（运筹学与控制论专业论文）含时滞的复杂动态网络模型的同步控制研究.pdf

摘要 随着计算机技术的快速发展，复杂动态网络同步行为的分析与研究在物理学、数学、 控制学等领域引起了广泛的关注，并取得了丰硕的研究成果，现已成为信息时代的一个重 要的研究课题然而，现存的研究工作中大多数没有涉及到时滞问题本文针对含有常时 滞和变时滞的复杂动态网络，分析和研究了其同步控制问题主要内容有以下两个： 一、分析和研究了一类含常时滞的复杂动态网络的同步控制问题利用压缩映射原 理、指数稳定性理论和微分不等式技巧，给出了网络结点指数同步的充分条件，并且基于 此条件设计了同步控制器本文所设计的控制器结构简单，容易实现，具有实际应用价值 数值仿真结果验证了所提方法的有效性和可行性 二、分析和研究了一类含变时滞的复杂动态网络的同步控制问题通过构造合适的 l y a p u n o v 函数，设计了一种新的时滞依赖线性反馈控制器，使得从不同初始条件出发的 网络结点都能同步到一个期望状态本文第三章所提出的控制器的主要优点是不用考虑 耦合矩阵的对称性与不可约性此外，该控制器结构简单，同步速度快，同步过程运动平 稳仿真结果表明本文所提方法具有良好的同步控制效果 关键词：复杂动态网络，指数同步，时滞，同步控制，李雅普诺夫稳定性理论 i i w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h e y s i s f o rt h ec o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k sh a sa t t r a c t e dm u c ha t t e n t i o ni nt h ef i e l d so f p h y s i c s ，m a t h e m a t i c s ，c o n t r o l ，a n dg r e a ts u c c e s sh a sb e e na c h i e v e d a l t h o u g hi t i so n e o f t h ei m p o r t a n tr e s e a r c ht o p i c st os t u d yt h ep r o b l e mo fs y n c h r o n i z a t i o nc o n t r o lf o rt h ec o i n - p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k s ，t i m ed e l a y i sn o tc o n s i d e r e df o rt h em o s to ft h ee x i s t i n gm e t h o d s t h i sp a p e ri sd e v o t e dt ot h ep r o b l e mo ft h es y n c h r o n i z a t i o nc o n t r o lf o rac l a s so fc o m p l e x d y n a m i c a ln e t w o r kw i t ht i m e - i n v a r i a n ta n dt i m e - v a r y i n gd e l a y s t h em a i nc o n t r i b u t i o n s a r ea sf o l l o w s ： f i r s t l y , t h ep r o b l e mo fs y n c h r o n i z a t i o nc o n t r o lf o ra a c l a s so fc o m p l e xd y n a m i c a l n e t w o r kw i t ht i m e - i n v a r i a n td e l a yi ss t u d i e d b yu s i n gc o n t r a c t i n gm a p p i n gp r i n c i p l e ， t h e o r yo fe x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya n dd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t yt e c h n i q u e ，as u f f i c