（光学工程专业论文）空间孤子传输的研究.pdf

摘要 论文题目：空间孤子传输的研究 专业：光学工程 博士生：何影记 指导老师：汪河洲教授 摘要 空间孤子的稳定传输有很多方面的应用，对光学空间孤子，则可应用 到诸如光通信器件中的光开关和路由器等；对于b o s e - e i n s t e i n 凝聚( b e c s ) 原子孤子，则可应用到原子激光和量子信息等。另外，复杂( 如多峰) 的 空间孤子能够携带更多的能量和信息，故在信息处理方面显得更加有意义。 为了实现( 1 + 1 ) 维和( 2 + 1 ) 维空间光孤子的稳定传输，则系统的非线性 效应必须与光束的衍射达到平衡：而为了实现( 3 + i ) 维空间光孤子的稳定传 输，则系统的非线性效应必须与光束的衍射和色散同时达到平衡。但是， 往往这些平衡通常是难以实现的。为了实现空自j 孤子的传输，关键是寻找 能维持孤子稳定传输的非线性系统。 基于上述两点，本文主要寻找到维持孤子稳定传输的非线性系统：( a ) 在克尔的非线性介质中，采用诱导光对介质进行折射率的周期性调制( 形 成光致格子) ，从而稳定了孤子的传输：( b ) 通过在克尔的非线性介质中增 加了高阶非线性项和扩散项形成的耗散系统，实现了时空孤子的稳定传输。 利用这样的系统，本文的相当一部分的重要成果实现了复杂孤子( 包括： 极化孤子和项链孤子) 的稳定传输。具体的研究成果如下： ( 1 ) 我们第一次发现一种新型的光孤子：( i + i ) 维极化孤子。并且通 过使用一维大调制周期的光致格予，我们发现( i + i ) 维极化孤子能够被稳 定，这是由于格子势使孤子两个极产生了向心力，并且这向心力抵消了极 间固有的排斥力，这要求格子的周期必须大于孤子宽度约1 5 倍。我们发 现这样的孤子不但能够稳定地直线传输，也能够围绕格子的中心稳定地摇 摆传输。 ( 2 ) 我们第一次发现另一种新型的光孤子：时空项链孤子。并且通过 摘要 使用( 3 + i ) 维3 5 阶复系数的g l 模型来履行数字模拟，我们获得自陷的 时空项链孤子，这种自陷孤子能够携带零、整数和分数角动量。这种自陷 孤子能够克服微扰的影响而传输很长的距离。 ( 3 ) 我们发现表面带隙孤子能够在光致超品格和均匀的饱和自聚焦非 线性介质的分界面上存在并且稳定传输，我们称这样的孤子为：表面超晶 格带隙孤子。这样的孤子能够稳定存在于半无限带隙和第一带隙。一个显 著的动力学效果是：随着孤子功率的减少，表面带隙孤子从表面分离开来， 即：孤子从表面的格子跳到下一个格子，且可以开始逐次进入里面格子的 运动。这种横向跳跃的传输特性在单周期的表面孤子里已被证明是不可能 出现的，并且，这种特性使得孤子具有信号路由的潜在应用。 ( 4 ) 通过移动一个装有b e c s 原子的贝塞尔光致格子，我们发现静止的 b e c s 原子孤子相当容易地发生转动，这是格子的移动动量转移到孤子的角 动量缘故。当格子停止移动时，孤子由于惯性的作用能继续转动，这也大 大地避免了原子额外发热。尤其是，利用这种方法，孤子的转动能够被自 由地控制，包括：孤子的转动能够被加速、减速、逆转甚至停止在格子环 中的任何位置。这种能够自由地操纵b e c s 原子孤子旋转的结果无疑在原子 器件和量子信息方面具有潜在的应用。 ， 另外，本文也研究了光纤通信中孤子相位抖动的控制。由于差分的相位 位移键控( d i f f e r e n t i a lp h a s e s h i f tk e y i n g ) ( d p s k ) 已被很多文献证 明为在长距离孤子通信系统中能扩大通信容量。在这样的通信系统中，孤予 的相位必须要保持稳定。但是由于在光纤中，放大器产生的噪声会让孤子的 相位发生抖动。因此，本文通过采用非线性增益与滤波器结合来控制孤子的 相位抖动，发现，非线性增益与滤波器结合能够有效地控制孤子的相位抖动， 这个结果不但适合于长孤子而且适合于超短孤子。 关键词：空间孤子，光致格子，b o s e - e i n s t e i n 凝聚( b e c s ) ，相位抖动。 i i 摘要 t i t l e ：s t u d i e so fs p a t i a ls o l i t o n sp r o p a g a t i o n m a j o r ：o p t i c a le n g i n e e r i n g a u t h o r ：r i n g j ih e s u p e r v i s o r ：h e - z h o uw a n g a b s t r a c t s t a b l es p a t i a ls o l i t o n sh a v em a n yp o t e n t i a la p p l i c a t i o n s s u c ha so p t i c a l s w i t c ha n ds i g n a lr o u t i n gi no p t i c a lc o m m u n i c a t i o na n da t o m i cl a s e ra n d q u a n t u mi n f o