（工程热物理专业论文）基于正弦相位调制的光栅干涉法测量振动物体面形的研究.pdf

摘要 摘要 正弦相位调制干涉测量法是对参考光束进行正弦相位调制，并对干涉信号 进行分析，求出被测物体物理量的方法。该方法具有结构简单、测量精度高、 抗干扰能力强等优点。在位移、振动、表面形貌、微角度测量等领域已成为一 项重要的高精度测量技术。 在本论文中，首先介绍了光栅副中光的衍射及干涉现象和频谱分析原理， 并阐述了光栅调制测形原理。 其次，根据正弦相位调制光栅干涉法的原理对一个振动物体的二维表面形 貌进行测量，选择合适的光学元件后，经过光路系统的搭建和调试，对带有正 弦振动的塑料板进行实验测试，通过高速工业相机采集到一个正弦振动周期内 不同时刻的干涉条纹。 最后，根据位相物体的光学显示方法，用m a t l a b 软件编写程序，对在一 个正弦振动周期内三个不同时刻的干涉条纹图像进行处理分析和数值计算，分 别是位移振动到正最大、位移振动到接近零和位移振动到负最大的三幅干涉图， 求出这三幅干涉图的相位分布，进而结合相位分布与振动物体面形的关系，得 出了振动物体在这三个位置的二维表面形貌分布，从而绘出相应的振动物体的 面形图。 实验表明，正弦相位调制干涉测量法能够对十微米数量级左右的振动物体 进行二维表面形貌测量，因此具有实用价值。 关键词：振动测量；光栅干涉仪；正弦相位调制；面形 a b s t r a c t t h es i n u s o i d a lp h a s e m o d u l a t i n g ( s p m ) i n t e r f e r o m e t r yi st h a tp h y s i c a lq u a n t i t i e s 羽em e a s u r e db ya n a l y z i n gi n t e r f e r e n c es i g n a l w i t hr e f e r e n c eb e a m ss i n u s o i d a l p h a s e m o d u l a t e d t h ei n t e r f e r o m e t r yh a ss o m ea d v a n t a g e s ，s u c ha ss i m p l es y s t e m ， h i g h a c c u r a t em e a s u r e m e n t ，s t r o n ga n t i j a m m i n gc a p a b i l i t ya n d s oo n ，t h u si th a sb e e n u s e dt o d i s p l a c e m e n t m e a s u r e m e n t ，v i b r a t i o n m e a s u r e m e n t ，s u r f a c ep r o f i l e m e a s u r e m e n t ，e t c i nt h i sp a p e r ，t h ed i f f r a c t i o na n di n t e r f e r e n c ep h e n o m e n o no ft w og r a t e sa n d f r e q u e n c yp r i n c i p l ea r ea n a l y z e d t h ep r i n c i p l eo fg r a t i n g 。m o d u l a t i n g m e a s u n n g s u r f a c ep r o f i l ei si n t r o d u c e d b a s e do nt h ep r i n c i p l eo fs i n u s o i d a lp h a s e - m o d u l a t i n gg r a t i n gi n t e r f e r o m e t e r , i n t h i sp a p e rat w o g r a t i n gi n t e r f e r o m e t e rw i t hs i n u s o i d a lp h a s e m o d u l a t i o ni su s e df o r m e a s u r i n gal a r g em o v e m e n to fa s u r f a c ep r o f i l eo fa no b j e c t c h o o s i n ga p p r o p r i a t e o p t i c a le l e m e n t ，b ys e t t i n gu pa n dd e b u g g i n g t h i so p t i c a ls y s t e m ，t h em o v e m e n t so f m es u 】r f a c ep r o f i l eo fap l a s t i cp l a t ew i t hs i n u s o i d a lp h a s e - m o d