i e n tc o n d i t i o n o fg l o b a le x p o n e n t i a ls y n c h r o n i z a t i o nf o rd y n a m i c a ln e t w o r k si sp r o p o s e d ，b a s e do nw h i c ha s y n c h r o n i z a t i o nc o n t r o l l e ri sd e s i g n e d c o m p a r e dw i t ho t h e rc o n t r o lm e t h o d s ，t h ep r o p o s e d c o n t r o l l e ri sv e r ys i m p l ea n dc a nb ea c t u a l i z e de a s i l y n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sr e s u l t sa r e p r o v i d e dt od e m o n s t r a t et h ev a l i d i t ya n de f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e dm e t h o d s e c o n d l y , t h ep r o b l e mo fs y n c h r o n i z a t i o nc o n t r o lf o ra ac l a s so fc o m p l e xd y n a m i c a l n e t w o r kw i t ht i m e - v a r y i n gd e l a yi ss t u d i e d b yd e s i g n i n gt h ep r o p e rl y a p u n o vf u n c t i o n ， an e wd e l a y o s e d d e p e n d e n tl i n e a rf e e d b a c kc o n t r o l l e ri sp r o p o s e d ，t h u st h es t a t e so ft h e d y n a m i c a ln e t w o r kg l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys y n c h r o n i z ef o ra na r b i t r a r i l ya s s i g n e ds t a t eo f i i i a ni s o l a t en o d eo ft h en e t w o r k c o m p a r e dw i t ht h ee x i s t i n gc o n t r o lm e t h o d s ，t h em a i na d - v a n t a g eo ft h ep r o p o s e dm e t h o di st h er e q u i r e m e n t so ft h es y m m e t r ya n d t h ei r r e d u c i b i l i t y f o rt h ec o u p l i n gm a t r i xa r er e m o v e d f u r t h e r m o r e ，t h ep r o p o s e dc o n t r o l l e ri sv e r ys i m p l e a n dg i v e sas t a b l es y n c h r o n i z i n gp r o c e s sw i t hq u k i c k e rs y n c h r o n o u ss p e e d n u m e r i c a ls i r e - u l a t i o n sr e s u l t sa r ep r o v i d e dt od e m o n s t r a t et h ev a l i d i t ya n de f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e d m e t h o d k e yw o r d s ： c