（控制理论与控制工程专业论文）基于多lyapunov函数方法的模糊控制系统分析与设计.pdf

摘要 摘要 t a k a g i s u g e n o ( t - s ) 模糊控制系统的分析与设计是当前模糊控制研究领域的热点。 旗于普通二次l y a p u n o v 函数( c q l f ) 理论，采用线性矩阵不等式( l m i ) 技术，对t - s 幔糊系统进行稳定性分析和控制器设计，已经成为了一种较为普遍和成熟的方法。但是该 厅法存在一定的保守性，对于某些模糊系统可能会出现无解的情况；而且在实际应用中， 随着前提变量以及规则数目的增多，l m i 的求解难度往往会变大，求解效率随之降低。 为了克服上述问题，已提出一些多l y a p u n o v 函数方法，如模糊l y a p u n o v 函数( f l f ) 方 法、分段二次l y a p u n o v 函数( p q l f ) 方法，取得了一定的成果。然而，这几种l y a p u n o v 函数方法仍然存在着一些局限性，并且在连续t - s 模糊系统中较为深入的应用还很少。 山此，本文对上述多l y a p u n o v 函数方法在连续t - s 模糊系统中的应用作了更进一步 的研究。首先针对一类模有界的参数不确定t - s 模糊系统，采用f l f 方法研究了其鲁棒 控制问题。通过并行分配补偿( p d c ) 控制策略得到了l m i 形式的模糊系统状态反馈控 制和保性能控制系统设计的方法：继而利用p q l f 方法，对一类具有特定隶属度函数结构 的不确定模糊系统进行了分析。通过充分利用模糊系统前提规则隶属度函数的结构信息， 将模糊系统划分成若干个模糊区域，提出了一种新的称为分段p d c 的控制策略，该策略 样能够反映模糊系统的规则结构。在此基础上，设计了该类t - s 模糊系统的鲁棒反馈控 i 5 0 器和保性能控制器；最后，通过将f l f 方法引入到由p q l f 方法所得的模糊区域中， 提出了连续t - s 模糊系统的分段模糊l y a p u n o v 函数( p f l f ) 方法，该方法有效结合了模 糊l y a p u n o v 函数和分段二次l y a p u n o v 函数方法的特点。基于p f l f 方法，对一类t - s 模 糊系统进行了稳定性分析和控制系统设计，得到了l m i 形式的求解方法。对上述所得控 制系统设计方法分别进行仿真验证，所得仿真结果表明：采用f l f 方法相对于c q l f 方 法能够提高模糊系统的控制性能；采用p q l f 方法能够降低采用l m i 技术的求解难度， 具钉良好的鲁棒性能；而采用p f l f 方法，相对于其他l y a p t m o v 函数方法，不仅具有较 少的保守性，还具有更好的控制效果。 关键词：t - s 模糊系统；模糊l y a p u n o v 函数；分段二次l y a p u n o v 函数；分段模糊l y a p u n o v 函数；并行分配补偿；线性矩阵不等式 江南大学硕十学付论文 a b s t r a c t t h ea n a l y s i sa n dd e s i g no ft a k a g i s u g e n o ( t - s ) f u z z yc o n t r o ls y s t e m si sah o t s p o ti nt h e f u z z yc o n t r o lf i e l d b a s e d o nt h ec o m m o nq u a d r a t i cl y a p u n o vf u n c t i o n ( c q l f ) t h e o r y , i t b e c o m e sap o p u l a ra n dr e l i a b l em e t h o dt oh a v es t a b i l i t ya n a l y s i sa n dc o n t r o l l e rd e s i g nf o rt h e t - sf u z z ys y s t e m sw i t hl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m i ) t e c h n i q u e h o w e v e lt h i sm e t h o dh a s s o m e w h a tc o n s e r v a t i v e n e s ss i n c ei tm a yn o tb ea b l et os o l v et h el m i sf o rs o m es p e c i a lf u z z y s y s t e m sa n dt h ed i f f i c u l t yt os o l v ei n e q u a l i t i e sw i l lb ei n c r e a s e dd u et ot h el a r g en u m b e ro