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西南大学硕+ 学位论文 摘要 r e c i p r o c a lp o l y n o m i a lw i t hs m a uh o u s e 基础数学专业硕士研究生方云飞 指导老师吴强教授 摘要 一个代数整数q 的“房子”是它的所有共轭根的最大模值，用同表示。我们 所研究的问题，是源于s c h i n z e l - z a s s e n h a u s 猜想：是否存在一个常数c 1 1 ，使 得如果同 1 ，那么同 1 + c 1 d ，其中d 是a 的次数。这个猜想提出以后，很多 数学家对此进行了大量的研究，并取得一些重要的成果。其中之一由s i n y t h1 9 7 1 年获得，是针对非互反的情形。他证明了如果q 是一个次数大于1 的非互反代数整 数，那么同 1 + l o g 如d ，其中如是x 3 一x 一1 的实根。 1 9 8 5 年 b 0 8 5 】b o y d 给出了用于计算具有较小“房子”的代数整数的算法。 他用这个算法计算了所有具有较小“房子”，次数小于1 2 的代数整数以及次数小 于1 6 的互反代数整数。r h i n 和吴强 r w 】在2 0 0 7 年将这种计算扩展到2 9 次。 在我们的工作中，我们用算法找出所有具有较小“房子”，次数小于2 6 的互 反代数整数 f l w 】。在算法中我们使用整超限直径，辅助函数和半无限线性规划 法的理论，这些能给出具有较小“房子 的互反多项式的系数较好的界。 作为研究生期间研究工作的一部分，我们还讨论一类特殊的丢番图方程，并 给出了x 3 士8 = 1 3 y 2 的全部整数解f f a n 9 1 关键词：代数整数最大模整超限直径辅助函数半无限线栏规划法不定方程 西南大学硕士学位论文abstract r e c i p r o c a lp o l y n o m i a lw i t hs m a uh o u s e m 可d fb 口s i cm o 统e m 口挽 却e c i 口托匆? 仃妒u t 口抚d 仃死t m 6 盯统e d 阿 s 叩e r 沈s d 口p n 旺w 也q i 口唧 a t 纨d f n 凹玩咖i ( s 2 0 0 5 0 9 4 7 ) a bs t r a c t t h eh o u s eo fa na l g e b r a i ci n t e g e ri st h em a 硒m 以m o d u l u so fi t sa uc o n j u g a t e 8 ， d e n o t e db y 风w bw r i t et h i st h e s i s ，d u et 0t h es c h i n z e la n dz 够n h a 璐c o n j e c t u r e ： t h e r ei s 趾a b s o l u t ec o n s t a n tc l 1 ，叭c ht h a ti f 同 1 ，t h e n 同1 + c 1 d w h e r edi st h ed e g r e eo f 口 m 瓤l yt h e o r e t i c a ll o w e rb o u n dh a db e e no b t a i n e db y d i 艉r e n tp e o p l es i n c et h e n o n ei m p o r t 锄tr e s u l ti sd u et os m y t hi n1 9 7 1 ，f o rt h e n o n r e c i p r o c a lc a s e h ep r o v e dt h a ti f 口i san o n r e c i p r o c a la k e b r a i ci 1 1 t e g e r0 fd e g r e e d 1 ，t h e n 同1 + l o g 如d ，w h e r e = 1 3 2 4 7 i st h er e a l lr o o t0 fx 3 一x 一1 i n1 9 8 5 ，b o y d 【b 0 8 5 】ga ：y eaa l g o r i t h mt o a r c hf o rt h es m a u e s th o u 0 fa l g e - b r a i ci n t e g e r s0 fd e g r e e 1 2 ，a n dr e c i p r o c a l2 l 1 9 e b r a i ch l t e g e r so fd e g r 1 6 i n 2 0 0 7 ，r h i na n d 叫r w 】e x t e n d e dh i sc o m p u t a t i o n a l 跚a r c ht od = 2 9 i nt h i st h e s i s ，w eu 鼬a na l g o r i t h mt os e 甜c hf o rr e c i p r o c a la l g e b r 越ci i l t e g e r s 而t hs m a uh o u 0 fd e g r 2 6 【f l m o u rc o m p u t a t i o nu s eam e t h o dc o n c e r n e d t h et h e o r ) r0 fi n t e g e rt r a n s 丘n i t ed i a m e t e r ，a u ) d l i a 巧f u n c t i o na n ds e 血- l i n e a rp r 0 - g r a m m i n g t h e s et o o l sa r eu s e dt og i 、，e9 0 0 db o u n d so nt h ec o e m c i e n t s0 ft h e m i n i m a lp o l y n o m i a lo fr e c i p r o c a l lq i nt h i sw o r k ，w ed i j s c u s sa b ot h ed i o p h a n t i n ee q u a t i o na n d 百v ea l l lt h ei n t e g e r s o l u t i o n so fx 3 士8 = 1 3 y 2 f f a n d k e y w o r d s ：a l g e b r 缸ci n t e g e r ，m a 硒m a l lm o d u l u s ，a u ) d l i a 巧f u n c t i o n ，i n t e g e r t r a n s f i n i t ed i a m e t e r ，s e m i i n 丑n i t eh n e a rp r o g r a m m i n g ，d i o p h a n t i n ee q u a t i o n 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了标注。 