u l a t i n ga r em e a s u r e d t h ei n t e r f e r e n c es t r i p ep a t t e r n sw i t hd i f f e r e n tt i m e sa r ec o l l e c t e dw i t h i no n eg r a t i n g p e r i o d a tl a s t ，a c c o r d i n gt ot h ew a y so fp h a s e o b j e c to p t i cr e v e l i n g ，ac o m p u t e rp r o g r a m i so r g a n i z e db yt h em a t l a bs o f t t h i sp r o g r a mi s f o ri m a g ep r o c e s s i n g ，n 啪e n c c a l c u l a t i o na n df i g u r ep l o t ，a f t e r w a r dt h ed i s t r i b u t i o no ft h ep h a s ei sg a i n e d ，f a r t h e r m o r ew i t hm er e l a t i o nb e t w e e ns u r f a c ep r o f i l ea n dp h a s e ，t h ed i s t r i b u t i o n o f2 - d s u r f a c ep r o f i l eo fa no b j e c ti sf o u n d e d ，a tt h es a m et i m et h ef i g u r ea b o u ts u r f a c e p r o f i l ei sd r a wi nt h ec o o r d i n a t eo f t h r e ed i m e n s i o n s r e s u l tf r o me x i t i e r i m e n t s ，t h er e s o l u t i o no ft h i st e c h n i q u ei s i nt h eo r d e ro ft e n m i c r o n sa n da2 - ds u r f a c ep r o f i l eo fav i b r a t i n go b j e c tc a nb em e a s u r e d s ot h i s m e t h o di sm o r ep r a c t i c a l i t yt h a no t h e rw a y s k e yw o r d ：m o v e m e n tm e a s u r e m e n t ；g r a t i n g i n t e r f e r o m e t e r ；s i n u s o i d a lp h a s e m o d u l a t i o n ： s u r f a c ep r o f i l e i i 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特j c i , d u 以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已羟发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得直昌太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) ：赖磊娲签字日期：如7 年6 月f i 目 学位论文版权使用授权- t l 本学位论文作者完全了解直昌太堂有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权直昌太堂可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究 所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向 社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：鞭耄娲 签字日期：加( 7 年6 月1 1 日 导师签名：- - - 7 , 移 签字醐玻哆吖日 第1 章前言 1 1 研究背景和选题依据 第1 章前言 凡是利用光学原理进行精密测量的技术，都称为光学测试技术。自7 0 年代 开始由于激光技术、光波导技术、数字技术、计算机技术以及傅里叶光学的出 现，使光学发展成近代光学。以激光为代表的近代光学促使光学测试技术出现 更多新方法和新技术，从而开始形成近代光学测试技术。利用光学进行精密测 试，一直是计量测试技术领域中的主要方法。由于光学测试方法的非接触性， 高灵敏性和高精度性，因此在近代科学研究，现代技术，工业生产，空间技术， 国防技术中得到广泛应用，成为一种无法取代的技术。