（基础数学专业论文）近kaehler流形的两个可积性条件.pdf

摘要 摘要 关于近k a e h l e r 流形可积性问题的研究是从s i g o l d b e r g 在1 9 6 9 年发表 的文章 4 中提出的猜想开始的，到现在关于这个问题已经有了很丰富的结果。 在本文中，我们主要沿用k d k i r c h b e r g 1 】中的方法来研究近k a e m e r 流形的 可积性，进而得到一些新的关于近k a e h l e r 流形可积性的条件。本文主要内容包 括三部分。第一部分是引言，介绍关于这个问题的一些主要结果和最新进展。第 二部分是关于证明引理和定理需要用到的一些基础知识和记号，大部分是引自 【1 】。在第三部分，我们首先证明一个引理，然后利用这个引理证明下述结论。 定理1 设m 是一个紧致的近k a e h l e r 流形，且是4 一e i n s t e i n 流形。如果它的 r i c c i 张量是，不变且半正定的，则m 是一个k a e m e r 流形 定理2 设m 是一个4 维紧致的近k a e h l e r 流形如果它的r i e e i 张量是， 不变的，且存在实数五0 使得下面的式子成立， a g ( z ，j ) p 。”( z ，x ) 2 2 9 ( x ，工) ， vx t m 则m 是一个k a e h l e r 流形 关键词：近k a e h l e r 流形；k a c h c r 流形；* - e i n s t e i n 流形 i i a b s t r a c t a b s t r a c t t h es t u d yc o n c e r n i n gt h ei n t e g r a b i l i t yo fa l m o s tk a e h l e rm a n i f 0 1 d si ss t e m e d f r o ma w e l l k n o w nc o n j e c ：t - u l - er e f e r r e df i r s t l y b ys i ( 3 0 l d b e r gi n1 9 6 9 4 】u n t i lt o n o w , t h e r ea l ea b u n d a n tr e s u l t sc o n c e r n i n gt h ei s s u e i nt h i sp a p e r , b ym a k i n gu s eo f k - d k i r c h b e r g sm e t h o d st os t u d yt h ei n t e g r a b i l i t yo fa l m o s tk a e h l e rm a n i f o l d s ，w e a t t a i l as o m en e wc o n d i t i o n sf o ra h t l o s tk a e h l e rm a n i f o l d s 1 1 1 em a i nr e s u l t sc o n s i s t so f t h r e ep a r t s a tf i r s t ，w ei n t r o d u c es o m em a j o rr e s u l t sa n dr e c e n td e v e l o p m e n ta b o u t t l l e c o n j e c t u r e i nt h es e c o n dp a r t , w ei n t r o d u c es o m eb a s i cc o n c e p t i o n sa n d n o t a t i o n sw h i c hw i l lb eu s e di np r o v i n gl e m m a sa n dt h e o r 睨l l s m o s to fn o t a t i o n sa l e i n t r o d u c e di n 【1 】a tl a s t , w ep r o v ef i r s t l yal e m m a , a n dt h e na p p l yt h el e m m at o p r o v e o u rr e s u l t s t h e o r e m1 l e t | | l ，b eac o m p a c ta l m o s tk a e h l e r - e i n s t e i nm a n i f o l dw h o s e r i e e lt e n s o ri s j - i n v a r i a n ta n dn o r m e g a t i v e ，t h e nmi sak a e h i e rm a n i f o l d t h e o r e m2 l e tmb ea4 ，d i m e n s i o n a la l m o s tk a e h i e rm a n i f o l dw h o s er i e e i t e n s o ri st ，i n v a r i a n t s u p p o s et h e r ee x i s t sar e a ln u m b e r 2 0s u c ht h a t 加( x ，z ) p ”( x ，x ) 2 2 9 ( x ，x ) ， vz t m t h e nmi sa k a e h l e r m a n i f o l d k e yw o r d s ：a l m o s tk a e h l e rm a n i f o l d s ：k a e h l e rm a n i f o l d s ：+ - e i n s t e i nm a n i f o l d s m 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得直昌太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) ：p a 约签字日期：砷年胡砰日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解直昌太堂有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权直昌太堂可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究 所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向 社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 签字日期：叼年偿月叶日 导师签名：缘能哆 签字日期：矽刀年硐加 第1 章引言 第1 章引言 一个近h e r m i d a n 流形m = ( m ，g ) ，如果它的k a e h l e r 形式是闭的，则称m 是一个近k a e h l 廿- 流形。