r m a t i o ni nb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n s i na d d i t i o n , c o m p l e x s p a t i a ls o l i t o n sc a nc a r r y m o r ee n e r g i e sa n dt h ei n f o r m a t i o n , w h i c hi s s i g n i f i c a n tt ot h ep o s s i b l ei n f o r m a t i o np r o c e s s t os t a b i l i z et h es p a t i a ls o l i t o n s ，ab a l a n c eo ft h en o n l i n e a re f f e c ta n dt h e b e a md i f f r a c t i o nm u s tb er e a c h e di nt h es y s t e m sf o rt h e ( 1 + 1 ) da n d ( 2 + 1 ) d s p a t i a ls o l i t o n s ；w h i l ef o r ( 3 + 1 ) ds p a t i a ls o l i t o n s ，t w ob a l a n c e s ：( a ) t h e n o n l i n e a re f f e c ta n dt h eb e a md i f f r a c t i o na n d ( b ) t h en o n l i n e a re f f e c ta n d d i s p e r s i o n , m u s tb es i m u l t a n e o u s l yr e a c h e di nt h es y g e m s h o w e v e r , t h e s e b a l a n c e sa r ed i f f i c u l tt ob er e a l i z e d i ti si m p o r t a n tt os e a r c hap r o p e rn o n l i n e a r s y s t e mt h a tc a n w e l ls u p p o r tt h es p a t i a ls o l i t o n s b a s e do nt h ea b o v et w op o i n t s ，c o n t r i b u t i o n so ft h i sd i s s e r t a t i o nm a i n l y a r et of i n dt h ef o l l o w i n gn o n l i n e a rs y g e m st h a ts u p p o r tt h es p a t i a ls o l i t o n s ：( a ) i nk e r rm e d i u m , b yu s i n gt h eo p t i c a ll a t t i c e st op e r i o d i c a l l ym o d u l a t et h e r e f r a c t i v ei n d e xo fm e d i u n l t h es p a t i a ls o l i t o n sc a nh es t a b i l i z e d ；( b ) i nt h eg l e q u a t i o nw i t ht h eh i g h e r - o r d e rn o n l i n e a rt e r m sa n dt h ed i f f u s i o nt e r m , t h e s p a t i o t e m p o r a ls o l i t o n sa r es u p p o r t e d i na d d i t i o n , t h ep a r t so f o u r r e s u l t sr e v e a l t h es t a b l ec o m p l e xs o l i t o r t s ( i n c l u d i n gd i p o l es o l i t o n sa n dn e c k - l a c es o l i t o n s ) 1 1 l es u m m a r i z e dr e s u l t sa r el i s t e d ： ( 1 ) w er e p o r to n , f o rt h ef j r s ct i m et oo l l rk n o w l e d g e ，t h ee x i s t e n c eo f ( 1 + 1 ) 一d i m e n s i o n a ld i p o l es o l i t o n s w en u m e r i c a l l yf