特别是激光技术，微电 子技术与计算机技术的发展，使光学测试技术向近代光学测试技术方向发展【l j 。 光学方法研究位相物体是人们惯用的方法。历年来发展起来的方法主要有 阴影法、纹影法、散斑法【2 1 、莫尔条纹法【3 1 、干涉法和全息法。最早的阴影法和 纹影法，虽然具有简单易实现的优点，但他们的测量精度低，一般只适用于定 性研究。要定量研究，主要用后面的方法。干涉法是基于位相偏移的一种光学 检测技术，它的测量精度在这些已有的测试方法中最高，但实现干涉的条件也 很严格，从测试环境到具体的每一个光学元件，都有严格的规定，否则干涉条 件不能实现，条纹无法形成。全息法形成的光学条纹复杂，条纹的解释困难， 在定量测量方面也不常用，但在全息成像和光学防伪方面有重要的应用。散斑 和莫尔条纹方法，因其较容易通过实验得到有效的结果，便于计算和处理，是 光学测量领域的重要方法。但散斑和莫尔条纹方法的测量精度比光学干涉法要 低，因此要实现更高精度测量，主要还是用干涉的方法。干涉测量技术是以光 波干涉原理为基础进行测试的一门技术，现在已是实验物理学的重要方法之一， 随其的应用，正扩展到其它科学分支。与一般光学成像测试技术相比，干涉测试 技术具有更高的测试灵敏度，尤其激光的出现及其在干涉测试技术中的应用， 以及干涉仪与计算机的结合，不但进一步提高了测试精度，而且扩大了测试范 围，提高了测试速度，实现了干涉条纹的实时自动分析。因为在干涉测试中， 干涉仪是以干涉条纹来反映被测件的信息，所以干涉条纹的自动扫描和处理是 第1 章前言 近代测试技术中的发展方向。 正弦相位调制最早由日本的o s a m is a s a k o 教授提出，在迈克尔干涉仪中的 参考光路中用一个压电陶瓷( p z t ) 正弦调制参考光路的光程，从而达到正弦调制 干涉相位的目的。根据国内外科技文献资科的介绍，正弦相位调制( s p m ) 干 涉测量技术已是一种先进的高精度干涉测量技术，可用积分法、微分法、傅里 叶变换法等求出相位分布，具有移相简单、无需识别单个条纹的特点。它从测 量位移f 4 】到测量振动【5 】5 ，从测量阶梯形貌【6 1 到二维旋转角度【7 】，从实验平台到普 通平台，具有结构简单、调制方便、稳定性好、精度高、抗干扰能力强，能在 复杂噪声环境下工作，已成为干涉测量中的一种重要方法。而表面形貌干涉测 量技术是一种高精度的非接触式测量技术，在工业生产和科学研究中具有广泛 的应用，本课题选择用正弦相位调制的光栅干涉法研究振动物体的面形。 1 2 课题来源和研究意义 本课题属自选课题。在光学测量中，高精度的相位测量是十分重要的，相 移干涉测量法具有简单的装置系统，因此在光学测量中己被广泛的用来获得二 维相位分布。叭，在测量过程中如果测量的物体保持不变，则获得的干涉条纹就 可以用来计算物体的相位分布，因此，相移干涉测量仪通常很难测量一个快速 振动的物体。在过去的几十年旱，对应用相移干涉测量法测量动态过程已经做 了很多的研究工作，多波段的偏振法【1 1j 和基于光栅的偏振相移法【1 2 】同时用带有 分析器四分之一波面的板记录了干涉条纹，像素相位板模动态干涉测量仪【1 3 j 用 偏振的电子束分束器和相位板模测量所有的干涉图样，这些干涉图样是在一次 发射中检测器阵列检测到的，在电子的相移莫尔条纹方法中【l 训，利用电脑产生 相关的相移莫尔条纹。这些技术已经很成功的用在各种装置中，但这些方法大 多要求特殊的装置和硬件或者是复杂的数值计算。一个简单的相移干涉测量仪 被提出来测量一个物体的振动情况【l5 1 ，这种方法就是在物体上加一个反射镜， 这个反射镜的作用是用来产生不同的相位移动和相移数据被同时记在线性的检 测器阵列上，这个干涉测量仪能成功的用在测量一维的动态情况，但很难应用 于测量二维动态情况。另一方面，正弦相位调制干涉测量法【l6 】对于测量物体的 动态情况是一个简单的方法，这种方法同样成功的用于测量物体的位移【1 7 】。对 于测量一个物体的动态的技术中，傅罩叶变换的条纹投影法【l8 】已经应用于测量 2 第1 章前言 一个物体的形貌【1 9 】，用分析时间条纹的阴影条纹法同样也被提出来了【2 0 之1 1 。这 些方法都只适用于测量几十个微米数量级以内的测量而不能应用于测量更小数 量级的动态物体。本课题应用了一个带有正弦相位调制的光栅干涉测量法来测 量一个振动物体的面形，这种方法不但能够对十微米数量级左右的振动物体进 行测量，而且能够测量振动物体的二维表面形貌。物体的二维面形测量具有十 分重要的价值，在计算机辅助设计、数控加工技术、产品质量检测、医学甚至艺 术领域都有广泛的用途位相测量轮廓术由于对物体表面反射率的变化不敏感， 具有较高的测量精度，易实现自动测量，因而被广泛地研究。表面形貌对器件的 功能有很大的影响，随着微电子技术、微机电系统技术的飞速发展，制造出的 器件尺寸越来越小，加工精度越来越高，因此对工业生产和科学研究的发展具 有积极意义。 1 3 本文所做的主要工作 准确理解正弦相位调制干涉原理和方法后，选择用正弦相位调制干涉法研 究振动物体面形，选择振动的塑料片为实验对象，研究振动物体在不同时刻的 面形。 