f p r e m i s ev a r i a b l e sa n dr u l e so ff u z z ys y s t e m s ，i no r d e rt of i n dm o r er e l a x e dm e t h o d ，s e v e r a l m u l t i p l el y a p u n o vf u n c t i o na p p r o a c h e sa r ep r o p o s e d s u c ha st h ef u z z yl y a p u n o vf u n c t i o n ( f l f ) a p p r o a c ha n dt h ep i e c e w i s eq u a d r a t i cl y a p u n o vf u n c t i o n ( p q l f ) a p p r o a c ha n dh a v e g o r e ns o m eu s e f u la p p l i c a t i o n s n e v e r t h e l e s s ，t h e s ea p p r o a c h e sa l s oh a v es o m es h o r t c o m i n g s a n d f e wo f t h e mh a v ef a r t h e ra p p l i c a t i o n si nt h ea r e ao f c o n t i n u o u st - sf u z z ys y s t e m s m o t i v a t e db yt h ea f o r e m e n t i o n e dc o n c e m s ，t h i sp a p e rd e v o t e st ot h ef a r t h e ra p p l i c a t i o no f t h e s em u l t i p l el y a p u n o vf u n c t i o na p p r o a c h e s f i r s t l y , t h i sp a p e rd e a l sw i t ht h er o b u s tc o n t r o l p r o b l e m so fac l a s so fn o r mb o u n d e dt - sf u z z ys y s t e m sw i t hp a r a m e t r i cu n c e r t a i n t i e sv i at h e f l fa p p r o a c h t h es t a t ef e e d b a c ka n dg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o ls y s t e m sa r eo b t a i n e db yu s i n g p a r a l l e ld i s t r i b u t e dc o m p e n s a t i o n ( p d c ) c o n t r o ls c h e m e s e c o n d l 5t h i sp a p e ru s e st h ep q l f a p p r o a c ht oa n a l y z eac l a s so fu n c e r t a i nf u z z ys y s t e m sw i t hs p e c i a lm e m b e r s h i pf u n c t i o n s t r u c t u r e ，t h ef u z z ys y s t e m sa r ed i v i d e di n t os e v e r a lf u z z yr e g i o n sb yu t i l i z i n gt h es t r u c t u r e i n f o r m a t i o no ft h er u l ep r e m i s e an e wc o n t r o ls c h e m ec a l l e dp i e c e w i s ep d cw h i c ha l s o r e f l e c t st h es t r u c t u r eo ft h er u l ep r e m i s ei sp u tf o r w a r d b a s e do nt h i sn o v e ls c h e m e ar o b u s t c o n t r o l l e ra n dag u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e ra l ed e s i g n e df o rt h e s ef u z z ys y s t e m sr e s p e c t i v e l y f i n a l l y , b yb r i n g i n gt h ef l fa p p r o a c hi n t ot h ef u z z yr e g i o n se d u c e db yt h ep q l fa p p r o a c h ，t h e p i e c e w i s ef u z z yl y a p u n o vf u n c t i o n ( p f l f ) a p p r o a c ho fac l a s so ff u z z ys y s t e m si sp r o p o s e d t h i sa p p r o a c hw e l lc o m b i n e st h eo t h e rt w ol y a p u n o vf u n c t i o na p p r o a c h e s t h es t a b i l i t y a n a l y s i sa n dc o n t r o ls y s t e m sd e s i g nm e t h o d sa r ed e r i v e di nt h ef o r mo fl m iv i at h ep f l f a p p r o a c h s i m u l a t i n gt h ec o n t r o ls y s t e m sd e s i g n e db yt h e s ed i f f e r e n t f u n c t i o na p p r o a c h e s r e s p e c t i v e l y , t h er e s u l t ss h o wt h a tt h ef l fa p p r o a c hc a ni m p r o v et h ec o n t r o lp e r f o r m a n c e t h e p q l fa p p r o a c hc a l lr e d u c et h ed i f f i c u l t yo fs o l v i n gt h el m i sa n d h a v eag o o dr o b u s tc a p a b i l i t y a n dt h ep f l fa p p r o a c hn o to n l yh a sl e s sc o n s e r v a t i v e n e s sb u ta l s oh a sb e t t e rc o n t r o l p e r f o r m a n c e k e y w o r d s ：t - sf u z z ys y s t e m s ；f u z z yl y a p u n o vf u n c t i o n ；p i e c e w i s eq u a d r a t i cl y a p u n o v f u n c t i o n ；p i e c e w i s ef u z z yl y a p u n o vf u n c t i o n ；p d c ；l m i i l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 本人为获得江南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：冱丑数日期：少叮年弓月声日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解江南大学有关保留、使用学位论文的规 定：江南大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名：导师签名： 日期：i 司年3 月口日 第一章绪论 1 1 问题的提出 随着科学技术的进步，现代工业过程同趋复杂，过程的严重非线性、不确定性、多变 量、时滞、未建模动态和有界干扰，使得控制对象的精确数学模型难以建立，单一应用传 统的控制理论和方法难以满足复杂控制系统的设计要求；模糊控制【l 吲! l ! i l 无需知道被控对 缘的精确数学模型，且模糊算法能够有效地利用专家所提供地模糊信息知识，处理那些定 义不完善或难以精确建模地复杂过程。近二十年来，模糊控制获得了长足的发展，被广泛 应用于工业、交通运输、家电、医疗以及财经等领域，并且相继成立了各种模糊系统学会 年模糊系统工程研究所，召开相关的学术交流会，模糊控制已成为近年来国内外控制界关 注地热点研究领域。 作为模糊控制中应用最为广泛的模糊模型之一，t a k a g i s u g e n o ( t - s ) 模糊模型i j j 自 1 9 8 5 年提出以来，正获得越来越多学者的关注，并取得了丰硕的成果。t - s 模糊模型是一 种m 线性模型，易于表示复杂系统的动态特征。对于非线性系统的不同区域，可以利用 t - s 模糊模型建立局部线性模型，然后把各个线性模型用模糊隶属度函数连接起来，得到 整体的模糊非线性模型。