由定义我们知道，一个k a e l l l c r 流形( w = 0 ) 必定是一个 近k a e h l 盯流形，近k a c h l e r 流形不一定是k a e h l 盯流形。如果一个近k a e h l e r 流 形m = ( m ，j ，g ) 的近复结构是可积的，则m 是一个k a e h l 岜- 流形。于是，要证 明一个近k a e h l e f 流形是k a e h l e r 流形就是要找到适当的条件使得它的近复结构 是可积的。关于近k a e h l 盯流形的可积性，s i g o l d b a g 在1 9 6 9 年提出了下面著 名的猜想【4 】： 紧致的近k a e h l e r 且e i n s t e i n 流形是k a e h l e r 流形 并在文章中给出了一个可积性条件：度量g 的曲率变换r ( x ，y ) 与，是可交换的 随后人们对近复流形的可积性进行了深入研究，并得到了很多重要的结果，如 【l o ， 1 l 】关于这个猜想已经有很大的进展，得到了很多经典的结果，其中最好 的结果是l u e is e k i g a w a ，他证明了当流形的数量曲率是非负时这个猜想是正确 的 1 0 ，【2 】近十几年来，关于近k a c h l e r 流形的可积取得了新的进展【5 ， 7 】， 【6 】，【1 】等等。近几年，关于s i g o l d b c r g 的猜想人们开始研究当数量曲率是负 的情形，并得到一些结果 1 3 】，【1 4 在这篇文章中讨论的仅仅是关于近k a c h l c r 流形的可积性问题 注意到，文 1 】的主要结论( 定理3 6 和定理3 7 ) 都是在假设q ( ，) = 0 这个 关键条件得到相应的结论，我们试图通过某种方法去掉q ( 刀这个条件 首先，利用 1 】中的等式和方法我们得到一个命题 命题对任意的紧致的近k a e h l c r 流形( 肘，g ) ，有下面的等式成立 2 q ( j ) + t ( i r l 2 + i r 心1 2 + 1 9 i c 1 2 + 4 1 面c 1 2 + 2 ) 盯= o 然后利用上式和 1 】中的命题消去q ( j ) ，得到下面引理 引理对任意的紧致的近k a e h l e r 流形。有 l 页1 2 + i r i c 7 1 2 “ 一i r i c j 2 _ 4 i 而1 2 - 2 爿r i c + 1 2 + l r i c 1 2 ( 1 4 ) 类似地，可以得到 r i c 。1 2 r i c + + r i c ：，r i c + + r i c ； 爿r i c + 1 2 + j r i c j 2 ( 1 5 ) f l a ( 1 4 ) ，( 1 5 ) ，得到 l 胄耙：1 2 - i r i c 1 2 刊r i c 。1 2 - i r i c l 2 一i g i c + i + l r i c + 1 2 ( 1 6 ) 把( 9 ) 式代入到( 1 6 ) ，得到下面等式 i r 缸i1 2 一ir i c 1 2 = lr i c 1 2 一l r i c1 2 - 4 ( i 页历1 2 + ) 0 7 ) 由( 1 0 ) ，( 1 7 ) 我们得到 i 瓦1 2 + f r 簖f i r 缸一f 2 + 4 c i t i d c l 2 + ) 一2 + d i v v l = o ( 1 8 ) 进一步，由( 1 1 ) 和( 1 8 ) ，最后得到下面的等式 l 页1 2 + l r 簖1 2 + i r 缸一| 2 “l 页五1 2 + 2 “ + 2 d i v v 2 + d i v e = 0 0 9 ) 如果m 是紧致的，我们考虑 q 净l g ( ，炒， 1 0 第3 章主要结论 其中g ( j ) 局部定义为g ( 刀# g ( ( v 石r i c ) j x k , i x 。) 进一步，如果m 是近 k a d a l e r 流形，进一步计算得到q ( j ) = 2 l 盯【1 】 将( 1 9 ) 式在流形m 上积分，由s t o k e s 定理得到下面的命题 命题1 对任意的紧致近k a e h l e r 流形( 吖，j ，g ) ，有下面的等式 2 q ( o d + m ( i r l 2 + f r 西| 2 + l r i c f 2 “i 页石1 2 + 2 ) 盯= 0 ( 2 0 ) 下面的命题在文献 1 中已经得到 命题2 1 1 1 对任意的紧致近k a e h l e r 流形( 肘，j ，g ) ，我们有下面的等式 q ( d + l ( j i j 2 + 1 r i c ：1 2 + 2 弦= o ( 2 0 由命题1 和命题2 ，消去q ( ，) 得到下面的引理3 引理3 对任意的紧致近k a e h l e r 流形，满足下面的等式 l ( j 页1 2 + i r 衍1 2 “ 一i r i c 1 2 _ 4 i 丽1 2 _ 2 _ 0 另一方面，我们已经知道丽o 于是，由( 1 3 ) 我们计算得到 页1 2 + r i c ：| 2 “ 一l r c 1 2 _ 4 i 页石1 2 - 2 = i i f “ 一l e 叫一7 - 厅- i v f 2 l ：+ 2 l r l 2 o 由( 2 2 ) ，我们得到页= o ，再利用( 5 ) 式，即万+ = 0 进一步，由( 8 ) 得v ，：0 所以m 是k a e h l e r 流形证毕 推论n - 维紧致的近k a e h l c r 且e i n s t e i n 流形，如果p + ”是半正定的，则它必 是一个k a e h l e r 流形 证明由条件以及丽是正定的，易知足耙一；0 ，r i c ：，蕊 o 。