m dt h a ts u c hs o l i t o n sc a n 1 1 1 摘要 b es u p p o r t e db yo n e d i m e n s i o n a lo p t i c a ll a t t i c ei nk e r r - t y p en o n l i n e a rm e d i a t w od i p o l e so fs o l i t o n sa r ec o m p l e t e l yl o c a t e da tab r o a do p t i c a ll a t t i c ew h o s e t r a n s v e r s em o d u l a t i o np e r i o di sl a r g e rt h a n 1 5t i m e so f t h es e l i t o nw i d t h t h e i n h e r e n tr e p u l s i v ei n t e r a c t i o nb e t w e e nd i p o l e sc a nb ee f f e c t i v e l yo v e r c o m eb y t h el a t t i c e t h e s t a b l es w i n gm o t i o no fd i p o l es e l i t o n si ns u c hl a t t i c ei sa l s o d e m o n s t r a t e d ( 2 ) w ec o n s i d e rac l a s so fs e l f - t r a p p e ds p a t i o t e m p o r a ls o l i t o n s ： s p a t i o t e m p o r a ln e c k l a c e - r i n gs o l i t o n s ，w h o s e i n t e n s i t i e sa r ea z i m u t h a l l y p e r i o d i c a l l y m o d u l a t e d w er e v e a l n u m e r i c a l l y t h a tt h e s p a t i o t e m p o r a l n e c k l a c e - r i n gs o l i t o n sc a r r y i n gz e r o ，i n t e g e r , a n de v e nf r a c t i o n a la n g u l a r m o m e n t u mc a l lb es e l f - t r a p p e do v e rah u g ep r o p a g a t i o nd i s t a n c ei nt h e t h r e e d i m e n s i o n a lc u b i c q u i n t i cc o m p l e xg i n z b u r g l a n d a ue q u a t i o n , e v e ni n t h ep r e s e n c eo f r a n d o mp e r t u r b a t i o n s ( 3 ) w ed e m o n s t r a t et h a ts p e c i f i c $ z l r f a c es u p e r l a t t i c eg a p s o l i t o n sc a nb e s u p p o r t e da t 强i n t e r f a c eb e t w e e nao n e - d i m e n s i o n a lp h o t o n i cs u p e r l a t t i c ea n d au n i f o r mm e d i u mw i t hs a t u r a b l en o n l i n e a r i t y t h es e l i t o n sa r es t a b l ei nt h e s e m i - i n f i n i t eg a p b u td on o te x i s ti nt h ef i r s tg a p w a ht h ed e c r e a s eo ft h e p o w e r , t h es o l i t o n sj u m pf r o mt h es u r f a c es i t et ot h en e x to n e ，a n dm a y c o n t i n u et h em o t i o ni n t ot h el a t t i c e s ，w h i c ho f f e r sp o t e n t i a la p p l i c a t i o n sf o rt h e r o u t i n go f o p t i c a ls i g n a