因此，在采用t - s 模糊模型的控制系统设计中，可以将传统的线 性系统控制方法与模糊控制方法良好地结合起来，极大地推动了模糊控制的发展。 t - s 模糊模型的提出使得模糊控制具有了进行严格理论分析的能力，许多学者对t - s - ；! 糊控制系统的分析设计进行了深入的研究【4 4 】。在模糊控制系统的设计准则，模糊系统 的稳定性、鲁棒性等关键理论问题上取得了长足的进展。 在大部分关于t - s 模糊系统分析与设计的文献中，都是基于普通的二次l y a p u n o v 函 数( c q l f ) 5 】方法，采用并行分配补偿( p d c ) 策略1 6 ，将最后的稳定性判据以及控制器设 计方法转化为线性矩阵不等式( l m i ) 的形式，采用发展已经比较完善的线性矩阵不等 式凸优化方法求解。这种分析设计方法，具有简单明了的特点，再配合一些功能强大的数 学软件( 如m a t l a b ) ，可以高效求解。但是采用c q l f 理论存在一定的保守性，对于某些 幔糊系统可能会出现无解的情况【1 1 】；而且在实际应用中，随着前提变量以及规则数目的 增多，往往会使l m i 求解难度变大，从而降低了求解效率。 为了克服上述问题，专家学者提出了很多的解决方案，其中一些主要致力于对c q l f 本身结构的改造，得到了一些多l y a p u n o v 函数方法。如文献 1 2 1 6 1 提出了分段二次 l y a p u n o v 函数( p q l f ) 方法，通过分析前提变量模糊隶属度函数的结构信息，将整个输 入空间划分成几个模糊区域，并在每个模糊区域上求解一个c q l f 方程，极大地降低了 求解难度。文献 1 2 ，1 3 1 基于p q l f 方法得到了类连续t - s 模糊系统的控制器设计方法， 文l t i k 1 4 1 6 j j 在一类离散t - s 模糊系统上对p q l f 方法进行了成功的应用。然而可以看到， 分段二次l y a p u n o v 函数方法在各个划分所得的模糊区域中，本质上仍是c q l f 理论，因 此在这些区域上仍然存在着c q l f 方法可能遇到的问题。 另一方面，文献 1 7 1 9 提出了模糊l y a p u n o v 函数( f l f ) 方法，通过构造模糊l y a p u n o v l 鎏奎盔兰巫兰垡笙奎 函数，将隶属度函数的导数引入到了控制系统设计中，从另一个角度反映了模糊系统隶属 度函数的一些结构信息，从而得到了更为宽松的系统分析设计方法。文献 1 7 1 首先提出了 模糊l y a p u n o v 函数的概念，并且论证了其在t - s 模糊系统稳定性分析上的优越性，文献 1 8 ，1 9 1 贝0 深入研究了基于f l f 方法的模糊控制系统的设计。但是，由于隶属度函数导数 的存在，f l f 方法需要假设隶属度函数的可导性，使其无法在常见的一些隶属度函数不可 导的模糊系统中应用。当前关于f l f 方法的较为深入的研究，主要见诸于离散模糊系统 方面，文献1 2 0 提出了离散t - s 模糊系统的模糊l y a p u n o v 函数方法，文献【2 1 采用f l f 方法进行了离散模糊系统的保性能研究，文献 2 2 ，2 3 1 则得到了基于f l f 方法的离散模糊 系统且。控制设计方法。总体而言，上述两种多l y a p u n o v 函数方法在连续模糊系统方面 还较少，因此对其在连续系统方面的应用作进一步的探讨将是很有意义的。 基于上述分析，本论文对多l y a p u n o v 函数方法在连续t - s 模糊系统上的应用进行了 深入的研究，得到了一系列新的稳定性分析判据和控制器设计方法。基于f l f 方法，研 究了连续t - s 模糊系统鲁棒控制问题；在分析一类t - s 模糊系统前提隶属度函数结构的基 础上，提出了一种新的p d c 控制器设计方法，基于p q l f 方法，成功地将其应用到了该 类模糊系统的控制研究中：将上述两种l y a p u n o v 函数进行良好的结合，提出了一种新的 l y a p u n o v 函数形式，即分段模糊l y a p u n o v 函数( p f l f ) ，该方法继承了c q l f 和p q l f 方法的优点，具有较好的分析效果和控制性能。 1 2t a k a g i - s u g e n o 模糊控制系统 1 2 1t a k a g i - s u g e n o 模糊模型 模糊控制系统的基本单元是“i f t h e n ”规则。作为两类应用最广泛的模糊模型，t - s 模糊模型和m a m d a n i 模型0 2 1 两者主要区别在于其规则形式的不同【2 4 l 。 对于一个单输入单输出m a m d a n i 模型，其模型的规则描述如下： i f 工i sa ，t h e nyi sb ( 4 ，占都是模糊集合) 而在t - s 模糊模型的情况下，模型的规则描述是： i fxi sa ，t h e ny = ( x 1 t - s 模型的规则结论部分中包括函数f ( x 1 而不是一个模糊集合。