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具有迷向曲率的f i n s l e r 度量的某些性质 学科专业： 指导教师t 基础数学 王佳教授 研究方向：微分几何 研究生i 张海军( 2 0 0 1 2 7 7 ) 摘要 f i n s l e r 几何中的非黎曼几何量刻画的是f i n s l e r 几何与黎曼几何的不同之 处对这些量进行研究有利于我们看清楚它们之间的差异，并且对认清f i n s l e r 几 何的庐山真面目有十分重要的作用本文主要讨论了射影相关下迷向b e r w a l d 曲 率间的关系和在具有迷向s 一曲率的条件下f i n s l e r 度量的某些性质还对一类特 殊的度量作了研究主要得到了下面的结论 定理3 4 ( m , f ) 是f i n s l e r 流形，j 在m 上与f 射影相关设f 具有迷向 的b e r w a l d 曲率e ( $ ) ，则雪具有迷向的b e r w a l d 曲率馥。) 当且仅当馥。) 与c 有 如下关系 可z ) 声= c ( z ) f + p + 卢， 其中p = 等是射影因子，卢= “( 。) 矿为1 一形式 定理3 7 f i n s l e r 度量j ；与f 射影相关且都具有迷向b e r w a l d 曲率，则f 具有迷向s 一曲率当且仅当f 具有迷向s 一曲率 命题3 8 ( m f ) 是具有标量曲率k = k ( z ，) 的n 维f i n s l e t 流形，膏与f 射影相关若f 具有殆迷向s - 曲率s = 加+ 1 ) c f + q ) ，则f 的旗曲率满足 霞户2 = 三+ 3 c x m 唧m + 3 a ( z ) f 2 1 其中亘= p 2 一目t 扩，j _ ) = 乒一= 。( z ) 是流形m 上的标量函数 命题4 1 设度量f 满足兄t = c f 毛t ，则 i ) 当c 是常数时，度量f 射影平坦具有常曲率、常s 一曲率和常数迷向b e r w a l d 曲率 i i ) 当c = c ( 。) 时，度量f 射影平坦具有殆迷向s 一曲率和迷向b e r w a l d 曲 率，旗曲率 k = - l c 2 一簪 i i i ) 当c = c ( 。，) 时，度量f 非射影平坦，旗曲率与s 一曲率分别为 k = 而f 心一；等订+ 羔忙一吐) + 而f 4f 1i 。c s 一；颤啊一c 12 一簪+ j 1 2 。一 s = 孚c f + ；删。却警 此时f 射影平坦当且仅当c = c ( z ) 关键词：f i n s l e r 度量；旗曲率； s 一曲率；b e r w a l d 曲率；联络 2 s o m e p r o p e r t i e so f f i n s l e rm e t r i cw i t h i s o t r o p i cc u r v a t u r e m a j o r ：b a s i cm a t h e m a t i c s s p e c i a l i t y ：d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y t u t o r ：p r o f w a n gj i a a u t h o r ：z h a n gh a i j u n ( 2 0 0 1 2 7 7 ) a b s t r a c t t h en o n - r i e m a n n i a ng e o m e t r i cq u a n t i t i e si nf i n s l e rg e o m e t r yd e s c r i b et h ed i f f e r e n c eb e t w e e nf i n s l e rg e o m e t r ya n dr i e m a n ng e o m e t r y t h es t u d yo ft h e s eq u a n t i t i e si s b e n e f i tf o ru st om a k eo u tt h e i rd i s t i n c t i o na n dt h en a t u r eo f f i n s l e r g e o m e t r y i nt h i sa r t i c l e ，w em a i n l yd i s c u s st h e r e l a t i o nb e t w e e ni s o t r o p l cb e r w a l dc u r v a t u r e so f p r o j e c t i v e l y r e l a t e df i n s l e rm e t r i c sa n d p r o p t r t l e so ff i n s l e rm e t r i c sw i t hi s o t r o p l cs - c u r v a t u r e i n t h e e n d ，w es t u d ya c l a s so fs p e c i a lm e t r i c s w em a i n l yo b t a i nt h e f o l l o w i n gr e s u l t s t h e o r e m3 4 l e t ( mf ) b e af i n s l e rm a n i f o l d ，fi s p r o j e c t i v e l yr e l a t e dt o f i ffi so fi s o t r o p i cb e r w a l dc u r v a t u r ec ( 。) ，t h e nfi so f i s o t r o p i cb e r w a l dc u r v a t u r e 可z ) i fa n do n l yi f 可。) s a t i s f i e s ( z ) f = c ( x ) f + p + 卢， w h e r ep = 鞋2 fi st h ep r o j e c t i v ef a c t o ra n d 卢= 6 l ( 。) 矿j 81 一f o r m t h e o r e m3 7i ffa n dfa r ep r o j e c t i v e l yr e l a t e df i n s l e rm e t r i c sw i t hi s o t r o p i c b e r w a l d c u r v a t u r e s ，t h e n 户i s o f s c u r v a t u r e i f a n d o n l y i f f i s o f i s o t r o p i c s - c u r v a t u r e 3 p r o p o s i t i o n 3 8 l e t ( m ，f ) b e n d i m e n s i o n a lf i n s l e rm a n i f o l dw i t hs c a l a rc u r v a - t u r ek = k ，) ，fi sp r o j e c t i v e l yr e l a t e dt ofi ff i so fa l m o s ti s o t r o p i cs c u r v a t u r e s = ( n + 1 ) o f + ) i t h e nt h e f l a gc u r v a t u r e o ffs a t i s f i e s 霞f 2 = e + 3 即珊”+ 3 a ( x ) f 2 w h e t e 直= p 2 一蜀 矿，p = 忌学盯= 盯扛) i s a8 c a l a r f u n c t i 。no n m p r o p o s i t i o n4 1 l e tf s a t i s f i e s 咒k = c f 巳 ，t h e n 吣i fci sac o n s t a n t lt h e nf i sp r o j e c t i v e l yf l a tw i t hc o n s t a n tc u r v a t u r e ，c o n s t a n t s - c u r v a t u r ea n dc o n s t a n ti s o t r o p i eb e r w a l dc u r v a t u r e i i ) i fc = c ( z ) ，t h e nf i sp r o j e c t i v e l yf i a tw i t ha l m o s ti s o t r o p i es c u r v a t u r ea n d i s o t r o p i eb e r w a l dc u r v a t u r e ，t h ef l a gc u r v a t u r e k = 一i l c 2 一百c z t y k ， i i i ) i fe = c ( $ ，v ) ，t h e nf i sn o n - p r o j e c t i v e l yf l a ta n dt h ef l a gc u r v a t u r ea n dt h e s - c u r v a t u r e k = 刍心一互1 丽0 c ! i 料+ 羔 c 一吐) + 而f 4t 伊1i 。