学位论文作者：商三、弘 签字日期：矿f 年了月彤日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生部可以将学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：万主凡 签字日期：尴年乡月入弓日 导师签名： 吴强 签字日期：抛口孑年厂月2 弓日 p r e f a c e h i s t o r i c a u y c o m p u t a t i o nh 嬲b e e nad r i 、，i n gf o r c ei nt h ed e v e l o p m e n to fm a t h e m a t i c s ，1 bh e l pm e a s u r et h es i z 鹤o ft h e i r 舶l 出，t h ee g y p t i a n si n v e n t e dg e o m e t r y t oh e l pp r e d i c tt h ep o s i t i o n so ft h ep l a n e t s ，t h eg r e e l 【si n v e n t e dt r i g o n o m e t 丐 n o w 8 d a y s ，c o m p u t a t i o ni j sm o r ei m p o r t a n tt h a ne v e r o n em a t h e m a t i c a la r e a w h e r et h en e we m p h 嬲i 8o nc o m p u t a t i o ni sc o m p u t a t i o nn u m b e rt h e o r y i tp l a y sa n i n c r e 嬲i n g l ys i g n i a n tr o l ei nc o m p u t i i l g 锄dc o m n l u n i c a t i o n s ，鹊嘶d e n c e db yt h e s t r i k i n ga p p l i c a t i o n si i lt h e 丘e l d s 嬲c 聊t o g r a p h ya n dc o d i n gt h e 0 a n d o n a sw ek n o w ，f 址t o r i z a t i o ni n t op r i m e si 8av e 巧b 嬲i ci s s u ei nm l m b e rt h e o 吼 b u te s s e n t i “ya ub r a n c h e so fn u m b e rt h e 0 巧h a v eac o m 】) u t a t i o n a lc 印0 n e n t a n d i ns o m e 缸e 船t h e r ei ss u c har o b u s tc o m p u t a t i o n a ll i t e r a t u r et h a tw ed i s c u 蹈t h e a l g o r i t h m 8i n v o l v e d 鹪m a t h e m a t i c a u y8 t u d yo b j e c t 8 s o m e t i m 鹤w eh a 、r et oc 缸巧ah u g em o u n to fc o m p u t a t i o nt og e ts o m ei n f o r m a t i o n h 孵v e r ，i tc o s tm u c ht i n l eb e c a u o ft h eh l i t e df a u c i u 蚵o fo u rm a c h i n e ， a n di ns o m ec a s ew ee 、e nc a n ta 肋r dt h et i m e t h e nt h e o r e t i c a lp r o g r 8o ra b e t t e ra l g o r i t h mi sn d e d t h j si sw l l yt h e8 t u d yo fa l l g o r i t h mb e c o m e sm o r ea n d m o r ei m p o r t a mi ns o m em a t h 丘e l d t h e r ea r em a n ye 】( a m p l e st h a ta l g o r i t h mp l a y s a ni m p o r t 鲫l tr 0 1 ei n8 0 l v i n gm a t h e m a t i c 8p r o b l e m f 研e x 锄p l e ，t h el 1 j la l g 争 r i t h m ，m a d eb ya k l e n s t r a ，h w l e 璐t r aa n dl l 0 、r 毛钇i i l1 9 8 2 ，i sf u n d a m e n t a l i m p o r t a n ti nt h es t u d yo fl a t t i c e 丘e l da n dh 嬲m a j l y 印p u c a t i o n si n0 t h e r 丘e l d s 1i n t r o d u c t i o n s u p p o s e 口i san o n z e r 0a k e b r a i ci n t e g e r0 fd e g r e ed ，w i t hc o n j u g a t e 8a 1 = q ，q 2 ，口d ，a n d p = 6 0 x d + 6 l x d 一1 + + 6 d 一1 x + 6 d ， w i t h6 0 = 1 ，i t sm i n i m a lp o l y n o m i a l t h e d u s eo f 口，d e n o t e db y 同，i st h el a r g e s t a b s o l u t ev a l u eo fi t sc o n ju g a t e s l e tt h e d 让s eo f 尸，d e n o t eb y 冈，e q u a lt ot h e h o u s eo fa c l e a r l y 同1 ，a n di fqi sar 0 0 to fu n i 钒t h e n 同= 1 ac o r o l l a 巧o f k r o n e c k e rt h e o r e m k r ls h o w 8t h a tt h i si st h eo n l yc 锚et h a tt h em i n i m u mv 龃u eo f 同i sa t t a l i n e d t h e o r e m1 1 口巾o s eq 诂口佗d 佗勰加口匆e 6 m i c 轨留e r 吖d 叼他ed 7 现e 仃 同= 1 矿口n dd 佗冶矿口拈口r d d td ，让倒匆 t h ep r o o fw i ub eg i 、伧ni nc h a p t e r2 i n1 9 6 5 ，s c h i n z e la n dz a s s e n h a u s 【s z 】p r o v e df o u o w i n gt h e o r e m s t h e o r e m1 2 可口n d 舭e 口幻e 6 m i c 饥厶叼e r 口诂竹d t 口彻d d ，t 嘲匆巧d 留r 贸 d ，谢跏2 sc d 竹印f c d 他和四口t e s 了现e n 同 1 + 4 一卜2 ( 1 1 ) t h e o r e m1 3 可妇口d 口蜥他以a 幻e 6 他t ct n 蛔9 e r 盯d 留r 贸d ，i e 口朋c d 竹 歹叼口t e s 盯p 口他他口磁如化佗加m2c o s7 7 r pm 坑d 亿口砂z 巩e n 冈 2 + 4 2 d 一 ( 1 2 ) t h e ys e et h a t 同a n d 同i s m c hg r e a t e rt h a nt h er i g h th a n dn u m b e rg i v e ni n ( 1 1 ) a n d ( 1 2 ) ，r e s p e c t i v e l y t h e nt h e ym a d et h ef o u a w i n gc o n j e c t u r e ： c d 巧e c t t 他俾别吼e 他话口幻眦t 口mc l 0 ，s 让曲纨口t 矿同 1 ，纨e 亿同 1 + c 1 d w bc a l lp ( z ) i s 他c 印r d zi f 尸( z ) = p ( z ) ，w h e r ep + ( z ) = 一p ( 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