根据测量对象准备合适的光学元件、高速工业数字相机、扬声器和信号源， 设计、搭建光学系统，对振动物体反复调试得到满意的光学条纹。 采集干涉条纹图像，用m a t l a b 软件编写计算机程序对干涉条纹图像进行 处理和计算，求出振动物体在不同时刻面形的分布，绘出二维面形图并分析实 验结果。 第2 章光栅副的干涉法 第2 章光栅副的干涉法 2 1 光栅副的干涉原理 2 1 1 基波与谐波 由光学原理可知，- - n 平面光波经g 1 栅衍射后，将分解成按不同方向传播的 平面波列，而且g l 栅的( n + c ) 级光束在g 栅上所产生的( m c ) 级衍射，将与参考 光束( ，z ，m ) 同属一个级组。下面将讨论同一级组中各序衍射束间的干涉现象。 波动光学中，通常以波阵面( 又叫波前) 沿其法线方向的推进情况来描述 光的传播面貌。在各向同性媒质中，波面是等相位面，而其法线就是几何光学 中所说的法线。所谓光程，指的是波面在传播方向上的几何路程与介质折射率 之乘积。对于空气介质来讲，折射率差不多等于l ，因此可用法向几何路程来表 示波面的光程。 波面由某一参考位置传播到空间不同位置时的路程差叫做光程差。在莫尔 光栅副中，感兴趣的是研究n 序波面由g l 栅上某一点传播到q 栅各个透光缝隙 中心时的程差变化规律。如图2 1 所示，n 序波面由g 1 栅上一点o 出发向g 2 栅 传播，到达a 、b 两点时的光程分别是见和风，于是波面由a 到b 的光程差 a 爿b = 成一成= l s i n 成 ( 2 1 ) 这里，尾是n 序波面的衍射角，1 为g 2 栅上a 、b 两点间的距离。 4 第2 章光栅副的干涉法 入射光 _ 1 - - 卜 ，! 呸 u l b a 图2 1 胛序波面冈传播引起的光程变化 位相是表征波动状态及其周期性变化特征的重要物理量。对于在空气介质 中传播的平面光波来说，它在传播方向上两点间的位相差万取决于两点间在传播 方向上的几何间隔，万= 2 x ( a a , ) 。显然，当光程差是光波波长旯的整数倍 时，两个对应位置的波动状态相同，称之为同相或同步；当光程差是半波长的 奇数倍时，两个波动状态相差半个周期，故称之为反相。 当任一光栅沿着与主栅线纹相垂直的方向平移时，如图2 2 中的x 方向，由 于动栅上透光缝中心位置变化，故入射到动栅或离开动栅的任一序波面的光程 也随之变化，其数值将随衍射级序的增加而按正弦规律增大。 图2 26 2 栅位移时引起g l 栅刀序波面的位相变化 现在考虑( 拧+ 聊) 级组中的任意两束光，即( 刀，棚) 光束与【( 刀+ c ) ，( 肌一c ) 】光 5 iib，lbp q十旺 目刖目jl雕滞 一 一 q z i + 一 0 p ：+ 一| 疆 l。染| 第2 章光栅副的干涉法 束，设，表示因光栅副的相对位移而引起的( 疗，历) 光束光程差的变化量，4 为 对应的位相变化；而另一束 仍+ c ) ，( 所- c ) 的光程和位相变化分别为盯和磊。 由上面分析可知 4 ：孚，一2 ，7 rl 、 s i n 成“n 尾) 磊：等，：等i n t 哆n + c + s i n 成一。) ( 2 2 ) 两路光的相位差变化量万等于各自的相移量之差： 艿= 磊一4 = 兰箸 ( s i np + 。- s i n 成) + ( s i n 成一。- s i n 羼) ( 2 3 ) 由于同一级组中的各光束其衍射角相同成= 成。，并引用光栅方程式，于是任 意两束光由于一栅平移而引起的相位差变化量 万= 等，( 坐五一旦炉2 pp万三p c ( 2 4 ) 名 、7 i ：t ：t ( 2 4 ) 式可知：当光栅副相对移动一个节距( 即l = p ) 时，相对于选定的参考 束( 刀+ m ) 而言，【( ，z + c ) ，( m c ) 】光束的相位变化了c 个周期；在同一级组的各个 分量中，只有c = l ( 即与参考束紧邻) 的两束光，其相位变化周期等于光栅所 移动的周期数。这样，我们将参考束和与之紧邻的c = 1 的衍射束叫做该级组的 基波，而该级组中的其它分量则称为谐波，并根据对应于c 值而分别叫做二次， 三次以至n 次谐波。 通常，光栅低级次衍射的光能量要比高级次的大得多，因此实际应用中常 选用一级组，即综合衍射级次( 刀+ m ) = 1 的那一群光束。至于参考束，将按照“等 效衍射级次”最低的原则确定。所谓等效衍射级次，是指每一路光在两栅中的 衍射序绝对值之和h + i 聊1 等效级次越低则其光能量越大。 综上所述，当莫尔条纹主要由基波分量构成时，则通过光栅上某一点的条 纹数将等于两栅相对位移的节距数；当莫尔条纹主要由某一谐波量 ，构成时， 则光栅上某一点移过的条纹数等于两栅相对移动量的l l n , ，亦即分辨力为基波时 的n i 倍；当莫尔条纹由基波及谐波分量共同组成时，其位移灵敏度基本上由基 6 第2 章光栅副的干涉法 波周期确定，但在一个周期内存在次幅度起伏，换言之，波形正弦性不理想。 似乎也可选用零级组，它的( 0 ，o ) 光束的振幅比一级组的( 1 ，0 ) 和( 0 ，1 ) 光束更 大；但是，因其它分量的等效级序都在2 以上，由干涉理论可知，在振幅不同 的两束光相干涉时，条纹调制度将下降，因此通常不选用零级组。 