c s 一矿ii 蒯一i 1c 2 一簪+ f q s = 字c f + 小”i 面o l n e m o r e o v e r ，fi sp r o j e c t l v e l yf l a ti fa n do n l yi fc = c ( x ) k e y w o r d s ：f i n s l e rm e t r i c ；f l a g c u r v a t u r e ；s - c u r v a t u r e ；b e r w a l dc u r v a t u r e ； c o n n e c t i o n 4 1引言 微分几何的始祖是cfg a u s s 他的曲面论给出了屿面的第一基本形式，奠定 了曲面的内蕴几何学，还将欧氏几何推广到曲面上“弯曲”的几何， br i e m a n n 在1 8 5 4 年的演说中将此理论推广到了n 维空间黎曼几何由此诞生 在这次著名的就职演说中，r i e m a n n 就已经提到微分几何的度量除了可用二 次形式的平方根定义以外，也可用四次微分形式的四次方根定义他在该论文中对 广义空间引入了基于弧长元素为d s = f ( z 1 ，x n ；出1 ，如n ) 的度量结构这里， f ( x ，y ) 是一个定义在切丛t m 上的关于y 的一阶正齐次函数然而由于当时没有 适当的数学工具，计算起来十分复杂于是r j e m a n n 考虑了一种重要的特殊情形 f 2 = 如( $ ) 出矧，这就是r i e r n a n n 度量 此后半个世纪中，人f 忙于阐释充实黎曼几何，在推广度量的研究方面没有 实质的进展1 9 1 8 年，p f i n s l e r 在他的博士论文中讨论了基于变分定义度量的一 般原则，并由此讨论了这类空间中的曲线和曲面的性质特征才打破了这个僵局，正 因如此，这样的正则度量空间便称为f i n s l e r 空间但遗憾的是在此论文中f i n s l e r 并没有引入曲率的概念第一个把黎曼曲率推广到f i n s l e r 空间的是l b e r w a l d ，他 还介绍了一个非黎曼几何量一b e r w a l d 曲率由此也可以说b e r w a l d 才是f i n 毹e r 几何的真正奠基人 自此以后，国内外大批的几何学家投入到f i n s l e r 几何的研究中，如e c a r t a n ， j ，d o u g l a s ，h w e y l ，陈省身，沈忠民孥许多非黎曼几何量：c a f t a n 挠率、l a n s b e t g 瞳率、d o u g l a s 曲率、s 一曲率也和c h e r n 联络一起梭引入其中f i n s l e r 几 何的研究取得了重大的进展，得到了许多重要的成果，如b e r w a l d 空间的分类 ( s 司) ，射影平坦f i n s l e r 度量的表示( s h s ，f s h 9 ) ，常曲率r a n d e r s 度量的分类 ( b a r o s h ) 射影平坦r a n d e r s 度量的研究( c h s l l 2 i s h 4 等) ，非正曲率流形的研 究( 1 s h l i s h 2 i s h n n o s h 等) 和具有殆迷向s 一曲率射影平坦r a n d e r s 度量和 f i n s l e r 度量的分类( c h s h l f c h m o s h c h s h 8 d 以上的工作中非黎曼几何量都起到 了举足轻重的作用 自八十年代起，f i n s l e r 几何开始在相对论，物理学，生物学以及心理学等领 域得到广泛的应用，展现了f i n s l e r 几何的独特魅力( 【c h 3 j ， c h 4 ，【a n i n m a 】，f a n z a 5 等) 九十年代至今，在陈省身、沈忠民等人的带领下，克服了f i n s l e r 几何仅以张 量作为数学工具的局限，引入分析的方法并注重结合几何背景，同时大量的应用 m a p l e 程序运算，f i n s l e r 几何更加朝气蓬勃地向前发展 目前f i n s l e r 几何研究的主要问题有：常曲率空间特别是射影平坦常曲率空间 的分类问题，f i n s l e r 子流形几何，f i n s l e r 空间的射影变换及与之有关的曲率问 题；还有s 曲率问题等 f i n s l e r 射影几何是f i n s l e r 几何的重要组成部分，定理3 4 给出了射影相关 下度量的迷向b e r w a l d 曲率间的关系，定理3 7 找到了射影相关下p 具有迷向s 一 曲率的一个充要条件定理3 3 是已有的结论，我们给出了一种更为简洁的证明 方法在具有殆迷向s 一曲率的条件下得到p i n s l e r 度量的一个性质( 命题3 8 ，命 题3 9 ) 还对c = c ( ”) 时的情况作了一般的讨论并得到命题3 9 最后研究了一 类特殊的度量( 命题4 1 ) 2 预备知识 令y 是一个n 维实向量空间矿上的一个m i n k o w s k i 范数l 是指函数l ： y 【0 ，( 2 0 ) 同时满足 ( i ) 在矿 o ) 上三是g o 。的； ( i i ) l 是2 阶正齐次的。即 l ( ) = 2 三( 掣) ， 0 。| ，v ( i i i ) 对任意的0 y v ，在v 上的基本形式野是非退化的，其中 如( u ，u ) ：= 互1 蕊0 2 陋( y + s u + t v ) 怯t _ 。 