o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k s ，e x p o n e n t i a ls y n c h r o n i z a t i o n ，t i m e - d e l a y e d ，s y n - c h r o n i z a t i o nc o n t r o l ，l y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y i v 摘要 a bs t r a c t 第一章引言 1 1复杂动态网络同步研究 1 2 本文的主要工作 第二章含时滞的复杂动态网 2 1 含时滞的动态网络模型 5 2 2 同步理论分析 6 2 3 仿真算例 1 3 2 4 结论 1 6 第三章含变时滞的复杂动态网络模型的同步控制 3 1 含变时滞的动态网络模型 3 2 控制器的设计 3 3 仿真算例 3 4 结论 第四章总结与展望 4 1 总结 4 2 展望。 参考文献 7 7 8 3 6 9 9 9 1 矿 坞 觞 粥 四 匆 四 缸 v 致谢 独创性声明 3 5 3 7 许多现实世界的系统都可以用网络模型来描述，因此复杂网络近年来成为一个新的研究方 向早期的网络研究主要对象是那些简单规则的网络，随着计算机技术的飞速发展，人们 对复杂网络的认识发生了巨大的变化1 9 9 8 年，w a t t s 和s t r o g a t z 基于人类社会网络 提出了小世界网络模型【1 1 它通过调节一个参数可以从规则网络向随机网络过渡 1 9 9 9 年，a l b e r t l a s z l o 和b a r a b a s i 等人提出了一个无尺度网络模型 2 - 4 ，它通过增加新的 结点实现连续增长，同时这些新的结点总是倾向于选择连接已经具有大量连接的结点小 世界网络模型和无尺度网络模型的提出标志着复杂网络的研究进入网络科学的新时代 经过近几年的努力，复杂网络的研究取得了许多重要进展，发现了复杂网络的若干统计特 征，其中包括小世界性质( 即网络中结点之间的平均距离很短，对数依赖于网络中的结点 数) 、无标度性质( 即网络中结点的度分布右偏斜，具备幂函数或指数函数的形式) 以及聚 集性或网络传递性【5 网络同步现象到处可见如共振、知了的齐奏、大礼堂里观众响起的掌声等，都是广 为熟知的网络同步现象尽管这些网络中的结点构成迥异，数目众多，且结点间的耦合强 度和耦合关系复杂，但大规模结点突然地一起运动或行动就会导致同步现象吲的出现 复杂动态网络系统中的同步化行为是自然界和工程技术领域中一种常见现象因此在复杂 动态网络 8 - a 2 的研究中，结点的同步 1 3 - 1 7 是非常有意义和至关重要的现象世界上有 1 含时滞的复杂动态网络模型的同步控制研究 很多科学家对复杂网络的同步进行了研究，b a r a h o n a 和p e c o r a 对具有小世界【1 8 】相互 作用的耦合映像格子同步进行深入细致的研究，w a t t s 在小世界网络中研究相振子的同 步，此外l 仳和c h e n 等人发现了脉冲耦合振子系统 1 9 , 2 3 的同步规律，重点是拓扑结构 的不规则性和网络同步之间的相互影响，j a l a n 和a m r i t k a r 在无标度网络上对耦合映像 振子的同步现象进行了研究 2 4 - 2 5 ，m o r e n o 和p a c h e c o 采用k u r a m o t o 模型研究了无标 度网络上振子之间的耦合【2 6 l ，实现全局相同步的条件以及系统的动力学特征，a t a y 等人 发现时间延迟有助于网络的同步 2 7 1 不但外国的科学家对复杂网络的同步有研究，我国 学者对于复杂网络的研究也作了大量工作，w a n g 和c h e n 对混沌振子的小世界网络和 无标度网络同步也进行了详细研究【2 引，j i a n g 和w a n g 等研究了确定性小世界网络的超 混沌同步问题【2 9 】，勘和c h e n 等人对小世界网络上耦合项带有延迟的情况下网络的同步 规律进行研究 3 0 - 3 a l ，除了上面介绍的复杂网络的同步研究外，还有很多关于复杂网络同 步规律方面的工作，所有这些工作都推动了复杂网络同步研究的进程从上面这些研究工 作中我们可以看出，前期大多数关于动态网络同步的研究主要集中于分析具有规则拓扑结 构网络的同步特性，如全耦合模型和网格模型 3 4 】等典型例子包括耦合映象格子和细胞 神经非线性网络 3 5 , 3 6 