t - s 模糊模型舰9 1 i j 1 0 状态方程表示形式如下： r ：i f 毛( ，) i sm la n d a n dz n ( ，) i s 以 t h e n x ( t ) = 4 x ( f ) 十e ( f ) ，i = l ，2 ，r ( 1 1 ) 其中，r ，表示第i 条规则：，为规则数：z ( f ) = k ( ，) ，z n ( r ) r 为可测前提向量；坞为模 糊集合；x ( ，) 口一是状念向量；( f ) 口”是控制输入向量；4 口，置口”分别为 第f 个子系统的系统矩阵和输入矩阵。 给定输入对( z ( ，) ，h ( ，) ) ，采用单点模糊化、乘积推理和平均加权反模糊化，可得 2 模糊系统的整个状态方程如下： w i ( z ( ，) ) 工( f ) + e h ( r ) j ( ，) = _ _ 一 w f ( z ( r ) ) ( 1 2 ) = e h , ( z ( ，) ) 4 卫( r ) + e ( ，) 其中 啪) ) = 兀驯删州) ) _ 寒揣 m ，( z ，( ，) ) 是刁( t ) 关于模糊集m , j 的隶属度函数，( z ( ，) ) 满足 w ( z ( ，) ) o ，：。w ( z ( f ) ) 0 ，f = 1 , 2 ， 刚时有 红( z ( ，) ) 0 ，_ 。矗( z ( ，) ) = 1 ，i = 1 , 2 ， 山上述t - s 模糊模型结构可知，t - s 模糊系统是一个模糊规则的集合。模糊规则是通 过对整个t - s 模糊模型的输入空间进行划分所得。一个模糊规则的前提部分表示输入空间 的一个子空间，而结论部分则表示相应子空间的局部输入输出关系，其表示函数采用线性 形式。每一个模糊子空间上的规则都表示一个局部线性模型。通过使用隶属函数平滑地将 各个局部模型连接起来，从而形成非线性的全局模糊模型，以表征复杂的非线性系统。 t - s 模型是本质非线性模型，宜于表达复杂系统的动态特性1 2 5 1 。它结合了模糊模型中 对系统的语义描述和在实际中广泛使用的传统函数化描述方法。可以方便的采用传统控制 策略设计相关的控制器。并且t - s 模糊模型已经被证明可以确保输出表面的连续性，并且 以任意精度逼近连续的非线性系统，很适合基于模型的控制系统，t - s 模糊系统已经受到 了越来越多的应用。 1 2 2l y a p u n o v 稳定性理论在模糊系统中的应用 l y a p u n o v 稳定性理论是俄国力学家a m l y a p u n o v 在1 8 9 2 年发表的论文运动稳定 性的一般问题中首先提出的。这一理论将由常微分方程组描述的动力学系统的稳定性分 析方法区分为本质上不同的两种方法，即l y a p u n o v 第一方法和第二方法。l y a p u n o v 第一 方法也称为l y a p u n o vf n j 接法，属于小范围稳定性分析方法；而l y a p u n o v 第二方法称为 l y a p u n o v 直接法，属于直接根据系统结构判断内部稳定性的方法。第二方法直接面对非 线性系统，基于引入具有广义能量属性的l y a p u n o v 函数和分析l y a p u n o v 函数导数的定号 性，建立判断系统稳定性的相应结论。直接法概念直观，理论严谨，方法具有一般性，物 理含义清晰，业已成为现代系统控制理论中研究系统稳定性的主要工具【2 6 1 ，本文所采用 的即是l y a p u n o v 直接法。 l y a p u n o v 直接法判定系统稳定性的充分条件如下： 引理1 1 【5 】：设系统可表示为史= i ( x ) ，其中x 口”，i ( x ) 为n x l 的函数向量，j l f ( o ) = o 。 如果存在一个标量函数矿( 工) 满足： i ) v ( o ) = 0 i i ) 对所有的工0 ，v ( x 1 0 i i i ) 当i m 时，矿( x ) _ m i v ) 对所有的x 0 ，矿( x ) o 则系统的平衡状态x = d 是大范围渐近稳定的，且y ( x ) 是一个l y a p u n o v 函数。 t 9 9 2 年，k t a n a k a 和m s u g e n o 在文献【5 】中首次采用c q l f 方法对t - s 模糊系统进 行了稳定性分析，并得到了相应的稳定性判据，其在连续系统上的表现形式为： 引理1 2 【5 】= 如果存在一个j 下定对称矩阵p ，满足： 卅p + p a 0 ( 1 3 ) 则t - s 模糊系统( 1 1 ) 全局渐近稳定。 引理中，l y a p u n o v 函数的构造形式为v ( x ( f ) 1 = px 。 1 2 3 并行分配补偿( p d c ) 早期针对t - s 模糊系统控制器的设计方法都基于试凑，比试凑法更为先进的控制器没 计方法即为并行分配补偿( p a r a l l e ld i s t r i b u t e dc o m p e n s a t i o n ，p d c ) 策略。