l s ( 4 ) w et h e o r e t i c a l l yr e v e a lt h a ts t a t i cm a t t e r - w a v es o l i t o n sc a nb es e ti n t o r o t a t i o nb ym o v i n gac y l i n d r i c a lb e s s e lo p t i c a ll a t t i c ew h e r eb o s e e i n s t e i n c o n d e n s a t e sa r el o a d e d ，w h i c hb e n e f i t sf r o mt h et r a n s f e ro fl a t t i c el i n e a r m o m e n t u mt os o l i t o no r b i t a la n g u l a rm o m e n t u m w h e nt h el a t t i c eh a ss t o p p e d m o v i n g , s o l i t o n sc o n t i n u et or o t a t ed u et oi n e r t i a i np a r t i c u l a r , b yt h i sm e t h o d ， t h er o t a t i o no fs o l i t o n sc a nb ec o n t r o l l e da tw i l li n c l u d i n gb e i n ga c c e l e r a t e d ， d e c e l e r a t e d ，r e v e r s e d ，a n de v e ns t o p p e da ta n yp r e d e f i n e dp o s i t i o ni n s i d et h e l a t t i c er i n g c o n t r i b u t i o no fo u rr e s u l tt ot h ea p p l i c a t i o n so fr i n g b a s e da t o m i c d e v i c e sa n dq u a n t u mi n f o r m a t i o nw i l lh o l dm u c hp r o m i s ef o rt h ef u t u r e i na d d i t i o n , w eh a v ea l s os t u d i e dt h es u p p r e s s i o no f s o l i t o n sp h a s e j i t t e ri n t h eo p t i c a lf i b e rc o m m u n i c a t i o n b e c a u s et h ed i f f e r e n t i a lp h a s e s h i f tk e y i n g ( d p s k ) h a v eb e e nd e m o n s t r a t e dt oe n h a n c et h ei n f o r m a t i o nc a p a c i t yi na l o n gd i s t a n c es o l i t o n sc o m m u n i c a t i o ns y s t e m s i ns u c hs y s t e m s ，t h es o l i t o n s 摘要 p h a s em u s tb es t a b i l i z e di nt h ee n do f r e c e i v e r h o w e v e r , a m p l i f i e r si nf i b e rc a n p r o d u c et h en o i s ew h i c hl e a d st ot h ej i t t e ro fs o l i t o n sp h a s e t h e r e f o r e ，b y n o n l i n e a rg a i na n df i l t e r s , w eh a v ed e m o n s t r a t e dt h a ts o l i t o np h a s e j i t t e rc a l lb e e f f i c i e n t l ys u p p r e s s e dn o to n l yf o rl o n gd u r a t i o ns o l i t o nb u ta l s of o ru k r a s h o r t s o l i t o nu n d e ras p e c i f i cc o n d i t i o nt h a tt h en o n l i n e a rg a i nc o e f f i c i e n t ss a t i s f y k e y w o r d s ：s p a t i a ls o l i t o n s ，o p t i c a ll a t t i c e s ，b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n s ( b e c s ) ，p h a s e j i t t e r v 第一章绪论 第一章绪论 1 i 孤子的主要发展过程 “孤子”是英文s o l i t o n 的译名，最早是英国工程师s c o t tr u s s e l l 于1 8 3 4 年在河流中偶然发现的一种奇特的水波，称为“孤波”( s o l i t a r y w a v e ) 1 。