】研究这些结构比较简单的网络，可以使我们集中精力研究结点复 杂动力学行为对整个网络的影响，而暂时不用考虑网络结构的复杂度而后随着对现实复 杂网络结构的深入理解，特别是当人们发现了复杂网络的小世界性质和无标度特性，人们 就开始越来越多的关注网络拓扑结构对网络的动态特性，包括同步特性的影响探索具有 复杂拓扑结构动态网络【3 7 】的同步行为已经成为当今复杂网络研究领域的一个重要课题 近年来，含时滞的复杂动态网络模型的混沌同步的研究得到迅速发展特别在工程 中，许多动力系统可由状态变量随时间演化的微分方程来描述，这其中，很大一部分动力 系统的状态变量之间存在时间滞后现象，即系统的演化趋势不但依赖于系统当前的状态， 2 同步控制问题，利用压缩映射原理和微分不等式技巧，基于指数稳定性理论，确定网络结 点指数同步的条件，并且基于此条件给出控制器的设计方法本文第三章在第二章的基础 上，进一步分析和研究了一类含变时滞的复杂动态网络的同步控制问题，基于l y a p u n o v 稳定性理论，提出了一种新的时滞依赖线性反馈控制器的设计方法 1 2 本文的主要工作 鉴于上述问题，本文第二章首先建立了一类含常时滞的复杂动态网络模型，结合所给 网络模型的结构特点，利用压缩映射原理和微分不等式技巧，对同步控制问题进行分析论 证，确定网络结点指数同步的条件，并且基于此条件给出控制器的设计方法，该控制器使 得从不同初始时刻出发的网络结点均和期望状态迅速达到同步与文献【3 0 一3 3 相比， 不仅结构简单、容易实现，而且也较好的解决了鲁棒性、平稳性和快速性之间的矛盾最 后，对一个时滞复杂动态网络系统进行数值仿真，仿真结果验证了所设计方法的有效性和 可行性 本文第三章基于l y a p u n o v 稳定性理论，分析和研究了一类含变时滞的复杂动态网络 模型的同步控制问题，提出了一种新的时滞依赖线性反馈控制器的设计方法，使得从不同 初始条件出发的网络结点都能同步到一个期望状态与文献 3 8 ，3 9 相比，本章不考虑耦 合矩阵的对称性与不可约性，并且所设计的控制器具有结构简单、反馈增益小等优点最 3 含时滞的复杂动态网络模型的同步控制研究 后，进行数值仿真，仿真结果表明本文给出的方法具有良好的同步控制效果，仿真算例验 证了所设计方法的有效性和可行性 4 本章 法：指数 仿真例子说明了该方法的有效性 2 1 含时滞的动态网络模型 考虑一个由个相同结点耦合组成的动态网络，其中每个结点都是一个n 维动态系 统，该网络的状态方程为： ( 2 - 1 ) 其中x i ( t ) = ( 兢1 ( ) ，z i 2 ( ) ，x i n ( t ) ) t r 竹是第i 个结点的状态向量，：r nx 冗+ 一兄n 是平滑的非线性向量函数 f = ( ) r n 跏是内耦合阵，且f 0 ，7 - 0 为时滞 c = ( a i j ) r x 是对称耦合强度矩阵若第i 个结点与第j ( j i ) 个结点有关联，耦合 强度c o 0 ，否则= 0 ( j i ) 而且矩阵c 对角上的元素满足：= 一c o ，( i = j = l ，j 和 本章的目的是通过设计牵引同步控制器，使得含时滞的复杂动态网络系统( 2 1 ) 的所 有结点都和期望状态s ( ) 达到同步，这里s ( t ) = ( 8 1 ( 亡) ，8 2 ( 亡) ，8 n ( ) ) t r n 可以是网 络系统( 2 1 ) 的一个孤立结点，也可以是孤立结点的一个平衡点、周期轨道，甚至是相空 间里的混沌轨道，因此满足： ( z ) = ，( s ( 亡) ) ( 2 - 2 ) 5 21 上 = 丁 一 r 雄 + z ， l i z 含时滞的复杂动态网络模型的同步控制研究 设受控系统为： n 规( ) = ，( ( t ) ) + r 一丁) + u ， i = 1 ，2 ， j = l 其中u i r n 是结点i 的控制输入 定义结点i 和期望状态s ( t ) 之间的同步误差为： e ( t ) = 鼢( 亡) 一s c t ) ，i = 1 ，2 ， ( 2 - 3 ) 于是，同步控制问题就转化为通过设计合适的控制器，使得存在m 0 ，q o ，使得 2 2 同步理论分析 所以 于是 6 因为 e ( t ) l i 为证明主要结论的需要，先给出两个引理 引理2 1 给定一个对称矩阵a r x ，如果r e a l ( a ) 0 ，那么入m 缸( a + a r ) 0 ，使得 堕( 21 9 | j 兰：! g 蟹呈：2 1 r 一o 口 其中，卵= 一( p ，+ 6 + 丫入1 ) ，p ，= i i ( d 厂( 零) + d ，( 享) t ) 2 1 1 ，p = ( i i d f ( 享) l l + 6 + - _ ) ，万= 1 m i a x k i ，7 7 = 入m i n ( f ) 是r 的最小特征值，7 = 入m 缸( r ) 是r 的最大特征值，那么，在控 制器u i = 一k i r e t ( 亡) ，i = 1 ，2 ，的作用下，复杂动态网络系统( 2 - 1 ) 的所有结点均和 期望状态s ( ) 实现同步 证明：由( 2 - 7 ) 式和( 2 1 0 ) 式，得 邑( 亡) i i ( i i d f ( 享) l i - t - 6 - i - _ - ) 愀t ) l i - t - 可忪l e ( 一r ) l l ， ( 2 1 5 ) e t ( ) 芭( ) = e t ( t ) ( 氏od 厂( 享) ) e ( ) 一e t ( ) ( kor ) e ( t ) + e t ( ) ( cor ) e ( t 一7 _ ) + e t ( t ) d i a g a 1 ，2 ，) e ( ) e t ( ) ( h 圆d 厂( 零) ) e ( ) - i - e t ( 亡) ( cor ) e ( t 一丁) 一e t ( ) ( kor ) e ( t ) + 5 1 1 e ( t ) 1 1 2 ， ( 2 1 6 ) 9 含时滞的复杂动态网络模型的同步控制研究 由矩阵k r o n e c k e r 乘积的性质，得 e t ( ) ( cor ) e ( t 一丁) 同理 = e t ( ) ( ( c 2 ) or ) e ( t 一7 - ) + e t ( ) ( ( c 2 ) or ) e ( t 一7 - ) = e t ( t ) ( ( c 2 ) or ) e ( t 一丁) + e t ( t 一7 ) ( ( c t 2 ) or ) e ( t ) = e t ( 亡) ( ( c 2 ) qr ) e ( t 一7 - ) + e t ( t ) ( ( 伊2 ) or ) e ( t 一7 i ) = e t ( t ) ( ( c + c - 盯) 2or ) e ( t 一7 ) = e t ( 亡) ( 虿or ) e ( t 一7 - ) ， e t ( 亡) ( hqd ，( 西) e ( 亡) = e t ( 亡) ( hod f ( - 享) 2 ) e ( t ) + e t ( 亡) ( 凡od f ( - 享) 2 ) e ( t ) = ，( ) ( hod f ( - 虿) 2 ) e ( t ) + e t ( t ) ( hod ，( 零) 丁2 ) e ( 亡) = e t ( t ) ( ho ( d ，( 零) + d ，( 零) t ) 2 ) e ( t ) 把( 2 1 7 ) 式和( 2 1 8 ) 式，代入( 2 1 6 ) 式，得 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) e t ( 亡) 芭( 亡) ( p ，+ 6 ) i i e ( ) 1 1 2 + e t ( ) ( 虿圆r ) e ( t 一丁) 一e t ( t ) ( kor ) e ( ) ， ( 2 1 9 ) 由n e w t o n - l e i b n i z 定理，得 其中0 0 1 1 0 e ( t - - t ) = e ( 亡) 一仁r 芭( s ) d 8 = e ( ) 一丁邑( 亡一口丁) ， 1 ( 2 - 2 0 ) 第二章含时滞的复杂动态网络模型的指数同步 把( 2 2 0 ) 式代入( 2 1 9 ) 式，并应用( 2 1 5 ) 式，得 e t ( 亡) 邑( 亡) ( p ，4 - j ) j i e ( ) 1 1 2 一e t ( ) ( kor ) e ( t ) - - i - e t ( 亡) ( 虿圆r ) e ( t 一7 ) = ( 肛，+ 5 ) l l e ( t ) 1 1 2 一e t ( ) ( kor ) e ( t ) 4 - e t ( 亡) ( 虿圆r ) 【e ( t ) 一7 芭( 一口7 - ) = ( 肛，+ 5 ) l l e ( t ) 1 1 24 - e t ( ) ( 虿一k ) 圆r e ( t ) 一t e t ( t ) ( _ or ) 邑( 亡一口7 - ) ( p ，十5 ) l l