文献 2 7 最早 提出了该方法基于模糊模型的算法，但是没有给出控制系统的稳定性条件。文献【5 】对文 献 2 7 】进行了改进，文献【6 ，2 8 ，2 9 系统地阐述了该策略的主要思想，并最终将其命名为 p d c 控制策略，并成功地将其应用到模糊控制系统的分析设计中。 p d c 控制策略是一种模糊的控制器设计方法，它的j ；i 提规则共享t - s 模糊系统的i 讨 提舰则，即每一条模糊控制器规则的前提部分与相应的模糊系统规则的丽提部分相同，其 控制器规则结构如下： r ：i f 五( ，) i sm la n d a n dz n ( ，) i s 虬 t h e n ( ，) = a , x ( t ) ， i = 1 , 2 r( 1 4 ) 其中e 口为第f 个模糊子系统的反馈增益矩阵，模糊控制器的设计即为求解相应模糊 子系统中的g f 。p d c 模糊控制器与模糊系统的对应关系如图1 1 所示： 4 第一章绪论 t s 模糊系统p d c 模糊控制器 整个控制器的输出为： 图1 一l 模糊控制器与模糊系统的对应关系 w ，( z ( r ) ) q x ( f ) ， 材( ，) = 且= _ = 曩( z ( f ) ) e 工( 力 ( 1 5 ) w i ( z ( f ) ) “1 将( 1 5 ) 代a ( 1 2 ) ，可得整个模糊控制系统的状态方程为： 戈( f ) = 矗( z ( f ) ) 勺( z ( f ) ) ( 4 + eg j ) 工( f ) ( 1 6 ) 采用p d c 控制方法和引理1 2 ，文献【6 得到了一个新的闭环稳定性条件： 引理1 3 1 6 i ：对系统( 1 1 ) ，在其平衡状态是全局渐近稳定的，如果存在一个正定矩阵p ， 满足： e j j p + p 基，0n 1 、 ( 学) 7 ( 学) 口 s ， 1 i ，7 战巾，三j = a | + b ? gj 1 2 4 线性矩阵不等式( l m i ) 线性矩阵不等式( l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ，l m z ) 的研究已经有相当长的历史。最 早的l m i 就足1 8 9 0 年l y a p u n o v 提出的l y a p u n o v 不等式：a r p + p a 0 ，它是一个特殊 的l m i 形式。 1 9 8 8 年，n e s t e r o v 和n e m i r o v s k i i 提出了内点法【1 0 j ，用来求解具有线性矩阵不等式约 束的凸优化问题，取得了良好的效果。内点法为线性矩阵不等式问题的求解提供了有效的 算法。它的出现，使得线性矩阵不等式成为处理系统与控制问题的一种有效工具。l m i 侄1 i 确定系统鲁棒控制器与滤波器的设计，以及在带有时滞的非线性系统控制中应用十分 江南人学硕十学位论文 广泛【1 0 l 。 在t - s 模糊系统的分析设计中，通常都是通过l y a p u n o v 函数理论得到稳定性条件和 控制器设计方法，进而将其转换成为l m i ，通过计算机进行凸优化求解。许多控制行为 都可以用l m i 来表征，例如对于稳定性，针对引理1 3 ，通过令x = p 一和 t = e x 。可 得其l m i 形式的求解形式： 引理1 4 ：如果存在一个正定矩阵x 和一系列矩阵肘，满足： x a 5 + a i x + m 5 b j + b l m 。( 0 q 9 、 ? 6 4 5 + a ? x + x a j + a i x + m j b j + b | m i + m i b s + bj m t 0 ) 己笔+ a ? x + m j b i + b | m | + 2 a x 0 x 鸡? + a i x + ) 驾+ a i x + m j b 七b ，m i + 。t r j 七bj m l + 4 0 t x 0 1 i j ， 对于引理1 4 ，可以采用m a t l a b 的l m i 工具箱中的f e a s p 求解器求解，而对于上述l l 向 应速度衰减问题，可以采用m i n c x 求解器求解，其余一些控制品质与此类似，都可以采用 l m i 工具箱中相应的求解器高效求解，因此l m i 技术在模糊控制系统的分析与设计中扮 演了重要的角色。本文主要侧重于控制系统稳定性、鲁棒性以及保性能控制的研究。 1 3 两种多l y a p u n o v 函数 通过l m i 方法虽然可以高效便捷地进行求解稳定性问题，但是大部分采用l m i 求解 的研究都是基于c q l f 的，在工程应用中对于实际控制对象，规则数一般较大，寻找一 个适合所有规则的公共正定矩阵p 将会变得很困难。为了解决上述问题，许多学者从 l y a p u n o v 函数入手，通过改变传统的l y a p u n o v 函数的结构，提出了一些多l y a p u n o v 函 数方法，务求得到保守性更低的求解方法。其中主要有两种分段二次l y a p u n o v 函数 和模糊l y a p u n o v 函数。 