由此开始，物理学家和数学家们对这种现象进行了一个多世纪 的深入研究，建立了描述各种孤波现象的非线性方程 2 4 。由于孤立波的 行为类似于粒子，即其在相互作用之后保持各自的波形不变，并且保持能 量和动量守恒，因此将其命名为“孤立子”或简称“孤子” 5 。在光学 中，孤子这个词用以描述光脉冲包络在非线性色散介质中类似于粒子的特 征，在数学上是非线性波动方程的局域行波解，在一定条件下，这种包络 孤波不仅不失真地传播，而且像粒子那样经受碰撞仍保持原形而继续存在， 称为光孤子 6 。 光孤子的概念是h a s e g a w a 于1 9 7 3 年首先提出的 6 。他与t a p p e r t 一起从理论证明，任何无损光纤中的光脉冲在传输过程中自己能形变为孤 子后稳定传输。光纤中的孤子是光纤色散与非线性相互作用的产物，服从 非线性薛定谔方程( n l s e ) ，受光纤线性与非线性特性的支配。1 9 8 0 年美 国贝尔实验室的m o l l e n a u e r 等人利用色心激光器成功地在实验上观察到 亮孤子在光纤中的无畸变传输 7 ，又隔7 年，1 9 8 7 年e m p l i t 等人观察到 了暗孤子 8 。与此同时，晒ll e n a u e r 等入提出了将光纤中的孤子用作传 递信息的载体，构建一种新的光纤通信方案，称为光孤子通信。应用是科 学进步最强大的推动力，光孤子在显示出其潜在的应用价值后，立即引起 人们巨大的兴趣，由此掀起了光纤孤子通信研究的热潮，其理论及实验得 到了迅猛、全面的发展。 理论上，人们从麦克斯韦方程组出发，经过大量的研究，推导出了描 述光脉冲( 皮秒) 在光纤中传输所遵循的一般方程非线性薛定谔方程 第一章绪论 9 ，并且于1 9 7 2 年，由i j 苏联著名科学家扎哈罗夫( z a k h a r o v ) 利用反 散射变换法( i s t ) 巧妙地求解了该方程，获得了亮、暗孤子解 1 0 ，1 1 。 随着超短光脉冲技术的飞速发展，飞秒量级的光脉冲的传输特性已日益成 为研究的热点课题之一。早在1 9 8 7 年，k o d a r m 等人就已利用多重尺度法 导出了飞秒光脉冲在光纤中的传输演化方程一高阶非线性薛定谔方程 1 2 。它与描述皮秒光脉冲的非线性薛定谔方程不同之处在于增加了已不 可忽略的三阶色散、自陡峭及自频移等效应引起的附加项。这是一个高阶 非线性偏微分方程，无论在数学还是物理上都是较难处理的问题。之后， 人们就该方程采用各种方法作了大量的解析及数值研究 1 3 - 2 2 。为了描述 在不同情况下的孤子行为，人们又相继提出了在不同微扰影响下的非线性 薛定谔方程的修正形式。基于标准非线性薛定谔方程和逆散射理论，人们 深入研究了理想孤子解的基本结构和特性，建立了研究光孤子传输的各种 扰动理论方法，深入研究了光孤子的动力学过程、动态演化特性、稳定性 及稳态演化的条件和能力，建立了分析孤子相互作用的各种理论方法，形 成了比较完整的光孤子理论体系。 广义的孤子是指非线性方程的特解，最先在流体力学领域被引进，后 来被广泛应用于各个领域。我们平常所说的孤子是狭义的孤子，又叫孤立 子或孤立波，它是指波保持其能量不扩散的一种传播行为。除了光学孤子 之外，孤立波可以是水波、声波、原予波等物质波孤子。 1 2 空间孤子的介绍 由于衍射，窄光束会在空域自然展宽，当介质的非线性与衍射严格平 衡时，窄光束会以不变的形状和尺寸在介质中传播，这叫做空间孤子。 为了理解为什么空问孤子能够在自聚焦的非线性介质中形成，我们首 先考虑光是如何束缚在光波导的。在任何同性介质里，光束在传输中都有 扩散( 衍射) 的本能。但是，如果光束能够使它存在的横向区域折射率增 2 第一章绪论 加，则衍射能够被控制。这样的结构变成了一个光波导，并且通过折射和 衍射的平衡而把光束缚在高的折射率区域。光束在一个光波导的传输通过 一令非线性的波动方程来描述，它的解提供了一组在波导里空闻局域光场 本征模，这些模保持它们的形状且满足所有的边界条件。 很久以前已发现【2 3 】，通过非线性效应使局部的折射率发生这样的变 化：光束强度大的区域，折射率更加大，从而光束的衍射能够被压制。本 质上，通过这样的自导的波导，一个光束能够产生自己的波导且能被自陷 ( 图卜l 表明了这个基本机制) 。输入的光束在低功率时发生了衍射，但当 它的强度是足够大来通过使局部的折射率发生变化而产生自导波导时，一 个空问孤子被形成。