总之由于一级组中含有周期等于基波周期整数倍的谐波分量，因而使合成 波的幅度和对比度降低，波形正弦性也不好。为此，应从光栅结构、光路系统 以及进行空间滤波等方面采取措施，设法消除光栅副的谐波量或减弱它们的影 响，以求得到等光强双光束干涉条件。 2 1 2 衍射光的干涉 现在讨论一级组的( 1 ，o ) 和( o ，1 ) 两路基波的干涉图案。它们在透镜厶后焦点上 的合成光强取决于两路光到达该点时的位相差。当透镜厶按照图2 3 的位形配置 时，由于透镜系统的等光程性，两基波在c d 面上的干涉场与透镜厶后焦点上的 合成光场是等效的( 或共轭的) 。由于两栅线纹的交叉叠放，使得在与y 轴垂直 的各个横截面上，同序透光缝具有不同的x 坐标，其结果，两相干光束的相位 差将随各横截面的y 坐标而变化。换言之，干涉场不是均匀的，它的幅度将沿y 方向起伏。因外，影响两干涉束位相关系的因素还有光栅结构和两栅间隙等。 图2 3 基波光路配置图 7 第2 章光栅副的干涉法 1 光栅结构的影响 使用闪耀型衍射光栅时，光束从到达至离开光栅沟槽都产生相位变化。 设鼯1 和鼯2 分别表示零序光通过g l 栅和( o ，1 ) 序光通过g 2 栅时引起的相移量，而 鼯1 和露2 分别表示一序光通过g l 栅和( 1 ，o ) 序光通过g 2 栅时引起的相位变化，那 么光栅沟槽引起的位相变化量 万( g ) = ( 爵1 + 砰2 ) 一( 酽1 + 爵2 ) ( 2 5 ) 对于振幅型黑白光栅来说，它属于透光与不透光窄条相间排列的平面结构，只 改变光场振幅，而相位并无附加变化，即万( g ) = 0 。 2 两栅间隙量的影响 由图2 3 可知，两光波到达c d 面的光程分别为线段( a b + b d ) 及线段 a c ，令两栅间隙量为f ，由此引起的两基波位相差 万( f ) ：孥 ( 彳b + b d ) 一a c 九 2 差蘸1 + ( - t g t 8 0 + t g f l ) s i n 卧上c o s f l 。】 亿6 ， ：车旺生掣一生蛆】 一 五。 c o s 反c o s f l l 1 = 百2 i ，【c 。s 成一c 。s 屈一；留屈】 通常，光束入射角口很小，而光栅节距p 又比波长五大得多，所以( 五培属) p 可 以忽略不计，使上试简化为 万( f ) ：三三f ( c 。s 属- - c o s 属) ( 2 7 ) l 3 两栅位置状态的影响 8 第2 章光栅副的干涉法 g l 珊 徭 + i | + y 銎o ，2 卫 世“ g l 栅= = 幸耳 i = = = = 呸珊土2 丝炉泊黼 _ ll + 一 图2 4 两栅位置状态对位相差的影响 如前所述，两栅同序透光缝在x 方向上的移位将引起入射或出射波面间 的程差变化。为方便起见，把两栅的线纹交角的平分线定为y 轴，光栅面为y o x 面，并假定在y = 0 的横截面上两栅的透光缝中收完全重合( 即同序光缝一一对 齐) ；参照图2 4 ，在y 0 的其它横截面上，两栅上同序光缝的中心不再重合， 而是如图2 4 中虚线所示，即沿x 轴方向错开了( 2 a x ) 的距离。这里，缸的数值 可由图中简单几何关系求出。 丹 a x = y t g - 。i ( 2 8 ) z 若将a x 视为动栅的平移量，于是可引用分析一栅平移时所得的结论，来建立相 位差的y 向变化规律 万( y ) ：竿- 2 n 2 a x e s i n 属一s i b f l l = 2 a 7 r2 少( 留罢) 【s i n 口一( ；+ s i n 口) 】 = 7 2 n - z _ 鹏j 0c 。s 兰= 2 万y ( 尸2 s i n i o ) 综合上述各项，两基波干涉场可由以下强度公式表征： m ，y ) = 口? + + 2 a l a 2c 。s 【k + 等y 】 9 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 第2 章光栅副的干涉法 k = 6 ( g ) + 三t ( c o s ；：o - - c o s 届1 ) ( 2 1 1 ) p w = _ 二=( 2 1 2 ) 2 s i n 0 | 2 、。 通常又将干涉场强度公式作规一化处理，( 2 1 0 ) 式变为 2 1 + 厶c o s k + 管y 】 ( 2 1 3 ) 厶= 石2 a 爵i a 2 ( 2 1 4 ) 显然，由基波( 1 ，o ) 和( o ，1 ) 形成的亮度花样沿着y 轴按余弦规律变化；等亮 带( 即莫尔条纹) 垂直于两栅线纹交叉角的角平分线；y 方向上的亮暗周期 w p o ( 当口角很小时) ；厶表征条纹对比度，当两路光振幅相等时o = 1 ，光 强达到最大值；当两路光的振幅相差较大时，厶下降，条纹对比降低。 实际上，从光栅副出射的光有n 级组，每组又包含，2 个分量，因而( 2 1 3 ) 式 中的k 将是谐量级序n 的函数，或者说谐波改变了干涉场的初相角。这样一来， 合成信号将包含基波以及相角、频率均不相同的各次谐波，结果使合成信号对 比度下降，波形也不理想。所以，接收元件最好设置在接收透镜的后焦面上， 目的是确保只接收一个方向信息。