e ( t ) 1 1 2 + e t ( ) ( b 圆r ) e ( t ) + 啊l i 虿l e ( ) i i ( i i d ，( 西i i - i - 6 - i - k w ) l l e ( t 0 7 - ) 1 i + w i l 虿l l l l e ( t 一口7 一，7 - ) 1 1 】 ( p ，- i - 5 + y , x 1 ) l l e ( t ) 1 1 2 - t - r w p l l c i ll l e ( t ) l ll l e ( t o ，7 - ) 1 i + r ( 了l l c i i ) 2 i l e ( t ) l ii l e ( t 一口丁一7 ) 0 = 一o l l e ( t ) 1 1 2 + 研p l l c i il l e ( t ) l i l l e ( t o ，- ) 1 i + 7 - ( 7 i i c i i ) 2 i l e ( t ) l i i l e ( t p 丁一7 ) l i 由引理2 2 并结合上式，得 d l l e ( t ) l l d t - 7 1 1 e ( t ) l i4 - - 币p l l c i i | l e ( t 一0 ，7 - ) 1 i + 啊2 i l c l l 2 i l e ( t p 7 - 一，7 - ) 1 1 ， 从而 i l e ( t ) l l i l e ( o ) l l e 一彬- t - r 可p l l c i l e 一啦后e 叩5i t e ( s o r ) l i d s + 丁- - 2i l c i l 2 e 一彬f o e l l e ( s 一0 7 - 一7 - ) i i d s 下面我们用反证法证明在定理2 1 的条件下，误差系统是指数稳定的，即 i l e ( t ) l i 0 ，使得i l e ( o ) l i 0 ，使得 e ( t ) l i m e 咄，t 0 ，t 1 假设i l e ( t ) l i t l ，使得 由( 2 2 2 ) 至( 2 2 4 ) 式，得 1 2 e ( t ) l i m e 一，0 t 吾， e ( 驯= m e 呻2 ， e ( 7 ) l l m e 一面+ t 7 p i i o i l e 一面j 以oe 叩8 m e q ( s - o r ) d s + 开i l c 怿一谚露e 町8 m e n ( 棚r r ) d s m e 一市+ t 7 p l i c i i m e 一面e a p r 露e 细一n ) 8 d s + 开忪1 1 2 m e m e n ( 口+ 1 ) 下f o e ( l a ) 8 d s m e 一面+ t 7 p l i c i i m e 一面e a 口r 丽与( e 细一a 7 1 ) + 开i i g i l 2 m e - n 云e a ( o + 1 ) 下而与( e 一a 苫一1 ) ： m e 一面- i - 丛塑监韭兰! 堕悭圯竺竺坐1m ( e 一面一e 一面) 一q 、， m e - , # + 互堑监业罢到g 幽m ( e a - 一e 一面) 钉一o t 、7 0 ，否则= 0 ( j t ) 而且矩阵c 对角上的元 素满足： 设受控系统为： ( 3 - 2 ) n 娩( 亡) = ，( 兢( t ) ) + c j r x j ( t 一7 - ( 亡) ) + i ， i = 1 川2 一， ( 3 3 ) j - - - - 1 其中u i r n 是第i 个结点的控制输入 1 7 | | 一 一 = q 含时滞的复杂动态网络模型的同步控制研究 定义结点i 和期望状态s ( t ) 之间的同步误差为： e i ( t ) = x i ( t ) 一s ( ) ， i = 1 ，2 ，( 3 4 ) e i ( t 一7 ( ) ) = 既( 一7 - ( ) ) 一s ( 一丁( 亡) ) ，i = 1 ，2 ， ( 3 - 5 ) 其中s ( ) = ( s ( 亡) ，s 2 ( t ) ，8 n ( ) ) t 衍，可以是网络系统( 3 - 1 ) 的一个孤立结点，也可 以是孤立结点的一个平衡点、周期轨道、甚至是相空间里的混沌轨道，因此满足： ( ) = i ( 4 t ) )( 3 - 6 ) 本章的目的是通过设计线性反馈控制器，使得含变时滞的复杂动态网络系统( 3 _ 1 ) 的v a - 个 节点都和期望状态s ( t ) 实现同步，即 3 2 控制器的设计 所以 因为 于是，不难得出 1 8 。