1 3 1 分段二次l y a p u n o v 函数 文献【1 2 。1 3 对p q l f 在t - s 模糊系统的的应用进行了深入的分析。文献【1 2 】虽然利 用了模糊规则输入变量隶属度函数的结构信息，但局限于所寻找的p q l f 的连续性，所需 6 求解的l m i 数量较大，稳定性判断较困难。文献 1 3 1 针对一类采用双交叠模糊分划的连续 t - s 模糊系统，充分利用了隶属度函数的结构信息，从丽构建出了分段光滑的l y a p u n o v 函数，可以在求解过程中极大地降低了线性矩阵不等式的求解难度。 分段二次l y a p u n o v 函数的结构定义如下： 定义1 1 ：称公式( 1 1 1 ) 为t - s 模糊系统( 1 2 ) 的分段二次l y a p u n o v 函数，当且仅当x ( t ) 0 时，旷( 工( ，) ) 的导数始终为负： ( x ( f ) ) = ( 工o ) ) k ( x ( ，) ) ( 1 1 1 ) 其巾 ( x ( ，) ) 为第i 个分段区域的特征函数，其表示形式根据具体的t - s 模糊系统而定； f ，( x ( ，) ) = ( f ) p x ( ，) ，只是第f 个分段区域上的正定对称矩阵。 山于在分段区域内包含的模糊规则数要小于整个模糊系统的规则数，因此在各分段区 域中求解引理1 4 相对于要考虑所有模糊规则的c q l f 方法，将具有更低的求解难度。第 三章和第四章所研究的t - s 模糊系统具有三角形隶属度函数结构，实际上为文献u 3 1 5 u 模 糊系统的一个特例，所涉及的模糊区域概念即为分段区域的种划分方式。第三章、第四 章的结论亦可以方便地推广到文献 1 3 】的系统中。 1 3 2 模糊l y a p u n o v 函数 文献 1 7 1 首先提出了模糊l y a p u n o v 函数的概念，模糊l y a p u n o v 函数足多个c q l f 的 模糊组合，它的前提规则同模糊系统的前提舰则一致。文献 l 7 1 9 q u 论述了f l f 相对于 c q l f 可以得到更为宽松的稳定性条件，而且还对模糊l y a p u n o v 函数方法与系统控制性 能之间的关系进行了深入的研究。模糊l y a p u n o v 函数在连续t - s 模糊系统上的定义如下： 定义i 2 ：称公式( 1 1 2 ) 为t - s 模糊系统( 1 2 ) 的模糊l y a p t m o v 函数，当且仅当x ( t ) 0 时， v ( x ( ，) ) 的导数始终为负： 矿( x ( f ) ) ：魂( z ( f ) ) ( 0 p x ( f ) ( 1 1 2 ) j # 巾p 是正定对称矩阵，i = l ，r 。 由定义1 2 可知，在采用模糊l y a p u n o v 函数方法进行求解时，矿( x ( ，) ) 中包含了 _ ( z ( ，) ) 的导数。鱼z ( ，) ) 的导数可以反映模糊系统规则的切换速度，因此f l f 方法从 另外一个角度表征了模糊系统的结构信息，从而可以得到更为宽松的求解方法l l ”。但 足由于导数的存在，在系统分析和设计时需保证囊( z ( m 是一阶可导的。虽然可以通过 文献【3 1 】中的t - s 模糊建模方法得到满足要求的t - s 模糊系统，但也限制了f l f 方法在 一些常见的隶属度函数不可导的模糊系统中应用。第四章即为致力于扩大f l f 方法在 连续系统中的适用范围。 上述两种多l y a p u n o v 函数方法是本文研究的主要手段，同时也是在第四章中将论 述的连续t - s 模糊系统分段模糊l y a p u n o v 函数方法的理论基础，分段模糊l y a p u n o v 函数的构造将在第四章进行介绍。 7 江南人学硕十学佑论文 1 4 论文的主要内容及研究工作 第一章主要介绍了t - s 模糊控制系统的发展状况，对后面章节中经常会用到的一些概 念如p d c ，l y a p u n o v 稳定性理论，l m i 以及分段二次l y a p u n o v 函数和模糊l y a p u n o v 函 数等进行了基本的论述，明确了本文的研究方向，阐述了课题的研究背景和意义。 第二章介绍了模糊l y a p u n o v 函数方法在具有参数不确定的连续t - s 模糊系统中的应 用，通过f l f 方法得到了l m i 形式的鲁棒控制器以及保往能控制器的设计方法。 第三章主要论述了分段二次l y a p u n o v 函数方法在一类具有三角形隶属度函数结构的 参数不确定连续s 模糊系统中的应用。通过深入分析模糊系统的隶属度函数结构信息， 引进了模糊区域概念，得到了一种新的分段形式的t - s 模糊系统表达形式，并构造了相应 的p q l f 。在此基础上，提出了一种新的p d c 控制策略，即分段p d c 控制策略，该策略 同样能够反映模糊系统的结构信息，从而得到了l m i 形式的模糊系统分析与设计方法。 