此外可在光栅结构、光路系统等方面着手， 尽可能消除谐量，力求得到高质量和高对比的位置信息。 2 2 频谱分析原理 非相干照明下的莫尔花样是光栅副调制光场中的一种“节拍”现象，它可 用低于系统的原始节拍( 即光栅空问频率) 的信息分量来解释。为此，必须把 光栅副后面的合成透射光场变换为具有各种空间频率的信息分量之和，由观察 系统的低通滤波性能得到低频节拍花样所构成的莫尔条纹。 振幅透过率按o 与1 相间排列的线条光栅称之为矩形光栅，这是莫尔法中最常 用的光栅型式。矩形屏函数可展开为多种形式的付氏级数，或者说可以用无限 个不同角频率的余弦分量之和来逼近( 每一谐量的角频均为基频的整数倍) 。因 此根据信息光学原理，矩形光栅对于平行入射光幅度的调制作用，与一系列包 含基频和各次谐频的余弦光栅基元的联合调制作用等效。或者说，由入射光幅 度与光栅矩形屏函数的付氏展开式乘积所表征的光场就是光栅出射面上的场分 布。这样，就把复杂的光学问题变为线性框架内较为简单的数学运算。由于引 1 0 第2 章光栅副的干涉法 用了傅旱叶分析这一数学工具，诸如矩形光栅调制、光阑滤波及倍频特性等光 学现象，都可以通过分解为简单形式的基元函数的方法而方便地解决。 2 2 1 付里叶频谱 1 傅罩叶级数 众所周知，一个满足分段连续的以p 为周期的函数f ( x ) ，可以展开为由正 弦或余弦函数组成的、包含基频和各次整数倍谐频的三角级数，这就是付氏级 数。根据定义，函数f ( x ) 的付氏级数是 厂( x ) = a l o + c o s ( n c o x ) + b s i n ( n o j x ) ( 2 15 ) - n = 1 瓦甲缈是仝1 日j 里夏用频翠( c o = 2 x 尸) ；刀止整致；a 利b 为何比乐致，。e 1 i j 分别 为 一2 p 1 4 , 2 ：( x ) 出 ( 2 1 6 ) 一2 p , , p 2 ：一( x ) c 。s 脚础 ( 2 1 7 ) 吒= ；鲢似) s i n 刀缈砌 ( 2 1 8 ) 为了分析和计算匕的方便，r f 扪也可展开为复指数形式的付氏级数： ( x ) = e e x p j n m x g = | j - 肌1 2 ( x ) e x p 卜咖x 】出 式中，n 为正负整数，g 为复振幅。 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 矩形光栅是一种典型的空间周期结构，其调制光场当然可以进行付氏变换， 即把光栅的振幅调制函数( 或振幅透过率函数) 分解为具有不同空间频率的余 弦函数基元：研究每个基元对于平行光光场的作用，然后根据线性叠加原理， 综合各基元作用的线性和，便得到矩形光栅栏的调制光场。 根据上述式子，对于图示坐标系统的矩形光栅，其级数展开式分别为 第2 章光栅副的干涉法 f ( x ) = t + 喜刍p s i n c ( n c o r 2 ) c o s ( 觥) ( 2 2 1 ) f ( x ) = 圭n c ( n c o r 2 ) e x p ( 肿x ) 。( 2 2 2 ) y 振幅 厂 厂习厂 i + p i栅线 x 图2 5 矩形光脉冲图 2 傅里叶频谱 在上述付氏展开式中，6 0 = 2 t r p 称为基频，7 1 ( o 为谐频，i i 是刀次谐量的 复振幅，一纯= a r c t g c 是疗次谐量的相角。显然，各次谐量对应着不同的振幅系 数和相角，分析振幅与空间频率之间( 即幅频特性) 以及相角与空间频率之间 ( 即相频特性) 的关系，均称谓频谱分析，对应的图形叫做傅里叶频谱图。 2 2 2 矩形光栅副的调制光场( 空间域) 1 单块光栅调制 前面分析了矩形光脉冲函数的傅氏展开式，对于线条型光栅，如令其线条 部分的振幅透过率为零，而通光部分的振幅透过率为l 。对于平行入射的单位振 幅场来说，光栅后面的振幅场可按上述傅氏展开式描述。应该指出，由入射光 振幅与矩形函数傅氏展开式的乘积所表征的光场，就是光栅出射面上的场分布， 而不是离开光栅一定距离处的光场。后一种情况下，先要考虑由各个余弦光栅 基元所表征的衍射束传播到该位置时的相移，然后对各基元的单独贡献求和， 才能得到该处的场分布。 1 2 第2 章光栅副的干涉法 2 一对矩形光栅调制 第一块光栅( 即g 1 栅) 的作用是将一束入射平面波分解成具有不同传播方 向的平面波列，或者说在于把一个矩形激励展开为一系列余弦基元的振幅分布。 对于g 2 栅，来自g l 栅每一方向的平面波束( 或任一频率的余弦基元) 都成为新 的激励( 入射) ；每一激励与g 栅傅氏展开式乘积之和即为g ，栅后面的光场分 布。也就是说，g l 栅起分解作用，g 2 栅则对分解过光场再调制。设光栅副的合 成透过率为f ( t ) ，两栅的透过率分别为厂( g 1 ) 和厂( g 2 ) ，于是 厂( 丁) = f ( g 1 ) f ( g 2 ) ( 2 2 3 ) 令g 1 栅的线纹与y 轴平行，g 2 栅的线纹与y 轴成秒角( 顺时针方向) ，两栅节 距分别为置和最，透光缝宽分别为q 和吃，两栅之间的间隙为零，于是合成透 射率 朋h 等+ 扣咖争m 、a 2 0 2 + 喜岬s c 肌筹础川；删眨2 4 ) 或 厂( d = 丕o o g e x p m 筹枷 互o o ee x p j m 2 乞万( x c o s 9 - y s i n 0 ) 】) ( 2 2 5 ) 下面再将( 2 2 4 ) 式展开。