这时( u 工) 称为一个m i n k o w s k i 空间 现在令 e i ) 坠l 为y 的一个基和y = y l e 。y r n ，让 删：= ；翥 那么则有 卿( ， ) = m ，( ，扣1 ， ( 2 ) ( 3 ) 其中u = e ， = 勺由l 的齐次性则 工( o ) = g o y l y 3 ， 注意到行列式d e t ( g i j ) 的符号是不变的，则可定义 删聃= ：。巍篙 称i n d ( l ) 为l 的指标令( ) 表示蜘负的特征值的个数，则 = k ( ”) 与y 无关 当= 0 时，有 三( 可) 0 ，y t m 0 这时称工为正定的m i n k o w s k i 范数，( kl ) 是正定的m i n k o w s k i 空间通常用 f ( y ) ：= v f l 而 表示正定的m i n k o w s k i 范数于是可以给出f i n s l e r 度量的定义 设m 是一个n 维流形，t m 上的函数f ( ，v ) 称为f i l l e r 度量如果f 满足 ( a ) 对v y v ，有f ( u ) 0 并且f c y ) = 0 当且仅当”= o ； ( b ) 对v v 疋m o ，b ( f ) = f 【# ，v ) 是b m 上的m i n k o w s k i 范数即 i ) f ( g ，) 在t m o 上是c o o 的； i i ) f ( ) = a f ( y ) 对v 0 成立； i i i ) 基本形式鲰在已m o ) 上是非退化的，其中 蚋，小= ；磊( f 2 ( ”+ 卅圳k 。 此时称( m ，f ) 为f i n s l e r 空间 对v 0 y t m ，p m ，f 在弓m 上诱导了如下的一个内积鲫： 曲( “，u ) ：= g l j ( x ) u 矿= ； f 2 】，t 矿u i , p 这里z = ( 一) 表示p m 的坐标，( z ，# ) = ( 一，朔表示9 矗m 的局部坐标 在切空间耳m 上可以定义一个重要的几何量一c a f t a n 挠率对t p m o ， 令 吲小= ；雨蒜x , y 定义c y ：昂m o t p m 圆耳m - r ，其中 c y ( “， ， ) = q 非( ) u v j w 其中“= u e l ， = 矿q ，t ) = 舻则称c ：= c y ) ，乱f o ) 为c a r t a n 挠率由上 面的定义容易得到 c b = ； f 2 】_ t 一矿= ； 最历+ f j f i + f k f f j + f r o 女 ， ( 5 ) 其中r = 毛t ，墨f = 毛t 对任一非零向量y t p m ，平均c a f t a n 挠率i y = 五( 。，u ) d x ：t p m 一r 定义 为 扣扩= 甜h 卢丽 ( 6 ) m i n k o w s k i 范数是欧几里得范数当且仅当i = 0 或c = 0 为了刻画r a n d e r 8 度量，m m a t s u m o t o 引入了下面的几何量t m u ( t 工， ，”) ：= m q k u d w 七b ：t p m o m o t p m 冗 其中 m ：i j k ：5 一i 了 厶k + 弓+ i k h q ， ( 7 ) 这里k ，：= f 吩一= g i j 一墨铲，t = q ， = u i e j ， = t 驴e m ：= m b t m o ，) 就称为m a t s u r n o t o 挠率每个r a n d e r s 度量都有m = 0c l e a t ) 事实 上有下面的结论成立 引理2 1 ( f m a h 6 ) f 是n m 3 ) 维流形m 上的f i n s l e r 度量，则m = 0 当 且仅当f 是r a n d e r s 度量 若c ( t ) 为( mf ) 的一条参数曲线，它满足方程 豢+ 2 g 沁( t ) ，磊d c ( c ) ) 砘 ( 8 ) 其中 g 2 ：= ；g “ i f 2 】。t ，t y 一i f 2 ： ，( 9 ) 则称c ( ) 为测地线，g 为f 的测地系数其中( 9 “) 表不( 9 。f ) 的逆足义 g ：= 矿刍瑙沁瑚杀， 则向量场g 是整体定义在切空间t m 上的，从f 的齐性我们有 g ( 。， ) = a 2 g “( g ，) ， a 0 ( 1 0 ) 称g 为由f 诱导的一个f i n m e rs p a r y 令 咖脚：= 筹n弘小= 筹n ( 1 1 ) 我们称叼为f 的联络系数，巧 为f 的c h r i s t o ，“符号 令 胛m = 驴n t 杀，杀， y = 叫每 h t m = f 矗，杀) ， 其中 刍：= 刍一w ( 们毒0 2 )珏= 獗一川砑 则称v t m 为t m 0 上的垂直切丛，h t m 为水平切丛，y 是y t m 上的垂直 径向场于是 g = 矿矗 ( 1 3 ) 因此。