这样的折射率的变化在光束的中心( 最强) 处是最大， 而靠近光束的边缘，折射率的变化逐渐减小，导致形成了一个折射率渐变 的波导，空闯孤子被认为是这个波导的基摸。这样的非线性波导甚至可以 诱导不同频率或偏振的弱光束。 也可以理解为：空间孤子是通过一个类似于透镜的波导而形成的。衍 射产生了一个类似于凹透镜的凹波前，从而扩散光束到一个更宽的区域。 与之相对照，通过自聚焦效应，折射率梯度被产生，类似于一个凸透镜使 光束发生聚焦作用。本质上，一个克尔介质充当一个凸透镜。如图卜1 所 示，如果两个透镜化的效应相互之间被抵消，则光束变成自陷和保持形状 不变地传输 2 3 1 。当然，这要求光束的包络应该满足一个特定的形状。 3 第一章绪论 ( a ) ( b ) ( c ) i n p u t o u t p u t d 仟r a c t i o n s e l f - f o c u s i n g s e l f - t r a p p e d s o l i t o n 图1 - 1 空间光束包络( 实线) 和相位波前( 虚线) 。c a ) 衍射为主； ( b ) 自聚焦为主；( c ) 空间孤子形成。 1 3 本文用到的空间孤子传输方程 1 3 1 ( 1 + 1 ) 维和( 2 + 1 ) 维光孤子的非线性薛定谔方程 描述光场在非线性介质中传输的主要方程式是非线性薛定谔( n l s ) 方 程。下面我们简要地推导出光束在非线性克尔( 三阶) 介质中传输的n l s 方程。由介质中的麦氏方程组写为： v x 置；一掣， ( 1 1 ) 西 v 。置：旦旦+ 了。 ( 1 2 ) 西 v d = d 4 ( 1 - 3 ) a n 。 趴e 多p pl r 莎 第一章绪论 v b = 0( 1 - 4 ) 对方程( 卜1 ) 两边取旋度得， v x v x e = 一风i 兰( v 日) 】， ( 卜5 ) 方程右边有： 刊妄c v 哥肛风挚一肌詈= “岛等一风等一警，( 1 - 6 ) 这里用到了物质方程 由矢量分析方程左边碍： d = s o e + p ， 了= 盯置 ( 1 7 ) b = 旺? h v x v x e = v ( v d v 2 e ， ( 卜8 ) 作无源假定( p = o ) ，并且假定e 与坐标无关的情况下： v ( v - e ) t v ( v d ) = o ，在弱电导近似下( 0a 0 ) ，可得： v 2 言嗍岛警一鳓等虮 ( ! _ 9 ) 这里，c 是光在真空中速度和岛为真空介电常数。p 为极化强度有： p ( ，) = p a r ，r ) + ( ，f ) ， ( 卜l o ) 这里，线性部分只和非线性部分j f k 与电场有如下的关系 2 4 2 6 ： 最( r ，t ) = g o z 1 ( t - t ) e ( r ，f ) 出7 ，( 1 - 1 1 ) 只忆( ，f ) = 氏f z m o 一，f r 2 ，f 一如) e ( ，1 ) e p ，t 2 ) e ( ，f 3 ) 西一，2 f 3 ，( 1 1 2 ) 这里，z 1 和z 分别是第一和第三阶的磁导率张量。这些关系忽略了第二 阶的非线性效应，假定介质有一个倒置对称性。如果非线性响应是瞬时的， 第一章绪论 ( 卜1 2 ) 式简化为： ，k ( ，t ) = s o a ”e ( r ，t ) e ( r ，t ) e ( r ，f ) ( 卜1 3 ) 在慢变包络近似下，分离出电场的快变部分是有用的，写出： 1 - q p e ( r ，f ) = 妄x 【e ( r ，t ) e x p ( 一r o o t ) + c r 】， ( 1 1 4 ) 这里是光束的频率，z 是偏振单位矢量，e ( r ，t ) 是一个慢变时间函数( 相 对于光周期) 。 当( 卜2 ) 代入( 卜1 ) ，目。( r ，) 然后有 只u ( r ，r ) z 岛占m e ( r ，f ) ， ( 1 一1 5 ) 这里，介电常数定义为： = 言璧f m 2 ( 1 - 1 6 ) 则线性部分可写为p a r ，f ) a 岛2 0 e ( r ，f ) 介电常数能够被用来定义折射率n 和吸收系数但是由于占。，折射 率r l 和吸收系数岱，引入： = ，z d + 啦i e l 2 ，口= + i e f ( 1 1 7 ) 线性折射率和吸收系数与艘的实部和虚部有关。使用 占= ( n + i a c 2 m o ) 2 ，得到： 啦= 未r e ( 艘) ，= 急i m ( 艘) ，( 1 - 1 8 ) 这里r e 和i m 分别代表实部和虚部。 强度依赖的折射率重要地影响电磁波的传输，对于空间孤子，我们集 中与连续光束来简化下面的分析。令解的形式：e ( r ，) = a ( r ) e x p ( i f l o z ) ，这 里屁= k o n o - = 2 a n o a 是传播常数，a = 2 m m o 是波长。光束沿着z 轴传输 且沿着两个横向x ，y 发生衍射，这里x ，y 和2 是空间坐标( 有 6 第一章绪论 ，= x 2 + y 2 ) 。 