l i m 慨( z ) i i = 0 ，( i = 1 ，2 ，) o 。 n = 0 ， i = 1 川2 一， j = l = 一 一 = q t 啪以w n 芦 0吼饧 竹芦 水 柚仇 n 触 叼 岸 = n 芦 t 啪以m 仃芦 幻以协 n 硝 幻以 n 芦 钮 = 第三章含变时滞的复杂动态网络模型的同步控制 - - i - c 2 ( 7 x j s j ( t ) ，岛( t ) ，啪s j ( 亡) ) t j = lj = lj = l 7 lnn + + q j v ( 7 1 j s j ( 亡) ，饧s 歹( t ) ，s j ( 亡) ) t j = lj = lj = l nnnnnn = ( 7 ，沔( ) ，7 2 j s j ( t ) ，岛( ) ) t j = lj = lj = lj = lj = l j = l 同理 n c j r s ( t 一7 - ( t ) ) = ( o u ) 0 一，o ) t ( 3 - 7 ) j = l 由( 3 _ 3 ) 减( 3 6 ) ，并应用等式( 3 - 7 ) ，得结点i ( i = 1 ，2 ，) 和期望状态s ( ) 之间的同 步误差方程为： 自( ) = ，( 甄( ) ) 一馋( ) ) + ( t 一7 ( ) ) + u i j = l = ( x t ( ) ) 一m ( 亡) ) + r 勺( t 一7 - ( 亡) ) + u i ，( 3 - 8 ) 5 = 1 于是，同步控制问题就归结为误差系统( 3 - 8 ) 的渐近稳定问题 为证明主要结论的需要，先给出两个假设 假设3 1 ，( ) 满足l i p s c h i t z 条件，即：对任意的i = 1 ，2 ， i i 厂( 兢( ) ) 一_ 厂( s ( 亡) ) i i l l l e , ( t ) l l ， ( 3 - 9 ) 其中l 为正常数 假设3 2 存在常数e 0 ，使得对任意的t 0 ，变时滞7 - ( t ) 0 0 ，并且i 于( t ) i 0 ，q = 一 0 ， 0 ，i = 1 ，2 ，n 则网络系统( 3 - 1 ) 的所有结点 均与期望状态s ( ) 实现同步 证明：构造l y a p u n o v 函数 即) = 三姜巩咖以) 一圭n ( m 心厂即) r 2 引州p ( 汕) 易证y ( ) 为非负函数 计算函数y ( t ) 沿式( 3 - 8 ) 轨道的时间导数 = e 翮训一亡( 龟+ ) e 翮r 2 e t ( ) i - - 1 一 。i - - - 1 + 髻耋( 针讲( 盹( ) 由假设3 1 ，得 2 0 nn = e ( ) 厂( 毛( t ) ) 一m ( ) ) + c o r e j ( t 一7 - ( t ) ) + u 胡( 3 - 1 3 ) i = l j = 1 一圭( 龟+ ) e 翮r 2 e i ( t ) 。i = 1 + 三 兰2 n ( 岛+ q ；) e ，( t 一丁( ) ) f 2 e i ( 一r ( ) ) ，1。 i = l e t ( t ) f ( x t ( 亡) ) 一，( s ( 亡) ) 】l e t ( t ) e i ( ) ，( 3 - 1 4 ) 第三章含 由假设3 2 ：l 于( ) i s 0 ，则网络系统( 3 - 1 ) 的所有结点均与期望状态 s ( ) 实现同步证明过程与定理3 1 类似，此处略去 3 3 仿真算例 口 为了验证所提方案的有效性，下面我们考虑由1 0 个相同的l 证系统作为网络结点进 行数值仿真，此网络模型可以被描述为： 规( 亡) = a x i ( t ) + ，( 娩( t ) ) + c j r z j ( t 一7 _ ( ) ) + u i ， i = 1 ，2 ，1 0 ( 3 2 3 ) 2 3 含时滞的复杂动态网络模型的同步控制研究 结点l f t 系统的动力系统方程由下式给出： 2 i ( t ) = a x i ( t ) + f ( x i ( t ) ) = 厂 。