g 是h t m 上的水平向量场 对于任意f i n s l e r 度量f ，都有 只t = q = 志= o ，0 4 ) 这里弋”和”l ”分别表示f 关于b e r w 。l d 联络和c h e r n 联络的水平协变导数因 此 g = 矿丽6 l = o 令f 为m 上的正定的f i n s l e r 度量，对v0 y 耳m ，p m ，定义b e r w a l d 曲率为 b y = 磅f d 一圆出。如。o _ j p ：t p m 圆t p m 。t p m _ t p m 其中 b ；“( z ，) ：= 否；( z ，) ( 1 5 ) 如果b = 0 ，则称f 为b e r w a l d 度量在b e r w a l d 空间上，所有的切空间是相互 等距的 定义平均b e r w a l d 曲率为 e y = 母 如o d x k ：t p m o t p m + r 其中 ( 训) ：= ；b _ ；。( 啪) ( 1 6 ) 定义l a n d s b e r 9 曲率为 l y = l i j k d z o d x 。d x l ，：t p m t p m o t ，m _ r 其中 t ( 钏) ：一：y “触( 训) 砖t ( 砌) = 一j 1 ，“g m r ( 毛们面8 面a g 百尹, 叫) 如果l = 0 ，则称f 为l a n d s b e r 9 度量由定义知，x 寸任q lb e r m f d 度量，都有 l = 0 对于l a n s b e r g 曲率，下面的关系式是基本的 厶社= 一；驰；k = 川：即 ( 1 7 ) 定义平均l a n d s b e r g 曲率为 j y = 五o d x t 口m _ r 其中 五：= g j ：l u 平均c t 挠率，平均b e t u n i d 曲率和平均l a n s b e r 9 曲率有以下关系 ；瓦扩：五l 艚t ，岛= ； + ， ( 1 8 ) 沈忠民于1 9 9 7 年引入s 一曲率的概念 s h e n l l ，令 一1 。巫卿 ( 1 9 ) o - f 其中 = 丙币砟面v o i 丽( b 磋) 丽 ( 2 。) 卵3 而币砟面俪礴：) 石) 称f 为d i s t o r t i o n - 令 s ：= 击”c t ) ，e ( 洲t - 0 s = s ( 。，是一阶正齐次的，即 s ( ，岫) = s ( 。，口) ， 0 s 就称为s 一曲率在任何b e r w a l d 空间中，总有s = 0 由于 筹矧1 ridogrmy,2 啦， 8 矿 。 o z 。 j 于是又有 s 划嘉一z 骞 = 耖等一z 矗g l 一矿杀( t 一，) = 筹一扩去( 吲 由平均c a r t a n 挠率的定义及( 1 6 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) 易知 = q ，s = 1 矿，= ；s ，t 矿 在b v r w a l d 曲率的基础上，j d o u g l a s 引入了d o u g l a s 曲率： d y = 巧削。如。如2 。刍b ：耳吖耳m m 矗弓m 其中 啊= 茄岛 】l ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) f 2 4 1 弧划一击筹旷 ( 2 5 ) f i n s l e r 度量f 称为d o u g l a a 度量若d = 0 如果度量f 是d o u g l a s 度量同时又 是l a n s b e r g 度量，那么一定是b e r w a l d 度量 因为对任何r i e m a n n 度量总有d = 0 ，所以hw e y l 于1 9 2 1 年引进一个新的 量来刻画r i e m a n n 度量和仿射s p r a y ，即w e y l 曲率 w ，= 哦出 鑫b ：b m _ 耳m 其中 魄：叫一击筹 a i ：= r k 一冗磋，兄：2n l - 告_ l l ：l i c = a 1 r n ， d o u g l a s 曲率和w e y l 曲率是f i n s l e r 射影几何中两个基本的射影不变量，下 面的结论就体现了它们的重要作用 引理2 2 d 0 7 流形m ( d i m m 2 ) 上的f i n s l e r 度量f 射影平坦当且仅当 d = 0 w = 0 定义r i e m a n n 曲率为 码= 磁如。未k ：耳m 叫耳m 其中 磁：= 。答一一瓣0 2 g i + 。掣器一雾器 ( z e ) r i e m a n n 曲率的迹 l ：t i q ( 。，。) ：3 一1 ) r ( 口) 2 磁( 。