这里a 为慢变的振幅，z 为传播方向，并作慢变振幅近似，也即忽略a 对z 的二阶导数项，我们可得： v m2 p o k o n 。( i m2 溉荔= 0 ，( 1 - 1 9 ) 由此我们推出了光学空间孤子在非线性材料中传播时需遵循的非线性薛定 谔方程。 我们集中考虑克尔( 三阶) 非线性且使用= t h l ，也是非线性介质 的克尔系数。下面进行归一化，令 x = x w o y = y w oz = z l ，甜：( k o l , q l d ) 1 ”a ，( 1 - 2 0 ) 这里w o 是横向的相对于光束的宽度的归一化系数，和厶= 属以是衍射长 度。则方程( 卜1 9 ) 变为标准的( 2 + 1 ) 维( 两个横向x 和y 及一个纵向坐 标z ) n l s 方程： ，裂( 窘+ 辨h 2 删， z t ， 这里，符号的选择依赖于非线性参数嘞；负号出现在自散焦情况( 毪 0 ) 。 n l s 方程的维数可以根据介质的本质而改变，如当一个介质是一个平 板波导时，则光束只被束缚于一个横向方向，假如在y 轴，如果没有非线 性效应，则光束将只是沿着x 轴方向扩散。则n l s 方程变为： j导+三鲁埘删，(1-22)2龙玉2 。 这个n l s 方程是( 1 + 1 ) 维( 一个横向x 及一个纵向坐标z ) 的。( 1 + 1 ) 维 和( 2 + 1 ) 维光孤子可以分别在平板波导和大块的波导中形成，如图卜2 。 第一章绪论 图卜2 ( a ) 平板波导支持( 1 + 1 ) 维空间孤子：( b ) 大块的波导支持( 2 + 1 ) 维 或( 3 + 1 ) 维空间孤子 1 3 2 ( 3 十1 ) 维光孤子的非线性薛定谔方程 光脉冲在线性介质中传播时会在时间上和空间上展宽。时间的展宽是 因为脉冲的色散，空间的展宽是因为光束的衍射。如果在非线性介质中传 播的光脉冲，其时间或空间上的展宽能够被介质的非线性效应所抵消，则 可以相应的形成光学时间孤子或光学空间孤子。如果两者同时被非线性效 应所抵消，则形成( 3 + 1 ) 维的空问孤子时空光孤子，它号称“光子弹”。 在引出时空光孤子时，有必要先介绍时间孤子。 1 , 3 2 1 时间孤子 当输入的光是以一个光脉冲的形式时，则时间孤子代表一个光脉冲在 传输时保持它的形状不变。这类的孤子已经在1 9 7 3 年在光纤中被预测 2 7 。之后，光纤罩的孤子已经有广泛的研究，并且应用到光纤通信中 2 8 - 3 1 3 。 下面推导时问孤子在光纤中传输的方程。利用分离变量法，假定解的 形式为： 第一章绪论 e ( ，) = a ( z ，t ) f ( x ，y ) e x p ( p o z ) ， ( 卜2 3 ) 这里f ( x ，y ) 是与单模光纤中基模有关的横向光场分布。a ( z ，t ) 指 脉冲的振幅，a ( z ，t ) 的时间依赖显示由于色散的作用导致所有的频谱 不会以同一速度传输。这个影响被包括通过修正折射率： n = n ( c o ) + n 2 旧2 ( 卜2 4 ) 频率依赖的n ( c o ) 在形成时间孤子时扮演着一个重要的角色。在没有非线 性效应的作用下，它会导致光脉冲展宽，这类似于空问孤子的衍射效应。 我们的目的是来获得脉冲振幅a ( z ，f ) 的演化方程。a ( z ，m ) 的傅立叶变换满 足 3 2 ： 篙= 极研+ 筇一岛m ( i - 2 5 ) 这里( 国) = k o n ( o ) ) 和是非线性部分，定义为 = 岛嘞1 4 1 2 糌；一爿i 2 。 ( - 一z 。) 方程( 卜2 5 ) 的逆傅立叶转换获得a ( z ，f ) 的传输方程。然而，很少知道p ( ) 的准确函数形式，因此，在频率c o o 处把( 缈) 展成泰勒级数： ( ) = 风+ ( 珊一) 届+ 三劬一) 2 以+ 丢沏一) 3 尼+ ，( 1 - 2 7 ) 这罪 成= ( 筹lc 一，囊 z 8 ， 若谱宽国 o 时，粒子问的相互作用是排斥的，而当口 0 时粒子间的相互作用变成吸引。 第一章绪论 为了简化方程( 卜3 6 ) ，考虑一个高度各向异性( 雪茄型) 的轴向对称 的束缚： 矿( 曲：1 所旺2 厂上2 + 触2 ) ，( 1 - 3 7 ) 这里t = y 2 + z 2 ，q 是横向的束缚频率，且丑= 匠引入归一化变量： t i = t ( o j d f 2 2 ) ，r t = r ( m o j 、，f 2 h ) m ，和= ( 2 “万h w j r ) ”，我们获得下 面的无量纲方程： f 譬+ v 2 妒一 a - 1 ( y 2 + f 2 ) + x 2 + 盯f 1 2 = o ， ( i 一3 8 ) 讲 这里盯= s g n ( a ) = 4 - 1 。依赖于s 波的散射长度。 当五“1 _ 凝聚物被束缚在横向，且它的横向结构大部分被陷在谐振束 缚势阱里【4 5 】。所以，我们寻找方程( 卜3 8 ) 的解为 ( ，工，) = ( ，上) 妙( x ，t ) e x p ( - 2 i l t ) ， ( 卜3 9 ) 这里( r 上) 是下列对于二维径向对称的量子谐振子的从属问题的一个解： v i 庐+ 2 彬一( 蠢丑) 矿= 0 ( 1 4 0 ) 这个谐振子的基态的一个高斯型的波函数九( ，上) = c e x “一以2 ) ，其中 ，= 1 历使用归一化的条件瞬砂。