于是 i 瓦1 2 + i g i c 71 2 “ 一i 震缸一1 2 _ 4 页石1 2 - 2 非卜陋邓“ 一 爿页j 2 + jr 纪：j 2 + 2 + 二jv n l 2 三j v qj 2 胛以 剖i 1 2 + ir i c 71 2 + 2 剖页1 2 0 由( 2 2 ) ，我们得到页= 0 证毕 由于当流形是e i n s t e i n 时，q ( d = 0 ，所以以上的推论也是i c d k i r c h b e r g 定理3 6 1 】的一个推论 当片= 4 时，我们有下面的结论 定理2 设m 是一个4 维紧致的近k a e h l e r 流形，如果它的r i e e i 张量是， 不变的，且存在实数五0 使得下面的式子成立： ，k g ( x ，x ) p + ”( z ，x ) s2 2 9 ( x ，x ) ， v x t m ，则m 是一个k a e h l e r 流形 证明由条件，v x t m ，有 幻( x ，x ) p ”( x ，x ) 2 2 9 ( x ，z ) i l f f p ”( x ，x ) = g ( r i c ：( x ) ，柳，我们得到4 五f 8 五， 另一方面，取尼。的组特征向量( z ，五，墨，e ) 使它是掰的一组局部幺标架 设一，段，鸬，以为对应的特征值，则 a h 2 2 ，( ，= 1 ，2 ，3 ，4 ) 第3 章主要结论 “r 右( h 1 q v n 以 - 3 ，同时让我领略到了微分几何的博大精深 我的同学张文庆、魏灵燕，张超峰、叶挺蜂、向建国和家人在这两年半来给 了我极大的支持和关心，在此对他们表示衷心的感谢! 参考文献 参考文献 【1 k - d k i r c h b e r g ，s o m ei n t e g r a b i l i t yc o n d i t i o n sf o ra l m o s tk a e h l e rm a n i f o l d s j g e o m p h y s 4 9 ( 2 0 0 4 ) ，1 0 1 1 1 5 【2 】ks e k i g a w a , o ns o m ec o m p a c te i n s t e i na l m o s tk a e h l e rm a n i f o l d s j m a t h s o c j a p a n , 3 6 ( 1 9 8 7 ) 6 7 7 - 6 8 4 【3 】g r a y , a a n dh e r v e l l a , l m ，t h es i x t e e nc l a s s e so fa l m o s th e r m i t i a nm a n i f o l d s a n d t h e i r l i n e a r i n v a r i a n t s ，a n n m a t p u r a a p p l 1 2 3 ( 1 9 8 0 ) 。3 5 3 8 【4 】s i g o l d b e r g ，i n t e g r a b l i t i y o f a l m o s t k a e b l e r m a n i f o l d s ，p m c a m e r m a t h s o c 2 1 ( 1 9 6 9 ) ，9 6 - 1 0 0 5 】t o g u r oa n dk s e k i g a w a , f o u r - d i m e n s i o n a la h n o s tk a e h l e re i n s t e i na n d - e i n s t e i nm a n i f o i d s ，g c o m d e d i c a t a6 9 ( 1 9 9 8 ) 9 1 11 2 6 t - o g u r oa n dk s e k i g a w a , o ns o m ef o u r - d i m e n s i o n a la l m o s tk a n h l e re i n s t e i n m a n i f o l d s ，k o d a im a t h j 2 4 ( 2 0 0 1 ) ，2 2 6 2 5 8 【7 】t o g u r oa n di cs e k i g a w aa n da y a m a d a , f o u r - d i m e n s i o n a la l m o s tk a e h l e r e i n s t e i na n dw e a k l y 。e i n s t e i nm a n i f o l d s ，y o k o h a m a m a t h j 4 7 ( 1 9 9 9 ) 7 5 9 2 【8 倒ic d r a g h i e i ，o ns o m e4 - d i m e n s i o n a la l m o s tk a e h l e rn m u i f o l d s ，k o d a i m a t h j 1 8 ( 1 9 9 5 ) 1 5 6 - 1 6 8 【9 】t c = d ic d r a g h i e i ，o nt h ea l m o s tk a c h l e rm a n i f o l sw i t hh e r m i t i a nr i e e lt e n s o r , h o u s t o nj m a t h ，2 0 ( 1 9 9 4 ) ，2 9 3 2 9 8 【l0 】k s e k i g a w a , o ns o m e4 - d i m e n s i o n a lc o m p a c ta l m o s th e r m i t i a nm a n i f o l d s j r a m a n u j a nm a t h s o e 2 ( 1 9 8 7 ) 1 0 1 1 1 6 【1 1 d e 8 1 a i r , n o ne x i s t e n c eo f 4 - d i m e n s i o n a la l m o s tk a n h l e rm a n i f o l d so f c o n s t a n t c u r v a t u r e ，p r o c a l r l o r m a t h s o c ( s e r i e sa ) 1 1 0 ( 1 9 9 0 ) ，1 0 3 3 1 0 3 9 1 2 】w p t h u r s t