，口) ，( 2 7 ) 称为r i c c i 曲率，称r ( z ，口) = 杀t r i c ( z ，v ) 为r i c c i 标量 对一个二维平面p c 耳m 和0 y 耳m 我们定义旗曲率为 k ( 矧- 而y 蒜) g y y ， ( 2 8 ) 勖，m ，“) 一吼( ，u ” r 叫 其中p = 3 p a n y ，u ) ，显然k = 0 筒r = o 如果k ( 只) ：k ( z ，9 ) ，即k ( p 1 ) 与 所选平面无关，则称f 具有标量曲率k ( z ，口) ，在一个局部坐标系下，这等价于 肛圣k f 2 慨! 矿) = k f ( 2 9 ) 其中h k = 9 。h ，b 如果k 是一个常数，那么我们称f 具有常曲率对一个r i e m a n n 度量而畜若f ( z ，g ) = f ( g ) ，即f 只与切向量y 有关，而与点的位置无关，则称f 是局部m i n k o w s k i a n 关于局部m i n k o w s k i 度量有 引理2 3 s h 6 】令f 为m 上的正定的f i n s l e r 度量，则f 是局部m i n k o w s i a n 当且仅当b = 0 ，r = 0 。 令萝和f 分别为m 上的两个正定的f i n s l e r 度量，则它们的测地系数矛与 之间满足如下的关系t 乎= g + p y + q ( 3 0 ) 其中 p = i ! 萨k y k ，= 爷( j ；k 1 y k - - j ；1 ) 这里或：= 雾，“；”表示f 关于f 的水平协变导数 如果( 3 0 ) 中的o = 0 ，p ( z ，a ) = p 净，0 ) ，va 0 ，。m ，口t = m ，则称f 与 f 是射影相关的此时 磬= g + p y ( 3 1 ) 愈= 磁+ 三畦+ 飞矿( 3 2 ) 其中量：= p 2 一只k 矿，t = 3 ( 只k pp ) + 昱k 如果f 是标准的欧氏度量，则称f 是射影平坦的关于射影平坦我们有：若 j ；与f 是射影相关的，则f 是射影平坦的当且仅当f 是射影平坦的若f 射影 平坦则存在标量函数p ( $ ，y ) 使得 g = p 矿 这里p ( z ， ) = x p ( z ，) r i e m a n n 曲率和旗曲率分别为 r i = b ( 碓譬矿 。直，哇， k = 嘉= 掣， 其中h 2 = 9 “h k l 令f 和f 分别为m 上的两个正定的f i n s l e r 度量，如果f 与f 是射影相关 的并且f 具有常曲率，那么卢也具有常曲率当且仅当日。= 只i 一弓h = 0 ，其中 p ：叠2 f 篁为射影因子 令膏和f 分别为m 上的两个正定的f i n s l e r 度量且它们是射影相关的，其 中射影因子为p 如果f 具有标量曲率k ( z ，) ，那么卢具有标量曲率霞( z ，y ) ，并 且下式成立： 霞( 卫，”) f 2 一k ( z ，掣) f 2 = e 3f i n s l e r 度量具有的几个迷向曲率 在【s h 2 中给出了下面的定义，若存在标量函数c = c ( $ ) 使得f i n s l e r 度量f 满足 l + c f c = o ，s = ( t l + 1 ) c f ( s = ( ，l + 1 ) e f + 和) ，p = p ( 。) ) 称f 具有迷向l 一曲率，( 殆) 迷向s 一曲率相似的若有 j + c f i ：o ，e ：兰姜三c f 一1 h 则f 具有迷向j 一曲率，迷向e 一曲率其中h ，：= h i j y l y j ，b = f 巧矿由( 2 3 ) 知，若s 一曲率是殆迷向的，则e 一曲率就是迷向的反过来。若e 一曲率是迷向 的，则存在1 一形式q = ，7 i ( 。) 矿使得s = ( n 十1 ) c f + 吐但口一般不是闭的但 是当f 射影平坦时，目就是闭的 引理3 1 c h s h 7 ( m ，f ) 为f i n s l e r 流形若f 是d o u g l a s 度量且具有殆迷向 s 一曲率，则f 具有迷向工一曲率 引理3 2 c h m o s h 】( m ，f ) 为n 维f i n s l e r 流形，若f 的，一盐率满足 j + c ( z ，y ) f i = o ( 3 3 ) 其中c ( z ，f ) 是t m 0 上的标量函数且c ( z ，柚) = a c ( z ：) 于是旗曲率和r 满足 孚k 郴+ c 2 一警卜剐( 3 4 ) 1 4 定理3 3 c h s h 7 若p i n s l e r 度量f 射影平坦且e = 孚c ( c ) f h ，则s = ( n + 1 ) c ( 。) f - t - ”这里 是闭的1 一形式 下面给出定理的另外一种证明方法 证明f 射影平坦，由引理2 2 知必有d = 0 又e = 3 笋c ( c ) f h ，则由引理 3 1 知 l + c f c = 0 ，( 爿j + c f c = 0 ) 由引理3 2 知必有( 3 4 ) 成立于是 ( i ) 如果k = 一孑+ 。i 。