；三、厂三三、+ 厂纛3 其中i = 1 ，2 ，1 0 r 1 = 3 6 ，r 2 = 3 ，r 3 = 2 0 ，其状态轨线如图3 - 1 所示 因l 诅系统是混沌系统，故其状态有界，即，存在常数m 0 ，使得对任意i = 1 ，2 ，1 0 j = 1 ，2 ，3 i ( ) i m ，b ( t ) i m 均成立，因此i i ，( ( ) ) 一，( s ( t ) ) = 瓦磊百干石石f 干下i i 干i 研2 m i l e ( t ) 1 1 下面利用m a t l a b 中s i m u l i n k 做仿真 图，在仿真中，我们选择：控制输入u i = 一k i e t ，i = 1 ，2 ，1 0 其中后1 ，七2 ，庇1 0 的取 值分别为6 ，2 0 ，3 2 ，5 0 ，3 6 ，3 0 ，2 6 ，1 0 ，1 2 ，2 6 s ( t ) = x i ( t ) ， c = 一1 0001o0000 030 1 00 1001 0051121000 0l28200111 00 02300100 003036000 0 00o0404000 0 001 0 0 0 100 0000002020 02030o0005 ，m = 4 0 ， 第三章含变时滞的复杂动态网络模型的同步控制 丁= 南，雄) = 裔备( 0 ，互1 1 r = 妣小1 1 ) = 互1 ，a = i l = i 仿真初值设为：戤( o ) = ( 0 5 i ，0 5 i ，0 5 i ) t ，i = 1 ，2 ，1 0 8 ( 0 ) = ( 0 5 ，0 5 ，o 5 ) t 5 0 加 ，加 1 0 0 1 0 - 4 0 x1 图3 - 1 l i i 系统混沌相位图 4 0 图3 - 2 e i l ( t ) 的时间响应 含时滞的复杂动态网络模型的同步控制研究 图3 - 3 e i 2 ( t ) 的时间响应 图3 - 4 e i z ( t ) 的时间响应 仿真结果如图3 2 至图3 4 所示从仿真结果看出，按照本章方法设计的控制器可使 e i l ( ) ，e i 2 ( 亡) ，e i 3 ( t ) ( i = 1 ，2 ，1 0 ) 很快趋于零，达到了很好的同步效果 3 4 结论 2 6 本章主要分析和研究了一类含变时滞的复杂动态网络系统的混沌同步控制问题，基于 第三章含变时滞的复杂动态网络模型的同步控制 l y a p u n o v 稳定性理论，给出了一种新的线性反馈控制器的设计方法该控制器对含有对 称耦合矩阵和非对称耦合矩阵的复杂动态网络系统的混沌同步控制都非常有效，并且结构 简单，同步速度快，同步过程运动平稳最后，通过数值仿真验证了所设计方法的有效性 和可行性 2 7 4 1 总结 第四章总结与展望 本文首先研究了一类含常时滞的复杂动态网络的同步控制问题，结合网络结构特点， 以l y a p u n o v 稳定性理论和指数性稳定理论为基础，利用压缩映射原理和微分不等式技 巧，确定网络结点指数同步的条件，并且基于此条件给出控制器的设计方法由此设计方 法所获得的控制器最大的优点是它要比用其他方法所设计的控制器结构更简单，物理上更 容易实现，具有更广泛的应用价值；而且也较好的解决了鲁棒性、平稳性和快速性之间的 矛盾 在第二章的基础上，本文第三章又进一步研究了一类含变时滞的复杂动态网络同步控 制问题基于l y a p u n o v 稳定性理论，分析和研究了该复杂动态网络的同步控制问题，给 出了一种新的线性反馈控制器的设计方法由该设计方法所获得控制器与现有文献的控制 器相比主要有两个优点：一、由于是线性反馈，所以控制器结构简单，容易实现二、该 控制器对含有对称耦合矩阵和非对称耦合矩阵的复杂动态网络同步控制问题都有很好的 效果，不用考虑耦合矩阵的对称性，这在实际应用中是很关键的 4 2 展望 含常时滞的复杂动态网络和变时滞的复杂动态网络的同步控制问题的研究是非常有 现实意义的，其原因有二：第一，现实生活中很多动力系统都是用状态变量随时间演化的 微分方程来描述的，这其中，很大一部分动力系统的状态变量之间存在时间滞后现象，即 系统的演化趋势不但和系统的当前状态有关，还与系统过去某一时刻的状态有联系也就 说很多实际生活中的力学系统，电路系统，医学系统，机械系统等本质上都是时滞系统 2 9 常重要 难，甚 得的研 究成果也越来越丰硕本文对含有时滞的复杂动态网络的同步问题的研究还有很多不足之 处，例如我们只是着眼于网络结点间的同步，而对网络间的同步即网络与网络的同步没有 考虑，这是今后研究的主要任务 参考文献 参考文献 【1 】d j w a t t s ，s h s t r o g a t z ，c o l l e c t i v ed y n a m i c so fs m a l lw o r dn e t w o r k s ，n a t u r e3 9 3 ( 1 9 9 8 ) 4 4 0 4 4 2 【2 】a l b a r