”， 定理2 1 1 【1 ( f u g l e d e - p u t n a m 定理) 设a ，b 为正规算子，x 是h i l b e r t 空间日上 的有界线性算子则下列( i ) 和( i i ) 成立并且相互等价t ( i ) ( f u g e d e ) 若a x = x a ，则a x = x a + ( i i ) ( p u t n a m ) 若a x = x b ，则小x = x b 定理2 1 2 1 1 ( f u r u t a 不等式) 如果a b20 ，那么当r 0 ， ( i ) ( b ；a p b ) ；2 ( 口j r 上矿甘i rj ；| 且 ( i i ) ( a ；a i ) ；( a ；b p a ) ； 其中p 0 ，q 1 且( 1 + r ) q p + r 引理2 1 3 1 1 q 若是h i l b e r t 空问日上的正规算子，则 n ( 一a m = o ) a e c 引理2 1 4 1 1 】设t = u i t i 是p 一亚正规算子t 的极分解，p 0 ，则下列断言成立。 ( i ) 元，l = i t l 5 u i t i 是鲢型s + 唑t 盟一亚正规算子，其中s 0 ，t 0 并且m “ o , t 0 并且m a x s ，h p 引理2 1 5 1 1 1 设t b ( 日) ，d b ( h ) 且0 d m ( t a ) ( t a ) ，a c ，其中 m 是正实数，则对每个。d h ，存在一个有界函数，：c 一日使得( t a ) ，( a ) ；x 引理2 1 6 1 1 q 若t w f 扫，n g ) ，则i ，1 2 ”i t i “i ( 弓，) i “， 1 3 第二章与i i , f ，r ，口) 类算子相关的两个著名定理 其中 l2m n ；，m a x 寿，1 一；) ) 即易r = i t u i t l 7 是m 一亚正规算子 引理2 1 7 1 1 8 l 设a ，b20 ，o o ，岛 0 且一岛6 咖，一岛舌sn o 若0 6 咖 及( b 譬禽b 譬) 啬蠕b 内+ 6 则对任意。n 。，p 风及0 s5 。有 及 ( b g a n 口g ) ：丰昙b 口+ 6 ， n 一52 ( a 暑口芦a 号) 詈翥 引理2 1 8 1 “】设a 0 ，b20 ，如果b a b b 2 且a b a a 2 那么a = b 引理2 1 9 设a ，b 0 ，s ，t 0 ，如果驴a 2 b 3 = b 知+ 矗，a b 2 。a = a 知+ 翟那么 a = b 证明取 m a x s ，t ) 由题设b 8 a 2 b 8 = b “+ 2 ，a b 2 5 a = a 2 ”2 应用引理2 1 7 可得t ( 胪a 2 b ) 笔b 2 k + 2 t ， a 2 “( 小b 2 a ) 警， 及 整理后可得； 由引理2 1 8 可得 法 ( 小b 2 a ) 2 a 2 + “ b 鼬一知( b a 2 b ) 2 与 a b 2 a = b a 2 b = b 驰 a=b 口 引理2 1 1 0 1 q 设t m f t ，r ，q ) ，若露，=