矿f ( $ ，口) ，财得k 女= 0 于是k = k ( $ ) 与无关而 即) 一卿) + 焉 显然岛m = 0 ，c 就是常数，k = 一c 2 f 射影平坦具有常曲率，则d = p 矿，晟马= b 只b d = 马旁其中艮已= 貉 那么易得 叼= 马矿十p ， 丽o p i n ，k 酽o p l 一耳f 。= 筹川t l k 酽o p j 一耳码 将( 3 5 ) 代入( 3 6 ) 中，得 岛弓= 岛忍 又 e = 竺喜三c f 一1 h 售s ：( n + 1 ) c f + 卢 2 1 一v ，一。” 这里卢= b i y 不一定是闭的于是 ( 3 5 ) ( 3 6 ) a 马一岛s = + 1 ) c ( o i j 一岛最) + ( 魂一岛以) ( 3 7 ) 而 s = ( n + 1 ) p 一可m o 矿l n a p = m + 1 ) p + d 妒， 这里妒= l n a f ，所以 a 岛一岛s t _ = ( n + 1 ) ( a 弓一o j p , ) + ( 妒。t 一妒叶。，) = 0( 3 8 ) 1 5 由( 3 7 ) ( 3 8 ) 知a 如= 岛巩，因此卢是闭的 ( i i ) 如果k 一c 2 + c l m y ”f , 则由 ( k + 。z 一竿) f 。嗡。= o ， 得坛他= 0 于是由弓f 理2 1 知f 是r a n d e r s 度量此时卢一定是闭的q e d 最近程新跃和沈忠民给出了f 具有迷向b e r w a l d 曲率的定义；令( m ，f ) 是 f i n s l e r 流形，若存在m 上的标量函数c ( z ) 使得 马射= c 研+ 马j 瞑+ 最谚+ 乃 l 矿 ， ( 3 9 ) 则称f 具有迷向b e r w a l d 曲率c ( z ) j 与f 是射影相关的f i n s l e r 度量，那么它们的迷向b e r w a l d 曲率间的关系 可由下面的定理来刻画 定理3 4 ( m ，f ) 是f i n s l e r 流形，i 在m 上与f 射影相关设f 具有迷向 的b e r w a l d 曲率c ( z ) ，则j ；具有迷向的b e r w a l d 曲率= 轴) 当且仅当硪z ) 与c ( z ) 有 如下关系 ( $ ) f = c 如) f + p + 卢，( 4 0 ) 其中p = 簪是射影因子，卢= h i ( 。) 矿为l 一形式 证明必要性：f 具有迷向的b e r w a l d 曲率c ( $ ) ，由迷向b e r w a i d 曲率的定义 知存在流形m 上的标量函数c ( z ) 使得 巧“= c ( 。) 毋 田+ 乃雌+ + 马删) ， 其中弓= 矿，乃“= 珞扩矿由于b ；射= 茄，则由( 3 】) 得 鼋射= 鼋削+ 弓 研+ 弓l 畦+ p 七l 田+ 弓削7 t = c ( z ) 弓k + 弓t 】研+ c ( $ ) 毋l + 马l 】靠 + l c ( 。) 毋l + r 叫蝣+ i c ( z ) 乃埘+ 弓k f 旷( 4 1 ) 而f 具有迷向的b e r w a l d 曲率 ( z ) ，于是 鼋“= 矾。) f 弓t 研+ ez 畦+ 最l 吗+ 弓。y t ) ( 4 2 1 6 由( 4 1 ) ( 4 2 ) 知 可。) 岛女一i c ( z ) 乃t + 弓t 】) 硝+ ( z ) 弓l 一 c ( 。) 弓z + 马l 】) 靠 在上式中令江l 则 + 硪。) 磊l 一【c ( # ) 致i + 最d ) g + 可z ) 岛削一 c 扛) 马埘+ 弓 1 = 0 ( n + 1 ) 烈正) 岛 一 c ( 嚣) 马 + 马 】 = 0 于是 烈z ) 马女= c ( z ) 乃 + 马女 两边积分得 ( $ ) f = c ( 。) f + p + b i ( x ) y + n p ) 又膏( a ) = j ( ”) ，则n ( ) = 0 令b d ( x ) 9 i = 反就得到了( 如) 式 充分性：由于卢为1 - 形式，对( 4 0 ) 求导，得 硪z ) 马 = c ( z ) 毋 + 马 ，( 4 3 ) 可z ) f i l = c 毋f + 马l ，( 4 4 ) 可。) r l - c 扛) r z + 最f ， ( 4 5 ) ( ) 岛埘= c ( $ ) 毋丘f + 马 l( 4 6 ) 将( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) 代入到( 4 1 ) 中，就得到( 4 2 ) 由迷向b e r w l d 曲率的定义，f 具 有迷向的b e r w a l d 曲率 ( z ) q e d ， 由于弓t = ；譬“= 矿，于是由( 4 1 ) 可得 ，扩= 毛，旷+ m + 1 ) 弓i 两边积分 百= s 十( 礼+ 1 ) p + 叩+ 口扛) ) 1 7 因为i ( 1 ) = a s ( y ) ，所以日( ) = 0 因此 = s + ( n + 1 ) ( p + q ) ，( 4 7 ) 其中q = 岛( 。) 矿为l 一形式再由( 2 2 ) 可得 吾= 等一。