= 1 ，我们发现c 2 = y n 代因数分解的 解入方程( 卜3 8 ) ，乘以矿，且对雪茄性的凝聚物的整个横截面进行积分，我 们获得一维的g p 方程： 7 百o l p , + 警。妒+ 0 1 1 2 _ l c ，地 ( 1 - 4 1 ) 粒子数n = ( h c o 2 u o 五) q ，其中 q = 矿( 圳f 2 d x ( 1 - 4 2 ) 方程( 卜4 1 ) 是( i + 1 ) 维的g p 方程，若同时考虑x 和y 轴，则有类似形式 1 4 第一章绪论 的( 2 + i ) 维的g p 方程。 1 4 本文用到的数值方法 1 4 1 分步傅立叶法 在探讨光脉冲或光束的传输特性，通常需作数值处理。现在广泛应用 到解非线性介质的光脉冲或光束传输问题的一种数值方法是分步傅立叶变 换法。这种方法由于采用了有限傅立叶快速变换( f f t ) 算法，相对于大多 数有限差分法有较快的速度。 为应用分步傅立叶变换算法处理非线性薛定谔方程，可先把该方程改 写为如下形式： 差钔埘) 缈， ( 1 - 4 3 ) 这罩西是线性算符，表示线性介质的色散( 或衍射) 和吸收；膏是非线性 算符，它决定了光脉冲或光束传输过程中非线性介质的非线性效应。 一般来说，沿传输方向，色散或衍射与非线性效应对光脉冲或光束是 同时起作用的。分步傅立叶方法通过假定在传输过程中，光场每通过一小 段距离h ，色散或衍射与非线性效应可分别作用，进而得到近似结果。更 准确地说，从f 到f + h 的传输过程中可分两步进行。第一步，仅有非线性 作用，方程( 卜4 3 ) 中的d = 0 ；第二步，仅有色散或衍射作用，方程( 卜4 3 ) 中的费：0 。其数学表达式为： 缈g + 厅，r ) ze x p ) c x p g ，r ) ( 卜4 4 ) 其中指数算符e x p 仁西) 的计算在频域内进行： e x p o d ) 8 g ，r ) = p le x p h d ( i a o i f b ( f , r ) ( 1 - 4 5 ) 第一章绪论 这里f 表示傅立叶变换，f 7 1 表示傅立叶逆变换，西( f 甜) 表示将方程( 卜4 4 ) 的微分算符善代换为f 缈，为傅立叶变换下的频率。因为西( f ) 在频域 下是一个数，故可直接计算( 1 - 4 5 ) 的值。这种方法既避免了求导运算又使 用了快速傅立叶变换算法，因此分步傅立叶变换法较大多数有限差分算法 快一至两个数量级。 为估计分步傅立叶变换方法的精度，如假定由与f 无关，方程( 1 - 4 3 ) 的一个精确解为： ( f + ，f ) - - e x p k ( 西+ 膏) 1 4 ( f ，r ) ( i - 4 6 ) 对于算符舀，占不对易，根据贝克一豪斯多夫( b a k e r t t a u s d o r f ) 公式 有： e x r o ) e x r g ) = e x p r 盎+ 5 + 吉k ，6 】+ i ；b 一；， a ，5 】+ ( ，一4 ，) 其中：k ，纠= 晶一氖 比较方程( 卜4 4 ) 与( 卜4 6 ) ，我们可以看到，分步傅立时变换法忽略了 算符西和费的非对易性，把a ：碱占= 脯代入方程( 卜4 7 ) ，可得到由此 产生的主要误差来自于e x p 任瞄，力】) ，说明分步傅立叶法精蒯1 分j 苎- 丑j 长 h 的二阶项。 为进一步提高精度，通常采用对称分步傅立叶法，在这种算法中，将 非线性效应的作用点放在小区间的中部而非边界上，具体地，方程( 卜4 4 ) 可用下式代替： 船纠z e x 畦司唧瞪司出r ) a 8 ， 两次应用( 卜4 7 ) 可以看到，对称分步傅立叶变换法的精度提高到分步步长 1 6 第一章绪论 的三阶项h 3 。 1 4 2 打靶法 解两点边界问题 “= f ( x ，“，u ) ，口s x s b ，一0 0 甜 + ， ( 1 4 9 ) ( 口) = 口，u ( b ) = 的打靶法实际上是把边界问题化为初值问题来求解。我们设法确定u ( ) 的 值为，使初值问题 u 。= f ( x ，甜，u ) ，a s x b ，一o o 玉， 4 - o o ， u ( a ) = 口，u t ( d ) = t ( 卜5 0 ) 的解u ( x ，t ) 在x = b 的值u ( b ，f ) 满足 u ( b ，) = 或 k ( 6 ，o - , e 8 ， 其中s 为允许的误差界，这样，我们把u ( x ，f ) 作为边值问题( 卜4 9 ) 的近似 解。为此，可以采用逐次逼近法来实现。 假设u ( x ) 为边值问题的解，我们估计u 7 ( 口) 的值为f o 后，解初值问题 1 , t 。= f ( x ，甜，u ) ，a x b ，一o d u 佃， u ( a ) = 口，“( 口) = t o ( 在( 卜5 0 ) 中令f = t o ) ，这样得到的解为u ( x ，f o ) ，并计算的u ( b ，t o ) = 属，一 般地，岛。但是若屁= 或慨- e