为书写简洁，把每一组成项分别叫做( a ) 项，( b ) 项 等，于是 ，( r ) 一a 2 0 _ _ k 丁a 0 2 + 警善c 睾， + 警x 喜s 沏2 乞7 r ( x c o s o - y s i n o ) ) + t 喜”咖和， ( a ) ( b ) ( c ) 第2 章光栅副的干涉法 主c o s ( m 簪( 瑚s 秒一y s i n 劝) 口t=l,it 2 ( d ) 显然，g 栅出射面上的光场系由上式的( a ) 、( b ) 、( c ) 、( d ) 四项组成。下面 分别讨论每一组成项对光场的影响和特性。 1 ) ( a ) 项 ( a ) 项中不包含相位因子，属于零空间频率项( 简称零频项) 。在调制光场 中，( a ) 项是作为莫尔花样的背景存在的，或者说，莫尔条纹信号产生在由( a ) 项确定的亮背景上。若能采用滤波方法滤去零频，光场分布将引起衬度反转， 这一现象很容易在实验中观察到。 2 ) ( b ) 项 当两栅开口比均为1 时 = 磊1s i n ( 船孺c o s ( 鲁)，l 万z = f ( 2 2 6 ) 显然，( b ) 项中包含了频率为q = 2 r c p 。的相位因子，它反映了g l 栅的原始空间 结构，在调制光场中属于噪声项，由于空间频率较高，所以人眼往往分辨不出 来。对于偶次项，幅度均为零，这就是所谓“缺级 现象。 3 ) ( c ) 项 与( b ) 项相仿，当两栅的开口比均为1 时，( c ) 项可简化为 = 磊1s i n ( ，z 三) 薹c o s 胁2 乞7 c ( x c o s g - y s i n g ) 】 ( 2 2 7 ) 即( c ) 项中包含了频率为c 0 2 = 2 n c o s o p 2 的相位因子，它反映了g 2 栅的原始空 间结构，在调制光场中亦属于噪声项。 4 ) ( d ) 项 根据三角函数的和差化积公式( d ) 项可进一步演算： 1 4 第2 章光栅副的干涉法 式中 = 宝主c o s ( 刀和 2 片 - ( x c o s o - y s i n a n a m c o s ( m x e o s 0yi n=lm = l - 印 ( d ) = c o s ( 刀等川 。， 臼) l = 去c o s 【2 万( n = lm = l 墨昱 了m s i n 0j ，) 】 墨 1 + l 。o a y 删删e c o s 陬( 铲+ 警州 旺2 8 ， = ! 伽一手n = l 赫m = l 可2 7 r n ( s 州s i n 仍) 】 + 知喜扣c 筹。s 仍- y s i n 删 n n r + m e , c o s 0n m s i n 0 两2 1 声一；两8 1 n 仍21 ； _ 圮一茹c 础力 一：7 ：s i n 秒 ( 2 2 9 ) 两2 1 声一；万8 1 2 t 于是可导出各周期分量的周期w 及方位角缈： 彤= n e , ( m p l ) 2 + ( 幔) 2 + 2 n m p i p 2c o s 0 2 s l n 仍= ( m p ls 洒8 ) ，i ( m p i ) 2 ，+ ( n p 2 ) z + 2 胛峭足? 。s 叩 ( 2 3 0 ) = u e , 最 ( m p i ) 2 + ( 刀最) 2 - 2 n m p i p 2c o s 0 2 s i n6 p 2 = 一( 肌日s i n0 ) ( m p l ) 2 + ( 刀最) 2 - 2 n m p i p 2c o s 0 2 下面再分别讨论两栅节距相等和节距不等两种场合。 a 日= = p 时，可归结为m = n 和m n 两类组合，其物理含义是：或是 同频率的余弦光栅基元组合，或是不同频率的余弦光栅基元组合。对于前者， 彬= p 2 c o s ( 0 2 ) ，s i n f a , = s i n ( 0 2 ) ，= p 2 s i n ( 0 2 ) ，s i n f a 2 = - c o s ( 0 2 ) = - s i n ( 9 0 0 - 8 2 ) 把这些关系找入( d ) 项表达式，得到两种不同空间频率的光场分量： 撬c o s c 惫。s 知；n 争 2 ( 2 3 1 ) 疑c o s t 惫似孵一知s i 删。书 1 5 第2 章光栅副的干涉法 显然，前式所表征的周期性花样其空间频率主于光栅的原始频率，是一组与y 轴成9 2 角( j l l 页时针方向) 的高频周期花样；而后式表征的光花样其空间频率周期 形= p 2 s i n ( o 2 ) ，这是低频的莫尔条纹项，它的等亮带与y 轴成一( 9 0 0 一0 2 ) 角。对于后者，由于n 与m 的不同搭配，光场分布的空间周期及等亮带方位都很 复杂。