第四章将模糊l y a p u n o v 函数( p f l f ) 方法引入到了采用p q l f 方法所得的模糊区域 之中，从而得到了分段模糊l y a p u n o v 函数。基于p f l f 方法，通过分段p d c ，分析对比 了其稳定性方面的优越性以及所得控制系统的良好性能。 第五章对本文的研究工作进行了概括和总结，并展望了多l y a p u n o v 函数方法在t - s 模糊系统中的前景和进一步的研究方向。 第二章基于模糊l y a p u n o v 函数的不确定模糊系统鲁棒控制 2 1 概述 稳定性是控制系统分析设计中最重要的问题之一，而不确定性往往是系统不稳定的主 要根源，因此许多学者对不确定模糊控制系统进行了深入研究。对于不确定性系统的鲁棒 控制问题，t a n a k a 等在文献【7 】中导出了一类不确定模糊系统的鲁棒稳定性条件；l e e 等 在文献 9 中对具有参数不确定性的模糊系统进行了分析，得到了l m i 形式的鲁棒控制器 设计方法。而在对不确定t - s 模糊系统的进一步深入应用方面，文献 3 2 研究了具有时滞 的刁i 确定t - s 模糊系统的鲁棒保性能控制，文献 3 3 ，3 4 1 分别将最优保性能控制应用到了 倒立摆和电机混沌中，取得了良好的效果。上述成果都是采用文献 5 】中的c q l f 方法推 导而得，在采用l m i 技术进行求解时同样会存在无解或求解难度迅速上升的问题，因此 仃必要采用多l y a p u n o v 函数方法对其进行进一步的研究，力求得到更好的设计方法。 针对上述问题，本章基于模糊l y a p u n o v 函数，对具有参数不确定的连续t - s 模糊系统 进行了分析，采用p d c 控制器设计方法得到了l m i 形式的鲁棒控制器设计方法，并在此 基础上设计了保性能控制方法。该方法提高了系统的控制性能，具有较好的鲁棒性，仿真 结果证实了该方法的有效性。 2 2 不确定t a k a gi - s u g e n o 模糊系统 2 2 1 不确定模糊系统结构 r 对于参数不确定的模糊t - s 系统，其连续状态的模糊规则表示如下： r ：i f z i ( f ) i sm la n d a n d 乙( ，) i s 帆 t h e nx ( t ) = ( a t + 厶4 ) 工( f ) + ( e 十e ) ( ，) i = 1 2 ，r( 2 1 ) 其中，r 7 表示第i 条规则；z ( ) = z l ( 咄乞( 瑚7 为可测前提变量；，为规则数；j j i 气为模 糊集合；工( ，) 口”是状态向量；“( r ) 口”是控制输入向量；4 口，e 口“分别为 第，个子系统的系统矩阵和输入矩阵；m 和矽是适当维数的时变矩阵，它们在系统模型 中表示结构不确定。 假设2 1 参数不确定矩阵是模有界的，其形式为： 【a a 。，a b ，】= d f f ( f ) 阮e ：，】 式中，p ，e ，易，是已知的适当维数矩阵；f ( ，) 是未知函数矩阵，其每个元素是l e b e s g u e r 叮测的函数，并满足f 7 ( f ) f ( r ) ，j r 为单位阵。 2 2 2 不确定模糊系统闭环控制 给定输入对( z ( ，) ，( ，) ) ，采用单点模糊化、乘积推理和平均加权反模糊化，可得 模糊系统的整个状态方程如下： 9 童( ) = 矗( z ( f ) ) ( 4 + m ) x ( ) + ( 置+ 丛，) h ( f ) ( 2 2 ) ，- l 其中，w j ( z ( 嘞，曩( z ( ，) ) ，i ( z j ( ，) ) 的确定及其性质同1 2 1 节。 采用p d c 控制结构，设计模糊控制器为： ( f ) = 吩( z ( ，) ) g x ( ，) ( 2 3 ) t = l 其中g j 口一n 为各个子系统反馈增益矩阵。 将( 2 3 ) 代入( 2 2 ) ，可得：可得整个闭环系统的状态方程为： i 0 ) = 囊( z o ) ) 巧( z o ) ) ( 4 + 墨g ，+ 4 + 丛，g ，) x o ) ( 2 4 ) 1 = 1j = l 2 3 不确定模糊系统的鲁棒控制+ 2 3 1 鲁棒控制系统设计 为了证明本节中的主要定理，首先给出如下引理： 引理2 1 口5 1 ：对具有适当维数的常数矩阵d ，e 及对称常数矩阵s ，矩阵不等式 s + d f e + e t f t d f 0 满足下面的矩阵不等式： s + e - i e r ，叫防班劳l 口 且满足f r f r 。 对于不确定t - s 模糊系统( 2 2 ) ，基于f l f 方法，有如下定理： 定理2 1 ：假设k ( z ( ，) ) b 啡( 啦o ) ，如果存在一系列正定矩阵置，只，矩阵g ”，g ， 及j 下参数，满足下列矩阵不等式： 謦一击：x ： ： ： 墨，一掰x - ：一 ： ： ： x j 0 一奄、xr _ e 、j x , + 毫e rz ”0 0j i l 。0 0 一譬- - e - 1 1d o 口 i = 1 ，r ，1 j r 本节内容发表丁：控制与决策学术年会，苏州，2 0 0 7 年7 月( 已录