百0 i n 子f ，s = 丽o g l 一i 百o l n a f 和( 3 1 ) 一起代入( 4 7 ) 中 - 圳岩， 这里，= ( a ( 。) ( z ) ) ”1 于是就得到下面的结果 定理3 5 c h s h 4 j ；与f 是维流形m 上射影相关的f i n s l e r 度量，则 百= s + ( n + 1 ) p + 扩辔) 其中，( z ) = ( 器) 1 他+ 1 是m 上标量函数 引理3 6 c h s h 7 1f 是d o u g l a s 度量，如果 s = ( n + 1 ) c 扫) f + d 妒，妒= 妒( 。) 有下面的结论 i ) f 具有迷向b e r w a l d 曲率c ( z ) i i ) e = 2 笋c 如) f 一1 h ，l + c 0 ) f c = 0 定理3 。7f i n s l e r 度量j 与f 射影相关且都具有迷向b e r w a l d 曲率，则f 具有迷向s 曲率当且仅当f 具有迷向s 一曲率 证明充分性；设f 具有迷向s 一曲率e ( g ) ，即s = 协+ 1 ) c ( ) f 代入到( 4 7 ) 中，有 s = m + 1 ) c 扛) f + ( n + 1 ) ( p + 叼) = ( n + 1 ) c ( g ) f + p + q ) 由引理36 ，c ( 。) 也是f 的迷向b e r w a l d 曲率又f 具有迷向的b e r a i d 曲率，不 妨设为 ( 。) ，再由定理3 4 可知 = ( n + 1 ) 酗) f 1 8 于是j ；具有迷向s 一曲率 必要性：有条件假设，知 s = ( 扎+ 1 ) 烈z ) f 再由引理3 6 ，硪。) 为f 的迷向b e r w a l d 曲率又声射影于f 且f 具有迷向 b e r w a l d 曲率，设为c ( $ ) ，则由定理3 4 知 季= ( n + 1 ) c ( $ ) f + p + 叩) = ( n + 1 ) c ( z ) f + ( n + 1 ) ( p + 叼) = s + ( n + 1 ) ( p + 叼) 于是 s = m + 1 ) c ( o ) f 由定义f 具有迷向s 一曲率q e ，d 定理3 8 ( m f ) 是具有标量曲率k = k ( z ，y ) 的n 维f i n s l e r 流形，j ；与f 射影相关若f 具有殆迷向s 一曲率s = ( n + 1 ) c f + 目) ，则j ；的旗曲率满足 嚣弘= 薹+ 3 a x m f y m + 3 a ( z ) f 2 ( 4 8 ) 其中e = p 2 一蜀矿，p = 巡2 f a = a ( 。) 是流形m 上的标量函数 证明设j ；与f 的标量曲率分别为霞( q ”) 、k ( 2 ，) ，由卢与f 射影相关 霞弘一k f 2 ：量 ( 4 9 ) 其中e = p 2 一目。y “，p 是射影因子又f 具有殆迷向s 一曲率，则其旗曲率可表 示为 k = 3 竿圳吐 将上式代入( 4 9 ) ，整理就得到( 4 8 ) 考虑标量函数c = c ( z ，y ) 使得f i n s l e r 度量f 满足 骘“= c ( z ，) 弓6 j + 弓c 醛+ 靠f s + 乃 f y 。) q e d ( 5 0 ) 这里c ( z ， ) = c ( g ，) 则简单的计算可得 = & 。= 字c ( x , y ) f j * = 字出一h j t ， l j k t = 一；m m s 州i y m = 一i l c ( z ，封) 弓 轨+ f j + f k t y j 十f 2 f j k l = 一c 扛，y ) f c i “， 将马 = 孚c ( 毛u ) f j k ，马f = 堡笋c ( 甄) 马l ，e k t = 学c ( z ，f ) 风。代入( 5 0 ) 中，便得 到 功肼= _ c t f j k y 其中cl = 笔铲显然，一般情况下d o 且d = o 当且仅当c 严o ，即c = c ( $ ) 在s = ( n + 1 ) c f + 卢中，当c = c ( $ ，) 时有 毋* = ；岛t = 竺 c f + q 风+ 钆乃+ c 马t ) ， 而由马t = 学c 也不能得到s = ( n + 1 ) o f + 卢由此可知它们间没有了必然的 联系即引理3 6 一般是不能成立的 s 一曲率满足下面的方程 s k l 。y ”昂。= 一i 。l - 。2 。m 。+ 嘴 ) ( 5 1 ) 若s = 加+ 1 ) c ( 。，) f + ”) ， = 珠矿是闭的1 一形式，由( 5 1 ) 得 m + 1 ) ci l m 暂m f + 。i m y m 最一c l e f ) = 一； 2 r 警k + 磷七) 而f 具有标量曲率时，就有( 2 9 ) 成立，结合上式便可得到下面的结论 命题3 9 ( m ，f ) 是具有标量曲率k = k ( z ，) 的f i n s i e