参照上述方法，可列了周期和方位角的表达式： 肚面丽可云磊丽 q 3 2 疗 1 + ( ，卯刀) 2 2 ( 小玎) c o s 9 】2 增缈：- 工tj 兰( 2 3 3 ) 喀缈2 工 【z j j ， 胛+ m c o s 式中占= 1 ，表示m c o s 0 的符号与整个分式的符号相同。 b 鼻最时，可归结为幔= m e , 矛n ，z m 4 两类组合，这是粗栅和细栅反 搭配的方案。我们感兴趣的是前一种情况。如若两栅节距比( 最4 ) 为一整数m ， 即g l 栅每毫米线数是g 2 栅的整数倍，则根据上面导出的w s i n ( a 的表达式并 考虑m = n m ，便可求得两种光场分量的空间周期：= 只2 c o s ( o 2 ) 和 = 舅2 s i n ( o 2 ) = 最2 s i n ( o 2 ) m 。显然，前一项为高频噪音分量，后一项 为低频莫尔花样，莫尔项的位相因子为 喜互c o s t 学m o s ( 9 0 0 一争+ y s i n 。书 ( 2 3 4 ， 4 戥 喜互c o s 型等螋m o s ( 9 0 0 一0 + y s i n ( 9 0 。书 ( 2 3 5 ) 也就是说，若在两个光栅变换式中分别选用n 及p = n m 组合( 通过适当光路来 实现) ，便可获得低频光场分布，其空间频率等于密栅频率的2 s i n ( o 2 ) 倍，或等 于粗栅频率的2 m s i n ( o 2 ) 倍，m 为密栅与粗栅的节距比，称为光栅副的光学放 大因子( 或放大率) 。这样，在光栅莫尔系统中，长度较长的主光栅可采用容易 1 6 第2 章光栅副的干涉法 制造的大节距光栅，同时与小在积的细节距光栅配对，采用适当的光学系统而 选取1 1 及m = n m 光场分量，则莫尔条纹灵敏度取决于指示栅的线频( 或粗距主 栅线频的m 倍) ，从而对粗栅实现了m 倍光学细分。材料应力分析中广为采用 的莫尔条纹倍增法，就是这种粗栅与细栅搭配的莫尔装置。 2 2 3 相移定理 上一节的分析和结论有一前提条件，即两栅的透光缝中心在x 轴上处处重 合，且零序缝的中心均落在坐标原点处。现分析一栅沿x 方向移动，两栅合成 谱及对应幅值的变化。 厂 厂 厂 线条 一r ，2 + a x f ，2 + 缸 ii 厂 厂 厂 x _ 光栅移动方向 x 图2 6 光栅相对移动对光场分布的影响 令g 2 栅不动，而g l 栅沿x 方向位移了血距离( 图2 6 ) 。这时，动栅调制光 场的傅氏系数将有变化： g = 1 峥厂2 + 缸a x e 冲卜徊批= 去盖e x 卅加x ，恳：= r ，s i n c ( n c o r 2 ) e 印c 咖础， 1 7 第2 章光栅副的干涉法 于是，g 1 栅移动后其透过率函数 ( 2 3 6 ) f ( g o = 耋；陋，z c ( n m r 2 ) 】e x p ( 咖彩石) e x p ( 咖玫逸x ) ( 2 3 7 ) 显然，g 1 栅移动时，合成空间频谱没有变化，但与动栅相关的各谱的振幅均引 入了相位因子e x p + j n 缈& c 】，亦即合成光强将随光栅副的相对位移而周期性变 化；当相对位移量缸= p 时，合成光强改变了 个周期。如前所述，分光读数 头是基于n 与m 代数和相等的各频谱的叠加干涉，既然动栅移动缸= p 时，各 分谱具有不同的干涉相长( 或相消) 次数，因而表征位移变化的莫尔信息并不 是理想的正弦波形。 1 8 第3 章光栅调制测形原理 第3 章光栅调制测形原理 3 1 面形信息调制 投射到漫反射表面上的光栅线纹( 影或像) ，其形状和分布规律也随着表面 面形不同而变化。例如，平行规光垂直照明下，直线等距光栅在球表面上的影 子是一段段半径不等的圆弧，它是通过光栅线纹的平行平面与球表面的交线， 而在俯视图上则是等距平行直线，显然，投射到曲面上的光栅线纹受到表面轮 廓形状的调制，构成一块其面形与待测轮廓表面处处吻合的变形光栅。这种被 调制在三维轮廓面上的空间线纹族，被称之为“影栅 或“像栅”，它的分布情 况( 形状和位置等) 含有被投射表面的形状信息。 3 1 1 变形光栅图像的数学描述 设参考物平面r 上有一矩形光栅花样( 基准光栅的像或影) g ( x ，y ) ，考虑 图示坐标系统，它可表示成如下形式的傅里叶级数 g ( x ，y ) = 4 le x p ( 2 x j n f o x ) ( 3 1 ) ? l = - - o o 式中，f o = 1 p o 是r 平面上光栅图案的基频，以为各分量的幅度。 对于非平面物体，或沿z 方向移动、绕y 轴转动的平面物体，因表面位置偏 离参考面，故落在其上的光栅图像也与参考面上的不同，不但节距p 变化，其 光场分布函数也变化。 1 9 第3 章光栅调制测形原理 d 图3 1 平行光轴光路原理 图3 1 为平行光轴光路原理，s 点是光栅投影装置的出射光瞳，e 点是变形 光栅图案接收装置的入射光瞳，投影光轴和接收光轴与z 轴平行，参考面r 选 在x o y 面上。现考虑任意一根投射光线s c a ，当平面r 绕y 轴旋转口角时， 反射到接收装置的主光线将由原来的c e 位置变为平面旋转后的a d e 位置，对 应的x 坐标改变了c d 距离。其实，不论c 点、a 点与d 点，其光强分布均来 自同